AUTOMATIQUE. Continue et discréte Professeur Belkacem OULD BOUAMAMA Recherche : Responsable de l’équipe de recherche MOCIS Laboratoire d'Automatique, Génie Informatique et Signal de Lille (LAGIS ‐UMR CNRS 8219) Enseignement: Professeur et Directeur de la recherche à Poltech’ lille Coordonnées Polytech Lille . Avenue Paul Langevin, F59655 Villeneuve d'Ascq cedex Tél : (00) 328767397, GSM (00)667123020 Mèl : Belkacem.ouldbouamama@polytech‐lille.fr, Page personnelle : https://wikis.univ‐lille1.fr/ci2s/membres/belkacem‐ould‐bouamama Ce cours et bien d’autres sont disponibles à https://wikis.univ-lille1.fr/ci2s/membres/belkacem-ould-bouamama Prof. B. Ould Bouamama Polytech’Lille « Automatique continue et numérique » 1 Partie 1 Automatique linéaire continue Prof. B. Ould Bouamama Polytech’Lille « Automatique continue et numérique » 2 AVANT PROPOS (1/2) Ce support de cours a pour but principal, sans être simpliste, de présenter avec une approche très pratique des fondements de l’automatique linéaire que nous appellerons souvent la régulation automatique. Chaque outil mathématique utilisé, est étayé par des exemples industriels concrets. Pour rendre le cours attrayant, ce polycopié est simplifié, pour plus de détail sur le contenu le lecteur pourra se référer au cyber-cours introduit par l’auteur sur le réseau internet : http://www.univ-lille1.fr/eudil/belk/sc00a.htm La régulation automatique, actuellement rebaptisée «automatique» est noyée dans les techniques modernes de commande (robotique, productique,cybernétique). Ceci est principalement dû à l’apparition initialement de l’électronique, puis vers les années 60 du microprocesseur et donc de l’informatique. Mais il est utile de souligner que les vieilles techniques de la régulation classique restent encore très utilisées dans des industries aussi complexes que le nucléaire par exemple, et elles ont encore de beaux jours devant elles car, la théorie en automatique avance bien plus vite que son application et ça, parce que les moyens informatiques sont plus «performants» que la connaissance du système à traiter, c’est à dire le modèle mathématique, nécessaire pour la réalisation de la commande dite moderne. C’est pourquoi, il nous a semblé utile de réserver dans ce présent support une large place à la modélisation. Dans le premier chapitre, nous présenterons les principes de la commande automatique avec des exemples de systèmes asservis et de régulation divers (de la poursuite d’une cible, régulation d’un four à la commande optimale d’une unité de traitement de gaz en vue de minimiser le taux de pollution). La symbolisation normalisée des boucles de régulation dans l’industrie sera aussi présentée afin de permettre à l’étudiant de lire les schémas de régulation présentés dans l’industrie comme on lit un dessin de mécanique. Avant de commander nous devons bien connaître le système, c’est pourquoi, dans le deuxième chapitre nous développerons un aspect important de l’ingénieur qui est la modélisation et exposerons l’approche analogie des systèmes physiques de type bond-graph « effort-flux». La méthodologie de la modélisation dynamique comportementale , par la mise en équation des systèmes physiques de nature différente sera appliquée sur des systèmes divers : mécanique, électrique, chimique. L’outil classique, mais inévitable en régulation - la transformée de Laplace avec surtout ses applications pour la résolution des équations différentielles par la méthode des résidus, sera traité. On introduira enfin les notions et le sens physique de la fonction de transfert. Chap.1/ 3 AVANT PROPOS (2/2) L’outil mathématique de l’analyse des systèmes traités dans le chapitre précédent servira dans le troisième chapitre à l’analyse des systèmes linéaires types. On insistera surtout sur l’analyse temporelle des systèmes (analyse indicielle et impulsionnelle). L ’analyse fréquentielle, qui est plutôt un approche d ’électroniciens, n ’a pas un grand sen physique et pratique dans les processus énergétiques. En effet les perturbations de débit, température ou de pression varient en pratique plus sous forme d ’un échelon ou d ’une rampe que d ’une sinusoïde. Les systèmes linéaires types les plus importants (premier et deuxième ordre, avec retard pur...) seront traités par des exemples physiques variés (thermique, chimique, mécanique et électrique), des analogies seront à chaque fois soulignées.. Le quatrième chapitre propose la théorie de la stabilité des systèmes ave un approhe géométrique et algébrique. Le dilemme stabilité- précision sera traité sur la base d’un exemple concret de la régulation de la pression dans un réacteur. L’approche perturbation (qui est souvent omise par les étudiants) sera privilégiée car, en régulation, la consigne reste en général constante. Le calcul des erreurs en poursuite et en régulation sera exposé. Concernant la stabilité, une approche académique sera abordée avec une plus grande insistance sur le critère du revers et le sens pratique des marges de stabilité Le chapitre 5 sera consacré à la technologie et le réglage des régulateurs industriels. La constitution des régulateurs, la vérification, le rôle et le domaine d’utilisation des différentes action (P I et D) ainsi que «tout ou rien» seront discutés pratiquement. Un projet d’analyse et de synthèse de la régulation d’un four tubulaire sera traité au sixième chapitre. Pour la synthèse, on mettra en évidence l’influence des actions P, I et D et de «tout ou rien» sur les performances du système, ainsi que celle du retard sur la stabilité. les limites de la régulation PID seront aussi mises en évidence, ce qui nous amènera à discuter sur les notions de la régulation avancée. Cette partie sera évidemment illustrée par un ensemble de travaux dirigés (TD) et pratiques (TP) portant sur la régulation de processus industriels.e La deuxième partie sera consacrée à l’introduction à la commande numérique. Malgré tout le soin apporté à la rédaction, l’auteur est conscient des imperfections qui peuvent encore subsister dans ce polycopié. Aussi, l’auteur est reconnaissant par avance des remarques que pourront lui adresser les lecteurs et les étudiants pour la perfection de ce support de cours. Chap.1/ 4 OBJECTIFS DU COURS Présentation des principes de l’automatique continue (asservissement et régulation) Maîtriser les outils mathématiques pour : l’analyse des systèmes physiques(modélisation, analogie des systèmes physiques) et des systèmes de commande (fonction de transfert, transformée de Laplace , analyse temporelle etc.) Prendre connaissance des pratiques de la régulation industrielle sur des exemples concrets Technologie et réglage des régulateurs Choix et actions des régulateurs etc.. Méthodologie de la réalisation d’un projet d’un système de régulation cahier de charge, identification et synthèse du système de régulation montrer les limites de la régulation classique Introduction à la régulation avancée. Chap.1/ 5 AUTOMATIQUE ? Automatique ? Science traitant de : La modélisation Analyse Commande Supervision des systèmes dynamiques continus et discrets Actuellement automatique discipline transverse Applications : Aéronautique, Automobile, Spatial, Procédés, Économie Sciences de la terre…. Chap.1/ 6 Chap. 1. INTRODUCTION 1.1 Historique et la régulation automatique aujourd’hui Automatisation : Ensemble des procédés visant à réduire ou à supprimer l’intervention humaine dans les processus de production La régulation automatique aujourd’hui : La régulation automatique, actuellement rebaptisée «automatique» est noyée dans dans les techniques modernes de commande- robotique, productique etc.., en raison surtout de l’apparition de l’électronique, puis vers les années 60 du microprocesseurs et donc de l’informatique. Mais il est utile de souligner que les vieilles techniques de régulation classiques restent encore très utilisées dans l'industrie et elles ont encore de beaux jours devant elles car, la théorie en automatique avance bien plus vite que l'application et ça, parce que les moyens informatiques sont plus «performants» que la connaissance du système à traiter c’est à dire le modèle. Il est aussi intéressant de noter qu’aujourd’hui, les mécaniciens souhaitent parrainer l’automatique car la robotique c’est l’automatique disent-ils et les informaticiens ont les mêmes ambitions car l’informatique industrielle est leur apanage. Et l’automatique dans tout ça ? Mais cette question, d’actualité d’ailleurs, est sans doute la conséquence des transformations des sciences de l’ingénieur subies grâce (ou a cause) de l’informatique. Historique : 1840 : Régulateur de Watt (Besoins de l’industrie à vapeur) 1945 : Deuxième guerre mondiale 1960 : Apparition de l’informatique (cosmos, traitement rapide de l’information, possibilité de résolution des systèmes complexes etc..) Importance : Qualité des produits finis, précision des opération , protection de l’environnement, répététivité des opérations etc.. Chap.1/ 7 Les 1er systèmes automatiques Clepsydre (sablier) de Ktesibios (-270 av. J.C) Ktesibios introduit un réservoir supplémentaire dans lequel le volume de liquide reste constant grâce à un flotteur qui ferme l'entrée du réservoir lorsque celui-ci est trop plein : c'est une chasse d'eau moderne. Metier a tisser programmable 1728 :premier par cartons perfores par philippe Falcon Chap.1/ 8 Les 1er systèmes automatiques (suite) L’industrie à Vapeur 1679 : Denis Papin développe la soupape de sécurité 1788 Régulateur de Watt (dit à boule) Réglage de la vitesse des trains à vapeur Chap.1/ 9 EVOLUTION DE L’AUTOMATIQUE AEROSPATIALE Robotisation, IA INFORMATISATION Régulateurs numériques 2ème GUERRE MONDIALE Les systèmes suiveurs Electronique, missile MACHINE A VAPEUR 1er régulateur de Watt Mécanisation, procédé CYBERNETIQUE, BIONIQUE Etude des processus de commande Analogie monde animal technologie Chap.1/ 10 LES SYSTEMES AUTOMATISES AUJOURD’HUI Maintenance Set points FTC Level Technical specification DIAGNOSTIC Control signals List of faults Observations Control SENSORS INPUT OUTPUT Chap.1/ 11 1.2 DÉFINITIONS Système : Ensemble organisé dans un but fixé ou ensemble de processus physiques-chimiques en évolution et de procédés de réalisation de ces procédés. Sortie Entrée SYSTEME Petits et grands systèmes Signal Grandeur physique générée par un appareil ou traduite par un Signal d’entrée capteur Signal de sortie Commandable Non commandable Observable Non observable Chap.1/ 12 1.3. SYSTÈMES DE COMMANDE 1.3.1. Composition d ’un système de commande PERTURBATIONS ORDRES SYSTÉME DE COMMANDE ACTION DE COMMANDE SYSTÉME À COMMANDER PARAMETRE A COMMANDER 1.3.2 Paramètres d’un système de commande Consigne Action de commande Perturbations Paramètre à commander Chap.1/ 13 1.3.3 EXEMPLES DE SYSTÈMES DE COMMANDE 1. Réglage de la vitesse d’une voiture Maintenir vitesse constante Etat de la route Action de commande (Débit d ’essence) SYSTEME DE REGLAGE DE VITESSE VOITURE Vitesse de la voiture 2. Réglage de la température d ’un four Produit à chauffer QP Produit chauffé Ts QG Gaz combustible Maintenir température constante VANNE DE REGLAGE Temp. Extérieure Débit produit à chauffer Action de commande (débit du gaz QG combustible) FOUR Paramètre à Ts régler Chap.1/ 14 1.4 CONCEPTION D’UN SYSTEME DE COMMANDE 1.4.1 système à boucle ouverte (open loop system) Croisons les doigts pour que ça marche puisque je n’ai aucune information sur la sortie, je suis aveugle . Ordre (T=37°c) Z (débit d’entrée) Action de commande (débit du gaz combustible) SYSTÉME DE REGLAGE Ts FOUR Pourvu que que la vitesse ne soit pas limitée car la voiture n ’est pas équipée d ’indicateur de vitesse Etat de la route Ordres vitesse limitée SYSTÉME DE REGLAGE Avantages et inconvénients : Rapide, stable, simple mais pas précis débit d’essence VOITURE Vitesse Chap.1/ 15 1.4.2 Système en boucle fermée Je compare ce que je veux et ce que je reçois et j’agis en conséquence sur la vanne de réglage. Je corrige jusqu’à ce que Ts=37°c Objectifs (T=37°c) VANNE DE REGLAGE Consigne Grandeur réelle Action de commande (débit du gaz combustible) Z (débit d’entrée) FOUR Ts CAPTEUR DE TEMPERATURE Je regarde la vitesse indiquée par le compteur et j accélère ou décélère en agissant sur la pédale pour maintenir la vitesse toujours égale a celle fixée. débit d’essence PEDALE DE VITESSE Consigne: V=cste Vitesse VOITURE CAPTEUR DE VITESSE Avantages et inconvénients : Précis et régulé mais complexe, risque d’instabilité agit sur l’erreur de réglage Chap.1/ 16 1.4.3 Automatismes à boucle combinée Calculateur Détermination du débit de gaz nécessaire pour assurer la valeur de température désirée :j’anticipe Objectifs (T=37°c) Z (débit d’entrée) VANNE DE REGLAGE Action de commande (débit du gaz combustible) FOUR Ts Consigne CAPTEUR DE TEMPERATURE Chap.1/ 17 Avantages et inconvénients : Rapide et précis, anticipe les perturbations mais très complexe Et nécessite des calculateurs des modèles 1.5 FONCTIONNEMENT D ’UN SYSTEME DE CONTRÔLE 1.5.1 BUT D ’UN SYSTÈME DE CONTRÔLE : Atteindre le but (consigne) quelque soit l ’effet des perturbations extérieures). 1.5.2 SYSTÈME ASSERVI ET LE COMPORTEMENT HUMAIN Perturbations Objectif Uc REFLEXION Ur ACTION SYSTEME PHYSIQUE Réalité OBSERVATION Chap.1/ 18 1.5.3 Schéma fonctionnel d’un SRA Z chaîne de puissance C + E REGULATEUR M (-) U PROCESS Y chaîne de contre réaction (de faible puissance) CAPTEUR C : Consigne (set value), E : écart de régulation (departure, error signal) U : signal de commande (control signal) Y : variable de sortie ou variable à régler ou mesure (mesured value) Z : perturbation (disturbance) M : grandeur physique à la sortie du capteur (courant, pression, ...) Chap.1/ 19 1.5.4. Éléments d’une régulation analogique Z C + M E REGULATEUR ANALOGIQUE U PROCESS Y (-) 4-20 mA 0,2-1 bar 0-10v TRANSMETTEUR CAPTEUR On peut aussi avoir: CEP : Convertisseur Electro-pneumatique CPE : Convertisseur Pneumo-électrique Chap.1/ 20 5.5. Eléments d’une régulation numériq C + M E Un CNA Ua PROCESS Y (-) CAN CAPTEUR TRANSMETTEUR CNA : Convertisseur Numérique Analogique CAN : Convertisseur Analogique Numérique Chap.1/ 21 1.5.6. ASSERVISSEMENT ET RÉGULATION Asservissement: Un système asservi est un système dit suiveur , c’est la consigne qui varie. Exemple : une machine outil qui doit usiner une pièce selon un profil donné, un missile qui poursuit une cible, pilotage automatique d ’un avion. Régulation : Dans ce cas, la consigne est fixée et le système doit compenser l’effet des perturbations, à titre d’exemple , le réglage de la température dans un four, de la pression dans un réacteur, le niveau d’eau dans un réservoir. Chap.1/ 22 EXEMPLES DE SYSTEMES DE COMMANDE Prof. B. Ould Bouamama Polytech’Lille « Automatique continue et numérique » Chap.1/ 23 Asservissement de la position d’une antenne Z (perturbation, vent) E=Pd-Pm + Position désirée Pd Contrôleur Actionneur U Moteur Couple Antenne Position Antenne P Pm Capteur de position ANTENNE_DEMO.lnk (Ligne de commande) Régulation de niveau Z (perturbation, Fuite d’eau) E=hc-hr + Niveau Désiré hc Contrôleur Actionneur U Moteur+pompe Qp Réservoir Niveau h hr NIVEAU_DEMO.lnk (Ligne de commande) Capteur de niveau 1.6. EXEMPLES DE SYSTEMES AUTOMATIQUES A) Suivi de la trajectoire d’une cible C + E M C + Y U (-) E Contrôleur U Gouvernail Ur Avion y M Gyroscope Chap.1/ 25 B) Régulation de la température d’un four CONSIGNE - THERMOCOUPLE + Tc (Ts-Tc) Ts Pétrole brut Pétrole chauffé CORRECTEUR U Vanne de réglage Tc + T Contrôleur U Vanne Ur Gaz combustible Four Ts - Thermocouple Chap.1/ 26 C) RÉGULATION DE LA TEMPÉRATURE D’UN ÉCHANGEUR THERMIQUE Uc 120 160 180 200 Ur Régulateur Ts Tc Vapeur Thermocouple Produit chauffé condensât Tc + T Régulateur Produit à chauffer Uc Vanne Ur Z Echangeur Ts - Thermocouple Chap.1/ 27 Systéme de régulation : PID u1 Jus de fruit concentré Qc Qjc(t) Eau V1 V2 FRC u2 C2 Qe(t) 1 AIC C1 M1 1 FT M2 1 AT Qs(t), Cs(t) 1 Mélange de concentration Cs et de Débit Qs But ; Réguler la concentration Cs(t) du produit et du débit de sortie Qs(t) Paramètres à régler : Qs(t), Cs(t), Paramètres réglant : Qe(t) et Qjc(t) Chap.1/ 28 Systéme de régulation : Bloc Diagramme PROCESS REGULATEUR (-) M1 C1 FRC Vanne1+ conduite Qe Mélangeur11 Mélangeur12 Qse + Qs + Cse Qsc Mélangeur21 QC C2 AIC (-) Vanne2+ conduite + Mélangeur22 - Cs M2 Chap.1/ 29 Systéme de régulation : Schéma fonctionnel REGULATEUR (-) M1 C1 FRC PROCESS Qe W11(p) W12(p) Qse + Qs + Cse Qsc W21(p) C2 AIC (-) QC + W22(p) - Cs M2 Chap.1/ 30 1.7 SYMBOLISATION DES BOUCLES DE REGULATION (P&ID) TRC 1 Vapeur Produit chauffé TI 2 FI 9 Echangeur de chaleur TR 3 condensât Exemple : TRC Temperature Registered and Controlled Produit à chauffer PHS 5 Piping and Instrumentation Diagram Plan des Instruments Détaillés ORDRE DES LETTRES DANS UNE DESCRIPTION 1 2 3 Grandeur mesurée et/ou Fonction des éléments de la boucle Régulation ou contrôlée signalisation T Température I Indication C Controlé P Pression R Enregistrement S Sécurité F Débit L Bas (Low) A Composition H Haut (High) d'un produit J Puissance D Différence I Courant Z Position R Radioactivité E tension V Viscosité M Humidité W Poid L Niveau Chap.1/ 31 1.8. NIVEAUX D’UN SYSTEME AUTOMATISE PROCESS REGULATION LOCALE COMMANDE AVANCEE OPTIMISATION STATIQUE OPTIMISATION ECONOMIQUE SALLE DE CONTROLE OBJECTIFS Chap.1/ 32 1.9 AUTOMATISATION & L’ENVIRONNEMENT K d 2 .H 2 S SO 2 K 1 .5 S 2 2 H 2 O Q i H2S SO2 SO2 Réacteur catalytique Réacteur catalytique S S O2 SO 2 ,COS , H 2 S A Objectif S min . H2S SO2 C a lc u l c o n s ig n e FR H2S SO2 réel H2S SO2 Ro G az a ir o p tim a l C a lc u l ( F a , F G ,% H 2 S ,% S O 2 . . . ) te l que m ax. R Chap.1/ 33 1.10 AUTOMATISATION INTÉGRÉE Niveau 3 Supervision Aide à la conduite planification, diagnostic interface homme machine Niveau 2 Monitoring Suivi de l’état du processus Visualisation Niveau 1 Regulation Commande logique, régulation Optimisation Niveau 0 Décisions Entrée Instrumentation Choix et implémentation des capteurs et actionneurs Observations Sortie Chap.1/ 34 Chapitre 2 DESCRIPTION MATHEMATIQUE DES SYSTEMES PHYSIQUES Objectifs du chapitre : Maîtriser : L’outil mathématique pour l’analyse des systèmes (transformées de Laplace), la méthodologie de la modélisation comportementale de la dynamique des systèmes physiques étayée par un ensemble d’exemples industriels, Manipulation des fonction de transfert des systèmes Chap.2/ 35 2.1. Méthodologie de l’analyse des systèmes 2.1.1 Analyse et synthèse C + E U CORRECTEUR M PROCESS (-) M But de l ’automaticien Concevoir un SRA précis, stable et rapide Comment ? Analyse (comprendre le process) Synthèse (choisir un « bon » correcteur) Chap.2/ 36 2.1.2. Analyse et synthèse des systèmes CAHIER DE CHARGE E/S Déf. du process et des objectifs Lois physiques, bilan, hypothèses ANALYSE connaissance Planification des expériences Acquisition de données Connaissance à priori Choix de la structure du modèle Estimation des paramètres Modèle de conduite Oui adéq. Synthèse de régulation SYNTHESE commande Modèle de connaissance Simulation Choix du critère d’identité Non Logistique actionneurs, régulateurs, transmetteurs... Validation sur site Réalisation définitive Chap.2/ 37 2.1.3 Propriétés des systèmes linéaires Définitions Un système physique est dit linéaire si son comportement est décrit par des équations différentielles linéaires à coefficients constants. x (cause) SYSTEME y (effet) d m y( t ) d 2 y( t ) d 2 x( t ) d n x( t ) dy ( t ) dx ( t ) a0 x( t ) a1 a2 ... a n b0 y ( t ) b1 b2 ...bm dt dt dt 2 dt m dt 2 dt n Conditions initiales CI : t 0 , x ( t 0 ) x 0 , y ( t 0 ) y 0 ai et bi sont des constantes. E R C Us(t) Exemple dU s( t ) E(t ) dt Conditions initiales CI : t 0 , E ( t 0 ) E 0 , U s( t 0 ) U s0 U s( t ) RC Chap.2/ 38 2.1.3 Propriétés des systèmes linéaires 1. Propriété de superposition Si x1 donne effet à y1, x2 à y2 alors x1 + x2 donne effet à y1 + y2 2. Propriété de proportionnalité Si x1 donne effet à y1, alors Kx1 donne effet à K y1 D’une façon générale : si les entrées x1 (t) et x2 (t) provoquent l’évolution des sorties y1(t) et y2 (t) alors K 1x1 (t) + K2 x2 (t) provoque la sortie y(t) = K1 y1 (t) + K2 y2 (t) Chap.2/ 39 2.3 Modélisation des systèmes physiques 2.3.1 Définitions Modélisation ? : Ensemble des procédures permettant d’obtenir un modèle Modéliser un système = capable de prédire le comportement du système Subjectivisme de la modélisation : modèle = intersection du système et du modélisateur Modèle jamais "exact"? 2.3.2 Importance Outil d'aide à la décision., Support de la simulation, Représente 50 % d’un projet de commande Perspectives grâce à l'informatisation 2.3.3 Un modèle pourquoi faire ? Concevoir, Comprendre, Prévoir, Commander (décider). Chap.2/ 40 2.3.4 Un modèle comment faire ? 1. MODELE DE CONNAISSANCE Obtenu sur la base des lois physiques, économiques etc.. Difficultés de décrire fidèlement les phénomènes complexes; Hypothèses simplificatrices; Dilemme- précision-simplicité Un modèle simple est faux, un modèle compliqué est inutilisable. Les paramètres ont un sens physique donc modèle commode pour l'analyse. 2. MODELE DE REPRESENTATION Système "boite noire"; Expérience active (système dérangé) ou passive (aléatoire); Etape qualitative (connaissances a priori) et quantitative; Paramètres du modèle n'ont aucun sens physique; Modèle de conduite (modèle E/S) utile pour la commande; Complément du modèle de représentation. Chap.2/ 41 2.3.5. Classification des modèles 1. selon le caractère des régimes de fonctionnement statique et dynamique 2. selon la description mathématique linéaire, non linéaire 3. selon les propriétés dynamiques à paramètres localisés, à paramètres distribués 4. selon l’évolution des paramètres : stochastique , déterministe 5. selon le nombre de variables : monovariable (SISO) , multivariable (MIMO) Chap.2/ 42 2.3.6 Différentes étapes de la modélisation PROCESSUS PHYSIQUE Etablissement du schéma de principe Représentation par bloc Acquisition de données Mise en équation Calcul erreur de modélisation Amélioration du modèle NON Modèle adéquat ? OUI SIMULATION, MONITORING, CONTROL... Chap.2/ 43 2.3.7. Analogie des grandeurs physiques : Notion des bond graphs Founder of BG : Henry Paynter (MIT Boston) The Bond graph tool was first developed since 1961 at MIT, Boston, USA by Paynter Symbolism and rules development : Karnopp (university of california), Rosenberg (Michigan university), Jean Thoma (Waterloo) Introduced in Europe only since 1971. Netherlands and France ( Alsthom) Teaching in Europe France : Univ LyonI, INSA LYON, EC Lille, ESE Rennes, Univ. Mulhouse, Polytech’Lille University of London University of Enshede (The Netherlands) Chap.2/ 44 Notion des bond graphs : Hystorique Teaching in Canada Univ. of Waterloo (Jean THOMA) Teaching in USA MIT, Michigan university Industrial application is used today by many industries for modeling analysis and control. Companies using this tool Automobile company : PSA, Renault Nuclear company : EDF, CEA, GEC Alsthom Electronic :Thomson, Aerospace company .... Chap.2/ 45 Bond graph: définition 1 2 REPRESENTATION e f P = e.f BOND GRAPH MODELING IS THE REPRESENTATION (BY A BOND) OF POWER FLOWS AS PRODUCTS OF EFFORTS AND FLOWS WITH ELEMENTS ACTING BETWEEN THESE VARIABLES AND JUNCTION STRUCTURES TO PUT THE SYSTEM TOGETHER. Chap.2/ 46 Bond graph : variables de puissance et d’énergie (1/1) VARIABLES DE PUISSANCE Effort e(t) Variables intensives: tension, température, pression Flow f(t) : débit massique, courant, flux d’entropie, … e (t ) Puissance échangée P (t ) e (t ). f (t ) f (t ) VARIABLES D’ENERGIE Moment ou impulsion p(t), (flux magnétique, integral de la pression, moment angulaire, … ) t p (t ) e ( ) d p (t 0 ) t0 Déplacement gnéralisé q(t), Variables extensives (masse, volume, charge … ) q (t ) t f ( ) d q (t 0 ) t0 Chap.2/ 47 VARIABLES DE PUISSANCE ET D’ENERGIE DOMAINE EFFORT (e) Electrique Mecanique Mecanique (translation) (rotation) Hydraulique Chimique Thermique FLOW (f) TENSION COURANT u [V] i [A] FORCE VITESSE F [N] v [m/s] COUPLE VITESSE ANGULAIRE [Nm] [rad/s] PRESSION DEBIT VOLUMIQUE P [pa] V m 3 / s POTENTIEL CHIMIQUE [J/mole] TEMPERATURE T [K] FLUX MOLAIRE n [mole/s] FLUX D’ENTROPIE S [W/K] Chap.2/ 48 Bond graph : Eléments physiques de base Eléments de base R (Dissipation d ’énergie), C (Stockage d ’énergie), I (Inertie). Eléments de jonction « 0 » Même effort, « 1 » même flux, TF (Transformation d ’énergie). Eléments actifs Source d ’effort (Se) Ex. Générateur de tension, pompe, Source de flux (Sf) Ex. Générateur de courant. Chap.2/ 49 1. R element (resistor, hydraulic restriction, friction losses …) ELECTRICAL v1 v2 p1 i v1 v 2 U Ri R THERMAL HYDRAULIC Constitutive equation : V p2 p1 p 2 R V p1 p 2 R .V 2 For modeling any physical e f T2 T1 T 2 R Q phenomenon characterized by an effort-flow relation ship Representation T1 Q R e, f 0 R:R1 Chap.2/ 50 2. BUFFERS element A) C element (capacitance) ELECTRIC i1 Examples: tank, capacitor, compressibility HYDRAULIC V1 i2 A: section h: level : density C= g/A i C p h i i1 i2 dq d (C .U ) dt dt THERMAL Q 2 m c T V2 d ( Ah ) V V1 V2 , dt 1 p V dt C U 1 idt C C Constitutive equation p gh (For modeling any physical phenomenon characterized by a relation ship between effort and flow Representation Q1 e f d (mcT ) Q Q1 Q 2 . dt 1 T Q dt C C e, fdt 0 C:C1 Chap.2/ 51 B) I element (Inertance) Examples: Inductance, mass, inertia HYDRAULIC ELECTRIC MECHANICAL l F V1 i i I 1 L V2 p1 Udt p2 V lA dV F m dv p p 2 A A dt A dt A V pdt l Constitutive equation (For modeling any physical phenomenon characterized by a relation ship between flow and effort Representation e f I:I1 F m V dV . dt 1 Fdt m I f , edt 0 Chap.2/ 52 2.3.8. Exemple de modélisation par Bond graph Système électrique Système hydraulique R i1 Q1 R i2 i C P1 U1 Pompe UC Générateur de tension PC C Q2 C R e Représentation Se e2 e2 e1 1 0 f1 Equation de l ’élément C f eC C e , fdt f1 0 Sf e P U f Q i f2 PC U C 1 C ( f1 f 2 ) dt Chap.2/ 53 LES LOGICIELS DE MODELISATION et de SIMULATION MATLAB-SIMULINK TWENTE SIM, SYMBOLS Chap.2/ 54 2.3.9 Lois fondamentales de la modélisation des processus Loi de continuité générale (Débit massique entrant dans le système) - (Débit massique sortant du système) = variation de la masse dans le système Balance énergétique (Puissance totale reçue par le système de l’extérieur) + (Flux d’enthalpie transportée par le mélange à l’entrée) - (Flux d’enthalpie transportée par le mélange à la sortie) = variation de l’énergie interne s’accumulant dans le système Chap.2/ 55 2.4 EXEMPLES DE MODÈLES MATHÉMATIQUES a. Modèle d’un circuit électrique RLC L R Ve Ve C Vs Vs CIRCUIT RLC Ve VR VL VS VR Ri VL L. di dt 1t VS . idt C0 d 2VS dVS Ve RC. LC. 2 VS dt dt Chap.2/ 56 b. Modèle d’un thermocouple Un thermocouple ? E Ts : Temp. de la soudure du thermocouple [°]; Te : Temp. du milieu à mesurer; E : fcem de sortie = K.Ts [Volt]; K=cste.; M : masse de la soudure [kg]; S : Surface d'échange de chaleur [m²]; [j/(kg.°K)]; C : Capacité calorifique. de la soudure Coef. de transfert de chaleur [j/(sec.m².°K)]; Ts Te Te(t) [°c] E(t) [mV] Thermocouple S TeTs MC. dTs dt E n tenant com pte que dans un therm oco uple E K T s , on obtient : Ko . MC dE E Te ( t ) . S dt Chap.2/ 57 c. Modèle d’une vanne de réglage 2. schéma bloc 1. Schéma de principe Pe régulateur Pe (bar) 0,2 -1 bar 3 - 15 psi Pe Vanne 1 Légende : Pe : pression provenant du régulateur [0,2 bar à 1bar] (entrée) X : déplacement de la tige 3 [0 à 6 mm](sortie) f : frottement [kgf.sec/m], m : masse de la partie en mouvement [kg] 1 : Membrane en caoutchouc de section s [m²] 2 : ressort de raideur Ke [kgf/m] 3 : Tige , 4 : garniture d'étanchéité, 5 : siège, 6 :clapet 7 : conduite 2 6 3 X (mm) X 4 5 3. Modèle Bilan des forces (Newton) 7 DEMO 2 d X dX m 2 kX f Pes dt dt Chap.2/ 58 2.4.1 vérification (calage) du modèle obtenu Nous ne pouv ons pas afficher l’image. Explosion nucléaire Poste de commande Données expérimentales ERREUR DE MODÉLISATION Données du modèle ad . ? Modèle de la réaction nucléaire X(i) Processus Modèle Feed back pour la correction du modèle YE (i) Ym (i) + max - il faut que l’erreur soit minimale dans les systèmes industriels max Ym max YE max .100% admissible YE max Chap.2/ 59 2.5 Rappel sur les transformées de Laplace 2.5.1 Définition Soit une fonction f(t) continue et nulle pour t<0; f(t) t f (t )e dt et bornée : t Elle admet alors une TRANSFORMEE DE LAPLACE L f (t ) F ( p ) f (t )e pt dt 0 où : p = + j , : On lit : image de f(t) est F(p) f(t) F(p) > 0 variable complexe. La transformée inverse ou originale se déduit : f ( t ) L1 F ( p ) Où un domaine assurant la convergence de l'intégrale. f(t) sera calculée par la formule des résidus. Chap.2/ 60 2.5.2 Propriétés des transformées de Laplace 6 Linéarité 1 Théorème de la valeur initiale : L A. f1 ( t ) Bf 2 ( t ) A. F1 ( p ) BF 2 ( p ) Lim P . F ( p ) Lim f ( t ) f ( 0 ) P t0 2 Théorème de la valeur finale : Lim P . F ( p ) Lim f ( t ) f ( ) P0 L f 7 Dérivation (n) ( t ) p n F ( p ) p n 1 f ( 0 ) p n 2 f 3 Théorème du retard temporel : Si conditions initiales : L f ( t ) e p F ( p ) 0 (0) (t ) P n F ( p ) exemple de calcul : F(t) = cste. F(p) = ? L f ( ) y (t )d F ( p )Y ( p ) (n) ( n 1) t F ( p) L f ( ) d p 0 L e t . f (t ) F ( p ) 5 Théorème de convolution : L f ( 0 ).... f 8 Intégration 4 Théorème de l’avance : t (1) F( p ) cste .e 0 pt 1 1 pt dt cste . .e cste . p p 0 Chap.2/ 61 2.5.3. Transformées de Laplace des fonctions usuelles Image : F(p) Originale : F(t) Cos(at) p p2 a2 1 2 p p 1 2 ÷ a ÷ 1 ap p (1 p ) 1 (1 T1 p )( 1 T2 p ) 1-cos(at) a e t T 1 t Tt e 1 e T2 ÷ ÷ t t 1 T 1 T .e T .e T2 ÷ 1 2 ÷ ( T2 T1 ) 1 1 z .a .t z 2 .t ) e a 1 sin( 1 1 z2 1 T1 T2 1 z2 z avec : arctg 1 1 z .a .t z 2 .t ) e sin( a 1 1 z2 1 p (1 T1 p )(1 T2 p ) 1 1 2 , avec z p p p (1 2 z ÷ a a 1 1 2 , avec z p p 1 2z ÷ a a Chap.2/ 62 Transformées de Laplace des fonctions usuelles (suite) Originale : F(t) 1 t e at 1 e t T n 1 t T t e T n ( n 1)! t T t T ( e 1) T t ) Tt ( T 1 e T t t T ( e T 1) T Sin(at) Image : F(p) 1 p 1 p2 1 pa 1 p (1 Tp ) 1 (1 Tp) n 1 p 2 (1 Tp ) 1 p (1 Tp ) 2 1 p 2 (1 Tp ) a p2 a2 Chap.2/ 63 2.6 Fonction de transfert 2.6.1. Définition x (cause) y (effet) SYSTEME d m y (t ) dy ( t ) d 2 y (t ) d n x (t ) dx ( t ) d 2 x (t ) a2 ... a n b0 y ( t ) b1 b2 ... bm a 0 x ( t ) a1 2 n 2 dt dt dt m dt dt dt L( x(t )) X ( p ) L( y (t ))Y ( p ) dx(t ) L PX ( p) dt . et . dx (t ) P n X ( p) L n dt n dy (t ) L PY ( p) dt . . dy n (t ) P nY ( p ) L n dt X ( p ) a 0 a1 p ........ a n p n Y ( p ) b0 b1 p ........ bm p m Y( p ) a0 a1 p a 2 p 2 ..... a n p n W( p ) X ( p ) b0 b1 p b2 p 2 .....bm p m Chap.2/ 64 2.6.2 Zéros et pôles N ( p i ) 0 p i ( i 1, 2 ... n ) N ( p) W ( p) D( p) D ( p i ) 0 p i ( i 1, 2 ... m ) Pi Zéros Pi Pôles Sortie d ’un système x (p) y (p) SYSTEME Y ( p) W ( p) X ( p) Y ( p ) W ( p ). X ( p ) y ( t ) L 1 W ( p ). X ( p ) Chap.2/ 65 R E Us(t) Exemple C dUs(t) E(t) dt Conditions initiales CI : t 0, E(t0) 0, Us(t0) 0 Us(t) RC L Us ( t ) Us ( p ) dUs ( t ) L p .Us ( p ) dt L E ( t ) E ( p ) Us ( p ) RCpUs ( p ) E ( p ) W ( p) Us ( p ) E ( p ). Us ( p ) 1 E ( p ) RCp 1 1 1 Us ( t L1 E ( p ). RCp 1 RCp 1 Chap.2/ 66 2.6.3 Connexion des fonctions de transfert a. Série Y1(p) X(p) W1(p) Y2(p) Y(p) W2(p) X(p) Weq(p) Wn(p) Y(p) Y ( p) W eq ( p ) W1 ( p ) .W 2 ( p ).... Wn ( p ) X ( p) n Wi ( p ) i 1 Chap.2/ 67 c. En parallèle W1(p) X(p) W2(p) Y1(p) Y2(p) + X(p) Y(p) + + Wn(p) + Yn(p) Weq(p) Y(p) n Y ( p) W eq ( p ) W1 ( p ) W 2 ( p )... Wn ( p ) Wi ( p ) X ( p) i 1 Chap.2/ 68 b. En contre réaction X(p) E + Wou(p) Y(p) (sign) M X(p) Wcr(p) Weq(p) Y(p) W eq ( p ) W ou ( p ) si la contre réaction 0 1W ou ( p ).W cr ( p ) W eq ( p ) W ou ( p ) si la contre réaction 0 1W ou ( p ).W cr ( p ) Chap.2/ 69 Chap.3: DYNAMIQUE DES SYSTEMES LINEAIRES Objectifs du chapitre : Comment analyser la dynamique d’un système Calculer la réponse temporelle d’un système Analyser d’un point de vue temporel et fréquentiel un système Définir les paramètres de performance d’un système Étudier les systèmes linéaires types avec des exemples réels Évaluer sans calcul fastidieux les performances fréquentielles d’un système Chap.3/ 70 ANALYSE DES SYSTÈMES DYNAMIQUES (1/2) Objectifs et importance de l’analyse des systèmes X(p) y (p) W(p) Comparer les performances des systèmes, C’est aussi l’étape préliminaire avant la réalisation d’un système de commande. Cette étape représente 50% d’un projet de réalisation d’un système de commande Chap.3/ 71 ANALYSE DES SYSTÈMES DYNAMIQUES (2/2) Types d’analyse Analyse de le la dynamique des systèmes Analyse temporelle Analyse fréquentielle Analyse temporelle : l’entrée est un signal qui varie en fonction du temps, permet d’évaluer les performances en rapidité, précision, stabilité. Exemple : tester les performances d’un missile. Analyse fréquentielle : l’entrée est un signal qui varie en fonction de la fréquence permet d’évaluer les performances filtrage, bande passante, déphasage etc... C’est une approche souvent d’un électronicien. Exemple : tester des enceintes acoustiques. Chap.3/ 72 SIGNAUX DE TEST TYPES Critère du choix des signaux de test Simples Définis Capable d’exciter un régime d’exploitation le plus difficile 3.2.2. Classification des signaux de test types SIGNAUX DE TEST TYPES Signaux sinusoïdaux (analyse fréquentielle) Signaux non sinusoïdaux (analyse temporelle) signal de saut Signal impulsionnel Signal de rampe Signal sinusoïdal Chap.3/ 73 A. Signal de saut Définition ( t ) e 0 pour t 0 ( t ) 0 pour t 0 e0 Echelon unitaire, si e0 =1. t Transformée de Laplace 0 0 L e ( t ) ( t ) e xp ( pt ) dt e0 e xp ( pt ) dt e0 p Réalisation physique Ouverture d’un interrupteur Réponse indicielle e h ( t ) L1 0 .W ( p ) p Chap.3/ 74 B. Signal impulsionnel (fonction de Dirac) Définition (t) est la fonction de DIRAC ou impulsion unitaire (t) t t t0 ( t ) 0 pour t t 0 ( t ) pour t t 0 Transformée de Laplace l’impulsion de Dirac est la dérivée de l’échelon (t ) d (t ) L ( t ) p ( p ) 1 dt Réalisation physique Fermeture et ouverture brève d’un interrupteur Réponse ipulsionnelle S ( t ) L1 1 .W ( p ) W ( t ) Chap.3/ 75 C. Signal de rampe Définition : e(t) e ( t ) tg . t pour t t 0 e ( t ) 0 pour t t 0 tg t0 Si t 0 0 L e ( t ) tg t . exp ( pt )dt tg . Transformée de Laplace : 0 1 p2 e(t) Réalisation physique : e(t) t t Domaine d’utilisation Réponse à une rampe 1 S ( t ) L 1 tg 2 W ( p ) p Chap.3/ 76 D. Signal sinusoïdal Définition. e(t) e ( t ) e0 sin( t ) t Transformée de Laplace : e 0 : l ' amplitude : la pulsation ou fréquence angulaire ( rad / s ) / 2 : la fréquence ( hertz ) : phase ( radian ) Si 0 L e ( t ) L e0 sin( t ) e0 p2 2 Réalisation physique : Générateur de signaux Domaine d’utilisation : Réponse à une sinusoïde S ( t ) L1 2 p 2 W ( p ) Chap.3/ 77 CALCUL DE LA RÉPONSE D’UN SYSTÈME Principe X(p) W(p) y (p) Y ( t ) L1 Y ( p ) L1 X ( p ).W ( p ) Comment calculer l ’originale ? Méthodes pour déterminer l’originale d’une fonction Méthode des résidus Application des transformées de Laplace Chap.3/ 78 A) Méthode des résidus Principe N ( p) F ( p) D ( p ) 0 ( Pi ( i 1, 2 ... n ) D ( p) n Y ( t ) Res Y ( p ) i1 Cas pôles simple n N ( p ) pk t L F ( p ) F (t ) e ' ( ) D P ik k 1 D ( p ) a0 p p1 .... p p k ... p p n n F (t ) Lim .Y ( p ).( p pi ).e pi .t i 1 p pi Cas pôles multiples D ( p ) a0 p p1 m1 ... p p k mk ... p p m mn F (t ) H kj n mk k 1 k 1 H kj t mk j e pk t j 1 1 d j 1 ! m k j ! dp j 1 p p k m k N ( p ) D ( p ) p p k Chap.3/ 79 B) Application : Equations différentielles par la méthodes de résidus R Ve i L C soit R 2, C 1Farad, L 1 Henry 1. d 2VS (t ) dVS (t ) Ve (t ) RC. LC. Vs (t ) 2 dt dt Vs V e (t ) 2 . dV S dt (t ) d 2V S ( t ) dt 2 V S ( t ), On passe à la transformée de Laplace pour chaque variable L Ve ( t ) Ve ( p ) L Vs ( t ) Vs ( p ) dVs ( t ) L p .Vs ( p ) dt d 2 Vs ( t ) 2 p .Vs ( p ) L 2 dt Chap.3/ 80 B) Application : Equations différentielles par la méthodes de résidus 2. On remplace les transformées de Laplace dans l’équation différentielle temporelle : V e ( p ) p 2 Vs ( p ) 2 pVs ( p ) V s ( p ) 3. On exprime (la sortie) Vs(p) en fonction de l’entrée Vs ( p ) p 2 2 p 1 Ve ( p ) Vs ( p ) Ve ( p ) p 2 2 p 1 4. On fixe une entrée (exemple Ve(t) = 5V , donc Ve(p) = 5/p ) Vs ( p ) 5. On détermine les pôles 5 p . p 2 2 p 1 p p 2 2 p 1 0 P 1 0 , P 2 P3 1 Chap.3/ 81 B) Application : Equations différentielles par la méthodes de résidus 6. on applique la formule des résidus : A. Pour le pôle simple : 5. p 0 .t e p 0 p p 1 2 Vs 1 ( t ) Lim 5. Solution homogène B. Pour le pôle double 1 Vs 2 ( t ) ( 2 1 )! d 2 1 Lim p 1 dp 2 1 7. Solution générale 5 p 1 2 p p 1 2 e pt 5 e t t 1 Solution particulière Vs(t ) Vs1 (t ) Vs2 (t ) 5 et t 1 5 Chap.3/ 82 Etude fréquentielle d’un système Principe x ( t ) x 0 sin( t ) SYSTEME y(t) = ? Y ( t ) L 1 Y ( p ) L 1 X ( p ).W ( p ) L 1 x 0 . 2 . W ( p ) Re s . X ( p ).W ( p ) 2 p poles de X ( p ) et W ( p ) Ce qui nous intéresse dans une étude fréquentielle, c’est le régime permanent c’est à dire la composante pour les pôles de X(p), c’est à dire p 2 2 0 p1 j et p 2 j y( t ) x0 . A( ).sin[ t ( )] Conclusion Si on applique à un système linéaire de fonction de transfert W(p) un signal d’entrée x0 sinusoïdal d’amplitude et de pulsation , alors on obtient à la sortie un signal aussi sinusoïdal mais déphasé de ( ) et d’amplitude A(). Chap.3/ 83 Caractéristiques fréquentielles naturelles 1. Caractéristique Amplitude Fréquence (CAF) A() 2. Caractéristique Phase - Fréquence (CPF) () : 3. Lieu de Nyquist CAPF : W(j) Calcul des caractéristiques A ( ) W ( j ) Re( ) j Im( ) Re( ) 2 Im( ) 2 Im( ) ( ) arctg Re( ) Chap.3/ 84 Exemple de calcul du lieu de transfert W ( p) 1 W ( j ) j 1 p 0 j. 1 Re ( ) 0 . Im( ) A ( ) Re ( ) 2 Im( ) 2 1 1 Im( ) 1 ( ) arctg arctg 0 . ) 2 Re ( ) Lieu de Nyquist Im( 0 A( ) Re( 2 Chap.3/ 85 Caractéristiques fréquentielles logarithmiques 1. DIAGRAMME DE BODE : Ensemble des caractéristiques amplitude et phase en fonction de la fréquence construites sur l’échelle logarithmique. Courbe de gain : Phase L ( ) 20 . log A ( ) ( en décibel ) ( ) ( en degré ) Bel ? : On appelle niveau de pression acoustique d’une onde sonore sinusoïdale, la grandeur proportionnelle au logarithme décimal du rapport de la pression effective Pef de cette onde au seuil d’audibilité P0 pour une fréquence donnée de l’onde. 2. DIAGRAMME DE BLACK (LIEU DE NICHOLS) Abscisses : phase en degrés ordonnées le module exprimé en dB Chap.3/ 86 Tracer les courbes par logiciel Matlab Nyquist Diagram 1 0.8 0.6 0.4 Imaginary Axis N=[1]; D=[3 2 1] nyquist(N,D) 0.2 0 System: sys Real: 0.907 Imag: -0.519 Frequency (rad/s): 0.238 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.5 0 0.5 1 Real Axis Nichols Chart 10 0 -10 Open-Loop Gain (dB) N=[1]; D=[3 2 1] nichols(N,D) -20 -30 -40 -50 -60 -70 -180 -135 -90 -45 Open-Loop Phase (deg) 0 45 Chap.3/ 87 Tracer les courbes par logiciel Matlab Matlab Bode Diagram 10 Magnitude (dB) 0 System: sys Frequency (rad/s): 0.146 Magnitude (dB): 0.172 -10 -20 -30 -40 -50 0 Phase (deg) N=[1]; D=[3 2 1] bode(N,D) -45 System: sys Frequency (rad/s): 0.419 Phase (deg): -60.5 -90 -135 -180 -2 10 10 -1 10 0 10 1 Frequency (rad/s) Chap.3/ 88 Analyse fréquentielle : par Matlab-Simulink (1/P+1) 1. Matlab 2. Simulink Magnitude (dB) -20 -30 -45 -90 -2 10 Basse fréquence 1 rd/s System: sys Frequency (rad/s): 1.04 Magnitude (dB): -3.18 -10 -40 0 Phase (deg) N=[1]; D=[1 1] bode(N,D) Bode Diagram 0 10 -1 0 10 Frequency (rad/s) 10 1 10 2 Haute fréquence 10rd/s Signal sortie Signal entrée Chap.3/ 89 periode, correspond à T secondes ou à =360° T 6290ms T 740ms T 6290ms T .360 45 T Chap.3/ 90 PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (1/4) Comment ils sont obtenus ? + - Types de paramètres de performances Performances d’un système de commande Processus transitoire Précision Stabilité Chap.3/ 91 PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (2/4) 2 y(t) Régime transitoire D Régime permanent MESURE 1,5 A1 A2 ± 5%. y( ) Y(1 Xc Erreur de réglage CONSIGNE 0,5 0 0 1 tm 3 tpr 5 7 9 x(t) [s] te -0,5 Chap.3/ 92 PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (3/4) Rapidité Temps de réponse tpr Temps de montée tm Temps de retard pur Temps d’établissement te Performances d’amortissement Dépassement (overshoot) : d y( ) A1 y .100% m ax .100% y( ) y( ) Taux d’amortissement (damping ratio) A1 A2 A1 Chap.3/ 93 PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (4/4) Performances en précision lim y ( t ) x c ( t ) lim p Y ( p ) x c ( p ) Erreur statique t Ed Erreur dynamique p0 t pr 2 y ( t ) x ( t ) dt c 0 Performances en stabilité Un système est dit stable si à une entrée limitée, la sortie est aussi limitée. système instable système stable s(t) s(t) t t Chap.3/ 94 Exemple Stable , non précis Stable , précis Instable Chap.3/ 95 ANALYSE DES SYSTEMES LINEAIRES TYPES Classification SYSTÈMES DYNAMIQUES TYPES Naturellem ent stable : W ( p ) d ' o rd re zé ro W( p) K 1 ai p i Prem ier ordre : W ( p ) In té gra te u r p u r W( p) k k p k a0 a1 p A p é rio d iq u e W( p) k a0 a1 p N aturellem ent instable : W ( p ) 2 - iém e o rd re : W ( p ) k p 1 ai p i Particulier k a0 a1 p a 2 p 2 a v e c r e ta r d p u r à d é p h a s a g e n o n m in im a le W ( p ) K e p W( p) K 1 T1 p 1 T2 p D é riv a te u r ré e l 1 T1 p W( p) K 1 T2 p Chap.3/ 96 Méthodologie de l’analyse d’un système Étapes d ’analyse ANALYSE DE LA DYNAMIQUE D’UN SYSTÈME TYPE Equation différentielle Fonction de transfert Analyse fréquentielle Analyse temporelle Réponse indicielle Réponse impulsionnelle Réponse à une rampe Echelle naturelle Echelle logarithmique Caract.amplitude fréquence Diagramme de Bode Caract. phase fréquence Diagramme de Nichols Diagramme de Nyquist Chap.3/ 97 A. Elément intégrateur pur 1. Définition x(t) t y(t) y( t ) k x ( t )d t 0 2. Fonction de transfert W ( p) K Y ( p) X ( p) p 3. Exemple Qe [m3/s] Q e(t) Qe [A] h(t) [m] C h(t) [V] 1 h (t) S W ( p) dV dh (t) , S dt dt t Q (t)dt 0 1 H ( p) K Q e( p ) S.p p Chap.3/ 98 Elément intégrateur pur (suite) 4. Lieu de Nyquist W ( j ) A( ) K K j 0 j Im K , ( ) a r c tg ( ) 2 Re 2 0 6. Réponse indicielle y(t) X0 K y ( t ) L 1 . X 0 . K .t p p X0 0 tg X 0.k t 7. Conclusion Chap.3/ 99 B) Élément du premier ordre x(t) 1. Définition a0 dy( t ) a1 y( t ) bx( t ) dt T dy ( t ) T y ( t ) Kx ( t ) dt Forme réduite 2. Fonction de transfert a0 constante a1 K= W( p) b Gain a1 y(t) de temps [seconde] statique Δy Δx K TP 1 3. Exemple dV S Vs ( t ) dt 1 V s( p ) W( p) V e( p RCp 1 V e( t ) R C . R i Vs C T RC , K Vs 1 Ve Chap.3/ 100 Système hydraulique : reservoir Qe [m3/s] R Qe [A] C Qs [A] h(t) [V] h(t) [m] V [m3] R Qs [m3/s] dV dh (t) S dt dt g (Po 0) Q s(t) h (t ) Rv Rv Q e(t) Q s(t) S dq dU s(t) C dt dt UR Us Q s(t) R R dU s(t ) Us C Q e(t) dt R U s( p ) K 1/ R W ( p) Q e( p ) RCp 1 Tp 1 T RC Q e(t) Q s(t) Po [Pa] g dh (t) h (t) Q e(t) dt Rv Rv / ( g ) H ( p) K Rv Q e( p ) Tp 1 S.p 1 g S RC T Rv g Pat=0 W ( p) Chap.3/ 101 Système thermique m : masse de la soudure [kg] S : surface d’échange de chaleur de la soudure [m²] Te : Température du milieu à mesurer [°c] (entrée) Ts : Température de la soudure du thermocouple [°c] : Coefficient de transfert de chaleur [j/(sec.m².°c] CT : Capacité calorifique de la soudure [j/(kg.°c] E(t) : tension de sortie [mV] (sortie) = KTs (proportionnelle à Ts(t) E(t) Ts Te S Te Ts dt mC T dTs m C T d T s( t ) . T s( t ) T e ( t ) dt S K W( p) TP 1 ou m CT dE ( t ) . E ( t ) K T e( t ) dt S m .C T . S E K [ Mv/c] Te T Analogie thermique_Electrique, hydraulique T RC R m 1 Q S C V CT Chap.3/ 102 T1 Q T2 Chap.3/ 103 Réponse indicielle d’un élément de premier ordre y( t ) L t X0 K K X 0 1 e T p 1 T p 1 y(t) 0,95 y( t ) K X 0 1 e T K X 0 y( ) T y( t T ) K X 0 1 e T 0 ,6 3 y ( ) 3T y( t 3T ) K X 0 1 e T 0 ,9 5 y ( 0,63 Le temps du proc. Trans. = 3T t= T, la réponse atteint 63% de la valeur finale 0 1 T 2 3 t 3T Chap.3/ 104 Lieu de Nyquist d’un élément de premier ordre KT K K j W ( j) 1 jT 1T 2 1T 2 A() K 1T 2 Relation temps-fréquence () arctg(T ) Fréquence de coupure : c Im 1 ] T temps de montée : tm . f c 0.35 Bande passante BP : [0, =0 0 = 1 1 fc T 2 T =/4 on augmente le temps de montée Réel en élargissant la BP =1/T Chap.3/ 105 C) Élément du second ordre 1. Définition Forme réduite x(t) 2 a2 dy2( t ) dt 2 dy ( t ) dt 2 a1 dy( t ) a0 y( t ) bx( t ) dt y(t) dy( t ) 2n n2 y( t ) K.n2x( t ) dt Y( p ) K .n 2 W( p ) 2 X ( p ) p 2n p n 2 2. Fonction de transfert 3. Paramètres fondamentaux n pulsation propre non amortie ou pulsation naturelle [ rad / s ] coefficient d ' amortissement K gain statique a0 coeffcient b a0 a2 a1 2 a0 . a 2 Chap.3/ 106 Exemples d’élément du second ordre dV S d 2VS Ve RC . LC . 2 V S dt dt R Ve i L W( p) Vs C n Cm(t ) cf f ct J 1 , LC R 2. 1 L. C , K 1 d 2 S (t ) Cm C R ; J. 2 dt s( t ) d S ( t ) C R C f C t Ke S (t ) f dt Ke Ke s( p ) J W( p ) Cm ( p ) p 2 f p Ke J J Vs( p ) Ve ( p ) p2 1 LC 1 R p L LC n 1 f , , K 1 2 . J . Ke J Ke Chap.3/ 107 Vanne automatique DEMO Chap.3/ 108 Vanne pneumatique de réglage Controller 0,2 -1 bar 3 - 15 psi Pe m 1 2 6 3 x d2 X keX f dt 2 dX Pes dt s m s Ke . . X ( p) K e m W ( p) f K e f Ke Pe( p) p2 p p2 p m m m m 4 5 7 n 1 m Ke f , 2. m Ke , K s Ke Rf Analogie L J m Ke 1/C Chap.3/ 109 Réponses indicielles d’un élément de 2-iéme ordre 1. Echelon unitaire x(t) SYSTEME 1 1 n 2 y (t ) L . 2 2 p p 2 n p n y(t) 2. De quoi dépend la sortie ? D( p) p2 2.n. p n2 0 n2 21 Du coefficient d’amortissement =1 P1 P2 n <1 >1 p1 n n . 2 1 2 p 2 n n . 1, p1 n j. n . 1 2 p 2 n j n . 1 2 Chap.3/ 110 Réponses indicielles pour # valeurs de Cas 1 P1 P2 n =1 y(t) 1 (1 nt ).e nt 1.2 1 Y(t) t pr 4,8sec. Point d'inflexion d 2 y(t ) dt D0 0 2 4 tpr 6 8 10 12 t (sec) 2 0 tI 1 n 1 14 Chap.3/ 111 Réponses indicielles pour > 1 Cas 2 p1 n n . 2 1 >1 p 2 n n . 2 1, K n2 K n2 W( p) . où p p1 p p 2 p1 p 2 1 T1 p 1 T2 p 1 1 , T2 p1 p2 t t T1 T2 y( t ) 1 e T e T T1 T2 T1 T2 2 Y(t) T1 1 1 4 0 10 20 2 t pr 3.T1 T2 30 40 t (sec) 50 Chap.3/ 112 Réponses indicielles pour < 1 Cas 3 p1 n j. n . 1 2 <1 p 2 n j n . 1 2 1 . n .t y ( t ) KX 0 1 e . sin n 1 2 .t arctg 1 2 1 2 ymax D1 D2 X0=1 0 tm te tpr 20 t (sec) 30 Chap.3/ 113 Paramètres de performances d’un système de deuxième ordre oscillant 1. Temps du processus transitoire Réponse impulssion nelledu 1er ordre : y (t ) A.e n t sin( t ) y (t ) e t T e n .t T Enveloppe : e n t t pr 3.T 2. Nombre d’oscillations t pr N . 2 N . 2 n 1 2 N 3 n 1 n ln( 20 ) n 3 1 2 2 Chap.3/ 114 Paramètres de performances d’un système de deuxième ordre oscillant 3. Dépassement D ymax y() .100 % y() ymax ?. dy(t ) 0 t K ( K 1, 2 , 3...) dt 1er pic : K=1, 2ème pic K=2, etc... K impair : K pair : ymax 1 e ymin 1 e K 1 2 K 1 2 Chap.3/ 115 Paramètres de performances d’un système de deuxième ordre oscillant 4. Temps d ’établissement Pour un échelon unitaire 1 2 ymax 1 D e 1 te 1 D1 ln 2 D2 1 D 1 ln 1 2 D2 2 temps d'établissement ( K 1) 5. Taux d ’amortissement D D 1 2 1e D1 2 1 2 Chap.3/ 116 Réponses indicielles pour = 0 Cas 4 =0 p1 j. n . p 2 j n 2 1 1 n y (t ) L . 2 1 cos( nt ) 2 p p n Y(t) D2 t Chap.3/ 117 Exercice Xc(t) K - 1 Ys(t) a 2 p 2 a1 p a0 Valeur de K pour avoir les meilleurs performances en boucle fermée ? K Wf ( p ) a2 p2 a1 p a0 K Wf ( p ) a p2 1 a2 a 1 . a0 K p D( p ) p 2 2. 1 . 2 .a 2 a K a K a2 0 p 0 a2 a2 K a2 a a12 4 a0 2 a 2 1 1 . . K 2 .a 2 a0 K 4 2 a 2 a2 a0 K a2 2 a12 2a0 a2 1 Pour 07 , , K 2a2 2 Chap.3/ 118 Diagramme de Nyquist d’un élément du second ordre F ré q u e n c e ré d u ite : u n 1 u2 W ( j ) K 2 2 1 u2 2 u K A( ) 1 u2 ( ) a rc tg 2 2u j 2 2 2 2 u 1 u 2 u 2 2u 1 u2 Im Résonnance 0 Re dA( ) 0 R n . 1 2 2 avec 0 ,7 d K Amax 2 . 1 2 2 u=1 Chap.3/ 119 Résumé des performances d’un système de deuxième ordre Paramètres de performances normalisés [-] t pr [s] D [% ] [-] 5 2 1 0,9 30 - 12 - 4,75 4 1 1 0,7 0,5 0,343 0,30 0,22 0,11 0,01 0 2,8 4,5 0,998 4 8 17 30 0,973 0,9 11 15 30 300 38 50 70 95 100 0,87 0,75 0,41 0,13 00 Conclusion général sur un système de 2-iéme ordre Dans le domaine temporel, lorsque <1, le système a tendance à osciller longuement avant immobilisation. = 0,7 est optimal du point de vue stabilité précision. Pour > 1, (frottement important, élasticité réduite), les régimes sont hyper amortis et lents. Le système perd alors son «agilité», un tel cas est à éviter en SRA lorsque la structure s’y prête en agissant par exemple sur le gain du correcteur. Dans le domaine fréquentiel, Le système suit presque sans inertie l’entrée à basse fréquence mais présente un déphasage qui tend vers -180 degrés à haute fréquence. Système avec retard pur (1/2) Définition x(t) y(t) SYSTEME y( t ) x( t ) x( t ) Exemple y( t ) l V l Fonction de transfert W( p ) Y( p ) e p X( p ) x( t ) Réponse indicielle y( t ) x( t ) y( t ) Chap.3/ 121 Système avec retard pur (2/2) Diagramme de Nyquist Im R=1 W ( j ) e j cos j sin A( ) cos ( ) arctg 2 sin 1 2 0 Re sin cos Conclusion Système du aux phénomène de très grande inertie, jeux mécaniques Véritable « poison » pour la régulation car déstabilise le système du au déphasage négatif Chap.3/ 122 Tracé des caractéristiques fréquentielles des systèmes (1/4) Problématique Soit donné un système quelconque de fonction de transfert W(p) : b0 b1 p ... b0 bm p m W ( p) a0 a1 p ... a0 an p n On veut représenter d’une manière simple et rapide les diagrammes de Bode, Nyquist et Black. Pourquoi une telle démarche ? Eviter les calculs fastidieux de W(j). Evaluer rapidement la stabilité du système et les performances du système. Chap.3/ 123 Tracé des caractéristiques fréquentielles des systèmes Chap.3/ 124 Tracé des caractéristiques fréquentielles des systèmes (2/4) Principe de la méthode Un système linéaire quelconque est formé d’éléments simple d’ordre zéro, du premier ordre, deuxième ordre et d’intégrateurs et ou dérivateurs d’ordre .. W(p) peut être factorisée en éléments simples r q W ( p ) Kp . 1 i p . p 2 2n p n2 i 1 i 1 K : Gain statique (constante ) ( 0) , , : Z ( entier positif ou négatif) r : Nbre d' éléments du premier ordre q : Nbre d' éléments du deuxième ordre K : Sytème d' ordre zéro p : Intégrateur (α 0) ou dérivateur (α 0) ) d' ordre α 1 p : Sytème d' ordre 1 p 2 2n p n2 : Sytème d' ordre 2 Chap.3/ 125 Tracé des caractéristiques fréquentielles des systèmes (3/4) Propriété Le gain logarithmique et le déphasage d’un produit de facteurs s’obtient en faisant la somme algébrique des gains et des phases des différents facteurs ( PS: Le gain naturelle est par contre le produit des gains des différents facteurs) r i q L( ) 20 log W ( j ) 20 log K . p . 1 p . p 2 2n p n2 Calcul du Gain i 1 1 L( ) 20 log K 20 log j r 20 log 1 i . j i i 1 2 2 20 log j 2n j nl q 1 Sachant que : W ( j ) Re( ) j . Im( ) Re( ) 2 Im( ) 2 r L( ) 20 log K .20 log 10i . log 1 i . 2 i 1 q 10 . log 2 n2 l 1 4l2 2n2 2 Chap.3/ 126 Tracé des caractéristiques fréquentielles des systèmes (4/4) Calcul de la phase ( ) arg(W ( j ) arg( K ) arg( j ) r arg 1 i . j i i 1 q arg j 2 2n j nl2 1 Sachant que : Im( ) argW ( j arg(Re( ) j.Im( )) arctg Re( ) r q 2 i 1 1 ( ) arg( K ) . i arg1 i . j arg j 2 2n j nl2 Conclusion Il suffit de savoir exprimer le gain el la phase des éléments de base pour en déduire par simple sommation, le gain et la phase de W(j) Chap.3/ 127 Représentation des éléments de base (1/3) Gain K La courbe est une horizontale L() [db] W ( p) K Gain : L( ) 20 log K 20logK 0 si K 0 Phase : ( ) si K 0 0 0 Log() 1 Dérivateur 2 () [rad] +1 Gain : L( ) 20 log j 20 log Log() 1 L() [db] W ( p) p Phase : ( ) arg( j ) () [rad] 0 2 0 1 Log() 20db/décade ou 6db/octave est noté +1 1 Log() Chap.3/ 128 Représentation des éléments de base (1/7) Intégrateur W ( p) 1 p L() [db] Gain : L( ) 20 log Phase : ( ) arg( 1 20 log j 1 ) 2 j 0 () [rad] 1 0 1 Log() -1 Log() 2 Chap.3/ 129 Représentation des éléments de base (2/7) Premier ordre (1+p) W ( p ) 1 p Gain : L( ) 20 log 1 j 10 log 1 2 Amplitude L() [db] Asmptote 1 L( ) 0, pente égal à 0 1 L( ) 10 log ,0, pente égal à 1 1 L( ) 3db Phase : ( ) arg( 1 j ) arctg ( ) Asymptote 1 ( ) 0 1 ( ) 1 L ( ) 2 4 +1 0 3db 1/ 1 () [rad] Log() Phase 2 4 0 1 1/ Log() Chap.3/ 130 Représentation des éléments de base (3/7) Premier ordre : (1+p)-1 L() [db] 0 1 Amplitude 1/ W ( p ) 1 p 1 Log() -3db Gain : L( ) 20 log 1 j 1 10 log 1 2 -1 Phase : () [rad] ( ) arg1 j arctg ( ) 1 0 1 Phase 1/ Log() Changement de signe par rapport à (1+p) 4 2 Log() Chap.3/ 131 Représentation des éléments de base (4/7) W ( p ) 1 p W ( p ) 1 p 1 Amplitude L() [db] L() [db] +1 0 0 1/ () [rad] 0 -3db Log() 1 Log() () [rad] 1/ 4 Phase 2 4 0 1 2 -1 Phase Log() 1/ 1 3db 1 Amplitude 1/ Log() Log() Chap.3/ 132 Représentation des éléments de base (5/7) Deuxième ordre : en numérateur W ( p ) p 2 2n p n2 Gain : L( ) 20 log 2 n2 2 jn Asymptote : n L( ) 40 log n cste, pente 0 n L( ) 40 log , pente 2 2 n L( ) 20 log 2n Phase : ( ) arg 2 n2 2 jn Asymptote : 2 ) arg( )0 ( n n 2 n ( ) arg 2 2 2 n ( ) arg 2 j arctg n n 0 2 Chap.3/ 133 Représentation des éléments de base (6/7) Deuxième ordre : au dénominateur W ( p ) p 2 2n p n2 Gain : 1 Changement de signe par rapport au cas précédent L( ) 20 log 2 n2 2 jn Asymptote : L( ) 40 log cste, pente 0 n n n L( ) 40 log , pente 2 n L( ) 20 log 2n2 Phase : ( ) arg 2 n2 2 jn Asymptote : 2 n ( ) arg(n ) 0 0 2 ) n ( ) arg arctg ( 2 2n2 2 n ( ) arg 2 jn arctg 0 2 Chap.3/ 134 Représentation des éléments de base (7/7) Retard pur W ( p ) e Tr . p W ( j ) e Tr. j cos(Tr ) j sin(Tr ) Gain : L() [db] 0 Amplitude 1 Log() L( ) 20 log W ( j ) 20 log 1 0 Phase sin(Tr ) Tr cos(Tr ) ( ) arctg () [rad] Phase 0° 1 Log() Chap.3/ 135 Tracé des diagrammes fréquentiels : Résumé (1/2) Variation de la phase 1 0 p 1 p 1 p 2 2 ou n 1 p 0 1 p 0 0 1 1 p p 2 1 2 4 4 4 4 0 0 0 Tr p 2 2 n p n2 e Trp 2 n p n2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Chap.3/ 136 Tracé des diagrammes fréquentiels : Résumé (2/2) Variation de la pente : ± correspond à ± 20db par décade 1 0 p ou n 1 p 1 p 0 1 p 0 1 p 0 0 0 2 0 2 1 1 1 p p 2 2 n p n2 p 1 2 2 n p n2 e Trp 0 Chap.3/ 137 Application : exemple 1 (1/4) W ( p) K , p .1 1 p 1 2 p K 0, 1 2 0 1 2 Valeurs caractéristiques de la pulsation : GAIN et PHASE L( ) 20 log W ( j ) 20 log K . j 1.1 1 j 1.1 2 j 1 20 log K 20 log 10 log 1 1 2 10 log 1 2 2 ( ) arg(W ( j )) arg K arg( j 1 ) arg 1 1 j 1 arg 1 2 j 1 Pour Pour 1 1 1 2 L( ) 20 log K 20 log Pente -1 ( ) arg(k ) arg( j ) 1 2 Pente -3 L( ) 20 log K 20 log 20 log(1 ) 20 log( 2 ) ( ) arg(k ) arg( j ) 1 arg (1 j1 ) 1 arg (1 j 2 ) 1 3 2 2 2 2 Chap.3/ 138 Application : exemple 1 (2/4) Pente -2 Pour 1 1 L( ) 20 log K 20 log 20 log(1 ) 1 ( ) arg(k ) arg( j ) 1 arg (1 j1 ) 1 2 2 2 Le diagramme pseudo asymptotique correspond à la sommation des diagrammes associés à K, 1/p, 1/(1+1p) et 1/(1+2p) Fréquence pour laquelle le déphasage est de - ( ) 2 arctg (1 ) arctg ( 2 ) soit 1. 2 1 1 1 xy arctg ( x) arctgy arct xy 1 2 Chap.3/ 139 Application : exemple 1 (3/4) L() [db] -1 Diagramme pseudo asymptotique 0 Diagramme réel 1 1 -2 1 2 () [rad] 1 0° K 1 Log() -3 1 2 Log() 2 3 2 Chap.3/ 140 Application : exemple 1 (4/4) Tracé du diagramme réel à l’aide de Matlab W ( p) K , p .1 1 p 1 2 p K 0, 1 2 0 k=1; tau1=10; tau2=1; num=k; den1=conv([1 0],[tau1 1]) den=conv(den1, [tau2 1]) bode(num,den), grid, title('bode par MAtlab') Chap.3/ 141 Application : exemple 2 (2/3) W ( p) K 2 p. p p 4 K 0, , Valeurs caractéristiques p 2 p 4 p 2 2 n p n2 GAIN et PHASE L( ) 20 log K 20 log 10 log n2 2 ( ) arg n2 2 2 jn Pour n Pour n Pour n 2 4l2 2n2 Pente -1 L( ) 20 log K 20 log 40 log n ( ) 0 2 0 0, 25, n 2 Pente -3 2 L( ) 20 log K 20 log 40 log 20 log K 20 * 3 log ( ) 0 2 arg( 2 ) 0 2 3 2 L( ) 20 log K 20 log n 20 log 2n2 20 logK / 4 ( ) 0 2 arg(0 j 2n2 ) 0 2 2 Chap.3/ 142 Application : exemple 2 (3/3) Digramme asymptotique L() [db] 0 1 Digramme de Bode réel tracé à l’aide de Matlab Amplitude -1 n Log() -3 -1 Phase () [rad] 0° Log() 2 3 2 Chap.3/ 143 Diagramme de Nyquist (1/3) Lieu de Nyquist ? Il représente l’évolution en coordonnées polaires du nombre complexe W(p) lorsque p parcourt le «contour d’exclusion de Nyquist» qui est toit simplement le contour qui entoure tous les pôles et zéros de W(p) compris dans le demi plan complexe caractérisé par une partie réelle positive. (voir Figures) Im →+ Im +j2 +j1 →0+ →0→- Re -j1 Re -j2 Contour d’exclusion de Nyquist Cas où les pôles sont imaginaires purs : on les évite en les contournant Chap.3/ 144 Diagramme de Nyquist (2/3) Règle Le tracé du diagramme de Nyquist commence par le tracé du lieu de Nyquist pour variant de 0 à + La partie correspondant à variant de 0 à - s’obtient par symétrie du lieu de Nyquist par rapport à l’axe réel Exemple W ( p) K , K 0, 1 2 0 p.1 1 p 1 2 p W ( j ) K ( 1 2 ) (1 2 12 )(1 2 22 ) j K (1 2 1 2 ) (1 2 12 )(1 2 22 ) Re( ) j Im( ) Chap.3/ 145 Diagramme de Nyquist (3/3) Points particuliers 0 , Re( ) K ( 1 2 ) Intersecti on avec l' axe des réels 0 pour - 1 ) - (exercice précédent) ( Im K ( 1 2 ) 0 1 2 Pour Re( 1 1 2 ) K 1 2 1 2 Simulation sur Matlab Re 1 1 2 0 Nyquist(num, den) Chap.3/ 146 Diagramme de Black Lieu de Black C’est une représentation cartésienne de W(j) avec phase en degré (abscisse) et gain en db (ordonnées). Sa détermination passe par le diagramme de Bode. Exemple 0 K W ( p) p .1 1 p 1 2 p Gain (db) 1 1 2 0 -180 -270 -90 ° Utilisation de Matlab Nichols (num, den) Chap.3/ 147 Chap.4 PERFORMANCES D’UN SYSTEME de COMMANDE Objectifs du chapitre : Définir et calcul des paramètres de performances d’un système Calculer les conditions de stabilité des systèmes Évaluer le degré de stabilité Comprendre le dilemme stabilité-précision par un exemple Chap. 4.148 4.1 PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (4/4) Performances en précision lim y (t ) xc (t ) lim p Y ( p ) xc ( p ) Erreur statique t p0 t pr E d y (t ) x c (t ) 2 dt Erreur dynamique 0 Performances en stabilité Un système est dit stable si à une entrée limitée, la sortie est aussi limitée. système instable système stable s(t) s(t) t t Chap.4/ 149 4.2 STABILITÉ DES SYSTÈMES 1. CONDITIONS GÉNÉRALES DE STABILITÉ X(p) W(p) y (p) y (t ) L La forme de la sortie dépendra Pôles pi réels 1 n X ( p )W ( p ) C i e p t i i 1 la nature des pôles : n y (t ) Ci e pit i 1 Parmi les n pôles existe une paire de pôles complexes P12 =±J n2 y (t ) Ci e pit e t .sin( t ) i 1 Chap.4/ 150 4.3. Influence de la position des pôles sur la stabilité 1 1 y ( t ) e t . sin ( t ) o ù 0 0.8 y( t ) Ci e pi t i1 0 , pi 0 0.4 Stable -1 n 0 2 4 6 Stable 8 10 00 2 4 6 8 10 25 20 y ( t ) e t . sin ( t ) o ù 0 20 y( t ) n Ci e pi t i1 , pi 0 0 10 instable -20 0 2 4 6 8 10 0 instable 0 2 4 6 8 10 Un système est stable si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert sont à partie réelle négative. Ils se situent tous strictement à gauche de l’axe imaginaire du plan complexe. Chap.4/ 151 4.4 Influence de la position des pôles sur la dynamique du système p1, 2 2 j p1, 2 j p1, 2 j 1 1 0 0 -1 -1 10 0 Instable Im Stable p1, 2 2 j 8 8 0 0 10 0 0 0 10 p1, 2 0 j p Re 0 1 10 p Re 450 0 0 10 Re 0 10 Chap.4/ 152 4.5. Critère algébrique de Routh – Hurwitz (1/4) Problématique Critère algébrique de Routh : permet la détermination de la stabilité du système (conditions pour lesquelles tous les pôles de W(p) sont à partie réelles négatives) à partir des coefficients du polynôme caractéristique sans calculer les pôles Données N( p) b0 b1p ...bmpm W( p) n m n D( p) a0 a1p ...an p D ( p ) a 0 a1 p ... a n p n On analyse : Conditions nécessaires de stabilité Tous les coefficients ai doivent être de même signe et non nuls. Conditions nécessaires et suffisantes de stabilité Elle est donnée par le tableau de Routh Chap.4/ 153 4.5. Critère algébrique de Routh – Hurwitz (2/4) Tableau de Routh R p n p n 1 pn2 p n 3 . . . p0 an a n 1 A11 A21 R . . . An1 an 2 an 3 an 4 an 5 A12 A22 . A13 A23 . . . An 2 . . An 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul des coefficients Aij 1er ligne an 2 a det n a n 1 a n 3 A11 a n 1 an an 4 det an 1 an 5 A12 an 1 an an 6 det an 1 an 7 . A13 an 1 Les 2 premières lignes du tableau sont posées Les autres lignes sont calculées à partir des 2 premières lignes an a n 1 A11 A R 21 . . . An1 an 2 an 4 an 3 an 5 A12 A22 A13 A23 . . . . . . An 2 An 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chap.4/ 154 4.5. Critère algébrique de Routh – Hurwitz (3/4) 2-ième ligne a a det n 1 n 3 A11 A12 A21 A11 an 1 an 5 det A11 A13 A22 A11 an a n 1 A11 A21 R . . . An1 an 2 an 3 an 4 an 5 A12 A22 A13 A23 . . . . . An 2 . An 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a det n 1 n 7 A14 A11 A23 A11 On examine uniquement le 1er colonne pour la stabilité Chap.4/ 155 4.5. Critère algébrique de Routh – Hurwitz (4/4) Conditions de Stabilité selon le critère algébrique de Routh On examine la première colonne du déterminant de Routh (dont les éléments sont appelés pivots) : an a n 1 A11 1er colonne de R A21 . . . Théorème de Routh : Le système est stable si et seulement si les éléments de la première colonne du tableau de Routh sont tous de même signe. le nombre de changement de signes est égal au nombre de pôles à partie réelle positive. Cas Particulier : Il apparaît un zéro dans la première colonne. Alors on poursuit en écrivant à la place de la ligne en question les coefficients du polynôme dérivé par rapport à p d’un polynôme auxiliaire dont les coefficients sont les termes de la dernière ligne non nulle. Les racines à partie réelle nulle sont alors les zéros du polynôme auxiliaire. Ce cas permet de trouver les conditions pour lesquelles un système linéaire est juste oscillant. Chap.4/ 156 Exemple1 (1/2) W (p 1 4 4 p 5 p2 p3 p4 D ( p ) 4 4 p 5 p 2 p 3 p 4 a 0 a1 p a 2 p 2 a 3 p 3 a 4 p 4 p4 a4 p3 a p2 p1 p0 3 A11 A 21 a2 a1 a0 A12 A22 1 5 1 4 A13 1 A23 0 4 0 4 Les 2 premières lignes du tableau sont posées Il apparaît un zéro dans la 1er colonne an 2 a 1 det n det 1 a n 1 a n 3 A11 a n 1 1 5 4 1 a a 1 4 det n 1 n 3 det A11 A12 1 4 0 A21 1 A11 Comment faire ? On développe la ligne précédente pour déterminer le mode : Polynôme auxiliaire : p2+4 p 2 4 0 P 2 j Chap.4/ 157 Exemple1 (2/2) Alors on poursuit en écrivant à la place de la ligne en question les coefficients du polynôme dérivé par rapport à p d’un polynôme auxiliaire dont les coefficients sont les termes de la dernière ligne non nulle. d p2 4 2p 0 dp On reporte dans la table de Routh les coefficient du polynôme 2p+0 p 4 a4 p 3 a 3 p2 p1 p0 a0 1 5 1 4 4 A11 A12 A13 1 4 A 21 A22 A23 2 0 A31 A32 A33 4 a2 a1 Conclusion : Tous les coefficients de le première colonne sont de même signe [1 1 1 2 4]. Le polynôme D(p) ne possède pas de racine à partie réelle positives mais deux racines qui sont situées sur l’axe imaginaire pur Racine de D(p) : -0.0000 + 2.0000i -0.0000 - 2.0000i -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i Réponse impulsionnelle Chap.4/ 158 Exemple 2 W (p p 1 p 6 5 p 5 9 p 4 10 p 3 11 p 2 10 p 3 D ( p ) p 6 5 p 5 9 p 4 10 p 3 11 p 2 10 p 3 Tableau de Routh p6 p5 p4 p3 p2 1 1 9 10 11 10 1 -1 8.96 1.56 3.01 -1 0 . 432 3 Il y a deux changements de signe dans la 1er colonne De 1 à -1 et de -2.66 à 0.48 : le système est instable p 1 - 2 . 66 p 0 0 . 48 Racine de D(p) : -2.5604 0.2767 + 1.0865i 0.2767 - 1.0865i -1.2578 + 0.6082i -1.2578 - 0.6082i -0.4775 Réponse impulsionnelle Chap.4/ 159 Conditions de stabilité d’un élément du 1er 2-iéme et 3-iéme ordre 1er ordre W ( p) 2ème ordre 3éme ordre W ( p) W ( p) a1 0 a0 0 1 a1 p a 0 1 a 2 p 2 a1 p a 0 1 a 3 p 3 a 2 p 2 a1 p a 0 a2 0 a1 0 a 0 0 a3 0 a 0 2 a1 0 a 0 0 a1.a2 a0.a3 P.S. pour mémoire : système du 3-iéme ordre est stable si : • tous les coefficients sont > 0 • le produit des moyens (a1.a2) > produit des extrêmes (a0.a3) Chap.4/ 160 EXEMPLES : Critère algébrique de Routh – Hurwitz 1. Asservissement de position avec un PI régulateur C + 1 K (1 ) TP 1 1 TP M 1 TP - 2T 3 K T 3 K 1 Df ( p ) T 3 p 3 T 2 p 2 KTP K 0 2. Asservissement de position avec un P régulateur + C 1 1 K 1 TP ) 1 TP M 1 TP 3 3 2 2 Df ( p ) T p (1 )T p Tp K 0 (1 )T 3 T 3 K K 1 Chap.4/ 161 4.6. CRITERE DE NYQUIST (1/9) Avantage de la méthode Technique géométrique appliquée aux systèmes qui ne sont pas à minimum de phase, Présence de retard pur dans les expressions de fonctions de transfert Problématique Et en état fermé ? Conditions de stabilité connues Xc(t) Wou(p) Ys(t) Xc(t) + Wou(p) Ys(t) - Transformation du SRA en retour unitaire Xc(t) + Wro(p) - Ys(t) Y1(t) Xc(t) + Wro(p) - Wcr(p) Wou(p) Y1(t) Wcr(p) Ys(t) Chap.4/ 162 4.6. CRITERE DE NYQUIST (2/9) Xc(t) Wou(p) N ( p) , W ( p ou D ou ( p ) Ys(t) 2 D ou ( p ) a 0 a1 p a 2 p ... a n p n n a n ( p pi ) i 1 Analyse fréquentielle p j Z i ( j ) Z i ( j ) .e j i ( ) Z i ( j ) j p i ( i 1, n ) Nombre complexe n Alors : n D ou ( j ) a n Z i ( j ) .e j i ( ) i 1 i 1 Variation de l’argument () : 1) pi <0 (Gauche du plan complexe) 2) pi >0 (Droite du plan complexe) f ( j ) e j ( ) ( ) arg( D ou ( j ) pour p i 0 i ( ) 0 0 2 p i 0 i ( ) 0 2 Chap.4/ 163 4.6. CRITERE DE NYQUIST (3/9) Conditions de stabilité du système Si Dou(p) possède K racine à droite du plan complexe alors on a (n-K) racine gauche Alors la variation de l’argument sera : n i 1 2 ( ) i ( ) n K K ( n 2 K ) 2 2 Théorème : Le système dont le polynôme caractéristique est Dou(p) est stable ssi le nombre de pôle à droite est égal à zéro : K=0 ( ) 2 0 n Chap.4/ 164 4.6. CRITERE DE NYQUIST (4/9) Critère de Nyquist W ou ( p ) Xc(t) + Wou(p) - Ys(t) N ou ( p ) , D ou ( p ) W ou ( p ) N ou ( p ) 1 W ou ( p ) N ou ( p ) D ou ( p ) W f ( p) Introduisons une fonction subsidiaire N ou ( p ) Dou ( p ) 1 Wou ( p ) D f ( p) Dou ( p ) 1 Wou ( j ) 1 Wou ( j ) e L’argument total sera : j( ) N ou ( j ) Dou ( j ) j( ) e Dou ( j ) ( ) arg( N ou ( j ) Dou ( j )) arg( Dou ( j ) 1 ( ) 2 ( ) 1(), 2(), : Phases du système en Boucle ouverte et en boucle fermée Chap.4/ 165 4.6. CRITERE DE NYQUIST (5/9) Condition de stabilité du système en BF : (voir demo. précédente) 1 ( ) n Or : 2 , 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) n 2 K 2 , 0 Supposons que le système en BO est instable : possède K racines droites, alors : ( ) n 2 n 2 K 2 K .2 2 ( ) K Chap.4/ 166 4.6. CRITERE DE NYQUIST (6/9) Un système en boucle fermée ayant K pôles instable en boucle ouverte est stable ssi : Le lieu de de Nyquist du système en état ouvert entoure K fois le point (-1, J0) dans le sens trigonométrique Critère simplifié de Nyquist Critère du revers :(nombre de pôles instable égal à zéro K=0) : Un SRA à contre réaction unitaire, est stable en état fermé ssi, en parcourant le lieu de transfert en état ouvert dans le sens des fréquences croissantes, ce lieu n’enveloppe pas le point (-1, j0). Chap.4/ 167 4.6. CRITERE DE NYQUIST (7/9) : Exemple1 W ( p) K p .1 1 p 1 2 p Conditions de stabilité Im K ( 1 2 ) M 0 Re 0 1 1 2 Nombre de pôles instables : 0 Alors le diagramme de Nyquist ne doit pas entourer 1 OM K 1 2 : est le module pour 1 2 1 1 2 et - Alors OM 1 K 3 Chap.4/ 168 4.6. CRITERE DE NYQUIST (8/9) : Exemple2 Exemple cas (K=0) : A. Lieu de Nyquist Im Im Stable -1 Re Pompage Instable -1 Re -1 Im Re B.. Lieu de Black (on laisse le point (odb,-180°) à droite) G [db] G [db] -180 ° -180 ° [°] Stable Pompage G [db] [°] -180 ° [°] Instable Chap.4/ 169 4.6. CRITERE DE NYQUIST (9/9) : Cas des pôles imaginaires purs Problématique : Si des pôles de Wou(p) sont situés sur l’axe imaginaire, faut il les compter dans le demi plan droit ou gauche? Il faut modifier le contour de Nyquist de façon soit à les inclure dans le contour (c.à.d. dans K) soit à les en exclure. Chap.4/ 170 Comment faire l’inclusion ou l’exclusion? S’effectue à l’aide de demi cercles dont on fait tendre le rayon vers zéro : Im p p1 e i Im p1 p1 Re p p2 e i Re p2 p2 Contour d’exclusion de Nyquist Inclusion du pôle à gauche Inclusion du pôle à droite Chap.4/ 171 4.7. Degré de stabilité (1/3) Importance Xc(t) + K Wou(p) Ys(t) - Marge de Gain (MG)Im sur le lieu de Nyquist -1 A MG 0 Re 1 [1,] OA 1 [ 0, ] MG 20 log OA Sens pratique de la MG Est une garantie que la stabilité persistera malgré des variations imprévues du gain en boucle ouverte 2 < MG < 2.5 Chap.4/ 172 4.7. Degré de stabilité (2/3) Marge de phase Im 1/MG R=1 -1 Re Marge de phase :MP La marge de phase caractérise l’écart supplémentaire qui ferait passer le lieu de Nyquist de l’autre côté du point critique Est une garantie que la stabilité persistera malgré l’existence de retards parasites dont on n’a pas tenu compte dans les calculs initiaux 40 < MP < 50 Chap.4/ 173 4.7. Degré de stabilité (3/3) Marge de gain et de phase sur le lieu de Black MP Marge de gain et de phase sur le diagramme de Bode G [db] G [db] -180 ° 0 dB [°] MG MG [°] 0° MP : Ecart en phase par rapport à -180° lorsque le gain du système en BO est égal à 1 (0 dB) MG : Ecart en gain par rapport à 0 dB pour un déphasage de -180° . On recommande MG=12 dB -90° -180° MP -270° Chap.4/ 174 4.8. DILEMME STABILITÉ - PRÉCISION Sortie du produit Qs, Hs PC - Pr + E U Entrée du produit Pr Vapeur d’eau Tv Qe, He Sortie échangeur Chap.4/ 175 1. Etude de la Précision Quelle doit être le gain du correcteur à afficher pour que la pression du réacteur soit égale exactement à celle de consigne (fixée en fonction du process) ? E Pc(t) - Pc(t) CORRECTEUR Ps(t) Vanne Transmetteur de pression + CORRECTEUR x(t) Echangeur Tv(t) Réacteur Pr(t) Capteur de pression Wou(p) Ps(t) Wou(p) = Wvanne(p). Wéchangeur(p). Wréacteur(p). Wcapteur(p). Wtransmetteur(p) Chap.4/ 176 Calcul de la Précision Pc(t) E + Ps(t) Wou(p) K - Pc(t) W f ( p) KW ou ( p ) Ps(t) 1 KW ou ( p ) Problématique Pc(t) Pc(t) Ps(t) SYSTEM Ps(t) Pc(t) E P0 t t Chap.4/ 177 Application numérique W ou ( p ) 1 2 p 3 3 p 2 4 p 1 Trouvons l’erreur suite à une variation de l’entrée sous forme d’un saut de P0 Pc ( p ) P0 P Calcul de l ’erreur E ( ) lim Ps ( t ) Pc ( t ) t lim p . Ps ( p ) Pc ( p ) lim p . Pc ( p ).W f ( p ) Pc ( p ) p 0 p 0 K lim p . Pc ( p ). Pc ( p ) 1 KW ou ( p ) p 0 E ( ) P0 . 1 1 P0 . 1 KW ou ( 0 ) 1 K Pour que E() = 0, il faut que le gain K soit INFINI. Mais, qu’en sera t-il de la stabilité de mon système ? Chap.4/ 178 2. Stabilité du système en état fermé W f ( p) K W ou ( p ) . 3 2 1 W ou ( p ) 2 p 3 p 4 p 1 K D ( p ) 2 p 3 3 p 2 4 P 1 K Conditions de stabilité a3 2 0 a2 3 0 a1 4 0 a 1 K 0 K 1 0 4 * 3 2 .(1 K ) Système stable si 0 < K < 5 Pour avoir une bonne précision ,il faut augmenter le gain, mais l'augmentation du gain rend le système instable Je prends alors un gain qui m’assure une « bonne » marge de stabilité Dilemme stabilité précision Chap.4/ 179 Influence du gain sur la précision et la stabilité ( simulation sur Matlab-Simulink) 6 Ps(t) [bar] K=0.5 Pc Im 6 MG = 10 MP=inf. -1 K=2.5 2.5 Réel Pc ( ) 26 , bars 2 2 0 2 4 0 6 10 20 6 6 60 K=5 K=4 30 MG = 2 MP=60° ( ) 114bars , MG = 1 MP=0° Pc K=6 Pc 2 0 MG = 1,25 MP=13,7° ( ) =0,8 0 20 40 2 MG = 0,83. MP=-8,9° 60 t [s] 0 20 40 60 t (s) 0 20 40 Chap.4/ 180 EXEMPLE 2 INFLUENCE DU TEMPS DE RETARD K C 1 1 P e p M - Analyse de la stabilité Critère de Nyquist Cas 1 : K=1 K 1 ( ) 1 A 2 1 ( ) arctg ( ) 0 : unique solution Discussion : Le module maximal est égal à 1 variant de 0 à +∞ Chap.4/ 181 Comment tracer le lieu de Nyquist : programme Matlab Démonstration sur Matab-Simulink % TD IMA1 : DETERMINER LES CONDITIONS DE STABILITE PAR LE CRITERE DE % NYQUIST SOIT DONNEE LA FT EN BO W(p)=(k/p+1)*exp(-tau*p) %EXAMINER DIFFERENTS CAS K=1, K>1 et differentes valeurs de tau omega=0:0.01:20 % Variation de la fréquence omega en rad/s tau=0% retard pur en seconde phi1=(-atan(omega)-omega*tau)%-Phi en radian % CALCUL DE PHI en DEGRE en multipliant par 180/pi) phi=phi1*180/pi phi=phi' % CALCUL DE L'AMPLITUDE A(w) k=10% k=2.27 est le gain critique qui provoque le pompage A=k./sqrt(1+omega.*omega)% élement du 1er ordre %A=20*log(a) %plot(A,omega) %CALCUL EN FREQUENTIELLE %1/(1+P)*exp(-taup) (p=jw) %pour partie réelle et imaginaire de 1/1+p Re1=1./(1+omega.*omega) Im1=-omega./(1+omega.*omega) %Réel et imaginaire en BO Re=(Re1.*cos(omega*tau)+Im1.*sin(omega.*tau))*k Im=(Im1.*cos(omega*tau)-Re1.*sin(omega.*tau))*k % EN AJOUTANT UN DERIVATEUR Re=-Im.*omega Im=Re.*omega plot(Re,Im) sys=tf(1,[1 1]) [re,im,w] = nyquist(sys) [re,im] = nyquist(sys,w) Chap.4/ 182 Lieu de Nyquist pour différentes valeurs du retard Tau Tau=1 Tau=0 Tau =20 Chap.4/ 183 Analyse temporelle Tau=1 Tau=0 Tau=20 Chap.4/ 184 Influence du gain Analyse de la stabilité Critère de Nyquist Cas 2 : K>1 K C 1 1 P e p M - K A 1 ( ) 1 2 1 ( ) arctg ( ) tg 2 équations 3 inconnues K 2 1 tg ( ) 1 1 K cos( ) Comment résoudre l’équation K=F(,)? Ev variant K jusqu’à apparition de pompage K=2.14 Chap.4/ 185 Influence du gain Lieu de transfert pour K=2.14 -1 Démonstration sur Matab-Simulink Chap.4/ 186 4.9. CALCUL DE L’ERREUR DE REGLAGE M E + Xc - Correcteur Process C(p) G(p) Xc M Forme générale de l’erreur E () lim M (t ) Xc (t ) lim p. M ( p) Xc ( p) t p 0 1 E() lim p. Xc( p). p 0 1C ( p).G ( p) Chap.4/ 187 4.10. DIFFERENTES TYPES D ’ERREURS Xc ( p ) A) Erreur de position X0 p Nous ne pouv ons pas afficher l’image. C(p) X0 G(p) + Xc Soit un correcteur 1 E( ) lim X 0. K p 0 1 . G ( p ) p M - C ( p) K p 0 E() X0 1K.G(0) 1 E() 0 Conclusion sur la précision Chap.4/ 188 B) Erreur de vitesse Xc ( p ) X0 p2 X0 Xc + M - X0 1 E ( ) lim . K p 0 p 1 . G ( p ) p 0 E ( ) 1 E ( ) X0 K .G ( 0 ) 2 E ( ) 0 Pour éliminer une erreur de traînage il faut placer au moins deux intégrateurs dans dans la boucle ouverte. Chap.4/ 189 C) Erreur d ’accélération Xc ( p ) X0 p3 Nous ne pouv ons pas afficher l’image. + Xc M - 0 E ( ) X0 1 E ( ) lim 2 . K p0 p 1 . G ( p ) p 1 E() 2 E ( ) X0 K .G (0) 3 E() 0 Pour éliminer une erreur d’accélération il faut placer au moins trois intégrateurs dans dans la boucle ouverte. Chap.4/ 190 4.11 Classes d’un système La précision d’un SRA dépend du nombre d’intégrateurs insérés dans la boucle ouverte Classe du système Erreur de position Erreur de vitesse Erreur d'accélération 0 1 2 >2 1/(1+K) 0 0 0 1/K 0 0 1/K 0 Chap.4/ 191 4.1 PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (4/4) Performances en précision lim y (t ) xc (t ) lim p Y ( p ) xc ( p ) Erreur statique t p0 t pr E d y (t ) x c (t ) 2 dt Erreur dynamique 0 Performances en stabilité Un système est dit stable si à une entrée limitée, la sortie est aussi limitée. système instable système stable s(t) s(t) t t Chap.4/ 192 Chap. 5 : TECHNOLOGIE ET REGLAGE DES REGULATEURS Objectifs Maîtriser : La technologie des régulateurs industriels P, PI, PID, «tout ou rien», la réalisation des actions P, I et D série, parallèle , mixte, les méthodes pratiques de réglage des régulateurs en boucle ouverte et fermée, la vérification des actions des régulateurs, Le rôle domaines d’utilisation des régulateurs P, PI et PID. Chap. 5/193 VUE GENERALE D’UN REGULATEUR INDUSTRIELLE Chap. 5/194 PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT D’UN REGULATEUR DE NIVEAU Chap. 5/195 5.1. Technologie des régulateurs Définitions REGULATEUR C E y U Algorithme Vanne Process M Transmetteur Capteur Les différentes parties d’un régulateur Mesure M 1. Les signaux Consigne C Sortie U Chap. 5/196 2. Les blocs d’un régulateur consigne extérieure Sélecteur de consigne consigne interne Indicateur d’erreur C Dispositif d’Affichage de la Consigne DAC module PID Sélecteur du sens d’action P I I D L D M limiteur I H Indicateur sortie D manuel/auto transmetteur commande manuelle auto manuel capteur Chap. 5/197 5.1.2 Classification des blocs d’un régulateur 3. Les réglages A. Réglage de la consigne B. Réglage des action P, I et D C. Réglages des limites de la sortie du régulateur pour ne pas endommager la vanne D. Réglage de la sortie en position manuelle 4. Les sélecteurs A. Consigne interne et externe B. Sens d’action du régulateur C. Passage du mode automatique à manuel 5. Les indicateurs A. Indicateur de consigne B. Indicateur de mesure C. Indicateur de l’erreur de réglage D. Indicateur de la sortie du régulateur Chap. 5/198 5.1.3 Quelques indication sur les régulateurs industriels Mesure : PV (process variable) Consigne interne : L ou Local Sortie : OUT (output) Consigne externe D ou R (Distance ou Remote) Consigne : SP (set point) Consigne suiveuse PVT : Process Variable Tracking Direct : Direct ou Decrease I : Inverse ou Increase (+) : Directe (-) : Inverse Manuel : M, MAN ou Manual Auto : A, Aut. Auto Chap. 5/199 5.1.4. Classification des régulateurs 1. Selon la nature de l’énergie qu’ils utilisent A. Pneumatique B. Electronique C. Numérique 2. Selon le type d’action A. P-régulateur B. PI Régulateur C. PD régulateur D. PID régulateur E. Tout ou rien 3. Selon le sens d’action A. Direct B. Inverse Chap. 5/200 5.2. Actions des régulateurs A) Régulateur proportionnel P-régulateur Définitions C E + U U K .E P-régulateur (-) M Fonction de transfert Paramètres Rôle et domaine d’utilisation W ( p) K BP % 100 K Chap. 5/201 Sortie d’un Prégulateur E U P-régulateur idéale U(t) E(t) réelle K .E 100 E BP E t (sec.) Chap. 5/202 B) PI Régulateur Définitions C E + U PI-régulateur U K KE Ti t E dt 0 (-) M T p 1 W( p ) K i Ti p Fonction de transfert BP % Paramètres 100 K T i ( m in u te ) Rôle et domaine d’utilisation Chap. 5/203 Sortie d’un PI régulateur M-C U PI-régulateur idéale réelle U(t) t I P action Intégrale action Proportionnelle K E dt Ti 0 KE t (sec.) Sens physique de Ti Intégrons U(t) de 0 à Ti K U KE Ti Ti M C dt U 0 2 KE U 0 2fois l'action P 0 Ti est le temps en seconde mis par le régulateur pour répéter deux fois l’action proportionnelle, d’où l’appellation - nombre de répétitions par minute (ou par seconde). Chap. 5/204 Rôle et domaine d’utilisation de l’action intégrale Dans les régulateurs industriels on affiche 1/Ti, alors Ti est d’autant plus grand que l’action intégrale est faible. Le rôle principal de l’action intégrale est d’éliminer l’erreur statique. Toutefois l’action intégrale est un élément à retard de phase, donc l’augmentation de l’action intégrale (c.à.d. diminuer Ti) produit une instabilité car elle déplace le lieu de Nyquist vers la gauche. La valeur optimale est choisie pour satisfaire un compromis stabilité- rapidité. Si le système possède lui même un intégrateur (exemple niveau), l’action I est quand même nécessaire pour annuler l’écart de perturbation car, suite aux variations de la consigne l'intérêt de I est moindre car l’écart s’annule naturellement. Dans l’industrie, on utilisera l’action I chaque fois que nous avons besoin, pour des raisons technologiques, d’avoir une précision parfaite - exemple : la régulation de la pression ou température dans un réacteur nucléaire. De plus, il faut souligner que l’action I est un filtre donc il est intéressant de l’utiliser pour le réglage des paramètres très dynamiques telle que la pression. Chap. 5/205 C) PID Régulateur Définitions C E + U PID-régulateur (-) M K U KE Ti E dt K .Td 0 dE dt 1 Ti . p Ti . Td . p 2 W( p ) K Ti p Fonction de transfert BP % Paramètres t 100 K T i ( m in u te ) Td ( min ute ) Rôle et domaine d ’utilisation Chap. 5/206 Sortie d’un PID régulateur E U PID-régulateur action dérivée U(t) K .T d . D I P action Intégrale dE dt K t E dt Ti 0 action Proportionnelle KE t (sec.) Chap. 5/207 Sens physique de Td U KE K .Td Soit un PD régulateur dE U 0 dt U Kat K.Td .a U 0 2 KaTd U 0 Si (M-C) = a t : entrée sous forme de rampe, on a pour t=Td : U(t) Sortie à P+D : U Kat K.Td .a U 0 2 KaTd U 0 Sortie à P : U(t) = K.at + U0 KT d E D KT d E P t=Td t Td représente l’écart, en temps, entre les réponses proportionnelles seules (P) et proportionnelle et dérivée (PD). Td est donc le temps d’avance d’une réponse PD par rapport à une réponse en P seule. Chap. 5/208 Dérivée filtrée Afin de limiter la sortie d’un régulateur ayant une action dérivée, en pratique l’action dérivée est filtrée en ajoutant un élément de premier ordre. L’action dérivée pure Tdp devient alors : W( p) Td . p 1 p y(t) x(t) x(t) t y(t) Td . p t Dérivée pure) x(t) x(t) t y(t) Td . p 1 1 p Dérivée filtrée y(t) amortissement limitation t Chap. 5/209 Rôle et domaine d’utilisation de l’action dérivée L’action dérivée compense les effets du temps mort du process Elle a un effet stabilisateur mais une valeur excessive peut entraîner une instabilité. Sur le plan de Nyquist l’action D permet de déplacer le lieu de transfert vers la droite car elle possède une avance de phase (de +90 degré). La présence de l’action dérivée permet donc d’augmenter la rapidité du système en augmentant le gain sans être inquiété par la stabilité Dans l’industrie, l’action D n’est jamais utilisée seule mais en général avec l’action intégrale. On recommande de l’utiliser pour le réglage des paramètres lents tels que la température. Par contre en présence des paramètres bruités, l’action dérivée est déconseillée. Chap. 5/210 RESUME SUR LE ACTIONS P, I et D L'action Proportionnelle corrige de manière instantanée, donc rapide, tout écart de la grandeur à régler, elle permet de vaincre les grandes inerties du système. Afin de diminuer l'écart de réglage et rendre le système plus rapide, on augmente le gain (on diminue la bande proportionnelle) mais, on est limité par la stabilité du système. Le régulateur P est utilisé lorsque on désire régler un paramètre dont la précision n'est pas importante, exemple : régler le niveau dans un bac de stockage L'action intégrale complète l'action proportionnelle. Elle permet d'éliminer l'erreur résiduelle en régime permanent. Afin de rendre le système plus dynamique (diminuer le temps de réponse), on diminue l'action intégrale mais, ceci provoque l'augmentation du déphasage ce qui provoque l'instabilité en état fermé. L'action intégrale est utilisée lorsque on désire avoir en régime permanent, une précision parfaite, en outre, elle permet de filtrer la variable à régler d'où l'utilité pour le réglage des variables bruitées telles que la pression . L'action Dérivée, en compensant les inerties dues au temps mort, accélère la réponse du système et améliore la stabilité de la boucle, en permettant notamment un amortissement rapide des oscillations dues à l'apparition d'une perturbation ou à une variation subite de la consigne. Dans la pratique, l'action dérivée est appliquée aux variations de la grandeur à régler seule et non de l'écart mesure-consigne afin d'éviter les à-coups dus à une variation subite de la consigne. L'action D est utilisée dans l'industrie pour le réglage des variables lentes telles que la température, elle n'est pas recommandée pour le réglage d'une variable bruitée ou trop dynamique (la pression). En dérivant un bruit, son amplitude risque de devenir plus importante que celle du signal utile. Chap. 5/211 D) Régulateur «tout ou rien» Définitions C + M-C U (-) 1 pour M C U 0 pour M C M Rôle et domaine d’utilisation Chap. 5/212 Exemple de réglage « tout ou rien» + M C M-C U 220 V 0 x 1 pour M C U 0 pour M C U M C U t t Chap. 5/213 5.3. Réalisation des actions PID Série E PI PD (1 Ti p ) C ( p) K c (1 Td p ) Ti p U Parallèle P E 1 C ( p) K c Td p Ti p U I D Mixte I E U P D 1 C ( p ) K c (1 Td p ) Ti p Chap. 5/214 Commande multivariable Commande par retour d’état Commande adaptative Réglage en cascade Compensation du temps mort Calcul des paramètres du régulateur Réglage par anticipation Méthodes pratiques Méthodes théoriques de réglage 5.4. Réglage des paramètres des régulateurs Comment augmenter les performances d’un SRA structure et algorithmes modernes de commande Chap. 5/215 5.5. Méthodes théoriques de réglage Problématique C + M-C M M C PID (-) M (-) K .Ko 1 2 p Ko 1 ( 1 2 ) p 1 2 p 2 M Ti 1 2 1 2 Ti Si je mets Ti Td 1 2 C G(p) (-) 1 T . p T .T . p 2 i i d K Ti p M M U Td M 1 2 1 2 Avantages et inconvénients Chap. 5/216 5.6. Méthodes pratiques de réglage 1. En boucle ouverte C + M M-C M U M (-) 1 y(t) Y stable x(t) x instable 0.5 tg y Gain statique du systéme stable en boucle ouverte x tg y Ki . Gain statique du systéme instable en boucle ouverte x t.x Ks 0 T 4 y t 8 12 t(sec.) T Chap. 5/217 Choix du mode de réglage dans le cas d’un système instable Choix du type de régulateur en fonction de la réglabilité Réglabilité 10 à 5 à 10 2 à 5 > 20 < 2 T 20 Régulateur P PI PID tout ou rien 0,05 Ki . 0,1 P 0,1 Ki . 0,2 PI 0,2 Ki . 0,5 0,005 Ki . Ki . 0,5 limite de PID PID Tout ou rien Limite du PID Chap. 5/218 Réglage pratique en boucle ouverte : paramètres du régulateur à afficher Calcul des actions P, I et D pour les systèmes stables Modes Action P PI série PI parallèl e PID série K 0 ,8 .T K s 0 ,8 .T K s . 0 ,8 .T K s . 0 ,85 .T K s . Maxi. T K s . 0 ,8 T Ti Td 0 0 PID parallèle T 0 ,4 . 0 0 ,4 PID mixte T 0 ,4 1, 2 . K s K s . 0 , 75 1, 2 . K s T 0 , 4 . 0 , 35 .T Ks T 2 ,5 .T Calcul des actions P, I et D pour les systèmes instables Modes Action K P PI série PI parallèle PID série PID parallèle PID mixte 0,8 K i 0,8 K i 0,8 K i 0,85 K i . 0 ,9 K i . 0 ,9 K i . Ti Maxi. 5 K i . 2 0 ,15 4,8 5,2 Td 0 0 0 0 K i . 2 0,15 0,35 Ki 0,4 KS. doit être sans unité Si on est en limite de PID on doit utiliser des boucles multiples cascade, ou régulateurs numériques Chap. 5/219 2. Réglage en boucle fermée T Ti C Td BP M - REGLAGE EN BOUCLE FERMEE : Méthode de Ziegler et Nichols W ( p ) Kr 1 Td p Ti p Action/ P Paramètres PI série PI parallèle PID série PID parallèle PID Mixte K Kcr/2 Kcr/2.2 Kcr/2.2 Kcr/3.3 Kcr/1.7 Kcr/1.7 Ti Maxi T/1.2 2T/Kcr T/4 0.85T/Kcr T/2 Td 0 0 0 T/4 T*Kcr/13.3 T/8 Chap. 5/220 Limites de la régulation PID : Prédicteur de Smith Cas d’un procédé avec retard C E Process Régulateur PI WR ( p ) u K0 e . p 1 T0 p M (-) Soit un régulateur de fonction de transfert 1 Ti p TP e WR ( p ) Ti p 1 Alors si on pose : Ti T0 , T Wf ( p ) 1 T0 1 p K R K0 Régulateur irréalisable car on ne peut pas technologiquement réalisé exp(TP) car elle signifie que l’n connaît par avance le signal de sortie du module avant d’avoir exécuté une variation d’entré. Chap. 5/221 Limites de la régulation PID : Prédicteur de Smith Conclusion Avec un régulateur PI et PID, il est impossible de réaliser une régulation convenable dés que l’on est en présence de procédés possédant un retard important ou un ordre élévé. Remède Réaliser une régulation qui exclut le retard pur ou l’ordre n de la boucle de régulation C E WR ( p ) u (-) C E (-) WR ( p ) u K0 1 T0 p K0 1 T0 p Mi Mi e . p K0 1 T0 p M Exclure le retard pur K0 1 Tn p M Exclure l’ordre n Chap. 5/222 Prédicteur de Smith Hypothèses sur le modèle du procédé FT connue et de la forme : G( p) Ko p e G1 ( p ).e p 1 TP Structure de la régulation C E C ( p) u (-) G1(p) K0 1 T0 p Mi e . p M C(p): Compensateur recherché Chap. 5/223 Prédicteur de Smith Objectifs assurer les performances de base (stabilité, rapidité et précision) par une approche directe basée sur la connaissance d’une fonction de transfert du procédé. Principales difficulté de la régulation des procédés retardés Problèmes de stabilité à cause du retard Temps dev réponse du système en BF Le temps de retard est incompressible car il dépend de la position du capteur Alors : Il faut anticiper l’effet du retard pour le compenser d’où le nom « PREDICTEUR » et réduire la constante du temps T Chap. 5/224 Synthése du compensateur de Smithrrecteur 1. On fait abstraction du retard, autrement dit, on le considère extérieur à la boucle (Système S1). On détermine alors un régulateur R classique (par ex. un PI) pour corriger la partie dynamique G1(p)=Ko/(1+Top) du modèle global G(p) . C E (-) R( p) u G1(p) K0 1 T0 p Mi e . p M S1 S1 1 Tip R ( p ) Kr Tip Puisque le retard est à l’extérieur de la boucle on peut choisir par exemple Ti pour compenser To et Kr pour diminuer le temps de réponse en BF Chap. 5/225 Calcul de C(p) 2. On va chercher le compensateur C(p) qui inclut R(p) et qui permet de compenser le retard (Système S2) C E (-) C ( p) u G1(p) K0 1 T0 p S2 Mi e . p M Comment ? En considérant que S1 et S2 sont équivalents : on identifie la FTBF de S1 à celle de S2 Chap. 5/226 Principe Prédicteur de Smith : Calcul de C(p) Principe Chercher un compensateur C(p) tel que les deux systèmes S1 et S2 soient équivalents :. C E R( p) (-) C E (-) C ( p) u G1(p) K0 1 T0 p Mi K0 1 T0 p GBF 1( p ) GBF 2 ( p ) C ( p ) e M . p e . p GBF 1( p ) M R 1 RG 1 1 e p R ( p ).G1 ( p ) .e p 1 R ( p ).G1 ( p ) GBF 2 ( p ) C ( p ).G1 ( p ) e p 1 C ( p ).G1 ( p ) e p Chap. 5/227 Synthèse de C(p) Schéma équivalent C ( p) R 1 RG1 1 e p C(p): Prédicteur de Smith C G1(p) E (-) R( p) (-) u G (p): Procédé K0 e p 1 T0 p M 1 e p G1( p) Chap. 5/228 C(p): Prédicteur de Smith C G1(p) E R( p) (-) (-) E1 E2 u (-) Mc 1 Ti p K R Ti p E1 E2 K0 e p 1 T0 p M 1 e p G1( p) F(p) R(p) C G (p): Procédé K0 e . p 1 T0 p Compensateur 1 e p K0 1 T0 p Process M Wo(p) Wc(p) Chap. 5/229 Synthèse du correcteur de Smith Conclusions le prédicteur de Smith est parfaitement déterminé si l’on connaît une fonction de transfert du procédé un régulateur R adapté à la dynamique du procédé (hors retard). Autrement dit, l’ensemble des paramètres de ce compensateur est constitué par : ceux du procédé (K0, T0 et le retard ) ceux du régulateur R(p) (Kr et Ti) Remarques Pas de problèmes de stabilité en théorie, mais en pratique la simplification ne conduit pas exactement à un système du 1er ordre Inconvénient de la méthode Le régulateur ne capte pas la mesure mais le signal compensé Chap. 5/230 COMMANDE A L’AIDE DE L’ANALYSE FREQUENTIELLE Chap. 5/231 Chapitre 6 : PROJET D’UN SYSTEME DE REGULATION INDUSTRIELLE Objectifs du chapitre : Maîtriser sur un exemple concret (un four tubulaire) : Les étapes de réalisation d’un projet de régulation, la présentation d’un cahier de charge, comment identifier un processus, l’analyse et la synthèse d’un SRA surtout en régulation (par rapport à la perturbation), examiner l’influence des action P, I et D ainsi que d’un régulateur tout ou rien sur la dynamique du SRA, comment régler les paramètres d’un régulateur, observer les limites d’une régulation PID lorsque le système présente un retard pur important, introduction des notions de la régulation avancée. P.S. Les résultats sont simulés à l’aide du logiciel Matlab-Simulink, les schémas de simulation sont donnés à chaque analyse. Chap. 6/232 6.1. Etapes de réalisation d’un projet d’un SRA CAHIER DE CHARGE: objectifs E/S Déf. du process et des objectifs Lois physiques, bilan, hypothèses ANALYSE connaissance Planification des expériences Acquisition de données Connaissance à priori Choix de la structure du modèle Estimation des paramètres Modèle de conduite Oui adéq. Synthèse de régulation SYNTHESE commande Modèle de connaissance Simulation Choix du critère d’identité Non Logistique actionneurs, régulateurs, transmetteurs... Validation sur site Réalisation définitive Chap. 6/233 6.2. Définition du processus et des entrées-sorties AR 1 TT 1 THS 1 FI 1 Conigne Tc Ts-Tc Ts Pétrole chauffé Pétrole brut TRC 1 FR Air (O2) PR 1 AR 2 U FVC Gaz Chap. 6/234 6.2.2. Définition des entrées-sorties Schéma fonctionnel du système de régulation Qp(t) T Tc - REGULATEUR U CONDUITE DE PETROLE - x VANNE CONDUITE DE GAZ Ts1 Pg FOUR Manu.. Ts Auto. TRANSMETTEUR ET CEP DE TEMPERATURE CAPTEUR DE TEMPERATURE Chap. 6/235 Définition des entrées-sorties (E/S): On définit d’abord les entrées-sortie : les variables à régler, réglantes et de perturbations Ts(t) - Grandeur de sortie ( température à la sortie - c'est la grandeur à régler ), Valeurs maximales et minimale de la variation de température : Tsmax = 170°c, Tsmin=20 °c ; Tso Valeur nominale de la température le fonctionnement Tso = 80 °C Pg (t) - Grandeur d'entrée ( pression du gaz combustible - Grandeur réglante ); Valeurs maximales et minimale de la variation de la pression du gaz combustible : Pgmax = 5 bars, Pgmin = 0bar ; Pgo - Valeur nominale de la pression du gaz combustible Pgo = 2 bars ; Qp - Débit du pétrole à l'entrée (perturbation); Débit nominale du pétrole à l'entrée : 20 m3 /s ; Qpmax = 30 m3 /s Qpmin =10 m3 /s . Il existe aussi d’autres perturbations (pouvoir calorifique du gaz, température ambiante etc...) que nous considérons comme constantes. x : déplacement du clapet de la vanne [0 à 6mm] U : sortie du régulateur pneumatique [0,2-1bar]; valeur nominale (0,6 bar) 6.2.3. Influence des perturbations Influence des perturbations : Grâce à la propriété de superposition des systèmes linéaires, on peut étudier séparément l’influence des perturbations et de la commande sur la sortie du système. Ici pour simplifier la démarche on analyse uniquement une seule perturbation, celle du débit d’entrée du pétrole. 1. En boucle ouverte (sans correction) : La sortie subit l’influence de la commande (ici en manuelle) et celle de la perturbation (Qp(p)) avec un signe (-) car l’augmentation du débit provoque la diminution de la température (le produit arrive à un température plus basse que celle du four) Qp(p) Wz(p) Ts(p) U(p) G(p) Ts ( p )U ( p ). G ( p )Qp ( p ).Wz ( p ) + Chap. 6/237 6.2.3. Influence des perturbations 2 En boucle fermée (avec correction) Qp(p) Wz(p) (-) Ts(p) C(p) Tc(p) U(p) G(p) (+) (-) Ts( p ) Tc( p ). C ( p ).G ( p ) Wz( p ) Qp( p ) 1C ( p ).G ( p ) 1C ( p ).G ( p ) 6.3. Cahier de charge Comment choisir le cahier des charges Le point de départ de n'importe quel projet est le cahier de charge. Pour un système de régulation, les spécifications restent souvent vagues en raison surtout de la grande diversité de problèmes de régulation. Les critères qualitatifs à imposer dépendent d’abord de la nature du processus à régler. A titre d’exemple, on ne peut imposer aveuglément un processus transitoire rapide ou un taux d’amortissement de 0,75 pour n’importe quel système. En effet l’asservissement d’un ascenseur (qui nécessite un confort pour les passagers) ne tolère pas par exemple d’accélération . Les dépassements de la pression régulée dans un réacteur nucléaire ne doivent pas atteindre les seuils limites de tarage des soupapes de sécurité etc... Chap. 6/239 6.3. Cahier de charge Les critères de performances classiques Stabilité : Cette condition est impérative mais avec une certain degré de stabilité (marge de sécurité). En général on impose une marge de gain de 2 à 2.5 . L’utilisateur parle en terme de «pompage». Précision : L’exploitant demande à ce que le système possède une bonne précision en régime permanent d’où une nécessite de mettre un PI régulateur ou d’afficher un gain important dans le cas d’un P régulateur. Rapidité On demande en pratique que le système soit capable rapidement de compenser les perturbations et de bien suivre la consigne. Dépassement : En général on recommande un SRA dont le régime transitoire soit bien amorti et dont le dépassement ne dépasse pas 5 à 10% la valeur nominale. Dans notre cas on exige à ce que la température de sortie soit égale à celle de consigne et que les perturbations soient entièrement compensées. Le régime transitoire doit être assez rapide en raison de la grande inertie du four et bien amortie (5 à 10) Identification des processus Définition : L’identification d’un système c’est la détermination de son modèle mathématique sur la base des observations expérimentales entréessorties. Le traitement mathématique des réponses graphiques du système est appelé IDENTIFICATION. Le modèle obtenu est dit de conduite ou de représentation Principe 1. Étape qualitative : Sur la base d’une connaissance à priori du système à identifier, on fixe une structure du modèle comportant des coefficients inconnus. 2. Étape quantitative : Elle consiste à la détermination des coefficients inconnus du modèle de façon que la différence entre les N sorties réelles du système et celles du modèle soit minimale selon un critère donné qu’on résout par un algorithme d’identification. S i w (p ) = a i p i b i p i N , D é te rm in e r a i , b i te l q u e Y s ( i i 1 ) Y m ( i ) 2 m in im a le . Identification des processus 3. Vérification du modèle : PROCESS sortie process Ys(t) Entrées x(t) MODELE W( p) ai p i bi p i sortie modèle Ym(t) m ax + - Y s (i) - Y m (i) 5% Algorithme d’identification a 0 , a 1 ,.... b 0 , b1 ,..... 6.4.3. Problématique pour le système étudié Logistique Qp Wz(p) T Tc U C(p) - Wv(p) x Wcg(p) Pr Wf(p) Ts1 + Manu.. Ts Wct(p) Auto. Déterminer les fonctions de transfert : U(p) Wv(p) Wct(p) Wf(p) Wcg(p) ? Qp(p) Wz(p) Ts(p) Ts(p) U(p) ? G(p) Ts(p) 6.4.4. Identification d’un élément de premier ordre Expérimentation Dans ce cours, nous utiliserons les méthodes de base. Nous appellerons les méthodes de base d'identification , les méthodes s'appuyant sur les propriétés graphiques des réponses fondamentales (indicielle harmonique et impulsionnelle). Ces méthodes sont très utilisées par les spécialistes de régulation et des servomécanismes car elles fournissent un précision suffisante et ne nécessitent pas l'utilisation d'un outil mathématique compliqué. On peut traiter aussi bien la réponse indicielle, impulsionnelle qu'harmonique, mais l'un des signaux d'excitation le plus fréquent a mettre en oeuvre est l'entrée en échelon. L'amplitude de l'échelon doit être choisie telle que le système ne sorte pas du domaine linéaire d'une part et les observations mesurables d'autre part Méthodologie 1. Dans un système de régulation en fonctionnement, le correcteur est d'abord mis en fonctionnement manuel. On attend que le système soit bien stabilisé 2. On applique au système un signal en échelon de + ou - 10% de la valeur nominale de fonctionnement (afin de ne pas trop perturber le système ) L'échelon d'entrée peut représenter le déplacement du clapet de la vanne . La réponse est enregistrée à la sortie du transmetteur dont la vitesse du déplacement du papier diagramme doit être choisie de façon que la réponse soit exploitable . Le modèle de conduite ( ou la fonction de transfert ) à déterminer du traitement de la réponse graphique décrit l'ensemble des systèmes ( vanne, objet, capteur, transmetteur) Expérimentation SALLE DE CONTROLE SYSTEME A IDENTIFIER C PROCESS 10 % REGULATEUR VANNE TRANSMETTEUR CAPTEUR 6.4.5. Identification de la fonction de transfert par rapport à la perturbation Identification de Wz(p) : Expérimentation Qp(t) [m3/s] 95 Ts(t) [°c] 23 Qp 3m3 / s 20 ? Qp(p) Wz(p)) 90 Ts 15c Ts(p) 85 t 80 0 5 T=10 15 20 10 25 30 35 t (main.) 6.4.5. Identification de la fonction de transfert par rapport à la perturbation Étape qualitative : structure du modèle Wz( p ) K 1 TP Etape quantitative : calcul des paramètres du modèle K Ts 15 c 5.[ c / m3 / s ] 3 Qp 3 m / s 5(c / m3 / s ) Wz( p ) 1 10 p T 10 min Ts gain relatif 15 Ts max 170 20 K 0,66 Qp 3 Qpmax 30 10 Wz( p) 066 , 1 10 p C. Vérification du modèle On détermine alors l’erreur relative maximale qui doit être inférieure à 10%. Notons qu’en général il est commode de prendre un gain unitaire (cela n’influe pas évidemment sur le résultat). Pour avoir la sortie en °c on multiplie par la valeur maximale soit 150°c t 0 ,66 Tm( t ) L . 0 ,15 * 0 ,66 1 e 10 [ ] p 10 p 1 1 0 ,15 t [min] Ts(t) °c Tm(t) °c abs(Tm-Ts) 0 80 80 0 3 84,35 83,89 0,46 6 87,60 86,77 0,83 9 89,60 88,90 0,7 12 90,95 90,48 0,47 15 92,30 91,65 0,65 18 92,70 92,52 0,18 21 93,5 93,16 0,35 24 93,88 93,63 0,25 27 94,5 93,99 0,51 30 94,6 94,25 0,35 33 95,00 94,44 0,56 95 Ts(t) Tm(t) t Tm( t ) 0 ,15 * 0 ,66 * 150 c 1 e 10 80 c [ c ] Ts(t) Tm(t) 90 Emax=0.83/15 =5.53% 85 80 0 5 10 15 20 25 30 35 6.4.6. Méthode de Broîda : Identification de la dynamique du four 1. Identification de G(p) : Expérimentation U G(p) Ts 100 Us(t) 100% 60% Ts(t) 1 bar 96 0,68bar U 10% 50% 0% courbe expérimentale Ts(t) 92 Ts 20c 88 0,6bar 84 t1 6 min, t2 9min 0,2bar t 80 10 t1 20 30 40 50 60 t (min.) t2 U K .e p 1 Tp Ts 70 K , T et ? 80 Principe de la méthode Broîda principe La méthode de Broîda est une méthode d'identification en boucle ouverte d'une réponse indicielle expérimentale qui consiste a assimiler la fonction de transfert d'un système d'ordre n à celle du premier ordre affectée d'un retard pur K .e p 1 Tp Le problème d'identification : déterminer les paramètres suivants T, Constante du temps (sec.), : Temps de retard pur (sec.) : Calcul des paramètres du modèle de Broîda Méthodologie Broîda fait correspondre la réponse indicielle à identifier et la fonction de transfert du 1er ordre affectée d'un retard en deux points t1 et t2 d'ordonnées correspondant à 28% et 40% de la valeur finale de la sortie du système. (t 1 e (t 1 e 1 2 ) T ) T 0 ,28 2 ,8 t 1 1 ,8 t 2 0 ,40 Paramètre du modèle 2,8t1 18 , t2 , T 5,5.t2 t1 , K Modèle final ys xe 1 1 t1 e T 0 ,28 t 1 e T 0 ,40 T 5 ,5 t 2 t 1 2 ,8 * 6 1 ,8 * 9 0 ,6 m in , T 5 ,5 . 9 6 16 ,5 m in Ts 20 T s m ax 170 2 0 1 3 ,3 % K 1 ,3 3 0 ,0 8 U 10% 1 0 ,2 U m ax 1.33 0 , 6 p 1,33 G ( p) e 116,5 p 10,6 p 116,5 p 6.4.7. Modèle du système global à commander U 100% Ts(t) Tm(t) 60% U 1 0% 50% Système réel U(t) Ts(t) Ts(t) : Sortie système 1.33 G( p) 116,5p10,6 p Tm(t) Tm(t) : Sortie modèle 0 Qp(p) T Tc(p) - C( p ) U(p) 0 Wz( p ) 20 40 60 80 0 ,66 1 10 p 133 , G( p) 1 165, p1 06, p + - Ts(p) 100 6.5. Synthèse du système de régulation continue 6.5.1. Schéma fonctionnel du système à réguler T Tc(p) PID U(p) Qp(p) Wz( p ) 0 ,66 1 10 p 133 , G( p) 1 16,5p1 06, p + + Ts(p) - 6.5.2. Schéma de simulation sur Matalab-simulink : Afin d’analyser aussi l’influence du retard sur les performances du système, on insère sur le schéma de simulation un bloc de retard pur (Transport delay). Remarque : Le bloc PID controller MASK Controller est donné sous forme : P+I/s+Ds où P est le gain Kr, I le temps d’intégration Ti et D l’action dérivée Td alors que s est l’opérateur de Laplace. Si on souhaite afficher les paramètres du régulateur série de fonction de transfert donnée sous la forme C(p) = Kr[1+1/(Ti.p) + Tdp] alors P correspond à Kr, I correspond à Kr/Ti, et D correspond à Kr*Td. 1 10s+1 Conduite pétrole Perturbation Z Consigne C + Sum P ID PID Controller Transport Delay 1.33 9.9s 2+17.1s+1 FOUR+vanne + + Sum1 Chap. 6/253 6.5.3. Analyse du système en boucle ouverte (sans régulation) Nous noterons le paramètre à régler (la température) par M, sa consigne Tc par C et l’échelon de la perturbation par Z0. Analysons les réponses indicielles du système par rapport à la consigne et à la perturbation en boucle ouverte. Il suit de ces réponses que les temps de réponse sont importants (51,33min.), que la perturbation n’est pas éliminée et l’erreur statique (MC) est de 57% (1,33/(1,33+1)*100%=57%) d’où une nécessité de régulation. Réponse en BO de la température par rapport à la perturbation 1.5 M Réponse en BO de la température par rapport à la consigne 1.5 M Z0 C 0.5 0.5 tpr = 30min. tpr = 51,3min. =3(T1+T2) 0 0 20 Time (min.) 40 60 0 0 20 40 60 Time (min.) 80 100 6.5.4. Objectifs de la régulation 1. Eliminer les perturbations (ici le débit du produit à chauffer), mais aussi toutes les perturbations en réalité, puisque elles agissent toutes sur la sortie 2. «Bien» suivre la consigne , «bien», cela signifie sans trop de dépassement (5 à 10%), un systéme rapide, une erreur statique nulle et surtout un système en boucle fermée assez stable (MG=2 par exemple) Chap. 6/254 6.5.5. Régulation continue (PID) 1. P- régulateur : Pour avoir l’action P, on affiche sur le logiciel I=0 ce qui correspond à Ti infini et Td (D)=0. Dans ce cas nous avons en boucle fermée un système du deuxième ordre, nous avons intérêt à prendre un gain qui nous assure un bon amortissement (voir chapitre 3, page 111) . Kr * 1,33 1 Wou( p ) Pour avoir 0 7 . , , on choisit 9 ,9 p 2 17 ,1 p 1 2 a1 2 2a0 a2 Kr * 1,33 , soit : Kr 10 ,352 2a2 Rappelons que ai sont les coefficient du système en boucle ouverte. valeur optimale Kr=10.352 M 1.5 Influence du gain sur la réponse M C Kr=50 0.8 C Kr=10,352 0.6 Kr=5 0.4 0.5 0.2 0 0 2 4 6 Time (min.) 8 10 0 0 10 20 Time (min.) 30 40 Remarque : Ce cas est en réalité trivial, car le système est absolument stable (les coefficients étant positifs), on affiche donc un gain assez fort sans vraiment être inquiété par l a stabilité du système. Par contre , l’erreur est inévitable, si les dépassements ne sont pas néfastes pour le système, on affiche une bande proportionnelle minimale. On fait remarquer que le gain Kr=50 est fantaisiste car, dans les régulateusr industriels une BP correspondante soit de 0.2% (1/50) n’est pas affichable (en général la plage est de 3 à 500%). Chap. 6/255 2. PI régulateur Analysons l'influence de l’action intégrale sur la stabilité : Fixons Kr=1 et varions Ti et observons la réponse du SRA par rapport à la perturbation (régulation) et à la consigne (poursuite). Poursuite 2 Poursuite 2 1.5 C C 0.5 0 En augmentant Ti, le système devient plus stable mais moins «agile». Ti=0,4min -1 -2 0 -0.5 -1 0 200 400 Time (min.) 600 Régulation Z0 Ti=2min 0 20 40 60 Time (min.) 80 100 Régulation Z0 1 élimination de la perturbation 0.5 Ti=0,4min C C élimination de la perturbation -0.5 -0.5 -1 -1 Ti=2min 0.5 0 200 400 Time (min.) 0 20 40 60 Time (min.) 80 100 Chap. 6/256 3. PID (Influence de l’action dérivée en régime de régulation) Manipulation : Amenons d’abord le système en régime d’instabilité en augmentant par exemple le gain ou en diminuant Ti : Soit (Kr=2 Ti = 0,4min , Td=0) ), puis introduisons l’action dérivée et analysons son influence sur la stabilité. Toutes les courbes représentent les réponses du SRA par rapport aux perturbations. M 3 Le système avec PI est instable, J’introduis alors l’action D, il se stabilise. Td=0 Ti=0,4 Kr=2 2 Z0 M Z0 Td=0,8 0.1 C C -1 -0.1 -2 -3 0 200 400 -0.2 600 Time (min.) 0 200 400 Time (min.) Z0 Z0 Ti=0,4 Kr=2 0.05 Td=5 le système se stabilise, ce qui me permet d’augmenter le gain Kr C Ti=0,4 Kr=10 Td=5 0.05 C -0.05 -0.05 -0.1 Ti=0,4 Kr=2 -0.1 0 50 100 Time (min.) 150 0 10 20 30 40 50 Time (min.) Chap. 6/257 6.5.6. Régulation discontinue ( tout ou rien) Analysons l’influence de la zone morte d’un relais sur la précision et la stabilité du SRA. On remarquera sur les résultats de simulation ci-dessous qu’il existe un dilemme zone morte (dead zone) - stabilité, précision ; Si le relais (régulateur tout ou rien) ne possède pas une zone morte, le SRA est précis, mais introduit des auto-oscillations (nuisibles pour la vanne). Si par contre, on introduit une zone morte importante, le pompage disparaît mais la précision est mauvaise. 1 10s+1 Conduite pétrole Perturbation Z Consigne C + Sum Relay Dead Zone Graph Transport Delay 1.33 9.9s 2+17.1s+1 FOUR+vanne + + Sum1 M M J’introduit une zone morte au relais C 0.8 0.6 commande avec relais 0.4 idéal (sans zone morte) commande avec relais le pompage disparaît mais l’erreur de réglage augmente 0.2 0 0 200 400 600 C 800 t (min.) 0.5 0 0 réel (avec zone morte) 200 400 600 800 t (min.) Chap. 6/258 6.5.7. Réglage du correcteur 1. Méthode théorique - Compensation des constantes de temps du système par un PID Les méthodes théoriques nécessitent toutes un modèle, c’est pourquoi leur efficacité dépend de la précision du modèle appliqué. Aussi, leur utilisation reste très limitée dans l’industrie. Ces méthodes sont nombreuses, appliquons à titre d’exemple, la méthode de compensation. Nous avons vu au chapitre 4 page 135 qu’il était possible de choisir les valeurs des paramètres du régulateur de façon à compenser les constantes de temps du four. Valeurs des paramètres du régulateur Ti 1 2 16 ,5 0 ,6 17 ,1 Td 1 2 0 ,5789 1 2 Remarque : Il est évident que la compensation des paramètres du système dans la pratique n’est pas aussi évidente qu’en simulation, car, le modèle n’est pas toujours exact et de plus les coefficients du modèle varient constamment dans les conditions réelles de fonctionnement : Il suffit par exemple que le dépôt de coke soit plus important par suite d’une mauvaise combustion du gaz que le coefficient d’échange de chaleur (paramètre du modèle) varie etc... Réponse par rapport à la perturbation en BF du système compensé Z0 Ti=17.1 Kr=10 td=0,5789 0.05 C 0 10 20 30 Time (min.) 40 50 Chap. 6/259 Influence du temps de retard sur la stabilité du système Limite du PID et de la régulation classique Introduisons un retard pur dans le système à commander. Analysons l’influence de ce temps de retard pur sur la stabilité du système. Le schéma de simulation est donné plus loin. La fonction de transfert du four devient : G( p ) 1,33 e p 1 16 ,5 p1 0 ,6 p Z0 0 ,2 Ti=0,4 Kr=10 td=5 0 ,3 J’augmente le retard pur dans le système, C C -0.03 Z0 0 10 20 Z0 30 on est contraint de diminuer, le gain Kr et le temps Ti au sacrifice d’autres performances C 0 10 20 10 20 30 40Time (min.) Z0 0 ,32 Ti=0,4 Kr=10 td=5 -0.5 -0.03 0 40Time (min.) Ti=0,4 Kr=10 td=5 30 Time (min...) Ti=6 Kr=1 td=5 C 0 ,32 d’où les limites de la régulation PID. 0 10 20 30 40 50 Time (min.) Chap. 6/260 2. Méthode pratique de réglage du régulateur en boucle fermée On introduit un retard pur au système (sinon le système ne sera jamais en régime de pompage). Sur le schéma de simulation sur Simulink du SRA , on met le correcteur en action P (Ti=max, Td=0 ou I=0, D=0 sur le PID controller de Simulink) et on augmente le gain jusqu'à apparition du pompage, on fixe alors le gain critique Kcr et la période de l’auto-oscillation puis on détermine les paramètres du régulateur par la méthode de Ziegler et Nichols en sachant que le PID est de type série ( voir tableau de Ziegler et Nichols). 0.66 10s+1 Conduite pétrole Perturbation Z0 + Sum Consigne C PID PID controller Retard =0.32 + + Sum1 1.33 2 9.9s +17.1s+1 FOUR, Vanne Obtention du régime de pompage paramètres affichés M Kcr=43,80 T=2,85min T 2.5 Paramètre affichés Ti=18.18 Td=9,38 Kr=25.76 Kcr 25 ,76 1 .7 2 1 T * 0 . 85 0 ,055 18 .18 1.5 Ti K cr Ti C T * K cr 9 .38 Td 13 .3 0.5 C 0.5 0 10 M Kr 1.5 5 Réponse indicielle en BF du PID 2.5 2 0 Graph M 15 t (min.) 0 0 2 4 6 t(min.) Chap. 6/261 6.6.Notion de régulation avancée Limite de la régulation PID Régulation prédictive (feedforward control): Lorsque la régulation classique PID est incapable de stabiliser ou de réguler le processus, on doit ou bien changer la structure du système de commande ou proposer d’autres algorithmes de commande plus sophistiqués. Ces méthodes sont communément appelées méthodes avancées de régulation. La liste des méthodes modernes de réglage (commande floue, par réseaux de neurones, horizon infini etc...) est exhaustive mais ces méthodes restent pourtant encore du domaine de la recherche. Il est important de souligner que pratiquement toutes ces méthodes nécessitent un modèle ce qui évidemment limite leur utilisation à des systèmes simples ou de structure rigide tels que les systèmes mécaniques (robotique et aviation). En génie des procédés, on utilise surtout les méthodes classiques que nous venons de voir. Le présent cours est limité uniquement à la régulation monovariable , nous citerons toutefois pour information le principe des quelques méthodes les plus simples : cascade, prédictive et auto adaptative. Ce mode de réglage dit aussi de compensation de perturbation ou à boucle combinée permet , d’éliminer l'effet de la perturbation principale (débit du produit à chauffer) avant qu’elle ne se répercute sur la variable à régler (la température) d’où un effet de prédiction. Cette régulation ne prend en compte qu’une seule perturbation, c’est pourquoi une telle commande est justifiée si la perturbation est bien localisée et qu’en plus elle subit des variations brutales et importantes. Le principe simple, consiste à déterminer et de réaliser la transmittance du compensateur Wc(p) de façon que l’effet de Qc(p) sur Ts(t) soit nulle. Régulation autoadaptative : Nous avons vu que la régulation PID a ses limites lorsque les temps de retard sont importants ou lorsque les perturbations sont trop grandes. Les paramètres optimaux à afficher du régulateur dépendent évidemment du modèle or, dans les processus réels (surtout en génie des procédés), les caractéristiques physiques changent en permanence. A titre d’exemple, une vitesse de réaction chimique dépend d’abord de l’état du catalyseur, les constantes de temps dans les fours dépendent du dépôt de coke dans les tubes etc... L’idée de la régulation auto adaptative est alors de calculer en temps réel le modèle du processus à commander (par des algorithmes appropriés) et de déterminer les paramètres ou la structure du régulateur numérique en fonction du critère d'optimalité imposée. Il est clair que dans ce cas les régulateurs sont numériques. A cet effet on excite le processus par un ensemble d’impulsions (qu’on appelle Séquences Binaires Pseudo Aléatoire SBPA) et on traite les sorties correspondantes pour déterminer le modèle par des algorithmes de type moindres carrées de récursifs. 6.7 Quelques principes de régulation avancée Régulation prédictive Régulation en cascade Produit à chauffer Produit à chauffer Ts FR Air (O2) Fc - Ts FT 1 FRC Gaz Wc(p) TRC - Gaz Tc - TRC Régulation auto adaptative identification temps réel critère d’optimalité calculateur Produit à chauffer Ts Air (O2) FR Gaz - Tc régulateur numérique auto ajustable Chap. 6/263 Tc Chap1: INTRODUCTION Chap.1/264 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Partie II COMMANDE NUMERIQUE Belkacem OULD BOUAMAMA 264 Chap1: INTRODUCTION Chap.1/265 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Sommaire 1. Rôle et définition d’une commande numérique 2. Eléments constitutifs et mise en œuvre Structure d'un système de commande numérique Fonctions d'un calculateur ; Critères de choix des paramètres (échantillonnage, quantification, numération et codage ; Mise en œuvre (Filtrage et multiplexage des signaux analogiques) ; conversion analogiquenumérique, Régulateurs numériques PID. Commande en temps discret. Chap.1/266 Chap1: INTRODUCTION Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille COMMANDE NUMERIQUE: pourquoi? Régulation continue : apparition en 1840 (Watt) encore très utilisée Régulation numérique Depuis 1959 (commande d ’une unité de polymérisation Texaco de Port Artur, Texas), Limites de la régulation analogique Manque d’auto-adaptivité Les paramètres du correcteur continu ne sont pas évolutifs Transmission sensibles aux bruit Précision faible Programmation des algorithmes figée (peu flexible) Archivage des données inexistant (nécessite des CAN) Temps de réponse lent (contrôleur pneumatique, analogique ,…) Difficulté de mise en œuvre des algorithmes de commande avancée (retour d’état, observateur …) Chap.1/267 Chap1: INTRODUCTION Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Régulation numérique : Eléments constitutifs C + M E Un CNA Ua PROCESS (-) CAN CAPTEUR TRANSMETTEUR CNA : Convertisseur Numérique Analogique CAN : Convertisseur Analogique Numérique Y Chap1: INTRODUCTION Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Chap.1/268 Eléments industriels Régulateur numérique Capteurs Actionneurs Process Salle de contrôle Chap1: INTRODUCTION Chap.1/269 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Avantages et inconvénients d’une commande numérique Avantages Informations numériques transmises peu sensibles au bruit Elaboration de consignes sous forme de programmes Calcul optimal des paramètres de réglage (régulateur auto-adaptatifs) Gestion des alarmes, autodiagnostic Commande embarquée Gestion statistique des données Programmation simple des actions P, PI, PID Programmation des commandes avancées faible coût et performances supérieures Inconvénients Temps de calcul en temps réel Nécessité de CAN et de CNA (car les actionneurs ont analogiques) dans la boucle numérique Le temps réel difficile à mettre en œuvre le temps de calcul des paramètres de réglage doit être inférieur au temps de réponse des éléments de la boucle. Chap1: INTRODUCTION Chap.1/270 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Rôle d’un calculateur Fonctions d'un calculateur dans une commande numérique Un calculateur peut être : microprocesseur, ordinateur, microcalculateur Calculer en fonction de l’algorithme des actions de commande vers l’actionneurs via le CNA Enregistrer l’évolution des variables du procédé en temps réel Afficher le suivi du procédé : gestion des alarmes et des consignes Aide à l’opérateur pour la prise de décision en situation d’alarmes Chap1: INTRODUCTION Chap.1/271 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille PARTIE 2 ELEMENTS CONSTITUTIFS ET MISE EN OEUVRE Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Chap.1/272 Chap1: INTRODUCTION Mise en oeuvre Consigne discrétisée + Calculateur numérique CNA - Procédé Continu Modèle échantilloné CAN Horloge Sortie discrétisée La consigne est spécifiée numériquement. L’erreur consigne-sortie discrétisée est traitée par un calculateur numérique. Ce calculateur généret une séquence de nombre. A l’aide d’un convertisseur numérique analogique (CNA), cette séquence est convertie en un signal analogique qui est maintenu constant entre des instants réguliers par un bloqueur d’ordre zéro (BOZ). L ’ensemble CNA-BOZ est appelé échantillonneur Bloqueur. Ces instants espacés régulièrement sont appelés instants d’échantillonnage et sont définis par une horloge de synchronisation Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Chap.1/273 Chap1: INTRODUCTION DEFINITIONS Echantillonnage Un signal continu f(t) est remplacé par une suite discontinue de ses valeurs f(nTe) aux instants d’échantillonnage t=nTe (n=0,1,2,…) où Te est la période d’échantillonnage. Échantillonner un signal consiste à le prélever à intervalle de temps réguliers, pendant une durée très courte. Signal discret (suite d’échantillons) Signal continu f*(t) f(t) Echantillonnage CAN Te t(s) 1Te 2Te 3Te 4Te 5Te 6Te t(s) Chap.1/274 Chap1: INTRODUCTION Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Définitions Quantification Après avoir échantillonné, on quantifie l ’amplitude du signal par un nombre fini de valeurs codées en général en binaire. Les données sont représentées sur un calculateur dans un certain format Quantifier un signal : approximer sa valeur instantanée par la valeur discrète la plus proche. On commet donc une erreur Un signal codé sur n bits prend 2n valeurs différentes (8 bits c’est 256 valeurs) Signal quantifié avec un nombre de niveaux deux fois plus petit Erreur de quantification Chap.1/275 Chap1: INTRODUCTION Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Définitions Erreur associée à la quantification = bruit de quantification Reconstruction (CNA) consiste à élaborer un signal analogique à partir d’une suite de nombres Discrétisation (CAN) Découpage temporel du signal Chap.1/276 Chap1: INTRODUCTION Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Bloqueur Reconstitution du Signal continu: Bloqueur d ’ordre zéro (BOZ) Le bloqueur d ’ordre zéro (BOZ) a pour action de maintenir constante et égale à f(nTe) l ’amplitude de l ’impulsion entre les instants nTe et (n+1)Te. P(t) Peigne de Dirac: suite d’impulsionde Dirac BOZ t f(t) CNA Signal continu Peigne de Dirac t(s) f*(t) Signal reconstitué P(t) 1Te 2Te 3Te 4Te 5Te 6Te t(s) Chap.1/277 Chap1: INTRODUCTION Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Quelle fréquence d’échantillonnage ?: Théorème de Shannon On échantillonne un signal continu de fréquence f0 pour différentes fréquences d ’échantillonnage fe fe=8f0 Fréquence d’échantillonnage fe=8f0 Le signal continu se retrouve dans la séquence échantillonnée. CAN fe=4f0 Le signal continu se retrouve dans la séquence échantillonnée. CAN fe=2f0 Le signal continu ne se retrouve plus dans la séquence échantillonnée. CAN Théorème de Shannon f e 2 f max Chap1: INTRODUCTION Chap.1/278 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Théorème de Shannon (suite) Importance Ce théorème très utile donne précisément la fréquence à laquelle il faut échantillonner un signal losqu'on le numérise. Enoncé la fréquence d'échantillonnage doit être au moins égale au double de la fréquence du signal analogique. Si l'on se situe sous cette limite théorique, il y a perte d'information dans le signal. Pour ne pas perdre d'information dans un signal la distance entre deux échantillons doit être inférieure à la demi-période du signal. Pour ne pas perdre de détail dans une image, la taille des pixels doit être moins de la moitié du plus petit détail de l'image. Chap1: INTRODUCTION Chap.1/279 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Théorème de Shannon (suite) Exemples dans l'audio : pour F < 20 kHz (son Hi-Fi), Fe = 44,1 kHz voix humaine en téléphonie : pour F < 3400 Hz, Fe = 8 kHz. Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Chap.1/280 Chap1: INTRODUCTION Choix en pratique de la période d’échantillonnage Critère fréquentiel Fe : fréquence d’échantillonnage : elle doit être 6 à 24 fois plus grande que la fréquence de coupure du système Exemple : soit Wc la fréquence de coupure du système, alors la période (s) d’échantillonnage Te sera : 2 2 ; Te 18c 9c Système du 1er ordre 4 9 Te 4.5 Te : constante de temps du procédé 1er ordre Pour un deuxième ordre W ( p) k P 2 2 n p n2 0.25 nTe 0.7 Chap.1/281 Chap1: INTRODUCTION Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Choix de la période d’échantillonnage CHOIX DE LA PERIODE D’ECHANTILLONNAGE POUR LA REGULATION DES PROCESS TYPE DE VARIABLE OU PPROCESS PERIODE D ’ECHANTILLONNAGE (en s) DEBIT 1-3 NIVEAU 5-10 PRESSION 1-5 TEMPERATURE 10-45 DISTILLATION 10-180 ASSERVISSEMENTS 0,001-0,1 REACTEURS CATALYTIQUES 10-45 CIMENTERIES 20-45 SECHAGE 20-45 Globalement : Choisir une fréquence d’échantillonnage 5 fois plus petite que la constante de temps la plus rapide que l'on veut contrôler en boucle fermée Chap1: INTRODUCTION Chap.1/282 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Cas pratique Si la fréquence d’échantillonnage Fe est trop petite : On perd de l’information du signal On doit bien faire l’interpolation pour reconstituer le signal Si Fe égale à celle du signal: le signal échantillonné paraitrait constant Si la fréquence d’échantillonnage Fe est trop grande Taille du mémoire du fichier à gérer trop grande Signal bruité si on doit dériver (exemple dériver la position pour avoir la vitesse) En pratique prendre la fréquence d’échantillonnage 10 fois la fréquence du signal Chap.1/283 Chap1: INTRODUCTION Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Mise en oeuvre (Filtrage et multiplexage des signaux analogiques Schéma de principe d’une boucle de traitement numérique Grandeur physique Capteur Ampl i Filtrage Echantillonneur bloqueur CAN Unité de traitement CNA Partie opérative Ampli. Filtrage Chap1: INTRODUCTION Chap.1/284 exemple Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Chap1: INTRODUCTION Chap.1/285 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Rôle des éléments de la boucle numérique Capteur Transforme l’énergie en une grandeur physique mesurable. Il est l’interface entre le monde physique et le monde électrique. Il va délivrer un signal électrique image du phénomène physique que l’on souhaite numériser. Il est toujours associé à un circuit de mise en forme. Amplificateur Cette étape permet d’adapter le niveau du signal issu du capteur à la chaîne globale d’acquisition. Filtre Ce filtre est communément appelé filtre anti-repliement. Son rôle est de limiter le contenu spectral du signal aux fréquences qui nous intéressent. Ainsi il élimine les parasites. C’est un filtre passe bas que l’on caractérise par sa fréquence de coupure et son ordre. Chap1: INTRODUCTION Chap.1/286 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Rôle des éléments de la boucle numérique Echantillonneur bloqueur Son rôle est de prélever à chaque période d’échantillonnage (Te) la valeur du signal. On l’associe de manière quasi-systématique à un bloqueur. Le bloqueur va figer l’échantillon pendant le temps nécessaire à la conversion. Ainsi durant la phase de numérisation, la valeur de la tension de l’échantillon reste constante assurant une conversion aussi juste que possible. On parle d’échantillonneur bloqueur. CAN Il transforme la tension de l’échantillon (analogique) en un code binaire (numérique). CNA Il effectue l’opération inverse du CAN, il assure le passage du numérique vers l’analogique en restituant une tension proportionnelle au code numérique. Chap.1/287 Chap1: INTRODUCTION Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Rôle des éléments de la boucle numérique Filtre de sortie Son rôle est de « lisser » le signal de sortie pour ne restituer que le signal utile. Il a les mêmes caractéristiques que le filtre d’entrée. Amplificateur de sortie Il adapte la sortie du filtre à la charge. Performances globale de la chaîne d’acquisition Fréquence de fonctionnement : C’est le temps mis pour effectuer les opération de : Echantillonnage (Tech) , Conversion (Tconv et Stockage (Tst) temps minimum d’acquisition la somme de ces trois temps : Tacq Tech Tconv TSt Fmax 1 Tech Tconv TSt Résolution de la chaîne La numérisation d’un signal génère un code binaire sur N bits. On obtient donc une précision de numérisation de 1 2N%. Il faut donc que tous les éléments de la chaîne de conversion aient au moins cette précision. On leur demande en général une résolution absolue de (0.5*1 2N%). Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Chap.1/288 Chap1: INTRODUCTION Acquisition Multiplexeur Acquisition séquentielle décalée L’acquisition décalée se base sur l’utilisation en amont d’un multiplexeur qui va orienter un capteur vers la chaîne unique d’acquisition CAN EchantilloneurBloqueur MULTIPLEXEUR CAPTEURS 0101101 Séquenceur Avantages : Economique Inconvénients : décalage dans le temps des acquisitions. On réservera donc cette structure à celle ne nécessitant pas une synchronisation entre les données numérisées. Temps d’acquisition complet est proportionnel au nombre de capteurs Chap.1/289 Chap1: INTRODUCTION Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Acquisition Acquisition séquentielle simultanée E/B 2 Capteur n E/B n CAN Capteur2 EchantilloneurBloqueur (E/B) E/B 1 MULTIPLEXEUR Capteur1 0101101 Séquenceur Avantages : Economique moyen, acquisitions synchrones Inconvénients : un E/B pour chaque capteur. Temps d’acquisition complet est proportionnel au nombre de capteurs. Chap1: INTRODUCTION Chap.1/290 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille Acquisition Acquisition parallèle Capteur1 E/B 1 CAN1 0101101 Capteur2 E/B 2 CAN1 0101101 Capteur n E/B n CAN1 0101101 Avantages : les conversions simultanées, Acquisition d’une donnée pendant que l’on en stocke une autre, gain de temps sur l’acquisition complète. Inconvénients Coût élevé Chap1: INTRODUCTION Chap.1/291 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille TRANSFORMEES EN Z Transformée de Laplace d’un signal échantillonné Description d’un signal échantillonné On définit le signal échantillonné par la suite en k : {f(K)}={f(KTe)} f(t) Te f*(t) f * ( t ) f ( t ) ( t nTe ) f * ( t ) f ( t ) Te ( t ) Te ( t ) ( t nTe ), n peigne de Dirac n 0 n 0 f ( nTe ) ( t nTe ) n 0 Transformée de Laplace tp L f * ( t ) f ( nTe ) ( t nTe ) e dt f ( nTe )e nTe p n 0 0 n 0 Prof. B. Ould Bouamama Polytech’Lille « Automatique continue et numérique » Transformées en z Transformée en z L f * ( t ) F * ( p ) f ( nTe )e nTe p n 0 Changement de variable : z eT p e f ( t ) F ( z ) f ( nTe ) z n Z f * ( t ) n 0 du point de vue numérique, à la suite de nombre f(0), f(Te), …., f(nTe) constituant le signal numérique, on peut faire correspondre la série : F *( p) f (nTe )enTe p n0 du point de vue continu : Soit F*(p) est la transformée de Laplace du signal échantillonné Prof. B. Ould Bouamama Polytech’Lille « Automatique continue et numérique » Transformée en z Transformée en z : définition On appelle transformée en z d’un signal f(t) la Transformée de Laplace F*(p) du signal échantillonné f*(t) en remplaçant : ze Te p Exemple 1 : TF de Z de échelon Heaviside Z ( t ) ( nTe ) z n n 0 z n n 0 (t ) 1 1 z 1 z z ... 1 1 z z 1 1 2 at Exemple 2: f ( t ) e f ( t ) e at f ( nTe ) e anTe Te n e z F ( z ) e nTe z n Te z z e n 0 n 0 Prof. B. Ould Bouamama Polytech’Lille « Automatique continue et numérique » Suite géométrique de raison z-1 Tableau des transformée en z 295 Definitions La transformée de Laplace pour les signaux continus : La Transformée de Laplace pour un signal discret (connus uniquement en des instant k) X* est est une suite : Donc la transformée en z est définie p (existe table des Transfor. En z) Propriétés de la transformée en z Linéarité Théorème du retard Si F(k-1) est le signal discret de f(k) retardé de l périodes: alors , Théoréme de l’avance 11/03/2018 Commande numérique 297 Théoréme de la valeur initiale La valeur initiale d’un signal continu est à temps discret, elle est: Théorème de la sommation En continu on parle du théoème d’intégration En discret on a : 11/03/2018 298 Théorème de la valeur finale: En continu : En discret : Exemple : Calcul d’une Transformèe en z Soit un signal discret du signal de Dirak : Transformèe en z: 11/03/2018 Commande numérique 299 Calcul Transformée en z exemple Considérons le signal suivant Par définition, sa transformée en z se calcule comme suit Il s’agit d’une série géométrique connue 11/03/2018 Commande numérique 300 Application : Transformée en z 1) Système continu u(t ) 1 1 p 1 1 p t 1 z Z p z 1 z z . y ( n ) y ( nTe ) z Y ( z ) Z y( n ) W ( z ).U ( z ) Te z 1 ze n 0 z z e Te 1 t y ( t ) L1 1 e p (1 p ) 1 1 Valeur finale: y ( ) Lim p 1 p 0 (1 ) p p 1 z Z , Te (1 p ) z e 2) Système numérique z z 1 W ( z) 1 Y ( p) p (1 p ) n Valeur finale: TRANSFORME_Z z z 1 z 1 z 1 Y (( z ) Lim Discret : y( k ) Lim z z e Te z 1 1 e Te z 1 z 1 z k Valeur initiale z z f (0) LimF ( z ) : Lim 1Te Te z z 1 z e z : dépend de Te Système discret et échantillonné Un système à temps discret se définit comme un opérateur entre deux signaux à temps discret. Un modèle entrée-sortie, appelé aussi modèle externe, ne fait intervenir que les séquences d’entrée uk et de sortie yk. a0 y ( k ) a1 y ( k 1) ...an y ( k n ) b0u( k ) b1u( k 1) ...bmu( k m) 11/03/2018 Commande numérique 302 Système discret Fonction de Transfert d’un système discret u( k ) W(z) y(k ) a0 y ( k ) a1 y ( k 1) ...an y ( k n ) b0 u( k ) b1u( k 1) ...bm u( k m ) a0Y ( z ) za1Y ( z ) z 2 a2Y ( z ) ... z n anY ( z ) b0U ( z ) zb1U ( z ) ... z m bmU ( z ) b0 zb1 z 2b2 ... z m bm Y ( z) B( z ) W ( z) 2 n U ( z ) a0 za1 z a2 ... z an A( z ) 11/03/2018 Commande numérique 303 Signal échantilloné Utilisation de calculateurs numériques utilisés en temps réel pour commander, piloter, guider... des procédés physiques qui sont le plus souvent à temps continu. La problématique : Représenter les interactions entre des signaux physiques analogiques avec des signaux assimilables par des calculateurs numériques qui se présentent sous forme de suites. L’analyse d’un système commandé par calculateur numérique passe par la définition d’un système `a temps discret, comprenant le procédé commandé de nature généralement continue, et les convertisseurs numérique analogique et analogique-numérique, que l’on peut respectivement assimiler au bloqueur d’ordre zéro et `a l’´échantillonneur, 11/03/2018 Commande numérique 304 Système échantillonné et discret Partie continue Partie échantillonée 11/03/2018 Commande numérique 305 Conversion AN et NA AN NA 11/03/2018 Commande numérique 306 Échantillonneur Le véritable problème envisagé est celui de l’´échantillonnage en sortie d’un procédé dont on connait, par exemple, sa fonction de transfert mais la sortie du système est inconnue car elle dépend du signal d’entrèe u(t) qui n’est pas précisé´ T doit satisfaire le théorème de Shannon 11/03/2018 Commande numérique 307 Bloqueur d’ordre zero Fonction de transfert d’un bloqueur d ’ordre zéro (BOZ) Il a pour action de maintenir constante et égale à f(nTe) l ’amplitude de l ’impulsion entre les instants nTe et (n+1)Te. Sa FT Bo(p) est la transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle 11/03/2018 Commande numérique 308 Fonction de transfert d’un BOZ (t ) (t ) : signal de saut s(t ) (t ) s(t ) Bo(p) T t t s( t ) ( t ) ( t T ) s( p ) ( p ) ( p )e TP ( p )(1 e TP ) 1 (1 e TP p s( p ) (1 e TP ) Bo( p ) ( P) p 11/03/2018 Commande numérique 309 Transformée en z de l’échelon unitaire Transformée d’un échelon unitaire Z ((t )) (nTe ) z n 1 z 1 z 2 .....z n suite géométrique raison z 1 n0 1 z Z ((t )) 1 1 z z 1 (t ) Transformée bloqueur associé transmittance 11/03/2018 Commande numérique 310 Fonction de transfert d’un système échantillonné Fonction de transfert U( p ) Y( p ) G(p) G ( p) Y ( p) U ( p) u( k ) Système échantillonné u( k ) Bo(p) u(t ) W(z) y( k ) Bo(p) y (t ) y( k ) G(p) y( k ) G(p) Te Théorème: Soit un procédé continu modélisé par une fonction de transfert G(p). Ce procédé échantillonné admet une fonction de transfert en W(z): 11/03/2018 Commande numérique 311 Demonstration Sens de Z[h(p)] h(t) : réponse impulsionnelle hk réponse discréte {hk }= { h(KT) } H(z) : FT en z. Z[hk ]=H(Z) u*(t) : signal continu constitué des échantillons u(k ) 11/03/2018 Commande numérique 312 u( k ) Te U * ( p) Bo(p) U ( p) Y ( p) Gc(p) La transformée de Laplace de ce signal s’écrit: Comme Sachant que la réponse impulsionnelle sortie échantillonneur est: 11/03/2018 Commande numérique 313 En appliquant le théoréme du retard 11/03/2018 Commande numérique 314 Puisque la FT du bloqieur d’ordre zéro est Bo(p) Bo(p)=1-exp(-Tep)/P, on a : Les propriétés des Tf de Laplace et de Z donnent : 11/03/2018 Commande numérique 315 Application : Transformée en z et échantillonné 1) Système continu u(t ) 1 1 p 1 1 p t 1 z Z p z 1 z z . y ( n ) y ( nTe ) z Y ( z ) Z y( n ) W ( z ).U ( z ) Te z 1 ze n 0 z z e Te 1 t y ( t ) L1 1 e p (1 p ) 1 1 Valeur finale: y ( ) Lim p 1 p 0 (1 ) p p 1 z Z , Te (1 p ) z e 2) Système numérique z z 1 W ( z) 1 Y ( p) p (1 p ) n Valeur finale: TRANSFORME_Z z z 1 z 1 z 1 Y (( z ) Lim Discret : y( k ) Lim z z e Te z 1 1 e Te z 1 z 1 z k Valeur initiale z z f (0) LimF ( z ) : Lim 1Te Te z z 1 z e z : dépend de Te Exemple : système échantillonné EXEMPLE : FT en z de G ( p) 1 ( p 1) ECHANTILLONE_VS_Z Période d’échantillonnage FT en z: G( z) 2 Te 2 4 z 1 G ( p) z 1 1 Z Z z z p p ( p 1) puisque (cf. table) G ( p) 1 z (1 exp(Te) Z Z p( p 1) ( z 1) z exp(Te) p Alors FT en Z du Système échantillonné est 11/03/2018 pour Te 1, G ( z ) z 1 G ( p ) (1 exp(Te) G( z) Z z p z exp(Te (1 exp(1) 0.6321 exp(numérique 1 z 0.3679 zCommande 317 MATLAB %EXEMPLE num=1; den=[1 1]; mc=tf(num,den) %Convertir continu vers discret Te=1; method='zoh' md = c2d(mc,Te,'method') step(md); %Convertir discret vers continu mc1=d2c(md) mc = 1 ----s+1 EXO_ECHANTILLONE_ MATLAB md = 0.6321 ---------z0.3679 Chap.1/ 318 Exemple EXEMPLE : FT en z de G ( p) Période d’échantillonnage FT en z: G( z) 1 (2 p 1) 2 Te 2 4 1 z 1 G ( p) z 1 Z Z p(2 p 1) p z z puisque (cf. table) z (1 exp(0.5Te) 1 1/ 2 Z Z p ( p 1/ 2) z exp(0.5Te) ( z 1) p p ( 2 1 ) Alors FT en Z du Système échantillonné est 11/03/2018 , 1 e T r u o p (1 exp(0.5) 0.3935 G( z) z exp(0.5 z 0.6065 Commande numérique 319 SIMULATION : Echantillonné Matlab Exo_echantilone3_mtalab ECHANTILONE_SIMULINK %EXEMPLE num=1; den=[2 1] mc=tf(num,den) %Convertir continu vers discret T=1 DEMO_SIMULINK EXo_echatillon3 method='zoh' md = c2d(mc,T,'method') Syntax : Continuous to discrete step(md) md = c2d(mc,T,’method’) %Convertir discret vers continu Syntax : discrete to continuous mc1=d2c(md) mc1=d2c(md) 11/03/2018 Commande numérique 320 Réponse discrète et continue 11/03/2018 Commande numérique 321 FT d’un système échantillonné FT d’un système continu U( p ) W(p) Y( p ) FT du système échantillonné W ( z ) Z W ( p ).Bo( p ) 11/03/2018 z 1 W ( p ) Z p z Commande numérique 322 Exemples Soit le système échantilloné suivant u( k ) Bo(p) Calculer sa FT en z La partie continu est : Sa FT en z est : 1 p( p 1 ) y( k ) Te 1 G( p) p ( p 1) z 1 G( p ) z 1 1 G( z ) Z Bo( p ).G( p ) Z Z z z p p p( p 1) 11/03/2018 Commande numérique 323 Exemple suite Décomposition en éléments simples 1 G( p) p ( p 1) G( p ) 1 2 p p ( p 1) z 1 G( p ) z 1 z (1 exp( Te)(1 z ) Te( z exp( Te)) G( z ) Z . 2 z p z ( z 1) ( z exp( Te)) Utilisation de la table z 0.7183 Pour T 1s, G ( z ) 0.37679 z 1 z 0.3679 11/03/2018 EXo_echatillon_2 324 2eme Exemple ) p ( w p 1 p 3 2 p 2 10.25 p 9.25 Bode Diagram 0 -10 Magnitude (dB) -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 180 Step Response 0.1 Phase (deg) 90 0.05 0 -90 Amplitude 0 -180 -1 10 0 1 10 10 2 10 -0.05 Frequency (rad/sec) -0.1 Fréquence de coupure C=5rad/s ou fc=C/(2π) -0.15 0 2 4 6 8 10 12 Time (sec) Théorème de Shannon 2π /(24*5)<T< 2π /(6*5) 0,05T< 2π /0,2 11/03/2018 Commande numérique 325 Simulation home disp('Fonction de transfert') num=[1 -1]; den=[1 2 10.25 9.25]; mc=tf(num,den) pause, home disp('Choix periode echantillonage')%Fréquence de coupure est de 5rad/s %2pi/24< Te < 2pi/6 0.05<Te<0.2 T=0.2 pause, home Transfer function: Résultats ---------------------------------z^3 - 2.312 z^2 + 2.042 z - 0.6703 Sampling time: 0.2 method='zoh' disp('Modele discret') md = c2d(mc,T,'method') pause, home disp('REPONSE INDICIELLE') step(md) pause, home disp('Modele continu')%Convertir discret vers continu mc1=d2c(md) 11/03/2018 0.01439 z^2 - 0.003186 z - 0.01758 DEMO Matlab Exo_echantilone4_mtalab Commande numérique 326 REGULATEUR DISCRETS Régulateurs continus u(t ) K p E (t ) 1 dE ( t ) E ( t ) dt T d Ti dt U ( p) 1 W ( p) Kp Td p E( p) Ti p Exo_recgulation_contin u_discrete Régulateurs discrets Te z Td ( z 1) U ( z) Kp W ( z) E( z) Ti ( z 1) Te z 11/03/2018 Commande numérique 327 Dérivée filtrée L'action dérivée idéale provoque une forte augmentation du bruit hautes fréquences, on utilise en pratique une dérivée filtrée : W ( z) 11/03/2018 T T ( z 1) U ( z) z , N 0.1 Kp e d E( z) Ti Ti ( z 1) Te z N Commande numérique 328 Stabilité des systèmes numériques definition Un système numérique est stable ssi il revient à sont état d’équilibre suite à une réponse impulsionnelle. Soit h(kT) la réponse impulsionnelle : Valeur finale: h( ) Lim h( kt ) 0 Condition nécessaire et suffisante k n N ( z) H ( z) D( z ) i a z i i0 d b z i0 la fonction de transfert en z i i la réponse impulsionnelle est :s(z)=H ( z ). ( z ) ( z ): Transformée en z d'une impulsion z 1 ( p) z 1 z ( p ) 1 ( z ): Z = . =1 z z z 1 p Cd C1 C2 ... la réponse impulsionnelle est :s( z ) z z p1 z z p 2 z z pd 329 Quelle est la forme de la réponse impulsionnelle en fonction des pôles : Soit zpi les poles de la FT simples , la réponse impulsionnelle sera alors : d H ( z ) k L1 C z i pi Lim hk 0 si i z pi 1 z i 0 k 11/03/2018 Commande numérique 330 Stabilité : Lien avec système continu Un système continu est stable si et seulement les pôles de sa fonction de transfert G(p) sont tous à partie réelle négative. A chaque élément simple de la décomposition de G(p), il apparaît un pôle pi auquel correspond un pôle simple zi = eTpi pour G(z)=Z[G(p], compte tenu de la relation fondamentale z = eTp, reliant les variables p et z. 1 z G ( p) G( z) pa z e aTe ba z z G ( p) G( z) z e aTe z e bTe p a p b Prof. B. Ould Bouamama Polytech’Lille « Automatique continue et numérique » Chap.1/ 331 Soit pi = i +ji Donc pour G(z) un pôle pour G(p) Te . pi z i =e i +ji =e i e e ji La condition de stabilité du système continu, à savoir i <0 implique que : Tep zi =e i e e ji 1 Un système numérique de transmittance G(z) est stable ssi tous ses pôles sont situés à l’intérieur du cercle de rayon unité. Il est d’autant plus stable que ses pôles sont prés de l’origine. Il est juste oscillant si ses pôles sont de module 1 Prof. B. Ould Bouamama Polytech’Lille « Automatique continue et numérique » 332 Domaine de stabilité z eTe p , soit p= +j Lien avec un système continue z =eTe p 1 0 Im Juste Oscillant Re 11/03/2018 Commande numérique 333 Critère de Jury soit donnée la Ft en z n N ( z) H ( z) D( z ) i a z i i 0 d i b z i la fonction de transfert en z i 0 Considérons le dénominateur D(z) D( z ) b0 b1 z ...bd 1 z d 1 bd z d , bi i 11/03/2018 Commande numérique 334 11/03/2018 Commande numérique 335 Critère de Jury: énoncé Pour que toutes les raciness de D(z)=0 soient situées à l’intérieur du cercle unite, il faut et il suffit que les (d+1) conditions suivantes soient satisfaites : D (1) 0 0 pour d pair D ( 1) 0 pour d impair 11/03/2018 b0 bd c0 cd 1 d 0 d d 2 ( d 1) contraintes e0 ed 3 ................... q0 q2 Commande numérique 336 Cas particulier 11/03/2018 Commande numérique 337 exemple Etudier la stabilité du système fermé suivant : La FT associé au BOZ est : 11/03/2018 Commande numérique 338 Suite la fT en BF est : Critère de jury STABILITY_JURY 11/03/2018 Commande numérique 339