automatique continu

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AUTOMATIQUE.
Continue et discréte
Professeur Belkacem OULD BOUAMAMA
Recherche : Responsable de l’équipe de recherche MOCIS
Laboratoire d'Automatique, Génie Informatique et Signal de Lille (LAGIS ‐UMR CNRS 8219)
Enseignement: Professeur et Directeur de la recherche à Poltech’ lille
Coordonnées
Polytech Lille . Avenue Paul Langevin, F59655 Villeneuve d'Ascq cedex
Tél : (00) 328767397, GSM (00)667123020
Mèl : Belkacem.ouldbouamama@polytech‐lille.fr,
Page personnelle : https://wikis.univ‐lille1.fr/ci2s/membres/belkacem‐ould‐bouamama
Ce cours et bien d’autres sont disponibles à https://wikis.univ-lille1.fr/ci2s/membres/belkacem-ould-bouamama
Prof. B. Ould Bouamama Polytech’Lille
« Automatique continue et numérique »
1
Partie 1
Automatique linéaire continue
Prof. B. Ould Bouamama Polytech’Lille
« Automatique continue et numérique »
2
AVANT PROPOS (1/2)
Ce support de cours a pour but principal, sans être simpliste, de présenter avec une approche très pratique des
fondements de l’automatique linéaire que nous appellerons souvent la régulation automatique. Chaque outil
mathématique utilisé, est étayé par des exemples industriels concrets.
Pour rendre le cours attrayant, ce polycopié est simplifié, pour plus de détail sur le contenu le lecteur pourra se
référer au cyber-cours introduit par l’auteur sur le réseau internet : http://www.univ-lille1.fr/eudil/belk/sc00a.htm
La régulation automatique, actuellement rebaptisée «automatique» est noyée dans les techniques modernes de
commande (robotique, productique,cybernétique). Ceci est principalement dû à l’apparition initialement de l’électronique,
puis vers les années 60 du microprocesseur et donc de l’informatique. Mais il est utile de souligner que les vieilles
techniques de la régulation classique restent encore très utilisées dans des industries aussi complexes que le nucléaire par
exemple, et elles ont encore de beaux jours devant elles car, la théorie en automatique avance bien plus vite que son
application et ça, parce que les moyens informatiques sont plus «performants» que la connaissance du système à traiter,
c’est à dire le modèle mathématique, nécessaire pour la réalisation de la commande dite moderne. C’est pourquoi, il nous a
semblé utile de réserver dans ce présent support une large place à la modélisation.
Dans le premier chapitre, nous présenterons les principes de la commande automatique avec des exemples de
systèmes asservis et de régulation divers (de la poursuite d’une cible, régulation d’un four à la commande optimale d’une
unité de traitement de gaz en vue de minimiser le taux de pollution). La symbolisation normalisée des boucles de
régulation dans l’industrie sera aussi présentée afin de permettre à l’étudiant de lire les schémas de régulation présentés
dans l’industrie comme on lit un dessin de mécanique.
Avant de commander nous devons bien connaître le système, c’est pourquoi, dans le deuxième chapitre nous
développerons un aspect important de l’ingénieur qui est la modélisation et exposerons l’approche analogie des systèmes
physiques de type bond-graph « effort-flux». La méthodologie de la modélisation dynamique comportementale , par la
mise en équation des systèmes physiques de nature différente sera appliquée sur des systèmes divers : mécanique,
électrique, chimique. L’outil classique, mais inévitable en régulation - la transformée de Laplace avec surtout ses
applications pour la résolution des équations différentielles par la méthode des résidus, sera traité. On introduira enfin les
notions et le sens physique de la fonction de transfert.
Chap.1/ 3
AVANT PROPOS
(2/2)
L’outil mathématique de l’analyse des systèmes traités dans le chapitre précédent servira dans le troisième chapitre à
l’analyse des systèmes linéaires types. On insistera surtout sur l’analyse temporelle des systèmes (analyse indicielle et
impulsionnelle). L ’analyse fréquentielle, qui est plutôt un approche d ’électroniciens, n ’a pas un grand sen physique et
pratique dans les processus énergétiques. En effet les perturbations de débit, température ou de pression varient en
pratique plus sous forme d ’un échelon ou d ’une rampe que d ’une sinusoïde.
Les systèmes linéaires types les plus importants (premier et deuxième ordre, avec retard pur...) seront traités par des
exemples physiques variés (thermique, chimique, mécanique et électrique), des analogies seront à chaque fois soulignées..
Le quatrième chapitre propose la théorie de la stabilité des systèmes ave un approhe géométrique et algébrique.
Le dilemme stabilité- précision sera traité sur la base d’un exemple concret de la régulation de la pression dans un
réacteur. L’approche perturbation (qui est souvent omise par les étudiants) sera privilégiée car, en régulation, la consigne
reste en général constante. Le calcul des erreurs en poursuite et en régulation sera exposé. Concernant la stabilité, une
approche académique sera abordée avec une plus grande insistance sur le critère du revers et le sens pratique des marges
de stabilité
Le chapitre 5 sera consacré à la technologie et le réglage des régulateurs industriels. La constitution des régulateurs, la
vérification, le rôle et le domaine d’utilisation des différentes action (P I et D) ainsi que «tout ou rien» seront discutés
pratiquement.
Un projet d’analyse et de synthèse de la régulation d’un four tubulaire sera traité au sixième chapitre. Pour la
synthèse, on mettra en évidence l’influence des actions P, I et D et de «tout ou rien» sur les performances du système,
ainsi que celle du retard sur la stabilité. les limites de la régulation PID seront aussi mises en évidence, ce qui nous
amènera à discuter sur les notions de la régulation avancée.
Cette partie sera évidemment illustrée par un ensemble de travaux dirigés (TD) et pratiques (TP) portant sur la régulation
de processus industriels.e
La deuxième partie sera consacrée à l’introduction à la commande numérique.
 Malgré tout le soin apporté à la rédaction, l’auteur est conscient des imperfections qui peuvent encore subsister dans ce
polycopié. Aussi, l’auteur est reconnaissant par avance des remarques que pourront lui adresser les lecteurs et les
étudiants pour la perfection de ce support de cours.
Chap.1/ 4
OBJECTIFS DU COURS
 Présentation des principes de l’automatique continue (asservissement et régulation)
 Maîtriser les outils mathématiques pour :
 l’analyse des systèmes physiques(modélisation, analogie des systèmes physiques)
 et des systèmes de commande (fonction de transfert, transformée de Laplace ,
analyse temporelle etc.)
 Prendre connaissance des pratiques de la régulation industrielle sur des exemples
concrets
 Technologie et réglage des régulateurs
 Choix et actions des régulateurs etc..
 Méthodologie de la réalisation d’un projet d’un système de régulation
 cahier de charge, identification et synthèse du système de régulation
 montrer les limites de la régulation classique
 Introduction à la régulation avancée.
Chap.1/ 5
AUTOMATIQUE ?
 Automatique ? Science traitant de :
 La modélisation
 Analyse
 Commande
 Supervision des systèmes dynamiques continus et discrets
Actuellement automatique discipline transverse
Applications :
 Aéronautique,
 Automobile,
 Spatial,
 Procédés,
 Économie
 Sciences de la terre….
Chap.1/ 6
Chap. 1.
INTRODUCTION
 1.1 Historique et la régulation automatique aujourd’hui
 Automatisation : Ensemble des procédés visant à réduire ou à supprimer
l’intervention humaine dans les processus de production
 La régulation automatique aujourd’hui : La régulation automatique, actuellement rebaptisée
«automatique» est noyée dans dans les techniques modernes de commande- robotique, productique etc..,
en raison surtout de l’apparition de l’électronique, puis vers les années 60 du microprocesseurs et donc de
l’informatique. Mais il est utile de souligner que les vieilles techniques de régulation classiques restent
encore très utilisées dans l'industrie et elles ont encore de beaux jours devant elles car, la théorie en
automatique avance bien plus vite que l'application et ça, parce que les moyens informatiques sont plus
«performants» que la connaissance du système à traiter c’est à dire le modèle. Il est aussi intéressant de
noter qu’aujourd’hui, les mécaniciens souhaitent parrainer l’automatique car la robotique c’est
l’automatique disent-ils et les informaticiens ont les mêmes ambitions car l’informatique industrielle est
leur apanage. Et l’automatique dans tout ça ? Mais cette question, d’actualité d’ailleurs, est sans doute la
conséquence des transformations des sciences de l’ingénieur subies grâce (ou a cause) de l’informatique.
 Historique : 1840 : Régulateur de Watt (Besoins de l’industrie à vapeur)
1945 : Deuxième guerre mondiale
1960 : Apparition de l’informatique (cosmos, traitement rapide de l’information, possibilité de
résolution des systèmes complexes etc..)

Importance : Qualité des produits finis, précision des opération , protection de
l’environnement, répététivité des opérations etc..
Chap.1/ 7
Les 1er systèmes automatiques
Clepsydre (sablier) de Ktesibios (-270 av. J.C)
 Ktesibios introduit un réservoir supplémentaire dans lequel
le volume de liquide reste constant grâce à un flotteur qui ferme
l'entrée du réservoir lorsque celui-ci est trop plein : c'est une chasse d'eau
moderne.
Metier a tisser programmable
 1728 :premier par cartons perfores par philippe Falcon
Chap.1/ 8
Les 1er systèmes automatiques (suite)
 L’industrie à Vapeur
 1679 : Denis Papin développe la soupape de sécurité
1788 Régulateur de Watt (dit à boule)
 Réglage de la vitesse des trains à vapeur
Chap.1/ 9
EVOLUTION DE L’AUTOMATIQUE
AEROSPATIALE
Robotisation, IA
INFORMATISATION
Régulateurs numériques
2ème GUERRE MONDIALE
Les systèmes suiveurs
Electronique, missile
MACHINE A VAPEUR
1er régulateur de Watt
Mécanisation, procédé
CYBERNETIQUE,
BIONIQUE
Etude des processus de
commande
Analogie monde animal
technologie
Chap.1/ 10
LES SYSTEMES AUTOMATISES AUJOURD’HUI
Maintenance
Set points
FTC Level
Technical
specification
DIAGNOSTIC
Control signals
List of faults
Observations
Control
SENSORS
INPUT
OUTPUT
Chap.1/ 11
1.2 DÉFINITIONS
Système : Ensemble organisé dans un but fixé ou ensemble
de processus physiques-chimiques en évolution et de procédés
de réalisation de ces procédés.
Sortie
Entrée
SYSTEME
Petits et grands systèmes
Signal
 Grandeur physique générée par un appareil ou traduite par un
Signal d’entrée
capteur
Signal de sortie
Commandable
Non commandable
Observable
Non observable
Chap.1/ 12
1.3. SYSTÈMES DE COMMANDE
1.3.1. Composition d ’un système de commande
PERTURBATIONS
ORDRES
SYSTÉME
DE
COMMANDE
ACTION DE
COMMANDE
SYSTÉME
À
COMMANDER
PARAMETRE A
COMMANDER
1.3.2 Paramètres d’un système de commande
Consigne
Action de commande
Perturbations
Paramètre à commander
Chap.1/ 13
1.3.3 EXEMPLES DE SYSTÈMES DE COMMANDE
 1. Réglage de la vitesse d’une voiture
Maintenir vitesse
constante
Etat de la route
Action de commande
(Débit d ’essence)
SYSTEME DE
REGLAGE DE
VITESSE
VOITURE
Vitesse de la
voiture
 2. Réglage de la température d ’un four
Produit à chauffer
QP
Produit chauffé
Ts
QG
Gaz combustible
Maintenir température
constante
VANNE
DE
REGLAGE
Temp. Extérieure
Débit produit à chauffer
Action de commande
(débit du gaz
QG
combustible)
FOUR
Paramètre à Ts
régler
Chap.1/ 14
1.4 CONCEPTION D’UN SYSTEME DE COMMANDE
1.4.1 système à boucle ouverte (open loop system)
Croisons les doigts pour que ça marche puisque
je n’ai aucune information sur la sortie, je suis aveugle .
Ordre (T=37°c)
Z (débit d’entrée)
Action de commande
(débit du gaz
combustible)
SYSTÉME DE
REGLAGE
Ts
FOUR
Pourvu que que la vitesse ne soit pas limitée
car la voiture n ’est pas équipée d ’indicateur de vitesse
Etat de la route
Ordres vitesse limitée
SYSTÉME DE
REGLAGE
 Avantages et inconvénients :
 Rapide, stable, simple mais pas précis
débit d’essence
VOITURE
Vitesse
Chap.1/ 15
1.4.2 Système en boucle fermée
Je compare ce que je veux et ce que je reçois
et j’agis en conséquence sur la vanne de réglage.
Je corrige jusqu’à ce que Ts=37°c
Objectifs
(T=37°c)
VANNE DE
REGLAGE
Consigne
Grandeur réelle
Action de commande
(débit du gaz
combustible)
Z (débit d’entrée)
FOUR
Ts
CAPTEUR DE TEMPERATURE
Je regarde la vitesse indiquée par le compteur
et j accélère ou décélère en agissant sur la pédale pour
maintenir la vitesse toujours égale a celle fixée.
débit d’essence
PEDALE DE VITESSE
Consigne:
V=cste
Vitesse
VOITURE
CAPTEUR DE VITESSE
 Avantages et inconvénients :
 Précis et régulé mais complexe, risque d’instabilité agit sur l’erreur de réglage
Chap.1/ 16
1.4.3 Automatismes à boucle combinée
Calculateur
Détermination du débit de gaz
nécessaire pour assurer la valeur
de température désirée :j’anticipe
Objectifs
(T=37°c)
Z (débit d’entrée)
VANNE DE
REGLAGE
Action de commande
(débit du gaz
combustible)
FOUR
Ts
Consigne
CAPTEUR DE
TEMPERATURE
Chap.1/ 17
 Avantages et inconvénients :
 Rapide et précis, anticipe les perturbations mais très complexe
 Et nécessite des calculateurs des modèles
1.5 FONCTIONNEMENT D ’UN SYSTEME DE CONTRÔLE
1.5.1 BUT D ’UN SYSTÈME DE CONTRÔLE : Atteindre le but (consigne)
quelque soit l ’effet des perturbations extérieures).
1.5.2 SYSTÈME ASSERVI ET LE COMPORTEMENT HUMAIN
Perturbations
Objectif
Uc
REFLEXION
Ur
ACTION
SYSTEME
PHYSIQUE
Réalité
OBSERVATION
Chap.1/ 18
1.5.3
Schéma fonctionnel d’un SRA
Z
chaîne de puissance
C
+
E
REGULATEUR
M
(-)
U
PROCESS
Y
chaîne de contre réaction (de faible puissance)
CAPTEUR
C : Consigne (set value),
E : écart de régulation (departure, error signal)
U : signal de commande (control signal)
Y : variable de sortie ou variable à régler ou mesure (mesured value)
Z : perturbation (disturbance)
M : grandeur physique à la sortie du capteur (courant, pression, ...)
Chap.1/ 19
1.5.4. Éléments d’une régulation analogique
Z
C
+
M
E
REGULATEUR
ANALOGIQUE
U
PROCESS
Y
(-)
4-20 mA
0,2-1 bar
0-10v
TRANSMETTEUR
CAPTEUR
On peut aussi avoir:
CEP : Convertisseur Electro-pneumatique
CPE : Convertisseur Pneumo-électrique
Chap.1/ 20
5.5. Eléments d’une régulation numériq
C
+
M
E
Un
CNA
Ua
PROCESS
Y
(-)
CAN
CAPTEUR
TRANSMETTEUR
CNA : Convertisseur Numérique Analogique
CAN : Convertisseur Analogique Numérique
Chap.1/ 21
1.5.6. ASSERVISSEMENT ET RÉGULATION
 Asservissement:
Un système asservi est un système dit suiveur , c’est la
consigne qui varie.
 Exemple : une machine outil qui doit usiner une pièce selon un
profil donné, un missile qui poursuit une cible, pilotage
automatique d ’un avion.
 Régulation :
Dans ce cas, la consigne est fixée et le système doit
compenser l’effet des perturbations,
 à titre d’exemple , le réglage de la température dans un four, de la
pression dans un réacteur, le niveau d’eau dans un réservoir.
Chap.1/ 22
EXEMPLES DE SYSTEMES DE COMMANDE
Prof. B. Ould Bouamama Polytech’Lille
« Automatique continue et numérique »
Chap.1/ 23
Asservissement de la position d’une antenne
Z (perturbation, vent)
E=Pd-Pm
+
Position
désirée Pd
Contrôleur
Actionneur
U
Moteur
Couple
Antenne
Position
Antenne P
Pm
Capteur de position
ANTENNE_DEMO.lnk (Ligne de commande)
Régulation de niveau
Z (perturbation, Fuite d’eau)
E=hc-hr
+
Niveau
Désiré hc
Contrôleur
Actionneur
U
Moteur+pompe
Qp
Réservoir
Niveau h
hr
NIVEAU_DEMO.lnk (Ligne de commande)
Capteur de niveau
1.6. EXEMPLES DE SYSTEMES AUTOMATIQUES
A) Suivi de la trajectoire d’une cible
C
+
E
M
C
+
Y
U
(-)
E
Contrôleur
U
Gouvernail
Ur
Avion
y
M
Gyroscope
Chap.1/ 25
B) Régulation de la température d’un four
CONSIGNE
-
THERMOCOUPLE
+
Tc
(Ts-Tc)
Ts
Pétrole brut
Pétrole chauffé
CORRECTEUR
U
Vanne de réglage
Tc
+
T
Contrôleur
U
Vanne
Ur
Gaz combustible
Four
Ts
-
Thermocouple
Chap.1/ 26
C) RÉGULATION DE LA TEMPÉRATURE D’UN ÉCHANGEUR THERMIQUE
Uc
120
160
180
200
Ur
Régulateur
Ts
Tc
Vapeur
Thermocouple
Produit chauffé
condensât
Tc
+
T
Régulateur
Produit à chauffer
Uc
Vanne
Ur
Z
Echangeur
Ts
-
Thermocouple
Chap.1/ 27
Systéme de régulation : PID
u1
Jus de fruit
concentré
Qc
Qjc(t)
Eau
V1
V2
FRC
u2
C2
Qe(t)
1
AIC
C1
M1
1
FT
M2
1
AT
Qs(t), Cs(t)
1
Mélange de concentration Cs et
de Débit Qs
But ; Réguler la concentration Cs(t) du produit et du débit de sortie Qs(t)
Paramètres à régler : Qs(t), Cs(t), Paramètres réglant : Qe(t) et Qjc(t)
Chap.1/ 28
Systéme de régulation : Bloc Diagramme
PROCESS
REGULATEUR
(-)
M1
C1
FRC
Vanne1+
conduite
Qe
Mélangeur11
Mélangeur12
Qse +
Qs
+
Cse
Qsc
Mélangeur21
QC
C2
AIC
(-)
Vanne2+
conduite
+
Mélangeur22
-
Cs
M2
Chap.1/ 29
Systéme de régulation : Schéma fonctionnel
REGULATEUR
(-)
M1
C1
FRC
PROCESS
Qe
W11(p)
W12(p)
Qse +
Qs
+
Cse
Qsc
W21(p)
C2
AIC
(-)
QC
+
W22(p)
-
Cs
M2
Chap.1/ 30
1.7 SYMBOLISATION DES BOUCLES DE REGULATION (P&ID)
TRC
1
Vapeur
Produit chauffé
TI
2
FI
9
Echangeur de
chaleur
TR
3
condensât
Exemple : TRC
Temperature Registered and Controlled
Produit à chauffer
PHS
5
Piping and Instrumentation Diagram
Plan des Instruments Détaillés
ORDRE DES LETTRES DANS UNE DESCRIPTION
1
2
3
Grandeur mesurée et/ou
Fonction des éléments de la boucle
Régulation ou
contrôlée
signalisation
T
Température
I
Indication
C
Controlé
P
Pression
R
Enregistrement
S
Sécurité
F
Débit
L
Bas (Low)
A
Composition
H
Haut (High)
d'un produit
J
Puissance
D
Différence
I
Courant
Z
Position
R
Radioactivité
E
tension
V
Viscosité
M
Humidité
W
Poid
L
Niveau
Chap.1/ 31
1.8. NIVEAUX D’UN SYSTEME AUTOMATISE
PROCESS
REGULATION
LOCALE
COMMANDE
AVANCEE
OPTIMISATION
STATIQUE
OPTIMISATION
ECONOMIQUE
SALLE DE
CONTROLE
OBJECTIFS
Chap.1/ 32
1.9 AUTOMATISATION & L’ENVIRONNEMENT
K
d


2 .H 2 S  SO 2 K 1 .5 S 2  2 H 2 O  Q
i

H2S
SO2
SO2
Réacteur
catalytique
Réacteur
catalytique
S
S
O2
SO 2 ,COS , H 2 S
A
Objectif
 S  min .

H2S
SO2
C a lc u l c o n s ig n e
FR
H2S
SO2
réel
H2S

SO2
Ro
G az
a ir
o p tim a l
C a lc u l  ( F a , F G ,% H 2 S ,% S O 2 . . . )
te l
que   m ax.
R
Chap.1/ 33
1.10 AUTOMATISATION INTÉGRÉE
Niveau 3
Supervision
Aide à la conduite planification,
diagnostic interface homme machine
Niveau 2
Monitoring
Suivi de l’état du processus
Visualisation
Niveau 1
Regulation
Commande logique, régulation
Optimisation
Niveau 0
Décisions
Entrée
Instrumentation
Choix et implémentation des
capteurs et actionneurs
Observations
Sortie
Chap.1/ 34
Chapitre 2
DESCRIPTION MATHEMATIQUE DES SYSTEMES
PHYSIQUES
Objectifs du chapitre :
Maîtriser :
 L’outil mathématique pour l’analyse des systèmes
(transformées de Laplace),
 la méthodologie de la modélisation comportementale de la
dynamique des systèmes physiques étayée par un ensemble
d’exemples industriels,
 Manipulation des fonction de transfert des systèmes
Chap.2/ 35
2.1. Méthodologie de l’analyse des systèmes
 2.1.1 Analyse et synthèse
C
+
E
U
CORRECTEUR
M
PROCESS
(-) M
But de l ’automaticien
Concevoir un SRA précis, stable et rapide
Comment ?
Analyse
(comprendre le process)
Synthèse
(choisir un « bon » correcteur)
Chap.2/ 36
2.1.2. Analyse et synthèse des systèmes
CAHIER DE CHARGE
E/S
Déf. du process et des objectifs
Lois physiques, bilan, hypothèses
ANALYSE
connaissance
Planification des expériences
Acquisition de données
Connaissance à priori
Choix de la structure du modèle
Estimation des paramètres
Modèle de conduite
Oui
adéq.
Synthèse de régulation
SYNTHESE
commande
Modèle de connaissance
Simulation
Choix du critère d’identité
Non
Logistique
actionneurs, régulateurs,
transmetteurs...
Validation sur site
Réalisation définitive
Chap.2/ 37
2.1.3 Propriétés des systèmes linéaires
 Définitions
 Un système physique est dit linéaire si son comportement est décrit par des équations
différentielles linéaires à coefficients constants.
x (cause)
SYSTEME
y (effet)
d m y( t )
d 2 y( t )
d 2 x( t )
d n x( t )
dy ( t )
dx ( t )
a0 x( t )  a1
 a2
 ... a n
 b0 y ( t )  b1
 b2
 ...bm
dt
dt
dt 2
dt m
dt 2
dt n
Conditions initiales CI : t  0 , x ( t 0 )  x 0 , y ( t 0 )  y 0
ai et bi sont des constantes.
E
R
C
Us(t)
 Exemple
dU s( t )
 E(t )
dt
Conditions initiales CI : t  0 , E ( t 0 )  E 0 , U s( t 0 )  U s0
U s( t )  RC
Chap.2/ 38
2.1.3 Propriétés des systèmes linéaires
 1. Propriété de superposition
 Si x1 donne effet à y1, x2 à y2 alors x1 + x2 donne effet à y1 + y2
 2. Propriété de proportionnalité
 Si x1 donne effet à y1, alors Kx1 donne effet à K y1
D’une façon générale :
si les entrées x1 (t) et x2 (t) provoquent l’évolution des sorties y1(t) et y2 (t)
alors K 1x1 (t) + K2 x2 (t) provoque la sortie y(t) = K1 y1 (t) + K2 y2 (t)
Chap.2/ 39
2.3 Modélisation des systèmes physiques
 2.3.1 Définitions




Modélisation ? : Ensemble des procédures permettant d’obtenir un modèle
Modéliser un système = capable de prédire le comportement du système
Subjectivisme de la modélisation : modèle = intersection du système et du modélisateur
Modèle jamais "exact"?
 2.3.2 Importance
 Outil d'aide à la décision., Support de la simulation,
 Représente 50 % d’un projet de commande
 Perspectives grâce à l'informatisation
 2.3.3 Un modèle pourquoi faire ?
 Concevoir, Comprendre, Prévoir, Commander (décider).
Chap.2/ 40
2.3.4 Un modèle comment faire ?
1. MODELE DE CONNAISSANCE






Obtenu sur la base des lois physiques, économiques etc..
Difficultés de décrire fidèlement les phénomènes complexes;
Hypothèses simplificatrices;
Dilemme- précision-simplicité
Un modèle simple est faux, un modèle compliqué est inutilisable.
Les paramètres ont un sens physique donc modèle commode pour l'analyse.
2. MODELE DE REPRESENTATION






Système "boite noire";
Expérience active (système dérangé) ou passive (aléatoire);
Etape qualitative (connaissances a priori) et quantitative;
Paramètres du modèle n'ont aucun sens physique;
Modèle de conduite (modèle E/S) utile pour la commande;
Complément du modèle de représentation.
Chap.2/ 41
2.3.5. Classification des modèles
1.
selon le caractère des régimes de fonctionnement
 statique et dynamique
2. selon la description mathématique
 linéaire, non linéaire
3. selon les propriétés dynamiques
 à paramètres localisés, à paramètres distribués
4. selon l’évolution des paramètres :
 stochastique , déterministe
5. selon le nombre de variables :
 monovariable (SISO) , multivariable (MIMO)
Chap.2/ 42
2.3.6 Différentes étapes de la modélisation
PROCESSUS PHYSIQUE
Etablissement du schéma de principe
Représentation par bloc
Acquisition
de données
Mise en équation
Calcul erreur de modélisation
Amélioration
du modèle
NON
Modèle
adéquat ?
OUI
SIMULATION, MONITORING,
CONTROL...
Chap.2/ 43
2.3.7. Analogie des grandeurs physiques : Notion des bond graphs
 Founder of BG : Henry Paynter (MIT Boston)
 The Bond graph tool was first developed since 1961 at MIT, Boston, USA
by Paynter
Symbolism and rules development :
 Karnopp (university of california), Rosenberg (Michigan university), Jean
Thoma (Waterloo)
 Introduced in Europe only since 1971.
 Netherlands and France ( Alsthom)
 Teaching in Europe
 France : Univ LyonI, INSA LYON, EC Lille, ESE Rennes, Univ. Mulhouse, Polytech’Lille
 University of London
 University of Enshede (The Netherlands)
Chap.2/ 44
Notion des bond graphs : Hystorique
 Teaching in Canada
Univ. of Waterloo (Jean THOMA)
 Teaching in USA
 MIT, Michigan university
Industrial application
is used today by many industries for modeling
analysis and control.
 Companies using this tool
Automobile company : PSA, Renault
Nuclear company : EDF, CEA, GEC Alsthom
Electronic :Thomson, Aerospace company ....
Chap.2/ 45
Bond graph: définition
1
2
REPRESENTATION
e
f
P = e.f
BOND GRAPH MODELING IS THE REPRESENTATION (BY A BOND) OF POWER FLOWS
AS PRODUCTS OF EFFORTS AND FLOWS WITH ELEMENTS ACTING BETWEEN
THESE VARIABLES AND JUNCTION STRUCTURES TO PUT THE SYSTEM TOGETHER.
Chap.2/ 46
Bond graph : variables de puissance et d’énergie (1/1)
 VARIABLES DE PUISSANCE
Effort e(t) Variables intensives: tension, température, pression
Flow f(t) : débit massique, courant, flux d’entropie, …
e (t )
Puissance échangée
P (t )  e (t ). f (t )
f (t )
 VARIABLES D’ENERGIE
Moment ou impulsion p(t), (flux magnétique, integral de la pression,
moment angulaire, … )
t
p (t )   e ( ) d   p (t 0 )
t0
Déplacement gnéralisé q(t), Variables extensives (masse, volume,
charge … )
q (t ) 
t
 f ( ) d   q (t 0 )
t0
Chap.2/ 47
VARIABLES DE PUISSANCE ET D’ENERGIE
DOMAINE
EFFORT (e)
Electrique
Mecanique
Mecanique
(translation)
(rotation)
Hydraulique
Chimique
Thermique
FLOW (f)
TENSION
COURANT
u [V]
i [A]
FORCE
VITESSE
F [N]
v
[m/s]
COUPLE
VITESSE ANGULAIRE
 [Nm]
 [rad/s]
PRESSION
DEBIT VOLUMIQUE
P [pa]
V m 3 / s
POTENTIEL CHIMIQUE
 [J/mole]
TEMPERATURE
T [K]
FLUX MOLAIRE
n
[mole/s]
FLUX D’ENTROPIE
S [W/K]
Chap.2/ 48
Bond graph : Eléments physiques de base
 Eléments de base
R
(Dissipation d ’énergie),
 C (Stockage d ’énergie),
 I (Inertie).
 Eléments de jonction
 « 0 » Même effort,
 « 1 » même flux, TF (Transformation d ’énergie).
 Eléments actifs
 Source d ’effort (Se) Ex. Générateur de tension, pompe,
 Source de flux (Sf) Ex. Générateur de courant.
Chap.2/ 49
1.
R element (resistor, hydraulic restriction, friction losses …)
ELECTRICAL
v1
v2
p1
i
v1  v 2  U  Ri
R
THERMAL
HYDRAULIC
Constitutive equation :
V
p2
p1  p 2  R V
p1  p 2  R .V 2
For modeling any physical
e
f
T2
T1  T 2  R Q
phenomenon characterized by an effort-flow relation ship
Representation
T1
Q
 R e, f   0
R:R1
Chap.2/ 50
2. BUFFERS element
A) C element (capacitance)
ELECTRIC
i1
Examples: tank, capacitor, compressibility
HYDRAULIC
V1
i2
A: section
h: level
: density
C= g/A
i
C
p
h
i  i1  i2 
dq d (C .U )

dt
dt
THERMAL
Q 2
m
c
T
V2
d ( Ah )
V  V1  V2 
,
dt
1 
p 
V dt
C 
U 
1
idt

C
C
Constitutive equation
p   gh
(For modeling any physical
phenomenon characterized by a relation ship between effort and  flow
Representation
Q1
e
f
d (mcT )
Q  Q1  Q 2 
.
dt
1
T   Q dt
C


C e,  fdt  0
C:C1
Chap.2/ 51
B) I element (Inertance)
Examples: Inductance, mass, inertia
HYDRAULIC
ELECTRIC
MECHANICAL
l
F
V1
i
i 
I
1
L
V2
p1
 Udt
p2
V
lA dV
F
m dv
p  p 

 2
A
A dt
A dt
A
V 
pdt

l
Constitutive equation
(For modeling any physical phenomenon
characterized by a relation ship between flow and  effort
Representation
e
f
I:I1
F  m
V 

dV
.
dt
1
Fdt

m

 I f ,  edt  0
Chap.2/ 52
2.3.8. Exemple de modélisation par Bond graph
Système électrique
Système hydraulique
R
i1
Q1
R
i2
i
C
P1
U1
Pompe
UC
Générateur de
tension
PC
C
Q2
C
R
e
 Représentation
Se
e2
e2
e1
1
0
f1
 Equation de l ’élément C
f
eC
 C e ,  fdt
f1

0

Sf
e  P U
f  Q i
f2
PC  U C 
1
C
 ( f1 
f 2 ) dt
Chap.2/ 53
LES LOGICIELS DE MODELISATION et de SIMULATION
 MATLAB-SIMULINK
 TWENTE SIM, SYMBOLS
Chap.2/ 54
2.3.9 Lois fondamentales de la modélisation des processus
 Loi de continuité générale
(Débit massique entrant dans le système) - (Débit
massique sortant du système) = variation de la masse
dans le système
 Balance énergétique
(Puissance totale reçue par le système de l’extérieur) + (Flux
d’enthalpie transportée par le mélange à l’entrée)
- (Flux d’enthalpie transportée par le mélange à la sortie)
= variation de l’énergie interne s’accumulant dans le système
Chap.2/ 55
2.4 EXEMPLES DE MODÈLES MATHÉMATIQUES
a. Modèle d’un circuit électrique RLC
L
R
Ve
Ve
C
Vs
Vs
CIRCUIT RLC
Ve  VR  VL  VS
VR  Ri
VL  L.
di
dt
1t
VS  . idt
C0
d 2VS
dVS
Ve  RC.
 LC. 2  VS
dt
dt
Chap.2/ 56
b. Modèle d’un thermocouple
Un thermocouple ?
E
Ts : Temp. de la soudure du thermocouple [°];
Te : Temp. du milieu à mesurer;
E : fcem de sortie = K.Ts [Volt]; K=cste.;
M : masse de la soudure [kg];
S : Surface d'échange de chaleur [m²];
[j/(kg.°K)];
C : Capacité calorifique. de la soudure
 Coef. de transfert de chaleur [j/(sec.m².°K)];
Ts
Te
Te(t) [°c]
E(t) [mV]
Thermocouple
S TeTs MC.
dTs
dt
E n tenant com pte que dans un therm oco uple E  K T s , on obtient :
Ko .
MC dE
 E Te ( t )
.
 S dt
Chap.2/ 57
c. Modèle d’une vanne de réglage
2. schéma bloc
1. Schéma de principe
Pe
régulateur
Pe (bar)
0,2 -1 bar
3 - 15 psi
Pe
Vanne
1
Légende :
Pe : pression provenant du régulateur [0,2 bar à 1bar] (entrée)
X : déplacement de la tige 3 [0 à 6 mm](sortie)
f : frottement [kgf.sec/m], m : masse de la partie en mouvement [kg]
1 : Membrane en caoutchouc de section s [m²]
2 : ressort de raideur Ke [kgf/m]
3 : Tige , 4 : garniture d'étanchéité, 5 : siège, 6 :clapet
7 : conduite
2
6
3
X (mm)
X
4
5
3. Modèle
Bilan des forces (Newton)
7
DEMO
2
d X
dX
m 2  kX f Pes
dt
dt
Chap.2/ 58
2.4.1 vérification (calage) du modèle obtenu
Nous ne pouv ons pas afficher l’image.
Explosion nucléaire
Poste de commande
Données expérimentales
ERREUR DE
MODÉLISATION
Données du modèle
   ad . ?
Modèle de la réaction nucléaire
X(i)
Processus
Modèle
Feed back pour la
correction du modèle
YE (i)
Ym (i)

+ max
-
il faut que l’erreur soit minimale
dans les systèmes industriels
 max 
Ym max YE max
.100%   admissible
YE max
Chap.2/ 59
2.5 Rappel sur les transformées de Laplace
2.5.1 Définition
 Soit une fonction f(t) continue et nulle pour t<0;
f(t)

t
 f (t )e dt  
et bornée :
t

 Elle admet alors une TRANSFORMEE DE LAPLACE

L f (t )  F ( p )   f (t )e
 pt
dt
0
où :
p =  + j ,
:
On lit : image de f(t) est F(p)
f(t)  F(p)
 > 0 variable complexe.
 La transformée inverse ou originale se déduit :
f ( t )  L1 F ( p )
Où   un domaine assurant la convergence de l'intégrale.
f(t) sera calculée par la formule des résidus.
Chap.2/ 60
2.5.2 Propriétés des transformées de Laplace
6 Linéarité
1 Théorème de la valeur initiale :
L  A. f1 ( t )  Bf 2 ( t )   A. F1 ( p )  BF 2 ( p )
Lim P . F ( p )  Lim f ( t )  f ( 0  )
P
t0
2 Théorème de la valeur finale :
Lim P . F ( p )  Lim f ( t )  f (  )
P0

L f
7 Dérivation
(n)

( t )  p n F ( p )  p n 1 f ( 0 )  p n  2 f
3 Théorème du retard temporel :
Si conditions initiales :
L  f ( t   )   e  p F ( p )

0
(0)

(t )  P n F ( p )
 exemple de calcul : F(t) = cste. F(p) = ?

L   f ( ) y (t   )d   F ( p )Y ( p )
(n)
( n 1)
t
 F ( p)
L   f ( ) d   
p
0

L e t . f (t )  F ( p   )
5 Théorème de convolution :
L f
( 0 )....  f
8 Intégration
4 Théorème de l’avance :


t
(1)
F( p ) 

 cste .e
0
 pt

1
 1  pt
dt  cste .
.e
 cste .
p
p
0
Chap.2/ 61
2.5.3. Transformées de Laplace des fonctions usuelles
Image : F(p)
Originale : F(t)
Cos(at)
p
p2  a2
1
2 

p
p  1  2 ÷
a ÷


1  ap
p (1   p )
1
(1  T1 p )( 1  T2 p )
1-cos(at)
a 

e
t
T
1
 t 
  Tt
 e 1  e T2 ÷

÷


 t
 t 

1
T
1
 T .e  T .e T2 ÷
1
2
÷
( T2  T1 )  1

1
 z .a .t
 z 2 .t   )
e
a
1
sin(
1
1  z2
1
T1  T2

1  z2
z
avec :   arctg
1

1
 z .a .t
 z 2 .t )
e
sin(
a
1
1  z2

1
p (1  T1 p )(1  T2 p )

1
1
2 , avec z
p  p
p (1  2 z   ÷
a a
1
1
2 , avec z
p  p
1 2z   ÷
a a
Chap.2/ 62
Transformées de Laplace des fonctions usuelles (suite)
Originale : F(t)
1
t
e
 at
1 e
t
T
n 1
t
T
t e
T n ( n  1)!
t
T
t
T ( e   1)
T
 t )  Tt
(
T
1
e
T
t
t
T ( e T   1)
T
Sin(at)
Image : F(p)
1
p
1
p2
1
pa
1
p (1  Tp )
1
(1  Tp) n
1
p 2 (1  Tp )
1
p (1  Tp ) 2
1
p 2 (1  Tp )
a
p2  a2
Chap.2/ 63
2.6 Fonction de transfert
2.6.1. Définition
x (cause)
y (effet)
SYSTEME
d m y (t )
dy ( t )
d 2 y (t )
d n x (t )
dx ( t )
d 2 x (t )
a2
... a n
 b0 y ( t )  b1
 b2
... bm
a 0 x ( t )  a1
2
n
2
dt
dt
dt m
dt
dt
dt
L( x(t )) X ( p )
L( y (t ))Y ( p )
 dx(t ) 
L
  PX ( p)
 dt 
.
et
.
 dx (t ) 
  P n X ( p)
L
n 
 dt 
n



 dy (t ) 
L
  PY ( p)
 dt 
.
.
 dy n (t ) 
  P nY ( p )
L
n 
 dt 
X ( p ) a 0  a1 p  ........ a n p n Y ( p ) b0  b1 p  ........ bm p m

Y( p )
a0  a1 p  a 2 p 2  ..... a n p n
W( p ) 

X ( p ) b0  b1 p  b2 p 2  .....bm p m
Chap.2/ 64
2.6.2 Zéros et pôles
N ( p i )  0  p i ( i  1, 2 ... n )
N ( p)
W ( p) 
D( p)
D ( p i ) 0  p i ( i  1, 2 ... m )
Pi Zéros
Pi Pôles
Sortie d ’un système
x (p)
y (p)
SYSTEME
Y ( p)
W ( p) 
X ( p)
Y ( p )  W ( p ). X ( p )
y ( t )  L 1 W ( p ). X ( p )
Chap.2/ 65
R
E
Us(t)
Exemple
C
dUs(t)
 E(t)
dt
Conditions initiales CI : t  0, E(t0)  0, Us(t0)  0
Us(t)  RC
L Us ( t )  Us ( p )
 dUs ( t ) 
L
  p .Us ( p )
 dt 
L E ( t )  E ( p )
Us ( p )  RCpUs ( p )  E ( p )
W ( p) 
Us ( p )  E ( p ).
Us ( p )
1

E ( p ) RCp  1


1
1
 Us ( t  L1  E ( p ).

RCp  1
RCp
1



Chap.2/ 66
2.6.3 Connexion des fonctions de transfert
a. Série
Y1(p)
X(p)
W1(p)
Y2(p)
Y(p)
W2(p)
X(p)
Weq(p)
Wn(p)
Y(p)
Y ( p)
W eq ( p ) 
 W1 ( p ) .W 2 ( p ).... Wn ( p ) 
X ( p)
n
 Wi ( p )
i 1
Chap.2/ 67
c. En parallèle
W1(p)
X(p)
W2(p)
Y1(p)
Y2(p)
+

X(p)
Y(p)
+
+
Wn(p)
+
Yn(p)
Weq(p)
Y(p)
n
Y ( p)
W eq ( p ) 
 W1 ( p )  W 2 ( p )...  Wn ( p )   Wi ( p )
X ( p)
i 1
Chap.2/ 68
b. En contre réaction
X(p)
E
+
Wou(p)
Y(p)
(sign)
M
X(p)
Wcr(p)
Weq(p)
Y(p)
W eq ( p ) 
W ou ( p )
si la contre  réaction  0
1W ou ( p ).W cr ( p )
W eq ( p ) 
W ou ( p )
si la contre  réaction  0
1W ou ( p ).W cr ( p )
Chap.2/ 69
Chap.3: DYNAMIQUE DES SYSTEMES
LINEAIRES
Objectifs du chapitre :
 Comment analyser la dynamique d’un système
 Calculer la réponse temporelle d’un système
 Analyser d’un point de vue temporel et fréquentiel un système
 Définir les paramètres de performance d’un système
 Étudier les systèmes linéaires types avec des exemples réels
 Évaluer sans calcul fastidieux les performances fréquentielles d’un
système
Chap.3/ 70
ANALYSE DES SYSTÈMES DYNAMIQUES (1/2)
 Objectifs et importance de l’analyse des systèmes
X(p)
y (p)
W(p)
 Comparer les performances des systèmes,
 C’est aussi l’étape préliminaire avant la réalisation d’un système de
commande.
 Cette étape représente 50% d’un projet de réalisation d’un système de
commande
Chap.3/ 71
ANALYSE DES SYSTÈMES DYNAMIQUES (2/2)
Types d’analyse
Analyse de le la dynamique des systèmes
Analyse temporelle
Analyse fréquentielle
 Analyse temporelle : l’entrée est un signal qui varie en fonction du temps,
permet d’évaluer les performances en rapidité, précision, stabilité.
Exemple : tester les performances d’un missile.
 Analyse fréquentielle : l’entrée est un signal qui varie en fonction de la
fréquence permet d’évaluer les performances filtrage, bande passante,
déphasage etc... C’est une approche souvent d’un électronicien. Exemple
: tester des enceintes acoustiques.
Chap.3/ 72
SIGNAUX DE TEST TYPES
Critère du choix des signaux de test
 Simples
 Définis
 Capable d’exciter un régime d’exploitation le plus difficile
3.2.2. Classification des signaux de test types
SIGNAUX DE TEST TYPES
Signaux sinusoïdaux
(analyse fréquentielle)
Signaux non sinusoïdaux
(analyse temporelle)
signal
de saut
Signal
impulsionnel
Signal
de rampe
Signal
sinusoïdal
Chap.3/ 73
A. Signal de saut
 Définition
 ( t )  e 0 pour t  0

 ( t )  0 pour t  0
e0
Echelon unitaire, si e0 =1.
t
 Transformée de Laplace


0
0
L e ( t )    ( t ) e xp (  pt ) dt  e0  e xp (  pt ) dt 
e0
p
 Réalisation physique
 Ouverture d’un interrupteur
 Réponse indicielle
e

h ( t )  L1  0 .W ( p ) 
 p

Chap.3/ 74
B. Signal impulsionnel (fonction de Dirac)
 Définition
(t) est la fonction de DIRAC ou impulsion unitaire
(t)
t
t
t0
 ( t )  0 pour t  t 0

 ( t )   pour t  t 0
 Transformée de Laplace
 l’impulsion de Dirac est la dérivée de l’échelon
 (t ) 
d  (t )
 L  ( t )  p  ( p )  1
dt
 Réalisation physique
 Fermeture et ouverture brève d’un interrupteur
 Réponse ipulsionnelle
S ( t )  L1 1 .W ( p )  W ( t )
Chap.3/ 75
C. Signal de rampe
 Définition :
e(t)
 e ( t )  tg  . t pour t  t 0

 e ( t )  0 pour t  t 0
tg 
t0

Si t 0  0 L e ( t )  tg   t . exp (  pt )dt  tg  .
 Transformée de Laplace :
0
1
p2
e(t)
 Réalisation physique :
e(t)
t

t
 Domaine d’utilisation
 Réponse à une rampe


1
S ( t )  L  1  tg  2 W ( p ) 
p


Chap.3/ 76
D. Signal sinusoïdal
 Définition.
e(t)
e ( t )  e0 sin(  t   )
t
 Transformée de Laplace :
e 0 : l ' amplitude
 : la pulsation ou fréquence angulaire ( rad / s )
 / 2 : la fréquence ( hertz )
 : phase ( radian )
Si   0 L e ( t )  L e0 sin(  t )   e0

p2   2
 Réalisation physique : Générateur de signaux
 Domaine d’utilisation :
 Réponse à une sinusoïde


S ( t )  L1  2
 p 
2

W ( p )

Chap.3/ 77
CALCUL DE LA RÉPONSE D’UN SYSTÈME
 Principe
X(p)
W(p)
y (p)
Y ( t )  L1 Y ( p )  L1 X ( p ).W ( p )
Comment calculer l ’originale ?
Méthodes pour déterminer l’originale d’une fonction
Méthode des résidus
Application des transformées de Laplace
Chap.3/ 78
A) Méthode des résidus
 Principe
N ( p)
F ( p)
 D ( p )  0  ( Pi ( i  1, 2 ... n )
D ( p)
n
Y ( t )   Res Y ( p )
i1
Cas pôles simple
n
N ( p ) pk t
L F ( p ) F (t )  
e
'
(
)
D
P
ik
k
1
D ( p )  a0  p  p1 .... p  p k ... p  p n 
n
F (t )  Lim .Y ( p ).( p  pi ).e pi .t
i 1 p  pi
Cas pôles multiples
D ( p )  a0  p  p1 m1 ... p  p k mk ... p  p m mn
F (t ) 
H kj 
n
mk
k 1
k 1
 
H kj t 
mk  j 
e pk t
j 1

1
d
j  1 !  m k  j ! dp j 1
  p  p k m k N ( p ) 


D
(
p
)

 p  p k
Chap.3/ 79
B) Application : Equations différentielles par la méthodes de résidus
R
Ve
i
L
C
soit R  2, C  1Farad, L  1 Henry
1.
d 2VS (t )
dVS (t )
Ve (t )  RC.
 LC.
 Vs (t )
2
dt
dt
Vs
V e (t )  2 .
dV
S
dt
(t )

d 2V S ( t )
dt
2
 V S ( t ),
On passe à la transformée de Laplace pour chaque variable
L Ve ( t )  Ve ( p )
L Vs ( t )  Vs ( p )
 dVs ( t ) 
L
  p .Vs ( p )

 dt
 d 2 Vs ( t ) 
2

p
.Vs ( p )
L

2

 dt
Chap.3/ 80
B) Application : Equations différentielles par la méthodes de résidus
2. On remplace les transformées de Laplace dans l’équation différentielle temporelle :
V e ( p )  p 2 Vs ( p )  2 pVs ( p )  V s ( p )
3. On exprime (la sortie) Vs(p) en fonction de l’entrée


Vs ( p ) p 2  2 p  1  Ve ( p )  Vs ( p ) 
Ve ( p )
p 2  2 p 1
4. On fixe une entrée (exemple Ve(t) = 5V , donc Ve(p) = 5/p )
Vs ( p ) 
5. On détermine les pôles

5
p . p 2  2 p 1



p p 2  2 p 1  0
P 1  0 , P 2  P3   1
Chap.3/ 81
B) Application : Equations différentielles par la méthodes de résidus
6. on applique la formule des résidus :
A. Pour le pôle simple :

5. p
0 .t

e
p   0  p  p  1 2

Vs 1 ( t )  Lim

5.


Solution homogène
B. Pour le pôle double
1
Vs 2 ( t ) 
( 2  1 )!
 d 2 1
Lim 
p    1  dp 2  1

7. Solution générale
 5  p  1 2

 p  p  1 2 e

pt

    5 e  t t  1 

 



Solution particulière

Vs(t )  Vs1 (t )  Vs2 (t )   5 et t  1  5
Chap.3/ 82
Etude fréquentielle d’un système
 Principe
x ( t )  x 0 sin(  t )
SYSTEME
y(t) = ?



Y ( t )  L  1 Y ( p )  L  1 X ( p ).W ( p )  L  1  x 0 . 2
.
W
(
p
)
   Re s . X ( p ).W ( p )
2
p 
poles de X ( p ) et W ( p )


Ce qui nous intéresse dans une étude fréquentielle, c’est le régime permanent c’est à
dire la composante pour les pôles de X(p), c’est à dire
p 2   2  0  p1   j  et p 2   j 
y( t )  x0 . A(  ).sin[  t   (  )]
 Conclusion
 Si on applique à un système linéaire de fonction de transfert W(p) un signal d’entrée x0
sinusoïdal d’amplitude et de pulsation , alors on obtient à la sortie un signal aussi
sinusoïdal mais déphasé de ( ) et d’amplitude A().
Chap.3/ 83
Caractéristiques fréquentielles naturelles
1. Caractéristique Amplitude Fréquence (CAF) A()
2. Caractéristique Phase - Fréquence (CPF) () :
3. Lieu de Nyquist CAPF : W(j)
 Calcul des caractéristiques
A ( ) 
W ( j  )  Re(  )  j Im(  )
Re(  ) 2  Im(  ) 2
 Im(  ) 
 (  )  arctg 

 Re(  ) 
Chap.3/ 84
Exemple de calcul du lieu de transfert
W ( p) 
1
W ( j ) 
j
1
p
 0  j.
1

Re ( )  0
.
Im(  )  
A ( )  Re ( ) 2  Im(  ) 2 
1

1


 Im(  ) 
 1 
 ( )  arctg 
arctg




  0 . ) 
2


 Re ( ) 
Lieu de Nyquist
Im(
0


A( )

Re(
2
Chap.3/ 85
Caractéristiques fréquentielles logarithmiques
 1. DIAGRAMME DE BODE : Ensemble des caractéristiques amplitude et phase
en fonction de la fréquence construites sur l’échelle logarithmique.
 Courbe de gain :
 Phase
L (  )  20 . log A (  ) ( en décibel )
 (  ) ( en degré )
 Bel ? : On appelle niveau de pression acoustique d’une onde sonore sinusoïdale, la
grandeur proportionnelle au logarithme décimal du rapport de la pression effective Pef
de cette onde au seuil d’audibilité P0 pour une fréquence donnée de l’onde.
 2. DIAGRAMME DE BLACK (LIEU DE NICHOLS)
 Abscisses : phase en degrés
 ordonnées le module exprimé en dB
Chap.3/ 86
Tracer les courbes par logiciel Matlab
Nyquist Diagram
1
0.8
0.6
0.4
Imaginary Axis
N=[1];
D=[3 2 1]
nyquist(N,D)
0.2
0
System: sys
Real: 0.907
Imag: -0.519
Frequency (rad/s): 0.238
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Axis
Nichols Chart
10
0
-10
Open-Loop Gain (dB)
N=[1];
D=[3 2 1]
nichols(N,D)
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-180
-135
-90
-45
Open-Loop Phase (deg)
0
45
Chap.3/
87
Tracer les courbes par logiciel Matlab
Matlab
Bode Diagram
10
Magnitude (dB)
0
System: sys
Frequency (rad/s): 0.146
Magnitude (dB): 0.172
-10
-20
-30
-40
-50
0
Phase (deg)
N=[1];
D=[3 2 1]
bode(N,D)
-45
System: sys
Frequency (rad/s): 0.419
Phase (deg): -60.5
-90
-135
-180
-2
10
10
-1
10
0
10
1
Frequency (rad/s)
Chap.3/ 88
Analyse fréquentielle : par Matlab-Simulink (1/P+1)
1. Matlab
2. Simulink
Magnitude (dB)
-20
-30
-45
-90
-2
10
Basse fréquence 1 rd/s
System: sys
Frequency (rad/s): 1.04
Magnitude (dB): -3.18
-10
-40
0
Phase (deg)
N=[1];
D=[1 1]
bode(N,D)
Bode Diagram
0
10
-1
0
10
Frequency (rad/s)
10
1
10
2
Haute fréquence 10rd/s
Signal sortie
Signal entrée
Chap.3/ 89
periode, correspond à T secondes ou à  =360°
T  6290ms
T  740ms
T  6290ms
T
  
.360  45
T
Chap.3/ 90
PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (1/4)
 Comment ils sont obtenus ?
+
-
 Types de paramètres de performances
Performances d’un système de commande
Processus transitoire
Précision
Stabilité
Chap.3/ 91
PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (2/4)
2
y(t)
Régime transitoire
D
Régime permanent
MESURE
1,5
A1
A2
± 5%. y(  )
Y(1
Xc
Erreur de
réglage
CONSIGNE
0,5
0
0

1
tm
3
tpr
5
7
9
x(t) [s]
te
-0,5
Chap.3/ 92
PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (3/4)
Rapidité
 Temps de réponse tpr
 Temps de montée tm
 Temps de retard pur 
 Temps d’établissement te
Performances d’amortissement
 Dépassement (overshoot) :
d 
 y(  )
A1
y
.100%  m ax
.100%
y(  )
y(  )
 Taux d’amortissement (damping ratio)
 
A1  A2
A1
Chap.3/ 93
PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (4/4)
 Performances en précision
  lim  y ( t )  x c ( t )   lim p Y ( p )  x c ( p ) 
 Erreur statique
t
Ed 
 Erreur dynamique
p0
t pr
2


y
(
t
)

x
(
t
)
dt

c
0
 Performances en stabilité
 Un système est dit stable si à une entrée limitée, la sortie est aussi limitée.
système instable
système stable
s(t)
s(t)
t
t
Chap.3/ 94
Exemple
Stable , non précis
Stable , précis
Instable
Chap.3/ 95
ANALYSE DES SYSTEMES LINEAIRES TYPES
 Classification
SYSTÈMES DYNAMIQUES TYPES
Naturellem ent stable : W ( p ) 
d ' o rd re zé ro
W( p)  K
1   ai p i
Prem ier ordre : W ( p ) 
In té gra te u r p u r
W( p) 
k
k
p
k
a0  a1 p
A p é rio d iq u e
W( p) 
k
a0  a1 p
N aturellem ent instable : W ( p ) 
2 - iém e o rd re : W ( p ) 

k
p 1   ai p i

Particulier
k
a0  a1 p  a 2 p 2
a v e c r e ta r d p u r
à d é p h a s a g e n o n m in im a le
W ( p )  K e  p
W( p) K
1  T1 p
1  T2 p
D é riv a te u r ré e l
1  T1 p
W( p) K
1  T2 p
Chap.3/ 96
Méthodologie de l’analyse d’un système
 Étapes d ’analyse
ANALYSE DE LA DYNAMIQUE D’UN SYSTÈME TYPE
Equation différentielle
Fonction de transfert
Analyse fréquentielle
Analyse temporelle
Réponse indicielle
Réponse impulsionnelle
Réponse à une rampe
Echelle naturelle
Echelle logarithmique
Caract.amplitude fréquence
Diagramme de Bode
Caract. phase fréquence
Diagramme de Nichols
Diagramme de Nyquist
Chap.3/ 97
A. Elément intégrateur pur
1. Définition
x(t)
t

y(t)
y( t )  k
 x ( t )d t
0
2. Fonction de transfert
W ( p) 
K
Y ( p)

X ( p)
p
3. Exemple
Qe [m3/s]
Q e(t) 
Qe [A]
h(t) [m]
C
h(t) [V]
1
h (t) 
S
W ( p) 
dV
dh (t)
,
 S
dt
dt
t

Q (t)dt
0
1
H ( p)
K


Q e( p )
S.p
p
Chap.3/ 98
Elément intégrateur pur (suite)
4. Lieu de Nyquist
W ( j ) 
A( ) 
K

K
j
 0  j
Im
K

,  (  )  a r c tg (   )  
 

2



Re
2
0
6. Réponse indicielle
y(t)
X0 K
y ( t )  L 1 
.   X 0 . K .t
 p p
X0
0
tg  X 0.k
t
7. Conclusion
Chap.3/ 99
B) Élément du premier ordre
x(t)
1. Définition
a0
dy( t )
 a1 y( t )  bx( t )
dt
T
dy ( t )
T
 y ( t )  Kx ( t )
dt
Forme réduite
2. Fonction de transfert
a0
constante
a1
K=
W( p) 
b
Gain
a1
y(t)
de temps [seconde]
statique
 Δy 
 Δx 
K
TP  1
3. Exemple
dV S
 Vs ( t )
dt
1
V s( p )

W( p) 
V e( p
RCp  1
V e( t )  R C .
R
i
Vs
C
T  RC ,
K 
Vs
 1
Ve
Chap.3/ 100
Système hydraulique : reservoir
Qe [m3/s]
R
Qe [A]
C
Qs [A]
h(t) [V]
h(t) [m]
V [m3]
R
Qs [m3/s]
dV
dh (t)
 S
dt
dt
g
(Po  0)

Q s(t) 
h (t )
Rv
Rv
Q e(t)  Q s(t) 
S
dq
dU s(t)
 C
dt
dt
UR
Us
Q s(t) 

R
R
dU s(t )
Us
C

 Q e(t)
dt
R
U s( p )
K
1/ R
W ( p) 


Q e( p )
RCp  1
Tp  1
T  RC
Q e(t)  Q s(t) 
Po [Pa]
g
dh (t)

h (t)  Q e(t)
dt
Rv
Rv / ( g )
H ( p)
K


Rv
Q e( p )
Tp  1
S.p  1 
g
S
 RC
T  Rv
g
Pat=0
W ( p) 
Chap.3/ 101
Système thermique
m : masse de la soudure [kg]
S : surface d’échange de chaleur de la soudure [m²]
Te : Température du milieu à mesurer [°c] (entrée)
Ts : Température de la soudure du thermocouple [°c]
 : Coefficient de transfert de chaleur [j/(sec.m².°c]
CT : Capacité calorifique de la soudure [j/(kg.°c]
E(t) : tension de sortie [mV] (sortie) = KTs (proportionnelle à Ts(t)
E(t)
Ts
Te
 S Te  Ts dt  mC T dTs
m C T d T s( t )
.
 T s( t )  T e ( t )
dt
S
K
W( p) 
TP  1
ou
m CT dE ( t )
.
 E ( t )  K T e( t )
dt
S
m
.C T .
S
 E
K 
[ Mv/c]
 Te
T 
Analogie thermique_Electrique, hydraulique
T  RC
R
m
1

Q S
C  V  CT
Chap.3/ 102
T1
Q
T2
Chap.3/ 103
 Réponse indicielle d’un élément de premier ordre
y( t )  L
t



X0
K

  K X 0  1  e T
 p 1  T p  

1 




y(t)
0,95




y( t   )  K X 0 1  e T



  K X 0  y(  )


T


y( t  T )  K X 0  1  e T



  0 ,6 3 y (  )


3T


y( t  3T )  K X 0  1  e T



  0 ,9 5 y ( 


0,63
Le temps du proc. Trans. = 3T
t= T, la réponse atteint 63%
de la valeur finale
0
1
T
2
3
t
3T
Chap.3/ 104
Lieu de Nyquist d’un élément de premier ordre
KT
K
K


j
W ( j)
1 jT 1T 2 1T 2
A() 
K
1T 
2
Relation temps-fréquence
 ()   arctg(T )
Fréquence de coupure : c 
Im
1
]
T
temps de montée : tm . f c  0.35
Bande passante BP : [0,
=0
0
=
1
1
 fc 
T
2 T
=/4
on augmente le temps de montée
Réel
en élargissant la BP
=1/T
Chap.3/ 105
C) Élément du second ordre
1. Définition
Forme réduite
x(t)
2
a2
dy2( t )
dt 2
dy ( t )
dt 2
 a1
dy( t )
 a0 y( t )  bx( t )
dt
y(t)
dy( t )
 2n
 n2 y( t )  K.n2x( t )
dt
Y( p )
K .n 2
W( p ) 
 2
X ( p ) p  2n p  n 2
2. Fonction de transfert
3. Paramètres fondamentaux
 n  pulsation propre non amortie ou pulsation naturelle [ rad / s ] 
  coefficient d ' amortissement 
K  gain statique 
a0
coeffcient
b
a0
a2
a1
2 a0 . a 2
Chap.3/ 106
 Exemples d’élément du second ordre
dV S
d 2VS
Ve  RC .
 LC . 2  V S
dt
dt
R
Ve
i
L
W( p) 
Vs
C
n 
Cm(t )
cf
f
ct
J
1
,  
LC
R
2.
1
L.
C
,
K  1
d 2  S (t )
Cm C R ;
J.
2
dt
s( t )
d S ( t )
C R C f C t  Ke S (t ) f
dt
Ke
Ke
s( p )
J
W( p ) 

Cm ( p ) p 2  f p  Ke
J
J
Vs( p )

Ve ( p )
p2
1
LC
1
R

p 
L
LC
n 
1
f
,  
, K 1
2 . J . Ke
J
Ke
Chap.3/ 107
Vanne automatique
DEMO
Chap.3/ 108
Vanne pneumatique de réglage
Controller
0,2 -1 bar
3 - 15 psi
Pe
m
1
2
6
3
x
d2 X
  keX  f
dt 2
dX
 Pes
dt
s
m
s Ke
.
.
X ( p)
K
e
m


W ( p) 
f
K
e
f
Ke
Pe( p)
p2 
p 
p2 
p 
m
m
m
m
4
5
7
n 
1
m
Ke
f
,  
2.
m
Ke
,
K 
s
Ke
Rf
Analogie
L J m
Ke  1/C
Chap.3/ 109
Réponses indicielles d’un élément de 2-iéme ordre
1. Echelon unitaire
x(t)
SYSTEME
1 

1
n 2
y (t )  L  . 2
2 
p
p  2 n p   n 

y(t)


2. De quoi dépend la sortie ?
 
D( p)  p2  2.n. p  n2  0
  n2  21
Du coefficient d’amortissement 
 =1
P1  P2    n
 <1
 >1
p1    n   n .  2 1
2
p 2    n   n .  1,
p1    n  j. n . 1   2
p 2    n  j n . 1   2
Chap.3/ 110
Réponses indicielles pour # valeurs de 
 Cas 1
P1  P2    n
 =1
y(t) 1  (1   nt ).e
 nt
1.2
1
Y(t)
t pr  4,8sec.
Point d'inflexion

d 2 y(t )
dt
D0
0
2
4
tpr
6
8
10
12
t (sec)
2
 0  tI 
1
n
1
14
Chap.3/ 111
Réponses indicielles pour  > 1
 Cas 2
p1    n   n .  2 1
 >1
p 2    n   n .  2 1,
K n2
K n2
W( p) 

. où
 p  p1  p  p 2  p1 p 2 1  T1 p 1  T2 p 
1
1
, T2 
p1
p2
t
t




T1
T2
y( t )   1 
e T 
e T
T1  T2
T1  T2


  2
Y(t)
T1 
1
1
  4
0
10
20
2





t pr  3.T1  T2 
30
40
t (sec)
50
Chap.3/ 112
Réponses indicielles pour  < 1
 Cas 3
p1    n  j.  n . 1   2
 <1
p 2    n  j n . 1   2


1
  . n .t
y ( t )  KX 0 1
e
. sin   n 1 2 .t  arctg


1 2

1 2  



 
ymax
D1
D2
X0=1
0
tm te
tpr
20
t (sec)
30
Chap.3/ 113
Paramètres de performances d’un système de deuxième ordre oscillant
1. Temps du processus transitoire
Réponse impulssion nelledu 1er ordre :
y (t )  A.e  n t sin(  t )
y (t )  e

t
T
 e  n .t  T  
Enveloppe : e  n t
t pr  3.T 
 2. Nombre d’oscillations t pr  N . 2  N .

2
n 1   2
 N
3
 n

1
 n
ln( 20 )
 n
3
1  2
2
Chap.3/ 114
Paramètres de performances d’un système de deuxième ordre oscillant
3. Dépassement
D
ymax  y()
.100 %
y()
ymax  ?. 
dy(t )
 0   t  K ( K 1, 2 , 3...)
dt
1er pic : K=1, 2ème pic K=2, etc...
K impair :
K pair :

ymax  1  e

ymin  1  e
K
1 2
K
1 2
Chap.3/ 115
Paramètres de performances d’un système de deuxième ordre oscillant
 4. Temps d ’établissement
 Pour un échelon unitaire


1 2
ymax  1
D
e
1
te 

1 D1
ln
2 D2
 1 D 
1   ln 1 
 2 D2 
2

temps d'établissement ( K  1)

5. Taux d ’amortissement

D D
  1 2  1e
D1
2
1  2
Chap.3/ 116
Réponses indicielles pour  = 0
 Cas 4
 =0
p1   j. n .
p 2   j n
2



1
1
n
y (t )  L  . 2
 1  cos( nt )
2 
 p p  n 


Y(t)
D2
t
Chap.3/ 117
Exercice
Xc(t)
K
-
1
Ys(t)
a 2 p 2  a1 p  a0
Valeur de K pour avoir les meilleurs performances en boucle fermée ?
K
Wf ( p ) 
a2 p2  a1 p  a0  K
Wf ( p ) 
a
p2  1
a2




a
1
 . a0  K p  
 D( p )  p 2  2. 1 .
 2 .a 2 a  K 
a K
a2

0
p 0


a2
a2 

K
a2




a
a12  4 a0  2 a 2
1


1
.
.  K 
 
 2 .a 2
a0  K 
4 2 a 2


a2


a0  K 

a2 
2
a12  2a0 a2
1
Pour   07
, 
, K
2a2
2
Chap.3/ 118
Diagramme de Nyquist d’un élément du second ordre
F ré q u e n c e ré d u ite : u 

n


1  u2
W ( j )  K 
2
2
 1  u2
 2  u 

K
A( ) 



1  u2
 (  )   a rc tg

2



2u
 j

2 
2 2
 2  u 
1  u



2  u  2
2u
1  u2
Im
Résonnance
0
Re
dA(  )
 0   R  n . 1  2 2 avec   0 ,7
d
K
Amax 
2 . 1  2 2
u=1
Chap.3/ 119
Résumé des performances d’un système de deuxième ordre
 Paramètres de performances normalisés
 [-]
t pr [s]
D [% ]
 [-]
5
2
1
0,9
30
-
12
-
4,75 4
1
1
0,7
0,5
0,343 0,30 0,22 0,11 0,01 0
2,8
4,5
0,998
4
8
17
30
0,973 0,9
11
15
30
300 
38
50
70
95
100
0,87 0,75 0,41 0,13 00
 Conclusion général sur un système de 2-iéme ordre
 Dans le domaine temporel,

lorsque  <1, le système a tendance à osciller longuement avant immobilisation.
  = 0,7 est optimal du point de vue stabilité précision.
 Pour  > 1, (frottement important, élasticité réduite), les régimes sont hyper amortis et lents.
Le système perd alors son «agilité», un tel cas est à éviter en SRA lorsque la structure s’y
prête en agissant par exemple sur le gain du correcteur.
 Dans le domaine fréquentiel,

Le système suit presque sans inertie l’entrée à basse fréquence mais présente un
déphasage qui tend vers -180 degrés à haute fréquence.
Système avec retard pur (1/2)
 Définition
x(t)
y(t)
SYSTEME
y( t )  x( t  )
x( t )
Exemple
 
y( t )
l
V
l
Fonction de transfert
W( p ) 
Y( p )
 e p
X( p )
x( t )
Réponse indicielle
y( t )  x( t   )

y( t )
Chap.3/ 121
Système avec retard pur (2/2)
Diagramme de Nyquist
Im
R=1
W ( j )  e  j  cos   j sin 
A(  ) 
cos  
 (  )   arctg
2
  sin    1
2
0
Re
sin 
  
cos 
 Conclusion
 Système du aux phénomène de très grande inertie, jeux mécaniques
 Véritable « poison » pour la régulation car déstabilise le système du au
déphasage négatif
Chap.3/ 122
Tracé des caractéristiques fréquentielles des systèmes (1/4)
 Problématique
 Soit donné un système quelconque de fonction de transfert W(p) :
b0  b1 p  ...  b0  bm p m
W ( p) 
a0  a1 p  ...  a0  an p n
 On veut représenter d’une manière simple et rapide les diagrammes de Bode, Nyquist et
Black.
Pourquoi une telle démarche ?
 Eviter les calculs fastidieux de W(j).
 Evaluer rapidement la stabilité du système et les performances du système.
Chap.3/ 123
Tracé des caractéristiques
fréquentielles des systèmes
Chap.3/ 124
Tracé des caractéristiques fréquentielles des systèmes (2/4)
 Principe de la méthode
 Un système linéaire quelconque est formé d’éléments simple d’ordre zéro, du
premier ordre, deuxième ordre et d’intégrateurs et ou dérivateurs d’ordre .. W(p)
peut être factorisée en éléments simples

r

q

W ( p )  Kp .  1   i p  .  p 2  2n p  n2
i 1
i
 1


K : Gain statique (constante )   (  0)
 ,  ,  : Z ( entier positif ou négatif)
r : Nbre d' éléments du premier ordre
q : Nbre d' éléments du deuxième ordre
K : Sytème d' ordre zéro
p : Intégrateur (α  0)
ou dérivateur (α  0) ) d' ordre α
1  p  : Sytème d' ordre 1
p 2  2n p  n2 : Sytème d' ordre 2
Chap.3/ 125
Tracé des caractéristiques fréquentielles des systèmes (3/4)
 Propriété
 Le gain logarithmique et le déphasage d’un produit de facteurs s’obtient en faisant la
somme algébrique des gains et des phases des différents facteurs ( PS: Le gain naturelle
est par contre le produit des gains des différents facteurs)
r

i
q

L( )  20 log W ( j )  20 log K . p . 1  p  .  p 2  2n p  n2
 Calcul du Gain
i 1
 1


L( )  20 log K  20 log j 
r
20 log  1   i . j  i 
i 1
2
2 

20 log  j  2n j  nl 
q

 1
Sachant que :
W ( j  )  Re(  )  j . Im(  ) 
Re(  ) 2  Im(  ) 2
r


L( )  20 log K   .20 log   10i . log 1   i . 2 
i 1
q


10  . log   2  n2

l 1
  4l2 2n2 
2
Chap.3/ 126
Tracé des caractéristiques fréquentielles des systèmes (4/4)
 Calcul de la phase
 ( )  arg(W ( j )  arg( K )  arg( j  ) 
 r

arg  1   i . j i  
 i 1


 q
arg  j 2  2n j  nl2
  1
Sachant que :





 Im( ) 
argW ( j  arg(Re( )  j.Im( ))  arctg 

 Re( ) 

r
q
2
i 1
 1

 ( )  arg( K )   .   i arg1   i . j      arg  j 2  2n j  nl2

 Conclusion
 Il suffit de savoir exprimer le gain el la phase des éléments de base pour en
déduire par simple sommation, le gain et la phase de W(j)
Chap.3/ 127
Représentation des éléments de base (1/3)
 Gain K
 La courbe est une horizontale
L() [db]
W ( p)  K
Gain : L( )  20 log K
20logK
0 si K  0
Phase :  ( )  
 si K  0
0
0
Log()
1
 Dérivateur

2
() [rad]
+1
Gain : L( )  20 log j  20 log 
Log()
1
L() [db]
W ( p)  p
Phase :  ( )  arg( j ) 
() [rad]

0

2
0
1
Log()
20db/décade ou 6db/octave est noté +1
1
Log()
Chap.3/ 128
Représentation des éléments de base (1/7)
 Intégrateur
W ( p) 
1
p
L() [db]
Gain : L( )  20 log
Phase :  ( )  arg(
1
 20 log 
j
1

)
2
j
0
() [rad]
1
0
1
Log()
-1

Log()

2
Chap.3/ 129
Représentation des éléments de base (2/7)
Premier ordre (1+p)
W ( p )  1  p

Gain : L( )  20 log 1  j  10 log 1   2
Amplitude

L() [db]
Asmptote
  1  L( )  0, pente égal à 0
  1  L( )  10 log ,0, pente égal à 1
  1  L( )  3db
Phase :  ( )  arg( 1  j  )  arctg ( )
Asymptote
  1   ( )  0
  1   ( ) 
  1  L ( ) 

2

4
+1
0
3db
1/
1
() [rad]

Log()
Phase

2


4
0
1
1/
Log()
Chap.3/ 130
Représentation des éléments de base (3/7)
Premier ordre : (1+p)-1
L() [db]
0
1
Amplitude
1/
W ( p )  1  p 1
Log()
-3db
Gain :
L( )  20 log 1  j 
1

 10 log 1   
2

-1
Phase :
() [rad]
 ( )  arg1  j   arctg ( )
1
0
1
Phase
1/
Log()
Changement de signe par rapport à (1+p)



4

2
Log()
Chap.3/ 131
Représentation des éléments de base (4/7)
W ( p )  1  p
W ( p )  1  p 1
Amplitude
L() [db]
L() [db]
+1
0
0
1/
() [rad]
0
-3db Log()
1
Log()
() [rad]

1/

4

Phase
2


4
0
1

2
-1
Phase
Log()

1/
1
3db
1

Amplitude
1/
Log()
Log()
Chap.3/ 132
Représentation des éléments de base (5/7)
 Deuxième ordre : en numérateur
W ( p )  p 2  2n p  n2
Gain :


L( )  20 log   2  n2  2 jn
Asymptote :
  n  L( )  40 log n  cste, pente 0

  n  L( )  40 log  , pente  2

2
  n  L( )  20 log 2n
Phase :




( )  arg   2  n2  2 jn
Asymptote :


2


)

arg(
)0





(
n
n


2
  n  ( )  arg    

2

2


2
n 
    ( )  arg 2 j  arctg 


n
n
 0 

2







Chap.3/ 133
Représentation des éléments de base (6/7)

Deuxième ordre : au dénominateur

W ( p )  p 2  2n p  n2
Gain :

1
Changement de signe par rapport au cas précédent

L( )  20 log   2  n2  2 jn
Asymptote :
    L( )  40 log   cste, pente 0
n
n

  n  L( )  40 log  , pente  2

  n  L( )  20 log 2n2

Phase :



( )   arg   2  n2  2 jn

Asymptote :


2
  n  ( )   arg(n )  0

0
2
)  
  n  ( )   arg     arctg (
2



 2n2 
2
  
  n  ( )   arg 2 jn   arctg 
 0 
2







Chap.3/ 134
Représentation des éléments de base (7/7)
 Retard pur
W ( p )  e Tr . p
W ( j )  e Tr. j  cos(Tr )  j sin(Tr )
Gain :
L() [db]
0
Amplitude
1
Log()
L( )  20 log W ( j )  20 log 1  0
Phase
  sin(Tr ) 
  Tr
 cos(Tr ) 
( )  arctg 
() [rad]
Phase
0°
1
Log()
Chap.3/ 135
Tracé des diagrammes fréquentiels : Résumé (1/2)
Variation de la phase

1
0
p

1

p
1   p 

2

2
ou  n




1   p 
0

1   p 
0

0

1
1   p 
p
2
1
2

4

4

4

4
0

0

0
  Tr

p 2  2 n  p   n2
e  Trp



 2 n  p   n2



2
0
1




2






2

2

2

2

2
 
2

2
 

Chap.3/ 136
Tracé des diagrammes fréquentiels : Résumé (2/2)
Variation de la pente : ± correspond à ± 20db par décade

1
0

p
ou  n


1

p
1   p 
0

1   p 
0

1   p 
0

0

0
 2
0
 2
1
1
1   p 
p 2  2 n  p   n2 
p
1
2


 2 n  p   n2
e  Trp
0

Chap.3/ 137
Application : exemple 1 (1/4)
W ( p) 
K
,
p .1   1 p 1   2 p 
K  0,  1   2  0
1  2
Valeurs caractéristiques de la pulsation :
 GAIN et PHASE
L( )  20 log W ( j )  20 log K . j 1.1  1 j 1.1   2 j 1



 20 log K  20 log   10 log 1  1 2  10 log 1   2 2




 ( )  arg(W ( j ))  arg K  arg( j 1 )  arg 1  1 j 1  arg 1   2 j 1
Pour  
Pour  
1
1
1
2
L( )  20 log K  20 log 

Pente -1
 ( )  arg(k )  arg( j ) 1  

2
Pente -3
L( )  20 log K  20 log   20 log(1 )  20 log( 2 )



 ( )  arg(k )  arg( j ) 1  arg (1  j1 ) 1  arg (1  j 2 ) 1
  
3

2

2

2

2

Chap.3/ 138
Application : exemple 1 (2/4)
Pente -2
Pour
1
1
 
L( )  20 log K  20 log   20 log(1 )

1
 ( )  arg(k )  arg( j ) 1  arg (1  j1 ) 1
 
    
2
2

2
Le diagramme pseudo asymptotique correspond à la sommation
des diagrammes associés à K, 1/p, 1/(1+1p) et 1/(1+2p)
Fréquence pour laquelle le déphasage est de -
 ( )  

2
 arctg (1 )  arctg ( 2 )  
soit
1. 2  1   
1
 1  xy 
arctg ( x)  arctgy  arct 

 xy 
1 2
Chap.3/ 139
Application : exemple 1 (3/4)
L() [db]
-1
Diagramme pseudo
asymptotique
0
Diagramme réel
1
1
-2
1
2
() [rad]
1
0°


K
1
Log()
-3
1 2
Log()
2

3
 
2
Chap.3/ 140
Application : exemple 1 (4/4)
Tracé du diagramme réel à l’aide de Matlab
W ( p) 
K
,
p .1   1 p 1   2 p 
K  0,  1   2  0
k=1;
tau1=10;
tau2=1;
num=k;
den1=conv([1 0],[tau1 1])
den=conv(den1, [tau2 1])
bode(num,den), grid, title('bode par MAtlab')
Chap.3/ 141
Application : exemple 2 (2/3)
W ( p) 

K
2
p. p  p  4
K  0,

,
Valeurs caractéristiques
p 2  p  4  p 2  2 n p   n2
 GAIN et PHASE

L( )  20 log K  20 log   10 log n2   2



( )   arg n2   2  2 jn
Pour    n
Pour    n
Pour    n

2  4l2 2n2 
Pente -1
L( )  20 log K  20 log   40 log n
 ( )  0 

2
0
  0, 25,  n  2

Pente -3
2
L( )  20 log K  20 log   40 log   20 log K  20 * 3 log 
 ( )  0 

2
 arg( 2 )  0 

2
  

3
2

L( )  20 log K  20 log n  20 log 2n2  20 logK / 4 
 ( )  0 

2
 arg(0  j 2n2 )  0 

2


2
 
Chap.3/ 142
Application : exemple 2 (3/3)
Digramme asymptotique
L() [db]
0 1
Digramme de Bode réel tracé à l’aide
de Matlab
Amplitude
-1
n
Log()
-3
-1
Phase
() [rad]
0°


Log()
2

3
 
2
Chap.3/ 143
Diagramme de Nyquist (1/3)
 Lieu de Nyquist ?
 Il représente l’évolution en coordonnées polaires du nombre complexe W(p) lorsque p parcourt le
«contour d’exclusion de Nyquist» qui est toit simplement le contour qui entoure tous les pôles et zéros de
W(p) compris dans le demi plan complexe caractérisé par une partie réelle positive. (voir Figures)
Im
→+
Im
+j2
+j1
→0+
→0→-
Re
-j1
Re
-j2
Contour d’exclusion de Nyquist
Cas où les pôles sont imaginaires purs : on les
évite en les contournant
Chap.3/ 144
Diagramme de Nyquist (2/3)
Règle
 Le tracé du diagramme de Nyquist commence par le tracé du lieu de
Nyquist pour  variant de 0 à +
 La partie correspondant à  variant de 0 à - s’obtient par symétrie du
lieu de Nyquist par rapport à l’axe réel
Exemple
W ( p) 
K
, K  0,  1   2  0
p.1   1 p 1   2 p 
W ( j )  
K ( 1   2 )
 (1   2 12 )(1   2 22 )
 j
K (1   2 1 2 )
 (1   2 12 )(1   2 22 )
 Re( )  j Im( )
Chap.3/ 145
Diagramme de Nyquist (3/3)
Points particuliers
  0 , Re(  )   K ( 1   2 )
Intersecti on avec l' axe des réels  0 pour   -
1
)  -  (exercice précédent)
 ( 

Im

 K ( 1   2 )
0
 1 2
Pour Re(  
1
 1 2
)
K  1 2
1   2
Simulation sur Matlab
Re
 
1
 1 2
0
 Nyquist(num, den)
Chap.3/ 146
Diagramme de Black
Lieu de Black
 C’est une représentation cartésienne de W(j) avec phase en degré (abscisse) et
gain en db (ordonnées). Sa détermination passe par le diagramme de Bode.
Exemple
0
 
K
W ( p) 
p .1   1 p 1   2 p 
Gain (db)
1
 1 2
0
-180
-270
-90
°

Utilisation de Matlab
 Nichols (num, den)
Chap.3/ 147
Chap.4
PERFORMANCES D’UN SYSTEME
de
COMMANDE
Objectifs du chapitre :
 Définir et calcul des paramètres de performances d’un système
 Calculer les conditions de stabilité des systèmes
 Évaluer le degré de stabilité
Comprendre le dilemme stabilité-précision par un exemple
Chap. 4.148
4.1 PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (4/4)
 Performances en précision
  lim  y (t )  xc (t )   lim p Y ( p )  xc ( p ) 
 Erreur statique
t
p0
t pr
E d    y (t )  x c (t ) 2 dt
 Erreur dynamique
0
 Performances en stabilité
 Un système est dit stable si à une entrée limitée, la sortie est aussi limitée.
système instable
système stable
s(t)
s(t)
t
t
Chap.4/ 149
4.2 STABILITÉ DES SYSTÈMES
 1. CONDITIONS GÉNÉRALES DE STABILITÉ
X(p)
W(p)
y (p)
y (t )  L
 La forme de la sortie dépendra
 Pôles pi réels
1
n
X ( p )W ( p )   C i e p t
i
i 1
la nature des pôles :
n
y (t )   Ci e pit
i 1
 Parmi les n pôles existe une paire de pôles complexes P12 =±J
n2
y (t )   Ci e pit  e t .sin(  t )
i 1
Chap.4/ 150
4.3. Influence de la position des pôles sur la stabilité
1
1
y ( t )  e  t . sin (  t ) o ù   0
0.8
y( t ) 
 Ci e pi t
i1
0
, pi  0
0.4
Stable
-1
n
0
2
4
6
Stable
8
10
00
2
4
6
8
10
25
20
y ( t )  e  t . sin (  t ) o ù   0
20
y( t ) 
n
 Ci e pi t
i1
, pi  0
0
10
instable
-20
0
2
4
6
8
10
0
instable
0
2
4
6
8
10
Un système est stable si et seulement si tous les pôles de sa
fonction de transfert sont à partie réelle négative. Ils se
situent tous strictement à gauche de l’axe imaginaire du plan
complexe.
Chap.4/ 151
4.4 Influence de la position des pôles sur la dynamique du système
p1, 2   2  j 
p1, 2   j 
p1, 2     j 
1
1
0
0
-1
-1
10
0
Instable
Im
Stable
p1, 2  2  j 
8
8
0
0
10
0
0
0
10
p1, 2  0  j 
p   Re
0
1
10
p   Re
450
0
0
10
Re
0
10
Chap.4/ 152
4.5. Critère algébrique de Routh – Hurwitz (1/4)
Problématique
 Critère algébrique de Routh : permet la détermination de la stabilité du
système (conditions pour lesquelles tous les pôles de W(p) sont à partie
réelles négatives) à partir des coefficients du polynôme caractéristique
sans calculer les pôles
Données
N( p) b0 b1p ...bmpm
W( p)

n m
n
D( p) a0 a1p ...an p
D ( p )  a 0  a1 p  ...  a n p n
On analyse :
 Conditions nécessaires de stabilité
 Tous les coefficients ai doivent être de même signe et non nuls.
Conditions nécessaires et suffisantes de stabilité
 Elle est donnée par le tableau de Routh
Chap.4/ 153
4.5. Critère algébrique de Routh – Hurwitz (2/4)
Tableau de Routh R
p
n
p n 1
pn2
p n 3
.
.
.
p0
 an
a
 n 1
 A11

A21

R 
 .

 .
 .

 An1
an  2
an  3
an  4
an  5
A12
A22
.
A13
A23
.
.
.
An 2
.
.
An 3
. . .
. . .

. . .

. . .
. . .

. . .
. . .

. . .
Calcul des coefficients Aij
1er ligne
an  2 
 a
 det  n
a n  1 a n  3 

A11 
a n 1
 an an  4 
 det 
an 1 an 5 

A12 
an 1
 an an  6 
 det 
an 1 an  7 

. A13 
an 1
Les 2 premières lignes du tableau sont posées
Les autres lignes sont calculées à partir des
2 premières lignes
 an
a
 n 1
 A11

A
 R   21
 .

 .
 .

 An1
an  2
an  4
an  3
an  5
A12
A22
A13
A23
.
.
.
.
.
.
An 2
An 3
. . .
. . .

. . .

. . .
. . .

. . .
. . .

. . .
Chap.4/ 154
4.5. Critère algébrique de Routh – Hurwitz (3/4)
2-ième ligne
a 
a
 det  n 1 n 3 
 A11 A12 
A21 
A11
an 1 an 5 
 det 
A11 A13 

A22 
A11
 an
a
 n 1
 A11

A21

R 
 .

 .
 .

 An1
an  2
an  3
an  4
an  5
A12
A22
A13
A23
.
.
.
.
.
An 2
.
An 3
. . .
. . .

. . .

. . .
. . .

. . .
. . .

. . .
a 
a
 det  n 1 n  7 
A14 
 A11
A23 
A11
On examine uniquement le 1er colonne pour la stabilité
Chap.4/ 155
4.5. Critère algébrique de Routh – Hurwitz (4/4)
Conditions de Stabilité selon le critère algébrique de Routh
 On examine la première colonne du déterminant de Routh (dont les
éléments sont appelés pivots) :
 an 
a 
 n 1 
 A11 
1er colonne de  R   A21 


.


 . 


 . 
Théorème de Routh :
Le système est stable si et seulement si les éléments de la première
colonne du tableau de Routh sont tous de même signe. le nombre de
changement de signes est égal au nombre de pôles à partie réelle
positive.
 Cas Particulier : Il apparaît un zéro dans la première colonne. Alors on poursuit en
écrivant à la place de la ligne en question les coefficients du polynôme dérivé par rapport
à p d’un polynôme auxiliaire dont les coefficients sont les termes de la dernière ligne non
nulle. Les racines à partie réelle nulle sont alors les zéros du polynôme auxiliaire. Ce cas
permet de trouver les conditions pour lesquelles un système linéaire est juste oscillant.
Chap.4/ 156
Exemple1 (1/2)
W (p 
1
4  4 p  5 p2  p3  p4
D ( p )  4  4 p  5 p 2  p 3  p 4  a 0  a1 p  a 2 p 2  a 3 p 3  a 4 p 4
p4 a4
p3  a

p2
p1
p0
3
 A11
A
 21
a2
a1
a0 
 
A12
A22

1 5
1 4

A13   1


A23   0
4
0
4
 
Les 2 premières lignes du tableau sont posées

 
Il apparaît un zéro dans la 1er colonne
an  2 
 a
1
 det  n

det
1
a n  1 a n  3 



A11 
a n 1
1
5
4 
1
a 
a
1 4
 det  n 1 n 3   det 
A11 A12 
1 4



0
A21 
1
A11
Comment faire ?
On développe la ligne précédente pour déterminer le mode :
Polynôme auxiliaire : p2+4
p 2  4  0  P  2 j
Chap.4/ 157
Exemple1 (2/2)
Alors on poursuit en écrivant à la place de la ligne en question les coefficients du polynôme dérivé par rapport à p d’un
polynôme auxiliaire dont les coefficients sont les termes de la dernière ligne non nulle.


d p2  4
 2p  0
dp
On reporte dans la table de Routh les coefficient du polynôme 2p+0
p 4  a4
p 3  a
3
p2
p1
p0
a0 
 
1 5
1 4

4
 
 A11 A12 A13   1 4


A
 21 A22 A23   2 0
 A31 A32 A33   4 

 
a2
a1


Conclusion : Tous les coefficients de le première colonne sont de même signe [1 1 1 2 4]. Le
polynôme D(p) ne possède pas de racine à partie réelle positives mais deux
racines qui sont situées sur l’axe imaginaire pur
Racine de D(p) :
-0.0000 + 2.0000i
-0.0000 - 2.0000i
-0.5000 + 0.8660i
-0.5000 - 0.8660i
Réponse impulsionnelle
Chap.4/ 158
Exemple 2
W (p 
p 1
p 6  5 p 5  9 p 4  10 p 3  11 p 2  10 p  3
D ( p )  p 6  5 p 5  9 p 4  10 p 3  11 p 2  10 p  3
Tableau de Routh
p6
p5
p4
p3
p2
1
1
9
10
11
10
1
-1
8.96
1.56
3.01
-1
0 . 432
3
Il y a deux changements de signe dans la 1er colonne
De 1 à -1 et de -2.66 à 0.48 : le système est instable
p 1 - 2 . 66
p 0 0 . 48
Racine de D(p) :
-2.5604
0.2767 + 1.0865i
0.2767 - 1.0865i
-1.2578 + 0.6082i
-1.2578 - 0.6082i
-0.4775
Réponse impulsionnelle
Chap.4/ 159
Conditions de stabilité d’un élément du 1er 2-iéme et 3-iéme ordre
1er ordre
W ( p) 
2ème ordre
3éme ordre
W ( p) 
W ( p) 
a1  0

a0  0
1
a1 p  a 0
1
a 2 p 2  a1 p  a 0
1
a 3 p 3  a 2 p 2  a1 p  a 0
a2  0

 a1  0
a  0
 0
 a3  0
 a 0
2

 a1  0
 a 0
0

a1.a2  a0.a3
P.S. pour mémoire : système du 3-iéme ordre est stable si :
• tous les coefficients sont > 0
• le produit des moyens (a1.a2) > produit des extrêmes (a0.a3)
Chap.4/ 160
EXEMPLES : Critère algébrique de Routh – Hurwitz
1. Asservissement de position avec un PI régulateur
C
+
1
K (1 
)
TP
1
1  TP
M
1
TP
-
 2T 3 K   T 3 K    1
Df ( p )   T 3 p 3   T 2 p 2   KTP  K  0
2. Asservissement de position avec un P régulateur
+
C
1
1
K
1   TP
)
1  TP
M
1
TP
3
3
2
2
Df ( p )   T p  (1   )T p  Tp  K  0
(1   )T 3   T 3 K  K 
1

Chap.4/ 161
4.6. CRITERE DE NYQUIST (1/9)
Avantage de la méthode
 Technique géométrique appliquée aux systèmes qui ne sont pas à
minimum de phase, Présence de retard pur dans les expressions de
fonctions de transfert
Problématique
Et en état fermé ?
Conditions de stabilité connues
Xc(t)
Wou(p)
Ys(t)
Xc(t)
+
Wou(p)
Ys(t)
-
Transformation du SRA en retour unitaire
Xc(t) +
Wro(p)
-
Ys(t)
Y1(t)
Xc(t) +
Wro(p)
-
Wcr(p)
Wou(p)
Y1(t)
Wcr(p)
Ys(t)
Chap.4/ 162
4.6. CRITERE DE NYQUIST (2/9)
Xc(t)
Wou(p)
N ( p)
,
W ( p  ou
D ou ( p )
Ys(t)
2
D ou ( p )  a 0  a1 p  a 2 p  ...  a n p
n
n
 a n  ( p  pi )
i 1
Analyse fréquentielle
p  j
Z i ( j )  Z i ( j ) .e j i ( )
Z i ( j  )  j   p i ( i  1, n ) Nombre complexe
n
Alors :
n
D ou ( j  )  a n  Z i ( j  ) .e
j   i ( )
i 1
i 1
Variation de l’argument () :
1) pi <0 (Gauche du plan complexe)
2) pi >0 (Droite du plan complexe)
 f ( j ) e
j ( )
 ( )  arg( D ou ( j  ) pour
p i  0   i ( ) 
0 
0 

2
p i  0   i ( )  
0 

2
Chap.4/ 163
4.6. CRITERE DE NYQUIST (3/9)
Conditions de stabilité du système
 Si Dou(p) possède K racine à droite du plan complexe alors on a (n-K) racine
gauche
Alors la variation de l’argument sera :
n

i 1
2
 ( )    i ( ) 
n  K    K   ( n  2 K )
2
2
Théorème :
 Le système dont le polynôme caractéristique est Dou(p) est stable ssi le
nombre de pôle à droite est égal à zéro : K=0
( ) 

2
0 
n
Chap.4/ 164
4.6. CRITERE DE NYQUIST (4/9)
Critère de Nyquist
W ou ( p ) 
Xc(t)
+
Wou(p)
-
Ys(t)
N ou ( p )
,
D ou ( p )
W ou ( p )
N ou ( p )

1  W ou ( p ) N ou ( p )  D ou ( p )
W f ( p) 
Introduisons une fonction subsidiaire
N ou ( p )  Dou ( p )
1  Wou ( p ) 
 D f ( p)
Dou ( p )
1  Wou ( j )  1  Wou ( j ) e

L’argument total sera :
j( )
N ou ( j )  Dou ( j ) j( )

e
Dou ( j )
( )  arg( N ou ( j )  Dou ( j ))  arg( Dou ( j )  1 ( )  2 ( )
 1(), 2(), : Phases du système en Boucle ouverte et en boucle fermée
Chap.4/ 165
4.6. CRITERE DE NYQUIST (5/9)
Condition de stabilité du système en BF : (voir demo. précédente)
 1 (  )  n
Or :

2
,
0 
 (  )   1 (  )   2 (  )
 2 (  )  n  2 K 

2
,
0 
Supposons que le système en BO est instable : possède K
racines droites, alors :
 ( )  n

2
 n  2 K 

2

K
.2
2
 ( )  K 
Chap.4/ 166
4.6. CRITERE DE NYQUIST (6/9)
 Un système en boucle fermée ayant K pôles instable en boucle
ouverte est stable ssi :
 Le lieu de de Nyquist du système en état ouvert entoure K fois le point (-1, J0)
dans le sens trigonométrique
Critère simplifié de Nyquist Critère du revers :(nombre de pôles
instable égal à zéro K=0) :
 Un SRA à contre réaction unitaire, est stable en état fermé ssi, en
parcourant le lieu de transfert en état ouvert dans le sens des
fréquences croissantes, ce lieu n’enveloppe pas le point (-1, j0).
Chap.4/ 167
4.6. CRITERE DE NYQUIST (7/9) : Exemple1
W ( p) 
K
p .1   1 p 1   2 p 
Conditions de stabilité
Im
 K ( 1   2 )
 
M
0
Re
 
0
1
 1 2
Nombre de pôles instables : 0
Alors le diagramme de Nyquist ne doit pas entourer 1
OM 
K  1 2
: est le module pour  
1   2
1
 1 2
et   -
Alors OM  1  K  3
Chap.4/ 168
4.6. CRITERE DE NYQUIST (8/9) : Exemple2
Exemple cas (K=0) :
A. Lieu de Nyquist
Im
Im
Stable
-1
Re
Pompage
Instable
-1
Re
-1
Im
Re
B.. Lieu de Black (on laisse le point (odb,-180°) à droite)
G [db]
G [db]
-180 °
-180 °
 [°]
Stable
Pompage
G [db]
 [°]
-180 °
 [°]
Instable
Chap.4/ 169
4.6. CRITERE DE NYQUIST (9/9) : Cas des pôles imaginaires purs
 Problématique :
 Si des pôles de Wou(p) sont situés sur l’axe imaginaire, faut il les
compter dans le demi plan droit ou gauche?
 Il faut modifier le contour de Nyquist de façon soit à les inclure
dans le contour (c.à.d. dans K) soit à les en exclure.
Chap.4/ 170
 Comment faire l’inclusion ou l’exclusion?
 S’effectue à l’aide de demi cercles dont on fait tendre le rayon  vers zéro :
Im
p  p1   e
i
Im

p1
p1
Re
p  p2  e
i
Re

p2
p2
Contour d’exclusion de Nyquist
Inclusion du pôle à gauche
Inclusion du pôle à droite
Chap.4/ 171
4.7. Degré de stabilité (1/3)
Importance
Xc(t) +
K
Wou(p)
Ys(t)
-
Marge de Gain (MG)Im sur le lieu de Nyquist
-1
A
MG 
0
Re
1
 [1,]
OA
 1 
  [ 0,  ]
MG  20 log

OA


Sens pratique de la MG
 Est une garantie que la stabilité persistera malgré des variations imprévues
du gain en boucle ouverte
2 < MG < 2.5
Chap.4/ 172
4.7. Degré de stabilité (2/3)
Marge de phase
Im
1/MG
R=1
-1
Re
Marge de phase :MP
La marge de phase caractérise l’écart supplémentaire qui ferait
passer le lieu de Nyquist de l’autre côté du point critique
 Est une garantie que la stabilité persistera malgré l’existence de retards
parasites dont on n’a pas tenu compte dans les calculs initiaux
40 < MP < 50
Chap.4/ 173
4.7. Degré de stabilité (3/3)
 Marge de gain et de phase sur le lieu
de Black
MP
 Marge de gain et de phase sur le
diagramme de Bode
G [db]
G [db]
-180 °
0 dB
 [°]
MG
MG
 [°]
0°
 MP : Ecart en phase par rapport à -180°

lorsque le gain du système en BO est égal
à 1 (0 dB)
MG : Ecart en gain par rapport à 0 dB pour
un déphasage de -180° . On recommande
MG=12 dB
-90°
-180°
MP
-270°
Chap.4/ 174
4.8. DILEMME STABILITÉ - PRÉCISION
Sortie du produit
Qs, Hs
PC
-
Pr
+
E
U
Entrée du produit
Pr
Vapeur d’eau
Tv
Qe, He
Sortie échangeur
Chap.4/ 175
1. Etude de la Précision
Quelle doit être le gain du correcteur à afficher pour
que la pression du réacteur soit égale exactement à
celle de consigne (fixée en fonction du process) ?
E
Pc(t)
-
Pc(t)
CORRECTEUR
Ps(t)
Vanne
Transmetteur de pression
+
CORRECTEUR
x(t)
Echangeur
Tv(t)
Réacteur
Pr(t)
Capteur de pression
Wou(p)
Ps(t)
Wou(p) = Wvanne(p). Wéchangeur(p). Wréacteur(p). Wcapteur(p). Wtransmetteur(p)
Chap.4/ 176
Calcul de la Précision
Pc(t)
E
+
Ps(t)
Wou(p)
K
-
Pc(t)
W f ( p) 
KW ou ( p )
Ps(t)
1 KW ou ( p )
Problématique
Pc(t)
Pc(t)
Ps(t)
SYSTEM
Ps(t)
Pc(t)
E
P0
t
t
Chap.4/ 177
Application numérique
W ou ( p ) 
1
2 p 3  3 p 2  4 p 1
 Trouvons l’erreur suite à une variation de l’entrée
sous forme d’un saut de P0
Pc ( p ) 
P0
P
 Calcul de l ’erreur
E (  )  lim  Ps ( t )  Pc ( t ) 
t 

 lim p . Ps ( p )  Pc ( p )  lim p . Pc ( p ).W f ( p )  Pc ( p )
p 0
p 0


K
 lim p . Pc ( p ).
 Pc ( p ) 
1 KW ou ( p )
p 0 


E (  )  P0 .
1
1
 P0 .
1 KW ou ( 0 )
1 K
Pour que E() = 0, il faut que le gain K
soit INFINI.
Mais, qu’en sera t-il de la stabilité de mon système ?
Chap.4/ 178
2. Stabilité du système en état fermé
W f ( p) 
K
W ou ( p )
.

3
2
1  W ou ( p )
2 p 3 p  4 p  1  K
D ( p )  2 p 3  3 p 2  4 P 1 K
Conditions de stabilité
a3  2  0


a2  3  0

a1  4  0

 a  1 K  0  K   1
 0

4 * 3 2 .(1 K )
Système stable si 0 < K < 5
Pour avoir une bonne précision ,il faut augmenter le gain,
mais l'augmentation du gain rend le système instable
Je prends alors un gain qui m’assure
une « bonne » marge de stabilité
Dilemme stabilité précision
Chap.4/ 179
Influence du gain sur la précision et la stabilité ( simulation sur Matlab-Simulink)
6
Ps(t)
[bar]
K=0.5
Pc
Im
6
MG = 10
MP=inf.
-1
K=2.5
2.5
Réel
Pc
 ( )  26
, bars
2
2
0
2
4
0
6
10
20
6
6
60
K=5
K=4
30
MG = 2
MP=60°
 (  )  114bars
,
MG = 1
MP=0°
Pc
K=6
Pc
2
0
MG = 1,25
MP=13,7°
 ( ) =0,8
0
20
40
2
MG = 0,83.
MP=-8,9°
60
t [s]
0
20
40
60
t (s)
0
20
40
Chap.4/ 180
EXEMPLE 2
 INFLUENCE DU TEMPS DE RETARD
K
C
1
1 P
e
p
M
-
Analyse de la stabilité Critère de Nyquist
 Cas 1 : K=1
K



1
(

)
1
A

2
1 

 ( )     arctg ( )    

  0 : unique solution
Discussion : Le module maximal est égal à 1  
variant de 0 à +∞
Chap.4/ 181
Comment tracer le lieu de Nyquist : programme Matlab
Démonstration sur Matab-Simulink
% TD IMA1 : DETERMINER LES CONDITIONS DE STABILITE PAR LE CRITERE DE
% NYQUIST SOIT DONNEE LA FT EN BO W(p)=(k/p+1)*exp(-tau*p)
%EXAMINER DIFFERENTS CAS K=1, K>1 et differentes valeurs de tau
omega=0:0.01:20 % Variation de la fréquence omega en rad/s
tau=0% retard pur en seconde
phi1=(-atan(omega)-omega*tau)%-Phi en radian
% CALCUL DE PHI en DEGRE en multipliant par 180/pi)
phi=phi1*180/pi
phi=phi'
% CALCUL DE L'AMPLITUDE A(w)
k=10% k=2.27 est le gain critique qui provoque le pompage
A=k./sqrt(1+omega.*omega)% élement du 1er ordre
%A=20*log(a)
%plot(A,omega)
%CALCUL EN FREQUENTIELLE
%1/(1+P)*exp(-taup) (p=jw)
%pour partie réelle et imaginaire de 1/1+p
Re1=1./(1+omega.*omega)
Im1=-omega./(1+omega.*omega)
%Réel et imaginaire en BO
Re=(Re1.*cos(omega*tau)+Im1.*sin(omega.*tau))*k
Im=(Im1.*cos(omega*tau)-Re1.*sin(omega.*tau))*k
% EN AJOUTANT UN DERIVATEUR
Re=-Im.*omega
Im=Re.*omega
plot(Re,Im)
sys=tf(1,[1 1])
[re,im,w] = nyquist(sys)
[re,im] = nyquist(sys,w)
Chap.4/ 182
Lieu de Nyquist pour différentes valeurs du retard Tau
Tau=1
Tau=0
Tau =20
Chap.4/ 183
Analyse temporelle
Tau=1
Tau=0
Tau=20
Chap.4/ 184
Influence du gain
Analyse de la stabilité Critère de Nyquist
 Cas 2 : K>1
K
C
1
1 P
e
 p
M
-
K

A



1
(
)
1

2

1 
 ( )     arctg ( )    

  tg    
2 équations 3 inconnues
K
2
1  tg (   )
1
1
K
cos(   )
Comment résoudre l’équation K=F(,)?
 Ev variant K jusqu’à apparition de pompage K=2.14
Chap.4/ 185
Influence du gain
Lieu de transfert pour K=2.14
-1
Démonstration sur Matab-Simulink
Chap.4/ 186
4.9. CALCUL DE L’ERREUR DE REGLAGE
M
E
+
Xc
-
Correcteur
Process
C(p)
G(p)
Xc
M
 Forme générale de l’erreur
E ()  lim  M (t )  Xc (t )   lim p.  M ( p)  Xc ( p) 
t 
p 0

1
E()  lim p. Xc( p).
p 0
 1C ( p).G ( p)



Chap.4/ 187
4.10. DIFFERENTES TYPES D ’ERREURS
Xc ( p ) 
A) Erreur de position
X0
p
Nous ne pouv ons pas afficher l’image.
C(p)
X0
G(p)
+
Xc
Soit un correcteur




1

E( )  lim X 0.
K


p 0
1
.
G
(
p
)

 p



M
-
C ( p) 
K
p
  0  E() 
X0
1K.G(0)
  1  E()  0
 Conclusion sur la précision
Chap.4/ 188
B) Erreur de vitesse
Xc ( p ) 
X0
p2
X0
Xc
+
M
-




X0
1

E ( )  lim
.
K

p 0 p 

1
.
G
(
p
)
 p



  0  E ( )  
  1  E ( ) 
X0
K .G ( 0 )
  2  E ( )  0
Pour éliminer une erreur de traînage
il faut placer au moins deux intégrateurs
dans dans la boucle ouverte.
Chap.4/ 189
C) Erreur d ’accélération
Xc ( p ) 
X0
p3
Nous ne pouv ons pas afficher l’image.
+
Xc
M
-
  0  E ( )  




X0
1

E ( )  lim 2 .
K

p0 p 

1
.
G
(
p
)
 p



 1  E()  
  2  E ( ) 
X0
K .G (0)
  3  E()  0
Pour éliminer une erreur d’accélération
il faut placer au moins trois intégrateurs
dans dans la boucle ouverte.
Chap.4/ 190
4.11 Classes d’un système
La précision d’un SRA dépend du nombre
d’intégrateurs insérés dans la boucle ouverte
Classe du
système
Erreur de
position
Erreur de
vitesse
Erreur
d'accélération
0
1
2
 >2
1/(1+K)
0
0
0

1/K
0
0


1/K
0
Chap.4/ 191
4.1 PARAMÈTRES DE PERFORMANCES (4/4)
 Performances en précision
  lim  y (t )  xc (t )   lim p Y ( p )  xc ( p ) 
 Erreur statique
t
p0
t pr
E d    y (t )  x c (t ) 2 dt
 Erreur dynamique
0
 Performances en stabilité
 Un système est dit stable si à une entrée limitée, la sortie est aussi limitée.
système instable
système stable
s(t)
s(t)
t
t
Chap.4/ 192
Chap. 5 : TECHNOLOGIE ET REGLAGE DES REGULATEURS
Objectifs
Maîtriser :
 La technologie des régulateurs industriels P, PI, PID, «tout
ou rien»,
 la réalisation des actions P, I et D série, parallèle , mixte,
 les méthodes pratiques de réglage des régulateurs en boucle
ouverte et fermée,
 la vérification des actions des régulateurs,
 Le rôle domaines d’utilisation des régulateurs P, PI et PID.
Chap. 5/193
VUE GENERALE D’UN REGULATEUR INDUSTRIELLE
Chap. 5/194
PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT D’UN REGULATEUR DE NIVEAU
Chap. 5/195
5.1. Technologie des régulateurs
 Définitions
REGULATEUR
C
E
y
U
Algorithme
Vanne
Process
M
Transmetteur
Capteur
 Les différentes parties d’un régulateur
Mesure M
1. Les signaux
Consigne C
Sortie U
Chap. 5/196
2. Les blocs d’un régulateur
consigne extérieure
Sélecteur de consigne
consigne interne
Indicateur
d’erreur
C
Dispositif d’Affichage de
la Consigne DAC
module PID
Sélecteur du sens
d’action
P
I
I
D
L
D
M
limiteur
I
H
Indicateur
sortie
D
manuel/auto
transmetteur
commande
manuelle
auto
manuel
capteur
Chap. 5/197
5.1.2 Classification des blocs d’un régulateur
 3. Les réglages
A. Réglage de la consigne
B. Réglage des action P, I et D
C. Réglages des limites de la sortie du régulateur pour ne pas endommager
la vanne
D. Réglage de la sortie en position manuelle
4. Les sélecteurs
A. Consigne interne et externe
B. Sens d’action du régulateur
C. Passage du mode automatique à manuel
5. Les indicateurs
A. Indicateur de consigne
B. Indicateur de mesure
C. Indicateur de l’erreur de réglage
D. Indicateur de la sortie du régulateur
Chap. 5/198
5.1.3 Quelques indication sur les régulateurs industriels
 Mesure : PV (process variable)
 Consigne interne : L ou Local
 Sortie : OUT (output)
 Consigne externe D ou R (Distance ou Remote)
 Consigne : SP (set point)
 Consigne suiveuse PVT : Process Variable Tracking
 Direct : Direct ou Decrease
 I : Inverse ou Increase
 (+) : Directe
(-) : Inverse
 Manuel : M, MAN ou Manual
 Auto : A, Aut. Auto
Chap. 5/199
5.1.4. Classification des régulateurs
 1. Selon la nature de l’énergie qu’ils utilisent
 A. Pneumatique
 B. Electronique
 C. Numérique
 2. Selon le type d’action
 A. P-régulateur
 B. PI Régulateur
 C. PD régulateur
 D. PID régulateur
 E. Tout ou rien
 3. Selon le sens d’action
 A. Direct
 B. Inverse
Chap. 5/200
5.2. Actions des régulateurs
A) Régulateur proportionnel P-régulateur
 Définitions
C
E
+
U
U  K .E
P-régulateur
(-)
M
 Fonction de transfert
 Paramètres
 Rôle et domaine d’utilisation
W ( p)  K
BP % 
100
K
Chap. 5/201
Sortie d’un Prégulateur
E
U
P-régulateur
idéale
U(t)
E(t)
réelle
K .E 
100
E
BP
E
t (sec.)
Chap. 5/202
B)
PI Régulateur
 Définitions
C
E
+
U
PI-régulateur
U
K
 KE 
Ti
t
 E dt
0
(-)
M
 T p  1
W( p )  K i

 Ti p 
 Fonction de transfert
BP % 
 Paramètres
100
K
T i ( m in u te )
 Rôle et domaine d’utilisation
Chap. 5/203
Sortie d’un PI régulateur
M-C
U
PI-régulateur
idéale
réelle
U(t)
t
I
P
action Intégrale
action Proportionnelle
K
E dt
Ti 0
KE
t (sec.)
Sens physique de Ti
Intégrons U(t) de 0 à Ti
K
U  KE 
Ti
Ti
 M
 C  dt  U 0  2 KE  U 0  2fois l'action P
0
Ti est le temps en seconde mis par le régulateur pour répéter deux fois l’action proportionnelle,
d’où l’appellation - nombre de répétitions par minute (ou par seconde).
Chap. 5/204
Rôle et domaine d’utilisation de l’action intégrale
 Dans les régulateurs industriels on affiche 1/Ti, alors Ti est d’autant plus grand que l’action
intégrale est faible.
 Le rôle principal de l’action intégrale est d’éliminer l’erreur statique.
 Toutefois l’action intégrale est un élément à retard de phase, donc l’augmentation de l’action
intégrale (c.à.d. diminuer Ti) produit une instabilité car elle déplace le lieu de Nyquist vers la
gauche.
 La valeur optimale est choisie pour satisfaire un compromis stabilité- rapidité.
 Si le système possède lui même un intégrateur (exemple niveau), l’action I est quand même
nécessaire pour annuler l’écart de perturbation car, suite aux variations de la consigne
l'intérêt de I est moindre car l’écart s’annule naturellement.
 Dans l’industrie, on utilisera l’action I chaque fois que nous avons besoin, pour des raisons
technologiques, d’avoir une précision parfaite - exemple : la régulation de la pression ou
température dans un réacteur nucléaire. De plus, il faut souligner que l’action I est un filtre
donc il est intéressant de l’utiliser pour le réglage des paramètres très dynamiques telle que
la pression.
Chap. 5/205
C)
PID Régulateur
 Définitions
C
E
+
U
PID-régulateur
(-)
M
K
U  KE 
Ti
 E dt  K .Td
0
dE
dt
 1  Ti . p  Ti . Td . p 2 
W( p )  K

Ti p


 Fonction de transfert
BP % 
 Paramètres
t
100
K
T i ( m in u te )
Td ( min ute )
 Rôle et domaine d ’utilisation
Chap. 5/206
Sortie d’un PID régulateur
E
U
PID-régulateur
action dérivée
U(t)
K .T d .
D
I
P
action Intégrale
dE
dt
K t
E dt

Ti 0
action Proportionnelle
KE
t (sec.)
Chap. 5/207
Sens physique de Td
U KE K .Td
Soit un PD régulateur
dE
U 0
dt
U  Kat  K.Td .a  U 0  2 KaTd  U 0
Si (M-C) = a t : entrée sous forme de rampe, on a pour t=Td :
U(t)
Sortie à P+D : U  Kat  K.Td .a  U 0  2 KaTd  U 0
Sortie à P : U(t) = K.at + U0
KT d E
D
KT d E
P
t=Td
t
Td représente l’écart, en temps, entre les réponses proportionnelles seules (P) et proportionnelle et dérivée (PD).
Td est donc le temps d’avance d’une réponse PD par rapport à une réponse en P seule.
Chap. 5/208
Dérivée filtrée
Afin de limiter la sortie d’un régulateur ayant une action dérivée, en pratique
l’action dérivée est filtrée en ajoutant un élément de premier ordre. L’action
dérivée pure Tdp devient alors :
W( p) 
Td . p
1  p
y(t)
x(t)
x(t)
t
y(t)
Td . p
t
Dérivée pure)
x(t)
x(t)
t
y(t)
Td . p
1
1  p
Dérivée filtrée
y(t)
amortissement
limitation
t
Chap. 5/209
Rôle et domaine d’utilisation de l’action dérivée
 L’action dérivée compense les effets du temps mort du process
 Elle a un effet stabilisateur mais une valeur excessive peut entraîner une
instabilité. Sur le plan de Nyquist l’action D permet de déplacer le lieu de transfert
vers la droite car elle possède une avance de phase (de +90 degré).
 La présence de l’action dérivée permet donc d’augmenter la rapidité du système
en augmentant le gain sans être inquiété par la stabilité
 Dans l’industrie, l’action D n’est jamais utilisée seule mais en général avec l’action
intégrale.
 On recommande de l’utiliser pour le réglage des paramètres lents tels que la
température. Par contre en présence des paramètres bruités, l’action dérivée est
déconseillée.
Chap. 5/210
RESUME SUR LE ACTIONS P, I et D
 L'action Proportionnelle corrige de manière instantanée, donc rapide, tout écart de la
grandeur à régler, elle permet de vaincre les grandes inerties du système. Afin de diminuer
l'écart de réglage et rendre le système plus rapide, on augmente le gain (on diminue la
bande proportionnelle) mais, on est limité par la stabilité du système. Le régulateur P est
utilisé lorsque on désire régler un paramètre dont la précision n'est pas importante, exemple
: régler le niveau dans un bac de stockage
 L'action intégrale complète l'action proportionnelle. Elle permet d'éliminer l'erreur résiduelle
en régime permanent. Afin de rendre le système plus dynamique (diminuer le temps de
réponse), on diminue l'action intégrale mais, ceci provoque l'augmentation du déphasage ce
qui provoque l'instabilité en état fermé. L'action intégrale est utilisée lorsque on désire avoir
en régime permanent, une précision parfaite, en outre, elle permet de filtrer la variable à
régler d'où l'utilité pour le réglage des variables bruitées telles que la pression .
 L'action Dérivée, en compensant les inerties dues au temps mort, accélère la réponse du
système et améliore la stabilité de la boucle, en permettant notamment un amortissement
rapide des oscillations dues à l'apparition d'une perturbation ou à une variation subite de la
consigne. Dans la pratique, l'action dérivée est appliquée aux variations de la grandeur à
régler seule et non de l'écart mesure-consigne afin d'éviter les à-coups dus à une variation
subite de la consigne. L'action D est utilisée dans l'industrie pour le réglage des variables
lentes telles que la température, elle n'est pas recommandée pour le réglage d'une variable
bruitée ou trop dynamique (la pression). En dérivant un bruit, son amplitude risque de
devenir plus importante que celle du signal utile.
Chap. 5/211
D) Régulateur «tout ou rien»
 Définitions
C
+
M-C
U
(-)
1 pour M  C
U 
 0 pour M  C
M
 Rôle et domaine d’utilisation
Chap. 5/212
Exemple de réglage « tout ou rien»
+
M
C
M-C
U
220 V
0
x
 1 pour M  C
U  
0 pour M  C
U
M
C
U
t
t
Chap. 5/213
5.3. Réalisation des actions PID
Série
E
PI
PD
(1  Ti p )
C ( p)  K c
(1  Td p )
Ti p
U
Parallèle
P
E
1
C ( p)  K c 
 Td p
Ti p
U
I
D
Mixte
I
E
U
P
D
1
C ( p )  K c (1 
 Td p )
Ti p
Chap. 5/214
Commande multivariable
Commande par retour d’état
Commande adaptative
Réglage en cascade
Compensation du temps mort
Calcul des paramètres
du régulateur
Réglage par anticipation
Méthodes pratiques
Méthodes théoriques de réglage
5.4. Réglage des paramètres des régulateurs
Comment augmenter les
performances d’un SRA
structure et algorithmes modernes
de commande
Chap. 5/215
5.5. Méthodes théoriques de réglage
 Problématique
C
+
M-C
M
M
C
PID
(-)
M
(-)
K .Ko
 1  2  p
Ko
1 ( 1  2 ) p  1 2 p 2
M
Ti   1   2
 1   2  Ti
Si je mets 
 Ti Td   1 2
C
G(p)
(-)
 1 T . p  T .T . p 2 
i
i d

K


Ti p


M
M
U
Td 
M
 1 2
1  2
 Avantages
et inconvénients
Chap. 5/216
5.6. Méthodes pratiques de réglage
1. En boucle ouverte
C
+
M
M-C
M
U
M
(-)
1
y(t)
Y
stable
x(t)
x
instable
0.5
tg 
y
 Gain statique du systéme stable en boucle ouverte
x
tg  y
Ki  .
 Gain statique du systéme instable en boucle ouverte
x t.x
Ks 
0

T
4
y
t
8
12
t(sec.)
T
Chap. 5/217
Choix du mode de réglage dans le cas d’un système instable
Choix du type de régulateur en fonction de la réglabilité
Réglabilité 10 à 5 à 10 2 à 5
> 20
< 2
T
20

Régulateur
P
PI
PID
tout ou
rien
0,05  Ki .  0,1
P
0,1  Ki .  0,2
PI
0,2  Ki .  0,5
0,005  Ki .
Ki .  0,5
limite de
PID
PID
Tout ou rien
Limite du PID
Chap. 5/218
Réglage pratique en boucle ouverte : paramètres du régulateur à afficher
Calcul des actions P, I et D pour les systèmes stables
Modes
Action
P
PI
série
PI
parallèl
e
PID
série
K
0 ,8 .T
K s
0 ,8 .T
K s .
0 ,8 .T
K s .
0 ,85 .T
K s .
Maxi.
T
K s .
0 ,8
T
Ti
Td
0
0
PID
parallèle
T

0 ,4 .
0
 0 ,4
PID mixte
T

 0 ,4
1, 2 . K s
K s .
0 , 75
1, 2 . K s
T  0 , 4 .
0 , 35 .T
Ks
T
  2 ,5 .T
Calcul des actions P, I et D pour les systèmes instables
Modes
Action
K
P
PI série PI parallèle
PID
série
PID parallèle
PID mixte
0,8
K i
0,8
K i
0,8
K i
0,85
K i .
0 ,9
K i .
0 ,9
K i .
Ti
Maxi.
5
K i . 2
0 ,15
4,8
5,2
Td
0
0
0
0
K i . 2
0,15
0,35
Ki
0,4
KS.  doit être sans unité
Si on est en limite de PID on doit utiliser des boucles multiples
cascade, ou régulateurs numériques
Chap. 5/219
2. Réglage en boucle fermée
T
Ti
C
Td
BP
M
-
REGLAGE EN BOUCLE FERMEE : Méthode de Ziegler et Nichols
W ( p )  Kr 
1
 Td p
Ti p
Action/
P
Paramètres
PI
série
PI
parallèle
PID
série
PID
parallèle
PID
Mixte
K
Kcr/2
Kcr/2.2
Kcr/2.2
Kcr/3.3
Kcr/1.7
Kcr/1.7
Ti
Maxi
T/1.2
2T/Kcr
T/4
0.85T/Kcr
T/2
Td
0
0
0
T/4
T*Kcr/13.3
T/8
Chap. 5/220
Limites de la régulation PID : Prédicteur de Smith
Cas d’un procédé avec retard
C
E
Process
Régulateur PI
WR ( p )
u
K0
e  . p
1  T0 p
M
(-)
 Soit un régulateur de fonction de transfert
 1  Ti p  TP
e
WR ( p )  
 Ti p 
1
Alors
si on pose : Ti  T0 , T  
Wf ( p ) 
1
T0
1
p
K R K0
Régulateur irréalisable car on ne peut pas technologiquement réalisé
exp(TP) car elle signifie que l’n connaît par avance le signal de sortie
du module avant d’avoir exécuté une variation d’entré.
Chap. 5/221
Limites de la régulation PID : Prédicteur de Smith
 Conclusion
 Avec un régulateur PI et PID, il est impossible de réaliser une régulation
convenable dés que l’on est en présence de procédés possédant un
retard important ou un ordre élévé.
 Remède
 Réaliser une régulation qui exclut le retard pur ou l’ordre n de la boucle
de régulation
C
E
WR ( p )
u
(-)
C
E
(-)
WR ( p )
u
K0
1  T0 p
K0
1  T0 p
Mi
Mi
e
 . p
K0
1  T0 p
M
Exclure le retard pur
K0
1  Tn p
M
Exclure l’ordre n
Chap. 5/222
Prédicteur de Smith
Hypothèses sur le modèle du procédé
 FT connue et de la forme :
G( p) 
Ko p
e
 G1 ( p ).e p
1  TP
Structure de la régulation
C
E
C ( p)
u
(-)
G1(p)
K0
1  T0 p
Mi
e
 . p
M
C(p): Compensateur recherché
Chap. 5/223
Prédicteur de Smith
Objectifs
 assurer les performances de base (stabilité, rapidité et précision) par une
approche directe basée sur la connaissance d’une fonction de transfert
du procédé.
 Principales difficulté de la régulation des procédés retardés
 Problèmes de stabilité à cause du retard
 Temps dev réponse du système en BF
 Le temps de retard est incompressible car il dépend de la position du
capteur
Alors :
 Il faut anticiper l’effet du retard pour le compenser d’où le nom
« PREDICTEUR » et réduire la constante du temps T
Chap. 5/224
Synthése du compensateur de Smithrrecteur
1. On fait abstraction du retard, autrement dit, on le considère
extérieur à la boucle (Système S1).
 On détermine alors un régulateur R classique (par ex. un PI) pour corriger
la partie dynamique G1(p)=Ko/(1+Top) du modèle global G(p) .
C
E
(-)
R( p)
u
G1(p)
K0
1  T0 p
Mi
e
 . p
M
S1
S1
 1  Tip 
R ( p )  Kr 

 Tip 
Puisque le retard est à l’extérieur de la boucle on peut choisir
par exemple Ti pour compenser To et Kr pour diminuer le temps
de réponse en BF
Chap. 5/225
Calcul de C(p)
2. On va chercher le compensateur C(p) qui inclut R(p) et qui
permet de compenser le retard (Système S2)
C
E
(-)
C ( p)
u
G1(p)
K0
1  T0 p
S2
Mi
e
 . p
M
Comment ?
 En considérant que S1 et S2 sont équivalents : on identifie la FTBF de S1
à celle de S2
Chap. 5/226
Principe Prédicteur de Smith : Calcul de C(p)
 Principe
 Chercher un compensateur C(p) tel que les deux systèmes S1 et S2
soient équivalents :.
C
E
R( p)
(-)
C
E
(-)
C ( p)
u
G1(p)
K0
1  T0 p
Mi
K0
1  T0 p
GBF 1( p )  GBF 2 ( p )  C ( p ) 
e
M
 . p
e  . p
GBF 1( p ) 
M
R

1  RG 1 1  e p
R ( p ).G1 ( p )
.e p
1  R ( p ).G1 ( p )
GBF 2 ( p ) 
C ( p ).G1 ( p ) e p
1  C ( p ).G1 ( p ) e p

Chap. 5/227
Synthèse de C(p)
Schéma équivalent
C ( p) 
R

1  RG1 1  e p

C(p): Prédicteur de Smith
C
G1(p)
E
(-)
R( p)
(-)
u
G (p): Procédé
K0
e p
1  T0 p
M
1  e p G1( p)
Chap. 5/228
C(p): Prédicteur de Smith
C
G1(p)
E
R( p)
(-)
(-)
E1
E2
u
(-)
Mc
 1  Ti p
K R 
 Ti p
E1

E2
K0
e p
1  T0 p
M
1  e p G1( p)
F(p)
R(p)
C
G (p): Procédé
K0
e  . p
1  T0 p



Compensateur
 1  e p 

K0 
 1  T0 p 


Process
M
Wo(p)
Wc(p)
Chap. 5/229
Synthèse du correcteur de Smith
Conclusions le prédicteur de Smith est parfaitement déterminé
si l’on connaît
 une fonction de transfert du procédé
 un régulateur R adapté à la dynamique du procédé (hors retard).
Autrement dit, l’ensemble des paramètres de ce compensateur
est constitué par :
 ceux du procédé (K0, T0 et le retard )
 ceux du régulateur R(p) (Kr et Ti)
Remarques
 Pas de problèmes de stabilité en théorie, mais en pratique la
simplification ne conduit pas exactement à un système du 1er ordre
 Inconvénient de la méthode
 Le régulateur ne capte pas la mesure mais le signal compensé
Chap. 5/230
COMMANDE A L’AIDE DE L’ANALYSE
FREQUENTIELLE
Chap. 5/231
Chapitre 6 : PROJET D’UN SYSTEME DE REGULATION INDUSTRIELLE
Objectifs du chapitre :
 Maîtriser sur un exemple concret (un four tubulaire) :





Les étapes de réalisation d’un projet de régulation,
la présentation d’un cahier de charge,
comment identifier un processus,
l’analyse et la synthèse d’un SRA surtout en régulation (par rapport à la perturbation),
examiner l’influence des action P, I et D ainsi que d’un régulateur tout ou rien sur la dynamique
du SRA,
 comment régler les paramètres d’un régulateur,
 observer les limites d’une régulation PID lorsque le système présente un retard pur important,
 introduction des notions de la régulation avancée.
P.S. Les résultats sont simulés à l’aide du logiciel Matlab-Simulink, les schémas de simulation
sont donnés à chaque analyse.
Chap. 6/232
6.1. Etapes de réalisation d’un projet d’un SRA
CAHIER DE CHARGE: objectifs
E/S
Déf. du process et des objectifs
Lois physiques, bilan, hypothèses
ANALYSE
connaissance
Planification des expériences
Acquisition de données
Connaissance à priori
Choix de la structure du modèle
Estimation des paramètres
Modèle de conduite
Oui
adéq.
Synthèse de régulation
SYNTHESE
commande
Modèle de connaissance
Simulation
Choix du critère d’identité
Non
Logistique
actionneurs, régulateurs,
transmetteurs...
Validation sur site
Réalisation définitive
Chap. 6/233
6.2. Définition du processus et des entrées-sorties
AR
1
TT
1
THS
1
FI
1
Conigne Tc
Ts-Tc
Ts
Pétrole chauffé
Pétrole brut
TRC
1
FR
Air (O2)
PR
1
AR
2
U
FVC
Gaz
Chap. 6/234
6.2.2. Définition des entrées-sorties
Schéma fonctionnel du système de régulation
Qp(t)
T
Tc
-
REGULATEUR
U
CONDUITE
DE PETROLE
-
x
VANNE
CONDUITE
DE GAZ
Ts1
Pg
FOUR
Manu..
Ts
Auto.
TRANSMETTEUR ET CEP
DE TEMPERATURE
CAPTEUR
DE TEMPERATURE
Chap. 6/235
Définition des entrées-sorties (E/S):
 On définit d’abord les entrées-sortie : les variables à régler, réglantes et de
perturbations
 Ts(t) - Grandeur de sortie ( température à la sortie - c'est la grandeur à régler ), Valeurs
maximales et minimale de la variation de température : Tsmax = 170°c, Tsmin=20 °c ; Tso Valeur nominale de la température le fonctionnement Tso = 80 °C
 Pg (t) - Grandeur d'entrée ( pression du gaz combustible - Grandeur réglante ); Valeurs
maximales et minimale de la variation de la pression du gaz combustible : Pgmax = 5 bars,
Pgmin = 0bar ; Pgo - Valeur nominale de la pression du gaz combustible Pgo = 2 bars ;
 Qp - Débit du pétrole à l'entrée (perturbation); Débit nominale du pétrole à l'entrée : 20 m3 /s
; Qpmax = 30 m3 /s Qpmin =10 m3 /s . Il existe aussi d’autres perturbations (pouvoir
calorifique du gaz, température ambiante etc...) que nous considérons comme constantes.
 x : déplacement du clapet de la vanne [0 à 6mm]
 U : sortie du régulateur pneumatique [0,2-1bar]; valeur nominale (0,6 bar)
6.2.3. Influence des perturbations
Influence des perturbations :
 Grâce à la propriété de superposition des systèmes linéaires, on peut étudier
séparément l’influence des perturbations et de la commande sur la sortie du système.
Ici pour simplifier la démarche on analyse uniquement une seule perturbation, celle du
débit d’entrée du pétrole.
 1. En boucle ouverte (sans correction) : La sortie subit l’influence de la commande
(ici en manuelle) et celle de la perturbation (Qp(p)) avec un signe (-) car l’augmentation
du débit provoque la diminution de la température (le produit arrive à un température
plus basse que celle du four)
Qp(p)
Wz(p)
Ts(p)
U(p)
G(p)
Ts ( p )U ( p ). G ( p )Qp ( p ).Wz ( p )
+
Chap. 6/237
6.2.3. Influence des perturbations
 2 En boucle fermée (avec correction)
Qp(p)
Wz(p)
(-)
Ts(p)
C(p)
Tc(p)
U(p)
G(p)
(+)
(-)
Ts( p )  Tc( p ).
C ( p ).G ( p )
Wz( p )
 Qp( p )
1C ( p ).G ( p )
1C ( p ).G ( p )
6.3. Cahier de charge
 Comment choisir le cahier des charges
 Le point de départ de n'importe quel projet est le cahier de charge. Pour
un système de régulation, les spécifications restent souvent vagues en
raison surtout de la grande diversité de problèmes de régulation. Les
critères qualitatifs à imposer dépendent d’abord de la nature du
processus à régler. A titre d’exemple, on ne peut imposer aveuglément un
processus transitoire rapide ou un taux d’amortissement de 0,75 pour
n’importe quel système. En effet l’asservissement d’un ascenseur (qui
nécessite un confort pour les passagers) ne tolère pas par exemple
d’accélération . Les dépassements de la pression régulée dans un
réacteur nucléaire ne doivent pas atteindre les seuils limites de tarage
des soupapes de sécurité etc...
Chap. 6/239
6.3. Cahier de charge
 Les critères de performances classiques
 Stabilité :
 Cette condition est impérative mais avec une certain degré de stabilité (marge de sécurité). En
général on impose une marge de gain de 2 à 2.5 . L’utilisateur parle en terme de «pompage».
 Précision :
 L’exploitant demande à ce que le système possède une bonne précision en régime permanent d’où
une nécessite de mettre un PI régulateur ou d’afficher un gain important dans le cas d’un P
régulateur.
 Rapidité
 On demande en pratique que le système soit capable rapidement de compenser les perturbations et
de bien suivre la consigne.
 Dépassement :
 En général on recommande un SRA dont le régime transitoire soit bien amorti et dont le
dépassement ne dépasse pas 5 à 10% la valeur nominale.
 Dans notre cas
 on exige à ce que la température de sortie soit égale à celle de consigne et que les
perturbations soient entièrement compensées. Le régime transitoire doit être assez rapide
en raison de la grande inertie du four et bien amortie (5 à 10)
Identification des processus
 Définition :
 L’identification d’un système c’est la détermination de son modèle
mathématique sur la base des observations expérimentales entréessorties. Le traitement mathématique des réponses graphiques du
système est appelé IDENTIFICATION. Le modèle obtenu est dit de
conduite ou de représentation
 Principe
1. Étape qualitative : Sur la base d’une connaissance à priori du système à
identifier, on fixe une structure du modèle comportant des coefficients
inconnus.
2. Étape quantitative : Elle consiste à la détermination des coefficients inconnus
du modèle de façon que la différence entre les N sorties réelles du système et
celles du modèle soit minimale selon un critère donné qu’on résout par un
algorithme d’identification.
S i w (p ) =


a i p i
b i p
i
N
, D é te rm in e r
a i , b i
te l
q u e
 Y s ( i
i  1
)  Y m ( i )
2

m in im a le .
Identification des processus
 3. Vérification du modèle :
PROCESS
sortie process
Ys(t)
Entrées
x(t)
MODELE
W( p) 
 ai p i
 bi p i
sortie modèle
Ym(t)
m ax
+
-

Y
s (i) - Y m (i)

5%
Algorithme
d’identification
a 0 , a 1 ,.... b 0 , b1 ,.....
6.4.3. Problématique pour le système étudié
 Logistique
Qp
Wz(p)
T
Tc
U
C(p)
-
Wv(p)
x
Wcg(p)
Pr
Wf(p)
Ts1
+
Manu..
Ts
Wct(p)
Auto.
Déterminer les fonctions de transfert :
U(p)
Wv(p)
Wct(p)
Wf(p)
Wcg(p)
?
Qp(p)
Wz(p)
Ts(p)
Ts(p)
U(p)
?
G(p)
Ts(p)
6.4.4. Identification d’un élément de premier ordre
 Expérimentation
Dans ce cours, nous utiliserons les méthodes de base. Nous appellerons les méthodes de base
d'identification , les méthodes s'appuyant sur les propriétés graphiques des réponses fondamentales
(indicielle harmonique et impulsionnelle). Ces méthodes sont très utilisées par les spécialistes de
régulation et des servomécanismes car elles fournissent un précision suffisante et ne nécessitent pas
l'utilisation d'un outil mathématique compliqué. On peut traiter aussi bien la réponse indicielle,
impulsionnelle qu'harmonique, mais l'un des signaux d'excitation le plus fréquent a mettre en oeuvre est
l'entrée en échelon. L'amplitude de l'échelon doit être choisie telle que le système ne sorte pas du
domaine linéaire d'une part et les observations mesurables d'autre part
 Méthodologie
1. Dans un système de régulation en fonctionnement, le correcteur est d'abord mis en fonctionnement
manuel. On attend que le système soit bien stabilisé
2. On applique au système un signal en échelon de + ou - 10% de la valeur nominale de fonctionnement (afin
de ne pas trop perturber le système ) L'échelon d'entrée peut représenter le déplacement du clapet de la
vanne . La réponse est enregistrée à la sortie du transmetteur dont la vitesse du déplacement du papier
diagramme doit être choisie de façon que la réponse soit exploitable . Le modèle de conduite ( ou la
fonction de transfert ) à déterminer du traitement de la réponse graphique décrit l'ensemble des systèmes
( vanne, objet, capteur, transmetteur)
Expérimentation
SALLE DE CONTROLE
SYSTEME A IDENTIFIER
C
PROCESS
10 %
REGULATEUR
VANNE
TRANSMETTEUR
CAPTEUR
6.4.5. Identification de la fonction de transfert par rapport à la perturbation
 Identification de Wz(p) : Expérimentation
Qp(t)
[m3/s]
95
Ts(t)
[°c]
23
 Qp  3m3 / s
20
?
Qp(p)
Wz(p))
90
Ts  15c
Ts(p)
85
t
80
0
5
T=10
15
20
10
25
30
35
t (main.)
6.4.5. Identification de la fonction de transfert par rapport à la perturbation
Étape qualitative : structure du modèle
Wz( p ) 
K
1  TP
Etape quantitative : calcul des paramètres du modèle
K
 Ts
15 c

 5.[  c / m3 / s ]
3
 Qp 3 m / s
5(c / m3 / s )
Wz( p ) 
1  10 p
T  10 min
 Ts
gain relatif
15
 Ts max 170 20
K

 0,66
 Qp
3
 Qpmax 30 10
Wz( p) 
066
,
1  10 p
C. Vérification du modèle
 On détermine alors l’erreur relative maximale qui doit être inférieure à 10%.
Notons qu’en général il est commode de prendre un gain unitaire (cela n’influe
pas évidemment sur le résultat). Pour avoir la sortie en °c on multiplie par la
valeur maximale soit 150°c
t

 
0 ,66 
Tm( t )  L 
.
  0 ,15 * 0 ,66  1  e 10  [  ]
 p 10 p  1 


 1  0 ,15
t [min]
Ts(t) °c
Tm(t) °c
abs(Tm-Ts)
0
80
80
0
3
84,35
83,89
0,46
6
87,60
86,77
0,83
9
89,60
88,90
0,7
12
90,95
90,48
0,47
15
92,30
91,65
0,65
18
92,70
92,52
0,18
21
93,5
93,16
0,35
24
93,88
93,63
0,25
27
94,5
93,99
0,51
30
94,6
94,25
0,35
33
95,00
94,44
0,56
95
Ts(t)
Tm(t)
t 


Tm( t )  0 ,15 * 0 ,66 * 150  c  1  e 10   80  c [  c ]




Ts(t)
Tm(t)
90
Emax=0.83/15
=5.53%
85
80
0
5
10
15
20
25
30
35
6.4.6. Méthode de Broîda : Identification de la dynamique du four
 1. Identification de G(p) : Expérimentation
U
G(p)
Ts
100
Us(t)
100%
60%
Ts(t)
1 bar
96
0,68bar
U 10%
50%
0%
courbe expérimentale Ts(t)
92
Ts  20c
88
0,6bar
84
t1 6 min, t2  9min
0,2bar
t
80
10
t1
20
30
40
50
60
t (min.)
t2
U
K
.e   p
1  Tp
Ts
70
K , T et  ?
80
Principe de la méthode Broîda
 principe
La méthode de Broîda est une méthode d'identification en boucle ouverte
d'une réponse indicielle expérimentale qui consiste a assimiler la fonction
de transfert d'un système d'ordre n à celle du premier ordre affectée d'un
retard pur
K
.e   p
1  Tp
Le problème d'identification :
 déterminer les paramètres suivants T, Constante du temps (sec.), :
Temps de retard pur (sec.) :
Calcul des paramètres du modèle de Broîda
 Méthodologie
 Broîda fait correspondre la réponse indicielle à identifier et la fonction de
transfert du 1er ordre affectée d'un retard en deux points
t1 et t2
d'ordonnées correspondant à 28% et 40% de la valeur finale de la sortie
du système.
(t


1  e

(t


1  e
1
2
 )
T
 )
T
 0 ,28
   2 ,8 t 1  1 ,8 t 2
 0 ,40
Paramètre du modèle
  2,8t1  18
, t2 , T  5,5.t2  t1  , K 
 Modèle final
 ys
 xe

1 


1 
t1
e T  0 ,28
t
 1
e T  0 ,40

 T  5 ,5 t 2  t 1 
  2 ,8 * 6  1 ,8 * 9  0 ,6 m in , T  5 ,5 . 9  6   16 ,5 m in
 Ts
20
 T s m ax 170  2 0 1 3 ,3 %
K 


 1 ,3 3
0 ,0 8
U
10%
1  0 ,2
 U m ax
1.33 0 , 6 p
1,33
G ( p) 
e 
116,5 p 10,6 p 
116,5 p
6.4.7. Modèle du système global à commander
U
100%
Ts(t)
Tm(t)
60%
 U  1 0%
50%
Système réel
U(t)
Ts(t)
Ts(t) : Sortie système
1.33
G( p)
116,5p10,6 p
Tm(t)
Tm(t) : Sortie modèle
0
Qp(p)
T
Tc(p)
-
C( p )
U(p)
0
Wz( p ) 
20
40
60
80
0 ,66
1  10 p
133
,
G( p) 
1  165, p1  06, p
+
-
Ts(p)
100
6.5. Synthèse du système de régulation continue

6.5.1. Schéma fonctionnel du système à réguler
T
Tc(p)
PID
U(p)
Qp(p)
Wz( p ) 
0 ,66
1  10 p
133
,
G( p) 
1  16,5p1  06, p
+
+
Ts(p)
-

6.5.2. Schéma de simulation sur Matalab-simulink : Afin d’analyser aussi l’influence du retard sur les performances
du système, on insère sur le schéma de simulation un bloc de retard pur (Transport delay).
Remarque : Le bloc PID controller MASK Controller est donné sous forme : P+I/s+Ds où P est le gain Kr, I le temps
d’intégration Ti et D l’action dérivée Td alors que s est l’opérateur de Laplace. Si on souhaite afficher les paramètres du
régulateur série de fonction de transfert donnée sous la forme C(p) = Kr[1+1/(Ti.p) + Tdp] alors P correspond à Kr, I
correspond à Kr/Ti, et D correspond à Kr*Td.
1
10s+1
Conduite
pétrole
Perturbation
Z
Consigne
C
+
Sum
P ID
PID Controller
Transport
Delay
1.33
9.9s 2+17.1s+1
FOUR+vanne
+
+
Sum1
Chap. 6/253
6.5.3. Analyse du système en boucle ouverte (sans régulation)
 Nous noterons le paramètre à régler (la température) par M, sa consigne Tc par C et l’échelon de la perturbation par Z0.
Analysons les réponses indicielles du système par rapport à la consigne et à la perturbation en boucle ouverte. Il suit de ces
réponses que les temps de réponse sont importants (51,33min.), que la perturbation n’est pas éliminée et l’erreur statique (MC) est de 57% (1,33/(1,33+1)*100%=57%) d’où une nécessité de régulation.
Réponse en BO de la température
par rapport à la perturbation
1.5
M
Réponse en BO de la température
par rapport à la consigne
1.5
M
Z0
C
0.5
0.5
tpr = 30min.
tpr = 51,3min. =3(T1+T2)
0
0
20
Time (min.)
40
60
0
0
20
40
60
Time (min.)
80
100
6.5.4. Objectifs de la régulation
1. Eliminer les perturbations (ici le débit du produit à chauffer), mais aussi toutes les perturbations en réalité, puisque
elles agissent toutes sur la sortie
2. «Bien» suivre la consigne , «bien», cela signifie sans trop de dépassement (5 à 10%), un systéme rapide, une
erreur statique nulle et surtout un système en boucle fermée assez stable (MG=2 par exemple)
Chap. 6/254
6.5.5. Régulation continue (PID)
1. P- régulateur : Pour avoir l’action P, on affiche sur le logiciel I=0 ce qui correspond à Ti infini et Td (D)=0.

Dans ce cas nous avons en boucle fermée un système du deuxième ordre, nous avons intérêt à prendre un gain qui
nous assure un bon amortissement (voir chapitre 3, page 111) .
Kr * 1,33
1
Wou( p ) 
Pour
avoir

0
7
.

,

, on choisit
9 ,9 p 2  17 ,1 p  1
2
a1 2  2a0 a2
Kr * 1,33 
, soit : Kr  10 ,352
2a2
Rappelons que ai sont les coefficient du système en boucle ouverte.
valeur optimale Kr=10.352
M
1.5
Influence du gain sur la réponse
M
C
Kr=50
0.8
C
Kr=10,352
0.6
Kr=5
0.4
0.5
0.2
0

0
2
4
6
Time (min.)
8
10
0
0
10
20
Time (min.)
30
40
Remarque :
Ce cas est en réalité trivial, car le système est absolument stable (les coefficients étant positifs), on affiche donc un gain
assez fort sans vraiment être inquiété par l a stabilité du système. Par contre , l’erreur est inévitable, si les dépassements ne sont pas
néfastes pour le système, on affiche une bande proportionnelle minimale. On fait remarquer que le gain Kr=50 est fantaisiste car, dans les
régulateusr industriels une BP correspondante soit de 0.2% (1/50) n’est pas affichable (en général la plage est de 3 à 500%).
Chap. 6/255
2. PI régulateur
 Analysons l'influence de l’action intégrale sur la stabilité : Fixons Kr=1 et varions Ti et observons la
réponse du SRA par rapport à la perturbation (régulation) et à la consigne (poursuite).
Poursuite
2
Poursuite
2
1.5
C
C
0.5
0
En augmentant Ti, le
système devient plus stable
mais moins «agile».
Ti=0,4min
-1
-2
0
-0.5
-1
0
200
400
Time (min.)
600
Régulation
Z0
Ti=2min
0
20
40
60
Time (min.)
80
100
Régulation
Z0
1
élimination de la perturbation
0.5
Ti=0,4min
C
C
élimination de la perturbation
-0.5
-0.5
-1
-1
Ti=2min
0.5
0
200
400
Time (min.)
0
20
40
60
Time (min.)
80
100
Chap. 6/256
3. PID (Influence de l’action dérivée en régime de régulation)
Manipulation : Amenons d’abord le système en régime d’instabilité en augmentant par exemple le gain
ou en diminuant Ti : Soit (Kr=2 Ti = 0,4min , Td=0) ), puis introduisons l’action dérivée et analysons son
influence sur la stabilité. Toutes les courbes représentent les réponses du SRA par rapport aux
perturbations.

M 3
Le système avec PI est
instable, J’introduis
alors l’action D,
il se stabilise.
Td=0
Ti=0,4
Kr=2
2
Z0
M Z0
Td=0,8
0.1
C
C
-1
-0.1
-2
-3
0
200
400
-0.2
600
Time (min.)
0
200
400
Time (min.)
Z0
Z0
Ti=0,4
Kr=2
0.05
Td=5
le système se stabilise,
ce qui me permet
d’augmenter le gain Kr
C
Ti=0,4
Kr=10
Td=5
0.05
C
-0.05
-0.05
-0.1
Ti=0,4
Kr=2
-0.1
0
50
100
Time (min.)
150
0
10
20
30
40
50
Time (min.)
Chap. 6/257
6.5.6. Régulation discontinue ( tout ou rien)
Analysons l’influence de la zone morte d’un relais sur la précision et la stabilité du SRA. On remarquera sur les
résultats de simulation ci-dessous qu’il existe un dilemme zone morte (dead zone) - stabilité, précision ; Si le relais
(régulateur tout ou rien) ne possède pas une zone morte, le SRA est précis, mais introduit des auto-oscillations
(nuisibles pour la vanne). Si par contre, on introduit une zone morte importante, le pompage disparaît mais la précision
est mauvaise.
1
10s+1
Conduite
pétrole
Perturbation
Z
Consigne
C
+
Sum
Relay Dead Zone
Graph
Transport
Delay
1.33
9.9s 2+17.1s+1
FOUR+vanne
+
+
Sum1
M
M
J’introduit une zone
morte au relais
C
0.8
0.6
commande avec relais
0.4
idéal (sans zone morte)
commande avec relais
le pompage disparaît
mais l’erreur de réglage
augmente
0.2
0
0
200
400
600
C
800
t (min.)
0.5
0
0
réel (avec zone morte)
200
400
600
800
t (min.)
Chap. 6/258
6.5.7. Réglage du correcteur

1. Méthode théorique - Compensation des constantes de temps du système par un PID
Les méthodes théoriques nécessitent toutes un modèle, c’est pourquoi leur efficacité dépend de la précision du modèle
appliqué. Aussi, leur utilisation reste très limitée dans l’industrie. Ces méthodes sont nombreuses, appliquons à titre
d’exemple, la méthode de compensation. Nous avons vu au chapitre 4 page 135 qu’il était possible de choisir les
valeurs des paramètres du régulateur de façon à compenser les constantes de temps du four.
 Valeurs des paramètres du régulateur
Ti  1   2  16 ,5  0 ,6  17 ,1
Td 

1 2
 0 ,5789
1   2
Remarque :
Il est évident que la compensation des paramètres
du système dans la pratique n’est pas aussi évidente
qu’en simulation, car, le modèle n’est pas toujours
exact et de plus les coefficients du modèle varient
constamment dans les conditions réelles de
fonctionnement : Il suffit par exemple que
le dépôt de coke soit plus important par suite d’une
mauvaise combustion du gaz que le coefficient
d’échange de chaleur (paramètre du modèle) varie etc...
Réponse par rapport à la perturbation en BF
du système compensé
Z0
Ti=17.1
Kr=10
td=0,5789
0.05
C
0
10
20
30
Time (min.)
40
50
Chap. 6/259
Influence du temps de retard sur la stabilité du système
Limite du PID et de la régulation classique
 Introduisons un retard pur dans le système à commander. Analysons l’influence de ce temps de retard pur sur la stabilité du
système. Le schéma de simulation est donné plus loin. La fonction de transfert du four devient :
G( p ) 
1,33
e  p
1  16 ,5 p1  0 ,6 p
Z0
  0 ,2
Ti=0,4
Kr=10
td=5
  0 ,3
J’augmente le retard pur
dans le système,
C
C
-0.03
Z0
0
10
20
Z0
30
on est contraint de diminuer,
le gain Kr et le temps Ti
au sacrifice d’autres performances
C
0
10
20
10
20
30
40Time (min.)
Z0
  0 ,32
Ti=0,4
Kr=10
td=5
-0.5
-0.03
0
40Time (min.)
Ti=0,4
Kr=10
td=5
30
Time (min...)
Ti=6
Kr=1
td=5
C
  0 ,32
d’où les limites de la
régulation PID.
0
10
20
30
40
50
Time (min.)
Chap. 6/260
2. Méthode pratique de réglage du régulateur en boucle fermée
On introduit un retard pur au système (sinon le système ne sera jamais en régime de pompage). Sur le schéma de
simulation sur Simulink du SRA , on met le correcteur en action P (Ti=max, Td=0 ou I=0, D=0 sur le PID controller de
Simulink) et on augmente le gain jusqu'à apparition du pompage, on fixe alors le gain critique Kcr et la période de
l’auto-oscillation puis on détermine les paramètres du régulateur par la méthode de Ziegler et Nichols en sachant que
le PID est de type série ( voir tableau de Ziegler et Nichols).
0.66
10s+1
Conduite pétrole
Perturbation
Z0
+
Sum
Consigne
C
PID
PID controller
Retard
=0.32
+
+
Sum1
1.33
2
9.9s +17.1s+1
FOUR, Vanne
Obtention du régime de pompage
paramètres affichés
M
Kcr=43,80
T=2,85min
T
2.5
Paramètre affichés
Ti=18.18
Td=9,38
Kr=25.76
Kcr
 25 ,76
1 .7
2
1
T * 0 . 85
0 ,055 
 18 .18 1.5
Ti 
K cr
Ti
C
T * K cr
9 .38
Td 
13 .3
0.5
C
0.5
0
10
M
Kr 
1.5
5
Réponse indicielle en BF du PID
2.5
2
0
Graph
M
15
t (min.)
0
0
2
4
6
t(min.)
Chap. 6/261
6.6.Notion de régulation avancée

Limite de la régulation PID



Régulation prédictive (feedforward control):


Lorsque la régulation classique PID est incapable de stabiliser ou de réguler le processus, on doit ou bien changer la structure du système
de commande ou proposer d’autres algorithmes de commande plus sophistiqués. Ces méthodes sont communément appelées méthodes
avancées de régulation.
La liste des méthodes modernes de réglage (commande floue, par réseaux de neurones, horizon infini etc...) est exhaustive mais ces
méthodes restent pourtant encore du domaine de la recherche. Il est important de souligner que pratiquement toutes ces méthodes
nécessitent un modèle ce qui évidemment limite leur utilisation à des systèmes simples ou de structure rigide tels que les systèmes
mécaniques (robotique et aviation). En génie des procédés, on utilise surtout les méthodes classiques que nous venons de voir. Le présent
cours est limité uniquement à la régulation monovariable , nous citerons toutefois pour information le principe des quelques méthodes les
plus simples : cascade, prédictive et auto adaptative.
Ce mode de réglage dit aussi de compensation de perturbation ou à boucle combinée permet , d’éliminer l'effet de la perturbation
principale (débit du produit à chauffer) avant qu’elle ne se répercute sur la variable à régler (la température) d’où un effet de prédiction.
Cette régulation ne prend en compte qu’une seule perturbation, c’est pourquoi une telle commande est justifiée si la perturbation est bien
localisée et qu’en plus elle subit des variations brutales et importantes. Le principe simple, consiste à déterminer et de réaliser la
transmittance du compensateur Wc(p) de façon que l’effet de Qc(p) sur Ts(t) soit nulle.
Régulation autoadaptative :

Nous avons vu que la régulation PID a ses limites lorsque les temps de retard sont importants ou lorsque les perturbations sont trop
grandes. Les paramètres optimaux à afficher du régulateur dépendent évidemment du modèle or, dans les processus réels (surtout en
génie des procédés), les caractéristiques physiques changent en permanence. A titre d’exemple, une vitesse de réaction chimique dépend
d’abord de l’état du catalyseur, les constantes de temps dans les fours dépendent du dépôt de coke dans les tubes etc... L’idée de la
régulation auto adaptative est alors de calculer en temps réel le modèle du processus à commander (par des algorithmes appropriés) et de
déterminer les paramètres ou la structure du régulateur numérique en fonction du critère d'optimalité imposée. Il est clair que dans ce
cas les régulateurs sont numériques. A cet effet on excite le processus par un ensemble d’impulsions (qu’on appelle Séquences Binaires
Pseudo Aléatoire SBPA) et on traite les sorties correspondantes pour déterminer le modèle par des algorithmes de type moindres carrées
de récursifs.
6.7 Quelques principes de régulation avancée
Régulation prédictive
Régulation en cascade
Produit à chauffer
Produit à chauffer
Ts
FR
Air (O2)
Fc
-
Ts
FT
1

FRC
Gaz
Wc(p)
TRC

-


Gaz
Tc
-
TRC
Régulation auto adaptative
identification temps réel
critère d’optimalité
calculateur
Produit à chauffer
Ts
Air (O2)
FR
Gaz

-
Tc
régulateur numérique
auto ajustable
Chap. 6/263
Tc
Chap1: INTRODUCTION
Chap.1/264
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Partie II
COMMANDE NUMERIQUE
Belkacem OULD BOUAMAMA
264
Chap1: INTRODUCTION
Chap.1/265
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Sommaire





1. Rôle et définition d’une commande numérique
2. Eléments constitutifs et mise en œuvre
Structure d'un système de commande numérique
Fonctions d'un calculateur ;
Critères de choix des paramètres (échantillonnage, quantification, numération et codage ; Mise
en œuvre (Filtrage et multiplexage des signaux analogiques) ; conversion analogiquenumérique,
 Régulateurs numériques PID. Commande en temps discret.
Chap.1/266
Chap1: INTRODUCTION
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
COMMANDE NUMERIQUE: pourquoi?
Régulation continue :
 apparition en 1840 (Watt) encore très utilisée
Régulation numérique
 Depuis 1959 (commande d ’une unité de polymérisation Texaco de Port Artur,
Texas),
 Limites de la régulation analogique
 Manque d’auto-adaptivité
 Les paramètres du correcteur continu ne sont pas évolutifs






Transmission sensibles aux bruit
Précision faible
Programmation des algorithmes figée (peu flexible)
Archivage des données inexistant (nécessite des CAN)
Temps de réponse lent (contrôleur pneumatique, analogique ,…)
Difficulté de mise en œuvre des algorithmes de commande avancée (retour d’état, observateur
…)
Chap.1/267
Chap1: INTRODUCTION
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Régulation numérique : Eléments constitutifs
C
+
M
E
Un
CNA
Ua
PROCESS
(-)
CAN
CAPTEUR
TRANSMETTEUR
CNA : Convertisseur Numérique Analogique
CAN : Convertisseur Analogique Numérique
Y
Chap1: INTRODUCTION
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Chap.1/268
Eléments industriels
Régulateur numérique
Capteurs
Actionneurs
Process
Salle de contrôle
Chap1: INTRODUCTION
Chap.1/269
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Avantages et inconvénients d’une commande numérique
Avantages
 Informations numériques transmises peu
sensibles au bruit
 Elaboration de consignes sous forme de
programmes
 Calcul optimal des paramètres de réglage
(régulateur auto-adaptatifs)
 Gestion des alarmes, autodiagnostic
 Commande embarquée
 Gestion statistique des données
 Programmation simple des actions P, PI, PID
 Programmation des commandes avancées
 faible coût et performances supérieures
Inconvénients
 Temps de calcul en temps réel
 Nécessité de CAN et de CNA (car les
actionneurs ont analogiques) dans la
boucle numérique
 Le temps réel difficile à mettre en
œuvre
 le temps de calcul des paramètres de
réglage doit être inférieur au temps de
réponse des éléments de la boucle.
Chap1: INTRODUCTION
Chap.1/270
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Rôle d’un calculateur
Fonctions d'un calculateur dans une commande numérique
 Un calculateur peut être : microprocesseur, ordinateur, microcalculateur
 Calculer en fonction de l’algorithme des actions de commande vers
l’actionneurs via le CNA
 Enregistrer l’évolution des variables du procédé en temps réel
 Afficher le suivi du procédé : gestion des alarmes et des consignes
 Aide à l’opérateur pour la prise de décision en situation d’alarmes
Chap1: INTRODUCTION
Chap.1/271
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
PARTIE 2
ELEMENTS CONSTITUTIFS ET MISE EN
OEUVRE
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Chap.1/272
Chap1: INTRODUCTION
Mise en oeuvre
Consigne
discrétisée
+
Calculateur
numérique
CNA
-
Procédé
Continu
Modèle
échantilloné
CAN
Horloge
Sortie
discrétisée
 La consigne est spécifiée numériquement.
 L’erreur consigne-sortie discrétisée est traitée par un calculateur numérique.
 Ce calculateur généret une séquence de nombre. A l’aide d’un convertisseur numérique
analogique (CNA), cette séquence est convertie en un signal analogique qui est maintenu
constant entre des instants réguliers par un bloqueur d’ordre zéro (BOZ). L ’ensemble
CNA-BOZ est appelé échantillonneur Bloqueur.
 Ces instants espacés régulièrement sont appelés instants d’échantillonnage et
sont définis par une horloge de synchronisation
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Chap.1/273
Chap1: INTRODUCTION
DEFINITIONS
 Echantillonnage
 Un signal continu f(t) est remplacé par une suite discontinue de ses valeurs f(nTe) aux
instants d’échantillonnage t=nTe (n=0,1,2,…) où Te est la période d’échantillonnage.
 Échantillonner un signal consiste à le prélever à intervalle de temps réguliers,
pendant une durée très courte.
Signal discret (suite d’échantillons)
Signal continu
f*(t)
f(t)
Echantillonnage
CAN
Te
t(s)
1Te 2Te 3Te 4Te 5Te 6Te
t(s)
Chap.1/274
Chap1: INTRODUCTION
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Définitions
 Quantification
 Après avoir échantillonné, on quantifie l ’amplitude du signal par un
nombre fini de valeurs codées en général en binaire.
Les données sont représentées sur un calculateur dans un certain format
 Quantifier un signal : approximer sa valeur instantanée par la valeur
discrète la plus proche. On commet donc une erreur
 Un signal codé sur n bits prend 2n valeurs différentes (8 bits c’est 256 valeurs)
Signal quantifié avec un nombre de niveaux deux fois
plus petit
Erreur de
quantification
Chap.1/275
Chap1: INTRODUCTION
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Définitions
Erreur associée à la quantification
 = bruit de quantification
Reconstruction (CNA)
 consiste à élaborer un signal analogique à partir d’une suite de nombres
Discrétisation (CAN)
 Découpage temporel du signal
Chap.1/276
Chap1: INTRODUCTION
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Bloqueur
Reconstitution du Signal continu: Bloqueur d ’ordre zéro (BOZ)
 Le bloqueur d ’ordre zéro (BOZ) a pour action de maintenir constante et
égale à f(nTe) l ’amplitude de l ’impulsion entre les instants nTe et (n+1)Te.
P(t)
Peigne de Dirac: suite
d’impulsionde Dirac
BOZ
t
f(t)
CNA
Signal continu
Peigne de Dirac
t(s)
f*(t)
Signal reconstitué
P(t)
1Te 2Te 3Te 4Te 5Te 6Te
t(s)
Chap.1/277
Chap1: INTRODUCTION
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Quelle fréquence d’échantillonnage ?: Théorème de Shannon
On échantillonne un signal continu de fréquence f0 pour différentes fréquences d ’échantillonnage fe
fe=8f0
Fréquence d’échantillonnage fe=8f0
Le signal continu se retrouve dans la
séquence échantillonnée.
CAN
fe=4f0
Le signal continu se retrouve dans la
séquence échantillonnée.
CAN
fe=2f0
Le signal continu ne se retrouve plus
dans la séquence échantillonnée.
CAN
Théorème de Shannon
f e  2 f max
Chap1: INTRODUCTION
Chap.1/278
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Théorème de Shannon (suite)
Importance
 Ce théorème très utile donne précisément la fréquence à laquelle il faut
échantillonner un signal losqu'on le numérise.
Enoncé
 la fréquence d'échantillonnage doit être au moins égale au double de la
fréquence du signal analogique. Si l'on se situe sous cette limite
théorique, il y a perte d'information dans le signal.
 Pour ne pas perdre d'information dans un signal la distance entre deux
échantillons doit être inférieure à la demi-période du signal.
 Pour ne pas perdre de détail dans une image, la taille des pixels doit être
moins de la moitié du plus petit détail de l'image.
Chap1: INTRODUCTION
Chap.1/279
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Théorème de Shannon (suite)
 Exemples
 dans l'audio : pour F < 20 kHz (son Hi-Fi), Fe = 44,1 kHz
 voix humaine en téléphonie : pour F < 3400 Hz, Fe = 8 kHz.
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Chap.1/280
Chap1: INTRODUCTION
Choix en pratique de la période d’échantillonnage
 Critère fréquentiel
 Fe : fréquence d’échantillonnage : elle doit être 6 à 24 fois plus grande
que la fréquence de coupure du système
 Exemple : soit Wc la fréquence de coupure du système, alors la période
(s) d’échantillonnage Te sera :
2
2
;
 Te 
18c
9c
 Système du
1er
ordre

4

9
 Te 

4.5
 Te  
 : constante de temps du procédé 1er ordre
 Pour un deuxième ordre W ( p) 
k
P 2  2 n p  n2
0.25  nTe    0.7
Chap.1/281
Chap1: INTRODUCTION
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Choix de la période d’échantillonnage
CHOIX DE LA PERIODE D’ECHANTILLONNAGE POUR
LA REGULATION DES PROCESS
TYPE DE VARIABLE OU
PPROCESS
PERIODE D ’ECHANTILLONNAGE
(en s)
DEBIT
1-3
NIVEAU
5-10
PRESSION
1-5
TEMPERATURE
10-45
DISTILLATION
10-180
ASSERVISSEMENTS
0,001-0,1
REACTEURS CATALYTIQUES
10-45
CIMENTERIES
20-45
SECHAGE
20-45
Globalement :
Choisir une fréquence
d’échantillonnage
5 fois plus petite que la constante de
temps la plus rapide que l'on veut
contrôler en boucle fermée
Chap1: INTRODUCTION
Chap.1/282
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Cas pratique
 Si la fréquence d’échantillonnage Fe est trop petite :
 On perd de l’information du signal
 On doit bien faire l’interpolation pour reconstituer le signal
Si Fe égale à celle du signal:
 le signal échantillonné paraitrait constant
Si la fréquence d’échantillonnage Fe est trop grande
 Taille du mémoire du fichier à gérer trop grande
 Signal bruité si on doit dériver (exemple dériver la position pour avoir la
vitesse)
En pratique prendre la fréquence d’échantillonnage 10 fois la
fréquence du signal
Chap.1/283
Chap1: INTRODUCTION
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Mise en oeuvre (Filtrage et multiplexage des signaux analogiques
 Schéma de principe d’une boucle de traitement numérique
Grandeur physique
Capteur
Ampl
i
Filtrage
Echantillonneur
bloqueur
CAN
Unité de
traitement
CNA
Partie opérative
Ampli.
Filtrage
Chap1: INTRODUCTION
Chap.1/284
exemple
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Chap1: INTRODUCTION
Chap.1/285
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Rôle des éléments de la boucle numérique
Capteur
 Transforme l’énergie en une grandeur physique mesurable. Il est
l’interface entre le monde physique et le monde électrique. Il va
délivrer un signal électrique image du phénomène physique que l’on
souhaite numériser. Il est toujours associé à un circuit de mise en
forme.
Amplificateur
 Cette étape permet d’adapter le niveau du signal issu du capteur à la
chaîne globale d’acquisition.
Filtre
 Ce filtre est communément appelé filtre anti-repliement. Son rôle est de
limiter le contenu spectral du signal aux fréquences qui nous intéressent.
Ainsi il élimine les parasites. C’est un filtre passe bas que l’on caractérise
par sa fréquence de coupure et son ordre.
Chap1: INTRODUCTION
Chap.1/286
Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille
Rôle des éléments de la boucle numérique
Echantillonneur bloqueur
 Son rôle est de prélever à chaque période d’échantillonnage (Te) la valeur
du signal. On l’associe de manière quasi-systématique à un bloqueur. Le
bloqueur va figer l’échantillon pendant le temps nécessaire à la
conversion. Ainsi durant la phase de numérisation, la valeur de la tension
de l’échantillon reste constante assurant une conversion aussi juste que
possible. On parle d’échantillonneur bloqueur.
CAN
 Il transforme la tension de l’échantillon (analogique) en un code binaire
(numérique).
CNA
 Il effectue l’opération inverse du CAN, il assure le passage du numérique
vers l’analogique en restituant une tension proportionnelle au code
numérique.
Chap.1/287
Chap1: INTRODUCTION
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Rôle des éléments de la boucle numérique
 Filtre de sortie
 Son rôle est de « lisser » le signal de sortie pour ne restituer que le signal utile. Il a les mêmes
caractéristiques que le filtre d’entrée.
 Amplificateur de sortie
 Il adapte la sortie du filtre à la charge.
 Performances globale de la chaîne d’acquisition
 Fréquence de fonctionnement : C’est le temps mis pour effectuer les opération de :
 Echantillonnage (Tech) , Conversion (Tconv et Stockage (Tst)
 temps minimum d’acquisition
 la somme de ces trois temps :
Tacq  Tech  Tconv  TSt  Fmax 
1
Tech  Tconv  TSt
 Résolution de la chaîne
 La numérisation d’un signal génère un code binaire sur N bits. On obtient donc une précision de
numérisation de 1 2N%. Il faut donc que tous les éléments de la chaîne de conversion aient au moins
cette précision. On leur demande en général une résolution absolue de (0.5*1 2N%).
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Chap.1/288
Chap1: INTRODUCTION
Acquisition
 Multiplexeur Acquisition séquentielle décalée
 L’acquisition décalée se base sur l’utilisation en amont d’un multiplexeur qui va orienter un capteur
vers la chaîne unique d’acquisition
CAN
EchantilloneurBloqueur
MULTIPLEXEUR
CAPTEURS
0101101
Séquenceur
 Avantages : Economique
 Inconvénients : décalage dans le temps des acquisitions. On réservera donc cette structure à
celle ne nécessitant pas une synchronisation entre les données numérisées. Temps
d’acquisition complet est proportionnel au nombre de capteurs
Chap.1/289
Chap1: INTRODUCTION
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Acquisition
Acquisition séquentielle simultanée
E/B 2
Capteur n
E/B n
CAN
Capteur2
EchantilloneurBloqueur (E/B)
E/B 1
MULTIPLEXEUR
Capteur1
0101101
Séquenceur
 Avantages : Economique moyen, acquisitions synchrones
 Inconvénients : un E/B pour chaque capteur. Temps d’acquisition
complet est proportionnel au nombre de capteurs.
Chap1: INTRODUCTION
Chap.1/290
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Acquisition
Acquisition parallèle
Capteur1
E/B 1
CAN1
0101101
Capteur2
E/B 2
CAN1
0101101
Capteur n
E/B n
CAN1
0101101
 Avantages :
 les conversions simultanées, Acquisition d’une donnée pendant que l’on en stocke
une autre, gain de temps sur l’acquisition complète.
 Inconvénients
 Coût élevé
Chap1: INTRODUCTION
Chap.1/291
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TRANSFORMEES EN Z
Transformée de Laplace d’un signal échantillonné
 Description d’un signal échantillonné
 On définit le signal échantillonné par la suite en k : {f(K)}={f(KTe)}
f(t)
Te
f*(t)

f * ( t )  f ( t )  ( t  nTe )
f * ( t )  f ( t ) Te ( t )

 Te ( t )    ( t  nTe ), n   peigne de Dirac
n 0
n 0

  f ( nTe ) ( t  nTe )
n 0
 Transformée de Laplace


 
  tp
L  f * ( t )     f ( nTe ) ( t  nTe ) e dt   f ( nTe )e  nTe p
n 0

0  n 0
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« Automatique continue et numérique »
Transformées en z
 Transformée en z

L  f * ( t )   F * ( p )   f ( nTe )e  nTe p
n 0
 Changement de variable : z  eT p
e

f ( t )  F ( z )   f ( nTe ) z  n  Z  f * ( t ) 
n 0
 du point de vue numérique, à la suite de nombre f(0), f(Te), …., f(nTe) constituant le
signal numérique, on peut faire correspondre la série :

F *( p)   f (nTe )enTe p
n0
 du point de vue continu : Soit F*(p) est la transformée de Laplace du signal
échantillonné
Prof. B. Ould Bouamama Polytech’Lille
« Automatique continue et numérique »
Transformée en z
 Transformée en z : définition
 On appelle transformée en z d’un signal f(t) la Transformée de Laplace F*(p) du signal
échantillonné f*(t) en remplaçant :
ze
Te p
 Exemple 1 : TF de Z de échelon Heaviside

Z  ( t )   ( nTe ) z
n
n 0

 z
n
n 0
 (t )  1
1
z
 1  z  z  ... 

1
1 z
z 1
1
2
 at
 Exemple 2: f ( t )  e
f ( t )  e  at  f ( nTe )  e  anTe
  Te
n
e

z
F ( z )   e  nTe z  n   


  Te

z
z
e
n 0
n 0 


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
« Automatique continue et numérique »
Suite géométrique
de raison z-1
Tableau des transformée en z
295
Definitions
La transformée de Laplace pour les signaux continus :
La Transformée de Laplace pour un signal discret (connus uniquement en
des instant k)
X* est est une suite :
Donc la transformée en z est définie p (existe table des Transfor. En z)
Propriétés de la transformée en z
Linéarité
Théorème du retard
 Si F(k-1) est le signal discret de f(k) retardé de l périodes: alors ,
Théoréme de l’avance
11/03/2018
Commande numérique
297
Théoréme de la valeur initiale
 La valeur initiale d’un signal continu est
 à temps discret, elle est:
Théorème de la sommation
 En continu on parle du théoème d’intégration
 En discret on a :
11/03/2018
298
Théorème de la valeur finale:
 En continu :
 En discret :
Exemple : Calcul d’une Transformèe en z
 Soit un signal discret du signal de Dirak :
 Transformèe en z:
11/03/2018
Commande numérique
299
Calcul Transformée en z exemple
 Considérons le signal suivant
 Par définition, sa transformée en z se calcule comme suit
Il s’agit d’une série géométrique connue
11/03/2018
Commande numérique
300
Application : Transformée en z
1) Système continu
u(t )
1
1
p 1
1
p
t
1
z
Z 
 p z 1
z
z
.
y ( n )   y ( nTe ) z Y ( z )  Z  y( n )  W ( z ).U ( z ) 
 Te
z 1
ze
n 0

z
z  e  Te


1
t
y ( t )  L1 
  1 e
 p (1  p ) 
 1  1 
Valeur finale: y (  )  Lim p   
1
p 0
(1
)
p

p
 

 1 
z
Z
,

 Te
 (1  p )  z  e
2) Système numérique
z
z  1 W ( z) 
1
Y ( p) 
p (1  p )
n
Valeur finale:
TRANSFORME_Z
z  z   1
 z 1
 z  1 
Y
((
z
)
Lim
Discret : y( k )  Lim 


 z  z  e  Te  z  1    1  e  Te
z 1
z 1
z
k 





 
Valeur initiale
z  z 

f (0)  LimF ( z ) : Lim 
  1Te
 Te 
z 
z
1

z
e

z 




 : dépend de Te

Système discret et échantillonné
 Un système à temps discret se définit comme un
opérateur entre deux signaux à temps discret.
Un modèle entrée-sortie, appelé aussi modèle externe,
ne fait intervenir que les séquences d’entrée uk et de
sortie yk.
a0 y ( k )  a1 y ( k  1)  ...an y ( k  n )  b0u( k )  b1u( k  1)  ...bmu( k  m)
11/03/2018
Commande numérique
302
Système discret
 Fonction de Transfert d’un système discret
u( k )
W(z)
y(k )
a0 y ( k )  a1 y ( k  1)  ...an y ( k  n )  b0 u( k )  b1u( k  1)  ...bm u( k  m )
a0Y ( z )  za1Y ( z )  z 2 a2Y ( z )  ... z n anY ( z )  b0U ( z )  zb1U ( z )  ... z m bmU ( z )
b0  zb1  z 2b2 ... z m bm
Y ( z)
B( z )
W ( z) 


2
n
U ( z ) a0  za1  z a2  ... z an A( z )
11/03/2018
Commande numérique
303
Signal échantilloné
 Utilisation de calculateurs numériques
 utilisés en temps réel pour commander, piloter, guider... des
procédés physiques qui sont le plus souvent à temps continu.
La problématique :
 Représenter les interactions entre des signaux physiques
analogiques avec des signaux assimilables par des calculateurs
numériques qui se présentent sous forme de suites.
 L’analyse d’un système commandé par calculateur numérique
passe par la définition d’un système `a temps discret, comprenant
le procédé commandé de nature généralement continue, et les
convertisseurs numérique analogique et analogique-numérique,
que l’on peut respectivement assimiler au bloqueur d’ordre zéro et
`a l’´échantillonneur,
11/03/2018
Commande numérique
304
Système échantillonné et discret
Partie continue
Partie échantillonée
11/03/2018
Commande numérique
305
Conversion AN et NA
AN
NA
11/03/2018
Commande numérique
306
Échantillonneur
Le véritable problème envisagé est celui de l’´échantillonnage en sortie d’un procédé dont on
connait, par exemple, sa fonction de transfert mais la sortie du système est inconnue car elle
dépend du signal d’entrèe u(t) qui n’est pas précisé´
T doit satisfaire le théorème de Shannon
11/03/2018
Commande numérique
307
Bloqueur d’ordre zero
 Fonction de transfert d’un bloqueur d ’ordre zéro (BOZ)
 Il a pour action de maintenir constante et égale à f(nTe) l ’amplitude de l ’impulsion entre les instants
nTe et (n+1)Te.
 Sa FT Bo(p) est la transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle

11/03/2018
Commande numérique
308
Fonction de transfert d’un BOZ
 (t )
(t ) : signal de saut
s(t )
 (t )
s(t )
Bo(p)
T
t
t
s( t )   ( t )   ( t  T )  s( p )   ( p )   ( p )e  TP   ( p )(1  e  TP ) 
1
(1  e  TP
p
s( p ) (1  e  TP )
Bo( p ) 

 ( P)
p
11/03/2018
Commande numérique
309
Transformée en z de l’échelon unitaire
 Transformée d’un échelon unitaire

Z ((t ))   (nTe ) z  n  1  z 1  z 2  .....z  n suite géométrique raison z 1
n0
1
z
Z ((t )) 

1
1 z
z 1
 (t )
Transformée bloqueur associé transmittance
11/03/2018
Commande numérique
310
Fonction de transfert d’un système échantillonné
 Fonction de transfert
U( p )
Y( p )
G(p)
G ( p) 
Y ( p)
U ( p)
u( k )
Système échantillonné
u( k )
Bo(p)
u(t )
W(z)
y( k )
Bo(p)
y (t )
y( k )
G(p)
y( k )
G(p)
Te
 Théorème: Soit un procédé continu modélisé par une fonction de transfert G(p). Ce
procédé échantillonné admet une fonction de transfert en W(z):
11/03/2018
Commande numérique
311
Demonstration
 Sens de Z[h(p)]
 h(t) : réponse impulsionnelle
 hk réponse discréte {hk }= { h(KT) }
 H(z) : FT en z. Z[hk ]=H(Z)
u*(t) : signal continu constitué des échantillons u(k )
11/03/2018
Commande numérique
312
u( k )
Te
U * ( p)
Bo(p)
U ( p)
Y ( p)
Gc(p)
 La transformée de Laplace de ce signal s’écrit:
Comme
Sachant que la réponse impulsionnelle sortie échantillonneur est:
11/03/2018
Commande numérique
313
 En appliquant le théoréme du retard
11/03/2018
Commande numérique
314
 Puisque la FT du bloqieur d’ordre zéro est Bo(p) Bo(p)=1-exp(-Tep)/P, on a :
Les propriétés des Tf de Laplace et de Z donnent :
11/03/2018
Commande numérique
315
Application : Transformée en z et échantillonné
1) Système continu
u(t )
1
1
p 1
1
p
t
1
z
Z 
 p z 1
z
z
.
y ( n )   y ( nTe ) z Y ( z )  Z  y( n )  W ( z ).U ( z ) 
 Te
z 1
ze
n 0

z
z  e  Te


1
t
y ( t )  L1 
  1 e
 p (1  p ) 
 1  1 
Valeur finale: y (  )  Lim p   
1
p 0
(1
)
p

p
 

 1 
z
Z
,

 Te
 (1  p )  z  e
2) Système numérique
z
z  1 W ( z) 
1
Y ( p) 
p (1  p )
n
Valeur finale:
TRANSFORME_Z
z  z   1
 z 1
 z  1 
Y
((
z
)
Lim
Discret : y( k )  Lim 


 z  z  e  Te  z  1    1  e  Te
z 1
z 1
z
k 





 
Valeur initiale
z  z 

f (0)  LimF ( z ) : Lim 
  1Te
 Te 
z 
z
1

z
e

z 




 : dépend de Te

Exemple : système échantillonné
 EXEMPLE : FT en z de
G ( p) 
1
( p  1)
ECHANTILLONE_VS_Z
 Période d’échantillonnage
 FT en z:
G( z) 
2
 Te  2
4

z  1  G ( p)  z  1  1
Z
Z



z
z
 p 
 p ( p  1) 
 puisque (cf. table)
 G ( p) 
 1

z (1  exp(Te)
Z

Z


 p( p  1)  ( z  1) z  exp(Te)


 p 


Alors FT en Z du Système échantillonné est
11/03/2018
pour Te  1, G ( z ) 
 z  1   G ( p )   (1  exp(Te) 
G( z)  

Z 

 z   p    z  exp(Te  
(1  exp(1)
0.6321

 exp(numérique
1  z  0.3679 
 zCommande
317
MATLAB
%EXEMPLE
num=1;
den=[1 1];
mc=tf(num,den)
%Convertir continu vers discret
Te=1;
method='zoh'
md = c2d(mc,Te,'method')
step(md);
%Convertir discret vers continu
mc1=d2c(md)
mc =
1
----s+1
EXO_ECHANTILLONE_
MATLAB
md =
0.6321
---------z0.3679
Chap.1/ 318
Exemple
 EXEMPLE : FT en z de
G ( p) 
 Période d’échantillonnage
 FT en z:
G( z) 
1
(2 p  1)
2
 Te  2
4
1
z  1  G ( p)  z  1 


Z
Z
 p(2 p  1) 

p
z
z




 puisque (cf. table)
z (1  exp(0.5Te)
1


 1/ 2

Z
Z



 p ( p  1/ 2)  z  exp(0.5Te) ( z  1)
p
p

(
2
1
)




Alors FT en Z du Système échantillonné est
11/03/2018
,
1
e
T
r
u
o
p

(1  exp(0.5)
0.3935

G( z) 
z  exp(0.5 z  0.6065
Commande numérique
319
SIMULATION : Echantillonné
Matlab
Exo_echantilone3_mtalab
ECHANTILONE_SIMULINK
%EXEMPLE
num=1;
den=[2 1]
mc=tf(num,den)
%Convertir continu vers discret
T=1
DEMO_SIMULINK
EXo_echatillon3
method='zoh'
md = c2d(mc,T,'method')
Syntax : Continuous to discrete
step(md)
md = c2d(mc,T,’method’)
%Convertir discret vers continu
Syntax : discrete to continuous
mc1=d2c(md)
mc1=d2c(md)
11/03/2018
Commande numérique
320
Réponse discrète et continue
11/03/2018
Commande numérique
321
FT d’un système échantillonné
FT d’un système continu
U( p )
W(p)
Y( p )
FT du système échantillonné
W ( z )  Z W ( p ).Bo( p ) 
11/03/2018
z  1 W ( p ) 
Z

p
z


Commande numérique
322
Exemples
Soit le système échantilloné suivant
u( k )
Bo(p)
Calculer sa FT en z
 La partie continu est :
 Sa FT en z est :
1
p( p  1 )
y( k )
Te
1
G( p) 
p ( p  1)

z  1  G( p )  z  1 
1
G( z )  Z  Bo( p ).G( p ) 
Z
Z



z
z
 p 
 p  p( p  1)  
11/03/2018
Commande numérique
323
Exemple suite
Décomposition en éléments simples
1
G( p) 
p ( p  1)
G( p )
1
 2
p
p ( p  1)
z  1  G( p )  z  1 z  (1  exp( Te)(1  z )  Te( z  exp( Te))
G( z ) 
Z

.

2
z
p
z
(
z

1)
( z  exp( Te))


Utilisation de la table


z  0.7183
Pour T  1s, G ( z )  0.37679 

  z  1 z  0.3679  
11/03/2018
EXo_echatillon_2
324
2eme Exemple
)
p
(

w
p 1
p 3  2 p 2  10.25 p  9.25
Bode Diagram
0
-10
Magnitude (dB)
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
180
Step Response
0.1
Phase (deg)
90
0.05
0
-90
Amplitude
0
-180
-1
10
0
1
10
10
2
10
-0.05
Frequency (rad/sec)
-0.1
Fréquence de coupure C=5rad/s ou fc=C/(2π)
-0.15
0
2
4
6
8
10
12
Time (sec)
Théorème de Shannon
2π /(24*5)<T< 2π /(6*5)
0,05T< 2π /0,2
11/03/2018
Commande numérique
325
Simulation
home
disp('Fonction de transfert')
num=[1 -1];
den=[1 2 10.25 9.25];
mc=tf(num,den)
pause, home
disp('Choix periode echantillonage')%Fréquence de
coupure est de 5rad/s
%2pi/24< Te < 2pi/6 0.05<Te<0.2
T=0.2
pause, home
Transfer function:
Résultats
---------------------------------z^3 - 2.312 z^2 + 2.042 z - 0.6703
Sampling time: 0.2
method='zoh'
disp('Modele discret')
md = c2d(mc,T,'method')
pause, home
disp('REPONSE INDICIELLE')
step(md)
pause, home
disp('Modele continu')%Convertir discret vers
continu
mc1=d2c(md)
11/03/2018
0.01439 z^2 - 0.003186 z - 0.01758
DEMO Matlab
Exo_echantilone4_mtalab
Commande numérique
326
REGULATEUR DISCRETS
 Régulateurs continus
u(t )  K p E (t ) 
1
dE ( t )
E
(
t
)
dt
T

d
Ti 
dt
U ( p)
1
W ( p) 
 Kp 
 Td p
E( p)
Ti p
Exo_recgulation_contin
u_discrete
Régulateurs discrets
Te z
Td ( z  1)
U ( z)
 Kp 

W ( z) 
E( z)
Ti ( z  1) Te
z
11/03/2018
Commande numérique
327
Dérivée filtrée
 L'action dérivée idéale provoque une forte augmentation du bruit hautes
fréquences, on utilise en pratique une dérivée filtrée :
W ( z) 
11/03/2018
T
T ( z  1)
U ( z)
z
, N  0.1
 Kp  e
 d
E( z)
Ti Ti ( z  1) Te z  N
Commande numérique
328
Stabilité des systèmes numériques
 definition
 Un système numérique est stable ssi il revient à sont état d’équilibre suite à une
réponse impulsionnelle. Soit h(kT) la réponse impulsionnelle :
Valeur finale: h( )  Lim  h( kt )   0
 Condition nécessaire et suffisante
k 
n
N ( z)
H ( z) 

D( z )
i
a
z
 i
i0
d
b z
i0
la fonction de transfert en z
i
i
la réponse impulsionnelle est :s(z)=H ( z ). ( z )
 ( z ): Transformée en z d'une impulsion
z  1   ( p)  z  1 z
 ( p )  1   ( z ):
Z
=
.
=1

z
z z 1
 p 
Cd
C1
C2

 ...
la réponse impulsionnelle est :s( z ) 
z  z p1 z  z p 2
z  z pd
329
 Quelle est la forme de la réponse impulsionnelle en fonction des pôles :
 Soit zpi les poles de la FT simples , la réponse impulsionnelle sera alors :
d
H
(
z
)


k

L1 
C
z
  i pi  Lim hk  0 si i z pi  1
 z  i 0
k 
11/03/2018
Commande numérique
330
Stabilité : Lien avec système continu
 Un système continu est stable si et seulement les pôles de sa fonction de
transfert G(p) sont tous à partie réelle négative.
 A chaque élément simple de la décomposition de G(p), il apparaît un pôle pi
auquel correspond un pôle simple zi = eTpi pour G(z)=Z[G(p], compte tenu de
la relation fondamentale z = eTp, reliant les variables p et z.
1
z
G ( p) 
 G( z) 
pa
z  e  aTe
ba
z
z
G ( p) 
 G( z) 

z  e  aTe z  e  bTe
 p  a  p  b 
Prof. B. Ould Bouamama Polytech’Lille
« Automatique continue et numérique »
Chap.1/ 331
 Soit pi = i +ji
 Donc pour G(z)
un pôle pour G(p)
Te . pi
z i =e
 i +ji
=e
i
e e
ji
 La condition de stabilité du système continu, à savoir  i <0 implique que :
Tep
zi =e
i
 e e
ji
1
 Un système numérique de transmittance G(z) est stable ssi tous ses
pôles sont situés à l’intérieur du cercle de rayon unité. Il est d’autant
plus stable que ses pôles sont prés de l’origine. Il est juste oscillant si
ses pôles sont de module 1
Prof. B. Ould Bouamama Polytech’Lille
« Automatique continue et numérique »
332
Domaine de stabilité
z  eTe p , soit p= +j
 Lien avec un système continue
z =eTe p  1    0
Im
Juste Oscillant
Re
11/03/2018
Commande numérique
333
Critère de Jury
 soit donnée la Ft en z
n
N ( z)
H ( z) 

D( z )
i
a
z
 i
i 0
d
i
b
z
i
la fonction de transfert en z
i 0
Considérons le dénominateur D(z)
D( z )  b0  b1 z  ...bd 1 z d 1  bd z d , bi  i  
11/03/2018
Commande numérique
334
11/03/2018
Commande numérique
335
Critère de Jury: énoncé
 Pour que toutes les raciness de D(z)=0 soient situées à l’intérieur du
cercle unite, il faut et il suffit que les (d+1) conditions suivantes soient
satisfaites :
D (1)  0
  0 pour d pair
D ( 1) 
 0 pour d impair
11/03/2018
 b0  bd

 c0  cd 1

 d 0  d d 2
( d  1) contraintes 
 e0  ed  3
...................

 q0  q2
Commande numérique
336
Cas particulier
11/03/2018
Commande numérique
337
exemple
 Etudier la stabilité du système fermé suivant :
La FT associé au BOZ est :
11/03/2018
Commande numérique
338
Suite
 la fT en BF est :
Critère de jury
STABILITY_JURY
11/03/2018
Commande numérique
339
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Flashcards connexes
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