Chapitre 4: Le potentiel électrique Exercices

Chapitre 4 : Le potentiel électrique
Exercices
E1. On donne |q|=30Cet|∆V|=10
8V.
(a) Dans cet exercice, outre la référence à l’éclair, on ne fournit aucun détail sur la façon
de déplacer la charge entre le nuage et le sol, c’est-à-dire librement ou en subissant la
contrainte d’un agent extérieur. Toutefois, les équations 4.1 et 4.4 montrent que le produit
d’une différence de potentiel et d’une charge correspond à une quantité d’énergie. Comme
sa forme est inconnue, on la représente par Eet sa valeur est, en joules :
E=|q||∆V|= (30) ¡1×108¢=3,0×109J
Exprimée en électronvolt, cette quantité d’énergie est
E=3,0×109J׳1eV
1,602×10−19 J´=1,88 ×1028 eV
(b) À la section 7.4 du tome 1, on définit la puissance, exprimée en watt, comme le rap-
port entre une quantité d’énergie, exprimée en joules, et un délai en temps, exprimé en
secondes, P=E
∆t.
On modifie cette relation et on calcule le délai en temps nécessaire pour écouler la quantité
d’énergie Ecalculée à la partie (a) :
∆t=E
P=3,0×109J 60 W=¡5,00 ×107s¢×³1a
3,156×107s´=1,58 a
E2. On donne ∆V=12V.
(a) q=(80A·h)×3600 C
1A·h= 2,88 ×105C
(b) À partir de l’équation 4.1 du manuel, on obtient
∆U=q∆V=¡2,88 ×105¢(12) = 3,46 ×106J
E3. On donne WEXT =4×10−7J, q=−5nC et VB=−20 V. Selon l’équation 4.4 du
manuel,
WEXT =q(VB−VA)=⇒VA=VB−WEXT
q=−20 −4×10−7
−5×10−9=60,0V
E4. On donne −→ E=−180−→ kN/C et −→ s=(zB−zA)−→ k=0,10−→ km. On rappelle que le produit
scalaire de deux vecteurs peut être calculé en utilisant l’une ou l’autre des équations 2.9
et 2.11 du tome 1 :
−→
A·−→ B=AB cos θ=AxBx+AyBy+AzBz
(a) À partir de l’équation 4.6adu manuel, on écrit
∆V=VB−VA=−−→
E·−→ s=−Ezsz=−(−180) (0,10) = 18,0V
v4 Électricité et magnétisme, Chapitre 4 : Le potentiel électrique 1
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(b) Toujours à partir de l’équation 4.6aet étant donné ∆V=27V, on obtient
∆V=−−→ E·−→ s=−Ezsz=⇒sz=∆V
−Ez=27
−(−180) = 0,150 m
E5. On donne −→ E=2x−→ i−3y2−→
j,−→ rA=³−→
i−2−→ j´met−→ rB=³2−→ i+−→ j+3
−→
k´m. On se
sert de l’équation 4.5bdumanuel,entenantcomptedeladéfinition du produit scalaire
(équation 2.11 du tome 1) :
VB−VA=−
B
R
A
−→
E·d−→ s=−
B
R
A
(Exdx +Eydy)=−
B
R
A
Exdx −
B
R
A
Eydy =⇒
VB−VA=−
2
R1
2xdx +
1
R
−2
3y2dy (i)
On constate que le déplacement selon zn’a aucune influence sur la différence de potentiel.
L’équation (i) donne
VB−VA=−£¡x2¢¯¯2
1+£¡y3¢¯¯1 −2=−(4 −1) + (1 −(−8)) = 6,00 V
E6. On adapte l’équation 4.5bdu manuel. On pose VA=0et VB=V, le potentiel en un
pointquelconquedel’axedesx.
(a) On donne −→ E=A
x−→
iet V=0en x=x0.À partir de l’équation 4.5b,ontrouve
VB−VA=−
B
R
A
−→
E·d−→ s=⇒V=−
x
R
x0
Exdx =−A
x
R
x0
1
xdx =−A[ln (x)|x
x0=−Aln ³x
x0´
(b) On donne −→ E=Ae−Bx−→
iet V=0en x=0.À partir de l’équation 4.5b,onobtient
VB−VA=−
B
R
A
−→
E·d−→ s=⇒V=−
x
R0
Exdx =−A
x
R0
e−Bxdx =−A£−1
Be−Bx¯¯x
0=⇒
V=A
B¡e−Bx −e0¢=A B¡e−Bx −1¢
E7. On donne q=−e, m =9,1×10−31 kg et vi=0.Dans les trois cas, on utilise l’équation
4.7 du manuel.
(a) Si vf=330m/s,
∆K=−q∆V=⇒1
2mv2
f−1
2mv2
i=−q∆V=⇒
∆V=mv2
f
2(−q)=(9,1×10−31)(330)2
2(1,6×10−19)= 3,10 ×10−7V
(b) Si vf=11,2×103m/s,
∆V=mv2
f
2(−q)=(9,1×10−31)(11,2×103)2
2(1,6×10−19)= 3,57 ×10−4V
(c) Si vf=0,1c=3,00 ×107m/s,
∆V=mv2
f
2(−q)=(9,1×10−31)(3,00×107)2
2(1,6×10−19)= 2,56 ×103V
E8. On donne q=e, m =1,67 ×10−27 kg et vi=0.Dans les trois cas, on utilise l’équation
4.7 du manuel.
(a) Si vf= 330 m/s,
∆K=−q∆V=⇒1
2mv2
f−1
2mv2
i=−q∆V=⇒
2Électricité et magnétisme, Chapitre 4 : Le potentiel électrique v4
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∆V=mv2
f
2(−q)=(1,67×10−27)(330)2
2(−1,6×10−19)=−5,68 ×10−4V
(b) Si vf=11,2×103m/s,
∆V=mv2
f
2(−q)=(1,67×10−27)(11,2×103)2
2(−1,6×10−19)=−0,655 V
(c) Si vf=0,1c=3,00 ×107m/s,
∆V=mv2
f
2(−q)=(1,67×10−27)(3,00×107)2
2(−1,6×10−19)=−4,70 ×106V
E9. On donne |∆V|=12Vetvi=0. On suppose que la batterie d’automobile est branchée
à deux conducteurs de manière à créer une différence de potentiel dans l’espace où on
souhaite accélérer l’électron ou le proton. Il n’est pas nécessaire d’utiliser un système
de plaques parallèles, il suffit que les particules accélérées subissent une différence de
potentiel de ±12 V. Dans les deux cas, on utilise l’équation 4.7 du manuel.
(a) Si q=−eet m=9,1×10−31 kg,
∆K=−q∆V=⇒1
2mv2
f=−q∆V=⇒vf=q−2q∆V
m(i)
Pour que l’électron accélère, la différence de potentiel doit être positive (∆V=12V):
vf=q−2(−1,6×10−19)(12)
9,1×10−31 = 2,05 ×106m/s
(b) On a plutôt q=eet m=1,67 ×10−27 kg. Pour que le proton accélère, la différence de
potentiel doit être négative (∆V=−12 V)dans l’équation (i) :
vf=q−2(1,6×10−19)(−12)
1,67×10−27 = 4,80 ×104m/s
E10. On donne E=3×106V/m et d=0,001 m. À partir de la valeur absolue de l’équation
4.6c,onobtient
|∆V|=Ed =¡3×106¢(0,001) = 3,00 ×103V
E11. On donne q=−2µC, VA=−5VetVB=−15 V. Comme la charge est déplacée à
vitesse constante, on peut utiliser l’équation 4.4 du manuel :
WEXT =q(VB−VA)=¡−2×10−6¢(−15 −(−5)) = 2,00 ×10−5J
Le travail est positif parce qu’on déplace une charge négative vers un potentiel décroissant.
E12. On donne −→ E=600
−→
iV/m et, si un axe des xpointe vers la droite dans la figure 4.34,
le vecteur déplacement qui va du point Aau point Best −→ s=−0,04−→ im. On rappelle
que le produit scalaire de deux vecteurs peut être calculé en utilisant l’une ou l’autre des
équations 2.9 et 2.11 du tome 1 :
−→
E·−→ s=Escos θ=Exsx+Eysy+Ezsz
(a) À partir de l’équation 4.6adu manuel, on calcule
v4 Électricité et magnétisme, Chapitre 4 : Le potentiel électrique 3
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∆V=VB−VA=−−→ E·−→ s=−Exsx=−(600) (−0,04) = 24,0V
(b) On donne q=−3µC. À partir de l’équation 4.1 du manuel, on obtient
∆U=q∆V=¡−3×10−6¢(24,0) = −7,20 ×10−5J
Il y a diminution de l’énergie potentielle parce qu’une charge négative se déplace vers un
potentiel croissant.
Dans cet exercice, la façon dont la charge qest déplacée du point Aau point Bn’a pas
d’importance. En effet, que la charge se déplace à vitesse constante ou en accélérant,
l’équation 4.6adu manuel s’applique toujours.
E13. On donne d=0,05 m, q=8µCet−→ FE=2,4×10−2−→
iN. Comme la force est orientée
selon l’axe des xpositifs, les deux plaques doivent être selon ypour que le champ électrique
et la différence de potentiel soient dans le bon sens. De plus, comme −→ FE=q−→
Eet que la
charge est positive, le champ électrique est selon l’axe des xpositifs. La figure montre les
plaques, le champ électrique, le déplacement total et la charge à un instant quelconque
durant le déplacement :
On calcule le champ électrique :
−→
E=−→
FE
q=2,4×10−2−→
i
8×10−6=3,00 ×103−→
iV/m
Ensuite, à partir de la valeur absolue de l’équation 4.6c,ontrouve
|∆V|=Ed =¡3,00 ×103¢(0,05) = 150 V
Commeonpeutlevoirdanslafigure, le potentiel diminue de 150 Vdanslesensdu
déplacement et VB−VA=−150 V.
E14. On donne vi=0,vf=0,1c=3,00 ×107m/s et u =1,66 ×10−27 kg. Dans les deux cas,
4Électricité et magnétisme, Chapitre 4 : Le potentiel électrique v4
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on utilise l’équation 4.7 du manuel.
(a) Si q=2e=2¡1,6×10−19¢=3,2×10−19 Cet
m=4u=4¡1,66 ×10−27¢=6,64 ×10−27 kg, alors
∆K=−q∆V=⇒1
2mv2
f−1
2mv2
i=−q∆V=⇒
∆V=mv2
f
2(−q)=(6,64×10−27)(3,00×107)2
2(−3,2×10−19)=−9,34 ×106V
(b) Si q=92e=92¡1,6×10−19¢=1,472 ×10−17 Cet
m= 235u= 235 ¡1,66 ×10−27¢=3,90 ×10−25 kg :
∆K=−q∆V=⇒1
2mv2
f−1
2mv2
i=−q∆V=⇒
∆V=mv2
f
2(−q)=(3,90×10−25)(3,00×107)2
2(−1,472×10−17)=−1,19 ×107V
E15. On donne −→ E=−120−→ jV/m. On rappelle que le produit scalaire de deux vecteurs peut
être calculé en utilisant l’une ou l’autre des équations 2.9 et 2.11 du tome 1 :
−→
E·−→ s=Escos θ=Exsx+Eysy+Ezsz
Pour les deux questions, le point AcorrespondausoletlepointBest à la hauteur
spécifiée.
(a) On donne −→ s=1,8−→ jm. À partir de l’équation 4.6adu manuel, on calcule
∆V=VB−VA=−−→
E·−→ s=−Eysy=−(−120) (1,8) = 216 V
(b) Avec −→ s= 433−→ jm, on obtient
∆V=VB−VA=−−→
E·−→ s=−Eysy=−(−120) (433) = 52,0kV
E16. On donne d=0,03 m, vi=0,q=−e, m =9,1×10−31 m. Comme l’électron se déplace
à partir du point de potentiel le plus bas, on peut poser que VA=0VetVB= 120 V.
(a) À partir de la valeur absolue de l’équation 4.6c,ontrouve
|∆V|=Ed =⇒E=|∆V|
d=120 0,03 = 4,00 ×103V/m
(b) Par définition (équation 8.4 du tome 1), le travail d’une force conservative et l’énergie
potentielle qui lui est associée sont reliés par Wc=−∆U. Dans le cas de la force électrique,
cette équation devient WE=−∆U. Si on utilise aussi l’équation 4.1, on obtient
WE=−∆U=−q∆V=−q(VB−VA)=−¡−1.6×10−19¢(120) = 1,92 ×10−17 J
Il est naturel que ce travail soit positif, étant donné que l’électron accélère.
(c) L’énoncé du problème précise que l’électron va vers le potentiel le plus élevé; ainsi,
∆V=VB−VA=120 V
(d) À partir de l’équation 4.1, on trouve
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