Cours 28 : Forces de Laplace et leur moment

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Cours 28 : Forces de Laplace et leur moment
I)
Expérience des rails de Laplace, interprétation
1) experience
L’élément de conducteur parcouru par un courant est orienté dans le sens conventionnel du courant.
N
B
I
dF
I dl
B
dl
x
S
y coulissant sans frottement est soumis est compatible avec la force
La force à laquelle un élément dl de barreau
z
dF I dl B dite force de Laplace
La réaction des rails (normale) compense le poids.
On a mis dans le circuit une source idéale de courant afin d’assurer la constance de la force de Laplace, le champ
magnétique étant considéré comme uniforme.
Ma=Md²x/dt²= I L B si L est la largeur du barreau entre les points de contact avec les rails. Ceci résulte de la somme
des forces de Laplace élémentaires.
L
F
L
I dl
B
0
Idyu y
Bu z
IBLu x
0
L’intégration de la constante montre une dependence quadratique dans le temps de la position, on a un movement
uniformément accéléré avec notre source de courant.
2) Interpretation
La force de Laplace appliquée au barreau conducteur est la résultante des forces de Lorentz appliquées aux
électrons de conduction et aux cations laissés par le départ des électrons de conduction dans le barreau
conducteur.
La démonstration qui suit n’est pas exigible
La formule de soumission au champ électrique est F = qE
La formule de soumission au champ magnétique est F = q vtot ^ B
(u v) vtot
Considérons maintenant un élément conducteur de volume d et calculons la force qui s’exerce sur lui du fait
des actions électriques et magnétiques sur ses porteurs de charges fixes et mobiles par rapport à lui même les
ions et les électrons : cette force porte le nom de force de Laplace
dF
dFmobile
dFfixe
m
d
E (u v)
B)
f
d
E v
B
ou u est la vitesse des électrons par rapport au conducteur et ou v est la vitesse du conducteur
le conducteur n'étant pas chargé f
m
dF
m
d
u
B
d
m
u
B
d jV
B
qui donne si le conducteur est filiforme dF
I dl
B
On peut aller plus loin encore (hors programme évidemment) avec le calcul de la puissance que le champ cède à la matière.
Calculons maintenant le travail élémentaire W reçu par le conducteur pendant un temps dt
W
dFmobile .(u v)dt dFfixe .vdt
m
d
E (u v) B) .(u v)dt
m
d E.udt
d
f
E v B .vdt
m
d
E .(u v)dt
f
d
E .vdt
jV .Ed dt
jV .E représente ainsi la puissance volumique reçue par l'élément de conducteur
Si E=0
W
0 la force de Lorentz ne travaille pas
(Ici B est permanent sinon il faudrait tenir compte d’une induction de Neumann E = - A / t qui rajouterait une puissance d’induction qui ne rentrerait pas
dans le bilan nul de la puissance des forces de Laplace et de la puissance de l’induction motionnelle)
Conversion électromécanique
Reprenons maintenant le calcul du travail en examinant de plus près le premier terme
W
m
d
E (u v) B .(u v)dt
m
d
m
d u B v B .(u v)dt
m
d
f
d
E v B .vdt
m
d
(u v) B .(u v)dt
f
d v B .vdt
jV .Ed dt
(u v) B .(u v)dt 0 jV .Ed dt
jV .Ed dt
m
d
(u B).(u v) (v B).(u v) dt
(u B).u (u B).v (v B).u (v B).v dt
( jV d
B). v dt ( v B). jV d dt
jV .Ed dt
m
d
jV .Ed dt
0 (u B ).v (v B).u 0 dt
jV .Ed dt
jV .E d dt
Nous interpréterons plus loin dans le cours le second terme comme le travail du champ électromoteur associé à l’induction motionnelle de Lorentz
On reconnaît dans le premier terme le travail des forces de Laplace
W
Comme on sait que
jV .Ed dt nécessairement ( jV d
(d jV
B). v dt
dFLaplace .dOM où M repère l’élément conducteur
B). v dt ( v B). jV d dt 0
Relation * .C’est à dire qu’à chaque instant le puissance des forces de Laplace est opposée à la puissance associée à l’induction
Rappelons nous que en mécanique F.dOM est la puissance reçue par l’élément repéré par le point M du fait de la force F ou puissance fournie par la force F
à l’élément positionné en M
si F.dOM>0 ces puissances sont positives et la force F fournit effectivement de la puissance à l’élément en M la force F est dite motrice
Dans le cas contraire la force serait dite résistante
Moteur
Si la puissance des forces de Laplace est positive alors l’élément conducteur reçoit du travail mécanique de la part du champ magnétique et fournit un
travail mécanique à un système extérieur ( l’arbre d’une machine entraînée par le moteur) . Cet arbre exerce à chaque instant Fop = - FLaplace il exerce un
travail résistant sur l’élément de conducteur et prélève de l’énergie au système moteur.
D’après la relation * la puissance du champ d’induction est négative, on parle de force contre électromotrice un générateur qui charge le système exerce
une force électromotrice qui s’oppose à la force contre électromotrice et apporte de l’énergie électrique au système.
Video Le plus simple des moteurs http://www.youtube.com/watch?v=UG28ptvdV6g
Alternateur
Si la puissance des forces de Laplace est négative alors la puissance du champ d’induction est positive , on parle de force électromotrice et on a affaire à un
alternateur qui reçoit un travail mécanique (d’une turbine par exemple) et fournit un travail électrique (à un moteur par exemple) d’après la relation *
Equation rail dans un plan vertical
3) barreau qui tombe
mz mg iLB
I
B
FL
mais il est impossible à réaliser car on ne peut pas pointer un réel
P
z
L’équilibre est indifférent (il se produit pour n’importe quelle valeur de z)
II)
Forces et moment de forces de Laplace sur un circuit
On rappelle qu’à un circuit (ici circuit cadre) on peut associer un moment magnétique M
IS
IS N
L’orientation de la normale étant donnée par la règle de la main droite, la concavité de la main tourne dans le sens
du courant et le pouce donne l’orientation du champ magnétique.
On rappelle aussi la formule admise un moment dipolaire dans un champ magnétique extérieur est soumis à la force
F
(M .grad )B
1) Force champ uniforme et non uniforme
Dans le champ uniforme la somme des 4 forces de Laplace s’exerçant sur chaque montant est nulle. Les forces se
compensant entre 2 montants parallèles
y
z
B
B
C
b
Dans un champ non-uniforme voyons ce qu’il en est :
i
x
Prenons B = B0 ( 1 + α x )uz a priori
A
D
a
la résultante des forces de laplace est : F = i bB0 u x
i b(B0
B 0 a )u x
i b aB0 u x
d
) B0 (1
x)u z 0
dz
x)u z ne peut etre un champ magnétostatique car il n'obéit pas à toutes les contraintes divB=0 rotB=0
ce qui ne semble pas compatible avec la formule F=(M.grad)B =(-abiu z . grad ) B0 (1
en fait on oublie que B=B0 (1
x)u z =(-abi
contraintes que vous verrez en seconde année
On doit avoir
Bz
B0 (1
x) B0
Bx
x
x
z
ainsi il existe une autre composante au champ par exemple Bx
et B=B0 (1
x)u z
B0 (1
B0 z
B0
z )u x est un champ possible
d
) B0 (1
x )u z
dz
compatible avec le calcul direct i b aB0 u x
F=(M.grad)B donne alors (-abi
en effet la composante B0 (1
M
B0 (1
z )u x
abiB0 u x
z )u x n'apporte pas de complément à la force de Laplace
Une règle qu‘on peut retenir ; les dipôles sont attirés vers les régions de champ fort
Prenons B = B0 ( 1 + α z )uz
La formule F=(M.grad)B=iab d/dz(B0 ( 1 + α z ))uz= iabB0 α uz est en accord avec cette règle
2) Moment de force sur un cadre à axe vertical
C,D
α
M
b
α
z
y
α
O
M
i
x
C
C,D
B
Buy
α
a
z
α
i FLAB
α
A
y
Buy
H
x
B,A
Buy
D
α
z
α
β M
y
b
i
x
B,A
b
Calculons le moment scalaire des forces de Laplace s’exercant sur les elements dl du montant AB
L’axe de rotation passant par O et dirigé selon uz peut être note Δ.
a/2
a/2
MO,Δ,AB=
OM
a/2
a/2
OH
iB OH
idzu z
a/2
B .u z
a/2
OH
HM
idzu z
Bu y .u z
a/2
a/2
OH
HM
idzB u x .u z
idzB u x .u z car HM est selon z
u x a .u z
iB
b
sin u z a .u z
2
iB
ab
sin
2
Si on tient compte aussi du mutant CD pour lequel la force de Laplace est opposée (courant descendant ), le moment
est le même , on a un couple de forces de Laplace qui contribuent de façon égale au moment.
Les moments BC et DA n’ont pas de moment scalaire selon Δ . Il vient donc le TMC scalaire :
d
O,
dt
J O,
d J O,  u z
dt
 iBabsin
iBabsin u z soit en projection sur l' axe des z
On peut être perturbé que l’on ait pas ici une équation d’oscillateur harmonique (dans le cas des petits angles)
Mais il faut penser que la position d’équilibre stable correspond à M et B non seulement dans la même direction
mais aussi dans le même sens soit α=π
La position d’équilibre α=0 est instable et ne doit pas donner lieu à une équation d’oscillateur.
iBab sin qui est bien une équation d’oscillateur
Si on pose α=π+ε , on obtient J O , 
Sur le schéma on remarque que c’est l’angle β qui permet de repérer M par rapport à B. On a : β=π+α
J O ,  iBab sin se transforme en J O,  iBabsin
qui est une équation d’oscillateur.
iBabsin
Remarque importante :
Le moment s’exprime comme MO =M^B en effet M^B=
z
iBab sin
uz
β
M
B
III) Energie d’un dipôle dans un champ extérieur
U = - M.B = - M B cosβ
On remarque que : M = - dU/dβ=
iBab sin
uz
Puissance des forces de Laplace P = M dβ/dt
La position d’équilibre stable correspond au minimum de l’énergie potentielle β=0 et la position d’équilibre instable
à β=π.
Position d’équilibre instable
U
0
π/2
π
3π/2
2π
TD forces de Laplace
Boussole oscillante horizontale dans le champ terrestre freinée par un fluide visqueux.
Poser l’équation de l’oscillateur amorti et décrire les différents régimes.
Quel est l’ordre de grandeur du temps de relaxation ?
On notera J le moment d’inertie de la boussole par rapport
à son axe de rotation vertical et M son moment magnétique qui est bien
sur horizontal.
Balance de Cotton
Expliquer en quoi le dispositif suivant permet de mesurer un champ magnétique.
Connaissez-vous une autre manière de mesurer un champ magnétique qui exploite
l’effet Hall. Décrire cette technique.
Définition de l’Ampère
Ampère's force law states that there is an attractive or repulsive force between two parallel wires
carrying an electric current. This force is used in the formal definition of the ampere, which states
that the ampere is the constant current that will produce an attractive force of 2 × 10−7 newtons per
metre of length between two straight, parallel conductors of infinite length and negligible circular
cross section placed one metre apart in a vacuum.
En utilisant le champ créé par un fil rectiligne infini et la force de Laplace préciser cet
énoncé.
Barreau tournant sur un cercle
z
Le barreau présente une longueur R. On note JOz le moment d’inertie de la barre dans sa
rotation autour de l’axe des z.
On devra calculer le moment des forces de Laplace.
On envisagera aussi une force de frottement fluide pour chaque élément de
barreau et on devra calculer le moment des forces de frottement.
Ecrire l’équation du mouvement.
B
I
α
O
Pour prolonger l’exercice , on peut rajouter un couple de rappel
Cadre pivotant au milieu de son arrête verticale
Le moment du poids n’intervient pas, on considère un champ magnétique horizontal ou bien vertical , on tient
compte d’un moment de rappel.
On discute graphiquement des positions d’équilibre
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