EM - C1 : Champ électrostatique

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EM1 - Champ électrostatique
Electromagnétisme
Chapitre 1 : Champ électrostatique
Sommaire
Page
1 La charge électrostatique
1.1 Définition et propriétés de la charge électrique .
1.1.1 Nature de la charge électrique . . . . . .
1.1.2 Quantification . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Conservation de la charge . . . . . . . .
1.2 Description à l’échelle macroscopique . . . . . .
1.2.1 Distribution volumique de charge . . . .
1.2.2 Distribution surfacique de charge . . . .
1.2.3 Distribution linéique de charge . . . . .
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2
2
2
2
2
2
2
3
3
2 Le champ électrostatique
2.1 Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle .
2.3 Champ électrostatique créé par une distribution discrète
2.4 Champ créé par une distribution continue de charges . .
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de charge
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3 Symétries et invariances
3.1 Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Plan de symétrie . . . . . . . . . . .
3.1.2 Plan d’antisymétrie . . . . . . . . .
3.2 Invariances . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Conséquences pour le champ électrostatique
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7
4 Exemples de calcul de champ
4.1 Champ dans le plan médiateur d’un segment uniformément chargé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Champ sur l’axe d’un disque uniformément chargé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8
9
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5 Cartes de champ électrique
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5.1 Lignes de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2 Observation de cartes de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Ceci est le premier chapitre du cours d’électromagnétisme. Dans les premiers chapitres, on étudiera séparément
les effets électriques et les effets magnétiques. L’étude des phénomènes couplés électrique et magnétique (dits « électromagnétiques ») seront présentés dans un deuxième temps.
On commence ici l’étude des phénomènes électrostatiques, i.e. générés par un ensemble de charges au repos. Après
quelques rappels concernant la loi de Coulomb, on présente les différentes façons de modéliser la répartition (la
distribution) de charge électrique dans l’espace.
On introduit ensuite une nouvelle grandeur physique : le champ électrostatique, généré par un ensemble de charges.
On insistera sur l’idée clef que les charges électriques sont la source (la cause) du champ électrostatique.
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1.1
EM1 - Champ électrostatique
La charge électrostatique
Définition et propriétés de la charge électrique
Au vie siècle avant J.-C., le philosophe Thalès de Milet rapporta que des morceaux d’ambres frottés attiraient
les matériaux légers comme le tissu. L’appellation grecque de l’ambre, ηλκτ ρoν, a donné son nom au phénomène
correspondant : l’électricité.
1.1.1
Nature de la charge électrique
La charge électrique est une propriété de la matière qui est responsable de l’interaction électromagnétique (unité : le
coulomb (C)). Elle peut prendre deux formes que l’on considère comme opposées : charge positive et charge négative.
Deux charges de signes opposés s’attirent tandis que deux charges de même signe se repoussent :
+
−
+
+
−
Figure 1 – Attraction de charges de signes opposés
1.1.2
−
Figure 2 – Répulsion de charges de même
signe
Quantification
Il existe une charge élémentaire, notée e et valant 1,6 × 10−19 C. Toute charge électrique est un multiple entier de
cette charge élementaire :
q = ne
(1)
avec n ∈ Z.
1.1.3
Conservation de la charge
La charge d’un corps isolé (c’est-à-dire n’ayant aucun échange de matière et d’énergie avec l’extérieur), reste
constante au cours du temps. Il n’y a ni création ni disparition de charges. Si la charge d’un corps varie au cours du
temps, cela ne peut être dû qu’aux échanges de charges avec l’extérieur.
1.2
Description à l’échelle macroscopique
Attribuer une charge électrique à chaque entité microscopique (atome, ion , particule élémentaire, ...) alors que
l’on s’intéresse à une quantité de matière d’ordre macroscopique, revient à envisager une fonction de répartition de la
charge électrique qui est nulle pratiquement en tout point de l’espace, sauf en un nombre fini (néanmoins extrêmement
important) de points, pour lesquels elle est multiple de e.
Cette fonction présente donc un nombre considérable de discontinuités. Le problème est exactement le même
concernant la description de la masse vue en mécanique : celle-ci est répartie de façon discrète au niveau microscopique,
mais nous avons l’impression d’une répartition continue (ou en tout cas présentant un nombre limité de discontinuités)
au niveau macroscopique.
1.2.1
Distribution volumique de charge
Il faut donc envisager de subdiviser l’espace en volumes élémentaires dτ (échelle mésoscopique), grands devant
l’échelle microscopique - et contenant donc un grand nombre d’entités chargées - pour adopter une modélisation
continue de la matière mais petits devant l’échelle macroscopique pour pouvoir considérer la répartition localement
uniforme.
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Densité volumique de charge ρ :
La densité volumique de charge ρ(M ) est définie à partir de la charge dq =
élémentaire dτ par la relation :
dq
ρ(M ) =
dτ
P
qi contenue dans le volume
(2)
ρ(M ) s’exprime en C · m−3 .
Charge totale Q :
La charge totale Q contenue dans un volume V de l’espace est la somme des quantités élémentaires de
charge :
y
y
Q=
dq =
ρ(M )dτ
(3)
V
V
Cette expression se déduit de celle du cas discret par analogie, en remplaçant le symbole « somme discrète »
par le symbole « intégrale » (somme continue de quantités infinitésimales).
1.2.2
P
Distribution surfacique de charge
A l’échelle macroscopique, la distribution volumique est la description la plus précise de la répartition de charge
dans l’espace. Toutefois, lorsqu’un corps électrisé possède une dimension très petite devant les autres (feuille de papier
par exemple), on peut décrire la répartition de la charge par une distribution surfacique. Dans l’exemple de la feuille
de papier, cela revient à négliger l’épaisseur de la feuille devant sa longueur et sa largeur.
Densité surfacique de charge σ :
La densité surfacique de charge σ(M ) est définie à partir de la charge dq =
élémentaire dS par la relation :
dq
σ(M ) =
dS
P
qi contenue sur la surface
(4)
σ(M ) s’exprime en C · m−2 .
Charge totale Q :
La charge totale Q contenue sur une surface S est la somme des quantités élémentaires de charge :
x
x
Q=
dq =
σ(M )dS
S
1.2.3
(5)
S
Distribution linéique de charge
Lorsqu’un corps électrisé possède deux dimensions très petites devant une autre (fil par exemple), on peut décrire
la répartition de la charge par une distribution linéique. Dans l’exemple du fil, cela revient à négliger l’épaisseur et
la largeur du fil devant sa longueur.
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Densité linéique de charge λ :
La densité linéique de charge λ(M ) est définie à partir de la charge dq =
de longueur élémentaire dl par la relation :
λ(M ) =
P
qi contenue le long de l’élément
dq
dl
(6)
λ(M ) s’exprime en C · m−1 .
Charge totale Q :
La charge totale Q portée par une courbe Γ est la somme des quantités élémentaires de charge :
Z
Z
Q=
dq =
λ(M )dl
Γ
2
(7)
Γ
Le champ électrostatique
2.1
Loi de Coulomb
Le dispositif utilisé par Coulomb pour établir sa loi, appelé balance de Coulomb, est constitué d’un premier
conducteur (boule M2 ) solidaire d’une tige horizontale suspendue à un fil de torsion métallique fixé à son extrémité
supérieure et d’un deuxième conducteur (boule M1 ) suspendu par une tige métallique rigide. Les deux conducteurs
initialement en contact sont électrisés par contact avec un troisième. Ils acquièrent des charges de même signe et se
repoussent. La force exercée par la boule 1 sur la boule 2 est donc dirigée de M1 vers M2 . L’angle de torsion du fil
est proportionnel à la force entre les deux charges.
mouvement de torsion
contrepoids
M1
r
M2
F1→2
A la suite des ses obervations expérimentales, Coulomb a établi sa loi dont l’énoncé actuel est le suivant :
Loi de Coulomb :
Deux charges ponctuelles M1 et M2 exercent l’une sur l’autre une force, appelée force de Coulomb,
proportionnelle à leur charge q1 et q2 et inversement proportionnelle au carré de la distance r qui les
sépare. La force F1→2 exercée dans le vide par M1 sur M2 est donnée par l’expression :
F1→2 =
1 q1 q2
u1→2 = −F2→1
4πε0 r2
avec u1→2 le vecteur unitaire porté par M1 M2 et ε0 la permittivité du vide (telle que
(8)
1
4πε0
' 9 × 109 SI)
Remarques :
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• Remarque 1 : Dans un milieu isolant (diélectrique), caractérisé par sa permittivité relative εr , la force de Coulomb
devient :
1 q1 q2
F1→2 =
u1→2 = −F2→1
(9)
4πε0 εr r2
Ainsi, pour l’eau εr ' 80 car les charges électriques sont écrantés par les molécules d’eau qui solvatent l’entité
chargée.
• L’expression de la force de Coulomb n’est valable que dans le cadre de l’électrostatique, c’est-à-dire pour deux
charges fixes dans le référentiel d’étude. (Sinon, il faut travailler avec des forces électromagnétiques. Cela reste
néanmoins une bonne approximation si les vitesses des particules sont faibles devant c.)
• Au niveau microscopique, la force d’attraction gravitationnelle est très négligeable devant la force électrostatique.
Considérons par exemple les interactions entre deux électrons (masse : m = 9,1 × 10−31 kg, charge : q = −e =
−1,6 × 10−19 C) séparés d’une distance d :
Donnée : G = 6,67 × 10−11 SI :
kFgrav k
Gm2
= 1 2
kFelec k
4πε0 q
.
A.N. :
2
G m2
kFgrav k
= 1 r q2
kFelec k
2
4πε0 r
kFgrav k
∼ ...
kFelec k
C’est en raison de l’intensité des forces électrostatiques que les objets tendent à acquérir une charge neutre.
2.2
Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
Une charge ponctuelle q placé en O exerce sur une charge ponctuelle q 0 placée en un point M la force F, dont
l’expression en coordonnées sphériques est la suivante :
F(M ) =
1 qq 0
er
4πε0 r2
(10)
Champ électrostatique :
Pour caractériser l’influence de la charge q (charge « source ») sur son environnement, on introduit le
champ électrostatique E(M ), dépendant uniquement de q et des coordonnées du point M , et tel que :
F(M ) = q 0 E(M )
(11)
L’unité du champ électrostatique est le V · m−1 .
– champ disruptif de l’air : |E|' 3,6 × 106 V · m−1
– champ intraatomique : de l’ordre de 1010 V · m−1
Donnons explicitement l’expression du champ électrostatique créé par la charge source « q » :
.
E(M ) =
1 q
er
4πε0 r2
Remarques :
• La grandeur E(M ) est un « champ », cela signifie qu’elle est définie en tout point M d’une région de l’espace.
C’est un champ vectoriel.
• Le champ est radial et sa norme en un point M de l’espace ne dépend que de la distance r entre ce point et la
position de la charge « source » q (champ à symétrie sphérique).
• Le champ n’est pas défini au point où se trouve la charge « source ».
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• L’introduction du concept de champ électrique peut sembler superflue à ce stade du cours, on pourrait en effet
se contenter de la force de Coulomb. Nous verrons toutefois dans les chapitres suivants que le champ électrique
(électromagnétique en fait) est une entité physique à part entière, existant même s’il n’y a pas de particule
« test » (on parle d’ailleurs aussi de particule « fictive »), qui peut se propager (ondes électromagnétiques), et
que l’on peut étudier indépendamment de son influence sur les particules chargées.
2.3
Champ électrostatique créé par une distribution discrète de charge
En considérant l’additivité des forces exercées par les différentes charges ponctuelles, déterminons l’expression du
champ électrostatique créé par une distribution discrète de charge :
.
E(M ) =
1 X qi
uP M
4πε0
Pi M 2 i
Remarque :
• On observe donc que le champ résultant de la distribution est la somme des champs créés par chacune de ces
composantes. Ce résultat constitue le théorème de superposition pour le champ électrique. Nous admettrons
qu’il se généralise à une distribution quelconque de charges.
2.4
Champ créé par une distribution continue de charges
Etablissons l’expression du champ E(M ) créé par une ditribution volumique de charge :
. Champ élémentaire dE(M ) crée en M par l’élément
de charge élémentaire dq = ρ(M )dτ ) situé au point P :
dE(M ) =
3
3.1
3.1.1
Par intégration :
1 ρ(M )dτ
uP M
4πε0 P M 2
E(M ) =
1
4πε0
Symétries et invariances
Symétries
Plan de symétrie
Plan de symétrie :
+
+
−
Une distribution admet un plan de symétrie Π, si pour tout point P de la
distribution :
• il existe un point P 0 de la distribution, symétrique de P par rapport
au plan Π ;
• ρ(P 0 ) = ρ(P )
−
+
+
Π
3.1.2
Plan d’antisymétrie
Plan d’antisymétrie :
Une distribution admet un plan d’antisymétrie Π∗ , si pour tout point P
de la distribution :
• il existe un point P 0 de la distribution, symétrique de P par rapport
au plan Π∗ ;
• ρ(P 0 ) = −ρ(P )
−
+
−
+
−
+
Π∗
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3.2
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Invariances
• Une distribution, illimitée dans la direction de l’axe Oz, est invariante par translation suivant (Oz) si, pour
tout point P et son translaté P 0 , sa densité de charge vérifie ρ(P ) = ρ(P 0 ).
exemple : un fil de section rectangulaire infini d’axe Oz chargé uniformément est invariant par translation
suivant Oz :
ρ(r, θ, z) = ρ(r, θ)
(12)
• Une distribution, est invariante par rotation autour d’un axe ∆ si, pour tout point P et P 0 obtenu après
rotation, sa densité de charge vérifie ρ(P ) = ρ(P 0 )
exemple : distribution invariante par rotation autour d’un axe Oz :
ρ(r, θ, z) = ρ(r, z)
(13)
• Une distribution à symétrie cylindrique est telle que :
ρ(r, θ, z) = ρ(r)
(14)
(invariance par rotation autour de Oz et invariance par translation suivant Oz, comme pour un fil cylindrique
infini d’axe Oz.
• Une distribution à symétrie sphérique est telle que :
ρ(r, θ, ϕ) = ρ(r)
(15)
(invariance par rotation autour du centre de la distribution de charge)
3.3
Conséquences pour le champ électrostatique
D’après le principe de Curie, d’une portée très générale, lorsque les causes d’un phénomène possèdent des éléments
de symétrie et d’invariance, ces élements de symétrie et d’invariance se retrouvent dans ses effets.
Les propriétés d’invariances nous seront utiles dans le chapitre suivant pour déterminer les variables dont dépend
le champ électrostatique. Dans cette section, nous allons exploiter les propriétés de symétrie pour prévoir la direction
du champ électrostatique.
M0
×
M
×
Plan de symétrie :
Lorsqu’une distribution de charges présente un plan de symétrie Π :
E(M 0 ) = symΠ (E(M ))
(16)
+
P
+
P0
Π
M ×
Conséquence :
E(M ∈ Π) ∈ Π
(17)
+
P
+
P0
Π
Corollaire :
Si M appartient à deux plans de symétrie, alors E(M ) appartient à l’intersection de ces deux plans. Le champ E(M )
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est alors colinéaire à l’intersection de ses deux points. La direction du champ est alors parfaitement déterminée.
M0
×
M
×
Plan d’antisymétrie :
Lorsqu’une distribution de charges présente un plan de d’antisymétrie Π∗ :
E(M 0 ) = −symΠ∗ (E(M ))
(18)
−
P0
+
P
Π∗
M ×
Conséquence :
E(M ∈ Π∗ ) ⊥ Π∗
(19)
−
P0
+
P
Π∗
4
4.1
Exemples de calcul de champ
Champ dans le plan médiateur d’un segment uniformément chargé
Champ dans le plan médiateur d’un segment chargé.
On considère un segment rectiligne de longueur
2a uniformément chargé (λ0 ). Calculer le champ
électrostatique qu’il génère en tout point M de
son plan médiateur (orthogonal au fil passant par
son milieu).
. Le champ élémentaire dE créé par le point P s’écrit :
dE =
1 λdz
u
4πε0 ρ2
M
•
r
0•
ρ
•
P
z
Le champ E s’obtient par intégration :
Z a
Z a
λ
dz cos α
E=
dEr er =
er
4πε0 z=−a z 2 + r2
z=−a
Effectuons un changement de variables :
symétries :
(O, er , eθ ) et (O, er , ez ) sont plans de symétrie. E est
donc suivant er .
tan α =
z
r
z = r tan α
En conséquence, seule la composante dEr contribuera au champ total E(M ).
dEr =
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1 λdz
cos α
4πε0 ρ2
dz =
r
dα
cos2 α
Par ailleurs,
cos α = √
r
z 2 + r2
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donne :
et ainsi après intégration :
r2
z 2 + r2 =
cos2 α
E=
On trouve ainsi :
λ
E=
4πε0
Z
α0
−α0
λa
√
er
2πε0 r a2 + r2
cos αdα
er
r
Remarques :
• Le champ n’est pas défini en r = 0, point de la distribution linéique de charge.
• Si le segment est infini :
.
E→
λ
er
2πε0 r
• Calculons le champ à une distance très grande devant les dimensions du segment :
.
Qer
E→
4πε0 r2
4.2
Champ sur l’axe d’un disque uniformément chargé
Champ sur l’axe d’un disque uniformément chargé
z
On considère un disque de rayon R uniformément chargé (σ0 ). Calculer le champ électrostatique qu’il génère en tout point M de son axe de
symétrie (orthogonal au disque, passant par son
centre).
•M
ρ
O•
r
.
Prenons z > 0 dans un premier temps. Sachant
que l’élément de surface élémentaire est dS = rdrdθ,
le champ élémentaire créé par cette surface élémentaire
s’exprime :
total :
dEz =
E(M ) =
symétries :
(O, er , ez ) et (O, eθ , ez ) sont plans de symétrie : le
champ résultant E(M ) est suivant Oz. Seule la composante dEz du champ élémentaire contribuera au champ
Changement de variable :
tan α =
x
sigma x rdrdθ cos α
ez
4πε0
ρ2
dEz ez =
r,θ
r,θ
E(M ) =
σ
2ε0
Z
R
r=0
r cos αdr
ez
ρ2
et
r
z
dr =
zdα
cos2 α
Par ailleurs,
donne :
r = z tan α
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1 σrdrdθ
cos α
4πε0 ρ2
Le champ résultant E(M ) s’obtient par intégration :
1 σrdrdθ
dE(M ) =
u
4πε0 ρ2
.
•P
cos α =
z
ρ
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donne :
c’est-à-dire :
ρ=
z
cos α
σ
E(M ) =
2ε0
On obtient donc :
E(M ) =
σ
2ε0
Z
Å
1− √
z
2
R + z2
ã
ez
Cette expression a été obtenue pour z > 0. Sachant
que le plan z = 0 est plan de symétrie, le champ en M 0
(z 0 = −z), doit être symétrique du champ en M , c’està-dire de même norme mais dirigé suivant −ez . On en
déduit la formule générale pour z quelconque :
α0
sin αdαez
0
ce qui donne par intégration :
σ
E(M ) =
(1 − cos α0 ) ez
2ε0
E(M ) = sign(z)
σ
2ε0
Å
ã
|z|
1− √
ez
R2 + z 2
Remarques :
• Calculons le discontinuité du champ à la traversée de la surface :
.
σ
E(z > 0) − E(z < 0) = ez
ε0
Ce résultat se généralise à toute surface chargée :
Discontinuité du champ électrostatique à la traversée d’une surface chargée :
A la traversée de la surface contenant le disque chargé, la composante normale du champ électrique est
discontinue :
σ
(20)
E2 − E1 = n1→2
ε0
– Corollaire : le champ n’est pas défini en un point de la distribution surfacique.
– Considérons le cas d’un plan infini en nous plaçant très près du disque (z R) :
.
σ|z|
E(M ) → sgn(z)
ez
Zε0 R
– A l’inverse, si on se place très loin du disque, on retrouve l’expression du champ créé par une charge ponctuelle :
. En utilisant un développement limité à l’ordre 2 :
E→
5
Q
ez
4πε0 z 2
Cartes de champ électrique
5.1
Lignes de champ
Ligne de champ :
Une ligne de champ est tangente en chacun de ses points M au champ E(M ) et orientée dans le sens du
champ.
Les lignes de champ vérifient les propriétés suivantes :
• D’après l’expression du champ généré par une charge ponctuelle, les lignes de champ divergent depuis une
charge positive, et convergent vers une charge négative.
2016/2017
10/11
Lycée Newton - PT
EM1 - Champ électrostatique
• Deux lignes de champ ne peuvent se couper en un point M de l’espace que si le champ est nul en ce point M
ou si le champ n’est pas défini en ce point M (présence d’une charge ponctuelle, d’une surface ou d’une ligne
chargée en M ). En dehors de ces deux cas particuliers, deux lignes de champ ne peuvent pas se couper.
• Les lignes de champ électrostatique d’une distribution :
– partent à l’infini si la distribution est globalement positive ;
– proviennent de l’infini si la distribution est globalement négative ;
– n’aboutissent ni ne proviennent de l’infini si la distribution est globalement neutre.
• Une ligne de champ ne peut pas se refermer sur elle-même. Nous reviendrons sur ce point dans la suite du cours.
5.2
Observation de cartes de champ
• On constate que les symétries et invariances de la distribution de charges se retrouvent dans les lignes de champ
(ici, invariance par rotation autour de l’axe portant les deux charges et symétrie ou antisymétrie par rapport
au plan médiateur des charges).
• A grande distance de la distribution, les lignes de champ se rapprochent de celles du champ créé par une seule
charge, équivalente à la charge globale
• A proximité de chaque charge, la situation tend vers celle correspondant à cette charge seule.
0
(a) Symétrie des champ électrostatiques E et E par rapport au plan de symétrie Π = (O, y, z).
2016/2017
(b) Le champ électrostatique E0 est l’opposé du symétrique de E par rapport au plan d’antisymétrie Π∗ =
(O, y, z).
11/11
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