EM - C1 : Champ électrostatique

Lycée Newton - PT EM1 - Champ électrostatique
Electromagnétisme
Chapitre 1 : Champ électrostatique
Sommaire
Page
1 La charge électrostatique 2
1.1 Définition et propriétés de la charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Naturedelachargeélectrique..................................... 2
1.1.2 Quantification ............................................. 2
1.1.3 Conservationdelacharge ....................................... 2
1.2 Description à l’échelle macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Distribution volumique de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Distribution surfacique de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Distribution linéique de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Le champ électrostatique 4
2.1 Loi de Coulomb ................................................ 4
2.2 Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Champ électrostatique créé par une distribution discrète de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Champ créé par une distribution continue de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Symétries et invariances 6
3.1 Symétries .................................................... 6
3.1.1 Plandesymétrie ............................................ 6
3.1.2 Pland’antisymétrie .......................................... 6
3.2 Invariances ................................................... 7
3.3 Conséquences pour le champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Exemples de calcul de champ 8
4.1 Champ dans le plan médiateur d’un segment uniformément chargé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Champ sur l’axe d’un disque uniformément chargé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Cartes de champ électrique 10
5.1 Lignesdechamp ................................................ 10
5.2 Observationdecartesdechamp........................................ 11
Ceci est le premier chapitre du cours d’électromagnétisme. Dans les premiers chapitres, on étudiera séparément
les effets électriques et les effets magnétiques. L’étude des phénomènes couplés électrique et magnétique (dits « élec-
tromagnétiques ») seront présentés dans un deuxième temps.
On commence ici l’étude des phénomènes électrostatiques, i.e. générés par un ensemble de charges au repos. Après
quelques rappels concernant la loi de Coulomb, on présente les différentes façons de modéliser la répartition (la
distribution) de charge électrique dans l’espace.
On introduit ensuite une nouvelle grandeur physique : le champ électrostatique, généré par un ensemble de charges.
On insistera sur l’idée clef que les charges électriques sont la source (la cause) du champ électrostatique.
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1 La charge électrostatique
1.1 Définition et propriétés de la charge électrique
Au viesiècle avant J.-C., le philosophe Thalès de Milet rapporta que des morceaux d’ambres frottés attiraient
les matériaux légers comme le tissu. L’appellation grecque de l’ambre, ηλκτ ρoν, a donné son nom au phénomène
correspondant : l’électricité.
1.1.1 Nature de la charge électrique
La charge électrique est une propriété de la matière qui est responsable de l’interaction électromagnétique (unité : le
coulomb (C)). Elle peut prendre deux formes que l’on considère comme opposées : charge positive et charge négative.
Deux charges de signes opposés s’attirent tandis que deux charges de même signe se repoussent :
+−
Figure 1 – Attraction de charges de signes op-
posés
+ +
− −
Figure 2 – Répulsion de charges de même
signe
1.1.2 Quantification
Il existe une charge élémentaire, notée eet valant 1,6×10−19 C. Toute charge électrique est un multiple entier de
cette charge élementaire :
q=ne (1)
avec n∈Z.
1.1.3 Conservation de la charge
La charge d’un corps isolé (c’est-à-dire n’ayant aucun échange de matière et d’énergie avec l’extérieur), reste
constante au cours du temps. Il n’y a ni création ni disparition de charges. Si la charge d’un corps varie au cours du
temps, cela ne peut être dû qu’aux échanges de charges avec l’extérieur.
1.2 Description à l’échelle macroscopique
Attribuer une charge électrique à chaque entité microscopique (atome, ion , particule élémentaire, ...) alors que
l’on s’intéresse à une quantité de matière d’ordre macroscopique, revient à envisager une fonction de répartition de la
charge électrique qui est nulle pratiquement en tout point de l’espace, sauf en un nombre fini (néanmoins extrêmement
important) de points, pour lesquels elle est multiple de e.
Cette fonction présente donc un nombre considérable de discontinuités. Le problème est exactement le même
concernant la description de la masse vue en mécanique : celle-ci est répartie de façon discrète au niveau microscopique,
mais nous avons l’impression d’une répartition continue (ou en tout cas présentant un nombre limité de discontinuités)
au niveau macroscopique.
1.2.1 Distribution volumique de charge
Il faut donc envisager de subdiviser l’espace en volumes élémentaires dτ(échelle mésoscopique), grands devant
l’échelle microscopique - et contenant donc un grand nombre d’entités chargées - pour adopter une modélisation
continue de la matière mais petits devant l’échelle macroscopique pour pouvoir considérer la répartition localement
uniforme.
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La densité volumique de charge ρ(M)est définie à partir de la charge dq=Pqicontenue dans le volume
élémentaire dτpar la relation :
ρ(M) = dq
dτ(2)
ρ(M)s’exprime en C·m−3.
Densité volumique de charge ρ:
La charge totale Qcontenue dans un volume Vde l’espace est la somme des quantités élémentaires de
charge :
Q=y
V
dq=y
V
ρ(M)dτ(3)
Charge totale Q:
Cette expression se déduit de celle du cas discret par analogie, en remplaçant le symbole « somme discrète » P
par le symbole « intégrale » (somme continue de quantités infinitésimales).
1.2.2 Distribution surfacique de charge
A l’échelle macroscopique, la distribution volumique est la description la plus précise de la répartition de charge
dans l’espace. Toutefois, lorsqu’un corps électrisé possède une dimension très petite devant les autres (feuille de papier
par exemple), on peut décrire la répartition de la charge par une distribution surfacique. Dans l’exemple de la feuille
de papier, cela revient à négliger l’épaisseur de la feuille devant sa longueur et sa largeur.
La densité surfacique de charge σ(M)est définie à partir de la charge dq=Pqicontenue sur la surface
élémentaire dSpar la relation :
σ(M) = dq
dS(4)
σ(M)s’exprime en C·m−2.
Densité surfacique de charge σ:
La charge totale Qcontenue sur une surface Sest la somme des quantités élémentaires de charge :
Q=x
S
dq=x
S
σ(M)dS(5)
Charge totale Q:
1.2.3 Distribution linéique de charge
Lorsqu’un corps électrisé possède deux dimensions très petites devant une autre (fil par exemple), on peut décrire
la répartition de la charge par une distribution linéique. Dans l’exemple du fil, cela revient à négliger l’épaisseur et
la largeur du fil devant sa longueur.
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La densité linéique de charge λ(M)est définie à partir de la charge dq=Pqicontenue le long de l’élément
de longueur élémentaire dlpar la relation :
λ(M) = dq
dl(6)
λ(M)s’exprime en C·m−1.
Densité linéique de charge λ:
La charge totale Qportée par une courbe Γest la somme des quantités élémentaires de charge :
Q=ZΓ dq=ZΓ λ(M)dl(7)
Charge totale Q:
2 Le champ électrostatique
2.1 Loi de Coulomb
Le dispositif utilisé par Coulomb pour établir sa loi, appelé balance de Coulomb, est constitué d’un premier
conducteur (boule M2) solidaire d’une tige horizontale suspendue à un fil de torsion métallique fixé à son extrémité
supérieure et d’un deuxième conducteur (boule M1) suspendu par une tige métallique rigide. Les deux conducteurs
initialement en contact sont électrisés par contact avec un troisième. Ils acquièrent des charges de même signe et se
repoussent. La force exercée par la boule 1sur la boule 2est donc dirigée de M1vers M2. L’angle de torsion du fil
est proportionnel à la force entre les deux charges.
M1
mouvement de torsion
M2
contrepoids
r
F1→2
A la suite des ses obervations expérimentales, Coulomb a établi sa loi dont l’énoncé actuel est le suivant :
Deux charges ponctuelles M1et M2exercent l’une sur l’autre une force, appelée force de Coulomb,
proportionnelle à leur charge q1et q2et inversement proportionnelle au carré de la distance rqui les
sépare. La force F1→2exercée dans le vide par M1sur M2est donnée par l’expression :
F1→2=1
4πε0
q1q2
r2u1→2=−F2→1(8)
avec u1→2le vecteur unitaire porté par M1M2et ε0la permittivité du vide (telle que 1
4πε0'9×109SI)
Loi de Coulomb :
Remarques :
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•Remarque 1 : Dans un milieu isolant (diélectrique), caractérisé par sa permittivité relative εr, la force de Coulomb
devient :
F1→2=1
4πε0εr
q1q2
r2u1→2=−F2→1(9)
Ainsi, pour l’eau εr'80 car les charges électriques sont écrantés par les molécules d’eau qui solvatent l’entité
chargée.
•L’expression de la force de Coulomb n’est valable que dans le cadre de l’électrostatique, c’est-à-dire pour deux
charges fixes dans le référentiel d’étude. (Sinon, il faut travailler avec des forces électromagnétiques. Cela reste
néanmoins une bonne approximation si les vitesses des particules sont faibles devant c.)
•Au niveau microscopique, la force d’attraction gravitationnelle est très négligeable devant la force électrostatique.
Considérons par exemple les interactions entre deux électrons (masse : m= 9,1×10−31 kg, charge : q=−e=
−1,6×10−19 C) séparés d’une distance d:
Donnée :G= 6,67 ×10−11 SI :
kFgrav k
kFeleck=Gm2
r2
1
4πε0
q2
r2
kFgrav k
kFeleck=Gm2
1
4πε0q2
A.N. : kFgrav k
kFeleck∼...
C’est en raison de l’intensité des forces électrostatiques que les objets tendent à acquérir une charge neutre.
2.2 Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
Une charge ponctuelle qplacé en Oexerce sur une charge ponctuelle q0placée en un point Mla force F, dont
l’expression en coordonnées sphériques est la suivante :
F(M) = 1
4πε0
qq0
r2er(10)
Pour caractériser l’influence de la charge q(charge « source ») sur son environnement, on introduit le
champ électrostatique E(M), dépendant uniquement de qet des coordonnées du point M, et tel que :
F(M) = q0E(M)(11)
L’unité du champ électrostatique est le V·m−1.
Champ électrostatique :
– champ disruptif de l’air : |E|' 3,6×106V·m−1
– champ intraatomique : de l’ordre de 1010 V·m−1
Donnons explicitement l’expression du champ électrostatique créé par la charge source « q » :
E(M) = 1
4πε0
q
r2er
Remarques :
•La grandeur E(M)est un « champ », cela signifie qu’elle est définie en tout point Md’une région de l’espace.
C’est un champ vectoriel.
•Le champ est radial et sa norme en un point Mde l’espace ne dépend que de la distance rentre ce point et la
position de la charge « source » q(champ à symétrie sphérique).
•Le champ n’est pas défini au point où se trouve la charge « source ».
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