FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE HOUARI BOUMEDIENE FACULTE DE PHYSIQUE FASCICULE DES EXAMENS D’ELECTRICITE SYSTEME L.M.D: ST ET SM - A. CHAFA - A.DIB - F.CHAFA – MEKIDECHE - A. DERBOUZ - F. KAOUAH - M. HACHEMANE 1 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Introduction Ce fascicule a été élaboré par une équipe de six enseignants de première année du système Licence –Master-Doctorat (L.M.D.) spécialité Sciences et technologie (S.T). Il comporte les différents examens élaborés par cette équipe entre 2007 et 2014 avec les corrections respectives. L’équipe est constituée par les enseignants suivants : A. CHAFA F. MEKIDECHE – CHAFA A. DERBOUZ A. DIB M. HACHEMANE F. KAOUAH L’esprit de ce fascicule est d’aider les étudiants de première année à apprendre à traiter un sujet de mécanique du point. Il comporte des solutions ainsi que le barème appliqué pour leur permettre une auto évaluation. Nous cherchons, à travers ce modeste travail, à montrer aux étudiants que le module de mécanique n’est pas difficile pour les étudiants qui travaillent régulièrement. Les différents sujets proposés sont une application du cours avec des questions de réflexion pour leur permettre de réfléchir et non pas apprendre des formules. Nous suggérons la méthode suivante pour traiter un sujet de mécanique lors d’un examen : - Lire le sujet jusqu’au bout avant de commencer à écrire quoi que ce soit. Souligner les mots clés et qui donnent les informations sur l’exercice. Commencer par l’exercice qui vous parait le plus simple. Si vous coincer sur une question passez à autre chose. Ne perdez pas beaucoup de temps à tout écrire au brouillon. Relire avant de remettre la copie. Bonne lecture et bon courage Les auteurs 2 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Sujet 01 Exercice 1(8 points): IUn conducteur de forme quelconque homogène, en équilibre électrostatique, porte une charge Q. 1- Que vaut le champ électrique à l’intérieur de ce conducteur ? 2- Que vaut le potentiel électrique à l’intérieur de ce conducteur ? 3- Où est située la charge Q ? II- Nous disposons maintenant d’un câble coaxial, cylindrique, constitué de deux cylindres conducteurs infiniment longs, d’axe oz, séparés par le vide. Le premier est plein de rayon R1, de potentiel V0 et porte une charge Q1. Le second est creux, de rayon R2 est relié au sol (voir figure 1) 1- Quel est le signe de Q1 2- L’ensemble étant à l’équilibre, quelle est la charge Q2 de la face interne du cylindre externe. 3- Déterminer, à l’aide du théorème de Gauss, la direction, le sens et le module du champ électrique entre les deux conducteurs (R1 r R2). 4- a- Un utilisant la circulation du champ électrique ( dV E.dl ) donner l’expression de la charge Q1 b- Déduire l’expression de la capacité du câble coaxial c- Calculer cette capacité par unité de longueur 5- En appliquant l’expression locale de la loi d’Ohm ( j E ) donner l’expression de la résistance de ce câble. 6- Donner la relation liant la résistance à la capacité. A.N: R1 = 1 mm, R2 = 3 mm K Ln3 = 1.1 1 =9 109 MKSA 40 R2 Q1 R1 Q2 V0 Figure 1 3 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Exercice 2 (8points): Soit le circuit suivant constitué de deux générateurs réversibles de f.e.m E 1 et E2 respectivement et de résistance interne r1 et r2 ; un condensateur C initialement déchargé est monté en série avec une résistance R (Voir figure 1). K1 r1 E1 E1=8V E2=5V C K2 E2 r2 R r1=r2=1 C=0.5F R=1k Figure 2 1- On ferme K1 et K2 ouvert : a- Etablir l’équation différentielle régissant la charge de C b- Trouver la valeur de la charge finale Qf c- Calculer l’énergie interne du condensateur (Wc) d- Déduire l’énergie dissipée par effet joule (Wj) 2- On ouvre K1 et on ferme K2 a- Etablir l’équation différentielle régissant la variation de la charge de C b- Calculer la constante de temps c- Donner la nouvelle valeur de la charge finale Q’f de C. d- En déduire la quantité de charge transférée. e- Quel est le rôle du générateur réversible E2. Justifier Exercice 3 (4 points): On considère un fil infini parcouru par un courant d’intensité I (voir figure 3) : 1- Déterminer l’expression du champ magnétique d’induction B crée en un point M. 2- Une charge (+q) passe par le point M avec une vitesse v parallèle au fil infini a- Dans quel sens sera déviée cette charge b- Déterminer le rayon de courbure,, de la trajectoire suivie par la charge. v M R I O Figure 3 4 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Solution sujet 01 Exercice 1 : I- II- 0.5 1- E 0 0.5 0.5 2- V= constante 3- La charge se met sur la face extérieure du conducteur 0.5 1- Q1 est positive 2- Il y a influence totale donc Q2 = -Q1 0.5 1 Qi E.2rl Q1 E(r) Q1 E.dS 0 0 20 rl 20l 1 1 4a- dV E.dl Q1 V0 Ln(R 2 / R1 ) 20l l b- comme Q1 = CV0 donc : C Ln(R1 / R 2 ) 2K Ln(R1 / R 2 ) 1 c- Cl = C/l = 50 pF 0.5 2.9.109 Ln3 R2 R I I I I 5- j E V0 E.dr Ln 2 RI E R1 2 R1 S 2rl 2rl 3- Donc : R 6- R.C 0 0 R 1 Ln 1 2 R 2 1 1 5 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Exercice 2 : 1- ab (R r1 )i q dq q E1 E1 C dt (R r1 )C (R r1 ) Qf = CE1= 4C 0.5 1 0.5 WC CQf2 16106 J 2 1 dWJ WG WC 16106 J q' dq ' q' E2 2- a- (R r2 )i' E 2 0 C dt (R r2 )C (R r2 ) 0.5 b- (R r2 )C 5 ms 1.5 c- c- Qf’ = CE2 = 2.5 C d- Q Q Qf 1.5 C ' f 1.5 0.5 1 e- Q 0 C se décharge et E2 joue le rôle de récepteur 1 Exercice 3 12- 0 Idl u I 2 B 0 2 4 r 2R a- F qv B en appliquant la règle de la main droite, la charge est déviée dB vers le bas 1 b- F v W 0 v cons tan te mouvement circulaire uniforme v2 mv F = maN qvB m qB 1 6 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Sujet 02 Exercice 1 : Soient trois charges ponctuelles QA, QB et QC placées aux sommets d’un triangle équilatérale ABC de côté a (Figure 1). 1- Déterminer et représenter le vecteur champ électrique crée par ces trois charges au centre O du triangle. 2- Calculer le potentiel crée par ces trois charges au point O 3- Calculer l’énergie interne du système des trois charges. 4- On place au point O une charge Q0 déduire la force et l’énergie potentielle en ce point. 5- Quel est le travail nécessaire pour emmener la charge Q0 du point O à l’infini. On donne : QA = -2q , QB = q, QC = q , Q0 = -3q avec q = 1 nC et a = 3 cm. A Q A a a O QC C QB B a Figure 1 Exercice 2 : Un fil de longueur L, de densité linéique 1, porte une charge Q. Il est placé suivant l’axe des y (figure 2). 1- Donner l’expression des composantes du champ électrique crée par ce fil au point M situé sur l’axe des x, tel que OM = x, en fonction de 1 et 2. 1 2- Montrer que ce champ s’écrit E 2 x i lorsque le fil devient infini 0 3- On place maintenant un second fil infini, de densité linéique 2, à une distance d du premier fil (figure 3). Donner l’expression du vecteur champ électrique crée par ces deux fil en un point M situé à un distance x du premier fil. 7 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST 4- Si x = d/2 et 1 = -2 = , on place un dipôle p , mobile autour de son milieu, au point M faisant un angle avec l’horizontale. a- Donner l’expression du moment du couple du dipôle dans ce champ électrique E au point M. b- Quelle est l’expression de l’énergie potentielle de ce dipôle c- Quel est le travail nécessaire pour que ce dipôle arrive à sa position d’équilibre stable. y d L 1 2 O M x x x M Figure 2 Figure 3 8 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Corrigé sujet 02 Exercice 1 : 1- Champ électrique au point O : OA = OB = OC = a 3 = 1 cm 3 E0 E A EB EC KQA 6 Kq 2 18 104 V / m 2 EB 2 EC ( 1 cm ----- 9 104 V/m) OA2 a E E cos 30 EB cos 30 0 V / m C 0x E0 4 E0 y E A EC sin 30 EB sin 30 E A EC 3 EC 27 10 V / m EA A Q A EO EA a a EB QC C O EC a QB B K (QA QB QC ) 0 V OA KQAQB KQAQC KQBQC K 5 Kq 2 3- Energie interne : U (2q 2 2q 2 q 2 ) AB AC BC a a -7 U= 2.89 10 Joules 4- Force et énergie potentielle : F0 Q0 E0 F0 8.1 104 N et E p 0 Q0V0 0 J 2- Potentiel au point 0 : V0 = VA + VB + VC = 5- Travail entre O et l’infini : W E p Q0 V Q0 (V0 V ) 0 Joules Exercice 2 : 1- Champ crée par le fil au point M : dE dE x dE cos Kdq K dy u u 2 2 r r dE y dE sin On exprime tout en fonction de alpha 9 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST x x y x r et tg y xtg dy d donc : r cos x cos 2 K dy K dE x dE cos r 2 cos x cos dE dE sin K dy sin K sin en intégrant entre 1 et 2 on a : y r2 x cos Ex K (sin 2 sin 1 ) et x Ey K (cos 2 cos 1 ) x y L r 1 2 M O dE y 2- Si le fil est infini donc 1 Ex x dE x 2 et 1 2K x 2 0 x 2 et dE et enfin : Ey 0 d 3- Champ crée par les deux fils : E M E1 E2 E M E1 E2 1 2 2 0 x 2 0 (d x ) 4- Si x = d/2 et 1 = -2 = , on a : 2 E M E1 E2 0 d 0 d 0 d 5- a – moment du couple : p EM pEM sin b- Energie potentielle : E p EM p E p pEM cos c-Travail entre position initiale et finale : W E p E pi E pf pEM (1 cos ) x E2 x M E1 Figure 3 10 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Sujet 03 Exercice 1 :(7 points) Deux charges ponctuelles QA et QB fixes respectivement aux points A et B comme l’indique la figure 1. sont placées 1. Déterminer le vecteur champ électrique E0 au point O. 2. On ramène une troisième charge QO depuis l’infini jusqu’à l’origine O. Quelle est l’énergie interne du système ainsi constitué par les trois charges. 3. La charge Q0 est remplacée par un dipôle p 10 14 i (C.m) figure 2. i) Déterminer le moment du couple et l’énergie potentielle du dipôle dans cette position. ii) Calculer le travail nécessaire pour ramener le dipôle à sa position d’équilibre stable. Données: AB = 30 cm Q0 = - 10-6 C OA = 20 cm OB = 15 cm -6 QA = - (16/3) .10 C QB = Y = 30 ° 3.10-6 C Y QA A QA A O Q0 j QB i B Figure 1 QB X p X B Figure 2 11 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Exercice 2:(13 points) Le circuit électrique de la figure 3 est constitué d'un générateur de f.e.m E, de quatre résistances R1, R2, R3 et R4 et de deux condensateurs C1, C2. Partie I: A t = 0, le condensateur C1 est complètement déchargé, on ferme l'interrupteur K1, K2 reste ouvert. 1- a- Ecrire l'équation condensateur. différentielle régissant la charge q1(t) du b- Donner l'expression de la charge q1(t) de ce condensateur. Préciser la constante de temps 1 et la charge finale Q1f. 2- Le condensateur C1 étant complètement chargé, donner la valeur des courants dans chaque branche du circuit. Partie II: K1. On ferme l'interrupteur K2 et on ouvre, instantanément, l'interrupteur 1- Le condensateur C1 va-t-il se charger ou se décharger, justifier. 2- Ecrire l'équation différentielle régissant la charge q2(t) du condensateur C2. 3- Donner l'expression de sa q2(t). Donner les valeurs de 2' et Q2f'. 4- Quelle est la charge finale de chaque condensateur (état d'équilibre). Données : R1 = R2 = 2R = 100 R3 E K1 R4 C1 = 2C2 = 2F R1 K2 C1 E = 12 Volts. R2 C2 12 Figure 3 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Corrigé Sujet 03 Exercice 1: (07 points) Y 1- Champ électrique au point O: EO E A E B avec : E A E B 1.210 6 V / m EO Et enfin EO 2.08 10 6 V / m 0.5 cos EOy EOx 30 QA A EA 0.5 0.5 j i EB 0.5 QB X B 1 2- Energie Interne du système: KQ AQB KQ AQO KQO QB 0.42 Joules AB AO OB 3- a- moment du couple : p EO pEO sin 1.04 10 4 N .m b- Energie potentielle: E p p.EO E p pEO cos 1.8 10 4 Joules U 1 4- W E P f i E p i E P f 0.28 10 4 Joules . 1 1 1 Exercice 2:(13 points) Partie I: K1 fermé. 0.5 1) a- i 3 R3 avec i1 t i 4 i1 0.5 R 3i 3 R 4 i 4 E 0 0.5 R 1i1 dq1 t dt i3 K1 R1 i1 i4 C1 R4 E 0.5 q1 R 4i 4 0 C1 D'où l'équation différentielle: R3 R4 dq1 t q t R4 . 1 E dt R 1R 4 R 1R 3 R 3 R 4 C1 R 1R 4 R 1R 3 R 3 R 4 b-la résolution de l'équation différentielle conduit à la solution: q1 t Q 1 f 1 e t / 1 0.5 avec Q1f 1. 5 R R R R R 3R 4 R4 C1E et 1 1 3 1 4 C1 R3 R4 R3 R4 0.5 0.5 13 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST 2) C1 complètement chargé i1 0 et i 3 i 4 0.5 E R3 R4 0.5 K2 Partie II: K2 fermé et K1 ouvert. R2 1) C1 se décharge dans le condensateur C2 car la tension VC1 est supérieure à VC2. C1 1 2) Loi de la maille: q (t) q (t) R 2 i( t ) 2 1 0 C2 C1 avec : et dq1 ( t ) dq 2 ( t ) dt dt q1 (t ) q 2 (t ) Q1f 0.5 0.5 dq 2 ( t ) C1 C 2 Q q 2 ( t ) 1f dt R 2 C1C 2 R 2 C1 D’où : i(t) 0.5 i( t ) C2 1 3) la résolution de l'équation différentielle conduit à la solution: q 2 t Q 2f 1 e t / 2 avec Q 2f 0.5 C2 CC Q1f et 2 1 2 R 2 C1 C 2 C1 C 2 0.5 0.5 4) Relation entre les charges des deux condensateurs à l'équilibre: VC' 1 VC' 2 D’où: Q1 ' Q1' Q '2 Q1' Q '2 Q1f C1 C 2 C1 C 2 C1 C 2 C1 Q1f C1 C 2 0.5 et Q '2 1 C2 Q1f C1 C 2 0.5 14 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Sujet 04 Exercice 1 :(06 points) Soient trois charges électriques ponctuelles placées sur trois sommets d’un carré de côté a (figure 1) q a M M a q P M Figure 1 a q’ q a Figure 2 q’ q 1- Déterminer le champ électrique E et le potentiel V crées par ces charges au point M. On donne : a = 1 cm, q’ = 2 nC et 2- Un dipôle électrique de moment dipolaire q q' 4 2 . p (p = 3 10-29 C.m) est placé au point M du carré (figure 2). En admettant que ce dipôle est mobile autour de son centre : a- Déterminer et calculer le moment du couple dipôle. b- Calculer l’énergie potentielle de ce dipôle. C auquel est soumis ce Exercice 2 :(06 points) La figure 3 représente un condensateur sphérique formé conducteurs A (de rayon R1) et B (de rayons R2 et R3). de deux B R1 R3 A R2 V 15 Figure 3 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST 1. Représenter la répartition de charge sur les conducteurs A et B. 2. Déterminer le ( R1 r R 2 ). champ électrique à l’intérieur du condensateur 3. Trouver l'expression de la différence de potentielle entre les deux conducteurs. 4. Déduire la capacité de ce condensateur. Exercice 3 :(08 points) Le circuit électrique suivant est constitué d’un générateur réversible E1, de deux capacités C1 et (C2 ainsi que quatre résistances. On donne : E1 C1 C2 R R r1 R E1 = 5V, r1 = 1 , C1 = 4 F, R=2 C2 = 4 F , 1- Les condensateurs C1 et C2 sont complètement chargés. Déterminer les courants dans les différentes branches. 2- Déduire les charges et les tensions de chaque condensateur. 3- On suppose maintenant que C1 et C2 sont complètement déchargés. Ecrire l’équation différentielle régissant la charge du condensateur équivalent C. 4- Donner l’expression de la charge de C en fonction du temps en précisant les valeurs de la charge finale Qf et la constante de temps . 5- Quelle est l’énergie emmagasinée dans C 16 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Corrigé Sujet 04 Exercice 1 : (06 points) 1- Champ et potentiel au point M : 0.5 champ : E M E q E q Eq ' 0.25 0.25 0.5 avec : 0.5 q Kq Kq ' 3.18 104V / m et Eq ' 2 9.104V / m 2 a 2a 1 2Kq ' E x Eq ' cos 45 Eq Kq ' 8a 2 EM EM 4.5.10 4V / m 2 4 a E E sin 45 E 2Kq ' q q' y 0.5 8a 2 Potentiel : VM Vq Vq Vq ' 2Vq Vq ' a Eq VM 2Kq a Kq ' Kq ' 636.4V a 2 2a 2 2- a- Moment du couple : 0.5 4 M q’ q 0.5 C p EM C pEM sin E p p .EM E pEM cos Eq M EM M E qM a 0.5 b- Energie potentielle : Eq ' 4 9.55 1025 N .m 9.55 1025J 0.5 0.5 1 Exercice 2 :(06 points) 1- représentation des charges 2- Champ électrique entre R1 et R2 , en utilisant le théorème de Gauss pour une sphère on a : 1.5 0.5 E.dS Q int E.4r 2 Q Q E ur 4r 2 3- Différence de potentiel entre A et B : 0.5 1.5 0 R (R R 1 ) dV E.dl V dV R 2 Edr V 2 Q 1 4 R 1R 2 4- Déduire la capacité : V RR Q C 4 1 2 C R 2 R1 C 0.5 17 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Exercice 3 :(08 points) E1 C1 C2 R r1 R R 1 1- Courants dans les différentes branches. C1 et C2 Chargés donc ic = 0 il ya une seule maille et i i1 0.5 E 1A 2R r 2- Déduire le condensateur équivalent C. Quelle sa charge et sa tension. -E + r1i + Vc = 0 0.5 Vc = E-r1i = 4 Volts et Q0 = CVc = 8C= Q1 = Q2 VC1 Q1 2V C1 et VC2 Q2 2V C2 0.5 + 0.5 0.5 + 0.5 3- Equation différentielle régissant la charge du condensateur équivalent C. Loi des Nœuds: i = i 1 + ic 0.25 Loi des Mailles: E 2Ri1 ri1 0 E ri1 on remplace i1 = i-ic On a: 2Ri1 ri1 E q q Ric 0 ri1 Ric E C C dq (r1 2R ) 2RE q dt (3r1 2R )RC (3r1 2R )R 0.25 0.5 1 4- Donner l’expression de la charge q (t ) Qf (1 e t / ) avec : Qf 0.5 5- Energie emmagasinée dans C. 2REC R (3r1 2R )C 8 C et 5.6s (r1 2R ) (r1 2R ) 1 Qf 2R 2E 2C E 8.106Joules 2 2 C (r1 2R ) 2 0.5 0.5 0.5 18 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Sujet 05 Exercice 1 :(09 points) On considère un fil de longueur L uniformément chargé, de densité linéique positive. Il est placé suivant l’axe des y tel que montré sur la figure 1. 5- Montrer que les composantes du champ électrique crée par ce fil au point M situé sur l’axe des x, tel que OM = L, sont : K K Ex (sin 2 sin 1 ) et E y (cos 2 cos 1 ) (03 pts). L L 6- Un second fil identique au précédent est placé parallèlement suivant O’y tel que O'M=L (Figure 2). En utilisant le résultat de la première question, donner l’expression du champ E crée par les deux fils au point M (01 pt). 7- Que devient ce champ électrique si 1 = 0 et 2 = /4 (01 pt) 8- On place, maintenant, un dipôle p au point M, mobile autour de son milieu et faisant un angle avec l’horizontale (figure 2). a- Donner l’expression du moment du couple M du dipôle placé dans le champ électrique au point M en fonction K, , L, p et . (01 pt) b- Quelle est l’expression de l’énergie potentielle Ep de ce dipôle (01 pt) c- Quel est le travail nécessaire, W, pour que ce dipôle arrive à sa position d’équilibre stable. (1 pt) d- Calculer M , Ep et W si p = 10-15 C.m, = 10-7 C/m , L = 2 cm et = /3 rd (01 pt) y y Figure 2 Figure 1 L O 2 1 L M L x O L 2 1 M L P x L O’ 19 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Exercice 2 :(11 points) Soit le circuit électrique suivant. Il est constitué de deux générateurs réversibles, d’un récepteur pur, d’un condensateur et de résistances. I1 1 2r 2E I2 K I3 2r 8r 2A 2r 8r E 2r r B C r e On donne : E= 25 V, r = 0.5 k et C = 2 F Les partie I et II sont indépendantes I- On met l’interrupteur K en position 1. 1- Déterminer les expressions des courants qui circulent dans chaque branche en fonction de E, e et r (03 pts) 2- Quelle est la condition pour que le circuit fonctionne. (01 pt) 3- Donner les valeurs des courants pour e = 30 Volts. (01.5 pt) 4- Déterminer le rendement du récepteur dans ce cas.(0.5 pt) II- On met l’interrupteur en position 2 A t = 0 s le condensateur est déchargé 1- Déterminer le résistance équivalente RAB entre Les points A et B. (01 pt) 2- Donner l’équation différentielle régissant la charge du condensateur C. (2 pts) 3 – Déduire l’expression de la charge q(t) en fonction du temps. (01 pt) 4- Préciser les valeurs de la charge finale et de la constante de temps . (01 pt) 20 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Corrigé sujet 05 Exercice 1 : (09 points) 1- Champ électrique crée par le fil : y K dl dE x dE cos r2 dE y dE sin L L d Avec : r et dl cos cos2 dE Figure 1 L r 2 1 O L M dE x x x dE y 1.5 K K E cos d (sin sin ) x 2 1 L L E E K sin d K (cos cos ) 2 1 y L L dE x x 1.5 2- Champ crée par les deux fils, par symétrie on a : E x 0 0.5 E 2K E y L (cos 2 cos 1 ) 3- si 1 = 0 et 2 = /4 on a : 4- l’angle ( p , E ) 2 E 0.5 K ( 2 2) j L Kp ( 2 2) cos L Kp ( 2 2) sin donc : b E p p E E p L Kp c W E p ( 2 2)(1 sin ) L a 1 M p E M d- A.N : M= -2.63 10-11 N.m ; Ep = - 4.528 10-11 J ; 1 1 1 W= - 0.7 10-11 J 1 21 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Exercice 2 : (11 points) Partie I : 1- Expressions des courants : Loi des nœuds : I1 2r I2 2E I3 2r E 2r r e Loi des mailles : I1 I2 I3 3rI1 2rI2 2E e 0 2rI3 2rI2 e E 0 On obtient : I1 6E 2e ; 16r I2 7E 5e ; 16r I3 2- Pour que le circuit fonctionne il faut que I2 > 0 donc : e < 35 Volts 3e E 16r 1 3x1 I1 11.25 mA; I2 3.125 mA; I3 8.125 mA P e 4- Rendement du récepteur : R u 90.5% 0.5 Pf e rI2 3x0.5 3- A.N : A Partie II : B RAB=6r E 2r C 1- Résistance équivalente : RAB 2r 2- Loi des nœuds : i ic i2 8r * 8r 6r 16r 6ri q 2r E 0 C Loi des mailles : q ri2 0 C dq 9q E Equation différentielle : dt 8rC 8r q (t ) q1 (t ) q2 (t ) Qf (1 exp(t / )) EC 8rC 5.55C 089s 4- Qf 3- Solution : 9 0.5 r 1 0.5 2 0.5 9 0.5 22 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Sujet 06 Exercice 1 :(12.5 points) Soit le circuit électrique suivant. Il est constitué de deux générateurs réversibles, d’un récepteur pur, d’un condensateur et de résistances. I1 1 2r 2E I2 2r K 8r 2A I3 2r 8r E 2r r B C r e On donne : E= 25 V, r = 0.5 k et C = 2 F Les partie I et II sont indépendantes III- On met l’interrupteur K en position 1. 5- Déterminer les expressions des courants qui circulent dans chaque branche (03 pts) 6- Quelle est la condition pour que le circuit fonctionne. (01 pt) 7- Donner les valeurs des courants pour e = 30 Volts. (01.5 pts) 8- Déterminer le rendement du récepteur dans ce cas. (0.5 pts) IV- On met l’interrupteur en position 2 A t = 0 s le condensateur est déchargé 1- Déterminer le résistance équivalente RAB entre Les points A et B. (01 pt) 2- Donner l’équation différentielle régissant la charge du condensateur C. (03 pts) 3 – Déduire l’expression de la charge q(t) en fonction du temps. (0.5 pts) 4- Préciser les valeurs de la charge finale et de la constante de temps . (02 pts) 23 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Exercice 2 :(07.5 points) Soit une portion de fil rectiligne parcourue par un courant I. Les extrémités sont repérées par les angles 1 et 2 pare rapport à un point M situé à une distance r du fil (Figure 1). 1- Montrer que le champ magnétique crée par ce fil au point M s’écrit : I B 0 (sin 1 sin 2 ) (03 pts) 4 r 2- Quels sont le sens et la direction de ce champ. (01 pt) 3- Retrouver l’expression de champ crée par un fil infini. (01 pt) 4- Déduire le champ crée au centre O d’une spire carrée de coté L, parcourue par un courant d’intensité I (Figure 2). (02.5 pts) L I r 2 1 Figure 1 L O M Figure 2 24 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Corrigé sujet 06 Exercice 1 : (12.5 points) Partie I : 1- Expressions des courants : Loi des nœuds : I1 2r I2 2E I3 2r Loi des mailles : E 2r r obtient : I1 e 6E 2e ; 16r I1 I2 I3 3rI1 2rI2 2E e 0 2rI3 2rI2 e E 0 On I2 7E 5e ; 16r I3 3e E 16r 3x1 2- Pour que le circuit fonctionne il faut que I2 > 0 1 donc : 3- A.N : e < 35 Volts I1 11.25 mA; I2 3.125 mA; I3 8.125 mA 4- Rendement du récepteur : R Pu e 90.5% Pf e rI2 A Partie II : 3x0.5 0.5 B RAB=6r E 2r 5- Résistance équivalente : RAB 2r 6- Loi des nœuds : i ic i2 C r 8r * 8r 6r 16r 6ri q 2r E 0 C Loi des mailles : q ri2 0 C 1 1 25 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Equation différentielle : 7- Solution : 8- Qf dq 9q E dt 8rC 8r 2 q (t ) q1 (t ) q2 (t ) Qf (1 exp(t / )) EC 5.55C 9 0.5 8rC 089s 9 1 1 Exercice 2 :(07.5 points) 1- Champ magnétique crée par un fil parcouru par un courant I : 0 Idl u Idl dB 0 2 sin 2 0.5 4 R 4 R Avec : sin cos donc on a : Idl r r l r cos R et tg dl d R cos r cos2 dB En remplaçant on obtient : dB 0 I cos d B 4 r 2 1 dB B Bk 0I L 2 2 1 M B R Figure 1 1 et r L /2 B1 2 r 1 4- Champ crée au centre de la spire : Pour une partie du fil on a : Et pour les quatre fils (superposition) on a : R I 0I (sin 2 sin 1 ) 4 r I 1 2 et 2 2 B 0 2 r B 4B1 2 u 2.5 2- Le champ B est rentrant suivant oz : 3- Champ crée par un fil infini : 1 4 , 2 4 0I 2 2 L L 0.5 L /4 O L Figure 2 26 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Sujet 07 Exercice 1 (6 points) Un quart de cercle porte une charge électrique uniformément répartie de densité linéique Le centre C de ce quart de cercle, y de rayon R, est situé au point de coordonnées , voir figure ci contre R On donne et . 1. Calculer le potentiel électrique créé par cette distribution au dq point C. (1pt) 2. Calculer les composantes Ex et Ey du champ électrique créé par cette distribution au point C. (2pts) 3. Quel travail doit-on fournir pour ramener une charge ponctuelle de l’infini jusqu’au point C ? (1pt) 4. On enlève la charge q et on place un dipôle où . Calculer l’énergie potentielle de ce dipôle. (1pt) 5. Calculer le moment du couple qui lui appliqué. (1pt) C R x Exercice 2 (7 points) A C On considère deux conducteurs plans, A et C, portés à B une différence de potentiel V = VA-VC. On interpose S entre eux un autre conducteur cubique B plein (voir G figure). Les trois conducteurs, initialement neutres et x1 x2 x3 0 séparés par du vide, sont à l’équilibre et en influence totale. Leurs surfaces en regard sont parallèles, égales à S et situées aux points xA = 0, xB1 = x1, xB2 = x2 et xC = x3. Le conducteur A porte la charge Q > 0 avec une densité On donne : x1 = 1 mm, x2 = 3 mm, x3 = 5 mm, S = 4 cm2 et 2,95 10-12 C/cm2. 1. Calculer la charge sur chaque surface en justifiant son signe. (1.5pts) 2. a. Représenter le vecteur champ électrique et les éléments de surface sur la surface de Gauss cylindrique SG (représentée en tirets sur la figure). (1pt) b. En utilisant le théorème de Gauss, déterminer l’expression du champ E1 entre les conducteurs A et B (pour 0 < x < x1) en fonction de la densité de charge . Calculer sa valeur. (1.5pts) c. Donner sans calcul l’expression du champ E2 entre B et C (pour x2 < x < x3). (1pt) 3. Déduire, des résultats de la question 2, la différence de potentiel V = V A-VC en fonction de x1, x2, x3 (1pt) 4. Trouver l’expression et calculer la capacité du condensateur équivalent au trois conducteurs. (1pt) 27 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Solution sujet 07 Exercice 1 1. et avec 2. donc et . (1) (1) et 3. 4. (1) (1) (vecteurs antiparallèles) (1) 5. (vecteurs antiparallèles) (1) Exercice 2 1. Charge sur le conducteur A : Surface x1 x2 Charge -Q Q Justification Influence totale Conservation de la entre A et B charge nulle de B (0.25) (isolé) (0.5) (0.5) x3 -Q Influence totale entre B et C (0.25) 2.a. et 2.b Théorème de Gauss entre A et B (pour 0 < x < x1): (0.5) A ’ (0.5) . (0.5) 2.c. Entre B et C (Pour x2 < x < x3 ) est constant et ne dépend ni de x1 ni de S. Le champ aura donc la même expression (1) 3. 0 B C S’ x1 (1 pt ou 0) x2 x3 (0.5) A l’intérieur du conducteur B (pour x1 < x < x2) Eint = 0 et . (0.5) 4. (0.5) (0.5) 28 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Sujet 08 Exercice 1 :(07 points) La figure 1 représente un condensateur sphérique formé de deux conducteurs A (de rayon R1) et B (de rayons R2 et R3) séparés par un milieu isolant de permittivité et résistivité ρ. B R1 R3 5. A V R2 Figure 1 Représenter la répartition de charge sur les conducteurs A et B. 6. Déterminer le ( R1 r R 2 ). champ électrique à l’intérieur du condensateur 7. Trouver l'expression de la différence de potentielle entre les deux conducteurs. 8. Déduire la capacité de ce condensateur. 9. En utilisant la loi de joule locale ( j E ), déterminer la résistance de fuite. 10. Quelle relation lie la capacité à la résistance de ce condensateur. Exercice 2:(04 points) Un conducteur cylindrique de cuivre, de section s = 1 mm2 et de longueur L = 10 m, est parcouru par un courant constant de 5 A. 1. Calculer le module du vecteur densité de courant. 2. Calculer le nombre d’électrons libres par unité de volume sachant qu’un atome de cuivre libère un électron. On donne : La masse atomique du cuivre M = 64 g, sa masse volumique Cu = 8900 kg/m3 et le nombre d’Avogadro N = 6.023.1023. 3. Calculer la valeur de la vitesse de dérive des électrons libres. 29 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Exercice 3:(09 points) Nous réalisons le groupement de condensateurs donné sur la figure 2. 1. Calculer la capacité équivalente C de ce groupement 2. Déterminer la d.d.p et la charge aux bornes de chaque condensateur. K A C1 (VAVB) C3 C2 E R C4 r B Figure 2 Données : C Figure 3 C1 = 6 µF ; C2 = 3 µF ; C3 = C4 = 4 µF, VA – VB = 100 V, E = 101V, r = 1 Ω et R = 100 Ω, Nous considérons, maintenant, le réseau électrique de la figure 3, contenant un générateur de f.e.m E et de résistance interne r, du condensateur équivalent C, d’une résistance R et d’un interrupteur K. I. En régime transitoire : Le condensateur C est initialement déchargé, à t = 0 s on ferme K, déterminer : a) L’équation différentielle régissant l’évolution de la charge du condensateur. b) La loi d’évolution de la charge q (t) du condensateur C. c) En déduire les valeurs de la charge finale Qf et de la constante de temps du circuit II. En régime permanent (C est complètement chargé) déterminer : a) Le courant qui circule dans chaque branche du circuit. b) La charge du condensateur C. c) L’énergie emmagasinée dans le condensateur. 30 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Corrigé Sujet 08 Exercice 1 :(07 points) 5- représentation des charges 0.5 6- Champ électrique entre R1 et R2 , en utilisant le théorème de Gauss pour une sphère on a : E.dS Q int E.4r 2 Q Q E ur 4r 2 1 7- Différence de potentiel entre A et B : 0 R (R R 1 ) dV E.dl V dV R 2 Edr V 2 Q 1 4 R 1R 2 V 8- Déduire la capacité : 9- Résistance de fuite : j RR Q C 4 1 2 C R 2 R1 1 1 0.5 R2 I I I I I 1 1 I (R 2 R1 ) E E V R1 4r 2 4 R R 4 R R S S 4r 2 2 1 2 1 V RI R Comme : (R 2 R1 ) 4R1R 2 R.C 10-Relation entre C et R : 1 1 1 Exercice 2 :(04 points) I j j 5.106 A / m 2 s 1- Vecteur densité de courant : 1 2- Nombre d’électrons libres par m3 : NM V 6.0231023.8900 n n 8.37 1028 e / m3 3 M 6410 j j nev v v 3.73104 m / s ne 3- Vitesse de dérive : 1.5 1.5 Exercice 3 :(09 points) C CC C1C2 3 4 C C1 C2 C3 C4 4 F 1- Capacité équivalente : 2- Charge et d.d.p de chaque condensateur : 1 31 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST C1C2 (VA VB ) 2.104 C 0.25+0.25 C1 C2 CC 0.25+0.25 Q3 Q4 3 4 (VA VB ) 2.104 C 4x0.25 C3 C4 Q Q Q Q V1 1 33.3V V2 2 66.7V V3 3 50V V4 4 50V C1 C2 C4 C3 , , Q1 Q2 I- a- Equation différentielle : Loi des nœuds : Loi des Mailles : i iR ic 0.5 ri Ri R E et dq R r E q RrC r D’où : dt q Ri R 0 C 1.5 b- Equation de la charge : q( t ) Q f (1 e c- Charge finale et constante de temps : Qf II- RCE 4104 C rR 0.5 et t / 0.5 ) rRC 3.96106 s Rr 0.5 0.5 a – Courant dans chaque branche : C chargé Ic = 0 et E 1A 0.5 rR 4 b- Charge Qf C(E rI) CRI R 4 10 C I IR c- Energie emmagasinée : 1 Qf2 W 0.02 J 2 C 0.5 0.5 0.5 32 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Sujet 09 Exercice 1 (7 points) Un quart de cercle, AB, de centre O et de rayon R, porte une charge électrique uniformément répartie de densité linéique (figure 1). y A R d dq Figure 1 x O B On donne = 2×10-12 C/cm et R = 3 cm. 1. Calculer le potentiel électrique créé par cette distribution au point O. (1.5pt) 2. Calculer les composantes Ex et Ey ainsi que le module E du champ électrique créé par cette distribution au même point O. (2.5pts) 3. Quel travail doit-on fournir pour ramener une charge ponctuelle q= 1.6×10-9 C de l’infini jusqu’au point O ? (1pt) 4. On enlève la charge q et on place au point O, un dipôle p p(i j ) avec p = 1.6×10-15 C.m. Calculer l’énergie potentielle de ce dipôle. (1pt) 5. Calculer le moment du couple qui lui appliqué. (1pt) Exercice 2:(04 points) Une charge ponctuelle Q est placée au centre d’un conducteur sphérique creux initialement neutre et isolé. Les rayons intérieur et extérieur de ce conducteur sont respectivement R1 et R2 (figure 2). 1- Représenter en justifiant la répartition des charges sur le conducteur quand le système est à l’équilibre électrostatique (1.5 pts). 2- Déterminer le champ électrique dans les trois régions r < R1, R1< r < R2 et r > R2 (2.5 pts) R2 R1 Q Figure 2 33 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Exercice 3 :(09 points) On considère le montage ci-dessous où le condensateur C est initialement déchargé (figure 3). R1 E R2 R3 Données : E = 12 V ; C = 1 F ; R1 = 1 k, R2 = 2 k ; R3 = 5 k C Figure 3 1) Etablir l’équation différentielle régissant l’évolution de la charge de ce condensateur au cours du temps. Montrer que l’on peut la mettre sous la forme : dq 1 qA dt τ Donner les expressions de A et et les calculer. (3.5 pts) 2) Trouver l’expression de la charge en fonction du temps. (2 pts) 3) Le condensateur étant entièrement chargé en déduire le courant circulant dans chaque branche. (1.5 pts) 4) Calculer, dans ce cas la charge finale du condensateur. (1 pt) 5) En déduire l’énergie emmagasinée dans le condensateur. (1 pt) 34 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Corrigé sujet 09 Exercice 1 :(07 points) y /2 K dl K 1- Potentiel : dV ; dl Rd et V K d 0 R 2 A R /2 K dl K K Ou encore dV ; et V dl 0 R R 2 R dE O 0.5 1 x A.N : V= 2.83 Volts 0.5 2- Champ électrique : dE avec : dEX dE cos et dE X dE sin K dl R2 0.5 /2 K K E cos d 60 V / m X 0 R R E X EY /2 K K E 0 R sin d R 60V / m Y 0.5 0.5 et E 2EX 84.85V / m dE 0.5 3- Travail : W E p q V qVO W = 4.53 10-9 J 4- Energie potentielle : E p p .E 2pE car : ( p , E ) Ep = 1.92 10-13 J 5- Moment du couple : M 0.5 p E M 0 N.m 0.5 Exercice 2 :(04 points) 0.25 Qe 0.25 1- Nature des charges : - charge intérieure : Qi = -Q (car influence totale) - charge extérieure : Qe = - Qi = Q (conservation de la charge) 0.25 2- Champ électrique : 0.5 0.5 0.5 Théorème de Gauss : B dE y E .dS Qi R 2 Q R 1 0.25 Q int 0.5 avec : 0 0.5 E .dS E .dS E dS E .4 r Q 0.5 - r < R : Q Q E 4 r 0.5 - R < r < R : Q Q Q 0 E 0 Q - r > R : Q Q Q Q Q E 4 r 0.5 2 1 1 int 2 2 1 i int int 0 i 2 2 e 3 0 2 0.5 35 x 0.5 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Exercice 3 :(09 points) 1- Equation différentielle : - loi des nœuds : 0.5 i1 i2 i3 (1) et i3 dq dt E R1i1 R2i2 0 (2) - loi des mailles : en q R i R i 0 (3) 22 3 3 C remplaçant (1) dans (3) A.N : E C 0.5 1 dq (R1 R2 ) R2E q dt (R1R2 R1R3 R2R3 )C (R1R2 R1R3 R2R3 ) on a : donc : 0.5 A R2E et (R1R2 R1R3 R2R3 ) A= 1.41 mA 0.5 (R1R2 R1R3 R2R3 )C (R1 R2 ) et = 5.67 ms 2- Equation de la charge q(t) : q (t ) q1 (t ) q2 (t ) dq R EC 0 et q1 2 dt (R1 R2 ) - Solution particulière : - Solution sans second membre : dq 1 dq dt q 0 q2 (t ) Ke t / dt q R2EC La solution est donc : q (t ) Ke t / (R1 R2 ) 0.5 R2EC En posant à t = 0 q(0)=0 on a : K et (R1 R2 ) R EC q (t ) 2 (1 e t / ) (R1 R2 ) 0.5 E 3- C chargé i3 0 et i1 i2 4 mA R1 R2 Q CER2 Q CR2i2 8C 4- Charge de C : R2i2 C R1 R2 1 Q2 32J 5- Energie du condensateur : Econd 2 C 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5+0.5 1 1 36 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Sujet 10 Exercice 1 : Un ruban métallique de section rectangulaire d’épaisseur a et de largeur b est parcouru par un courant continu I est placé comme indiqué sur la figure 1. 1- Les électrons de conduction sont animés d’une vitesse de dérive v de sens opposé à l’axe ox. a- Sachant qu’il y a n électrons de conduction par unité de volume, donner les expressions de la densité de courant j et l’intensité du courant I. b- Exprimer la vitesse v en fonction de I, n, e, a et b. 2- Le ruban est maintenant plongé dans un champ magnétique B B k . a- Donner l’expression de la force magnétique Fm à laquelle est soumis un électron. Représenter cette force. b- Dans quel sens sont déviés les électrons. c- Donner l’expression du champ électrique de Hall EH, entre les deux faces du barreau, en fonction de j, B, e et n. d- Déduire la différence de potentiel de Hall VH. e- La mesure de VH permet de déterminer expérimentalement la valeur de B. Exprimer B en fonction de VH. Calculer la valeur de B. . -6 On donne: VH = 5.2 10 V, n = 6 1028 elect/m3, I = 5 A, a = 0.1 mm 37 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Exercice 2: Le circuit électrique de la figure suivante comprend un générateur de f.e.m E, une résistance R, une capacité C et un récepteur (e, r) dont le rendement maximum est de 60%. R r E C On donne : R = 8 , r = 2 , e = 6 V et C = 0.5 F e K I- Le récepteur fonctionne avec son rendement maximum et le condensateur complètement chargé : 1- Calculer l’intensité du courant débité par le générateur 2- Déduire la valeur de la f.e.m E du générateur II- On ferme l’interrupteur à t = 0s et le condensateur est complètement déchargé. Pour simplifier les expressions on pose R = 4r 1- Donner l’équation différentielle régissant la charge du condensateur q(t) 2- Déduire l’expression de la charge en fonction du temps en précisant les valeurs de la charge finale Qf et de la constante de temps . 38 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Corrigé sujet 10 Exercice 1 :(07 points) 1- a – Densité de courant j nev Courant I jS jab 0.5 0.5 b- Vitesse des électrons I I nev v ab neab 1 2- a- Force magnétique : Fm ev B Fm evB (v B) 0.5 0.5 Fm 1 b- Les électrons sont déviés dans le sens des y négatifs c- A l’équilibre la force magnétique équilibre la force électrique donc : E Fm Fe 0 eE H evB v H B jB neEH j = nev = alors : EH = et comme : B ne d- La différence de potentiel de Hall est : VH = EH b = e- Le champ magnétique B s’écrit alors : B= VHne VHnea = jb I A.N : B = 1T 1 jBb ne 0.5 0.5 1 39 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Exercice 2 :(13 points) 1- a- Le rendement du récepteur est : 2P e e(1- ) = u = donc : I1 = pf e+rI1 r et I1 = 2A 0.5 2 b- Le condensateur est complètement chargé ic=0 et I1 = I2 loi de la maille : -E +e +(R+r)I1 =0 E=e+(R+r)I1 et 2 E = 26 V 0.5 3- a- Le condensateur est complètement déchargé à t =0 on a q(0)=0 Loi des Nœuds : i = ic + i2 0.5 Loi des mailles : -E+Ri + q =0 C q e + ri2 - = 0 C I II On obtient : dq 5q (E+4e) + = dt 4rC 4r 0.5 0.5 3 b- La solution de l’équation est de la forme : q(t) = Qf ( 1 - exp(-t/ )) 0.5 Avec : Qf (E 4e ) C 5C 5 1 0.5 et 4rC 0.8s 5 1 0.5 40 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Sujet 11 Question de cours: (02pts) La figure 1 représente un dipôle électrique constitué par deux charges ponctuelles (+ q ) et q , M séparées par une distance d et de moment dipolaire p . Déterminer l’expression du potentiel électrique V crée en un point M situé à une distance r du centre O de ce dipôle en fonction de r, et p. On suppose que d << r. . r p -q O x +q Figure 1 Exercice 1: (10pts) Un conducteur sphérique creux A initialement neutre de rayon intérieur 2R et rayon extérieur 4R, entoure un deuxième conducteur sphérique B de rayon R porté à un potentiel V0 par l’intermédiaire d’un générateur (figure 2). Le conducteur B porte une charge Q0. 1) Quelles sont les charges portées par les surfaces intérieure et extérieure du conducteur A. Justifier. 2) En appliquant le théorème de Gauss, déterminer l’expression du champ électrique E dans les quatre régions suivantes : r R , R r 2R , 2R r 4R et r 4R . R 2R 4R (B) V0 (A) Figure 2 3) Sachant que le potentiel électrique est nul à l’infini, déterminer l’expression du potentiel électrique dans les quatre régions. 4) Déduire la charge Q0 en fonction de R, V0 et la permittivité du vide 0 . 5) On relie, maintenant, le conducteur A au sol. a- Déterminer la différence de potentiel entre les deux conducteurs A et B. b- Déduire l’expression de la capacité du condensateur sphérique ainsi constitué. 41 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Exercice 2 : (08 pts) On considère le montage ci-dessous dans lequel les condensateurs de capacités C1 et C2 sont initialement déchargés. K R1 E 1 2 R3 R2 C2 C1 E = 12 V, R1= 1 kR2 = 2k R3 = 5 k C1 = 1 µF, C2 = 3 µF I- On place l’interrupteur K sur la position (1) 1) Etablir l’équation différentielle régissant l’évolution de la charge q1 (t ) du condensateur C1 en fonction du temps. Montrer que l’on peut la mettre sous la forme : dq1 q1 A dt 2) Donner les expressions de A et de numériques. 3) Déterminer l’expression de q1 (t ) . et préciser leurs valeurs 4) Quelle est la charge finale de ce condensateur. II- Le condensateur de capacité C1 étant entièrement chargé. On place K sur la position (2). 1) Déterminer l’expression de la charge q2 (t ) du condensateur de capacité C2. 2) Calculer, à l’équilibre, la charge finale de chaque condensateur. 42 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Corrigé Sujet 11 Question de cours : (02 pts) Le potentiel créé par le dipôle au point M : M 1 1 r r V V q V q Kq Kq 1 2 r2 r1 r1 r2 0.5 Soit H la projection de B sur AM (avec d << r1 et r2): AH d cos r1 r2 0.5 D’autre part, on peut faire l’approximation : r1 r2 r L’angle r1 r2 r H 0.5 est pratiquement égal aux angles 1 et 2 . 1 p cos V 0.5 4 0 r 2 A -q θ d q B Exercice 1 : (10 pts) 1)– Le champ étant nul à l’intérieur du conducteur A (équilibre électrostatique) Q Q QAint 0.5 Eint . dS int 0 0 , QAint Q0 0 0.5 - 0 Conservation de la charge du conducteur A QAext QAint 0 QAext QAint Q0 2)– Calcul du champ E . dS E.4 r 2 - r R, Qi 0 E1 0 . 2 Q i 0.5 0 0.5 - R r 2R, Qi Q0 E2 - 2R r 4R, Qi 0 E3 0. - r 4R, Qi Q0 E4 Q0 0.5 4 0 r 2 0.5 Q0 4 0 r 2 0.5 3)- Expression du potentiel : dV E.dl Edr Conditions de continuité: V1 ( R) V2 ( R) V0 , V2 (2R) V3 (4R) - r R, V1 (r ) V0 0.5 0.5 0.5 Q0 1 1 V0 4 0 r R 1 Q0 V0 - 2 R r 4 R, V3 (r ) VA 4 0 2 R - R r 2R, V2 (r ) 0.5 1 1 43 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Q0 1 3 V0 4 0 r 4 R 3Q 1 4)-En posant, V4 () 0 on a : V0 0 4 0 4 R - r 4R, V4 (r ) 1 1 Q0 16 0 RV0 3 0.5 Exercice 2 : (08 pts) I)- Interrupteur sur la position (1) 0.25 1) Loi des nœuds : I I 2 I1 0.25 E R1 I R2 I 2 0 dq Loi des mailles : et I1 1 q1 R2 I 2 R3 I1 0 dt C1 0.25 R1 I1 0.25 2 En éliminant les courants I et I2 on a : q R2 E 0.5 R1R2 R3 ( R1 R2 ) I1 R2 E (R1 R2 ) 1 C1 dq En remplaçant I1 1 on obtient l’équation dt différentielle régissant l’évolution de la charge q1 (t ) du condensateur de C1 I dq1 ( R1 R2 ) R2 E q1 dt ( R1R2 R1R3 R2 R3 )C1 ( R1R2 R1R3 R2 R3 ) I R3 C1 1 dq1 q1 S avec : 0.25 dt ( R R R R R2 R3 )C1 R2 E 1 2 1 3 et S ( R1 R2 ) ( R1R2 R1R3 R2 R3 ) 2) Elle est sous la forme : 0.25 AN 5,67 ms et S 1, 41 mA 2*0.25 t dq1 q1 0 q1 Ae dt ste Solution particulière : q1 C q1 S 3) Solution sans second membre : t Solution générale : avec q1 (0) 0 q1 (t ) Q0 1 e 4) La charge finale : Q0 S , AN Q0 8C 0.5 5 0.5 44 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST II)- Le condensateur de capacité C1 étant entièrement chargé. On place l’interrupteur sur la position (2). q q 1) Loi de la maille : 1 R3 I 2 0 0.5 C1 C2 0.5 dq dq avec I 1 2 et q1 (t ) q2 (t ) Q0 S dt dt L’équation différentielle de q2 est : dq2 1 1 S ( )q2 dt R3C1 R3C2 R3C1 I 0.5 R3 C2 C1 0.5 La solution est donnée par : ( C1 C2 ) t C S q2 (t ) 2 (1 e R3C1C2 ) C1 C2 0.5 2) A l’équilibre Q2 q2 () C2Q0 C1 C2 or q1 q2 Q0 S Q1 Q0 0.25 0.25 AN Q1 2C 0.25 C2Q0 CQ 1 0 C1 C2 C1 C2 et Q2 6C 0.25 45 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Sujet 12 Exercice 1 :(04 points) Soient trois charges ponctuelles QA, QB et QC placées aux sommets d’un triangle équilatérale ABC de côté a (Figure 1). 6- Déterminer et représenter le vecteur champ électrique crée par ces trois charges au centre de gravité O du triangle. (02 points) 7- Calculer le potentiel crée par ces trois charges au point O (01 point) 8- Calculer l’énergie interne du système des trois charges. (01 point) A Q A On donne : K= a a 1 4 0 =9 109 M.K.S.A, a = 3 cm. QA = -2q , QB = q, QC = q et q = 1 nC O QC C a Figure 1 QB B Exercice 2 :(08 points) On considère un fil de longueur L, de densité linéique positive, qui porte une charge totale Q. Il est placé suivant l’axe des y tel que montré sur la figure 2. 9- Donner l’expression des composantes du champ électrique, Ex et Ey, crée par ce fil au point M situé sur l’axe des x, tel que OM = x, en fonction de K, , x, 1 et 2. (4 pts) 1 10-Montrer que ce champ s’écrit E 2 x i lorsque le fil devient infini(1 pt) 0 11- Au point M situé à une distance d du fil, on place un dipôle p , mobile autour de son milieu et faisant un angle avec l’horizontale (figure 3). a- Donner l’expression du moment du couple du dipôle placé dans le champ électrique du fil au point M.(1 pt) b- Quelle est l’expression de l’énergie potentielle de ce dipôle (1 pt) c- Quel est le travail nécessaire pour que ce dipôle arrive à sa position d’équilibre stable. (1 pt) 46 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST y L 1 2 M d x O p x M Figure 3 Figure 2 Exercice 3 :(08 points) On considère deux sphères concentriques de même centre O et de rayons respectifs R1 et R2 = 2.5 R1, portant des charges telles que : - La sphère interne (O, R1) porte une densité de charges volumique 2, 5 (C / m 3 ) r - La sphère externe (O, R2) porte une densité de charge surfacique =-0.5 C/m2. r R1 R2 1- Calculer les charges totales portées par chaque sphère. (2 pts) 2- Déterminer le champ électrique en tout point de l’espace (0 r ) (3pts) 3- Déduire le potentiel électrique en tout point de l’espace.(3pts) 47 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Corrigé sujet 12 Exercice 1 : 3 = 1 cm 3 6- Champ électrique au point O : OA = OB = OC = a E0 E A EB EC KQA 6 Kq 2 18 104 V / m 2 EB 2 EC (Echelle : 1 cm ----- 9 104 V/m) OA2 a E E cos 30 EB cos 30 0 V / m 0.5 C 0x E0 4 1 E0 y E A EC sin 30 EB sin 30 E A EC 3 EC 27 10 V / m EA A Q A E0 (27 10 j ) V / m 4 EO 0.5 EA a a EB QC C O EC QB B a K (QA QB QC ) 0 V 1 OA KQAQB KQAQC KQBQC K 3 Kq 2 2 2 2 8- Energie interne : U (2q 2q q ) AB AC BC a a -7 U= 5.2 10 Joules 1 7- Potentiel au point 0 : V0 = VA + VB + VC = Exercice 2 : 6- Champ crée par le fil au point M : dE x dE cos Kdq K dy dE 2 u u 2 r r dE y dE sin On exprime tout en fonction de alpha x x cos r et 0.5 r cos y x tg y xtg dy d donc : x cos 2 y L r 0.5 1 2 M O dE x dE y 48 dE x FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST K dy K dE x dE cos r 2 cos x cos dE dE sin K dy sin K sin en intégrant entre 1 et 2 on a : y r2 x 1.5 Ex K (sin 2 sin 1 ) et x 7- Si le fil est infini donc 1 et enfin : E x 2K x 2 0 x et 2 Ey et 1 K (cos 2 cos 1 ) x 2 Ey 0 1 8- a – moment du couple : p EM pEM sin( ) pEM sin 1 p b- Energie potentielle : E p EM p E p pEM cos( ) pEM cos 1 c-Travail entre position initiale et finale : W E p E pi E pf pEM (1 cos ) 1 Exercice 3 : 1- Charges des deux sphères : R1 R1 2.5 - Sphère 1 : Q1 = dV 4 r 2 dr 10 0 0 r - Sphère 2 : Q2 = R2 0 1.5 x M EM Figure 3 1 R1 0 rdr 5 R12 1 dS S 4 R22 0.5 4 ( 2.5 R1 )2 5 R12 2- Les équipotentielles sont des sphères donc le champ est radial, Qint E dS Théorème de Gauss : 0 Le champ est constant sur la surface de Gauss : E dS EdS E dS ES E 4 r 0.25 0 r R Q dV 4 r dr 5 r r 2 5 0 0 4 0 R1 Q1 5 R12 Qint dV Q1 5 R12 E2 0 4 0 r 2 4 0 r 2 r 1 2 int R1 r R2 r R2 r Q int 2 E1 Q1 Q2 0 E3 0 1 1 1 3- Potentiel électrique : 0 r R1 dV E dl Edr V (r ) Edr V1 5 r C1 4 0 0.5 49 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST 5 R12 R1 r R2 V2 C2 4 0 r 0.5 et Détermination des constantes : V3 () 0 C3 0 0.5 2 5 R1 V2 ( R2 ) V3 ( R2 ) C2 4 0 R2 5R R V1 ( R1 ) V2 ( R1 ) C1 1 (2 1 ) 4 0 R2 r R2 V3 C3 0.5 0.5 0.5 50 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Sujet 14 Exercice 1 : Le circuit électrique suivant est constitué d’un générateur de force électromotrice E, de résistance interne r, de trois résistances d’un interrupteur K et d’un condensateur de capacité C (voir figure) K r R1 R2 C Rf E Figure 2 L’interrupteur K est fermé : I- Régime permanent : Le condensateur est complètement chargé. a. Déterminer le courant circulant dans chaque branche du circuit b. Donner l’expression de la puissance fournie par le générateur c. Quelle est la puissance dissipée par effet joule dans le circuit d. Donner le tension aux bornes du condensateur C. II- Régime transitoire : Le condensateur étant initialement déchargé: a- Ecrire les équations de Kirchhoff b- Déduire l’équation différentielle régissant la charge du condensateur C c- Déduire l’expression de la charge en fonction du temps. Préciser les expressions de la charge finale et de la constante temps. d- Quelle est l’énergie totale emmagasinée dans le condensateur C 51 FASCICULE D’EXAMENS D’ELECTRICITE –1ERE ANNEE–LMD–ST Exercice 2 : Dans le spectromètre de Dempster, les ions 79 Br- pénètrent en O dans un champ électrique uniforme E 0 crée par une difference de potentiel U = 2 103 Volts. Arrivés en A ces ions sortent avec une vitesse v et sont soumis à un champ magnétique B perpendiculaire à la vitesse (voir figure 3). O E0 B A O v Région I Région II Figure 3 1- Quelle est la nature du mouvement des ions dans les régions I et II 2- Déduire leur vitesse au point A sachant que la vitesse en O est nulle. 3- Quelle intensité faut – il donner à B pour que ces ions décrivent une trajectoire circulaire de rayon R = 57.24 cm. 4- Quelle est la variation du rayon R de la trajectoire circulaire lorsque les ions 79Br- sont remplacés par des ions 81Br-. On donne : B =0.1 Tesla m79 = 1.3104 10-25 kg et m81 = 1.3436 10-25 kg 52