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Premier Cycle
Deuxième Année
Année scolaire 2007/2008
Devoir de Synthèse de Physique
30 Janvier 2008
Durée : 3 h
Sans documents – Calculatrice non programmable autorisée.
Barème approximatif : Etude préliminaire : 1,5 points ; Partie 1 : 5,5 points ; Partie 2 : 13 points.
L
Laa ffuussiioonn tthheerrm
meenntt m
moonnuuccllééaaiirree ccoonnttrrôôllééee ppaarr ccoonnffiinneem
maaggnnééttiiqquuee
Le projet international ITER a pour objectif de montrer la faisabilité de la fusion thermonucléaire
contrôlée. De très nombreux pays représentant plus de la moitié de la population mondiale sont
engagés dans ce projet qui devrait aboutir à la construction d’un réacteur expérimental à
Cadarache (Bouches du Rhône). Le coût total de ce projet est estimé à 10 milliards d’euros.
Dans ce contexte, l’objectif du problème proposé ci-après est d’examiner, de manière très
simplifiée, certains aspects de la fusion thermonucléaire contrôlée dont le principe est exposé ciaprès. Le problème est constitué de plusieurs parties (étude préliminaire, partie 1, partie 2) qui
peuvent être traitées de manière indépendante.
Lors de la fusion de deux noyaux d’atomes très légers, un nouveau noyau plus lourd est obtenu.
Cependant, sa masse n’est pas équivalente à la somme des masses des deux noyaux d’origine. La
masse perdue (Δm) s’est transformée en énergie lors de la réaction de fusion selon la célèbre
2
équation d’Einstein : E = Δm · c où c est la vitesse de la lumière dans le vide.
De l’énergie est donc dégagée par la fusion. Les travaux de recherche portent actuellement sur la
fusion de noyaux de Deutérium (D) et de Tritium (T) (deux isotopes1 de l’hydrogène) car celle-ci
semble techniquement la plus réalisable. Les produits de la réaction sont des particules alpha
(noyaux d’Hélium) et des neutrons (n). L’énergie dégagée est emportée par les produits de réaction
sous forme d’énergie cinétique.
D + T J n + particule alpha + énergie cinétique (17,6 MeV)
neutron
proton
Réaction de fusion du Deutérium et du Tritium
Afin d’initier la fusion nucléaire, il faut rapprocher suffisamment les deux noyaux mis en jeu dans
la réaction. Ceux-ci formés de protons et de neutrons sont chargés positivement et ont donc
tendance à se repousser sous l’action de forces électrostatiques. Cependant, très près du noyau (à
des distances de l’ordre de grandeur du rayon des noyaux, soit r0 = 10-15 m) agissent des forces
d’attraction nucléaire plus fortes que les forces de répulsion électrostatique. Tout le problème est
donc d’apporter assez d’énergie cinétique aux deux noyaux mis en jeu pour vaincre les forces de
répulsion et les rapprocher suffisamment afin qu’une réaction de fusion nucléaire puisse avoir lieu.
1
Des atomes sont dits isotopes s’ils ont le même nombre de protons. Par contre, leur nombre de neutrons étant différent,
ils n’ont pas la même masse. Le deutérium possède un proton et un neutron et le tritium a un proton et deux neutrons.
1
De l’énergie cinétique est synonyme de température. En effet, la vitesse des particules est
proportionnelle à leur agitation thermique. Il faut donc augmenter la température des particules
afin d’augmenter leur vitesse et leur permettre ainsi de s’approcher les unes des autres. La fusion
nécessitant une température très élevée, les atomes sont entièrement ionisés. En d’autres termes, les
électrons ne sont plus attachés aux noyaux. Pour décrire l’état de la matière, on parle de plasma :
il s’agit d’un mélange de noyaux chargés positivement (ici, de charge + e) et d’électrons
extrêmement chauds. Ce plasma se comporte comme un gaz globalement neutre.
Pour que le combustible, à l'état de plasma, puisse produire suffisamment de réactions
thermonucléaires, il faut le maintenir dans un volume limité et l'éloigner de toute paroi matérielle
afin de maintenir sa température élevée : c'est le confinement. Dans un plasma à l'état libre, la
trajectoire des particules est aléatoire et les particules ont tendance à s'échapper. L’une des
solutions envisagées pour le confinement est donc de faire interagir les particules chargées du
plasma avec des champs magnétiques très intenses, ceci en vue de guider les particules et
d’empêcher leur interaction avec les parois. A cette fin, le plasma est confiné dans une chambre
toroïdale couramment appelée tokamak (acronyme de mots russes signifiant chambre toroïdale à
confinement magnétique).
Les données suivantes pourront être utiles :
-
Charge élémentaire : e = 1,6.10-19 C
Masse de l’électron : me = 9,1. 10-31 kg
Masse du proton et du neutron : mp ≅ mn = 1,67.10-27 kg
Constante de Boltzmann : kB = 1,38. 10-23 J.K-1
Perméabilité du vide : μ0 = 4π.10-7 H.m-1, permittivité du vide : ε0 = 8,85.10-12 F.m-1
1 eV = 1,6.10-19 J
Etude préliminaire : Estimation de la température nécessaire pour obtenir la fusion
Les questions 3 et 4 de cette étude préliminaire peuvent être traitées sans avoir répondu aux
questions 1 et 2 mais sont utiles pour les applications numériques de la partie 1.
On considère deux charges ponctuelles, de même charge e > 0, dont l’une est située en un point O
de l’espace et dont l’autre est au point M situé à la distance r de O. On rappelle que l’expression
du potentiel électrostatique V créé en M par la particule située en O est : V =
1
e
4π ε 0 r
.
1- La particule située en M rde masse m est supposée être animée, dans le repère attaché à O,
r
uuuur
r
d’une vitesse initiale v 0 = -v 0 u r avec v0 > 0 et u r = OM / r . Lorsque les forces gravitationnelles sont
négligeables (ce qui est tout à fait légitime dans le cas de particules élémentaires), on rappelle que
1
l’énergie totale (Etot) de la particule située en M est : E tot = mv 02 + eV et que pour une particule
2
donnée en mouvement, il y a conservation de son énergie totale.
Indiquer ce que représente chaque terme apparaissant dans l’expression de Etot. Si la distance r est
initialement très grande (‘‘infinie’’), que devient l’expression précédente ? Comment évolue-t-elle
lorsque la particule se rapproche de la particule située en O ? Que peut-on en conclure sur
l’évolution de la vitesse de la particule ?
2- Quelle doit être l’énergie cinétique initiale minimale Ec0 de la particule lui permettant de
s’approcher de O d’une distance inférieure à r0 = 10-15 m ? Donner son expression littérale.
3- En pratique, la réaction de fusion peut être obtenue en fournissant à chaque type de particules
(noyaux de D et de T, électrons) une énergie cinétique initiale Ec0 de l’ordre de 20 keV bien moins
élevée que celle que l’on obtiendrait avec l’expression déterminée dans la question précédente (car
le modèle utilisé ci-dessus est trop simplifié). Calculer les masses des noyaux de D et de T. En
déduire leur vitesse initiale ainsi que celle des électrons présents dans le plasma.
4- Sachant que l’énergie cinétique initiale Ec0 des particules est obtenue en augmentant leur
température et que Ec0 ≈ kBT où kB est la constante de Boltzmann et T la température absolue en
Kelvin, calculer la valeur numérique de la température minimale qui permet la réaction de fusion.
2
Partie 1 : Mouvement d’une particule chargée placée dans un champ magnétique uniforme
Pour obtenir la réaction de fusion nucléaire, il faut confiner le plasma obtenu en portant les atomes
de Deutérium et de Tritium à très haute température. Un moyen pour obtenir ce confinement est de
faire interagir les particules chargées du plasma avec un champ magnétique. Pour comprendre le
mécanisme à l’origine du confinement, nous allons étudier le mouvement d’une particule chargée
dans un champ magnétique uniforme.
Nous utiliserons les hypothèses de travail suivantes :
r r r
- le référentiel d’étude est galiléen et muni d’un repère orthonormé (O, u x , u y , u z ),
r
ur
ur
- le champ magnétique B est uniforme, stationnaire et tel que B = B u z avec B > 0,
- la particule étudiée de masse m porte une charge q = e > 0 et son poids est négligé.
r
r
1.1. La particule étudiée se trouve initialement en O avec une vitesse initiale v 0 = v 0 u z colinéaire
ur
à B . Déterminer le mouvement de la particule (trajectoire, vitesse).
1.2. La rparticule étudiée est toujours initialement en O mais a maintenant la vitesse initiale :
r
r
v 0 = v 0 u y avec v0 >0. A un instant t, les composantes de la vitesse v selon Ox, Oy et Oz sont
r
notées respectivement vx, vy et vz. Expliquer l’évolution de la vitesse v de la particule au cours du
temps. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique, déterminer les expressions de
dv x dv y dvz
,
et
en fonction de vx, vy, q, B et m.
dt dt
dt
1.3. En déduire que vy vérifie l’équation différentielle suivante:
d2vy
dt
2
+ ω02 v y = 0 avec ω0 à préciser.
1.4. A partir de la solution générale de l’équation vérifiée par vy et d’une équation établie en 1.2,
établir les expressions de vx et vy en fonction du temps.
1.5. En déduire les coordonnées x, y et z de la particule en fonction du temps, sachant que la
v
position initiale de la particule est : x 0 = - 0 ; y0 = 0; z 0 = 0
ω0
1.6. Montrer que la trajectoire de la particule est un cercle contenu dans le plan xOy. Préciser le
centre de ce cercle et montrer que son rayon RL (appelé rayon de Larmor) est : R L = v 0 m .
eB
En déduire les conditions sur le champ magnétique ainsi que sur la masse et l’énergie des particules
pour obtenir un rayon RL le plus faible possible (conduisant à un confinement optimal). A partir des
vitesses calculées dans l’étude préliminaire, calculer numériquement le rayon de Larmor des
électrons et des noyaux de Deutérium lorsque B = 5,3 T. Que peut-on en conclure ?
Quelle est la fréquence de giration des particules ? Evaluer le rapport des fréquences de giration des
électrons et des noyaux de Deutérium. Conclusion.
1.7. Faire un schéma montrant clairement dans le plan xOy le sens du mouvement d’une particule
de charge e>0. Montrer que l’on peut associer à la particule en mouvement un moment magnétique
rr
1
r
r
μ = -μu z avec μ à préciser et que l’on a : μ.B = − mv 02 .
2
N.B. : Lorsque la vitesse initiale de la particule est :
r
r
r
v0 = v ⊥ u y + v // u z avec : v ⊥ > 0 et v // > 0, on peut
montrer que la particule décrit une trajectoire hélicoïdale
autour des lignes de champ magnétique rectilignes dans
le cas présent (cf. schéma ci-contre).
3
Partie 2 : Confinement magnétique du plasma dans un tokamak
L’étude précédente a permis d’établir que les particules chargées du plasma s’enroulent
hélicoïdalement autour des lignes de champ magnétique. Pour confiner les particules, une idée
naturelle est de guider celles-ci à l’aide de lignes de champ magnétique fermées. A cette fin, un tore
de section circulaire est utilisé. Autour de celui-ci, est enroulé un bobinage constitué de Nt spires
jointives parcourues par un courant permanent d’intensité IC. Nous noterons son grand rayon R et
son petit rayon a (Figure 1). Nous travaillerons en coordonnées cylindriques avec des vecteurs
r r
r
unitaires notés u r , u θ et u z .
z
y
IC
. M (r, θ, z)
a
O
x
R
Figure 1
2.1. Déterminer la topographie du champ magnétique, que nous qualifierons de toroïdal, créé par le
tore en tout point de l’espace. Montrer que le champ magnétique est nul à l’extérieur du tore et
déterminer son expression à l’intérieur du tore en fonction de Nt, IC, r et de constantes
fondamentales.
Application numérique : on veut obtenir au centre de la section du tore (en r = R) un champ
magnétique BT = 5,3T. Sachant que R = 6,2 m et Nt = 2412, quelle doit être la valeur de IC
correspondante ? Pour produire ce courant, on utilise un bobinage réalisé avec des fils
supraconducteurs et non pas en cuivre. Pouvez-vous donner une explication à ce choix ? Les fils
supraconducteurs sont en alliage Nb-Sn et nécessitent de plonger l’ensemble dans de l’hélium
liquide. Quelle difficulté technologique cela entraîne-t-il au niveau des échanges thermiques ?
2.2. D’après l’étude menée dans la partie 1, nous pouvons conclure que les particules chargées du
plasma s’enroulent hélicoïdalement autour des lignes de champ magnétique toroïdal. En pratique,
dans un tokamak, un deuxième champ magnétique, dont nous verrons le rôle ci-après, est produit
par un solénoïde vertical de longueur supposée infinie et disposé selon l’axe Oz du tore. Ce
solénoïde, qui possède N spires (ou n spires par unité de longueur), a un rayon l (l < R-a) et est
parcouru par un courant d’intensité i0(t) variable de sens conventionnel positif donné sur la figure
2. Par ailleurs, on peut considérer le plasma comme étant équivalent à une spire conductrice C de
même axe Oz que le solénoïde, de rayon R et de section S (figure 2).
Sachant que la norme du champ magnétique créé par un solénoïde comportant n spires par unité de
et
longueur et parcouru par un courant i0 est égale à Bint = μ0ni0 en tout point intérieur au solénoïde
uur
à Bext = 0 en tout point extérieur au solénoïde, donner l’expression du champ magnétique B0 (t) créé
uur
par le solénoïde étudié en tout point de l’espace. On justifiera la direction et le sens de B0 (t) . En
déduire l’expression de l’inductance mutuelle M du dispositif constitué par le solénoïde et la spire
C, en respectant les conventions d’orientation de la figure 2. Comparer M avec l’inductance propre
L0 du solénoïde.
4
z
Remarque : Dans le dispositif réel, le tore, évoqué
en 2.1., n’est pas constitué de spires jointives mais
de plusieurs bobines régulièrement réparties autour
de la chambre toroïdale (figure 2.b) et le solénoïde
central est en matériau supraconducteur.
Solénoïde central
Solénoïde central
+
Bobine créant le
champ toroïdal
i0(t)
Spire C
équivalente
au plasma
+
Plasma
a) Schéma simplifié du dispositif
b) Dispositif réel
Figure 2
uur
uur
2.3. Déterminer la topographie du potentiel vecteur A 0 (t) associé au champ B0 (t) ainsi que sa
uur
valeur pour r < l et pour r > l en évaluant le flux de B0 (t) à travers une surface judicieusement
uur
choisie (à préciser). Précisez la valeur de A 0 (t) en r = l et en r = R.
r r
r r
N.B. : on rappelle que ∫ + A0 .d l = ∫∫ B0 .dS . Pouvez-vous justifier brièvement cette relation ?
Γ
(S )
2.4. En utilisant les résultats des questions précédentes, donner l’expression de la force
électromotrice, e, induite par le solénoïde dans la spire à l’aide de deux méthodes différentes.
Sachant que l’on souhaite que la f.e.m. induite soit constante (de valeur E à préciser) et dans le sens
positif indiqué sur le schéma, indiquer comment doit varier l’intensité i0(t) dans le solénoïde. En
déduire que le système étudié ne peut pas fonctionner en continu mais par impulsions de durée τ
limitée. Dans ces conditions, représenter schématiquement l’évolution de i0(t) pendant la durée τ.
2.5. La f.e.m. induite E (définie en 2.4.) est à l’origine d’un courant induit ip dans la spire C de
résistance ohmique (Re) et d’inductance propre (Le). Sachant que le solénoïde parcouru par le
courant i0(t) est caractérisé par une résistance R0 et est soumis à une tension u, écrire les équations
différentielles vérifiées par les courants i0(t) et ip(t). Ensuite, en prenant en compte l’étude faite en
2.2., faire les approximations qui s’imposent.
Montrer que l’application, à t = 0, d’une tension U constante au solénoïde permet d’obtenir la
variation recherchée en 2.4. pour i0(t) à condition que : t << τ0 (= L0/R0). Dans ce cas, donner
l’expression de i0(t) en fonction des données du problème. En déduire la valeur du rapport E/U.
2.6. Déterminer l’évolution de l’intensité ip(t) du courant induit dans la spire en fonction du temps à
partir du temps t = 0 correspondant à l’instant d’apparition de la f.e.m. E induite dans la spire.
Préciser l’expression littérale du courant Ip une fois le régime permanent atteint (en pratique, cette
intensité est limitée à 15 MA pour éviter l’apparition d’instabilités). Puis, calculer la densité
r
volumique de courant j en régime permanent (on fera apparaître la conductivité γ du plasma dans
l’expression). En supposant que le plasma est constitué uniquement d’électrons et d’ions Deutérium
r
et que leur densité volumique nv est identique, donner l’expression de j en fonction de nv et des
vitesses des particules. Compte-tenu des valeurs des vitesses des électrons et des ions Deutérium
r
calculées dans l’étude préliminaire, que peut-on en conclure sur la valeur de j ?
5
N.B. : les questions ci-après 2.7 à 2.11 peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
2.7. Calculer l’énergie (EJ) dissipée par effet Joule dans le plasma pendant la durée τ d’une
impulsion. Donner une expression approchée de EJ pour τ très grand devant τp = Le/Re.
Par ailleurs, préciser l’expression de l’énergie magnétique emmagasinée dans la spire lorsque le
régime permanent est atteint.
A partir d’une équation établie en 2.5, faire le bilan des puissances électriques mise en jeu dans la
spire à un instant t donné en précisant ce que représente chaque terme. En déduire le bilan des
puissances une fois le régime permanent atteint. Commenter.
2.8. Lors du régime permanent, quelle est la puissance totale dissipée par effet Joule dans le
plasma ? Sachant que la conductivité électrique du plasma augmente en fonction de sa température
en T3/2, indiquer comment devrait évoluer la puissance dissipée par effet Joule avec la température.
Cette puissance contribue au chauffage du plasma. Cependant, en raison de pertes par
rayonnement, cette méthode ne permet pas à elle seule d’atteindre la température nécessaire à la
fusion et d’autres méthodes de chauffage doivent être mises en œuvre (notamment en injectant des
ondes électromagnétiques (micro-ondes) dans le plasma).
2.9. Un barreau cylindrique (appelé noyau) de rayon sensiblement égal à l et constitué d’un
matériau ferromagnétique doux de perméabilité magnétique relative (μr = 5000) est introduit à
l’intérieur du solénoïde central. Quel est l’intérêt d’introduire ce noyau à l’intérieur du solénoïde ?
On justifiera précisément la réponse. A quel dispositif est équivalent l’ensemble étudié (solénoïde
avec noyau + spire) ?
2.10. Le courant Ip induit dans le plasma est susceptible de créer un champ magnétique, que nous
qualifierons de poloïdal, dans le tore. On supposera : (i) que le courant Ip circule essentiellement
dans l’axe du tore (r = R et z = 0) (spire C) et (ii) que le rayon R de celle-ci est suffisamment grand
pour considérer localement que la spire est rectiligne. Dans ces conditions, donner l’allure des
lignes de champ magnétique poloïdal dans une région proche de C. Estimer numériquement l’ordre
de grandeur du champ magnétique poloïdal à une distance de la spire C égale au petit rayon a du
tore (figure 1) pour Ip = 15MA et a = 2,0 m.
La superposition du champ magnétique toroïdal et du champ magnétique poloïdal donne un champ
magnétique total. Quelle est la forme des lignes de champ associées au champ total ?
2.11. On admet qu’on a pu obtenir une situation de confinement magnétique ainsi qu’une
température suffisante pour que la réaction de fusion ait lieu. Celle-ci produit des noyaux d’hélium
et des neutrons. Pourquoi seuls les noyaux d’hélium restent-ils piégés à l’intérieur du tokamak,
alors que les neutrons s’échappent et interagissent avec les parois ?
En pratique, l’énergie des noyaux d’hélium peut être cédée au plasma, ce qui constitue un apport
d’énergie supplémentaire pour le plasma. En revanche, l’énergie des neutrons doit être récupérée
dans un dispositif dont la finalité est de produire de l’électricité.
6
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