Equations plasmiques pour amateurs de machin

Equations plasmiques pour amateurs de
machin-choses compliqués.
Fabrice Mottez
11 janvier 2008

2F. Mottez

Table des matières
1 Introduction 9
1.1 Qu’est-ce?............................. 9
1.2 Différentes catégories de plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Qu’est-ce qu’un plasma réactif ? . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Qu’est-ce qu’un plasma thermique ? . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Qu’est-ce qu’un plasma relativiste ? . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Qu’est-ce qu’un plasma collisionnel ? . . . . . . . . . . 11
1.2.5 Quelles sont les particularités d’un plasma non colli-
sionnel? .......................... 12
1.3 L’évolution de la fonction de distribution en vitesse d’un fluide
collisionnel............................. 13
1.3.1 Le théorème de la limite centrale . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Conséquence sur le nombre nécessaire d’équations fluides 14
1.3.3 Equations multi-fluides d’un plasma collisionnel . . . . 15
1.3.4 Equations MHD d’un plasma collisionnel . . . . . . . . 17
1.3.5 Equations d’un fluide neutre collisionnel . . . . . . . . 18
1.4 Fluides collisionnels et équilibre thermodynamique . . . . . . . 19
1.5 L’évolution d’un fluide non collisionnel . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Fluides non-collisionnels et thermodynamique . . . . . . . . . 20
1.7 L’équation de Vlasov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Les collisions dans les plasmas spatiaux . . . . . . . . . . . . . 21
1.8.1 Collisions entre atomes neutres et particules chargées . 21
1.8.2 Collisions entres particules chargées . . . . . . . . . . . 22
1.8.3 Ionisation des atomes par des photons UV . . . . . . . 22
2 Mécanique analytique en vue de l’étude des plasmas 25
2.1 Formalisme lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3

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2.2 Multiplicité des Lagrangiens permettant de décrire un système
dynamique............................. 27
2.3 Formalisme Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Cas où le système dépend de paramètres extérieurs . . 28
2.4 Reciprocité du lien entre les principes Hamiltoniens et Lagran-
giens................................ 29
2.5 Lagrangien et Hamiltonien d’un système isolé, régi par des
forces dérivant d’un potentiel scalaire . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 Lagrangien et Hamiltonien d’une particule chargée . . . . . . . 31
2.7 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.1 Conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7.2 Conservation de l’impulsion . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7.3 Conservation du moment cinétique . . . . . . . . . . . 35
2.7.4 Flot dans l’espace des phases, théorème de Liouville . . 35
2.8 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.9 Changement de variables canoniques . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Les équations du champ électro-magnétique 39
3.1 Les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Forme générale des équations de Maxwell . . . . . . . . 39
3.1.2 Forme générale des équations de Maxwell en unités bar-
bares............................ 40
3.1.3 Les potentiels scalaire et vecteur . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.4 Les termes source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.5 Le plasma considéré comme une assemblée de charges
danslevide ........................ 44
3.1.6 Le plasma considéré comme un milieu diélectrique . . . 44
3.1.7 Le plasma considéré comme un milieu magnétique . . . 46
3.1.8 Autres relations entre des grandeurs électrodynamiques 46
3.2 Représentation du champ magnétique à l’aide des potentiels
d’Euler............................... 47
3.3 Transformation du champ électromagnétique par changement
derepère.............................. 48
3.3.1 intérêt de la jauge de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.2 Notion de mouvement des lignes de forces . . . . . . . 50
3.4 Energie électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 Loi d’Ohm généralisée et causalité . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.1 Principe de causalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Notes pour la physique des plasmas 5
3.5.2 Loi d’Ohm linéarisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Le champ magnétique dipolaire et le mouvement des parti-
cules chargées 55
4.1 Le champ magnétique dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 les relations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 Potentiels d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.3 Valeurs numériques, cas de la Terre . . . . . . . . . . . 57
4.2 Mouvement quasi-adiabatique dans un dipôle magnétique . . . 58
4.3 Une sphère conductrice en rotation dans le vide avec un dipôle
magnétiquealigné......................... 58
4.4 Coordonnées dipolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 Généralités sur les ondes 63
5.1 Champ magnétique associé à une oscillation électrique . . . . 63
5.2 Les ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 Equations de dispersion, approche par transformée de Fourier 64
5.3.1 Loi d’Ohm linéarisée dans un plasma homogène . . . . 64
5.3.2 Analycité de la conductivité dans l’espace des fréquences 65
5.3.3 Transformées de Fourier des équations de Maxwell . . . 67
5.3.4 Champ électrique dans le repère de l’onde . . . . . . . 68
5.3.5 Relation de dispersion linéaire dans un plasma homogène 69
5.3.6 Cas particulier des ondes électrostatiques . . . . . . . . 71
5.3.7 Ondes électrostatiques instables ou amorties . . . . . . 71
5.4 Equations de dispersion, approche par transformée de Fourier-
Laplace .............................. 72
5.4.1 Transformées de Fourier-Laplace des équations de Max-
well ............................ 73
5.4.2 La transformée de Fourier-Laplace de la loi d’Ohm . . 73
5.4.3 Domaine de définition des transformées de Fourier-Laplace 74
6 Développements asymptotiques pour les plasmas 75
6.1 Méthode multi-échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 Méthode multi-échelle pour les équations newtoniennes du mou-
vement............................... 78
6.3 Particule en présence d’une onde, force pondéromotrice . . . . 79
6.4 Particule dans un plasma magnétisé, approximation du centre
guide................................ 82