B - Loa

PARTIE 2
MAGNÉTOSTATIQUE
89
GB
Chapitre I
ÉLÉMENTS D’ÉLECTROCINÉTIQUE
1/ Définitions
La plupart des applications de l’électricité : charges en mouvement dans les conducteurs
⇒ électrocinétique + + + +
+
+
VA
+
+
+
+
A
+
+
+
+
+
V
2/ Rupture d’équilibre électrostatique
Deux conducteurs A et B isolés, très éloignés l’un
de l’autre et en équilibre
Q A = CiA VA
⇒
Q = C V
A au potentiel VA et porte une charge QA
iB B
B au potentiel VB et porte une charge QB ( VA > VB)  B
Q ' = C V
A et B reliés par un fil conducteur
iA
⇒ A
⇒ ensemble à un potentiel unique V
Q ' = C V
 B
iB
⇒ nouvelle répartition de charges (Q’A , Q’B )
Variation de charge de A : ∆Q A = Q 'A − Q A
+
+
+
+
+
+
+
+
B
+
VB
++
+
+
+
Ci : capacité du
conducteur isolé
'
Variation de charge de B : ∆Q B = Q B − Q B
Système isolé ⇒ conservation de la charge
Q A + Q B = Q 'A + Q 'B
⇒ ∆Q B = −∆Q A Charge perdue par A est gagnée par B
•/•
90
(
(
 ∆Q A = CiA V − VA
∆Q = C V − V
 B
iB
B
V − VB =
V − VA =
)
)
⇒ potentiel à l’équilibre
(CiA VA + CiBVB )− (CiA + CiB ) VB =
CiA + CiB
CiB
CiA + CiB
CiA
CiA + CiB
V=
GB
CiA VA + CiB VB
CiA + CiB
(VA − VB ) > 0
(VB − VA ) < 0
VA
⇒ VA > V > VB
∆QA < 0
V
∆Q A < 0, ∆Q B > 0
∆QB > 0
VB
⇒ transport de charges Assimilé à un fluide qui s’écoule du conducteur au potentiel le
plus élevé vers celui au potentiel le plus faible
Analogie : eau qui s’écoule dans un tuyau
reliant deux réservoirs inégalement remplis
VA
V
A
B
VB
Phénomène transitoire : cesse lorsque les potentiels s’équilibrent
•/•
91
GB
3/ Le courant continu
Régime permanent ⇒ utilisation d’un générateur
Maintien d’une ddp constante VA − VB entre A et B
VA
A
B
VB
Écoulement continu de charges dans le conducteur qui les relie
Convention - sens du courant : du potentiel le plus élevé vers le moins élevé
⇒ ≡ sens du champ E
En présence de E : charges libres q (< 0 ; électrons de conduction) soumises à F = q E
⇒ mouvement de dérive ⇒ courant électrique
Sens de déplacement des charges : sens opposé à E
⇒ Sens du courant : opposé au sens de déplacement des porteurs de charges
•/•
92
GB
4/ Vecteur densité de courant de conduction et intensité
a – Définition
Déplacement ordonné de charges de vitesse v
Densité de charges mobiles : nq
n : densité des porteurs de charge
q : charge d’un porteur (électron)
Durant dt : Distance parcourue par les porteurs : dl = v dt
Volume de la distribution de charges qui traverse dS : dV = dS × (dl cos θ) = dS • dl = dS • v dt
Charge qui traverse dS : nq dS • v dt
dQ
=
Pendant l’unité de temps :
dt
Charge totale qui traverse S :dQ =
∫∫ nq dS v dt
•
S
∫∫ nq v dS
dS
dl
•
S
Vecteur densité de courant de conduction : j = nq v
Définition : Intensité du courant qui traverse S : I =
dQ
=
dt
⇒
dQ
=
dt
∫∫ j
•
∫∫
j • dS
θ
dS
S
dS
S
Intensité du courant : Flux de j à travers S
Unité d’intensité du courant électrique I : Ampère (A)
de densité de courant j : A/m2
•/•
93
GB
b – Principe de conservation de la charge
Régime stationnaire : Système reste identique à lui même au cours du temps
Pas de variation de charge dans un volume donné
Régime non stationnaire : Variation de charge dans un volume donné
Si ∃ un courant sortant d’une surface fermée ⇒
la charge à l’intérieur de cette surface doit diminuer
dQ
d’une quantité correspondante :∫∫ j • dS = − i
V
dQi
=
dt
dS
dt
S
Or Qi = ∫∫∫ ρ dτ (V : volume enfermé par S) ⇒
j
∫∫∫
V
∂ρ
dτ
∂t
Qi −
dQi
dt
S
Théorème de la divergence : ∫∫ j • dS = ∫∫∫ div j dτ
S
⇒
∫∫∫
V
∂ρ

 div j +
 dτ = 0
∂t

⇒ div j +
V
∂ρ
=0
∂t
Principe de conservation de la charge
•/•
94
GB
5/ Loi d’Ohm locale
a – Définition
Deux surfaces d’un conducteur aux potentiels VA et VB (VA > VB) ⇒ E dans le conducteur
Mouvement d’un élément de volume dτ d’une distribution de charges mobiles de densité nq
- Force de Coulomb : df e = nq dτ E
- Interactions charges mobiles - ions fixes du réseau cristallin : df f = −a dτ v
(s’opposent au mouvement des charges mobiles. Se comportent comme une force de
frottement - modèle de Drude) a ≡ coefficient de frottement par unité de volume)
Principe fondamental de la dynamique
VA > VB
VB
VA
dv
dm
= nq dτ E − a dτ v
dt
nqdτ (q < 0)
df e
E
masse des porteurs de charge dans dτ : dm = δ dτ (δ : masse spécifique)
nq
dv
nq
dv a
E
= 0 ⇒ vl =
E Régime permanent :
+ v=
a
dt
dt δ
δ
n 2q 2
E ⇒ loi d’Ohm locale j = γ E
Avec j = nq v ⇒ j =
a
⇒
n 2q 2
: Conductivité du conducteur (ne dépend que du matériau)
γ=
a
•/•
95
GB
Remarques :
- vitesse limite atteinte au bout d’un temps extrêmement court
- j et E toujours de même sens ( ∀ signe des porteurs de charge)
- j et v l de sens opposés si les porteurs de charge sont des électrons
- E ⊥ équipotentielles ⇒ j également
b – Temps de relaxation diélectrique
Principe de conservation de la charge + loi d’Ohm locale
( )
∂ρ
∂ρ
j =γE
=0
⇒ div γ E +
=0
∂t
∂t
ρ
Théorème de Gauss : div E =
+ hypothèse de conducteur homogène (γ constant)
εo
t
−
ε
γ
∂ρ
τ
⇒ Solution ρ ( t ) = ρ o e D
τ D = o : constante de temps
⇒ ρ+
=0
γ
εo
∂t
div j +
( ε o ≈ 8,85 10 −12 F/m et
⇒ ρ ( t ) et
1
≈ 10 −8 SI pour le cuivre par exemple ⇒ τ D << 1 s )
γ
∂ ρ(t )
rapidement négligeables
∂t
⇒ div j ≈ 0 : Approximation du régime quasi-stationnaire
j est à flux conservatif
dans un conducteur
•/•
96
GB
c – Flux conservatif ?
Tube de courant : surface fermée S = S A + S B + Σ
Théorème de la divergence : appliqué à j et étendu à S
Surface latérale Σ infranchissable par les charges
en mouvement ⇒ flux de j à travers Σ ≡ 0
∫∫
⇒
j • dSA +
SA
⇒
∫∫ j
SB
∫∫
•
dSB = −
∫∫ j
•
dSA =
SA
∫∫ j
•
dS = ∫∫∫ div j dτ = 0
S
V
j
dS B
Σ
SA
dS'A
dS A
j • dSB = 0
SB
∫∫ j
SB
j
•
dS'A
SA
Courant qui traverse (qui sort de) SB : I B = ∫∫ j • dSB
SB
Courant qui entre dans SA :
⇒ I A = I B ∀ SA et SB
I A = ∫∫ j • dS'A
SA
•/•
97
GB
6/ Résistance d’un conducteur
a – Forme intégrale de la loi d’Ohm
Conducteur avec extrémités de sections SA et SB aux potentiels VA et VB ( VA > VB )
∀ M ∈ conducteur, ∃ j (M )
Ligne de courant C qui passe par M est également ligne de champ
B
B
Le long de C : VB − VA = − ∫ E • dr
⇒ ∆V = VA − VB =
A
∫
j
• dr
γ
VA > VB
SB
A
Or I = ∫∫ j • dS j : vecteur à flux conservatif ( div j ≈ 0)
SA
C
M
VA
dS
S dr
j
VB
S
(Intensité ≡ ∀ la section du conducteur)
Si en tout point j → α j ⇒ I → I' = αI et ∆V → ∆V ' = α∆V
Donc
∆V' ∆V
=
= cste R : constante de proportionnalité nommée résistance électrique
I'
I
du conducteur
∆V = RI : loi d’Ohm intégrale
1 volt
Unité : ohm (Ω) 1 ohm =
1 ampère
Symbole :
⇒ Unité de conductivité γ : Ω-1m-1 (j = γE)
R
•/•
98
GB
b – Cas du conducteur homogène filiforme rectiligne
Conducteur longueur L et section S soumis à une ddp ∆V
I = jS = γ E S
∆V = E L =
Résistivité du conducteur :
I
L
γS
⇒R=
1L
γ S
1
= inverse de la conductivité. Unité de résistivité : Ωm
γ
Remarque : Mesure de la conductivité d’un conducteur
⇒ Mesure du courant et de la ddp à ses bornes : γ =
L I
S ∆V
Exemple du fil conducteur : L=100 m, S =1 mm2 soumis à une ddp ∆V = 1 V ⇒ I = 0,58 A
⇒γ=
100 0,58
7 −1 -1
≈
5,8
10
Ω m
-6 1
10
c – Résistance du corps humain
Résistance courante du corps humain (entre les deux mains) ≈5 kΩ (de 1 kΩ à 100 kΩ)
Courant continu de 50 mA est fatal ⇒ ddp entre 50 V et 5000 V
25 V : Valeur de sécurité retenue
•/•
99
GB
d – Association de résistances
1/ ASSOCIATION EN SÉRIE
Même courant et les ddp s’ajoutent :
U = ∑ R i I = R éq I ⇒ R éq = ∑ R i
i
R1
i
R2
2/ ASSOCIATION EN PARALLÈLE
ddp identique U = R 1I1 = R 2 I 2 = ...
Les intensités s’ajoutent :
I = ∑ Ii
i
⇒I=∑
i
U
U
1
1
=
⇒
=∑
R i R éq
R éq
i Ri
R1
R2
•/•
100
GB
7/ Energie - Effet Joule
a – Forme locale
Action de E ⇒ charges mobiles (densité volumique nq) dans dτ soumises à df e = nq dτ E
Déplacement élémentaire dl de dτ à vitesse v durant dt : dl = v dt
Travail élémentaire effectué par dF : dT = df e • dl = nq dτ E • v dt
Avec j = nq v ⇒ dT = j • E dτ dt
2
Par unité de temps et de volume ⇒ Densité de puissance : p = j • E = γ E =
j
γ
2
Positive ⇒ puissance reçue par le conducteur
C’est le générateur (en soumettant les extrémités du conducteur à une ddp) qui fournit de
l’énergie aux charges
- Ces charges se déplacent en luttant contre les forces de frottement
- Le travail des forces de frottement est dissipé en chaleur
- Cet effet calorifique est l’effet Joule
•/•
101
GB
b – Forme intégrale
Conducteur de volume V et ddp VA − VB aux bornes
Puissance totale dissipée dans le conducteur : P = ∫∫∫ j • E dτ
dl
V
Élément de tube de courant entourant j : longueur dl , surface de base dS
(avec j // dl )
(
⇒Volume dτ = dl • dS ⇒ P = ∫∫∫ j • E dl • dS
)
V
Puisque j // dl ⇒ P =
∫∫∫
( )
E • dl j • dS =
V
dτ





∫ ∫∫
C
A→B
B
dS
j
S
dS


j • dS  E • d l


= I ∫ E • dl = I (VA − VB )
dl
(Puisque I est constant)
A
2
Avec VA − VB = RI ⇒ Puissance totale dissipée dans le conducteur P = RI
C’est la forme intégrale de l’effet Joule
Unité : watt (W)
•/•
102
Chapitre II
GB
INDUCTION MAGNÉTIQUE CRÉÉE
PAR LES COURANTS
1/ Historique et premières définitions
a – Observations
Jusqu’en 1820, magnétisme uniquement produit par des aimants naturels à
base de magnétite.
Ørsted (1821) montra (par hasard) qu'un fil conducteur parcouru par un
courant électrique influence l'aiguille d'une boussole située à proximité
Il fut incapable d'expliquer ce phénomène
Ampère : ‘Si un courant dans un fil exerce une force sur une aiguille de boussole, deux
fils parcourus chacun par un courant doivent interagir’
Expérimentalement, il montre que cette interaction est simple : des courant parallèles
s'attirent, des courants de sens contraire se repoussent.
•/•
103
GB
b – Force magnétique
Force entre deux fils parcourus par des courants
Intensité de la force : dépend de la distance entre les fils, de la longueur de ceux-ci
et de l’intensité des courants
Sens : dépend de la direction relative des courants
• Fils // ∈ plan ⇒ force maximum
Courants de même sens
⇒ attraction
i1
i2
• Fils ⊥ ⇒ force nulle
Sens inversé
⇒ répulsion
i1
i2
i1
i2
- Champ E : Rend compte de l’action à distance entre charges statiques (loi de Coulomb)
- Comportement des forces ici observées ⇒ champ vectoriel : induction magnétique B
créé par un circuit au voisinage du second
•/•
104
GB
c – Champ d’induction magnétique – Loi de Laplace
Idl
Force magnétique sur le circuit C1 : proportionnelle à
dFm
i
- Intensité i du courant qui traverse C0
C0
C1
- Longueur de C1
- Intensité I du courant qui traverse C1 - Perpendiculaire à C1
⇒ Caractérisation d’un élément de courant :
vecteur élémentaire I dl colinéaire et de même sens que I qui parcourt C1
 I dl x
 B11


Soit Idl =  I dl y
Force magnétique sur Idl x : dF1 = I dl x  B12
B
 I dl
 13
z

 B31
 B21


De même pour Idl y et Idl z : dF2 = I dl y  B22
dF3 = I dl z  B32
B
B
 23
 33
B ij caractérisent le champ d’induction magnétique créé en I dl par le circuit C0
 B11 dl x + B21 dl y + B31 dl z

⇒ force dF m = dF1 + dF 2 + dF 3 ⇒ dF m = I B12 dl x + B22 dl y + B32 dl z
 B dl + B dl + B dl
23
y
33
z
 13 x
 B11 B21 B31  dl x 



⇒ Induction magnétique
⇒ dFm = I [B] dl
⇒ dF m = I  B12 B22 B32  dl y 
caractérisée par la matrice [B]
B



•/•
 13 B23 B33  dl z 
105
GB
Expérimentalement : dF m ⊥ dl ⇒ dF m • dl = 0
I dl
⇒ ∀ dl :
dF m
B11 dl 2x + B 22 dl 2y + B33 dl 2z + (B12 + B 21 ) dl x dl y + (B 23 + B32 ) dl y dl z + (B31 + B13 ) dl x dl z ≡ 0
 B11 = B22 = B33 = 0
B = − B
21
⇒  12
 B13 = −B31

 B23 = −B32
 0

⇒ [B] =  − Bz

 By
Bz
0
− Bx
 Bx

Notation : B =  B y
B
 z
B21
 0

⇒ [B] =  − B21
0
 B
 13 − B32
− B13 

B32 
0 
B x = B32
On pose  B y = B13
 Bz = B21
B
− By 

Bx 

0 
 Bz dl y − B y dl z

⇒ dFm = I  B x dl z − Bz dl x
 B dl − B dl
x
y
 y x
 dl x   B x 

  
⇒ dFm = I  dl y  ∧  B y 
 dl   B 
 z  z
Idl
C
dF m
⇒ dF m = Idl ∧ B
⇒ Loi de Laplace
B est le champ d’induction magnétique en I dl créé par le circuit Co
Traduit l’observation : dF m ⊥ I dl , I dl change de sens ⇒ dF m change de sens
•/•
106
GB
d – Nature du vecteur champ d’induction magnétique B
dF m et I dl : vecteurs polaires, Πs plan de symétrie
I dl et B // ∈ Πs
dF m = Idl ∧ B
dF m
α
Πs
B//
Symétrie ⇒
Πs
I dl
B'//
π−α
I dl
'
'
dF m
dFm' = Idl B'// sin (π − α ) = Idl B'// sin α
dFm = Idl B// sin α
⇒ B'// = − B //
Composante // plan de symétrie change de signe
dF m ∈ Πs , B ⊥ Πs
dFm = dF'm
B⊥
α
Πs
B'⊥
I dl
dF m
dFm = Idl B⊥ sin α
Symétrie ⇒
Πs
Idl ⇒ Idl '
⇒ Sens de B⊥ inchangé
dFm' = Idl B'⊥ sin (π − α )
= Idl B'⊥ sin α
'
dF m
α
I dl '
⇒ B'⊥ = B ⊥
Composante ⊥ plan de symétrie inchangée
⇒ Vecteur induction magnétique : vecteur antisymétrique
(vecteur transformé en l’opposé de son symétrique) Vecteur axial
•/•
107
GB
2/ Règles de symétrie pour les vecteurs axiaux (pseudo-vecteurs, vecteurs anti-symétriques)
Sens : pas prédéterminé
⇒ Convention liant une translation à une rotation
Résultat d’un produit vectoriel de deux vecteurs polaires
Exemples : moment cinétique , vitesse de rotation instantanée
Notés A
Transformation du vecteur axial par rapport à un plan de symétrie
Conservation de la composante ⊥ au plan de symétrie
Inversion des composantes // au plan de symétrie
Πs
Πs
⇒Dénomination de vecteur antisymétrique :
transformé en l’opposé de son symétrique
•/•
108
GB
Remarque : Plan d’antisymétrie (Anti –miroir)
Transformation d’un vecteur axial par rapport à un plan d’anti-symétrie
Conservation des composantes // au plan d’antisymétrie
Πa
Πa
Inversion de la composante ⊥ au plan d’antisymétrie
Rappel : Principe de Curie
Si un système physique (source) admet une symétrie, les grandeurs (en particulier les
vecteurs) qui permettent d’analyser les effets produits par ce système, admettent aussi
cette symétrie
•/•
109
GB
(i) Cas du plan de symétrie
A(M )
A(M )
A' (M)
Système physique
M
•
Trace de ΠS
créant A(M)
Πs : plan de symétrie du système et M ∈ Πs
Soit A(M ) caractérisant l’effet produit par ce système (exemple : champ magnétostatique
créé par des courants)
A(M ) orienté a priori de façon quelconque par rapport à Πs
Symétrie •⁄ • Πs : A(M )
A' (M ) (Antisymétrique de A(M ) par rapport à Πs)
Opération de symétrie système physique reste inchangé A(M ) doit être aussi inchangé
A(M ) = A' (M ) ⇒ A(M ) ⊥ Πs
Lorsqu’un système physique créant un champ A possède un plan de symétrie Πs
⇒ ∀ M ∈ Πs , nécessairement A(M) ⊥ Πs
Recherche des plans de symétrie du système
⇒ Détermination de la direction des champs produits
•/•
110
GB
(ii) Cas du plan d’antisymétrie
A(M )
Système physique
M
•
A(M ) Trace de Πa
créant A(M)
A' (M)
Πa plan d’antisymétrie, M ∈ Πa et A(M ) caractérise l’effet produit par ce système
Opération d’antisymétrie •⁄ • Πa : (Antisymétrie de A(M ) par rapport à Πa
+ inversion de sens)
⇒ A(M )
A' (M )
A(M ) invariante par cette opération : A(M ) = A' (M ) ⇒ A(M ) ∈ Πs
Lorsqu’un système physique créant un champ A possède un plan d’antisymétrie Πa
⇒ ∀ M ∈ Πa , nécessairement A(M) ∈ Πa
RÉSUMÉ
⇒
Vecteurs polaires
M ∈ Πs ⇒ P (M )∈ Πs
M ∈ Πa ⇒ P (M )⊥ Πa
Vecteurs axiaux
M ∈ Πs ⇒ A(M ) ⊥ Πs
M ∈ Πa⇒ A(M ) ∈ Πa
•/•
111
GB
3/ Force de Laplace
Remarques préliminaires
1. - Tube élémentaire de courant : Section dS , Longueur dl ,Vecteur densité de courant j
En tout point de ce tube I = j • dS
dl
(
)
⇒ I dl = j • dS dl
dS
(
)
j
Puisque dl // j ⇒ Idl = dl • dS j ⇒ Idl = j dτ
2. - De plus j dτ = nqdτ v = dQv ( dQ : charge de conduction dans dτ )
⇒ dF m = Idl ∧ B ou dFm = j ∧ B dτ ou dFm = dQ v ∧ B (non relativiste v <<c)
⇒ Charge Q animée d’une vitesse v ⇒ soumise à la force de Laplace Fm = Q v ∧ B
v ∧ B : même rôle que le champ E c’est le champ de Lorentz E L = v ∧ B
Fm = Q E L
Fe = Q E
REMARQUES :
- Puisque F m ⊥ v ⇒ F m n’effectue aucun travail ⇒ ne peut servir à faire varier l’énergie
cinétique de la particule
- Unité de l’induction magnétique : le Tesla (T)
•/•
112
GB
4/ Forces sur les électrons de conduction – Magnétorésistance
a – Définitions : Champ électromagnétique – Force de Lorentz
( )
- Lorsque E et B co-existent dans une région ⇒ E, B : champ électromagnétique
( )
- Particule de charge Q placée dans une région ou règne E, B :
⇒ soumise à une force totale F = Q E + v ∧ B : Force de Lorentz
(
)
b – Magnétorésistance
Conducteur :
porteurs mobiles : électrons de conduction
nq : densité de charge des porteurs mobiles
(n : densité des porteurs, q : charge d’un porteur - Pour un électron q = −e)
( )
Conducteur soumis à E , B : charges mobiles dans dτ soumises à :
(
)
- Force de Lorentz dFL = nq E + v ∧ B dτ ( v: vitesse des charges)
- Interaction avec ions fixes ⇒ force de frottement fluide dFf = −a v dτ
(a ≡ coefficient de frottement par unité de volume)
Régime stationnaire ( v : vitesse limite constante) ⇒ dFL + dFf = 0
•/•
113
a
⇒E+v∧B=
v
nq
GB
a
⇒ v doit satisfaire à : E =
v−v∧B
nq
Vecteur densité de courant : j = nq v
n 2q 2
Conductivité du milieu (en l’absence de champ ) : γ =
a
⇒
j
1
=E+
j ∧B
γ
nq
⇒ j n’a plus la direction de E ⇒ conductivité du matériau modifiée : magnétorésistance
1
j ∧B
nq
E,
B
nqdτ
j
1
j ∧ B et ∈ au même plan P
γ
nq
j ∧B ⊥
E⊥
E // =
j
γ
j
γ
j et j ∧ B ∈ P
E
⇒B ⊥ P
P
⇒ Introduction de deux champs
– l’un // à j (champ ohmique) : E // =
j
γ
– l’autre ⊥ à j : Champ de Hall E ⊥ = −
//
1
j ∧B
nq
⇒E =E +E
⊥
Magnétorésistance longitudinale et magnétorésistance transverse
•/•
114
GB
B
c – Champ de Hall
+
Ruban conducteur parcouru par un courant suivant sa longueur
Régime stationnaire : courant caractérisé par j = nq v
Charges mobiles nqdτ (< 0)
B ⊥ plan du ruban
(
+ +
+
+
+
l
)
j
dF H
dτ
_
_
EH
_
dF
_
_
_
dτ soumis à dF = nq v ∧ B dτ = j ∧ B dτ
L
⇒ Polarisation du conducteur : Accumulation d’électrons (charges < 0) sur la face Face , dépeuplée d’électrons, se charge > 0
⇒ Apparition d’un champ induit E H (champ de Hall)
⇒ E H exerce à son tour sur dτ une force dFH = nq E H dτ qui s’oppose à dF
Régime permanent : dFH + dF = 0 ⇒ nq E H + j ∧ B = 0
⇒ EH = −
1
j ∧B
nq
Exemple d’application :
ddp V entre et : V = L E H
En norme : j B = ne E H
courant qui traverse la plaque : I = j l L
⇒ Densité des porteurs de charges : n =
IB
l Ve
•/•
115
GB
5/ Expressions de l’induction magnétique créée par des courants
a – Loi de Biot et Savart
M•
Provient de l’expérimentation
I
II
dB
I 2 dl 2
I 2 dl 2
•
M
I 2 dl 2
dF m = I 2 dl 2 ∧ dB
•
Idl
- dF m maxi pour I dl // I 2 dl 2
P
M
- dF m = 0 si I dl ⊥ I 2 dl 2
I et II compatibles si dB ⊥ Idl
dB •
M dF m = 0
Idl P
(r : distance - ) ⇒ dB = K '
dB
u
r
⇒ dB suivant Idl ∧ u ( u : vecteur unitaire sur PM)
r
( K’ = constante : dépend du milieu)
dF m
I 2 dl 2
r
2
r
1
dF m
P
- Nulle pour dB // I 2 dl 2
De plus : Force ~
dB
Action de l’induction dB créée sur (I2dl2) :
- Maxi pour dB ⊥ I 2 dl 2
dF m = 0
Idl
dB
Idl ∧ u
r
2
I 2 dl 2
•
M
dF m
•/•
116
GB
⇒ Induction magnétique en M créée par n’importe quel circuit C parcouru par un courant I
BM = K '
∫
I dl ∧ u
r2
C
⇒ loi de Biot et Savart
BM
•M
r
P
•
u
Idl
C
•/•
117
GB
b – Calcul de l’induction magnétique créée par quelques distributions de courant
(i) Induction créée par un fil infini rectiligne parcouru par un courant
(
Symétrie cylindrique : Repère u ρ , u θ , u z
(
Plan de symétrie : u ρ , u z
) en M
) B(M ) suivant u
θ
∀ P, direction constante pour dB(M ) : ⊥ plan  Idl, u  + même sens ⇒ suivant u θ


⇒ Somme des normes des dB(M ) créés par tous les Idl
Pour Idl en P : dB(M ) = K '
Idl sin β
dα

l
l
=
a
tan
α
⇒
d
=
a

cos 2 α

a
a2

2
 cos α = r ⇒ r =
cos 2 α

I
⇒ B(M ) = K '
a
π2
∫
r2
= K'
Idl cos α
r2
a
I
⇒ B(M ) = 2K ' u θ
a
M
α
u θ dB
B(M )
uρ
l
r
I
cos α dα = K ' [sin α ]+− ππ 22
a
−π 2
uz
I
β
Idl
P
u
Lignes de champ :
Cercles ayant pour
axe le fil rectiligne
•/•
118
GB
(ii) Induction créée en un point de l’axe d’une boucle circulaire parcourue par un courant
Tous les plans contenant l’axe de la boucle sont des plans d’antisymétrie
B ∈ à ces plans B est nécessairement sur l’axe
∀ P sur la boucle : Idl ⊥ u
⇒ dB(M ) = K '
B z (M )
Idl
r2
Composante effective : dBz (suivant u z )
dB(M )
Norme : dBz (M ) = dB(M ) cos α
⇒ Bz (M ) = K '
R

cos
α
=

r
 2
2
2
r = z + R
I
r
2
•
2 πR
cos α
R
∫ dl = 2πK' I r
2
cos α
(z
R2
r
u α
R
2
+R
)
2 32
uz
P
M
uz
•
O
B z (M ')
3
•
M’
Induction sur l’axe de la boucle à grande distance de celle-ci : Bz (M ) = 2πK ' I
(z >> R au premier ordre en z/R)
●
I
Idl
cos α
uz
R
Remarque : Signe de B inchangé si z < 0
Car vecteur axial : plan de la boucle est plan de symétrie
Composante normale au plan de symétrie inchangée
= 2πK ' I
Lignes de
Champ B
z
0
⇒ Bz (M ) = 2πK ' I
dB z (M )
α
R2
z
3
uz
•/•
119
GB
c – Système d’unité rationalisé
L’ampère : Intensité du courant telle que deux fils rectilignes // placés dans le vide à 1 m
l’un de l’autre exercent entre eux une force de 2 10-7 N par mètre de fil
Norme de B créé par un fil parcouru par I1 à distance a de celui-ci : B = 2K '
l
Pour une longueur l2 : Fm = I 2 l 2 B = 2K ' I1I 2 2
a
⇒ K ' = 10 −7 N A −2
I1
Introduction de µo : perméabilité magnétique du vide K ' =
I1
a
B
a dF m
I 2 dl 2
µo
4π
Valeur numérique : µ o = 4π 10 −7 N A −2
Remarques :
- Perméabilité magnétique µ des milieux ‘usuels’ est proche de celle du vide : µ = µ o
⇒ Biot et Savart pour un circuit C parcouru par I : B =
µo
4π
∫
C
I dl ∧ u
r2
•/•
120
GB
d – Expression de l’induction magnétique en fonction de la distribution de la densité de
courant
µ j ∧u
Tube élémentaire de courant : dIdl = j dτ ⇒ Loi de Biot et Savart dBM = o 2 dτ
4π r
r
r
1
µ
1
Avec u = et grad   = − 3 ⇒ dB M = o grad   ∧ j dτ
dB M
r
r
r
4π
r
 
W 1
µ o   j
1


Or rot   = rot W + grad   ∧ W ⇒ dBM =
rot
4π   r
r
 r  r
M

 1
 − rot j  dτ
 r


r
j
dτ
j
µo
rot  dτ
j = γ E et rot E = 0 (régime permanent) ⇒ dBM =
4π  r 
Intégration dans tout l’espace D∝ comprenant des distributions de courant
BM =
µo
j ∧u
dτ
∫∫∫
2
4π D r
∞
ou
BM =
j
µo

rot
∫∫∫
r
4π D

∞
u
P

 dτ


•/•
121
GB
6/ Propriétés fondamentales de l’induction magnétique
a – Expression locale

µ
Induction créée en un point : B = o ∫∫∫ rot

4π D

(
)
Or ∀ W, div rot W ≡ 0
j
r

 dτ


  j 
µo
⇒ div B =
div rot  dτ
∫∫∫
4π D
  r 
⇒ div B = 0
b – Expression intégrale
Flux de B à travers une surface fermée Σ :
∫∫ B dS
•
Σ
Théorème de la divergence :
∫∫
Σ
B • dS =
∫∫∫
D
div B dτ ⇒
∫∫ B dS = 0
•
Σ
B est un vecteur à flux conservatif (Propriété intrinsèque de B )
•/•
122
GB
c – Nature des forces de Laplace
dS
Circuit filiforme C parcouru par i constant et soumis à B uniforme
C
i dl
Chaque i dl de C est soumis à df = i dl ∧ B
dl '
Déplacement de C d’un chemin élémentaire dl'
(
)
B
(
⇒ Travail de df : dT = df • dl' = i dl ∧ B • dl'= i B • dl' ∧ dl
(
) (
)
)
[règle du produit mixte :V1 • V 2 ∧ V3 = V1 ∧ V 2 • V3]
dl' ∧ dl : aire dS balayée par dl au cours du déplacement dl' ⇒ dT = i B • dS
Circuit C complet (déplacement quelconque de C ) ⇒ Σ aire totale balayée ⇒ T = i
Déplacement global de C le long d’une trajectoire fermée L :
C balaye une surface S fermée ⇒T = i
∫∫ B dS
∫∫ B
•
dS
Σ
L
C
dl '
•
Σ
⇒ T = 0 Forces de Laplace sont conservatives (Travail ne dépend pas du chemin suivi)
d – Remarque
- Électrostatique : div E = ρ ε o Magnétostatique : div B = 0 ⇒ Pas de ‘charges magnétiques’
Lignes de champ magnétique : ne peuvent jamais sortir ni s’arrêter
se referment sur elles-mêmes en boucles
•/•
123
GB
Chapitre III
POTENTIEL-VECTEUR DE
L’INDUCTION MAGNÉTIQUE
1/ Définition
Électrostatique, propriété fondamentale : rot E = 0 ⇔ E = − grad V
( (
) )
Propriété fondamentale de l’induction magnétique B : div B = 0 ⇔ B = rot A div rot A = 0
⇒ On peut toujours relier B à un champ A appelé potentiel-vecteur de l’induction
2/ Expression du potentiel-vecteur en fonction des sources
µ
Puisque B(M ) = o
4π
∫∫∫
D

 j (P ) 
 dτ p = rot  µ o
rot 
 r 
 4π



µ
avec B = rot A ⇒ A(M ) = o
4π
∫∫∫
D
j (P )
dτ p
r
∫∫∫
D
P
dτp


j (P )
dτ p 
r


r
j(P )
Propriétés : A → 0 lorsque r → ∞
A : vecteur polaire (de même nature que j )
M
•
A(M)
D
•/•
124
GB
3/ Expression du potentiel-vecteur dans le cas d’un circuit filiforme
µ
A (M ) = o
4π
∫∫∫
j (P )
µ
dτ p = o
r
4π
D
dl
S
C



C
∫ ∫∫
S

 dl
j • ds 
 r

⇒ A(M ) =
µo I
4π
∫
C
dl
r
dS
j
•/•
125
GB
5/ Relation entre le potentiel-vecteur et les sources
Projection de A sur l’axe Ox d’un repère cartésien ⇒ A x =
µo
4π
∫∫∫
jx
dτ
r
V∞
1
Analogie avec l’expression du potentiel scalaire de l’électrostatique : V =
4πε o
µo
1
avec ρ → jx et
→
4πε o
4π
∫∫∫
ρ
dτ
r
V∞
∆A x + µ o j x = 0
ρ
= 0 (Équation de Poisson) ⇒ par identification :  ∆A y + µ o j y = 0
Puisque ∆V +
εo
 ∆A z + µ o jz = 0
()
⇒ Équation vectorielle ∆ A + µ o j = 0
•/•
126
GB
6/ Jauge de Coulomb
Électrostatique : E = − grad V ⇒ V à une constante près
Si V' = V + C (C = constante), on retrouve E ( grad C = 0 )
Magnétostatique : différents A peuvent redonner les mêmes B
Soit B = rot A et B = rot A'
(
)
Or rot grad Φ ≡ 0 ⇒ ∀ Φ
(
)
⇒ rot A' − A = 0
A' = A + grad Φ
(Changement de jauge)
⇒ A défini à un gradient d’une fonction scalaire quelconque près
Le choix de Φ est un choix de jauge
( B ne dépend pas de ce choix)
⇒ A est indéterminé
On s’appuie sur cette indétermination pour lui imposer une condition supplémentaire
On convient de prendre div A = 0 : jauge de Coulomb
(On verra que cette condition simplifie certains calculs en magnétostatique)
 B = rot A
⇒ A complètement défini par : 
 div A = 0
•/•
127
GB
Chapitre IV
THÉORÈME D’AMPÈRE
1/ Forme locale du théorème d’Ampère
Théorème Gauss ⇒ une des relation fondamentales de l’électrostatique : div E =
∃ relation similaire en magnétostatique
(
)
(
ρ
ε
) ( )
Pour tout champ de vecteur W ⇒ rot rot W = grad div W − ∆ W
()
Appliquée au potentiel-vecteur A ⇒ rot B = −∆ A
()
Or ∆ A + µ o j = 0 ⇒ rot B = µ o j
⇒ Forme locale du théorème d’Ampère
On avait associé E aux densités de charges ρ
On associe ici B aux densités de courants j
•/•
128
GB
2/ Forme intégrale du théorème d’Ampère
j (P)
Théorème de Stokes : ∀ S sur un contour fermé C :
∫∫ rot B
•
S
dS(P)
P
B(M)
dS = µ o ∫∫ j • dS = ∫ B • dl
S
S
C
M dl(M)
C
⇒ Forme intégrale du théorème d’Ampère
∫∫ j
•
I1
dS : courant total entouré par C
I2
I3
I4
I5
B(M)
S
dl
C
Courants Ii passant dans des circuits filiformes entourés par C
⇒ Autre expression du théorème d’Ampère :
∫B
•
dl = µ o
C
Courants > 0 s’ils obéissent à la règle du trièdre direct
∑I
i
i
M
•
+
< 0 sinon
•/•
129
GB
4/ Exemples d’application du théorème d’Ampère
a – Fil infini
z
uz
Symétrie cylindrique
I
Plan passant par M et contenant le fil est plan de symétrie
z
O
B (vecteur axial) est ⊥ à ce plan ⇒ dirigé suivant u θ
x
Tout plan ⊥ au fil est plan d’antisymétrie
A (vecteur polaire) est ⊥ à ce plan ⇒ dirigé suivant u z
Invariances : en rotation suivant θ et en translation suivant z ⇒
Chemin le plus adéquat : cercle d’axe Oz de rayon ρ
uθ
ρ
uρ
M
y
θ
B = B(ρ) u θ
A = A(ρ) u z
I
B tangent en tout point de ce cercle (tout comme dl )
avec norme constante en tout point de ce cercle
⇒ ∫ B • dl = µ o I ⇒ 2πρB = µ o I ⇒ B =
C
Puisque B = rot A ⇒ B = −
µoI
uθ
2π ρ
µ I
dA z
dA
uθ ⇒ o = − z
2π ρ
dρ
dρ
B
ρ
dl
⇒ A(ρ) − A(ρo ) =
ρ 
µo I
ln  o  u z
2π
 ρ 
•/•
130
(
)
Plan d’antisymétrie : u ρ , u z
I
uθ
M
uρ
θ
y
⇒ B suivant u z
)
⇒ A suivant u θ
 B = B(ρ ) u z
Invariances : en rotation suivant θ et en translation suivant z ⇒ 
A = A(ρ ) u θ
B
uz
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
(
ρ
z
O
x
Plan de symétrie : u ρ , u θ
uz
b – Solénoïde infini
z
n spires jointives par unité de longueur
parcourues par un courant I
Symétrie cylindrique M(ρ, θ, z)
GB
I
(i) Induction sur l’axe
µ o cos 3 α
uz
I
Rappel : 1 spire parcourue par I : Bz (M ) =
2
R
Longueur dz du solénoïde : ndz spires
dB =
µo
cos α
nIdz
uz
2
R
B
•
3
z = R tan α ⇒ dz = R
axe
dB
µ
= o nI u z
2
+π 2
z
dα
cos α
2
dB =
∫ cos α dα = µ nI u
o
−π 2
M
µo
nI cos α dα u z
2
uz
α
O
R
dz
z
I
•/•
131
GB
(ii) Induction en tout point (utilisation du théorème d’Ampère)
∫
B
int
•
[
]
[
]
∆l
dl = 0 = Baxe − Bint (ρ1 ) ∆l = µ o nI − Bint (ρ1 ) ∆l
C
⇒ Bint (ρ1 ) = µ o nI
⇒B
int
C
B
ext
=0
= µ o nI u z
- Circuit C ‘à cheval’ sur les spires
∫
[
]
ext
B • dl = µ o n∆l I = µ o nI − B ∆l ⇒ B
ext
=0
C
(iii) Potentiel-vecteur
B = rot A ⇒
∫∫
Σ
∫
B • ds = A • dl
πρ 2 Bint = 2π ρA int (ρ) ⇒ A
int
πR B
int
= 2 π ρA
ext
(ρ)
⇒A
A
ext
int
B = cste
A
int
C
ρ1
∆l
uz
(ρ) = µ o n I ρ
2
L
2
Baxe
ext
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
- Circuit C entièrement situé à l’intérieur avec un
des côtés du rectangle confondu avec l’axe (largeur ρ1 )
Circuit adéquat C : Rectangle avec grands côtés ( longueur ∆l ) // à l’axe
B
ext
=0
uθ
R2
(ρ) = µ o n I
uθ
2ρ
•/•
132
GB
B
µonI
ρ
0
R
A
µ o nI
R
2
ρ
0
R
•/•
133
z
c – Bobine toroïdale
GB
C
N spires jointives parcourues par un courant I
Symétrie cylindrique M(ρ, θ, z)
(
Plan de symétrie : u ρ , u z
z
C
uz
)
ρ
z
O
⇒ B suivant u θ
C
C
uθ
Bint
uρ
M
y
x
θ
Invariances :
en rotation suivant θ ⇒ B = B(ρ, z ) u θ
C
Circuit adéquat : Cercle C d’axe z’z
I
- Circuit C entièrement situé à l’extérieur du tore
C
Toute surface Σ s’appuyant sur C peut très bien ne
∫
couper aucune spire ⇒ B
ext
•
dl = 0 ⇒ B
ext
I
C
+
R
C
+a
z'
=0
C
- Circuit C entièrement situé à l’intérieur du tore
∫
C
B
int
•
dl = µ o NI
 Bint = B(ρ, z ) u
θ

dl = dl u θ
⇒B
Remarque : Si a << R : Bint constant B
int
int
≈
( ρ) = µ o NI u θ
2πρ
µ o NI
uθ
2πR
•/•
134
GB
d – Plaque conductrice infinie parcourue par un courant de densité j
Repère Oxyz avec plan xOy // plaque et situé à mi-épaisseur
(
Plan de symétrie : u x , u z
)
⇒ B suivant u y
Invariances en x et y
z
B axial ⇒ B (− z ) = − B (z )
B(z )
uz
C
ux
y
uy
O
⇒ B = B(z ) u y
e/2
j
j
e/2
x
∆l
B(− z )
Contour adéquat : Rectangle
avec côtés // à u y et u z
Entre les cotes +z et −z
∆l : longueur suivant u y
∫
∫B
B
ext
•
C
C
dl = Bext (z )∆l + Bext (− z )∆l = µ o j e ∆l ⇒ B
dl = 2Bint (z )∆l = 2 µ o j z ∆l ⇒ B
int
int
•
ext
(z ) = −µ o j e u y
2
(z ) = −µo j z u y
•/•
135
GB
B
µo j
e
2
e/2
−e/2
0
− µo j
e
2
z