Etude numérique de la turbulence magnéto

Universit ´eLibre de Bruxelles
Facult ´e des Sciences Appliqu ´ees
Service d’A´ero-Thermo-M´ecanique
Etude numérique de la turbulence
magnéto-hydrodynamique dans le
procédé de Czochralski
Rapport d’avancement intermédiaire
Xavier Dechamps
Aspirant FRS - FNRS
Campus du Solbosch
Bâtiment L, porte E, bureau L2-112
Tel = +32-2-650.49.89
[email protected]
Promoteur :
Prof. Gérard Degrez
Comité d’accompagnement :
Prof. Daniele Carati
Prof. François Dupret
Prof. Bernard Knaepen
Collaborateur scientifique :
Doct. Ir. Michel Rasquin
Année académique 2010 - 2011

Résumé
Ce présent travail constitue la suite de plusieurs travaux antérieurs. Ces travaux se
sont concentrés sur la réalisation d’un code résolvant les équations de Navier-Stokes
pour un écoulement incompressible avec une direction de périodicité. Le solveur mis au
point est une combinaison entre les méthodes des éléments finis dans un plan et spec-
trale dans la direction de périodicité (repère cartésien ou axisymétrique). Quelques
modèles LES de turbulence ont été incorporés, ce qui définit complètement le pro-
gramme SFELES (Spectral/Finite Element Large Eddy Simulation).
Pour continuer à compléter ce programme, il est envisageable d’étendre les capaci-
tés à celle de l’étude d’écoulements incompressibles de fluides possédant une certaine
conductivité électrique et pouvant donc réagir à la présence d’un champ magnétique
extérieur. Ce type d’écoulement caractérise la magnétohydrodynamique (MHD), sujet
d’étude dont les prémices remontent à Faraday. La combinaison du champ magnétique
extérieur et de la conductivité électrique du fluide est à l’origine d’un courant élec-
trique au sein de l’écoulement. Ce courant va alors créer un champ magnétique induit.
L’interaction entre le champ magnétique total et le courant est source d’une force de
volume, force qui va alors influencer l’équilibre des équations de conservation de la
quantité de mouvement. Dans ce travail, on considère l’approximation quasi-statique
des équations de la MHD en supposant que les composantes du champ magnétique
induit sont beaucoup plus faibles en amplitude que celles du champ imposé. On se
limite donc au cas de bas nombres de Reynolds magnétique, cas de figure typiquement
rencontré pour les écoulements de métaux liquides.
Durant les deux premiers mois, le travail s’est concentré sur la découverte des prin-
cipales caractéristiques de la magnétohydrodynamique ainsi que sur la familiarisation
du programme SFELES. Au cours des recherches, il est apparu que deux formula-
tion équivalentes étaient disponibles pour caractériser le champ électromagnétique,
l’une sur le champ magnétique induit, l’autre sur le potentiel électrique. Sur base de
ces nouvelles connaissances, il a pu être possible de déterminer les conditions à res-
pecter point de vue énergétique pour assurer la stabilité du calcul numérique. Ceci
a permis de réaliser le choix de la formulation permettant de caractériser le champ
électromagnétique. La formulation étant choisie, il a enfin été possible de déterminer la
discrétisation éléments finis/spectrale des nouveaux termes qui se rajoutent par rapport
au cas hydrodynamique. Au fur et à mesure des résultats qui apparaissaient, certaines
retouches ont dû être réalisées (rajout de termes de stabilisation, adaptation du facteur
de stabilisation,...) pour finalement aboutir au programme actuel.
i

Table des matières
1 Introduction 1
1.1 Contextegénéral ................................ 1
1.2 Objectifsdecetravail.............................. 2
1.3 Structuredurapport .............................. 3
2 Equations de mouvement 5
2.1 Equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Equations de la magnétohydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Construction des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Adimensionnalisation des équations de la MHD . . . . . . . . . . 9
2.2.3 MHD quasi-statique - Formulation champ magnétique . . . . . . 11
2.2.4 MHD quasi-statique - Formulation potentiel scalaire . . . . . . . 13
2.2.5 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.6 Comparatif des deux formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Energétique 16
3.1 Energétique au niveau continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.1 MHD - Formulation champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.2 MHD - Formulation potentiel scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Energétique au niveau discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 MHD - Formulation champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.2 MHD - Formulation potentiel scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.3 MHD - Contributions des termes de stabilisation . . . . . . . . . . 21
3.3 Choixdelaformulation ............................ 22
4 Turbulence 24
4.1 Turbulence hydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Turbulence magnétohydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Discrétisation spaciale et spectrale 27
5.1 Version hydrodynamique de SFELES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.1.1 Stabilisation de la discrétisation éléments finis . . . . . . . . . . . 27
5.1.2 Discrétisation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.1.3 Intégration temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.1.4 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Version MHD de SFELES - repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.1 Equation scalaire du potentiel électrique . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.2 ForcedeLorentz ............................ 32
ii

5.2.3 Termes de stabilisation issus de la force de Lorentz . . . . . . . . 34
5.2.4 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.5 Récapitulatif............................... 39
5.3 Version MHD de SFELES - repère axisymétrique . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3.1 Equation scalaire du potentiel électrique . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3.2 ForcedeLorentz ............................ 42
5.3.3 Termes de stabilisation issus de la force de Lorentz . . . . . . . . 44
5.3.4 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.5 Récapitulatif............................... 48
6 About the new direct solvers 49
6.1 Introduction ................................... 49
6.2 Performance of SuperLU, UMFPACK and MUMPS as sequential solvers 50
6.3 Performance of the parallelization inside of SFELES . . . . . . . . . . . . 50
6.4 Performance of MUMPS as a parallel solver . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.4.1 Howitworks .............................. 53
6.4.2 Theresults................................ 54
7 Validation 57
7.1 Versioncartésienne ............................... 57
7.1.1 Plaques parallèles de dimensions infinies . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1.2 Ecoulement dans une canalisation de section carrée . . . . . . . . 62
7.1.3 Ecoulement dans une canalisation cylindrique . . . . . . . . . . . 67
7.1.4 Ecoulement de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2 Axisymmetricversion ............................. 75
7.2.1 Annular channel of infinite length . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2.2 Annular channel of square section . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Bibliographie 79
A Ecoulement en canalisation - solutions théoriques 82
iii

Chapitre 1
Introduction
1.1 Contexte général
Le thème de ce présent travail est la liaison entre l’étude théorique de la magnéto-
hydrodynamique (MHD) et la résolution numérique de dynamique des fluides (CFD).
La simulation numérique concerne tout ce qui s’apparente à l’approximation d’équa-
tions représentant la physique d’un problème. Pour ce faire, un ensemble de techniques
ont été peu à peu développées pour permettre une meilleure représentation de la so-
lution physique. Les débuts de ce domaine scientifique remontent aux années 1700
grâce aux découvertes mathématiques réalisées par Newton. A cette époque, faute de
moyens informatiques, ces découvertes restèrent au niveau de concepts novateurs. Les
premières traces de résolution numérique dans le cadre de la dynamique des fluides re-
montent aux premières années du 20ème siècle. En 1922, Richardson réalisa la première
prédiction météorologique sur base de la méthode des différences finies et grâce à la
collaboration de ses étudiants qui ont exécuté les calculs manuellement. Le développe-
ment d’ordinateurs dans les années 1950 a marqué le début de la mise en application
des différentes méthodes jusqu’alors restées au stade théorique. Alors réservée aux
applications militaires, ce n’est que vers les années 1960 que la résolution numérique
a pris un nouvel essort grâce à la démocratisation du matériel informatique. De nou-
velles méthodes se développèrent chacune dans des domaines de prédilection avec des
niveaux de complexités accrus au fur et à mesure des capacités matérielles.
La magnétohydrodynamique est la branche de la science qui traite de l’étude d’écou-
lements de fluides possédant une conductivité électrique non nulle et soumis à un
champ magnétique extérieur. Il s’agit du couplage entre les deux domaines assez dis-
tincts que sont la mécanique des fluides et l’électromagnétisme.
La mécanique des fluides traite de la détermination du comportement d’un fluide
en mouvement. Il est depuis longtemps connu que deux types d’écoulements ap-
paraissent suivant les conditions du problème. L’écoulement peut être laminaire en
présentant des caractéristiques lisses spatialement et temporellement. Par opposition,
l’écoulement peut être également turbulent, ce qui constitue de loin la plus grande par-
tie des situations. Un nombre caractéristique du passage de l’état laminaire à turbulent
est le nombre de Reynolds. L’échelle caractéristique de ce nombre est énorme : en effet,
on peut passer d’un ordre de grandeur unitaire pour caractériser le vol d’un insecte à
l’ordre du million pour le vol d’un avion gros porteur. Caractériser la turbulence est
une tâche ardue en raison de la très grande échelle spatiale présente. Les équations
1