Etude numérique de la turbulence magnéto

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Université Libre de Bruxelles
Faculté des Sciences Appliquées
Service d’Aéro-Thermo-Mécanique
Etude numérique de la turbulence
magnéto-hydrodynamique dans le
procédé de Czochralski
Rapport d’avancement intermédiaire
Xavier Dechamps
Aspirant FRS - FNRS
Campus du Solbosch
Bâtiment L, porte E, bureau L2-112
Tel = +32-2-650.49.89
xdechamp@ulb.ac.be
Promoteur :
Prof. Gérard Degrez
Comité d’accompagnement :
Prof. Daniele Carati
Prof. François Dupret
Prof. Bernard Knaepen
Collaborateur scientifique :
Doct. Ir. Michel Rasquin
Année académique 2010 - 2011
Résumé
Ce présent travail constitue la suite de plusieurs travaux antérieurs. Ces travaux se
sont concentrés sur la réalisation d’un code résolvant les équations de Navier-Stokes
pour un écoulement incompressible avec une direction de périodicité. Le solveur mis au
point est une combinaison entre les méthodes des éléments finis dans un plan et spectrale dans la direction de périodicité (repère cartésien ou axisymétrique). Quelques
modèles LES de turbulence ont été incorporés, ce qui définit complètement le programme SFELES (Spectral/Finite Element Large Eddy Simulation).
Pour continuer à compléter ce programme, il est envisageable d’étendre les capacités à celle de l’étude d’écoulements incompressibles de fluides possédant une certaine
conductivité électrique et pouvant donc réagir à la présence d’un champ magnétique
extérieur. Ce type d’écoulement caractérise la magnétohydrodynamique (MHD), sujet
d’étude dont les prémices remontent à Faraday. La combinaison du champ magnétique
extérieur et de la conductivité électrique du fluide est à l’origine d’un courant électrique au sein de l’écoulement. Ce courant va alors créer un champ magnétique induit.
L’interaction entre le champ magnétique total et le courant est source d’une force de
volume, force qui va alors influencer l’équilibre des équations de conservation de la
quantité de mouvement. Dans ce travail, on considère l’approximation quasi-statique
des équations de la MHD en supposant que les composantes du champ magnétique
induit sont beaucoup plus faibles en amplitude que celles du champ imposé. On se
limite donc au cas de bas nombres de Reynolds magnétique, cas de figure typiquement
rencontré pour les écoulements de métaux liquides.
Durant les deux premiers mois, le travail s’est concentré sur la découverte des principales caractéristiques de la magnétohydrodynamique ainsi que sur la familiarisation
du programme SFELES. Au cours des recherches, il est apparu que deux formulation équivalentes étaient disponibles pour caractériser le champ électromagnétique,
l’une sur le champ magnétique induit, l’autre sur le potentiel électrique. Sur base de
ces nouvelles connaissances, il a pu être possible de déterminer les conditions à respecter point de vue énergétique pour assurer la stabilité du calcul numérique. Ceci
a permis de réaliser le choix de la formulation permettant de caractériser le champ
électromagnétique. La formulation étant choisie, il a enfin été possible de déterminer la
discrétisation éléments finis/spectrale des nouveaux termes qui se rajoutent par rapport
au cas hydrodynamique. Au fur et à mesure des résultats qui apparaissaient, certaines
retouches ont dû être réalisées (rajout de termes de stabilisation, adaptation du facteur
de stabilisation,...) pour finalement aboutir au programme actuel.
i
Table des matières
1
Introduction
1.1 Contexte général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Objectifs de ce travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Structure du rapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Equations de mouvement
2.1 Equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Equations de la magnétohydrodynamique . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Construction des équations . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Adimensionnalisation des équations de la MHD . . . .
2.2.3 MHD quasi-statique - Formulation champ magnétique
2.2.4 MHD quasi-statique - Formulation potentiel scalaire .
2.2.5 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Comparatif des deux formulations . . . . . . . . . . . .
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Turbulence
4.1 Turbulence hydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Turbulence magnétohydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
Discrétisation spaciale et spectrale
5.1 Version hydrodynamique de SFELES . . . . . . . . . .
5.1.1 Stabilisation de la discrétisation éléments finis
5.1.2 Discrétisation spectrale . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Intégration temporelle . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Version MHD de SFELES - repère cartésien . . . . . .
5.2.1 Equation scalaire du potentiel électrique . . .
5.2.2 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
Energétique
3.1 Energétique au niveau continu . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 MHD - Formulation champ magnétique . . . . . .
3.1.2 MHD - Formulation potentiel scalaire . . . . . . .
3.2 Energétique au niveau discret . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 MHD - Formulation champ magnétique . . . . . .
3.2.2 MHD - Formulation potentiel scalaire . . . . . . .
3.2.3 MHD - Contributions des termes de stabilisation .
3.3 Choix de la formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
About the new direct solvers
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Performance of SuperLU, UMFPACK and MUMPS as sequential solvers
6.3 Performance of the parallelization inside of SFELES . . . . . . . . . . . .
6.4 Performance of MUMPS as a parallel solver . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 How it works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 The results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
Validation
7.1 Version cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Plaques parallèles de dimensions infinies . . . . . .
7.1.2 Ecoulement dans une canalisation de section carrée
7.1.3 Ecoulement dans une canalisation cylindrique . . .
7.1.4 Ecoulement de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Axisymmetric version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Annular channel of infinite length . . . . . . . . . .
7.2.2 Annular channel of square section . . . . . . . . . .
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5.3
5.2.3 Termes de stabilisation issus de la force de Lorentz
5.2.4 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Version MHD de SFELES - repère axisymétrique . . . . . .
5.3.1 Equation scalaire du potentiel électrique . . . . . .
5.3.2 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Termes de stabilisation issus de la force de Lorentz
5.3.4 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bibliographie
79
A Ecoulement en canalisation - solutions théoriques
82
iii
Chapitre 1
Introduction
1.1
Contexte général
Le thème de ce présent travail est la liaison entre l’étude théorique de la magnétohydrodynamique (MHD) et la résolution numérique de dynamique des fluides (CFD).
La simulation numérique concerne tout ce qui s’apparente à l’approximation d’équations représentant la physique d’un problème. Pour ce faire, un ensemble de techniques
ont été peu à peu développées pour permettre une meilleure représentation de la solution physique. Les débuts de ce domaine scientifique remontent aux années 1700
grâce aux découvertes mathématiques réalisées par Newton. A cette époque, faute de
moyens informatiques, ces découvertes restèrent au niveau de concepts novateurs. Les
premières traces de résolution numérique dans le cadre de la dynamique des fluides remontent aux premières années du 20ème siècle. En 1922, Richardson réalisa la première
prédiction météorologique sur base de la méthode des différences finies et grâce à la
collaboration de ses étudiants qui ont exécuté les calculs manuellement. Le développement d’ordinateurs dans les années 1950 a marqué le début de la mise en application
des différentes méthodes jusqu’alors restées au stade théorique. Alors réservée aux
applications militaires, ce n’est que vers les années 1960 que la résolution numérique
a pris un nouvel essort grâce à la démocratisation du matériel informatique. De nouvelles méthodes se développèrent chacune dans des domaines de prédilection avec des
niveaux de complexités accrus au fur et à mesure des capacités matérielles.
La magnétohydrodynamique est la branche de la science qui traite de l’étude d’écoulements de fluides possédant une conductivité électrique non nulle et soumis à un
champ magnétique extérieur. Il s’agit du couplage entre les deux domaines assez distincts que sont la mécanique des fluides et l’électromagnétisme.
La mécanique des fluides traite de la détermination du comportement d’un fluide
en mouvement. Il est depuis longtemps connu que deux types d’écoulements apparaissent suivant les conditions du problème. L’écoulement peut être laminaire en
présentant des caractéristiques lisses spatialement et temporellement. Par opposition,
l’écoulement peut être également turbulent, ce qui constitue de loin la plus grande partie des situations. Un nombre caractéristique du passage de l’état laminaire à turbulent
est le nombre de Reynolds. L’échelle caractéristique de ce nombre est énorme : en effet,
on peut passer d’un ordre de grandeur unitaire pour caractériser le vol d’un insecte à
l’ordre du million pour le vol d’un avion gros porteur. Caractériser la turbulence est
une tâche ardue en raison de la très grande échelle spatiale présente. Les équations
1
2
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
de mouvement d’un fluide au niveau continu sont depuis longtemps connues. Il est
par contre impossible dans l’état actuel des connaissances de déterminer la solution
générale pour un écoulement complexe en régime turbulent. Les seuls écoulements
pour lesquels il existe des solutions théoriques ne constituent que des situations simplistes sans grand intérêt pratique. Actuellement, la manière utilisée pour caractériser
un écoulement est le recours aux méthodes numériques qui permettent d’approximer
la situations physique.
L’électromagnétisme traite plutôt de l’interaction entre courant électrique et champ
magnétique. Il est connu depuis Oersted que la circulation d’un courant électrique dans
un circuit génère un champ magnétique. Quelques années plus tard, l’effet inverse a
été démontré par Faraday : la présence d’un champ magnétique induit la circulation
d’un courant électrique dans un circuit.
La magnétohydrodynamique recoupe donc les caractéristiques de la mécanique
des fluides et de l’électromagnétisme. La présence d’un champ magnétique extérieur
provoque l’apparition d’un courant électrique au sein du fluide possédant une conductivité électrique. Ce courant électrique est à son tour source d’un champ magnétique
induit. La combinaison du courant électrique et du champ magnétique total constitue l’essence même de la force de Lorentz qui agit sur l’écoulement. Le mouvement
du fluide est caractérisé par les équations de Navier-Stokes tandis que l’influence du
champ magnétique se traduit par la force de Lorentz. Le champ magnétique est, lui,
régi par les équations de Maxwell. Tout comme pour la mécaniques des fluides, il est
possible de déterminer un nombre adimensionnel, le nombre de Reynolds magnétique
Rem , qui permet de distinguer un grand ensemble d’applications de la MHD. Le domaine Rem 1 caractérise l’astrophysique. Dans ce cas, le champ magnétique induit
est du même ordre de grandeur que le champ magnétique imposé et la combinaison
de ces deux champs semble figée dans l’écoulement [1, 2]. L’interaction entre le champ
magnétique et le champ de vitesse se fait dans les deux sens, c’est-à-dire que le champ
magnétique influence la répartition de la vitesse et inversément. La cas Rem 1 caractérise les écoulements de métaux liquides. Dans cette situation, le champ magnétique
influence la répartition de la vitesse mais l’inverse n’est pas vrai.
Les principales découvertes de la magnétohydrodynamique sont relativement récentes par rapport à la mécanique des fluides et l’électromagnétisme. Bien que les
traces de la première expérience en la matière remontent à Faraday dans sa tentative
de mesure du débit de la Thamise (qui s’est soldée par un échec), il a fallu attendre
jusqu’aux années 1930-1940 pour voir se développer les théories actuelles de la MHD.
En raison de ce retard, ce n’est que vers les années 1960 que les premières applications
industrielles apparaissent.
Toujours en raison de sa relative jeunesse, il existe encore peu de communications
entre théoriciens de la MHD et ’numériciens’. C’est dans ce contexte que s’insère la
contribution de ce travail.
1.2
Objectifs de ce travail
Ce travail s’oriente vers la modélisation de la turbulence rencontrée dans les écoulements MHD avec comme objectif final une meilleure compréhension du procédé de
Czochralski. Dans ce procédé, du silicium à l’état de métal liquide est refroidi dans un
1.3. STRUCTURE DU RAPPORT
3
moule avec application d’un champ magnétique extérieur statique, ce qui a pour conséquence de grandement diminuer l’état de turbulence rencontré lors de la formation du
semi-conducteur et donc d’obtenir une meilleure homogénéité de l’ensemble.
En raison de la nature de l’objectif final, l’approximation quasi-statique de la MHD
est supposée, c’est-à-dire que le nombre de Reynolds magnétique Rem sera supposé 1.
Avec cette supposition, plusieurs hypothèses permettent de grandement simplifier la
nature des équations à résoudre [2]. En MHD, on néglige le courant de déplacement
introduit comme correction par Maxwell pour assurer la conservation de la charge.
En effet, le temps de relaxation de la charge, défini comme étant le temps demandé à
une perturbation de la charge électrique à se redistribuer dans le milieu au repos, est
très petit (∼ O(10−18 )). L’approximation quasi-statique de la MHD simplifie d’avantage
la situation grâce à la différence d’ordre de grandeur entre les champs magnétiques
imposé et induit. De plus, l’hypothèse de faible nombre de Reynolds magnétique
permet de négliger la dépendance temporelle du champ magnétique dans l’équation
d’induction du champ magnétique, ce qui se traduit par une adaptation instantanée du
champ magnétique par rapport aux variations du champ de vitesse.
Les équations de la MHD seront rajoutées au programme SFELES développé conjointement par le service Aéro-Thermo-Mécanique de l’ULB ainsi que la von Karmann
Institute. Ce programme permet la simulation d’écoulements incompressibles dans le
cas de problèmes avec une direction de périodicité, cas qui constituent une partie non
négligeables des situations rencontrées en pratique. La méthode des éléments finis de
Galerin est utilisée pour le plan transversal à la direction de périodicité tandis que la
méthode spectrale est utilisée pour caractériser l’écoulement suivant la direction de
périodicité. De plus, un certain nombre de modèles LES de turbulence ont été ajoutés,
ce qui caractérise entièrement SFELES (Spectral/Finite Element Large Eddy Simulation).
L’élaboration de ce programme a été successive : Deryl Snyder a débuté le travail en
élaborant un premier solveur pour une géométrie définie dans un repère cartésien [3].
Yves Detandt a étendu les capacités de SFELES pour des problèmes axisymétriques et a
également étudié quelques cas d’aéroacoustique [4]. Michel Rasquin a étudié la possibilité d’utilisation de nouveaux solveurs itératifs et a également introduit de nouveaux
modèles de turbulence [5].
1.3
Structure du rapport
Dans le chapitre 2, les équations de mouvement générale d’un fluide sont fournies
dans le cas hydrodynamique et entièrement développée dans le cas magnétohydrodynamique. Dans ce dernier cas, la force de Lorentz sera décomposée pour faire apparaître
plusieurs contributions. L’équation d’induction du champ magnétique permettant de
caractériser ce dernier en fonction du champ de vitesse sera également déduite à partir des équations de Maxwell. Par après, l’approximation quasi-statique est introduite
pour davantage simplifier les équations alors présentées. Il sera alors montré que deux
systèmes d’équations sont alors exploitables. En effet, il est possible de déterminer les
composantes du champ magnétique induit par l’intermédiaire du champ de vitesse
et du champ magnétique extérieur. Il est également possible d’introduire le potentiel
électrique afin de caractériser le champ électromagnétique. Ceci a l’avantage de réduire
le nombre d’équations mais complique légèrement l’expression de la force de Lorentz.
4
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Dans le chapitre 3, on s’intéresse un peu plus à l’énergétique des différentes formulations intervenant dans le chapitre 2, tant au niveau continu qu’au niveau discret. Il est
en effet important de s’assurer de la stabilité des équations de la MHD en s’assurant que
la variation de l’énergie cinétique/magnétique ne peut être que négative, c’est-à-dire
que l’on observe une diminution de la quantité d’énergie dans le domaine.
Le chapitre 4 discute des principales particularités de la turbulence. La turbulence
est définie par des caractéristiques différentes suivant qu’il s’agit d’un écoulement
hydrodynamique ou magnétohydrodynamique. En effet, la présence d’une direction
privilégiée de par la présence d’un champ magnétique induit l’arrêt de l’isotropie
rencontrée dans le cas de l’hydrodynamique.
La discrétisation des équations de la MHD est ensuite présentée dans le chapitre 5.
Il sera alors expliqué plus en détail la philosophie rencontrée lors du développement de
SFELES ainsi que les principales particularités de l’utilisation d’une méthode spectrale.
Par après, l’équation d’induction du potentiel électrique est discrétisée ainsi que la force
de Lorentz. Le rajout de la force de Lorentz dans les équations de conservation de la
quantité de mouvement implique également le rajustement des termes de stabilisation
PSPG et SUPG alors présents dans le cas hydrodynamique.
Le chapitre 7 démontre la validité des différentes opérations alors effectuées dans
le chapitre 5. Différentes situations seront alors envisagées avec à chaque fois une
difficulté supplémentaire. L’écoulement entre deux plaques de dimensions infinies et
l’application d’un champ magnétique orthogonal à ces plans permet la validation du
terme force de Lorentz. En effet, dans cette situation, le potentiel électrique sera alors
nul si l’on considère que les parois sont parfaitement conductrices. Le cas suivant traitera de l’écoulement dans une canalisation fermée de section rectangulaire. Dans ce cas,
le potentiel électrique ne peut plus être nul, ce qui permet de valider l’équation d’induction du potentiel électrique. Différents types de conductivité électrique sont alors
envisagées pour valider l’application des conditions aux limites à appliquer sur le potentiel électrique. L’étude de l’écoulement dans une canalisation de section cylindrique
permet de se raccrocher aux récents résultats obtenus par Stijn Vantieghem [6]. Tous
ces cas de validation ne permettent néanmoins que de vérifier le bon fonctionnement
du mode 0 dans le domaine spectral. Afin de valider le fonctionnement des modes
supérieurs, il est proposé une méthode inspirée de ce Michel Rasquin a réalisé [5].
L’écoulement de Stokes est alors considéré en rajoutant un terme de forçage supplémentaire qui permet d’exciter un mode particulier. Il sera expliqué comment étendre
le développement hydrodynamique à celui du cas magnétohydrodynamique.
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