I. Questions de cours II. Rayonnement d`une antenne demi

Examen d’électromagnétisme – mars 2012 Problème Les calculatrices, ordinateurs et téléphones ne sont pas autorisés. Seul document écrit autorisé : une feuille manuscrite recto-­verso L’examen comporte trois exercices indépendants Durée de l’examen : 2 heures. I. Questions de cours 1. Ecrire les équations de Maxwell dans la matière en prenant en compte les grandeurs « effectives ». La constante diélectrique effective contient-­‐elle les contributions des charges libres ? 2. Une lame de verre d’épaisseur d = 5 mm a un indice n = 1,5 + i0,01 à la longueur d’onde λ = 600 nm. Est-­‐elle opaque ou transparente ? 3. On considère un milieu linéaire homogène dispersif local. Écrire la relation entre l’induction électrique D et le champ électrique E en un point r dans le domaine fréquentiel ET dans le domaine temporel. 4. On considère une interface plane séparant un métal du vide. Le métal est caractérisé par sa pulsation plasma ωp. Dessiner l’allure de la relation de dispersion des plasmons de surface qui existent sur cette interface. À quel phénomène physique dans le métal est associée cette onde ? Quelle est la polarisation du champ électromagnétique associé ? 5. Citer UNE application vue en cours des résonances de type plasmon de surface ou plasmon localisé. II. Rayonnement d’une antenne demi-­‐onde On considère une antenne constituée d’un fil métallique de taille L reliée en son centre à un câble coaxial (voir Figure 1). Le câble coaxial est blindé et ne rayonne donc pas. Il impose un courant I = I0 exp( −iωt ) au centre du fil créant une onde de courant de ω 2π
vecteur d’onde k = =
qui se propage dans le fil. On considère que le courant total c
λ
est nul aux extrémités du fil (z = ±L/2). La longueur du fil est L = λ/2. €
€
1 Figure 1 : antenne de taille L constituée d’un fil métallique. Le courant est imposé par un câble coaxial en z = 0. 1. Montrer que le courant dans l’antenne est de la forme I(z,t) = I0 cos( kz) exp( −iωt ) . 2. Donner l’expression générale du potentiel vecteur A(r) en champ lointain au point r en fonction de la densité volumique de courant j. On définira tous les termes et on précisera les approximations faites. €
3. En utilisant la définition de l’intensité I ( z') = ∫ j( x', y',z') dx' dy'. e z calculer l’expression du potentiel vecteur A(r). On appelle θ l’angle entre les vecteurs ez ⎡
⎡
π ⎤
π ⎤
et r. On notera F (θ ) = sinc ⎢(1 − cos θ ) ⎥ + sinc ⎢(1+ cos θ ) ⎥ . Pour information, la ⎣
⎣
2 ⎦
2 ⎦
€
figure 2 présente les variations de F avec l’angle θ d’émission. €
Figure 2 : Variations de F avec l’angle θ d’émission 4. En déduire l’expression du champ électrique E(r) rayonné en champ lointain. 5. Calculer la valeur moyenne temporelle S du vecteur de Poynting. 6. Calculer la puissance rayonnée dans un angle solide dΩ. Dans quelle(s) direction(s) le rayonnement est-­‐il maximal ? Comparer au rayonnement d’un dipôle et discuter de la directivité de cette antenne. €
2 III. Puissance absorbée par une particule sphérique On considère une particule sphérique de constante diélectrique généralisée ε et de rayon a très petit devant la longueur d’onde. Cette particule, située en O, est éclairée par une onde plane monochromatique (pulsation ω) dont le champ électrique Einc est polarisé rectilignement suivant (Ox). On considèrera par souci de simplicité que la particule est entourée d’air que l’on assimilera à du vide. 1. Quelle est l’expression de la puissance dissipée par unité de volume en valeur moyenne temporelle en fonction de la densité de polarisation P ? 2. Calculer la puissance absorbée par la particule. On admettra le résultat suivant : lorsque une particule sphérique de petite taille devant la longueur d’onde est éclairée par un champ électrique uniforme Einc , le champ électrique à l’intérieur 3
E . Exprimer le résultat en fonction de ε. est uniforme et vaut E =
ε + 2 inc
3. Calculer la puissance par unité de surface véhiculée par l'onde plane incidente à travers une surface perpendiculaire au vecteur d'onde. 4. Calculer la section efficace d’absorption σabs. €
Le champ électrique incident induit un moment dipolaire p = ε0αEinc au niveau de la particule où α est la polarisabilité de la particule, définie par : ε −1
α = 4 πa 3
ε +2
5. Quel est le potentiel vecteur rayonné en champ lointain par la particule ? 6. Calculer la puissance rayonnée par la particule par unité d’angle solide. On exprimera le résultat €en fonction de l’angle θ formé par le vecteur unitaire ex et la direction d’observation caractérisée par ur = r/r. π
7. En utilisant le fait que est : ∫ sin
0
3
θdθ = 4 3 , montrer que la puissance totale rayonnée 2
µ0ω 4 p
Pdiff =
12πc
€
8. Quelle est la section efficace de diffusion σdiff en fonction de la constante diélectrique ε et du rayon a de la particule ? €
9. A quelle condition sur la constante diélectrique peut-­‐on avoir une résonance de la puissance diffusée ou de la puissance absorbée ? 10. En prenant un modèle de Drude pour la particule (métallique dans ce cas de ω 2p
figure) ε (ω ) = 1 − 2
, calculer la pulsation pour laquelle on obtient cette ω + iγω
résonance. Qualitativement, en fonction de la taille de la particule, quand aura-­‐t-­‐
on plutôt de la diffusion ? plutôt de l’absorption ? €
3