DEVOIR SURVEILLÉ N°4 PHYSIQUE CHIMIE CORRIGÉ

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A- Un modèle d’écrantage
1) Champ électrique créé par la surface chargée d’un conducteur métallique
1.1. Soit un point M situé en dehors du conducteur. Tous les plans passant par M et normaux à la surface du
conducteur sont des plans de symétrie. Le champ électrique en M appartient donc à tous ces plans, il est donc
normal à la surface du conducteur : il est porté par Ox.
x0
0e)M(E)M(E 
.
Par ailleurs, la distribution étant invariante par toute translation selon Oy ou Oz, la composante non nulle du
champ E0(M), ainsi que le potentiel V0 ne dépendent que de l’abscisse x du point M : E0(M)=E0(x)
Appliquons le théorème de Gauss à un cylindre fermé  de génératrice parallèle à Ox, dont une base, d’aire S,
passe par M et l’autre est située dans le métal. Le flux sortant de ce cylindre est égal à la charge à l’intérieur
divisée par 0 :
0
int
P
Q
)P(Sd).P(E 
Dans le conducteur, le champ étant nul (énoncé), le flux est nul. Dans le vide, le flux à travers la paroi
cylindrique est nul car le champ y est tangent, le flux à travers la base passant par M vaut E0(x).S et représente
le flux total à travers le cylindre fermé .
La charge à l’intérieur de  est celle portée par la surface du conducteur, soit Qint=S.
Le théorème de Gauss s’écrit donc :
0
0S
S).x(E 
:
0
0)x(E 
:
x
0
0e)M(E 
pour x>0.
On remarque que le champ est uniforme dans le demi-espace vide au voisinage du conducteur.
1.2.
0
0VgradE 
:
x
0
x
0e
dx
dV
e 
, soit
cstx)x(V 0
0
pour x>0.
2) Ecrantage par une densité volumique de charge uniforme
2.1. Les symétries et les invariances de la nouvelle distribution étant les mêmes, les arguments de symétrie sont
exactement les mêmes : Le champ électrique en M est porté par Ox.
xtot
tot e)M(E)M(E 
; et sa composante
non nulle Etot(M), ainsi que le potentiel Vtot, ne dépendent que de l’abscisse x du point M : Etot(M)=Etot(x).
On applique le théorème de Gauss au même cylindre.
Pour les mêmes raisons qu’au 1., le flux total à travers le cylindre fermé est Etot(x).S.
Pour x<L, la charge à l’intérieur de  est la somme de la charge portée par la surface métallique S et de la
charge volumique dans la partie du cylindre située à l’extérieur du métal, de volume Sx, soit Sx :
Qint=S(+x)
Le théorème de Gauss s’écrit donc :
0
tot S)x(
S).x(E 
:
0
tot )x(
)x(E 
:
x
0
tot e
)x(
)x(E 
pour 0<x<L.
Pour x>L, la charge à l’intérieur de  est indépendante de x, elle vaut Qint= S+ SL, puisqu’il n’y a pas de
charge pour x>L.
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PHYSIQUE CHIMIE
CORRIGÉ

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Donc d’après le théorème de Gauss, la composante Etot(x) est indépendante de x :
Le champ est uniforme pour x≥L.
2.2. Pour exprimer le champ pour x>L, on explicite le théorème de Gauss pour x>L ou on applique la continuité du
champ en x=L où la répartition de charge est volumique :
x
0
tot e
)L(
)x(E 
pour x>L.
Il doit être nul pour que la condition d’écrantage soit satisfaite : +L=0
2.3.
tot
tot VgradE 
:
dx
dV
)x(E tot
tot 
 Pour x>L, Etot(x)=cst=0 donc Vtot(x)=cst, soit, avec le choix Vtot(L)=0 et la continuité du potentiel :
Vtot(x)=0 pour x>L.
 Pour 0<x<L,
 L
x
1
)x(
dx
dV
00
tot
, puisque, d’après la condition précédente, =-/L.
Soit
cst
L2
x
xV 2
0
tot 
.
La continuité du potentiel en x=L nous donne la constante :
cst
2
L
00
.
On déduit :
 2
L
L2
x
xV 2
0
tot
:
Lx0pour
2
L
L2
x
xE
2
L
L2
x
xV 2
0
2
0
tot 
avec
0
0
E
2.4. Avec la notation précédente,
x0
tot e
L
x
1E)x(E 
pour 0<x<L
B- Champs magnétiques
I- Les propriétés du champ magnétique
1. Expérience d’Oersted : Une aiguille aimantée placée au voisinage d’un circuit électrique est déviée par le passage du
courant (1819).
2. Un plan  est un plan de symétrie si l’opération de symétrie par rapport à ce plan laisse la géométrie de la distribution
inchangée ainsi que le sens des courants; un plan * est un plan d’anti symétrie si l’opération de symétrie par rapport à
ce plan laisse la géométrie de la distribution inchangée mais change le sens des courants.
En un point d’un plan de symétrie, le champ est normal à ce plan. En un point d’un plan d’anti symétrie, le champ
appartient à ce plan.
Si une distribution de courants est invariante par translation ou par rotation, le champ magnétique qu’elle crée, possède
les mêmes invariances :

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Si une distribution est invariante par translation le long d’une direction notée Oz, les composantes non nulles du champ
en un point caractérisé par sa coordonnée z sur cette droite, sont indépendantes de z.
Si une distribution est invariante par rotation autour d’une droite notée Oz, les composantes non nulles du champ en un
point caractérisé par ses coordonnées (r,,z) dans le système de coordonnées cylindriques d’axe Oz, sont indépendantes
de .
3. a- Oui, cette propriété reste valable en régime quelconque.
b- L’équation de Maxwell correspondant à cette propriété est l’équation du flux magnétique de Maxwell :
0Bdiv 
c- Le flux de
B
à travers une surface fermée quelconque est nul; le long d’un tube de champ, le flux de
B
à travers une
section se conserve.
d- Quand les lignes de champ se resserrent, le champ devient plus intense.
4. a- équation de Maxwell-Ampère :
 t
E
jµBrot 00
.
b- Soit  un contour sur lequel s’appuie une surface D’après le théorème de Stokes Ampère et l’équation de Maxwell-
Ampère,
 Sd.
t
E
jµSd.Brotld.B 00
Soit
 Sd.jIaveciIµld.B enlDenl0
,
Sd.ji DD
intensité du courant de déplacement en Ampère (A) et
t
E
j0D 
vecteur densité volumique de courant de déplacement, dont la norme a même dimension que celle du
vecteur densité volumique de courant, i.e. A.m-2.
c- En régime permanent, par définition, les grandeurs ne dépendent pas explicitement du temps : les dérivées partielles
par rapport au temps de toutes les grandeurs sont nulles. Définir un tel régime. L’équation de Maxwell-Ampère devient :
jµBrot 0
et le théorème d’Ampère
 Sd.jIavecIµld.B enlenl0
.
d- Dans le cas de courants Ij circulant dans des circuits filiformes, le
courant enlacé Ienl s’écrit :
jjjenl II
où la somme porte sur tous les
courants enlacés par  (noté (C) sur la figure ci-dessous) et j vaut +1 si le
courant algébrique Ij perce (C) dans le sens (+) et j vaut -1 si le courant
algébrique Ij perce (C) dans le sens (-) (cf. schéma ci-dessus).
II- Le fil rectiligne
1. Un fil rectiligne illimité, de section circulaire de rayon a, dont l’axe de révolution coïncide avec l’axe Oz, est parcouru
par un courant continu d’intensité I.
a- Tous les plans contenant l’axe du fil, sont des plans de symétrie; en un point de l’axe, le champ magnétique est donc
normal à tous ces plans : il est nul.
b- Le plan contenant un point M(r,,z) non situé sur l’axe et l’axe est un plan de symétrie, le champ magnétique en M
est donc normal à ce plan : il est orthoradial : seule sa composante sur
u
est non nulle. Le fil étant invariant par
toute translation selon Oz, et toute rotation autour de Oz, le champ créé possède les mêmes invariances : en M(r,,z)
la composante B ne dépend ni de z, ni de  :
u)r(B)M(B 
.
D’après la règle du tire bouchon, étant donné le sens de I, la composante orthoradiale B est positive (cf fig.).

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c- Appliquons le théorème d’Ampère au cercle  passant par M et d’axe le fil, orienté dans le sens + relatif au sens de
Oz :
enlacé0Iµld.B 
.
Or
)r(rB2ld.B 
et
Si r<a (point intérieur au fil cylindrique), alors
)r.(jI 2
int 
. Or l’intensité totale transportée par le fil est
)a.(jI 2
donc la densité volumique de courant est :
2
a
I
j
:
2
2
2
2
int a
r
Ir
a
I
I
.
On déduit :
2
0a2
Irµ
)r(B 
pour r<a
Si r>a (point extérieur au fil cylindrique), alors Iint=I. On déduit :
r2 Iµ
)r(B 0
pour r>a
On vérifie que le champ est continu en r=a : en effet il s’agit d’une distribution volumique : le champ est défini et
continu en tout point de l’espace.
d-
e-
uBB 
z
I
u
u
H
M
r
f- On résout µ0I/2r=BH=2.10-5T. D’après le graphe précédent, il y a deux solution, mais on s’intéresse uniquement à
celle qui est à l’extérieur du fil) : on trouve r=2,5cm : pour r>2,5cm, le champ magnétique créé par le fil est plus
faible que la composante horizontale du champ magnétique terrestre.
2. L’aiguille risque d’être désaimantée si le champ qu’elle subit n’est pas inférieur au champ limite Blim=2,4.10-3T. A
l’extérieur de la colonne, B(r)>Bl  r<
l
0
B2 Iµ
=8,3m. On a pris pour B(r) l’expression trouvée pour un point situé à
l’extérieur de la colonne. (A l’intérieur de la colonne, on trouve une distance à l’axe très faible pour avoir un champ
également inférieur à la valeur limite, sans intérêt pratique car le modèle est assez grossier : la colonne n’a jamais
exactement la géométrie cylindrique). On comprend pourquoi les navigateurs de l’Antiquité craignaient autant la
foudre : ne disposant que de boussoles pour s’orienter, si les boussoles se désaimantaient, ils perdaient le Nord!
3. a)
BCdBlIdFd 
b) Le champ magnétique créé par le conducteur 1 en un point du conducteur 2 s’écrit, d’après les résultats du 4/ et les
notations de la figure avec les deux fils :
)u(
d2 Iµ
Bx
0
.
Donc sur l’élément
Cd
du conducteur 2 s’exerce la force
)u(
d2 Iµ
uIdlFd x
0
z
:
)u(
d2 dlIµ
Fd y
2
0
.
Cette force, exercée sur l’élément
Cd
du conducteur 2 est orientée selon ( -
y
u
) : elle est attractive, l’élément du
conducteur 2 est attiré par le conducteur 1.
B
r
a

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c) La force entre les deux fils est attractive, contrairement à la force électrostatique qui s’exercent entre deux charges de
même signe. Les deux forces ne sont pas comparables, les circuits n’étant pas des monopôles magnétiques (les
monopôles magnétiques n’existent pas).
III- La spire circulaire
 Le plan contenant l’axe de la spire et passant par un point M de l’espace non situé sur l’axe, est un plan d’antisymétrie.
Le champ magnétique créé en M appartient donc à ce plan : sa composante orthoradiale est nulle. Les deux autres ne
sont pas nulles à priori. La distribution étant invariante par rotation autour de l’axe Oz, les composantes non nulles ne
dépendent pas de la coordonnée  de M :
zzrr u)z,r(Bu)z,r(B)M(B 
 M1 (r=a/2,,z=a) : son symétrique par rapport au plan de la spire a pour coordonnées M2(r=a/2,,-a). Le plan de la
spire étant un plan de symétrie de la distribution, les champs magnétiques en M1 et en M2 sont antisymétriques par
rapport à ce plan
)M(B 2
est l’opposé du symétrique par rapport à xOy de
)M(B 1
: Br(M2)=-Br(M1) et Bz(M2)=Bz(M1). 
 Le symétrique de M1 par rapport au plan yOz a pour coordonnées M3(a/2,,a). Le plan yOz étant un plan d’antisymétrie
de la distribution, les champs magnétiques créés par la spire en M1 et en M3 sont symétriques par rapport à yOz :
Br(M2)=Br(M1) et Bz(M2)=Bz(M1).
 Tous les plans contenant l’axe de la spire sont des plans d’antisymétrie. Au point M0 de l’axe, le champ appartient à tous
ces plans, donc à leur intersection : il est donc porté par l’axe Oz. D’après la règle du tire-bouchon, vu le sens de I, le
champ magnétique a le sens de l’axe Oz (en point de l’axe d’ailleurs, pas uniquement pour z0>0).
 Le plan de la spire étant un plan de symétrie, les champs magnétiques créés par la spire en M0 et M0’ sont
antisymétriques, i.e. opposés du symétrique l’un de l’autre, soit égaux ici, puisqu’ils sont portés par Oz.
 C’est pour /2 que le champ est le plus intense, i.e. au centre de la spire et Bmax
a2 Iµ0
.
champ d’une spire
circulaire
plan de la spire
z
Au voisinage immédiat de C ou D, on « voit » quasiment un fil rectiligne infini perpendiculaire au plan de la figure,
les lignes de champ sont don quasiment des cercles de centre C ou D. 
IV- Le solénoïde
1. Le plan passant par M(r,,z) et normal à l’axe du solénoïde est un plan de symétrie. Le champ en M est donc normal à
ce plan, il est donc colinéaire à
z
u
. Le solénoïde infini est invariant par toute translation selon son axe et toute
rotation autour de son axe, donc en M(r,,z), la composante non nulle du champ, Bz, ne dépend ni de z, ni de , mais
ne dépend que de la coordonnée r de M. D’après la règle du tire-bouchon, en un point situé à l’intérieur du solénoïde,
le champ a même sens que l’axe Oz : la composante Bz est positive à l’intérieur.
2. Appliquons le théorème d’Ampère à un contour rectangulaire dont le plan contient Oz, et dont deux côtés (1) et (2)
sont parallèles à Oz, de longueur h, les côtés (1) et (2) étant tous deux à l’intérieur du solénoïde :
enlacé0Iµld.B 
.