DEVOIR SURVEILLÉ N°4 PHYSIQUE CHIMIE CORRIGÉ

DEVOIR SURVEILLÉ N°4
PHYSIQUE CHIMIE
CORRIGÉ
A- Un modèle d’écrantage
1) Champ électrique créé par la surface chargée d’un conducteur métallique
1.1. Soit un point M situé en dehors du conducteur. Tous les plans passant par M et normaux à la surface du
conducteur sont des plans de symétrie. Le champ électrique en M appartient donc à tous ces plans, il est donc

normal à la surface du conducteur : il est porté par Ox. E 0 (M)  E 0 (M)e x .
Par ailleurs, la distribution étant invariante par toute translation selon Oy ou Oz, la composante non nulle du
champ E0(M), ainsi que le potentiel V0 ne dépendent que de l’abscisse x du point M : E0(M)=E0(x)
Appliquons le théorème de Gauss à un cylindre fermé  de génératrice parallèle à Ox, dont une base, d’aire S,
passe par M et l’autre est située dans le métal. Le flux sortant de ce cylindre est égal à la charge à l’intérieur


Q
divisée par 0 :  E(P).dS(P)  int
0
P
Dans le conducteur, le champ étant nul (énoncé), le flux est nul. Dans le vide, le flux à travers la paroi
cylindrique est nul car le champ y est tangent, le flux à travers la base passant par M vaut E0(x).S et représente
le flux total à travers le cylindre fermé .
La charge à l’intérieur de  est celle portée par la surface du conducteur, soit Qint=S.
Le théorème de Gauss s’écrit donc : E 0 ( x ).S 
S


e x pour x>0.
: E 0 (x) 
: E 0 (M) 
0
0
0
On remarque que le champ est uniforme dans le demi-espace vide au voisinage du conducteur.
1.2. E 0  gradV0 :

dV 
 
e x   0 e x , soit V0 ( x )   x  cst pour x>0.
0
0
dx
2) Ecrantage par une densité volumique de charge uniforme
2.1. Les symétries et les invariances de la nouvelle distribution étant les mêmes, les arguments de symétrie sont

exactement les mêmes : Le champ électrique en M est porté par Ox. E tot (M)  E tot (M)e x ; et sa composante
non nulle Etot(M), ainsi que le potentiel Vtot, ne dépendent que de l’abscisse x du point M : Etot(M)=Etot(x).
On applique le théorème de Gauss au même cylindre.
Pour les mêmes raisons qu’au 1., le flux total à travers le cylindre fermé est Etot(x).S.
Pour x<L, la charge à l’intérieur de  est la somme de la charge portée par la surface métallique S et de la
charge volumique dans la partie du cylindre située à l’extérieur du métal, de volume Sx, soit Sx :
Qint=S(+x)
Le théorème de Gauss s’écrit donc : E tot ( x ).S 
E tot ( x ) 
(  x )S
(  x )
: E tot ( x ) 
:
0
0
(  x ) 
e x pour 0<x<L.
0
Pour x>L, la charge à l’intérieur de  est indépendante de x, elle vaut Qint= S+ SL, puisqu’il n’y a pas de
charge pour x>L.
1
Donc d’après le théorème de Gauss, la composante Etot(x) est indépendante de x :
Le champ est uniforme pour x≥L.
2.2. Pour exprimer le champ pour x>L, on explicite le théorème de Gauss pour x>L ou on applique la continuité du
champ en x=L où la répartition de charge est volumique :
E tot ( x ) 
(  L) 
e x pour x>L.
0
Il doit être nul pour que la condition d’écrantage soit satisfaite : +L=0 
2.3. E tot  gradVtot : E tot ( x )  

dVtot
dx
Pour x>L, Etot(x)=cst=0 donc Vtot(x)=cst, soit, avec le choix Vtot(L)=0 et la continuité du potentiel :
Vtot(x)=0 pour x>L.

Pour 0<x<L,
dVtot
(  x )

x

  1   , puisque, d’après la condition précédente, =-/L.
dx
0
0  L 
Soit Vtot  

0
2 

 x  x   cst .

2L 

La continuité du potentiel en x=L nous donne la constante : 0  
On déduit : Vtot  
Vtot  
 L
   cst .
0  2 
 
x 2 L 
x


:
 0 
2L 2 

 
x 2 L 
x 2 L 


x




E
x

  pour 0  x  L avec E 0 
0
 0 
2L 2 
2
L
2

0


 x 
2.4. Avec la notation précédente, E tot ( x )  E 0 1  e x pour 0<x<L
 L
B- Champs magnétiques
I- Les propriétés du champ magnétique
1.
Expérience d’Oersted : Une aiguille aimantée placée au voisinage d’un circuit électrique est déviée par le passage du
courant (1819).
2.
Un plan  est un plan de symétrie si l’opération de symétrie par rapport à ce plan laisse la géométrie de la distribution
inchangée ainsi que le sens des courants; un plan * est un plan d’anti symétrie si l’opération de symétrie par rapport à
ce plan laisse la géométrie de la distribution inchangée mais change le sens des courants.
En un point d’un plan de symétrie, le champ est normal à ce plan. En un point d’un plan d’anti symétrie, le champ
appartient à ce plan.
Si une distribution de courants est invariante par translation ou par rotation, le champ magnétique qu’elle crée, possède
les mêmes invariances :
2
Si une distribution est invariante par translation le long d’une direction notée Oz, les composantes non nulles du champ
en un point caractérisé par sa coordonnée z sur cette droite, sont indépendantes de z.
Si une distribution est invariante par rotation autour d’une droite notée Oz, les composantes non nulles du champ en un
point caractérisé par ses coordonnées (r,,z) dans le système de coordonnées cylindriques d’axe Oz, sont indépendantes
de .
3.
a- Oui, cette propriété reste valable en régime quelconque.

b- L’équation de Maxwell correspondant à cette propriété est l’équation du flux magnétique de Maxwell : divB  0


c- Le flux de B à travers une surface fermée quelconque est nul; le long d’un tube de champ, le flux de B à travers une
section se conserve.
d- Quand les lignes de champ se resserrent, le champ devient plus intense.
4.



E 
a- équation de Maxwell-Ampère : rotB  µ 0  j   0
.
t 

b- Soit  un contour sur lequel s’appuie une surface D’après le théorème de Stokes Ampère et l’équation de Maxwell
 
 

E  
.dS 
Ampère, B.d l  rotB.dS  µ0  j  0
t 


 

Soit



 
B.d l  µ0 I enl  i D  avec I enl 


 
j.dS , i D 

 
jD .dS intensité du courant de déplacement en Ampère (A) et




E
vecteur densité volumique de courant de déplacement, dont la norme a même dimension que celle du
jD   0
t
vecteur densité volumique de courant, i.e. A.m-2.
c- En régime permanent, par définition, les grandeurs ne dépendent pas explicitement du temps : les dérivées partielles
par rapport au temps de toutes les grandeurs sont nulles. Définir un tel régime. L’équation de Maxwell-Ampère devient :
 

 

j.dS .
rotB  µ0 j et le théorème d’Ampère B.d l  µ0 I enl avec I enl 




d- Dans le cas de courants Ij circulant dans des circuits filiformes, le
courant enlacé Ienl s’écrit : I enl 
 jI j où la somme porte sur tous les

j
courants enlacés par  (noté (C) sur la figure ci-dessous) et j vaut +1 si le
courant algébrique Ij perce (C) dans le sens (+) et j vaut -1 si le courant
algébrique Ij perce (C) dans le sens (-) (cf. schéma ci-dessus).
II- Le fil rectiligne
1.
Un fil rectiligne illimité, de section circulaire de rayon a, dont l’axe de révolution coïncide avec l’axe Oz, est parcouru
par un courant continu d’intensité I.
a- Tous les plans contenant l’axe du fil, sont des plans de symétrie; en un point de l’axe, le champ magnétique est donc
normal à tous ces plans : il est nul.
b- Le plan contenant un point M(r,,z) non situé sur l’axe et l’axe est un plan de symétrie, le champ magnétique en M

est donc normal à ce plan : il est orthoradial : seule sa composante sur u  est non nulle. Le fil étant invariant par
toute translation selon Oz, et toute rotation autour de Oz, le champ créé possède les mêmes invariances : en M(r,,z)


la composante B ne dépend ni de z, ni de  : B(M)  B (r)u  .
D’après la règle du tire bouchon, étant donné le sens de I, la composante orthoradiale B  est positive (cf fig.).
3
c- Appliquons le théorème d’Ampère au cercle  passant par M et d’axe le fil, orienté dans le sens + relatif au sens de
 
Oz : B.d l  µ0Ienlacé .


Or

 
B.d l  2rB  (r ) et

Si r<a (point intérieur au fil cylindrique), alors Iint  j.(r 2 ) . Or l’intensité totale transportée par le fil est
I  j.(a 2 ) donc la densité volumique de courant est : j 
On déduit : B  (r ) 
µ 0 Ir
2a 2
I
a 2
: I int 
I
a 2
r2
r 2  I
a2
.
pour r<a
Si r>a (point extérieur au fil cylindrique), alors I int=I. On déduit : B  (r ) 
µ0 I
pour r>a
2r
On vérifie que le champ est continu en r=a : en effet il s’agit d’une distribution volumique : le champ est défini et
continu en tout point de l’espace.
z
B
d-
I

u
H
a


B  B u 
r
r
M

u
ef-
2.
3.
On résout µ0I/2r=BH=2.10-5T. D’après le graphe précédent, il y a deux solution, mais on s’intéresse uniquement à
celle qui est à l’extérieur du fil) : on trouve r=2,5cm : pour r>2,5cm, le champ magnétique créé par le fil est plus
faible que la composante horizontale du champ magnétique terrestre.
L’aiguille risque d’être désaimantée si le champ qu’elle subit n’est pas inférieur au champ limite Blim=2,4.10-3T. A
µ I
l’extérieur de la colonne, B(r)>Bl  r< 0 =8,3m. On a pris pour B(r) l’expression trouvée pour un point situé à
2B l
l’extérieur de la colonne. (A l’intérieur de la colonne, on trouve une distance à l’axe très faible pour avoir un champ
également inférieur à la valeur limite, sans intérêt pratique car le modèle est assez grossier : la colonne n’a jamais
exactement la géométrie cylindrique). On comprend pourquoi les navigateurs de l’Antiquité craignaient autant la
foudre : ne disposant que de boussoles pour s’orienter, si les boussoles se désaimantaient, ils perdaient le Nord!
 
 

a) dF  Id l  B  dC  B
b) Le champ magnétique créé par le conducteur 1 en un point du conducteur 2 s’écrit, d’après les résultats du 4/ et les
 µ I 
notations de la figure avec les deux fils : B  0 (u x ) .
2d

 µ I 2 dl 

µ I 

(u y ) .
Donc sur l’élément dC du conducteur 2 s’exerce la force dF  Idlu z  0 (u x ) : dF  0
2d
2d


Cette force, exercée sur l’élément dC du conducteur 2 est orientée selon ( - u y ) : elle est attractive, l’élément du
conducteur 2 est attiré par le conducteur 1.
4
c) La force entre les deux fils est attractive, contrairement à la force électrostatique qui s’exercent entre deux charges de
même signe. Les deux forces ne sont pas comparables, les circuits n’étant pas des monopôles magnétiques (les
monopôles magnétiques n’existent pas).
III- La spire circulaire

Le plan contenant l’axe de la spire et passant par un point M de l’espace non situé sur l’axe, est un plan d’antisymétrie.
Le champ magnétique créé en M appartient donc à ce plan : sa composante orthoradiale est nulle. Les deux autres ne
sont pas nulles à priori. La distribution étant invariante par rotation autour de l’axe Oz, les composantes non nulles ne



dépendent pas de la coordonnée  de M : B(M)  Br (r, z)u r  Bz (r, z)u z 

M1 (r=a/2,,z=a) : son symétrique par rapport au plan de la spire a pour coordonnées M2(r=a/2,,-a). Le plan de la
spire étant un plan de symétrie de la distribution, les champs magnétiques en M1 et en M2 sont antisymétriques par


rapport à ce plan B(M 2 ) est l’opposé du symétrique par rapport à xOy de B(M1 ) : Br(M2)=-Br(M1) et Bz(M2)=Bz(M1). 

Le symétrique de M1 par rapport au plan yOz a pour coordonnées M3(a/2,,a). Le plan yOz étant un plan d’antisymétrie
de la distribution, les champs magnétiques créés par la spire en M1 et en M3 sont symétriques par rapport à yOz :
Br(M2)=Br(M1) et Bz(M2)=Bz(M1).

Tous les plans contenant l’axe de la spire sont des plans d’antisymétrie. Au point M0 de l’axe, le champ appartient à tous
ces plans, donc à leur intersection : il est donc porté par l’axe Oz. D’après la règle du tire-bouchon, vu le sens de I, le
champ magnétique a le sens de l’axe Oz (en point de l’axe d’ailleurs, pas uniquement pour z0>0).

Le plan de la spire étant un plan de symétrie, les champs magnétiques créés par la spire en M0 et M0’ sont
antisymétriques, i.e. opposés du symétrique l’un de l’autre, soit égaux ici, puisqu’ils sont portés par Oz.

C’est pour /2 que le champ est le plus intense, i.e. au centre de la spire et Bmax
µ0I
.
2a
z
plan de la spire
champ d’une spire
circulaire


Au voisinage immédiat de C ou D, on « voit » quasiment un fil rectiligne infini perpendiculaire au plan de la figure,
les lignes de champ sont don quasiment des cercles de centre C ou D. 
IV-
Le solénoïde
1.
Le plan passant par M(r,,z) et normal à l’axe du solénoïde est un plan de symétrie. Le champ en M est donc normal à

ce plan, il est donc colinéaire à u z . Le solénoïde infini est invariant par toute translation selon son axe et toute
rotation autour de son axe, donc en M(r,,z), la composante non nulle du champ, Bz, ne dépend ni de z, ni de , mais
ne dépend que de la coordonnée r de M. D’après la règle du tire-bouchon, en un point situé à l’intérieur du solénoïde,
le champ a même sens que l’axe Oz : la composante Bz est positive à l’intérieur.
2.
Appliquons le théorème d’Ampère à un contour rectangulaire dont le plan contient Oz, et dont deux côtés (1) et (2)
 
B.d l  µ 0 I enlacé .
sont parallèles à Oz, de longueur h, les côtés (1) et (2) étant tous deux à l’intérieur du solénoïde :


5
(2)
I
h
(1)
r
x
La circulation du champ magnétique le long de ce contour se réduit à la circulation sur (1) et (2), puisque sur le champ
est normal aux deux autres côtés en tout point de ces côtés.
Par ailleurs, la composante Bz en un point M quelconque ne dépendant que de sa distance à l’axe, elle a même valeur
en tout point du côté (1), Bz1, et même valeur en tout point du côté (2), B z2 :


 
B.d l 

 
B.d l 
(1)

 
B.d l 
( 2)

(1)


Bz1u z .dzu z 

( 2)


Bz 2 u z .dzu z  h (Bz1  Bz 2 )
Les deux côtés étant à l’intérieur du solénoïde, le courant enlacé est nul : Ienlacé = 0. On déduit du théorème d’Ampère :
Bz1-B2z=0 : Bz1=B2z quelque soit les deux côtés à l’intérieur du solénoïde : le champ est uniforme à l’intérieur du
solénoïde.
3.
On utilise la même méthode : on applique le théorème d’Ampère à un même type de contour, rectangulaire mais cette
 
fois, tous les deux à l’extérieur du solénoïde. La circulation s’écrit encore B.d l  h (B z1  B z 2 ) et le courant enlacé


est à nouveau nul : Ienlacé = 0 et par suite, le champ est uniforme à l’extérieur du solénoïde.
4.
On applique encore le théorème d’Ampère à un même type de contour, rectangulaire mais cette fois, le côté (1) est à
 
l’intérieur (orienté comme Oz) et le côté (2) à l’extérieur. La circulation s’écrit B.d l  h (Bz int  Bzext )  hBz int


puisque le champ est nul à l’extérieur. Le courant enlacé correspond aux (n.h) spires perçant le rectangle : Ienlacé =nhI.
Le théorème d’Ampère s’écrit alors : hBzint=µ0nhI, soit Bzint=µ0nI. D’où l’expression du champ magnétique à


l’intérieur du solénoïde : Bint   0 nIu z
V- Le dipôle magnétique
1.
L’approximation dipolaire consiste à étudier les effets du circuit à une distance r très grande devant sa dimension
caractéristique : elle se traduit par l’inégalité forte : r>>a.



Le moment magnétique dipolaire est : M  IS  Ia 2 u z .
2.
a- Pour un point de l’axe, tel que M0. Compte tenu des propriétés de symétrie mentionnées au 3.a., on peut se
contenter de considérer z>0; pour un tel point, la 2 ème coordonnée sphérique  tend vers 0, la coordonnée r se confond


avec z, le vecteur unitaire radial u r se confond avec le vecteur unitaire axial u z . Le champ du dipôle est donc :

µM
µ Ia 2 
µ Ia 2 
Bdipôle  0 3 u z  0 3 u z  0 3 u z
2z
2z
2z


µ I
µ I
a
b- Bspire  0 sin  3 u z  0 

2a
2a  z 2  a 2
3
 
z 3 
a
 u . B
/
B

spire
dipôle
3 
 z
a  z2  a 2

3


z
 

 2
2

 z a
3

  cos 3 


Le champ sur l’axe de la spire diffère de moins de 1% de celui du dipôle équivalent si et seulement si :
B dipôle  Bspire
B dipôle
 0,01  1  cos 3   0,01  cos 3   099 : on trouve <max=4,7°.
c- La notion de dipôle est fondamentale pour l’étude du magnétisme de la matière.
Devoir surveillé n°4 (MP 14-15)
6
Corrigé
C- Vecteur de Poynting
I
Généralités
1.
C’est le vecteur densité de courant d’énergie électromagnétique.
2.
La variation d’énergie contenue dans le volume V par unité de temps
dWEM
(WEM en watt) est égale à l’énergie
dt
 

entrant par son enveloppe (S) par unité de temps (flux entrant),   R.dS ( R en W.m-2), moins l’énergie cédée


à la matière par unité de temps,  j.Ed ( j.E en W.m-3).
( S)
(V)
3.
  ρ
divE  ε
0


 
B
rot
E




t
a- 
 
divB  0

 


rotB  µ0  j  ε 0 E 


t 

équation de Maxwell Gauss (MG)
équation de Maxwell Faraday (MF)
quation
é
du flux magnétique (Mφ)
quation
é
de Maxwell Ampère (MA)


b- Ce sont l’équation de Maxwell Ampère (par E /µ0) et l’équation de Maxwell Faraday (par B /µ0), qui donnent
ce bilan.
 
 EB

 0 E ² B²

et R 
a- La solution la plus simple pour wEM et R est : w EM 
2
2µ 0
µ0
II
Cylindre conducteur
1.
Soit M un point quelconque, à la distance r de Oz, le plan passant par M et contenant Oz est plan de symétrie de

la distribution de courants. B est donc normal à ce plan : il est orthoradial. La distribution étant invariante par

toute rotation autour de Oz et par toute translation le long de Oz, la composante non nulle de B ne dépend que de
r.
On applique le théorème d’Ampère à un contour circulaire  d’axe Oz, de rayon r, orienté dans le sens positif
 
relatif à celui de Oz : B.d l  µ0 I enlacé

Or

 
B.d l  2rB (r )


2.
si r<a, Ienlacée=jr² , si r>a, Ienlacée=ja². On déduit :
 µ jr 
pour r  a B  0 u 
2
 µ 0 ja ² 
pour r  a B 
u
2r

 j j
E   uz
 
3.

 µ ja 
j²a 
ur
À la périphérie du cylindre, B  0 u  , R  
2
2
4.
e 
 
 R.dS
int

 
 R.dS
ext


cylindre
Devoir surveillé n°4 (MP 14-15)
hj² a ²
j²a
j²a
dS 
.h.2a , soit :  e 

2
2
7
Corrigé
5.
La puissance cédée à la matière de la portion de cylindre par le champ électromagnétique est :

h
j²
(I / a 2 )²
h 2
résistance électrique
PJ 
j.Ed  ha ² 
ha ² 
I  R él I 2 . Avec R él 
2
a ²


a
(V)

Cette puissance est cédée à l’extérieur du conducteur sous forme de chaleur : c’est l’effet Joule.
6.
On a e=PJ . En effet, en régime stationnaire, WEM ne dépend pas du temps, le membre de gauche dans le bilan du
I.2. est nul. On trouve bien que l’énergie entrant par l’enveloppe du conducteur par unité de temps e=

 
  R.dS , est égale à l’énergie cédée à la matière par unité de temps PJ=  j.Ed .
( S)
(V)
III Condensateur
1.
Le champ électrique créé par un plan infini uniformément chargé en surface avec une densité surfacique de

 HM
charge est, en un point M quelconque E(M) 
où H est le projeté de M sur le plan chargé. Dans
2 0 HM

 
u z , celui créé par
l’espace inter-armature , le champ créé par l’armature du bas (densité ) est E1 (M) 
2 0

 
(u z ) , le champ créé par l’ensemble des deux armatures est,
l’armature du haut (densité -) est E 2 (M) 
2 0




( t ) 
uz
d’après le théorème du superposition E 0 (t )  E1 (t )  E 2 (t ) : E 0 ( t ) 
0
2.
Dans ce problème, la source du champ magnétique est constituée par les variations temporelles du champ
électrique donc par celles des charges portées par les armatures. Soit M un point de l’espace inter armatures. Le
plan passant par M et contenant l’axe Oz est un plan de symétrie des sources du champ magnétique. On en déduit
que le champ magnétique en M est normal à ce plan : il est orthoradial ; d’autre part, le système ayant la symétrie
de révolution autour de l’axe Oz, la composante non nulle du champ magnétique ne dépend pas de .



E
L’équation de Maxwell Ampère s’écrit : rotB  µ0 j  µ00
, soit, puisqu’il n’y a pas de courant entre les
t



E
armatures ( j nul) : rotB  µ00
.
t
Calculons le flux membre à membre à travers un disque () limité par un cercle () de rayon r < a, d’axe Oz et
disposé entre les deux armatures du condensateur. On obtient, avec le théorème de Stokes Ampère :

 

µ r dq 
E 0 
d
B1.d l  0µ0
.dS : 2rB1  µ0r 2
, soit, avec =q/(a2) : B1 (r, t )  0
u 
t
2a ² dt
dt



3.

La densité volumique d’énergie électrique n’est non nulle qu’entre les deux armatures et y vaut :
wE 
0E 2
q 2 e 2t 
 0 2 4
2
2 0  a
De même, pour la densité volumique d’énergie magnétique : w B 
 r 2 q 2 e 2t
B2
 0 2 04 2
2 0
8 a 

2
On a donc
wB 1  r 
   . Puisque r est majoré par a, wB << wE si a << .
wE 4   
Autrement dit, dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires (a << ), le condensateur contient de
l’énergie essentiellement sous forme électrique.
4.
On suppose que pour r = a, les expressions des champs électrique et magnétique obtenues pour l’espace interarmature sont encore valables. Dans ces conditions, le vecteur de Poynting s’écrit :
Devoir surveillé n°4 (MP 14-15)
8
Corrigé
  
1
 E B
R (r  a )  


0
 0 

 r a

 q     0 a dq  
1
 dq    

  
u
u

 q    ur 

z


 a 2  0   2a 2 dt  2 2 a 3 0  dt  
 1 dq 2    

   ur 
soit R (r  a ) 

2  2 a 3 0  2 dt  

1
Lorsque d(q2)/dt > 0, i.e. si le condensateur se charge (que q soit positif ou négatif), le vecteur de Poynting est

orienté selon - u r : de l’énergie électromagnétique pénètre dans le condensateur. Inversement, lorsque
d(q2)/dt < 0, i.e. si le condensateur se décharge (que q soit positif ou négatif), le vecteur de Poynting est orienté

selon + u r : de l’énergie électromagnétique sort du condensateur.
Calculons le flux du vecteur de Poynting à travers le cylindre () limitant l’espace inter-armature et fermé par les
deux armatures :


 R d S  

 1 dq 2 

 (  R r .2ae )
a 2  0  2 dt 
e
La surface () étant fermée, le flux calculé est le flux sortant. Le flux e entrant dans le cylindre est donc :
 1 dq 2 

 du même signe que d(q2)/dt
e 
a 2  0  2 dt 
e
5.
On en déduit l’énergie « entrée dans le condensateur » entre un instant où sa charge est nulle et un instant où elle
vaut Q en intégrant :
Q
W
  e dt 
q 0
e
2a ² 0
Q
d(q ²)
e
 dt dt  2a ² 0
q 0
Q
e
 d(q²)  2a ² 0 Q²
q 0
On retrouve l’énergie « stockée » dans le condensateur chargée et sa capacité : W 
 a ²
Q²
avec C  0
2C
e
IV Solénoïde
1.


B(t )  µ0 ni(t )u z à l’intérieur du solénoïde.
2.


B
Équation de Maxwell-Faraday : rotE  
: un champ électrique est engendré par la variation temporelle du
t
champ magnétique, i.e. par les variations temporelles des courants dans le solénoïde.
3.
4.
Soit M un point non situé sur l’axe. Le plan contenant l’axe du solénoïde et M est un plan d’antisymétrie du
courant. Le champ électrique est donc normal à ce plan : il est orthoradial. La distribution source étant invariante
par rotation autour de l’axe et par translation le long de l’axe, la composante du champ électrique ne dépend pas
de  ni de z, mais uniquement de r, distance à l’axe. Puisque l’on néglige les effets de bords, E, ne dépend pas
non plus de z.
 
De MF on déduit, avec le théorème de Stokes Ampère : E.d l 


5.


 
rotE.dS  


 B  


 t .dS


 
Calculons la circulation du champ électrique sur un cercle d’axe Oz et de rayon r : E.d l  2rE  (r )


Soit  le disque limité par le cercle précédent.

 B  

.dS  r 2µ0 n di 
Si r<a  
t 
dt
 

Devoir surveillé n°4 (MP 14-15)
9
Corrigé
Si r>a 



 B  
di
2


 t .dS  a µ 0 n dt car le champ magnétique est nul en un point du disque à l’extérieur du


solénoïde
On en déduit donc le champ électrique :

E
 0 nr di 
u
2 dt 
à l' intérieur du solénoide
 0 na 2 di 
E
u
2r dt 

à l' extérieur du solénoide
Remarque : il est intéressant de noter que le champ électrique est non nul dans une zone de l’espace où le champ
magnétique l’est uniformément.
6.
La densité volumique d’énergie magnétique n’est non nulle qu’à l’intérieur du solénoïde où elle vaut :
w B  r  a 

B2
 0 n 2 i02 e 2t
2 0
2

La densité volumique d’énergie électrique est maximale là où le champ électrique est maximal, c’est-à-dire pour
r = a. Elle vaut alors :
wE  r  a 
 0 E 2  r  a   0  20  na  2 2 2 t

i0 e
2
8 2

1  a 2
ce que l’on peut aussi écrire : wE  r  a     wB  r  a 
4  
ce qui montre que wE << wB si a << . Dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires, le solénoïde
contient essentiellement de l’énergie sous forme magnétique.
7.
A la périphérie du solénoïde, on a :

E  r  a  
 0 na di 
u
2 dt 



B r  a    0 ni uz

 0 n 2 a  di  
 0 n 2 a  1 di 2  
E B

u

et donc R  r  a  
i  u  
0
2  dt  r
2  2 dt  r

En calculant le flux rentrant e du vecteur de Poynting à travers une longueur l du solénoïde, on obtient :
 1 di 2 

 e   0 n 2 la 2 
 2 dt 

8.

On en déduit l’énergie « entrée » dans la bobine entre un instant où le courant qui la parcoure est nul et un instant
où il vaut i :


i
1  1
µ n ²la ²
1
WB   0 n 2 la 2  i 2   Li 2 W    e dt  0
i ²  Li²
2  2
2
2
0
On retrouve l’énergie emmagasinée dans la bobine et l’inductance propre de cette portion de solénoïde :

L   0 n 2 la 2

Devoir surveillé n°4 (MP 14-15)
10
Corrigé