DM N 4 - MP 2 - Modèle d`atome et couleur du ciel

DM N
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- MP 2 - Modèle d'atome et couleur du ciel
À rendre le jeudi 11 février 2016 à 10h
Données :
permittivité diélectrique du vide : ε0 ∼ 8, 85.10−12 F.m−1 .
masse de l'électron : me = 9, 1.10−31 kg.
quantum de charge : e = 1, 6.10−19 C.
Célérité de la lumière dans le vide : c0 = 3.108 m.s−1
1
Le modèle d'atome de Thomson
En 1904, le physicien anglais Sir Joseph John Thomson (1856-1940) propose le modèle
suivant pour l'atome d'hydrogène :
Il est constitué d'une sphère de centre O et de rayon a.
La charge positive +e de l'atome est répartie uniformément dans le volume intérieur de cette sphère.
La sphère est supposée xe dans un référentiel galiléen propre à l'étude, auquel
on associe le repère orthonormé direct (O, ~ex , ~ey , ~ez ).
L'électron se déplace sans autre interaction que l'interaction électromagnétique
−−→
à l'intérieur de la sphère ; on repère par M sa position et on note ~r = OM son
vecteur position.
1.1
Action mécanique sur l'électron
1. Déterminer l'expression du champ électrostatique créé à l'intérieur de la sphère de
rayon a par la charge positive.
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2. En déduire la force subie par l'électron. On posera k = 4πεe0 a3 .
3. Pourquoi nomme-t-on aussi le modèle de J.J. Thomson modèle de l'électron élastiquement lié ?
1.2
Mouvement de l'électron
4. Montrer que le mouvement de l'électron est plan.
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5. La loi de force précédente dénit un modèle, analogue à trois dimensions de l'oscillateur harmonique, connu sous le nom d'oscillateur spatial. Donner la (ou les)
équation(s) du mouvement de l'électron pour les conditions initiales suivantes : on
suppose qu'à t = 0, ~r0 = r0 ~ex et ~v0 = v0 ~ez .
6. Tracer l'allure de la trajectoire, le plan de gure étant le plan de la trajectoire.
Comparer cette trajectoire à celle de la Terre autour du Soleil.
7. Quelle est la période du mouvement en fonction de me et k ?
8. En prenant a = 0, 1 nm, calculer la fréquence du mouvement et la longueur d'onde
associée. Dans quel domaine du spectre électromagnétique celle-ci est-elle située ?
9. Montrer que la vitesse de l'électron est toujours très petite devant la vitesse de la
lumière dans le vide.
10. On se place, dans cette question uniquement, dans le cas particulier où ~r0 ∧ ~v0 = ~0.
Quel est le mouvement de l'électron ? Donner un exemple d'analogie mécanique.
1.3
Interaction de l'atome avec une onde lumineuse
On soumet l'atome d'hydrogène précédemment décrit à l'action d'une onde plane
progressive lumineuse se propageant dans le vide représentée par un champ électrique
de valeur :
~ M, t) = E0 cos ωt − k~0 · ~r ~ez
E(
11.
12.
13.
14.
15.
16.
où E0 est l'amplitudeqdu champ électrique de l'onde lumineuse, ω la pulsation du
champ telle que ω mke et ~k0 le vecteur d'onde.
On s'intéresse au mouvement de l'électron supposé astreint à rester sur l'axe Oz . De
plus, on se place dans le cas où la longueur d'onde λ0 associée à cette onde est telle
que λ0 a.
Montrer que l'approximation λ0 a permet de considérer que le champ électrique
perçu par l'atome semble uniforme et que l'on peut écrire simplement ce champ sous
~ M, t) = E0 cos (ωt) ~ez .
la forme E(
Montrer que l'on peut négliger l'inuence du champ magnétique de l'onde lumineuse.
En déduire l'équation diérentielle du mouvement de l'électron.
Justier l'approximation ω 2 mke dans le cas de la lumière visible.
Donner une solution en régime forcé z(t) (coordonnée de l'électron sur (O, ~ez )), dans
le cadre des trois approximations précédentes.
L'atome d'hydrogène ainsi excité peut être considéré comme un dipôle électrique oscillant. Donner l'expression du moment dipolaire p~(t) correspondant.
Le système ainsi constitué rayonne à son tour une onde électromagnétique. Dans la
zone de rayonnement, le champ magnétique de l'onde rayonnée par l'atome s'exprime
en coordonnées sphériques en fonction de p~(t) = p(t) ~ez par :
~
B
ray.
µ0 sin θ
r
p̈ t −
~eϕ
(M, t) =
4πrc0
c0
2
17. Dénir la zone de rayonnement.
18. Préciser la structure de l'onde rayonnée dans cette zone.
~ (M, t), toujours dans la
19. En déduire l'expression du champ électrique rayonné, E
zone de rayonnement.
20. Montrer que la puissance électromagnétique rayonnée dans tout l'espace est, en
moyenne dans le temps, de la forme P = α ω 4 < z 2 > où α est une constante à
expliciter.
ray.
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Approche documentaire : la couleur du ciel
Attention : cette partie faisant très souvent référence aux couleurs des phénomènes
illustrés par les gures, il est indispensable d'avoir sous les yeux le texte original en
couleur.
2.1
Introduction
Les phénomènes colorés dans le ciel, autrefois à l'origine de mythes et légendes, sont
aujourd'hui bien compris mais restent une source d'émerveillement de par leur diversité et le caractère exceptionnel de certains d'entre eux (arc-en-ciel, halos, aurores
boréales, rayon vert...). D'origines très variées, ces phénomènes optiques résultent
d'un ensemble de phénomènes physiques liés aux rayonnements émis par le soleil et
à leur interaction avec l'atmosphère terrestre.
Le principal paramètre qui détermine le mécanisme physique mis en jeu est la taille
des particules de l'atmosphère interagissant avec le rayonnement solaire, comme le
montre le tableau de la gure 1.
Type de particule
Molécules d'air
Aérosols (polluants)
Diamètre des par-
Mécanisme mis en
Phénomènes
ticules
jeu
servés
0, 1 à 1 nm
ob-
Diusion de Rayleigh Bleu du ciel, rouge
du crépuscule
Diusion de Mie
Brouillard
brun
("smog")
Diusion de Mie et Nuages blancs et
optique géométrique neige blanche
de 10 nm à 1 µm
Gouttelettes d'eau de 10 µm à 100 µm
ou cristaux de neige
Figure 1 Les phénomènes de diusion atmosphérique dépendent de la taille des particules diusantes.
Dans toute la suite, nous focaliserons notre étude sur la diusion de Rayleigh dans
l'atmosphère, et nous nous intéresserons en particulier à l'origine du bleu du ciel en
pleine journée et du rougeoiement du ciel au soleil couchant.
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2.2
Propriétés du rayonnement solaire et de l'atmosphère
Le soleil émet en continu des particules ionisées ainsi qu'un rayonnement dont le
spectre s'étend de l'UV à l'infrarouge, comme le montre la gure 2.
Figure 2 Spectre d'émission du soleil. L'unité de ux est W.m−2 .nm −2 ce qui correspond
à l'éclairement - par unité d'intervalle spectral en nm - reçu en un point proche de la Terre,
hors de l'atmosphère.
Le rayonnement solaire nous parvenant à la surface de la Terre est presque exclusivement réduit au visible. En eet, d'après la gure 3 :
l'atmosphère absorbe les ultraviolets de courte longueur d'onde (UV-B et UV-C)
en particulier grâce à la couche d'ozone.
l'atmosphère absorbe les infrarouges en particulier grâce à l'humidité de l'air.
2.3
Le bleu du ciel
Les théories de la couleur bleue du ciel ont foisonné au cours des âges. Les anciens
Perses croyaient par exemple que la Terre reposait sur un saphir dont l'éclat bleuté
se reétait dans la couleur du ciel. On a prétendu plus récemment que la lumière
était diusée par les particules en suspension, comme les poussières, les aérosols, les
cristaux de glace ou les gouttes de d'eau, de sorte qu'un air très pur ne diuserait
plus la lumière. On a également supposé que les couleurs du ciel résultaient de l'absorption des rayonnements rouges par l'eau et l'ozone atmosphérique.
C'est Rayleigh, vers 1900, qui, suite aux observations de Tyndall faites un demi siècle
plus tôt, a étudié les lois de la diusion de la lumière et a proposé de modéliser les
molécules de l'atmosphère comme des dipôles électriques oscillants. Il a ainsi prédit
une évolution de la puissance diusée en λ14 , indiquant que le violet est donc environ
seize fois plus diusé que le rouge.
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Figure 3 Spectre d'absorption de l'atmosphère et de ses principaux constituants.
Par ailleurs, la diusion de Rayleigh est un phénomène linéaire et élastique, de sorte
que la longueur d'onde diusée est la même que la longueur d'onde incidente, et que
toute la puissance absorbée est réémise.
Plusieurs facteurs permettent d'expliquer notre perception d'une couleur bleue du ciel
par beau temps et non violette. Le spectre du rayonnement solaire (cf. g.2) présente
tout d'abord un maximum dans le vert vers 500 nm. Par ailleurs, l'÷il humain en
vision photopique présente un pic de sensibilité aux environs de 550 nm, tandis que
sa sensibilité au violet est 100 fois plus faible.
2.4
Le rouge du crépuscule
D'après ce que nous venons de voir, ce sont surtout les rayonnements bleus qui sont
diusés, et la lumière réémise dans le prolongement de la direction incidente s'appauvrit en bleu. Elle s'enrichit donc en rouge (on rappelle que la diusion Rayleigh
est linéaire et qu'un rayonnement incident ne comportant plus de bleu ne peut en
générer à nouveau).
Ce phénomène n'est pas perceptible lorsqu'on regarde en direction du soleil vers midi
car la lumière solaire n'a pas traversé l'atmosphère sur une assez longue distance ; la
diusion Rayleigh est relativement faible et le soleil apparaît blanc.
En revanche, lorsque le soleil est bas sur l'horizon, le trajet de la lumière solaire à
5
Figure 4 Le ciel nous apparaît bleu car les milliards de molécules d'air diusent davantage les courtes longueurs d'onde de la lumière visible. Nous percevons par conséquent une
lumière bleutée nous parvenant de toutes les directions du ciel.
Figure
5 Le ciel nous apparaît rouge au crépuscule ou à l'aube car la couche d'air
traversée étant plus importante que lorsque le soleil est au zénith, la lumière diusée dans
l'axe s'appauvrit en bleu, puis en vert et en jaune, et est donc perçue rouge.
travers l'atmosphère est plus important ; lorsque qu'il est par exemple situé à 4◦ au
dessus de l'horizon, la lumière solaire doit traverser une couche 12 fois plus épaisse que
lorsque le soleil est au zénith. Les radiations lumineuses rencontrent donc davantage
de molécules pendant le trajet, et il y a davantage de diusion. La lumière qui arrive
dans l'axe du soleil s'appauvrit en bleu, puis en vert ; le soleil apparaît donc rouge et
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moins lumineux.
2.5
Questions
21. Quel raisonnement a suivi Rayleigh pour prédire une évolution de la puissance diusée
en λ14 ?
Figure 6 Premiers pas sur la Lune de Buzz Aldrin le 21 juillet 1969 lors de la mission
Apollo 11.
22. Pourquoi le ciel est-il noir sur la Lune (gure 6) ?
23. Pourquoi le ciel est-il noir la nuit sur la Terre ?
Figure 7 La barre des Écrins (4102 m), plus haute montage du Dauphiné.
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24. Par beau temps, pourquoi le bleu du ciel au zénith est-il plus profond en montagne
qu'au bord de la mer (gure 7) ?
Figure 8 Un même endroit à deux moments de la journée : à l'aube à gauche et au
crépuscule à droite.
25. Pourquoi le ciel est-il plus rouge le soir que le matin (gure 8) ?
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