Janvier 09 - Département Montefiore

Janvier 09 - Examen de Calcul de Probabilités Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 - Page 1/8
Exercice 1
Enoncé.
Trois chauves sont en file indienne. Le 2ème voit le 1er et le 3ème voit les 2 autres.
Dans un sac, connu des trois chauves, il y a 3 perruques blondes et 2 noires. On tire sans remise 3 perruques successivement.
La 1ere est placée sur la tête du premier chauve, la 2eme sur la tête du deuxième et la troisième sur la tête du troisième.
1. Calculer la probabilité que le 1er recoive une perruque blonde.
2. Calculer la probabilité que le 2ème recoive une perruque blonde.
3. Calculer la probabilité que le 1er ait une perruque blonde si le troisième dit “Je ne suis pas certain de celle que j’ai.”
4. Idem si le 2ème ajoute “Moi non plus”.
Solution.
Première version
1. On a
Ω = {B1B2B3
B1B2N3B1N2B3N1B2B3
B1N2N3N1B2N3N1N2B3}
Cas NON équiprobables. (On pourrait avoir 60 cas équiprobables en numérotant les perruques de 1 à 5).
P r[B1] = 3
5
2. Il vient
Pr[B2] = P r[(B1∩B2)∪(N1∩B2)] (Partition)
=P r[B1∩B2] + P r[N1∩B2]
=P r[B1].P r[B2|B1] + . . .
=3
5.2 4+2 5.3 4=12 20 =3 5
3. Ce que dit le 3ème permet de savoir qu’on n’a pas N1N2B3, donc [N1N2].
Pr[B1|N1N2] = Pr[B1∩N1N2]
Pr[N1N2]=Pr[B1] Pr[N1N2]
Pr[B1] = 3
5
Pr[N1N2] = Pr[B1B2∪B1N2∪N1B2] = 3
5.2 4+3 5.2 4+2 5.3 4=18 20
Pr[B1|N1N2] =
3
5
18
20
=12
18 =2 3
4. On sait déjà que N1N2(et le deuxième le sait). S’il voit N1, il sait que c’est B2donc qu’il a une perruque blonde. Vu
ce qu’il dit, on sait N1.
Pr[B1|N1] = 1

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Deuxième version
Désignons par Bil’événement : “la perruque du ième chauve est blonde”.
1.
Pr(B1) = 3.A2
4
A3
5
=3.4.3
5.4.3=3 5
2.
Pr(B2) = 3.A2
4
A3
5
=3
5
3. Si le 3ème n’est pas certain de la couleur de sa perruque, c’est que l’une des deux premières perruques est blonde. Il
s’agit donc de calculer
Pr(B1|B1∪B2) = Pr(B1∩(B1∪B2))
Pr(B1∪B2)
=Pr(B1)
Pr(B1∪B2)
=0,6
Pr(B1) + Pr(B2)−Pr(B1) Pr(B2|B1)
=0,6
0,6+0,6−0,6.0,5
=0,6
0,9
=2
3
4. Si le 2ème chauve ne connait pas la couleur de sa perruque, c’est que la 1ère est blonde : la probabilité de B1dans
ces conditions est de 1.

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Exercice 2
Enoncé.
Soit f(x) la fonction définie, pour a>0, par :
f(x) =
0si x < a,
1
be−(x−a)
bsi x>a
1. Vérifier que f(x)représente la densité de probabilité d’une V.A. X
2. Calculer E(X) et ET(X)
3. Déterminer la fonction de répartition de cette V.A. X
4. Déterminer la probabilité pour que X appartienne à l’intervalle dit “normal”.
5. Un train A doit arriver à Liège à 10h00. Un autre train B doit quitter Liège à 10h00.
Le retard d’arrivée de A et le retard de départ de B sont indépendants et suivent tous les deux une loi définie par la
fonction f(x)pour a= 0 et b= 1.
Il faut 1 minute à un passager du train A pour se rendre au départ du train B.
Quelle est la probabilité qu’un passager de A puisse prendre le train B ?
Solution.
1. a) On doit avoir f(x)>0∀x∈R.
Cette condition est vérifiée si b > 0.
b)
+∞
−∞
f(x)dx = 1
⇒
+∞
a
1
b.e−(x−a)
bdx =1
b
+∞
a
e−(x−a)
bdx
=1
b.e−
x−a
b
−1
b
+∞
a
= 1 ∀a>0et b > 0
2. a)
E(X) =
+∞
a
x. 1
b.e−
x−a
bdx
Poser t=x−a
b
⇒E(X) =
+∞
0
(a+bt).e−tdt
=. . .
=a+ben intégrant par parties
b)
E(X2) =
+∞
a
x2
be−
x−a
bdx
=
+∞
0
(a+bt)2.e−tdt
=...
=a2+ 2ab + 2b2en intégrant par parties
V ar(X) = E(X2)−[E(X)]2=b2
⇒ET (X) = b

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3. F(t) = P(X6t)
a) t6a
F(t) =
t
−∞
0dx = 0
b) a < t < +∞
F(t) =
t
−∞
f(x)dx
=1
b
t
a
e−(x−a)
bdx
=1
b−b.e−(x−a)
b
t
a
=−e−
t−a
b−1
= 1 −e−
t−a
b
F(t) = 1−e−
t−a
bsi a < t < +∞
0si t6a
4. Intervalle normal I= [E(X)−ET (X), E(X) + ET (X)] = [a, a + 2b]
P(X∈I) = P(a6x6a+ 2b)
=F(a+ 2b)−F(a)
= 1 −e−
a+2b−a
b−(1 −e−
a−a
b)
= 1 −e−2−(1 −e0)
= 1 −e−2
5. X = retard de A.
Y = retard de B.
fX(x) = 0si x < 0
e−xsi x>0
fY(y) = 0si y < 0
e−ysi y>0
X est indépendant de Y
⇒f(X,Y )(x, y) = 0hors [0; +∞[×[0; +∞[
e−xe−ydans [0; +∞[×[0; +∞[
Le passager prendra la train B ssi Y > X + 1.

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Pr [Y > X + 1] = Pr((X, Y )∈E) =
E
fX,Y (x, y)dxdy
=
+∞
0
dx
+∞
x+1
e−(x+y)dy
=
+∞
0
e−x−e−y+∞
x+1dx
=
+∞
0
e−x.e−(x+1)dx
=−1
2e−(2x+1) +∞
0
=1
2e−1'0,18