Janvier 09 - Département Montefiore

Janvier 09 - Examen de Calcul de Probabilités
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Exercice 1
Enoncé.
Trois chauves sont en file indienne. Le 2ème voit le 1er et le 3ème voit les 2 autres.
Dans un sac, connu des trois chauves, il y a 3 perruques blondes et 2 noires. On tire sans remise 3 perruques successivement.
La 1ere est placée sur la tête du premier chauve, la 2eme sur la tête du deuxième et la troisième sur la tête du troisième.
1. Calculer la probabilité que le 1er recoive une perruque blonde.
2. Calculer la probabilité que le 2ème recoive une perruque blonde.
3. Calculer la probabilité que le 1er ait une perruque blonde si le troisième dit “Je ne suis pas certain de celle que j’ai.”
4. Idem si le 2ème ajoute “Moi non plus”.
Solution.
Première version
1. On a
Ω = {B1 B2 B3
B 1 B 2 N3 B1 N2 B 3 N1 B 2 B 3
B 1 N2 N3 N1 B2 N3 N1 N2 B 3 }
Cas NON équiprobables. (On pourrait avoir 60 cas équiprobables en numérotant les perruques de 1 à 5).
P r[B1 ] =
3
5
2. Il vient
Pr[B2 ] = P r[(B1 ∩ B2 ) ∪ (N1 ∩ B2 )] (Partition)
= P r[B1 ∩ B2 ] + P r[N1 ∩ B2 ]
= P r[B1 ].P r[B2 |B1 ] + . . .
12
3
3 2 2 3
= . + . =
=
5 4 5 4
20
5
3. Ce que dit le 3ème permet de savoir qu’on n’a pas N1 N2 B3 , donc [N1 N2 ].
Pr[B1 |N1 N2 ] =
Pr[B1 ∩ N1 N2 ]
Pr[B1 ]
=
Pr[N1 N2 ]
Pr[N1 N2 ]
Pr[B1 ] =
3
5
Pr[N1 N2 ] = Pr[B1 B2 ∪ B1 N2 ∪ N1 B2 ] =
Pr[B1 |N1 N2 ] =
3
5
18
20
=
3 2 3 2 2 3
18
. + . + . =
5 4 5 4 5 4
20
12
2
=
18
3
4. On sait déjà que N1 N2 (et le deuxième le sait). S’il voit N1 , il sait que c’est B2 donc qu’il a une perruque blonde. Vu
ce qu’il dit, on sait N 1 .
Pr[B1 |N1 ] = 1
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Deuxième version
Désignons par Bi l’événement : “la perruque du ième chauve est blonde”.
1.
Pr(B1 ) =
3.4.3
3.A24
3
=
=
A35
5.4.3
5
2.
Pr(B2 ) =
3.A24
3
=
A35
5
3. Si le 3ème n’est pas certain de la couleur de sa perruque, c’est que l’une des deux premières perruques est blonde. Il
s’agit donc de calculer
Pr(B1 |B1 ∪ B2 ) =
=
=
=
=
=
Pr(B1 ∩ (B1 ∪ B2 ))
Pr(B1 ∪ B2 )
Pr(B1 )
Pr(B1 ∪ B2 )
0, 6
Pr(B1 ) + Pr(B2 ) − Pr(B1 ) Pr(B2 |B1 )
0, 6
0, 6 + 0, 6 − 0, 6.0, 5
0, 6
0, 9
2
3
4. Si le 2ème chauve ne connait pas la couleur de sa perruque, c’est que la 1ère est blonde : la probabilité de B1 dans
ces conditions est de 1.
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Exercice 2
Enoncé.
Soit f(x) la fonction définie, pour a > 0, par :
8
< 0 si
f (x) = 1
: e
x < a,
(x−a)
− b
si x > a
b
1. Vérifier que f (x) représente la densité de probabilité d’une V.A. X
2. Calculer E(X) et ET(X)
3. Déterminer la fonction de répartition de cette V.A. X
4. Déterminer la probabilité pour que X appartienne à l’intervalle dit “normal”.
5. Un train A doit arriver à Liège à 10h00. Un autre train B doit quitter Liège à 10h00.
Le retard d’arrivée de A et le retard de départ de B sont indépendants et suivent tous les deux une loi définie par la
fonction f (x) pour a = 0 et b = 1.
Il faut 1 minute à un passager du train A pour se rendre au départ du train B.
Quelle est la probabilité qu’un passager de A puisse prendre le train B ?
Solution.
1. a) On doit avoir f (x) > 0 ∀x ∈ R.
Cette condition est vérifiée si b > 0.
b)
Z
⇒
+∞
f (x)dx = 1
Z
−∞
+∞
a
1 − (x−a)
1
b
dx =
.e
b
b
Z
+∞
e−
a
x−a
1 e− b
= .
b − 1b
(x−a)
b
™
dx
+∞
a
= 1 ∀a > 0 et b > 0
Z
2. a)
+∞
E(X) =
a
Poser t =
x−a
b
⇒ E(X) =
Z
+∞
x−a
1
x. .e− b dx
b
(a + bt).e−t dt
0
= ...
= a + b en intégrant par parties
b)
Z
2
E(X ) =
Z
+∞
a
+∞
=
x2 − x−a
e b dx
b
(a + bt)2 .e−t dt
0
= ...
= a2 + 2ab + 2b2
en intégrant par parties
V ar(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 = b2
⇒ ET (X) = b
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3. F (t) = P (X 6 t)
a) t 6 a
Z
t
F (t) =
0 dx = 0
−∞
b) a < t < +∞
Z
F (t) =
t
f (x)dx
Z
1
−∞
t
(x−a)
e− b dx
b a
(x−a) t
1
=
−b.e− b
b
a
− t−a
b
=− e
−1
=
¨
F (t) =
i
—
h
”
= 1 − e−
t−a
b
t−a
1 − e− b si a < t < +∞
0 si t 6 a
4. Intervalle normal I = [E(X) − ET (X), E(X) + ET (X)] = [a, a + 2b]
P (X ∈ I) = P (a 6 x 6 a + 2b)
= F (a + 2b) − F (a)
= 1 − e−
a+2b−a
b
−2
=1−e
− (1 − e−
a−a
b
)
0
− (1 − e )
−2
=1−e
5. X = retard de A.
Y = retard de B.
fX (x) =
fY (y) =
X est indépendant de Y
⇒ f(X,Y ) (x, y) =
Le passager prendra la train B ssi Y > X + 1.
¨ 0 si x < 0
e−x si x > 0
¨ 0 si y < 0
e−y si y > 0
¨ 0 hors [0; +∞[×[0; +∞[
e−x e−y dans [0; +∞[×[0; +∞[
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Pr [Y > X + 1] = Pr((X, Y ) ∈ E) =
=
=
ZZ
fX,Y (x, y)dxdy
Z
Z
Z
Z
E
+∞
+∞
dx
0
”
e−(x+y) dy
x+1
+∞
−x
e
−e−y
—
0
+∞
=
0
=−
”
+∞
x+1
e−x .e−(x+1) dx
1 −(2x+1)
e
2
1
= e−1 ' 0, 18
2
—
+∞
0
dx
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Exercice 3
Enoncé.
En mesurant les diamètres de 65 roues dentées issues d’un échantillon aléatoire non exhaustif, on obtient une valeur moyenne
de 0,824 cm et un écart-type de 0,042 cm.
1. Déterminer les limites de confiance à 95% du diamètre moyen de toutes les roues dentées de la population.
2. A quel niveau de confiance peut-on dire que ce diamètre est de 0,824cm±0,0084cm.
3. Peut-on affirmer que le diamètre moyen d’une roue dentée est supérieur à 0,82cm au seuil de signification α = 0, 05 ?
4. Calculer le risque de 2ème espèce si le diamètre moyen réel d’une roue est de 0,837cm.
Solution.
Désignons par X le diamètre d’une roue dentée. On a mX = 0, 824 ; snc = 0, 042 ; n = 65.
1.
sc
LC1−α (µ) = mX ± z1− α2 √
n
Comme
z1− α2 = z0,975 = 1, 96
s
0, 042
s
√c = √ nc =
= 0, 00525
8
n
n−1
Il vient
LC0,95 (µ) = 0, 824 ± 0, 01029
D’où
IC0,95 (µ) = [0, 81371; 0, 83429]
2. On doit avoir
sc
0, 0084
z1− α2 √ = 0, 0084 ⇔ z1− α2 =
= 1, 6
0, 00525
n
D’où
α
= FZ (1, 6) = 0, 9452
2
soit α = 0, 1096. Le niveau de confiance est donc de 1 − α = 1 − 0, 1096 = 0, 8904 = 89, 04%
3. Il s’agit de tester les hypothèses
(H0 ) µ = 0, 82
(H1 ) µ > 0, 82
1−
¨
au niveau de signification α = 0, 05. Sous (H0 ), on a

sc
∈ N 0, 82; √
n
µ̂ = mX
‹
≡ N (0, 82; 0, 00525)
Déterminons D afin que
P (mX 6 D) = 0, 95
Comme
P (Z 6 1, 645) = 0, 95
on a
P
m
‹
− 0, 82
6 1, 645 = 0, 95
0, 00525
X
c’est-à-dire
P (mX 6 0, 829) = 0, 95
Comme mXobs = 0, 824, on accepte (H0 ). Le test n’est pas significatif. L’échantillon observé ne permet pas d’affirmer
que le diamètre moyen de la population est supérieur à 0,82cm au seuil de signification de 5%.
4. Le risque de 2ème espèce vaut
β = Pr(mX 6 0, 829) si mX ∈ N (0, 837; 0, 00525)
Soit

β = Pr Z 6
0, 829 − 0, 837
0, 00525
‹
= Pr(Z 6 −1, 52) = 0, 0643
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Exercice 4
Enoncé.
1. Dans une entreprise, 50 terminaux (sans interaction mutuelle) sollicitent un ordinateur central et ce, pour chacun
d’eux, avec une probabilité 0.4 à un instant donné. Désignons par NT, le nombre de terminaux sollicitant l’ordinateur
central à un instant donné .
1) Quelle est la loi de probabilité de NT ? (justifier)
2) Montrez qu’elle peut être approchée par une loi normale que vous déterminerez et que vous utiliserez pour évaluer
la probabilité pour qu’au plus 22 terminaux sollicitent l’ordinateur central à un instant donné
2. Cet ordinateur central reçoit en outre des requêtes du réseau externe à l’entreprise, dont le nombre, X, au cours d’une
minute est une variable aléatoire de loi inconnue. Une observation sur une période de 30 tranches d’une minute fournit
l’échantillon brut suivant :
032012210014232241131043310211
La loi de Poisson est-elle envisageable pour X ?
Faites le test approprié au seuil de confiance de 5%.
Solution.
1.
1) Soit Xi , la VA indicatrice de l’événement
“Le terminal i a sollicité l’ordinateur central à un instant donné”
Pour tout i = 1, . . . , 50 , il s’agit d’une VA de Bernoulli B(1; 0.4). Ces 50 VA sont indépendantes (puisque les terminaux
n’ont pas d’interaction).
N T = X1 + X2 + . . . + X50
C’est la somme de 50 VA de Bernouilli, indépendantes. Dans ces conditions, NT est une VA de loi de probabilité
binomiale B(50; 0.4).
∼ 0.5.
2) n = 50, p = 0.4, q = 0.6. On a npq = 12 > 9 et p = 4 =
√
√
L’approximation par la loi normale N (np, npq) = N (20, 12) est envisageable et
 −0.5 − 20
22.5 − 20
√
12
12
= P rG (−5.9178 6 Z 6 0.7217)
= 0.7647
P rB (0 6 N 6 22) ∼
= P rN (−0.5 6 N 6 22.5) = P rG
√
6Z6
2. Soit X le nombre de requêtes externes reçues par minute par l’ordinateur central.
Réalisons le test d’hypothèse suivant :
¨ (H ) X suit une loi de Poisson
0
(H1 ) X ne suit pas une loi de Poisson.
‹
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Test d’ajustement au seuil de confiance de 5%
Nombre de requêtes :
Nombre observé de minutes :
0
6
1
9
2
7
3
5
4
3
5 ou +
0
Calculons les attendus théoriques.
Estimation du paramètre m pour une loi de Poisson : moyenne du nombre de requêtes par minute = 1.67.
Pr(X = k) = e−m
mk
et tk = 30. Pr(X = k)
k!
Il vient
Pr(X = 0) = 0.188 et t0 = 5.65
Pr(X = 1) = 0.314 et t1 = 9.43
Pr(X = 2) = 0.262 et t2 = 7.87
Pr(X = 3) = 0.146 et t3 = 4.38
Pr(X > 3) = 1 − 0.188 − 0.314 − 0.262 − 0.146 = 0.09 et t>3 = 2.67
Regroupons les 2 dernières valeurs de façon à ce que tous les effectifs théoriques soient ≥ 5 (sauf éventuellement un),
on obtient alors le tableau suivant :
Nombre de requêtes :
Nombre observé de minutes :
Nombre théorique de minutes :
X2obs =
0
6
5.65
1
9
9.43
2
7
7.87
≥3
8
7.05
(6 − 5.65)2
(9 − 9.43)2
(7 − 7.87)2
(8 − 7.05)2
+
+
+
= 0.265
5.65
9.43
7.87
7.05
Comparons cette valeur avec celle du X2 à 4-1-1 degré de liberté à savoir 5.99 (α = 5%).
Comme 0.265 < 5.99, on ne rejette pas H0 : l’ajustement par une loi de Poisson est raisonnable pour X.