Bases mathématiques pour l`économie et la gestion

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Bases mathématiques pour
l’économie et la gestion

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Bases mathématiques
Pour l’économie et la gestion
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Table des matières
PREMIERE PARTIE : QUELQUES OUTILS
Chapitre 1 : Traitement de systèmes d'équations
1.1. Résolution de systèmes par substitution page 5
1.2. Traitement de systèmes linéaires par la méthode dite de Gauss-Jordan page 8
Solutions des exercices (Chapitre 1) page 12
Chapitre 2 : Matrices
2.1. Calcul matriciel : somme, produit, multiplication par un réel page 14
2.2. Inversion d’une matrice par la méthode de la matrice compagnon page 15
2.3. Calcul du déterminant d’une matrice carrée page 16
2.3.1. Pour les matrices 1x1, 2x2, 3x3 page 16
2.3.2. Pour les matrices quelconques page 17
2.4. Inversion d’une matrice par la méthode de la matrice adjointe page 20
2.5. Résoudre un système linéaire par la méthode de Cramer page 23
Solutions des exercices (Chapitre 2) page 25
DEUXIEME PARTIE : VARIATIONS ET CALCUL DIFFERENTIEL
Chapitre 3 : Variations
3.1. Modèles à 2 variables page 29
3.1.1. Variation absolue (ou en valeur) page 29
3.1.2. Variation relative (ou en pourcentage) page 32
3.2. Modèles à 3 variables ou plus page 35
Solutions des exercices (Chapitre 3) page 38

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Chapitre 4 : Dérivées partielles de fonctions de plusieurs variables
1. Technique de dérivation page 40
2. Application : approximation linéaire page 41
2.1. Méthode de Newton page 41
Chapitre 5 : Différentielles
1. Différentier une fonction page 49
2. Equations aux variations différentielles page 50
3. Systèmes d’équations aux variations différentielles page 55
TROISIEME PARTIE : OPTIMISATION
Chapitre 6 : Optimisation
1. Recherche d'extrema de fonctions d'une variable page 66
2. Recherche d'extrema de fonctions de plusieurs variables page 72
3. Recherche d'extrema de fonctions de plusieurs variables sous contrainte – Méthode
de Lagrange page 81
4. Vision graphique page 85
Chapitre 7 :

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Première partie
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Quelques outils

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Chapitre 1 :
Traitement de systèmes d’équations
1.1. Résolution de systèmes par substitution
Quand on travaille avec un système d’équations, on envisage plusieurs équations
simultanément (l’accolade {, regroupant les équations du système, est là pour nous le rappeler).
Résoudre un système d’équations consiste à trouver les
solutions communes à toutes les
équations du système.
Une technique de résolution d’un système : la substitution.
Supposons qu’on ait affaire à un système de deux équations à deux inconnues x et y.
1. Utiliser l’une des deux équations pour exprimer une inconnue, disons x en fonction de
l’autre, disons y.
2. Substituer x trouvé à l’étape 1 dans l’autre équation, pour obtenir une équation en y
uniquement.
3. Trouver les solutions de l’équation en y obtenue à l’étape 2.
4. Substituer les valeurs de y trouvées à l’étape 3 dans l’équation de l’étape 1 pour
trouver les valeurs correspondantes de x.
La méthode « substitution » peut être étendue à des systèmes à plus de deux inconnues,
ou même à des systèmes indéterminés.
Exercice résolu
Résoudre le système en (x,y) :
x + y2 = 6
x + 2 y = 3
Etape 1 : On peut utiliser la seconde équation pour exprimer x en fonction de y :
x = -2 y + 3
Etape 2 : On substitue x trouvé à l’étape 1 dans la première équation :
(
-2 y + 3) + y2 = 6
C’est-à-dire
y2 − 2 y – 3 = 0
Etape 3 : On résout l’équation de l’étape 2 par rapport à y :
∆ = (-2)2 – 4 . 1 . (-3) = 4+12 = 16
y = 1.2 16)2( +−− = 3 ou y = 1.2 16)2( −−− = -1
Etape 4 : On substitue les valeurs de y trouvées à l’étape 3 dans l’équation de l’étape 1
pour trouver les valeurs correspondantes de x :
Si
y = 3, alors x = -2 . (3) + 3 = -3.