Loi binomiale 2 - XMaths

PROBABILITÉS
Loi binomiale - Échantillonnage
I Épreuve de Bernoulli - Loi binomiale
Exemple
On lance deux fois une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
Les deux lancers sont indépendants (c'est-à-dire que le résultat du second lancer ne dépend pas du résultat
du premier). À chaque lancer, on a p(F) = p(P) = 1
2
On peut représenter la succession des deux lancers par un arbre et
1
F
faire figurer les probabilités sur chaque branche de cet arbre.
2
(On dit dans ce cas qu'il s'agit d'un arbre pondéré)
F
1
2
La probabilité d'obtenir deux fois "Face" est p(F,F) = 1 x 1 = 1
1
P
2 2 4
2
La probabilité d'obtenir deux fois "Pile" est p(P,P) = 1 x 1 = 1
1
2 2 4
F
2
1
La probabilité d'obtenir "Face" suivi de "Pile" est p(F,P) = 1 x 1 = 1
P
2
2 2 4
1
P
La probabilité d'obtenir "Pile" suivi de "Face" est p(P,F) = 1 x 1 = 1
2 2 4
2
Exercice 01
(voir réponses et correction)
Une pièce n'est pas parfaitement équilibrée. En effectuant un grand nombre de lancers, on a remarqué que
"Face" est obtenu dans 40% des cas et "Pile" dans 60% des cas.
On admet donc qu'à chaque lancer, on a p(F) = 2 et p(P) = 3 .
5
5
On lance deux fois cette pièce de monnaie. Les deux lancers sont indépendants.
1°) Représenter la situation par un arbre et faire figurer les probabilités sur chaque branche de cet arbre.
2°) Déterminer p(P,P) et p(F,F).
3°) Déterminer la probabilité de l'événement E : « obtenir une fois "Pile" et une fois "Face" ».
4°) On considère la variable aléatoire X qui à chaque éventualité fait correspondre le nombre de fois que l'on
a obtenu "Face". Donner la loi de probabilité de X et calculer l'espérance mathématique de X.
Exercice 02
(voir réponses et correction)
Un magasin organise un jeu. Chaque personne entrant dans le magasin reçoit un billet portant l'un des trois
numéros : 0 ; 2 ou 5.
Pour chaque personne entrant dans le magasin, la probabilité de recevoir un billet portant le numéro 0 est
p(0) = 0,5 et la probabilité de recevoir un billet portant le numéro 2 est p(2) = 0,4.
• Un billet numéro 0 est un billet perdant.
• Un billet numéro 2 est un billet gagnant un stylo.
• Un billet numéro 5 est un billet gagnant une montre.
0
0
Un couple rentre dans un magasin et chacune des deux
personnes du couple reçoit un billet.
0,5
1°) Reproduire et terminer l'arbre pondéré ci-contre
représentant la situation.
0,4
2°) Calculer la probabilité des événements suivants :
a) Le couple ne gagne rien ;
b) Le couple gagne deux montres ;
c) Le couple gagne une montre et un stylo ;
d) Le couple gagne uniquement un stylo.
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2
5
0
2
5
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Exercice 03
(voir réponses et correction)
On utilise une pièce de monnaie dont on ne sait pas si elle est équilibrée.
Pour cette pièce on suppose que la probabilité d'obtenir "Face" est un nombre réel p de l'intervalle [0 ; 1].
1°) Donner la valeur de la probabilité d'obtenir "Pile".
2°) On lance deux fois cette pièce de monnaie. Les deux lancers sont indépendants.
a) Représenter la situation par un arbre pondéré.
b) On considère la variable aléatoire X qui à chaque éventualité fait correspondre le nombre de fois que
l'on a obtenu "Face". Donner la loi de probabilité de X et calculer l'espérance mathématique de X.
Exercice 04
(voir réponses et correction)
On jette un dé cubique équilibré. Ce dé comporte deux faces vertes, trois faces bleues et une face rouge.
On note la couleur apparaissant sur la face supérieure. Si une face verte apparaît, on gagne 10 € ; si une
face bleue apparaît, on gagne 20 €, si une face rouge apparaît on gagne 50 €.
On jette deux fois de suite ce dé, de façon indépendante.
1°) Représenter la situation par un arbre pondéré.
2°) On note G la variable aléatoire correspondant au gain obtenu à la suite des deux lancers.
a) Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de G
Gain
Probabilité
20
30
b) Calculer l'espérance mathématique de G
c) Pour pouvoir faire les deux lancers, une personne doit miser 50 €.
Un joueur peut-il espérer gagner sur le long terme ?
Définition

On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve ayant deux éventualités : S (succès) et S (échec).

La loi de Bernoulli de paramètre p associe à l'événement S la probabilité p et à S la probabilité 1 - p .
Exemple

On considère une épreuve de Bernoulli, les deux éventualités sont S : "Succès" et E = S : "Échec".
Notons p(S) = p et p(E) = 1 - p.
On répète trois fois cette épreuve, de manière indépendante, et on s'intéresse au nombre de Succès que
l'on obtient sur les trois essais. On peut traduire la situation par un arbre de probabilités :
p
p
S
3 Succès
1-p
E
2 Succès
p
S
2 Succès
1-p
E
1 Succès
p
S
2 Succès
1-p
E
1 Succès
p
S
1 Succès
1-p
E
0 Succès
S
S
p
1-p
S
p
1-p
E
E
1-p
E
D'après l'arbre, la probabilité d'obtenir la suite (S ; S ; E) est : p x p x (1 - p) = p2(1 - p)
De même la probabilité de (S ; E ; S) est p2(1 - p) et la probabilité de (E ; S ; S) est aussi p2(1 - p)
La probabilité d'obtenir exactement deux Succès sur les trois essais est la probabilité de l'événement :
{(S ; S ; E) ;(S ; E ; S) ; (E ; S ; S)}. Elle est donc égale à 3 x p2(1 - p) .
En notant xi le nombre de Succès obtenus sur les trois essais, on peut justifier que l'obtient la loi de
probabilité ci-dessous :
xi
pi
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0
(1 -
1
p)3
3p(1 -
2
p)2
3p2(1
3
- p)
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p3
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Exercice 05
(voir réponses et correction)
O
73 % d'une population déterminée, possède un ordinateur.
Lorsqu'on interroge une personne dans cette population, on note :
O l'événement : « la personne possède un ordinateur »

et O : « la personne ne possède pas d'ordinateur ».

1°) Quelle est la probabilité de O ?
0,73
2°) On interroge successivement, au hasard et de façon
indépendante trois personnes dans cette population.
a) Terminer et compléter l'arbre ci-contre.
b) Quelle est la probabilité que les trois personnes
interrogées aient un ordinateur.
c) Quelle est la probabilité qu'aucune des trois
personnes interrogées n'ait un ordinateur.
d) Quelle est la probabilité qu'une exactement des trois
personnes interrogées ait un ordinateur (et que les
deux autres n'en aient pas).
Exercice 06
O
O
O
O
0,73
O
O
(voir réponses et correction)
La société qui imprime des tickets pour un jeu de
grattage a reçu la consigne d'imprimer 5 % de tickets
gagnants. Ces tickets gagnants sont soigneusement
mélangés avec les autres tickets qui eux sont perdants.
Lorsqu'une personne achète un ticket, on note :
G l'événement : « le ticket est gagnant » ;
P l'événement : « le ticket est perdant ».
Une personne achète trois tickets.
1°) Terminer et compléter l'arbre ci-contre.
(On indiquera les probabilités sur les branches)
2°) Quelle est la probabilité que les trois tickets achetés
soient gagnants.
3°) Justifier que la probabilité qu'un seul des trois tickets
soit gagnant est égale à 0,135375.
4°) On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de
tickets gagnants obtenus (sur les trois tickets
achetés).
Donner la loi de probabilité de X.
Calculer l'espérance mathématique de X.
Exercice 07
0,73
G
G
G
P
(voir réponses et correction)
Dans les mêmes conditions que pour l'exercice 06 on suppose maintenant que la personne achète quatre
tickets. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de tickets gagnants obtenus (sur les quatre
tickets achetés).
Donner la loi de probabilité de X
Calculer l'espérance mathématique de X
Définition
On appelle schéma de Bernoulli, la répétition n fois, de manière indépendante, d'une épreuve de Bernoulli.
Si X est la variable aléatoire correspondant au nombre de succès à l'issue du schéma de Bernoulli, on
appelle loi binomiale la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
Exemples
Dans les exercices 06 et 07, on a déterminé la loi binomiale correspondant à un schéma de Bernoulli avec 3
répétitions et 4 répétitions.
Définition
On répète n fois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli et on considère l'arbre correspondant
n
à cette répétition. On appelle coefficient binomial   le nombre de chemins de l'arbre réalisant k succès.
k
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Exemple
S
En considérant l'arbre ci-contre correspondant à 3 répétitions,
on peut établir les 8 chemins suivants :
SSS ; SSE ; SES ; SEE ; ESS ; ESE ; EES ; EEE
S
E
Un seul chemin réalise 3 succès : c'est SSS
3
On a donc  3  = 1
S
S
E
Trois chemins réalisent 2 succès : ce sont SSE ; SES ; ESS
3
On a donc  2  = 3
E
S
Trois chemins réalisent 1 succès : ce sont SEE ; ESE ; EES
3
On a donc  1  = 3
S
E
E
Un seul chemin réalise 0 succès : c'est EEE
3
On a donc  0  = 1
Exercice 08
S
E
E
(voir réponses et correction)
Faire un arbre correspondant à un schéma de Bernoulli à 4 répétitions.
4
4
4
4
4
Vérifier que  4  = 1 ;  3  = 4 ;  2  = 6 ;  1  = 4 ;  0  = 1
Remarque
n=0
k
●
D'après la définition (même si ces valeurs n'ont que peu d'intérêt), si k > n, on a
●
Les coefficients binomiaux peuvent être donnés par une calculatrice ou un ordinateur.
4
Pour déterminer le coefficient  2 
Calculatrice TI : 4
math
Calculatrice Casio : 4
PRB
OPTN
Combinaison
2
PROB
2
nCr
Tableur : =COMBIN(4;2)
Exercice 09
entrer ou 4
MATH
PRB
nCr
2
ENTER
Algobox : ALGOBOX_COEFF_BINOMIAL(4,2)
(voir réponses et correction)
En utilisant AlgoBox, écrire un algorithme permettant d'afficher les coefficients binomiaux 
n
.
k
L'algorithme devra fonctionner au moins pour 1 £ n £ 10 .
On l'utilisera pour compléter le tableau suivant :
k
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
1
1
1
2
3
4
xxx
1
3
6
xxx
xxx
1
4
xxx
xxx
xxx
1
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
Propriété
Dans un schéma de Bernoulli comportant n répétitions, si p est la probabilité du succès de l'épreuve de
n
Bernoulli, la probabilité d'obtenir k succès (avec 0 £ k £ n) est : p(X = k) =   pk (1 - p)n-k
k
On dit que la loi binomiale a pour paramètres n et p. On la note B(n ; p).
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Exemple
Une pièce de monnaie n'est pas équilibrée et la probabilité d'obtenir "Pile" est égale à 0,6.
On jette 10 fois cette pièce.
10
7
10-7  10 
7
3
La probabilité d'obtenir 7 fois "Pile" est : p(X = 7) =  7  x 0,6 x (1 - 0,6)
=  7  x 0,6 x 0,4
10
Une calculatrice ou un ordinateur donne  7  = 120.
7
3
Donc p(X = 7) = 120 x 0,6 x 0,4 on trouve alors p(X = 7) ≈ 0,21499 .
Propriété
(voir démonstration 01)
Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et soit k un entier tel que 0 £ k £ n
n
n
● 
●   = 1
0=1
n
n   n   n+1 
n  n 
● 
● 
 k  +  k+1  =  k+1 
 k  =  n-k 
Triangle de Pascal
Les nombres 
(voir démonstration 02)
n
avec 0 £ k £ n sont donnés par le triangle de Pascal :
k
k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 …
1
n=0
1
1
n=1
1
2
1
n=2
1
3
3
1
n=3
1
4
6
4
1
n=4
1
5
10
10
5
1
n=5
1
6
15
20
15
6
1
n=6
n=7
Remarques
●
●
●
●
 0  est égal à 1.
0
n
n
n   n+1 
n
Les relations   = 1 ;   = 1 et   + 
=
permettent de passer d'une ligne du
0
n
k
k+1   k+1 
On admet que le coefficient
triangle de Pascal à la suivante et permettent alors de compléter la ligne correspondant à n = 7.
Les résultats sont évidemment identiques à ceux trouvés dans l'exercice 09.
On peut vérifier sur le triangle de Pascal que chaque ligne comporte des valeurs symétriques par rapport
n
n 
à son centre, ce qui traduit la propriété   = 
.
k
n-k 
n 
n
On peut justifier assez simplement que   = n ; 
=n.
1
n-1 
Exercice 10
(voir réponses et correction)
Dans un schéma de Bernoulli comportant 9 répétitions la probabilité du succès est 0,65.
On appelle X le nombre de succès obtenus.
Déterminer p(X = 0) ; p(X = 3) ; p(X = 8) ; p(X £ 2).
On donnera dans chaque cas la valeur exacte puis une valeur approchée à 10-6 près.
Remarque
Dans une feuille de tableur
●
●
n k
p (1 - p)n-k avec la formule =LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; 0)
k
Par exemple =LOI.BINOMIALE(8 ; 9 ; 0,65 ; 0) donnera la valeur 0,100373 (voir exercice 10)
on pourra obtenir la valeur de p(X = k) = 
on pourra obtenir la valeur de p(X £ k) en utilisant la formule =LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; 1)
Par exemple =LOI.BINOMIALE(2 ; 9 ; 0,65 ; 1) donnera la valeur 0,011182 (voir exercice 10)
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Exercice 11
(voir réponses et correction)
( avec un tableur )
On jette 10 fois de suite une pièce pour laquelle la probabilité de "Pile" est égale à p.
On appelle X le nombre de "Pile" obtenus.
1°) Dans cette question on suppose que p = 0,63
a) Donner dans le tableau ci-dessous la loi de probabilité de X. (valeurs arrondies à 10-5 près)
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P(X = xi)
b) Représenter cette loi de probabilité par un diagramme en bâtons.
c) Calculer l'espérance mathématique de X (valeur arrondie à 10-2 près).
2°) En utilisant un fichier de tableur, donner la loi de probabilité de X et son espérance mathématique.
(La valeur de p sera indiquée dans une cellule de façon à pouvoir être modifiée facilement)
Conjecturer l'expression de l'espérance de X en fonction de p.
Propriété
(admise)
On considère la loi binomiale B(n ; p) de paramètres n et p.
Son espérance mathématique est : E = n x p
Sa variance est : V = n x p x (1 - p) et son écart-type est :
σ=
nxp
x
(1 - p) .
Exemple
●
●
Si on répète 10 fois une épreuve de Bernoulli dans laquelle la probabilité du succès est 0,63 l'espérance
mathématique du nombre de succès est : 10 x 0,63 = 6,3. (Résultat obtenu dans l'exercice 11)
On pourra aussi vérifier la formule de l'espérance sur les résultats des exercices 01 ; 03 ; 06 et 07.
Exercice 12
(voir réponses et correction)
Un QCM (questionnaire à choix multiples) est composé de 8 questions indépendantes.
Pour chaque question quatre réponses sont proposées et une seule de ces quatre réponses est juste.
Un candidat répond au hasard aux 8 questions de ce QCM.
On appelle N le nombre de réponses justes qu'il obtient.
1°) Montrer que la loi de probabilité de N est une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2°) Donner la loi de probabilité de N. (valeurs arrondies à 10-6 près)
3°) Représenter cette loi de probabilité par un diagramme en bâtons.
4°) Calculer l'espérance mathématique de N.
5°) Comment doit-on noter ce QCM pour qu'un candidat qui répond au hasard ait en moyenne 0.
Exercice 13
(voir réponses et correction)
Un joueur joue à pile ou face avec une pièce équilibrée.
1°) On suppose qu'il joue 3 fois de suite en misant 1 euro à chaque partie. S'il obtient "Face" il perd sa mise
et son gain algébrique est donc de -1 euro. S'il obtient "Pile", il reçoit 2 fois sa mise, son gain algébrique
est donc de 1 euro (2 euros reçus moins 1 euro de mise).
Soit G le gain obtenu à la fin des trois tirages. Justifier que l'espérance mathématique E(G) est égale à 0
et déterminer avec une calculatrice l'écart-type σ(G).
2°) En espérant gagner davantage, le joueur décide
d'arrêter le jeu dès qu'il a obtenu "Pile".
La situation peut se représenter par l'arbre ci-contre
sur les branches duquel on indiquera les probabilités.
Donner dans ces conditions l'espérance E(G) et
l'écart-type σ(G) et comparer avec le 1°).
3°) Il décide maintenant d'arrêter le jeu dès qu'il a obtenu
"Pile", mais il double la mise chaque fois qu'il obtient
"Face". Ainsi, s'il obtient "Pile" à la première partie son
gain algébrique est de 1 euro et le jeu est terminé, et
s'il obtient Face à la première partie il perd un euro
mais le jeu continue avec une mise de 2 euros.
Calculer dans ces conditions l'espérance E(G) et
l'écart-type σ(G) et comparer avec le 1°) et le 2°).
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P
P
F
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P
F
F
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Exercice 14
(voir réponses et correction)
On appelle "expérience" le fait de jeter 15 fois un dé cubique parfaitement équilibré dont les faces sont
numérotées de 1 à 6. On s'intéresse au nombre d'obtentions de la face n°6.
1°) Justifier que la probabilité d'obtenir 3 fois la face n°6 est à peu près égale à 0,236
2°) Créer un algorithme permettant de simuler cette expérience.
3°) Modifier l'algorithme précédent pour répéter 1 000 fois l'expérience et vérifier le résultat de la question 1.
Exercice 15
(voir réponses et correction)
( avec un tableur )
On appelle "expérience" le fait de jeter 15 fois un dé cubique parfaitement équilibré dont les faces sont
numérotées de 1 à 6. On s'intéresse au nombre d'obtentions de la face n°6.
En utilisant une feuille de tableur :
1°) Entrer dans la plage A1:A16 les nombres entiers de 0 à 15.
15
2°) Dans la cellule B1 entrer la formule =COMBIN(15;A1) donnant le coefficient  0  .
15 
Recopier cette formule sur la plage B2:B15 pour obtenir tous les coefficients 
avec 0 £ k £ 15.
k 
3°) Dans la cellule C1 entre la formule =B1*(1/6)^A1*(5/6)^(15-A1) donnant la probabilité d'obtenir 0 fois la
face n°6. Recopier cette formule vers le bas pour obtenir dans la colonne C la loi binomiale B15 ; 1.
6

Vérifier que la somme des probabilités est bien égale à 1.
4°) Dans la cellule D1 entrer la formule =LOI.BINOMIALE(A1;15;1/6;0) et vérifier que le résultat est identique
à celui obtenu dans la cellule C1. Recopier cette formule vers le bas et vérifier que les résultats sont
identiques à ceux de la colonne C.
5°) Représenter graphiquement la loi binomiale B15 ; 1 par un diagramme à barres.
6

II Échantillonnage
Propriété
(rappel)
On considère un caractère ayant une proportion p dans une population donnée.
On considère des échantillons de taille n dans cette population.
Si 0,2 £ p £ 0,8 et si n ³ 25 alors 95% au moins des échantillons sont tels que la fréquence du caractère
dans l'échantillon appartient à l'intervalle p - 1 ; p + 1 .
n
n

Cet intervalle est appelé intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
Remarque
Plus la taille n de l'échantillon est grande et plus la fréquence observée dans l'échantillon est proche de la
fréquence existant dans la population.
Exemple
D'après l'Insee, la proportion de femmes dans la population française est d'environ 51,6 %.
● Si on observe des échantillons de 100 personnes représentatifs de cette population, alors 95 % d'entre
eux doivent correspondre à une fréquence se trouvant dans l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.
On a p = 0,516 et n = 100. L'intervalle de fluctuation au seuil de 95% est alors :
p - 1 ; p + 1  = 0,516 - 1 ; 0,516 + 1  = [0,416 ; 0,616]
100
100 
n
n 

● Si on observe des échantillons de 1000 personnes l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est alors :
p - 1 ; p + 1  = 0,516 - 1 ; 0,516 + 1  soit environ [0,484 ; 0,548]
1000
1000 
n
n 

● Si on observe des échantillons de 10000 personnes l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est alors :
1
1
p - 1 ; p + 1  = 0,516  = [0,506 ; 0,526]
; 0,516 +
10000
10000 
n
n 

Imaginons que l'on observe des échantillons de 10000 personnes atteints d'une certaine maladie M.
Si l'on trouve que, pour seulement 80% des échantillons la proportion de femmes est dans l'intervalle
[0,506 ; 0,526], alors on pourra penser que la répartions hommes/femmes pour les personnes atteintes de
la maladie M n'est pas la même que la répartition hommes/femmes dans la population générale.
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Exercice 16
(voir réponses et correction)
D'après l'Insee, la proportion de femmes dans la population française est d'environ 51,6 %.
Un observateur se place à la sortie d'une gare et note le sexe des personnes qui passent.
On admettra que la proportion de femmes dans la population qui sort de la gare est identique à la proportion
de femmes dans la population française.
On peut assimiler le passage des personnes à un schéma de Bernoulli.
1°) Déterminer la probabilité que les quatre premières personnes qui sortent soient toutes des hommes.
2°) Déterminer la probabilité que, sur les dix premières personnes qui sortent, il y ait exactement cinq
femmes.
3°) a) Compléter, en utilisant une calculatrice ou un ordinateur, le tableau suivant correspondant à la loi de
probabilité du nombre N de femmes parmi les dix premières personnes qui sortent. (On donnera les
résultats à 10-4 près)
ni
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p(N=ni)
b) Justifier que p(N ∈ [2 ; 8]) ³ 95 % .
Exercice 17
(voir réponses et correction)
( avec un tableur )
Une estimation donne 30 % des intentions de vote à une personne politique que l'on appellera A.
On interroge un échantillon de 50 personnes et on admet que les réponses successives correspondent à un
schéma de Bernoulli. On note N le nombre de personnes interrogées qui déclarent vouloir voter pour A.
1°) Quels sont les paramètres de la loi binomiale associée à N.
2°) Calculer la probabilité que 4 personnes exactement sur les 50 déclarent vouloir voter pour A et en donner
une valeur approchée.
3°) Calculer la probabilité que 45 personnes exactement sur les 50 déclarent vouloir voter pour A et en
donner une valeur approchée.
Dans toute la suite on utilisera une feuille de tableur.
4°) Entrer dans la plage A1:A51 les nombres entiers de 0 à 50.
Dans la cellule B1 entrer la formule =LOI.BINOMIALE(A1;50;0,3;0) donnant la probabilité de l'événement
(N = 0). (0 correspond à la valeur contenue dans la cellule A1)
Recopier cette formule sur la plage B2:B51 pour obtenir p(N = k) pour tout entier k avec 0 £ k £ 50 .
On vérifiera les valeurs obtenues dans les questions 2 et 3.
5°) Dans la cellule C1 entrer la formule =B1
Dans la cellule C2 entrer la formule =C1+B2
Recopier cette formule vers le bas jusqu'en C51.
À quoi correspondent les valeurs contenues dans la colonne C ?
6°) Déterminer le plus petit entier a tel que p(N £ a) > 2,5 % .
7°) Déterminer le plus petit entier b tel que p(N £ b) ³ 97,5 % .
8°) Justifier que p(N ∈ [a ; b] ) ³ 95 % .
9°) Donner l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% lorsqu'on interroge 50 personnes à propos de leur vote
pour A. Comparer avec les valeurs précédentes.
Propriété
Soit X le nombre de succès dans la répétition d'une épreuve soumise à une loi binomiale B(n ; p).
Soit a le plus petit entier tel que p(X £ a) > 2,5 % .
Soit b le plus petit entier tel que p(X £ b) ³ 97,5 % .
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de réalisation du succès est l'intervalle
a ; b  .
n n
Remarques
●
●
●
Les valeurs de a et b définies ci-dessus sont telles que p(X ∈ [a ; b] ) ³ 95 % .
L'intervalle est déterminé en supprimant les valeurs les plus petites correspondant à une probabilité de
2,5 % et les valeurs les plus grandes correspondant à une probabilité de 2,5 %.
Cet intervalle de fluctuation au seuil de 95% est à peu près le même que celui donné par
p - 1 ; p + 1  mais il n'est pas centré en p.
n
n

Si on voulait un intervalle de fluctuation au seuil de 90 %, on considèrerait :
a' le plus petit entier tel que p(X £ a') > 5 % .
b' le plus petit entier tel que p(X £ b') ³ 95 % .
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Exemple
On émet l'hypothèse qu'un caractère se présente dans une population avec une proportion de 0,516.
On observe, sur un échantillon de taille 50, la fréquence de ce caractère et on trouve f = 0,4.
On se pose la question de savoir si cette fréquence est "compatible" avec l'hypothèse émise.
On considère le diagramme à barres ci-dessous représentant la loi binomiale B(50 ; 0,516).
On peut justifier (en utilisant un fichier de tableur par exemple) que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %
est obtenu avec a = 19 et b = 33, c'est donc l'intervalle 19 ; 33 = [0,38 ; 0,66].
50 50
Cet intervalle est obtenu en "rejetant" les valeurs inférieures à a (et correspondant à une probabilité
de 2,5 %) et les valeurs supérieures à b (et correspondant à une probabilité de 2,5 %).
accepté
rejeté
rejeté
a
b
La fréquence observée f = 0,4 se trouve dans l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, l'hypothèse selon
laquelle le caractère se présente avec une proportion de 0,516 n'est pas rejetée.
Propriété
On considère l'hypothèse qu'un caractère se présente dans une population avec une proportion p.
On observe, sur un échantillon de taille n, la fréquence f de ce caractère.
On détermine l'intervalle a ; b de fluctuation au seuil de 95 % de la loi binomiale B(n ; p).
 n n
a b
● Si la fréquence observée f ne se trouve pas dans  ; , on rejette l'hypothèse (au risque de 5 %).
 n n
(c'est-à-dire que l'on considère que le caractère ne se présente pas avec une proportion p)
a b
● Si la fréquence observée f se trouve dans  ; , on ne rejette pas l'hypothèse.
n n
(c'est-à-dire que l'on considère que le caractère peut se présenter avec une proportion p)
Remarque
Plus la taille de l'échantillon sera grande, plus l'intervalle de fluctuation sera restreint.
Avec l'exemple ci-dessus, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est :
● [0,38 ; 0,66] pour un échantillon de taille 50 ;
● [0,42 ; 0,61] pour un échantillon de taille 100 ;
● [0,485 ; 0,55] pour un échantillon de taille 1000.
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Exercice 18
(voir réponses et correction)
( avec un tableur )
En utilisant une feuille de tableur, donner la loi binomiale B(50 ; 0,516).
Justifier que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est l'intervalle [0,38 ; 0,66].
Comparer avec l'intervalle p - 1 ; p + 1 .
n
n

Exercice 19
(voir réponses et correction)
( avec un tableur )
Un constructeur affirme que la probabilité qu'un de ses téléviseurs ait une panne dans les 5 ans suivant son
achat est égale à 0,12.
1°) Déterminer, en utilisant un tableur, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence de panne
pour un échantillon de 100 téléviseurs.
2°) Une association de consommateurs effectue un test sur 100 personnes ayant ce modèle de téléviseur.
Dans cet échantillon, 17 personnes ont eu une panne dans les 5 ans suivant leur achat. Que peut-on
penser de l'affirmation du constructeur ?
3°) L'association pense maintenant effectuer un test sur 500 personnes. Déterminer, en utilisant un tableur
ou un algorithme, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence de panne pour un échantillon
de 500 téléviseurs. Interpréter.
Exercice 20
(voir réponses et correction)
1°) Créer un algorithme permettant de trouver les entiers a et b correspondant à l'intervalle de fluctuation à
95 % pour une loi binomiale de paramètres n et p. (On prendra n < 70)
2°) En utilisant cet algorithme montrer que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la loi binomiale
B(50 ; 0,516) est l'intervalle [0,38 ; 0,66].
3°) En utilisant cet algorithme montrer que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la loi binomiale
B(60 ; 0,18) est l'intervalle [0,08 ; 0,29].
Exercice 21
(voir réponses et correction)
Une société fabrique des boîtes en plastique de deux couleurs : des vertes et des bleues.
La fabrication est automatisée et la machine est réglée à un niveau de 42 % de boîtes vertes et 58 % de
boîtes bleues, correspondant à la demande du marché.
Un test est fait sur un échantillon de 180 boîtes prélevées au hasard.
1°) L'échantillon comporte autant de boîtes bleues que de boîtes vertes. La machine est-elle déréglée ?
2°) À partir de combien de boîtes bleues et de boîtes vertes obtenues sur un échantillon de 180 boîtes doiton penser que la machine s'est déréglée ?
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