PROBABILITES ET STATISTIQUES L2 STAPS AK PROBABILITES Vocabulaire des probabilités L'univers Ω ''omega'' Un événement A, son contraire A L’événement impossible Ø L'intersection A ∩ B La réunion A U B Événements incompatibles A ∩ B = Ø Vocabulaire des probabilités L'univers Ω ''omega'' Un événement A, A A A Vocabulaire des probabilités L’événement impossible Ø L'intersection A ∩ B A B Vocabulaire des probabilités L'univers Ω ''omega'' La réunion A U B A B A B P(A U B)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Probabilités conditionnelles Soit A et B deux événements, la probabilité de B sachant A . P ( A∩ B) PA(B) ou P (B|A) = P ( A) B A A B B B Probabilités conditionnelles Soit A et B deux événements, p(B)= p(B ∩ A) + p(B ∩ A) B A A B B B Indépendance de deux événements A et B sont indépendants lorsque : PA(B)= P(B) Ou PB(A)= P(A) On obtient alors la formule P(A ∩ B)= P(A)* P(B) Propriétés fondamentales 0< P(A) <1 P(A) = 1 - P(A) P(A U B)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B) VARIABLES ALEATOIRES Quantitatives La variable discrète ne prend que des valeurs entières ( ex : le nombre d'étudiants). La variable continue prend toutes les valeurs possibles ( ex : les notes obtenues en Anglais). VARIABLES ALEATOIRES Qualitatives Variable nominale variable qualitative dont les valeurs ne peuvent pas être ordonnées (ex : couleur des cheveux). Variable ordinale variable qualitative dont les valeurs peuvent être ordonnées (ex : mentions au baccalauréat). VARIABLES ALEATOIRES Fonction qui à chaque événement élémentaire d'une expérience aléatoire associe un nombre réel k. X est la variable aléatoire k sa réalisation P(X= k) Le nombre de carton rouge lors d'un PSG vs ARSENAL P(X= 0), P(X= 2), P(X= 3) Loi de probabilité IL s'agit de calculer l'ensemble des P(X=ki)= pi Pi étant la probabilité que xi se réalise. Le nombre de carton rouge lors d'un PSG vs ARSENAL P(X= 0)= 1/7 P(X= 1)= 4/7 P(X= 2)= 2/7 Loi de probabilité Le nombre de carton rouge lors d'un lors d'un PSG vs ARSENAL P(X= 0),P(X= 1), P(X= 2), P(X= 3) k 0 1 2 P(X=k ) 1/7 4/7 2/7 Loi de probabilité Carton rouge lors d'un match PSG vs ARSENAL L'Espérance mathématiques ou moyenne E(X) E(X) = k1p1+ k2p2 + ... +knpn k P(X=k ) 0 1/7 1 4/7 2 2/7 E(X)= (0*1/7) + (1*4/7) +( 2*2/7) = 8/7 Loi de probabilité Carton rouge lors d'un match PSG vs OM La Variance V(X) = V(X) = E(X2)- (E(X))2 = k12p1+ k22p2 + ... +kn2pn- (E(X))2 k P(X=k ) 0 1/7 1 4/7 2 2/7 V(X)= (0²*1/7) + (1²*4/7) +( 2²*2/7) – (8/7)² = 0.40816 Loi de probabilité Carton rouge lors d'un match PSG vs OM ● L'écart type σx = √V ( X ) k P(X=k ) σx = √0.40816 0 1/7 = 0.6388 1 4/7 2 2/7 Arrangements et Combinaisons Notation factorielle Soit n un entier naturel Factoriel de n n ! = n*(n-1)*(n-2)*....*4*3*2*1 Par convention 0!= 1 Exemple : ● 5!= 5*4*3*2*1 ● 12!= 12*11*10 ! =12*11*10*9*8* ...1 Arrangements et Combinaisons Combinaisons Soit k et n des entiers naturels () n k Exemple : () 5 2 = = n! k !(n − k )! Combinaisons de k éléments parmi n 5! 2!(5− 2)! Arrangements et Combinaisons Combinaisons calculatrice TI Maths / PRB /combinaisons ou ncr CASIO OPTN / Prob /combinaisons ou ncr Exemple : 5 Combinaison 2 () 5 2 = 5! 2!(5− 2)! LOIS DE PROBABILITE 1. Loi binomiale 2. Loi de poisson 3. Loi Normale 4. Loi de student Schéma de Bernoulli → Loi binomiale (loi discrète) Une épreuve comportant 2 issues possibles « succès » ou « l'échec » avec p la probabilité du succès et q celle de l'échec. B E S B B B Loi binomiale (loi discrète) E E E S E S S Loi binomiale X~ B( n, p ) X la VA et k sa réalisation ( k = 0,1,2 ...n). P(X=k) = () n k n-k . ( p) . (q) k Loi binomiale (loi discrète) Répétition de n épreuves de Bernoulli de façon indépendante. Soit X une variable aléatoire, X suit une loi binomiale de paramètre n et p. X~ B( n, p ) Loi binomiale X~ B( n, p ) X la VA et k sa réalisation ( k = 0,1,2 ...n). La probabilité q = (1- p) P(X=k) = () n k n-k . ( p) . (q) k Loi binomiale X~ B( n, p ) L'espérance E(X) = np La Variance V(X) = npq = np(1-p) L'écart-type σ = √V ( x) Loi binomiale X~ B( n, p ) L'espérance E(X) = np La Variance V(X) = npq = np(1-p) L'écart-type σ = √V ( x)