CC3 2014

Probabilités, L2424, 2014
Contrôle continu 3
Exercice 1. Une chaîne de montage d’ordinateurs utilise un lot de processeurs contenant 2% d’éléments défectueux. En
début de chaîne, chaque processeur est vérifié par un testeur dont la fiabilité n’est pas parfaite de telle sorte que la probabilité
que le testeur déclare le processeur bon (respectivement mauvais) sachant que le processeur est réellement bon (respectivement mauvais) vaut 0.95 (respectivement 0.94). On note DB l’événement “processeur déclaré bon”, DM l’événement
“processeur déclaré mauvais”, B l’événement “processeur bon”, M l’événement “processeur mauvais”.
1. Calculons la probabilité qu’un processeur soit déclaré bon.
On utilise pour cela la formule des probabilités totales :
P(DP) = P(DB | B)P(B) + P(DB | M)P(M).
Or
P(DB | M) = 1 − P(DM | M) = 1 − 0.94 = 0.06,
d’où
P(DB) = 0.95 × 0.98 + 0.06 × 0.02 = 0.9322.
2. La probabilité qu’un processeur déclaré bon soit réellement bon s’en déduit :
P(B | DB) =
P(DB | B)P(B)
= 0.999.
P(DB)
3. De même la probabilité qu’un processeur déclaré mauvais soit réellement mauvais est
P(M | DM) =
P(DM | M)P(M)
P(DM)
avec P(DM) = 1 − P(DB) ' 0.068, donc
P(M | DM) =
0.94 × 0.02
' 0.28.
0.068
Exercice 2.
1. L’expérience est la suivante : l’épreuve de l’appel téléphonique de la secrétaire vers un correspondant
est répétée n fois et ces n épreuves sont mutuellement indépendantes.
De plus, chaque épreuve n’a que deux issues possibles : le correspondant est joint avec la probabilité p (succès) ou
le correspondant n’est pas joint avec la probabilité 1 − p (échec).
La variable X considérée représente le nombre de succés et suit
donc une loi binômiale de paramètres (n, p).
n k
C’est-à-dire X(Ω) = {0, ..., n} et ∀k ∈ {0, ..., n} P(X = k) =
p (1 − p)n−k .
k
2. (a) Soit i ∈ {0, ..., n}. Sous la condition (X = i), la secrétaire rappelle n − i correspondants lors de la seconde série
d’appels et donc :
  n−i k
p (1 − p)n−i−k si k ∈ {0, ..., n − i}
P(Y = k|X = i) =
k

0 sinon
1
k
k
(b) Z(Ω) = {0, ..., n} et ∀k ∈ {0, ..., n} P(Z = k) = ∑ P(X = i ∩Y = k − i) = ∑ P(Y = k − i|X = i)P(X = i).
i=0
i=0
k n−i n k
p (1 − p)2n−k−i .
Soit k ∈ {0, ..., n}. D’après les questions précédentes, P(Z = k) = ∑
k
−
i
i
i=0
n−i n
(n − i)!
n!
n!
k!
n!
k n
=
=
=
=
.
Or
k−i
i
(n − k)! (k − i)! i! (n − i)! (k − i)! (n − k)! i! (k − i)! i! k! (n − k)!
i
k
i
k
k
k n k
n k
k
1
Donc P(Z = k) = ∑
p (1 − p)2n−k−i =
p (1 − p)2n−k ∑
.
k
k
1− p
i=0 i
i=0 i
n−k
2− p k
n k
n
2n−k
p (1 − p)
(p(2 − p))k (1 − p)2
.
Donc d’après le binôme de Newton, P(Z = k) =
=
k
k
1− p
On vérifie que 1 − p(2 − p) = (1 − p)2 et donc on peut conclure que :
Z suit une loi binomiale de paramètre (n, p(2 − p)).
(c) D’après le cours, comme Z suit une loi binomiale de paramètre (n, p(2 − p)), alors :
E(Z) = np(2 − p) et V (Z) = np(2 − p) (1 − p(2 − p)) = np(2 − p)(p − 1)2 .
Exercice 3. On considère une variable aléatoire X de densité
x
ce 0 ≤ x ≤ 1
f (x) =
.
0
sinon
1. La fonction f est positive et continue par morceaux. Cette fonction définie une densité de probabilité si et seulement
si elle est positive et son intégrale vaut 1, c’est à dire
Z 1
Z
1=
f (t)dt =
0
R
donc c =
cex dx = [cex ]10 = c(e − 1)
1
e−1 .
2. La fonction de répartition F de X est définie par
F(x) = P(X ≤ x) =
Z x
f (t)dt =
−∞


si
x≤0
si 0 ≤ x ≤ 1 .
si
x≥1
0
ex −1
e−1
1

3. Nous avons
Z 1/2
Z 1/2
P(−3 < X < 1/2) =
f (x)dx =
−3
f (x)dx =
0
e1/2 − 1
e−1
4. Nous avons par intégration par parties
1
E(X) = x f (x)dx =
e−1
R
Z
Z 1
0
Z 1
1
1
x 1
x
xe dx =
[xe ]0 −
e dx =
.
e−1
e−1
0
x
Nous avons de même par double intégration par parties
1
e−1
Z 1
x2 ex dx =
0
e−2
.
e−1
On en déduit donc que
Var(X) = E(X 2 ) − E(X)2 =
2
e−3
.
e−1
Exercice 4. On suppose que l’intervalle de temps entre deux voitures successives à un passage à niveau peu fréquenté suit
une loi exponentielle de moyenne 30 minutes. On suppose de plus qu’il y a indépendance entre les intervalles de temps
séparant les instants de passage de voitures.
1. Pour tout n > 0, on note Xn la variable aléatoire qui représente le temps en minutes qui sépare le passage de la
(n − 1)ième voiture de la n-ième voiture. La variable aléatoire Xn suit une loi exponentielle de paramètre 1/30. Son
espérance est E(X1 ) = 30 et sa variance est Var(X1 ) = 900.
2. On note Sn l’instant de passage de la n-ième voiture. Par définition Sn = X1 + ... + Xn .
3. Enoncer le théorème central limite : voir le cours !
4. Calculer une valeur approchée de la probabilité qu’il y ait plus de 50 voitures qui empruntent le passage à niveau une
journée donnée.
On veut déterminer
P(S50 ≤ 24 × 60).
Or on a
S50 − 50 × 30 24 × 60 − 50 × 30
−2
2
√
√
P(S50 ≤ 24 × 60) = P
'F √
= 1−F √
' 0.39.
≤
30 × 50
30 × 50
50
50
On utilisera le fait que
R
√2
50
−∞
2
√1 e−x /2 dx
2π
= 0.61.
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