♣ TS. Contrôle 1 - Correction E X 1 : ( 5 points ) Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que 30 % des membres de cette association adhèrent à la section tennis. On choisit au hasard un membre de cette association et on note : – F l’évènement « le membre choisi est une femme », – T l’évènement « le membre choisi adhère à la section tennis ». 1. a. Montrer que la probabilité de l’évènement F est égale à 52 . Notons p la probabilité que le membre choisi au hasard soit une femme. L’arbre de probabilités correspondant à la situation est : T = (T ∩ F) ∪ (T ∩ F). C’est une réunion d’événements incompatibles, donc : p(T) = p(T ∩ F)) + p(T ∩ F) = p F (T)p(F) + p F (T)p(F). µ ¶ 1 1 1 1 1 1 1 p(T) = p × + (1 − p) × = − p+ =− p+ 4 3 4 3 3 12 3 p F • 1−p 1 4 T 3 4 T 1 3 T 2 3 T F 30 3 1 1 3 p 1 3 1 12 2 = . On en déduit : − p + = ⇐⇒ = − = d’où p = = . 100 10 12 3 10 12 3 10 30 30 5 2 La probabilité de l’événement F est : p(F) = 5 On sait que p(T) = 30% = b. On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis. Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ? p(F ∩ T) p T (F) = = p(T) p 4 3 10 = 10p 5p 5 2 2 1 1 = = × = = ; p T (F) = 3×4 6 6 5 6 3 3 2. Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie. On utilise une urne contenant 100 jetons ; 10 jetons exactement sont gagnants et rapportent 20 euros chacun, les autres ne rapportent rien. Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer 5 ( puis tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l’urne : il reçoit alors 20 euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont ensuite remis dans l’urne. On note X la variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des 5 () réalisé par un joueur lors d’une partie de cette loterie. a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. ¡ ¢ Le nombre de tirages possibles de deux jetons est 100 2 = 4 950. X peut prendre perdants). à les ! valeurs 35 (deux jetons gagnants), 15 (un seul jeton gagnant) et -5 (deux à jetons ! 90 10 2 2 4 005 89 45 1 != != p(X = −5) = à = p(X = 35) = à = 4 950 110 4 950 110 100 100 2 2 µ ¶ ¡ ¢ 1 89 90 20 2 p(X = 15) = 1 − p(X = 0) + p(X = 2) = 1 − + = 1− = = . 110 110 110 110 11 La loi de probabilité de X est donc : X p (X = x i ) -5 15 35 89 110 2 11 1 110 b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X et interpréter le résultat obtenu. 3 89 2 1 110 P L’espérance est E(X) = x i p (X = x i ) = −5 × + 15 × + 35 =− = −1. E(X) = −1 110 11 110 110 i =1 Cela signifie qu’en moyenne, sur un grand nombre de partie, le joueur perd 1 euro par partie. Soit (u n ) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par E X 2 : ( 7 points ) u 1 = u n+1 Pour tout entier naturel n non nul, u n est strictement positif. 1. Calculer u 2 , u 3 et u 4 . 1+1 1 • u2 = u1 = 2×1 2 2. • u3 = 2+1 3 1 3 u2 = × = 2×2 4 2 8 • u4 = 1 2 n +1 un = 2n 3+1 4 3 1 u3 = × = 2×3 6 8 4 a. Démontrer que la suite (u n ) est décroissante. u n+1 n + 1 n + 1 u n+1 Soit n ∈ ∗ , alors = = donc 6 1. Comme u n > 0 on en déduit que u n+1 6 u n un 2n n +n un la suite (u n ) est décroissante. N b. Que peut-on en déduire pour la suite (u n ) ? (sachant que pour n > 1, u n est strictement positif ) La suite (u n ) est décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente vers une limite ` > 0. un 3. Pour tout entier naturel n non nul, on pose v n = . n a. Démontrer que la suite (v n ) est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme v 1 . u n+1 1 n+ 1 1 1 1 Soit n ∈ ∗ , alors : v n+1 = = × un = × un = v n . n +1 n +1 2n 2 n 2 1 1 La suite (v n ) est donc une suite géométrique de raison et de premier terme v 1 = u 1 = . 2 2 n b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, u n = n . 2 µ ¶n−1 1 un n 1 pour tout n ∈ ∗ : v n = v 1 × , que u n = n = n , on en déduit, comme v n = 2 2 n 2 N N 4. a. Démontrer que pour tout n > 5, on a : 2n > n 2 . Démonstration par récurrence : – Initialisation : on a 25 > 52 , soit 32 > 25 donc la propriété est vraie pour n = 5 – Hérédité : supposons qu’il existe n > 5 tel que 2n > n 2 . je suppose la proposition vraie au rang n Alors 2 × 2n > 2 × n 2 2n+1 > 2n 2 Comme n > 5, 2n 2 > (n + 1)2 en effet, 2n > (n + 1) ⇐⇒ n − 2n > 1 ⇐⇒ (n − 1)2 > 2 ⇐⇒ n > 3 avec n ∈ Finalement 2n+1 > (n + 1)2 . – Conclusion : la proposition est vraie pour n = 5 , elle est héréditaire 2 2 2 N donc par récurrence on a, quel que soit n > 5, alors la proposition est vraie au rang n + 1 2n > n 2 b. En déduire la limite de la suite (u n ). 2n n 1 1 Pour n > 5, 2n > n 2 ⇐⇒ > n ⇐⇒ n < ⇐⇒ u n < n 2 n n 1 1 • lim = 0 et pour tout entier naturel 0 < u n < n→+∞ n n donc par comparaison ("théorème des gendarmes") : lim u n = 0 n→+∞ Remarque. On aurait pu déterminer la limite ` de la suite (u n ) dès la question 2. b. n +1 1 En effet la relation u n+1 = u n entraîne que, lorsque n tend vers +∞, ` = ` et donc que ` = 0. 2n 2 E X 3 : ( 8 points ) On considère plusieurs sacs de billes S 1 , S 2 , . . . , S n , . . . tels que : – le premier, S 1 , contient 3 billes blanches et 2 vertes ; – chacun des suivants, S 2 , S 3 , . . . , S n , . . . contient 2 billes blanches et 2 vertes. Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution des tirages successifs d’une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante : • on tire au hasard une bille dans S 1 ; on place la bille tirée de S 1 dans S 2 , puis on tire au hasard une bille dans S 2 ; on place la bille tirée de S 2 dans S 3 , puis on tire au hasard une bille dans S 3 ; • etc. Pour tout entier n > 1, on note En l’évènement : « la bille tirée dans S n est verte » et on note P(En ) sa probabilité. 1. Mise en évidence d’une relation de récurrence a. D’après l’énoncé, donner les valeurs de P(E1 ), PE1 (E2 ) et PE1 (E2 ). En déduire la valeur de P(E2 ). Chaque tirage se faisant au hasard, on utilise dans chaque cas la loi équirépartie. 2 3 2 D’après l’énoncé, P(E1 ) = PE1 (E2 ) = et PE1 (E2 ) = 5 5 5 Avec la formule des probabilités totales, p(E2 ) = p(E1 ∩ E2 ) + p(E1 ∩ E2 ) = p(E1 ) × p E1 (E2 ) + p(E1 ) × PE1 (E2 ) p(E2 ) = 2 3 3 2 12 × + × = 5 5 5 5 25 b. À l’aide d’un arbre pondéré, exprimer P(En+1 ) en fonction de P(En ). P(En+1 ) = p(En ) × p En (En+1 ) + p(En ) × PEn (En+1 ) 3 2 D’après les conditions des tirages p En (En+1 ) = et PEn (En+1 ) = 5 5 donc P(En+1 ) = p(En ) × P(En ) En • 1 − P(En ) En 3 5 En+1 2 5 En+1 2 5 En+1 3 5 En+1 3 1 2 2 + p(En ) × soit P(En+1 ) = × p(En ) + 5 5 5 5 2 u 1 = ¡ ¢ 5 2. Étude d’une suite - On considère la suite u n définie par : 1 2 u n+1 = ·u n + 5 5 (?) pour tout n > 1. 1 2 On a tracé, en annexe 1, la droite ∆ d’équation y = x et la droite d’équation y = x + . 5 5 a. Placer u 1 , u 2 et u 3 sur l’axe des abscisses. Faire apparaître les traits de construction. b. Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite (u n ) ? 3. On peut conjecturer que la suite est croissante et convergente vers l’abscisse du point d’intersection des deux droites. ¡ ¢ 1 a. Démontrer que la suite u n est majorée par . 2 1 Démontrons par récurrence que, pour tout entier n > 1, on a u n 6 2 1 – Initialisation : au rang n = 1 on a bien u 1 6 , donc la propriété est vraie pour n = 1 2 1 je suppose la proposition vraie au rang n – Hérédité : supposons qu’il existe n > 1 tel que u n 6 . 2 Alors 1 1 1 × un 6 × 5 5 2 1 2 1 1 2 × un + 6 × + 5 5 5 2 5 1 u n+1 6 . alors la proposition est vraie au rang n + 1 2 – Conclusion : la proposition est vraie pour n = 1 , elle est héréditaire ¡ ¢ 1 1 donc par récurrence on a, quel que soit n > 1, un 6 la suite u n est majorée par 2 2 ¡ ¢ b. Démontrer que la suite u n est croissante. ¶ µ 1 2 2 4 4 1 Pour tout entier n > 1, on a u n+1 − u n = × u n + − u n = − u n = − un . 5 5 5 5 5 2 D’après la question précédente, la parenthèse est toujours positive donc la différence u n+1 −u n est toujours ¡ ¢ positive, donc la suite u n est croissante. ¡ ¢ c. Justifier que la suite u n est convergente. ¡ ¢ La suite u n est croissante et majorée, elle est donc convergente. 1 2 d. On déduit de la relation (?) que la limite ` de cette suite est telle que ` = ` + . Déterminer `. 5 5 1 2 4 2 2 1 ` = ` + ⇐⇒ ` = ⇐⇒ ` = = 5 5 5 5 4 2 Finalement 4. À l’aide des résultats précédents, déterminer l’évolution des probabilités P(En ). ¡ ¢ ¡ ¢ Comme u 1 = P(E1 ) et que la suite u n est définie par la même relation de récurrence que la suite P(En ) , 1 il s’agit de la même suite. Les probabilités P(En ) forment donc une suite croissante et convergente vers . 2 5. En conservant toutes les décimales, compléter le tableau donné en annexe 2, à l’aide de votre calculatrice. X est une variable réelle ; Y est une variable entière Affecter 25 à X et 1 à Y Tant que X < 0,499 99 Faire 2 1 àX Affecter ·X + 5 5 Affecter Y + 1 à Y Fin de Tant que Afficher Y 6. On donne l’algorithme suivant : À l’aide du tableau de l’annexe 2, déterminer la valeur affichée par l’algorithme. Pour déterminer quelles valeurs de l’entier n on a 0,499 99 6 P(En) 6 0, 5, on a calculé les premiers termes de la suite à l’aide d’une calculatrice. La première valeur qui convient est n = 7 et, comme la suite est croissante et majorée par 0, 5, on a 0,499 99 6 P(En) 6 0, 5 pour tout n > 7 NOM : Annexe 1 0,55 ∆ y = 15 x + 25 0,50 0,45 0,40 0,4 u1 u2 x 0,5 u3 Annexe 2 n un 1 0, 4 2 3 4 5 6 7 8 0,48 0,496 0,499 2 0,499 84 0,499 968 0,499 993 6 0,499 998 72