Statistiques inférentielles Objectif Présentation du problème

BTS2 Statistiques inférentielles 2011-2012
Objectif
On cherche le lien entre les propriétés d’un caractère sur une population de taille Net un échantillon de cette population
de taille n.
Présentation du problème
Exemple 1
Un fabricant de pétards pour feux d’artifice désire connaître la proportion de pétards défectueux dans la production
hebdomadaire qui est de 10 000 pétards. Doit-il faire griller ses 10 000 pétards pour connaître ce nombre ?
Exemple 2
Une laiterie produit 1 million de yaourts par semaine. A la suite d’une rupture de la chaîne du froid dans la fabrication,
il se produit une crainte de prolifération de la bactérie listéria monocytogene dans cette production.
On estime que jusqu’à 5 % de la population peut être porteuse de listéria monocytogene dans les intestins, sans
ressentir d’effets de maladie.
Par mesure de précaution, la laiterie est prête à détruire cette production si la proportion de yaourts infectés dépasse
1 %.
Doit-on analyser un à un tout les yaourts pour détecter cette présence ? (ce qui reviendrait encore plus cher qu’une
destruction pure et simple).
En décidant de prélever un échantillon de 100 yaourts pour lequel on détermine la proportion de yaourts infectés ; que
nous indique ce résultat ?
Par exemple, que dire si la proportion de yaourts infectés est égale à de 2% ?
1. Aurait-on obtenu le même pourcentage en prélevant un autre échantillon ?
2. La taille 100 de l’échantillon est-elle suffisante au vu de la taille de la production ?
3. Quelle confiance accorder au fait que cette analyse ait conduit à une proportion de 2 % ?
4. Aurait-on gagné en fiabilité si l’on avait analysé 500, 1 000, 10 000 yaourts ?
Analyse d’un exemple
Pour bien comprendre le phénomène analysons, en détail, un exemple avec une population réduite à 5 éléments et un
échantillon de taille 2 : Ω = {2; 3; 6; 8; 11}
Voir le fichier Excel joint : Après avoir activé les macro-commandes, consulter successivement les pages M0, M1, M2,
M3, M4.
Ne pas oublier de cliquer sur le bouton Moyennes des feuilles M2, M3, M4.
1Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré

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Phase 1 : Analyse ( Echantillonnage )
On connaît les caractéristiques de la population. On étudie les caractéristiques de l’échantillon.
Population
Effectif : N
Moyenne : m
Ecart type : σ
Probabilité : p
Echantillon
Effectif : n
Moyenne : me
Ecart type : σe
Probabilité : fe
Fluctuation d’échantillonnage
La simulation nous permet de constater des fluctuations des valeurs de me,σeet feen fonction des échantillons : C’est
la fluctuation d’échantillonnage.
Si l’on calcule la moyenne de chacun des échantillons possibles de taille nalors :
•La moyenne de ces moyennes des échantillons est égale à m.
•L’écart type de ces moyennes des échantillons est égale à σ
√n
Si l’on calcule la fréquence d’un caractère pour chacun des échantillons possibles de taille nalors :
•La moyenne de ces fréquences des échantillons est égale à p.
•L’écart type de ces fréquences des échantillons est égale à rpq
n
Si l’on calcule la variance de chacun des échantillons possibles de taille nalors :
•La moyenne de ces variances des échantillons est égale à n−1
nσ2.
Remarque : Plus la taille de l’échantillon est grande, plus l’intervalle de fluctuation diminue.
Lois limites
Propriété 1
Etant donné une population de taille Nsur laquelle on étudie un caractère de moyenne met d’écart type σ.
Lorsque l’on prélève des échantillons de taille nassez grand ( n≥30 ), la loi d’échantillonnage des moyennes peut
être approchée par la loi N(m;σ
√n)
Propriété 2
Etant donné une population de taille Nsur laquelle on étudie un caractère de fréquence p.
Lorsque l’on prélève des échantillons de taille nassez grand ( n≥30 ), la loi d’échantillonnage des fréquences
peut être approchée par la loi Np;rpq
n(rem : σ=√pq)
2Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré

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Propriété 3
Etant donné une population de taille Nsur laquelle on étudie un caractère de moyenne met d’écart type σ.
Lorsque l’on prélève des échantillons de taille nassez grand ( n≥30 ), la loi d’échantillonnage des variances peut
être approchée par une loi de moyenne n−1
nσ2
Pour info : La loi d’échantillonnage des variances peut être approchée par une loi en khi-carré avec n−1degrés de
liberté.
Phase 2 : Estimation
On connaît les caractéristiques de l’échantillon. On voudrait en déduire les caractéristiques de la population.
Population
Effectif : N
Moyenne : m
Ecart type : σ
Probabilité : p
Echantillon
Effectif : n
Moyenne : me
Ecart type : σe
Probabilité : fe
Estimation
Estimation ponctuelle
La moyenne de l’échantillon est me, on estime alors que la moyenne de la population est m=me.
La fréquence de l’échantillon est fe, on estime alors que la fréquence de la population est p=fe.
L’écart type de l’échantillon est σe, on estime alors que l’écart type de la population est σ=rn
n−1σe.
3Bernard GAULT Lycée Blaise Pascal Segré

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Intervalle de confiance d’une moyenne
Nous étudions un caractère d’une population dont la moyenne est met l’écart type σ.
La variable aléatoire Xqui, à chaque échantillon de taille nassocie sa moyenne, suit la loi Nm;σ
√n.
La variable aléatoire centrée réduite T=X−m
σ
√n
suit la loi N(0; 1).
On se fixe un seuil de risque αou un niveau de confiance 1 - α, on détermine alors le réel ttel que P(−t < T < t) = 1−α:
Exemple : Les valeurs les plus courantes du niveau de confiance 1−αet de tcorrespondantes sont données dans le
tableau ci-dessous :
1−α99 % 98 % 95 % 90 %
t2,58 2,33 1,96 1,645
2Π(t)−1
−t
t
α
2
α
2
Or : −t < T < t ⇔ −t < X−m
σ
√n
< t ↔ −tσ
√n<X−m < t σ √n
Si l’on tire un échantillon, on obtient une valeur de X, la relation ci-dessus va nous permettre de déterminer un
encadrement de la moyenne mde la population.
P(−t < T < t)⇐⇒ P
−t < X−m
σ
√n
< t
= 1 −α⇐⇒ PX−tσ
√n< m < X+tσ √n= 1 −α.
Ce dernier intervalle s’appelle l’intervalle de confiance au seuil de risque de αou au coefficient de confiance de 1−α.
Intervalle de confiance d’une fréquence
Nous étudions un caractère d’une population dont la fréquence est p.
La variable aléatoire Xqui, à chaque échantillon de taille nassocie sa fréquence, suit la loi Np;rpq
n.
La variable aléatoire centrée réduite T=X−p
rpq
n
suit la loi N(0; 1).
Soit αla probabilité, fixée à l’avance, pour que Tn’appartienne pas à l’intervalle [−t;t], nous pouvons écrire :
P(−t < T < t) = 1 −α⇐⇒ P
−t < X−p
rpq
n
< t = 1 −α⇐⇒ PX−trpq
n< p < X+trpq n= 1 −α.
Remarque : Comme la valeur de pest inconnue, on ne connaît donc pas l’écart type rpq
n. On le remplace alors par
son estimation ponctuelle rfe(1 −fe)
n−1
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