CC3 2014

Probabilités, L2424, 2014
Contrôle continu 3
Exercice 1. Une chaîne de montage d’ordinateurs utilise un lot de processeurs contenant 2% d’éléments défectueux. En
début de chaîne, chaque processeur est vérifié par un testeur dont la fiabilité n’est pas parfaite de telle sorte que la probabilité
que le testeur déclare le processeur bon (respectivement mauvais) sachant que le processeur est réellement bon (respectivement mauvais) vaut 0.95 (respectivement 0.94).
1. Calculer la probabilité qu’un processeur soit déclaré bon.
2. Calculer la probabilité qu’un processeur déclaré bon soit réellement bon.
3. Calculer la probabilité qu’un processeur déclaré mauvais soit réellement mauvais.
Exercice 2. Une secrétaire effectue n appels téléphoniques vers n correspondants distincts.
On admet que les n appels constituent n expériences indépendantes et que pour chaque appel, la probabilité d’obtenir le
correspondant demandé est p(p ∈ ]0, 1[).
Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de correspondants obtenus.
1. Donner la loi de X. Justifier.
2. La secrétaire rappelle une seconde fois, dans les mêmes conditions, chacun des n − X correspondants qu’elle n’a pas
pu joindre au cours de la première série d’appels. On note Y la variable aléatoire représentant le nombre de personnes
jointes au cours de la seconde série d’appels.
(a) Soit i ∈ {0, ..., n}. Déterminer, pour k ∈ N, P(Y = k|X = i).
(b) Prouver que Z = X +Y suit une loi binomiale dont on déterminera le paramètre.
(c) Déterminer l’espérance et la variance de Z.
Exercice 3. On considère une variable aléatoire X de densité
cx(1 − x) 0 ≤ x ≤ 1
f (x) =
.
0
sinon
1.
2.
3.
4.
Evaluer c pour que f soit une densité de probabilité.
Déterminer la fonction de répartition F de X. Donner son allure.
Calculer P(−3 < X < 1/2).
Déterminer l’espérance et la variance de X.
Exercice 4. On suppose que l’intervalle de temps entre deux voitures successives à un passage à niveau peu fréquenté suit
une loi exponentielle de moyenne 30 minutes. On suppose de plus qu’il y a indépendance entre les intervalles de temps
séparant les instants de passage de voitures.
1. Pour tout n > 0, on note Xn la variable aléatoire qui représente le temps en minutes qui sépare le passage de la
(n − 1)-ième voiture de la n-ième voiture. Donner la loi de Xn , son espérance et sa variance.
2. On note Sn l’instant de passage de la n-ième voiture. Exprimer Sn en fonction des variables aléatoires Xk .
3. Enoncer le théorème central limite.
4. Calculer une valeur approchée de la probabilité qu’il y ait plus de 50 voitures qui empruntent le passage à niveau une
journée donnée.
On utilisera le fait que
R
√2
50
−∞
2
√1 e−x /2 dx
2π
= 0.61.
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