Liste d`exercices 1

M1: EXERCICES DE PROBABILITÉS 1
ESPÉRANCE CONDITIONNELLE, CHAÎNES DE MARKOV, MARTINGALES
1. Espérance conditionnelle
Exercice 1. Soient X1et X2deux variables aléatoires indépendantes, de loi de Poisson
de paramètre λ. Soit Y=X1+X2. Calculer
P(X1=i|Y).
Exercice 2. Soit (X, Y )un vecteur de R2distribué uniformément sur le disque fermé de
rayon unité. Calculer la densité conditionnelle de Xétant Y.
Exercice 3. Le vecteur aléatoire (X, Y )a pour densité
fX,Y (x, y) = x
√2πexp(−1
2x(y−x))1{x>0}1{y>0}.
Déterminer la densité conditionnelle de Ysachant X=x.
Exercice 4. Soit (X, Y )un couple de variables aléatoires de densité jointe
f(x, y) = 4y(x−y) exp(−(x+y))10≤y≤x.
4.1. Calculer E[X|Y].
4.2. Calculer P(X < 1|Y).
Exercice 5. Soient X1et X2deux variables aléatoires telles que X1=X2sur B∈ F.
Montrer que
E[X1|F] = E[X2|F]p.s. sur B.
Exercice 6. On considère un jeu de pile ou face, où la probabilité d’obtenir pile (resp.
face) est p(resp. 1−p), 0<p<1. Un joueur A effectue une série de lancers ; il gagne
dès que le nombre de pile dépasse de deux unités le nombre de fois où l’on a obtenu face.
Il perd si le nombre de face dépasse de deux unités le nombre de fois où l’on a obtenu
pile. Le jeu s’arrête lorsque A a gagné ou perdu .
6.1. Soit Enl’événement: "le jeu continue après 2nlancers", n≥1. Montrer que P(En) =
rnoù rest un réel que l’on déterminera.
6.2. Calculer la probabilité pour que le joueur A gagne et montrer que le jeu s’arrête.
Exercice 7. Soit Nune v.a. à valeurs dans {0,1, ..., n}; on note αk=P(N=k). On
considère (n;n≥0) une suite de v.a. indépendantes, de même loi: P(0= 1) = p;P(0=
0) = q, avec p+q= 1, p > 0, q > 0. On suppose que Nest indépendante de la famille
(n;n≥1). On définit alors la v.a. Xpar la relation: X=PN
k=1 k.
7.1. Calculer la loi de X. Exprimer
•E[X]à l’aide E[N].
•E[X2]à l’aide E[N]et E[N2].
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2 ESPÉRANCE CONDITIONNELLE, CHAÎNES DE MARKOV, MARTINGALES
7.2. Soit p0∈]0,1[. Déterminer la loi de Npour que la loi conditionnelle de Nsachant
X= 0 soit la loi binomiale B(n, p0).
Exercice 8. On considère les relations:
P(X= 0) = 1
3;P(X= 2n) = P(X=−2n) = 2−n 3;∀n≥1.(1)
8.1. Montrer que les relations (1) définissent une loi de probabilité d’une v.a.r. X.
8.2. On introduit la probabilité de transition:
Q(0, .) = 1
2(δ2+δ−2), Q(x, .) = 1 2(δ0+δ2x), x ∈R∗,
où δadésigne la mesure de Dirac en a. Soit Yune seconde v.a.r. telle que la loi condi-
tionnelle de Ysachant Xest donnée par la probabilité de transition Q. Montrer alors
que E(Y|X) = Xet Yet Xont même loi.
Exercice 9. Soient Xet Ydeux v.a.r. indépendantes et de loi uniforme sur [0,1]. On
pose U= inf{X, Y }et V= sup{X, Y }. Calculer E[U|V]et la meilleure prédiction de U
par une fonction affine de V.
Exercice 10. Soit G∈ G. Montrer que
P(G|A) = RGP(A|G)dP
RΩP(A|G)dP .
Il s’agit de la version générale de la formule de Bayes.
Exercice 11. Soient Xet Ydeux variables aléatoires telles que X≤Y, et a > 0.
11.1. Montrer que E[X|F]≤E[Y|F].
11.2. Montrer que
P(|X| ≥ a|F)≤E[X2|F]
a2.
Exercice 12. On note Bnl’ensemble des boréliens de Rn, et soit Snl’ensemble des
boréliens symétriques Ade Rn, i.e. −A=A.
12.1. Montrer que Snest une sous-tribu de Bnet qu’une v.a. Yest Sn-mesurable si et
seulement si Y(−x) = Y(x).
12.2. On dit qu’une probabilité Psur (Rn,Bn)est symétrique si P(A) = P(−A)pour
tout Aappartenant à Bn. Montrer que si φest une v.a.r. positive ou intégrable par
rapport à Psur Rn, on a: E[φ|Sn](x) = 1
2(φ(x) + φ(−x)).
12.3. On suppose n= 1 et on note Xl’application identité de Rdans R. Déterminer
E[φ||X|=x]et E[φ|X2=x].
Exercice 13. Donner un exemple sur Ω = {a, b, c}pour lequel
E[E[X|F1]|F2]6=E[E[X|F2]|F1].
Exercice 14. Soient Xet Ydeux variables aléatoires.
14.1. Montrer que si Xet Ysont indépendantes, alors E[X|Y] = E[X].
14.2. Donner un exemple de variables aléatoires à valeurs dans {−1,0,1}telles que X
et Yne sont pas indépendantes, alors que E[X|Y] = E[X].

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Exercice 15. Soient n≥1un entier fixé et p1, p2, p3trois réels positifs vérifiant p1+p2+
p3= 1. On note
pi,j =n!pi
1pj
2pn−i−j 3
i!j! (n−i−j)!
lorsque i+j≤net pi,j = 0 sinon.
15.1. Montrer qu’il existe un couple de v.a. (X, Y )tel que P(X=i, Y =j) = pi,j .
15.2. Déterminer la loi de X, celle de Yet la loi de Ysachant X=i.
15.3. Calculer E[XY ].
Exercice 16. Soient X1, X2, ..., Xn,nv.a.r. intégrables, indépendantes et de même loi.
On note m=E[X1]et Sn=Pn
i=1 Xi.
16.1. Calculer E[Sn|Xi]pour tout i, 1≤i≤n.
16.2. Calculer E[Xi|Sn]pour tout i, 1≤i≤n.
16.3. On supposera que n= 2 et que les v.a. Xiont une densité commune ϕ. Calculer
la densité conditionnelle de Xisachant S2. Poursuivre les calculs lorsque Xisuit une loi
exponentielle.
Exercice 17. Soient Xet Ydeux v.a.r., Yde loi exponentielle. On suppose que la loi
de Xconditionnellement à Y=yest une loi de Poisson de paramètre y.
17.1. Calculer la loi du couple (X, Y ), celle de X, et la loi de Ysachant X=n.
17.2. Montrer que E[(Y−X)2] = 1, en conditionnant par rapport à Y, puis par rapport
àX(on rappelle que que si ξsuit une loi γa,b et αest une v.a. géométrique de paramètre
p, alors E[ξ] = ab, V arξ =ab2, E[α]=1/p, V arα = (1 −p)/p2).
Exercice 18. Soient X1, X2, ..., Xn,nv.a.r. indépendantes, admettant pcomme densité
commune.
18.1. Montrer que pour tout i6=j, P (Xi=Xj)=0. On note alors X(1), X(2), ..., X(n)la
suite {X1, X2, ..., Xn}ordonnée par ordre croissant:
X(1) < X(2) < ... < X(n).
18.2. Montrer que X(1), X(2), ..., X(n)admet pour densité
f(x1, x2, ..., xn) = n!p(x1)p(x2)...p(xn)1{x1<x2<...<xn}
18.3. On suppose à présent que la loi commune des Xiest la loi uniforme sur [a, b].
(1) Déterminer la densité de (X(1), X(n)).
(2) On note µn(a, b;x1, x2, ..., xn)la densité de X(1), X(2), ..., X(n). Montrer que con-
ditionnellement à X(1) =x1et X(n)=xnle vecteur X(2), X(3), ..., X(n−1) a pour
densité µn−2(x1, xn;x2, x3, ..., xn−1). En déduire que
X(2) −X(1)
X(n)−X(1)
,...,X(n−1) −X(1)
X(n)−X(1) 
est une v.a. indépendante de (X(1), X(n))et a pour densité µn−1(0,1; .).
Exercice 19. On considère un espace mesurable (Ω,F)et {Ai;i≤n}des collections de
parties de Ωtelles que Ai⊂ F.

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19.1. Montrer que si les Aisont indépendantes et forment chacune un π-système, alors
les σ(Ai)sont indépendantes.
19.2. Soit {Xi;i≤n}une collection de variables aléatoires réelles. Montrer que ces
variables aléatoires sont indépendantes si et seulement si
P(X1≤x1, . . . , Xn≤xn) = Y
i≤n
P(Xi≤xi)
pour tout n-uplé (x1, . . . , xn)∈Rn.
2. Chaînes de Markov
Exercice 20. Soit (E, E)un espace dénombrable muni de la σ-algèbre de ses parties, π
une probabilité de transition de Evers E,νune mesure de probabilité sur (E, E). On
pose
νπ(A) = X
y∈E
ν(y)π(y, A), A ∈ F.
Montrer que νπ est une mesure positive sur (E, E). Expliciter νπ(f)lorsque f: (E, E)−→
(R+,B+). Donner une interprétation de νπ. Vérifier: (νπ)π0=ν.(ππ0), π0désignant une
seconde probabilité de transition de Evers F.
Exercice 21. Soit (Xn;n≥0) une chaîne de Markov sur (E, E), de loi initiale µet de
probabilité de transition π. Montrer que si ret ssont deux entiers tels que r≥1et s > 1,
alors les deux processus (Xn+r;n≥0) et (Xsn;n≥0) sont des chaînes de Markov.
Exercice 22. On suppose que le temps qu’il fera demain dépend des deux jours précé-
dents. On fait de plus les hypothèses suivantes:
(1) S’il a plu les deux jours précédents (état 0), il pleuvra demain avec probabilité 0.7,
(2) S’il a plu aujourd’hui mais pas hier (état 1), il pleuvra demain avec probabilité
0.5,
(3) S’il a plu hier mais pas aujourd’hui (état 2), il pleuvra demain avec probabilité
0.4,
(4) S’il n’a pas plu les deux jours précédents (état 3), il pleuvra demain avec probabilité
0.2.
22.1. Montrer que cette situation peut etre modélisée par une chaîne de Markov.
22.2. Sachant qu’il a plu lundi et mardi, quelle est la probabilité qu’il pleuve jeudi?
Exercice 23. Soit (ξn;n≥0), une suite de v.a., indépendantes et équidistribuées, à
valeurs dans un espace dénombrable E. On pose:
Xn= (ξn, ξn+1); n≥0.
23.1. Montrer que (Xn)est une chaîne de Markov.
23.2. Calculer π2, où πdésigne la matrice de transition de (Xn), interpréter ce résultat.
Exercice 24. Soient (Xn;n≥0) une chaîne de Markov sur (E, E), de probabilité de
transition π, et f: (E, E)−→ (F, F).
24.1. Montrer que (f(Xn); n≥0) est une chaîne de Markov, lorsque fest bijective.
24.2. Montrer que ((Xn, f(Xn)); n≥0) une chaîne de Markov.

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24.3. On suppose E=Z, X0= 0, π(x, x+1) = π(x, x−1) = 1/2. Vérifier que le processus
(|Xn|;n≥0) est une chaîne de Markov.
Exercice 25. Soit (Xn;n≥0) une chaîne de Markov sur S={0,1}, de probabilité de
transition 1−α α
β1−β
et de mesure initiale µ. Montrer que
Pµ(Xn= 0) = β
α+β+ (1 −α−β)nµ(0) −β α+β.
Exercice 26. Soit {ξj;j≥1}une suite de variables iid, uniformes sur E={0, . . . , N}.
On pose Xn= (ξ1, . . . , ξn). Montrer que {Xn;n≥1}est une chaîne de Markov inho-
mogène, dont on calculera la probabilité de transsition.
Exercice 27. Soit {ξj;j≥1}une suite de variables iid, à valeurs dans Z, de loi symétrique
par rapport à 0. On pose Xn=Pj≤nξj, avec X0= 0. On cherche à montrer ici le principe
de réflexion pour cette marche aléatoire: si a > 0, on a
P0sup
m≤n
Xm> a≤2P0(Xn> a).(2)
On définit pour cela une suite de variables aléatoires {Ym(ω); m≥1}par
Ym(ω) = 1(m≤n, ωn−m>a).
On pose aussi
N= inf{l≤n;Xl> a},
avec la convention inf(∅) = ∞.
27.1. Montrer que, si y > a, on a Ey[Ym]≥1
2.
27.2. Montrer que YN◦θN=1(Xn>a).
27.3. Montrer que (N < ∞)=(N≤n)et que sur (N < ∞), on a
E0[YN◦θN|FN]≥1
2.
27.4. Déduire (2) des deux questions précédentes.
Exercice 28. Soit (Xn;n≥0) une chaîne de Markov sur (E, E), de probabilité de tran-
sition π. On note Fn=σ(X0, X1, ..., Xn). Une fonction f: (E, E)−→ (R,R)est dite
invariante ou harmonique pour πsi
X
E|f(y)|π(x, y)< K et X E
f(y)π(x, y) = f(x),
pour tout xde E.
28.1. Soit fune fonction harmonique vérifiant de plus PE|f(y)|ν(y)<∞, où νest la
loi de X0. Montrer que (f(Xn); n≥0) est une Fn- martingale.
28.2. On suppose que Eest fini et contient deux états absorbants aet b:π(a, a) =
π(b, b)=1. On note σ(x) = inf{n≥0; Xn=x}et T=σ(a)∧σ(b).
(1) Montrer: P({Xn=c;∀n≥0}|X0=c) = 1 lorsque c=aou b.