Leçon 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exem- ples.

Leçon 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.
Pré-requis :
−
Espace probabilisé1
−
Variables aléatoires réelles, espérance, variance, indépendance2
Soit Ω un ensemble fini. On peut définir une application P : Ω
espace probabilisé.
[0, 1], ce qui fait de (Ω, P(Ω), P ) un
1 Premières définitions et notations
Définition 1. On appelle épreuve de Bernoulli toute épreuve ne possédant que deux issues possibles, le
succès S de probabilité p et l’ échec E de probabilité 1 − p.
Remarque. L’univers Ω est donc réduit à deux éléments : Ω = {E , S }. p est un élément de [0, 1].
Notation 2. Si X désigne une variable aléatoire réelle schématisant une épreuve de Bernoulli, on note :
•
{X = 1} l’événement : « l’épreuve est un succès ». On a ainsi P (X = 1) = p.
•
{X = 0} l’événement : « l’épreuve est un échec ». On a ainsi P (X = 0) = 1 − p.
Définition 3. On dit, sous les conditions de la notation 2., que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p. On note X B(p).
Exemples.
−
Le lancer d’une pièce équilibrée est une épreuve de Bernoulli car elle ne comporte que deux issues
possibles : L’événement « obtenir pile », assimilé ici au succès, et l’événement « obtenir face ». Si
on note X la variable aléatoire réelle associée à cette épreuve de Bernoulli, on a :
1
- L’événement {X = 1} associé à « obtenir pile », et de probabilité P (X = 1) = 2 .
1
- L’événement {X = 0} associé à « obtenir face », et de probabilité P (X = 0) = 2 .
1
Ici, X B 2 .
1. On énoncera la définition de tribu et on développera la notion d’espace probabilisé dans les annexes.
2. Pour une définition de toutes ces notions, se reporter à la leçon portant sur les variables aléatoires réelles.
1
2
Section 2
−
Le lancer d’un dé équilibré peut aussi être assimilé à une épreuve de Bernoulli, si par exemple on
s’intéresse à l’événement « obtenir 1 » assimilé au succès de l’épreuve. Ainsi, l’événement « ne pas
obtenir 1 », c’est à dire « obtenir 2 ou 3 ou 4 ou
5 ou 6 » assimilé à l’échec. Sous ces conditions, on
1
5
1
a P (X = 1) = 6 et P (X = 0) = 6 . Ici, X B 6 .
Remarque. Une variable aléatoire réelle de Bernoulli (c’est à dire schématisant une épreuve de Bernoulli) est en réalité toute variable aléatoire réelle à valeurs dans {0, 1}. L’événement succès est la partie
de Ω définie par S = X −1{1} et l’échec est Ω X −1{1}, soit E = X −1{0}.
Théorème 4. Si X
B(p), alors E(X) = p et V (X) = p(1 − p).
Preuve. Il suffit d’utiliser la formule de l’espérance d’une variable aléatoire réelle et de sa variance.
On obtient :
2
X
E(X) =
xi.P (X = xi) = 1.P (X = 1) + 0.P (X = 0) = 1.p + 0.(1 − p) = p
i=1
et
V (X) = E((X − E(X))2) = (1 − p)2.p + (0 − p)2(1 − p) = (1 − p)[p(1 − p) + p2] = p(1 − p)
De manière équivalente, en utilisant la formule de Koenig,
E((X − E(X))2) = E(X 2) − E(X)2
et en remarquant bien que E(X 2) = E(X) car X 2 = X !
2 Schéma de Bernoulli et loi binomiale
On répète maintenant n fois une épreuve de Bernoulli (n > 1). On a donc pour univers Ω̃ = Ωn. A
chaque épreuve, on associe une variable aléatoire réelle Xi, i ∈ J1, nK, de loi de Bernoulli de paramètre p,
c’est à dire :
−
Xi prend ses valeurs dans Ω̃ et est à valeurs dans {0, 1}, définie par Xi(ε1, , εn) = εi, qui vaut 0 en
cas d’échec et 1 en cas de succès.
−
P(Xi = εi) = p si εi = 1 et P(Xi = εi) = 1 − p si εi = 0.
Ainsi on a, pour tout i ∈ J1, nK, Xi B(p). On suppose, pour i ∈ J1, nK, Xi est indépendante de X1, ,
Xi−1 et que le résultat de la i-ème épreuve ne dépend pas du résultat des épreuves précédentes, c’est à
dire
P(Xi = εi |X1 = ε1, , Xi−1 = εi−1) = P(Xi = εi)
avec εi ∈ {0, 1}, pour tout i ∈ J1, nK.
Définition 5. L’univers Ω̃ muni de la probabilité P définie ci-dessus est appelé schéma de Bernoulli à
n épreuves, de paramètre p.
3
Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Ceci mis
P en place, on définit pour la suite une nouvelle variable aléatoire réelle, notée Yn, définie telle
que Yn = ni=1 Xi. Yn compte le nombre de succès après n épreuves de Bernoulli répétées indépendamment. On va s’intéresser à la probabilité de l’événement {Yn = k}. Cet évènement correspond au fait
d’avoir exactement k succès à l’issue d’une répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, c’est pourquoi on peut écrire :
{Yn = k} = {(X1, , Xn) = (ε1, , εn)} =
n
\
{Xi = εi }
i=1
Définition 6. Sous ces conditions, on dit que Yn suit une loi binomiale de paramètres n et p. On note
Yn B(n, p).
B(n, p), alors P(Yn = k) =
Théorème 7. Si Yn
n
k
.pk.(1 − p)n−k
Tn
Preuve. On sait que {Yn = k} = i=1 {Xi = εi }. Dans notre événement {Yn = k}, nous avons exactement k succès, et l’affirmation précédente peut s’écrire
\
{Yn = k} =
{Xi = εi }
Pn
ε =k
i=1 i
D’où, par l’indépendance des Xi,
P(Yn = k) = P
Pn
\
!
{Xi = εi } =
ε =k
i=1 i
et
Y
Pn
ε =k
i=1 i
P(Xi = εi) =
n
k
Y
P(Xi = εi)
Pn
ε =k
i=1 i
Y
n
n
.
.pk.(1 − p)n−k
P(Xi = εi) =
k
i=1
Remarque. A l’aide du binôme de Newton, on a, si p ∈ R,
n X
n
.pk.(1 − p)n−k
1 = 1n = (p + 1 − p)n =
k
k=0
Cette égalité reste donc encore vraie si p ∈ [0, 1].
Exemples.
1. On lance n fois une pièce équilibrée. On s’intéresse à la probabilité d’obtenir pile exactement k fois
sur
lancer est associé à la
aléatoire réelle Xi de loi de Bernoulli
ces
n lancers. Chaque
variable
P
1
1
B 2 . On note Z = ni=1 Xi. On sait que Z B n, 2 . Ainsi, on a
P(Z = k) =
n
k
k n−k n
1
1
1
n
.
=
.
.
k
2
2
2
4
Section 2
Application numérique : Si on effectue 10 lancers, et qu’on s’intéresse à la probabilité d’obtenir 4
piles sur 10 lancers, on a
10
1
10
.
P(Z = 4) =
≃ 0, 21
4
2
Remarque. Comme pour tout k ∈ J 0, nK, P(Z = k) est une probabilité, on a
n
n n
n n X
X
X
X
1
n
n
n
−n
2
=1
=1
P(Z = k) = 1
.
= 2n
k
k
k
2
k=0
k=0
k=0
k=0
On retrouve ainsi la formule donnant le nombre de parties d’un ensemble à n éléments.
2. On lance 8 fois un dé équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir sur 5 lancers un multiple de 3 ?
1
Ici, on effectue huit épreuves de Bernoulli successives et de paramètre p = 3 . Soit Y la
variable
1
aléatoire réelle donnant le nombre de fois où un multiple de 3 apparait. On a donc Y
B 8, 3 , et
5 3
1
2
8
P(Y = 5) =
≃ 0, 07
5
3
3
Théorème 8. Si Yn
B(n, p), alors E(Yn) = np et V (Yn) = np(1 − p).
Preuve.
Pn
Pn
L’espérance est toujours linéaire3, on a ainsi E(Yn) = E
E(Xi), et comme par hypoi=1 Xi =
i=1 P
thèse on a, pour tout i ∈ J1, nK, Xi B(p), on a donc E(Xi) = p, d’où E(Yn) = ni=1 p = np.
Les Xi sont de même
On va montrer que la variance est linéaire : Soit P(n) la
indépendantes.
Pn loi et
Pn
′′. Soient X et X deux variables aléatoires réelles de loi de
propriété P(n): ′′V
X
=
V
(X
)
i
i
1
2
i=1
i=1
Bernoulli de paramètre p et indépendantes.4 On a :
V (X1 + X2) = E((X1 + X2 − E(X1 + X2))2) = E((X1 − E(X1) + X2 − E(X2))2)
= E((X1 − E(X1))2) + 2E((X1 − E(X1))(X2 − E(X2)) + E((X2 − E(X2))2)
= V (X1) + V (X2) + 2E((X1 − E(X1))(X2 − E(X2)))
= V (X1) + V (X2) + 2E(X1 − E(X1))E(X2 − E(X2))
= V (X1) + V (X2) + 2(E(X1) − E(X1))(E(X2) − E(X2)) = V (X1) + V (X2)
Ce qui montre que P(2) est vraie.
Supposons que P(n − 1) est vraie, si on a n variables aléatoires réelles (Xi)i∈J1,nK indépendantes de
même loi de Bernoulli de paramètre p, On a :
!
!
n−1
n−1
X
X
V (Yn) = V
Xi + Xn =(1) V
Xi + V (Xn)
i=1
=(2)
n−1
X
i=1
V (Xi) + V (Xn) =
i=1
n
X
i=1
V (Xi) =
n
X
p(1 − p) = np(1 − p)
i=1
(1) provient du fait que deux variables aléatoires qui ne sont pas de même loi sont indépendantes, puis on applique le cas n = 2.
(2) provient de l’hypothèse de récurrence.
3. Vous pouvez trouver une preuve de la linéarité de l’espérance dans la leçon sur les variables aléatoires réelles.
4. En réalité, deux variables aléatoires réelles qui ne sont pas de même loi sont toujours indépendantes. Si elles sont de
même loi, l’indépendance est nécessaire.
5
Compléments et Bibliographie
Exercice.
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules noires. On tire une boule, on regarde la couleur et on la remet dans l’urne.
Soit X la variable aléatoire réelle comptant le nombre de boules noires tirées au cours de n tirages.
1) Donner la loi de probabilité de X.
2) Si on effectue 6 tirages, quelle est la probabilité d’obtenir au moins deux boules noires ?
3) Combien de tirages doit-on effectuer si l’on veut que la probabilité de l’événement « obtenir au moins une boule noire
» soit supérieure ou égale à 0, 9 ?
Solution:
3
1. X
B n, 8
2. La probabilité cherchée est
=
p = P (X = 2) + + P (X = 6)
2 4 3 3 4 2 5 6
5
5
5
5
3
3
3
3
3
6
6
6
6
+
+
+
+
≃ 0, 73
3
4
5
2
8
8
8
8
8
8
8
8
8
3. Le contraire de l’événement cherché estl’événement « avoir que des boules rouges », dont la probabilité est
5 n
D’où la probabilité cherchée vaut 1 − 8 , et on veut que cette probabilité soit supérieure à 0, 9, soit
n
5
≥ 0, 9
1−
8
n
5
0, 1 ≥
8
Donc n = 5 convient.
ln(0, 1) ≥ n(ln(5) − ln(8))
n≥
ln(0, 1)
≃ 4, 899
ln(5) − ln(8)
3 Annexes
4 Compléments et Bibliographie
A voir aussi :
−
Variables aléatoires densitables. Lois continues.
Bibliographie :
−
http://astroplus.perso.neuf.fr/
−
http://www.capes-de-maths.com/
n
5
8
.