Leçon 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exem- ples.

Leçon 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exem-
ples.
Pré-requis :
−Espace probabilisé1
−Variables aléatoires réelles, espérance, variance, indépendance2
Soit Ωun ensemble fini. On peut définir une application P: Ω [0,1], ce qui fait de (Ω,P(Ω), P )un
espace probabilisé.
1 Premières définitions et notations
Définition 1. On appelle épreuve de Bernoulli toute épreuve ne possédant que deux issues possibles, le
succès Sde probabilité pet l’ échec Ede probabilité 1−p.
Remarque. L’univers Ωest donc réduit à deux éléments : Ω = {E , S }.pest un élément de [0,1].
Notation 2. Si Xdésigne une variable aléatoire réelle schématisant une épreuve de Bernoulli, on note :
• {X= 1}l’événement : « l’épreuve est un succès ». On a ainsi P(X= 1) = p.
• {X= 0}l’événement : « l’épreuve est un échec ». On a ainsi P(X= 0) = 1 −p.
Définition 3. On dit, sous les conditions de la notation 2., que Xsuit une loi de Bernoulli de para-
mètre p. On note X B(p).
Exemples.
−Le lancer d’une pièce équilibrée est une épreuve de Bernoulli car elle ne comporte que deux issues
possibles : L’événement « obtenir pile », assimilé ici au succès, et l’événement « obtenir face ». Si
on note Xla variable aléatoire réelle associée à cette épreuve de Bernoulli, on a :
- L’événement {X= 1}associé à « obtenir pile », et de probabilité P(X= 1) = 1
2.
- L’événement {X= 0}associé à « obtenir face », et de probabilité P(X= 0) = 1
2.
Ici, X B1
2.
1. On énoncera la définition de tribu et on développera la notion d’espace probabilisé dans les annexes.
2. Pour une définition de toutes ces notions, se reporter à la leçon portant sur les variables aléatoires réelles.
1

−Le lancer d’un dé équilibré peut aussi être assimilé à une épreuve de Bernoulli, si par exemple on
s’intéresse à l’événement « obtenir 1 » assimilé au succès de l’épreuve. Ainsi, l’événement « ne pas
obtenir 1 », c’est à dire « obtenir 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 » assimilé à l’échec. Sous ces conditions, on
aP(X= 1) = 1
6et P(X= 0) = 5
6. Ici, X B1 6.
Remarque. Une variable aléatoire réelle de Bernoulli (c’est à dire schématisant une épreuve de Ber-
noulli) est en réalité toute variable aléatoire réelle à valeurs dans {0,1}. L’événement succès est la partie
de Ωdéfinie par S=X−1{1}et l’échec est ΩX−1{1}, soit E=X−1{0}.
Théorème 4. Si X B(p), alors E(X) = pet V(X) = p(1 −p).
Preuve. Il suffit d’utiliser la formule de l’espérance d’une variable aléatoire réelle et de sa variance.
On obtient :
E(X) = X
i=1
2
xi.P (X=xi) = 1.P (X= 1) + 0.P (X= 0) = 1.p + 0.(1 −p) = p
et
V(X) = E((X−E(X))2) = (1 −p)2.p + (0 −p)2(1 −p) = (1 −p)[p(1 −p) + p2] = p(1 −p)
De manière équivalente, en utilisant la formule de Koenig,
E((X−E(X))2) = E(X2)−E(X)2
et en remarquant bien que E(X2) = E(X)car X2=X!
2 Schéma de Bernoulli et loi binomiale
On répète maintenant nfois une épreuve de Bernoulli (n>1). On a donc pour univers Ω
˜= Ωn. A
chaque épreuve, on associe une variable aléatoire réelle Xi,i∈J1, nK, de loi de Bernoulli de paramètre p,
c’est à dire :
−Xiprend ses valeurs dans Ω
˜et est à valeurs dans {0,1}, définie par Xi(ε1,, εn) = εi, qui vaut 0en
cas d’échec et 1en cas de succès.
−P(Xi=εi) = psi εi= 1 et P(Xi=εi) = 1 −psi εi= 0.
Ainsi on a, pour tout i∈J1, nK,Xi B(p). On suppose, pour i∈J1, nK,Xiest indépendante de X1,,
Xi−1et que le résultat de la i-ème épreuve ne dépend pas du résultat des épreuves précédentes, c’est à
dire
P(Xi=εi|X1=ε1,, Xi−1=εi−1) = P(Xi=εi)
avec εi∈ {0,1}, pour tout i∈J1, nK.
Définition 5. L’univers Ω
˜muni de la probabilité Pdéfinie ci-dessus est appelé schéma de Bernoulli à
népreuves, de paramètre p.
2Section 2

Ceci mis en place, on définit pour la suite une nouvelle variable aléatoire réelle, notée Yn, définie telle
que Yn=Pi=1
nXi.Yncompte le nombre de succès après népreuves de Bernoulli répétées indépendam-
ment. On va s’intéresser à la probabilité de l’événement {Yn=k}. Cet évènement correspond au fait
d’avoir exactement ksuccès à l’issue d’une répétition de népreuves de Bernoulli identiques et indépen-
dantes, c’est pourquoi on peut écrire :
{Yn=k}={(X1,, Xn) = (ε1, , εn)}=\
i=1
n
{Xi=εi}
Définition 6. Sous ces conditions, on dit que Ynsuit une loi binomiale de paramètres net p. On note
Yn B(n, p).
Théorème 7. Si Yn B(n, p), alors P(Yn=k) =n
k.pk.(1 −p)n−k
Preuve. On sait que {Yn=k}=Ti=1
n{Xi=εi}. Dans notre événement {Yn=k}, nous avons exacte-
ment ksuccès, et l’affirmation précédente peut s’écrire
{Yn=k}=\
Pi=1
nεi=k
{Xi=εi}
D’où, par l’indépendance des Xi,
P(Yn=k) = P
\
Pi=1
nεi=k
{Xi=εi}!=Y
Pi=1
nεi=k
P(Xi=εi)
et
Y
Pi=1
nεi=k
P(Xi=εi) =n
k.Y
i=1
n
P(Xi=εi) =n
k.pk.(1 −p)n−k
Remarque. A l’aide du binôme de Newton, on a, si p∈R,
1 = 1n= (p+ 1 −p)n=X
k=0
nn
k.pk.(1 −p)n−k
Cette égalité reste donc encore vraie si p∈[0,1].
Exemples.
1. On lance nfois une pièce équilibrée. On s’intéresse à la probabilité d’obtenir pile exactement kfois
sur ces nlancers. Chaque lancer est associé à la variable aléatoire réelle Xide loi de Bernoulli
B1
2. On note Z=Pi=1
nXi. On sait que Z Bn, 1
2. Ainsi, on a
P(Z=k) =n
k.1
2k
.1
2n−k
=n
k.1
2n
Schéma de Bernoulli et loi binomiale 3

Application numérique : Si on effectue 10 lancers, et qu’on s’intéresse à la probabilité d’obtenir 4
piles sur 10 lancers, on a
P(Z= 4) =10
4.1
210
≃0,21
Remarque. Comme pour tout k∈J0, nK,P(Z=k)est une probabilité, on a
X
k=0
n
P(Z=k) = 1 X
k=0
nn
k.1
2n
= 1 2−nX
k=0
nn
k= 1 X
k=0
nn
k= 2n
On retrouve ainsi la formule donnant le nombre de parties d’un ensemble à néléments.
2. On lance 8fois un dé équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir sur 5lancers un multiple de 3?
Ici, on effectue huit épreuves de Bernoulli successives et de paramètre p=1
3. Soit Yla variable
aléatoire réelle donnant le nombre de fois où un multiple de 3apparait. On a donc Y B8,1
3, et
P(Y= 5) =8
51
35
2
33
≃0,07
Théorème 8. Si Yn B(n, p), alors E(Yn) = np et V(Yn) = np(1 −p).
Preuve.
L’espérance est toujours linéaire3, on a ainsi E(Yn) = EPi=1
nXi=Pi=1
nE(Xi), et comme par hypo-
thèse on a, pour tout i∈J1, nK,Xi B(p), on a donc E(Xi) = p, d’où E(Yn) = Pi=1
np=np.
Les Xisont de même loi et indépendantes. On va montrer que la variance est linéaire : Soit P(n)la
propriété P(n): ′′VPi=1
nXi=Pi=1
nV(Xi)′′. Soient X1et X2deux variables aléatoires réelles de loi de
Bernoulli de paramètre pet indépendantes.4On a :
V(X1+X2) = E((X1+X2−E(X1+X2))2) = E((X1−E(X1) + X2−E(X2))2)
=E((X1−E(X1))2) + 2E((X1−E(X1))(X2−E(X2)) + E((X2−E(X2))2)
=V(X1) + V(X2) + 2E((X1−E(X1))(X2−E(X2)))
=V(X1) + V(X2) + 2E(X1−E(X1))E(X2−E(X2))
=V(X1) + V(X2) + 2(E(X1)−E(X1))(E(X2)−E(X2)) = V(X1) + V(X2)
Ce qui montre que P(2) est vraie.
Supposons que P(n−1) est vraie, si on a nvariables aléatoires réelles (Xi)i∈J1,nKindépendantes de
même loi de Bernoulli de paramètre p, On a :
V(Yn) = V X
i=1
n−1
Xi+Xn!=(1) V X
i=1
n−1
Xi!+V(Xn)
=(2) X
i=1
n−1
V(Xi) + V(Xn) = X
i=1
n
V(Xi) = X
i=1
n
p(1 −p) = np(1 −p)
(1) provient du fait que deux variables aléatoires qui ne sont pas de même loi sont indépendantes, puis on applique le cas n= 2.
(2) provient de l’hypothèse de récurrence.
3. Vous pouvez trouver une preuve de la linéarité de l’espérance dans la leçon sur les variables aléatoires réelles.
4. En réalité, deux variables aléatoires réelles qui ne sont pas de même loi sont toujours indépendantes. Si elles sont de
même loi, l’indépendance est nécessaire.
4Section 2

Exercice.
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules noires. On tire une boule, on regarde la couleur et on la remet dans l’urne.
Soit Xla variable aléatoire réelle comptant le nombre de boules noires tirées au cours de ntirages.
1) Donner la loi de probabilité de X.
2) Si on effectue 6tirages, quelle est la probabilité d’obtenir au moins deux boules noires ?
3) Combien de tirages doit-on effectuer si l’on veut que la probabilité de l’événement « obtenir au moins une boule noire
» soit supérieure ou égale à 0,9?
Solution:
1. X Bn, 3
8
2. La probabilité cherchée est
p=P(X= 2) + +P(X= 6)
=6
23
82
5
84
+6
33
83
5
83
+6
43
84
5
82
+6
53
85
5
8+3 86
≃0,73
3. Le contraire de l’événement cherché est l’événement « avoir que des boules rouges », dont la probabilité est 5
8n
.
D’où la probabilité cherchée vaut 1−5
8n
, et on veut que cette probabilité soit supérieure à 0,9, soit
1−5
8n
≥0,9
0,1≥5
8n
ln(0,1) ≥n(ln(5) −ln(8))
n≥ln(0,1)
ln(5) −ln(8) ≃4,899
Donc n= 5 convient.
3 Annexes
4 Compléments et Bibliographie
A voir aussi :
−Variables aléatoires densitables. Lois continues.
Bibliographie :
−http://astroplus.perso.neuf.fr/
−http://www.capes-de-maths.com/
Compléments et Bibliographie 5