Formulaire

LM100 18 mai 2005
1
Formulaire
(Ce que vous devrez savoir par cœur à la fin du cours)
Trigonométrie
απα
απα
sin)1()sin(
cos)1()cos(
n
n
n
n
−=+
−=+
αα
π
αα
π
cos
2
sin
sin
2
cos
=
−
=
−
abbaba
bababa
cossincossin)sin(
sinsincoscos)cos(
+=+
−=+ 1sincos 22 =+ aa
Toutes les autres formules se retrouvent à partir des formules ci-dessus.
aaa
aaa
cossin2)2sin(
sincos)2cos( 22
=
−= abbaba
bababa
cossincossin)sin(
sinsincoscos)cos(
−=−
+
=
−
2
sin
2
cos2sinsin
2
cos
2
sin2sinsin
2
sin
2
sin2coscos
2
cos
2
cos2coscos
qpqp
qp
qpqp
qp
qpqp
qp
qpqp
qp
−+
=−
−+
=+
−
+
−=−
−+
=+
Vous devez savoir utiliser le cercle
trigonométrique pour retrouver par exemple
les expressions du type :
αα
π
ααπ
sin
2
cos
cos)cos(
−=
+
−=−
etc….
α
x
cos
α
sinα
M
u
ur
j
y
uur
i

2
Vecteurs
Egalité de deux vecteurs : Deux vecteurs sont égaux si leurs composantes sont égales deux à deux.
ON NE PEUT JAMAIS ECRIRE xV =
r
, un vecteur =un scalaire
Produit scalaire Produit vectoriel
21 VV
r
r⋅ est un scalaire (= un
nombre réel)
21 VV
r
r
×est un vecteur
définition ),( cos || || || || 211121 VVVVVV
r
r
rr
r
r=⋅ …
directe base uneest ),,(
)(et )(
),(sin || || || ||||||
2121
221121
211121
VVVV
VVVVVV
VVVVVV
rrrr
rrrrrr
r
r
r
r
r
r
×
⊥×⊥×
=×
Expression
analytique
21212121 zzyyxxVV ++=⋅
r
r
dans une base orthonormée
−
−
−
=×
1221
1221
1221
21
yxyx
xzxz
zyzy
VV
rr
dans une base orthonormée directe
propriétés
1221
2
111
2121
|| ||
0
VVVV
VVV
VVVV
rrrr
rrr
r
r
r
r
⋅=⋅
=⋅
⊥⇔=⋅
2121 ,0 VVVV
r
r
r
r
⇔=× colinéaires
0
11 =×VV
r
r
1221 VVVV
r
r
r
r
×−=×
Effets sur les
vecteurs d’une base
orthonormée
directe ),,( kji
r
v
r
0.
1.
=⋅=⋅=
=⋅==⋅
kikjji
kkjjii r
r
r
rrr
r
r
r
r
r
r
...
...
0
kij
kji
kkjjii
r
rr
r
rr
r
r
r
r
r
r
r
−=×
=×
=×=×=×
Mais à quoi ça
sert ?
- à démontrer l’orthogonalité de 2
vecteurs
- à calculer l’angle entre deux
vecteurs
- à calculer la projection d’un
vecteur sur une droite etc…
- à démontrer la colinéarité de 2
vecteurs
- à calculer l’angle entre deux
vecteurs
- à fournir un vecteur orthogonal à 2
vecteurs donnés etc…
Matrices
Type d'une matrice : une matrice à m lignes et n colonnes est dite de type (m,n).
Matrice identité : matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 hors de la diagonale, elle est
notée I ou E.
Egalité de deux matrices : Deux matrices de même type sont égales si leurs composantes sont
égales deux à deux.
Addition et soustraction de matrices : on ne peut faire ces opérations que sur des matrices de même
type. Les matrices s'additionnent ou se soustraient terme à terme.
Exemple : 
++
++
= +
''
''
''
''
ddcc
bbaa
dc
ba
dc
ba

3
Produit de matrices : On peut calculer le produit des matrices A et B si A est de type (m,n) et B de
type (n,p), c'est-à-dire si le nombre d'éléments dans une ligne de A est égal au nombre d'éléments
dans une colonne de B. Le produit est de type (m,p).
Exemple en dimension 3 : 
=ij aA ,  =ij BB,  =∑
=
3
1k
kjik baAB
Pour calculer le produit facilement, mettre les matrices suivant le schéma ci-dessous, le terme de la
matrice produit se trouve au croisement de la ligne et de la colonne qui servent à le calculer.
∑∑
∑∑∑
.........
...
2212
312111
333231
232221
131211
333231
232221
131211
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
baba
bababa
aaa
aaa
aaa
bbb
bbb
bbb
Déterminant: Le déterminant n'existe que pour les matrices carrées.
detA ≠ 0 ⇔ la matrice A est inversible ⇔ il existe une matrice M telle que MA = I
Si la matrice inverse existe elle est notée A-1.
Matrice 2x2 : bcad
dc
ba
dc
ba −==
det
Matrice 3x3 :
333231
232221
131211
333231
232221
131211
det
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
=
332112233211312213133221312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
−−−++=
Remarques :
- il y a d'autres manières de faire le calcul. On peut par exemple développer le déterminant par
rapport à une ligne ou une colonne:
+
−
=
2322
1312
31
3332
1312
21
3332
2322
11
333231
232221
131211
detdetdetdet aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
aaa
aaa
aaa
- on peut, préalablement au développement, ajouter à une ligne (resp. une colonne) une
combinaison linéaires des autres lignes (resp. colonnes).

4
Représentations graphiques des fonctions usuelles
-4
-2
0
2
4
-4 -2 0 2 4 6
x^2
racine(x)
1/x
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-4 -2 0 2 4 6
exp
ln
-1
-0.5
0
0.5
1
-3Pi/2 -Pi -Pi/2 0 Pi/2 Pi 3Pi/2
sin
cos
-10
-5
0
5
10
-3Pi/2 -Pi -Pi/2 0 Pi/2 Pi 3Pi/2
tan
Limites
Si lxf
x= ±∞→ )(lim avec l réel alors f admet une asymptote horizontale d’équation y = l en ±∞
Si ±∞=
→)(lim
0
xf
xx alors f admet une asymptote verticale d’équation x = x0 .
Exponentielle :
0
exp
lim
0explim
explim
>+∞=
=
+∞=
+∞→
−∞→
+∞→
α
α
x
x
x
x
x
x
x
Logarithme : défini seulement pour x > 0
00
ln
lim
lnlim
lnlim
0
>=
−∞=
+
∞
=
+∞→
+→
+∞→
α
α
x
x
x
x
x
x
x
Puissance :
Si n est un nombre entier, xn est défini pour tout
x. pour n > 0, on a :
+=∞−
=∞+
=
+∞=
−∞→
+∞→
12p si
2p si
lim
lim
n
n
x
x
n
x
n
x
Puissance généralisée :
Si
α est un réel non entier positif, x
α
n'est défini
que pour x > 0.
0lim
lim
0
=
+∞=
+→
+∞→
α
α
x
x
x
x

5
Dérivées
Dans les tableaux ci-dessous, f, u et v sont des fonctions, a est un réel.
Dérivées des fonctions usuelles
f(x) f’(x)
a 0
a
x 1−a
ax
x
e x e
xln x/1
xcos xsin−
xsin xcos
xtan x
2
tan1 +
Règles de dérivation :
)('')' )( (
''
'')' (
'')'(
)'( )' (
2
vuvvu
v
uvvu
v
u
uvvuvu
vuvu
uaua
=
−
=
′
+=
+=+
=
Différentielles et dérivées partielles :
f fonction de 2 variables x et y :
dyba
y
f
dxba
x
f
badf ),( ),( ),( ∂
∂
+
∂
∂
=
Différentielle logarithmique (pour les produits et les rapports) :
soient f et g deux fonctions strictement positives, a et b deux réels
g
dg
b
f
df
a
gf
gfd
ba
ba
+=
)( ⇒
)1 ,1(pour
/
)/(
)1(pour
)(
-ba
g
dg
f
df
gf
gfd
ba
g
dg
f
df
fg
fgd
==−=
==+=
différentielle de f au
point (
a, b ) dérivée partielle de f
par rapport à y au point
(a, b)
dérivée partielle de f par
rapport à x au point (
a, b )