Formulaire

LM100 18 mai 2005
Formulaire
(Ce que vous devrez savoir par cœur à la fin du cours)
Trigonométrie
n
cos(α + nπ ) = (−1) cos α
sin(α + nπ ) = (−1) n sin α
cos(a + b) = cosa cosb − sin a sin b
sin(a + b) = sin a cosb + sinb cosa
π

cos − α  = sin α
2

π

sin  − α  = cos α
2

cos2 a + sin2 a = 1
Toutes les autres formules se retrouvent à partir des formules ci-dessus.
2
2
cos(2a) = cos a − sin a
cos(a − b) = cosa cosb + sin a sinb
sin(2a) = 2 sin a cosa
sin(a − b) = sin a cosb − sinb cosa
p+q
p−q
cos
2
2
p+q
p−q
sin p + sin q = 2 sin
cos
2
2
cos p + cos q = 2 cos
p+q
p−q
sin
2
2
p+q
p−q
sin p − sin q = 2 cos
sin
2
2
cos p − cos q = −2 sin
y
Vous devez savoir utiliser le cercle
trigonométrique pour retrouver par exemple
les expressions du type :
uur
sinα
j
cos(π − α ) = − cos α
π

cos + α  = − sin α
2

etc….
M
α
cosα
1
uur
i
x
Vecteurs
Egalité de deux vecteurs : Deux vecteurs sont égaux si leurs composantes sont égales deux à deux.
r
ON NE PEUT JAMAIS ECRIRE V = x , un vecteur =un scalaire
définition
Expression
analytique
Produit scalaire
r r
V1 ⋅ V2 est un scalaire (= un
nombre réel)
r r
r
r
r r
V1 ⋅ V2 =|| V1 || || V1 || cos (V1 ,V2 ) …
r r
V1 ⋅ V2 = x1 x2 + y1 y 2 + z1 z 2
dans une base orthonormée
r r
r r
propriétés
V1 ⋅ V2 = 0 ⇔ V1⊥V2
r r
r
V1 ⋅ V1 =|| V1 ||2
r r
r r
V1 ⋅ V2 = V2 ⋅ V1
r r rr r r
Effets sur les
i ⋅ i = j. j = k ⋅ k = 1
vecteurs d’une base r r r r r r
i.j = j ⋅k = i ⋅k = 0
orthonormée
r v r
directe (i , j , k )
Mais à quoi ça
- à démontrer l’orthogonalité de 2
sert ?
vecteurs
- à calculer l’angle entre deux
vecteurs
- à calculer la projection d’un
vecteur sur une droite etc…
Produit vectoriel
r r
V1 × V2 est un vecteur
r r
r
r
r r
|| V1 × V2 ||=|| V1 || || V1 || sin (V1 ,V2 )
r r
r
r r
r
(V1 × V2 )⊥V1 et (V1 × V2 )⊥V2
r r r r
(V1 ,V2 ,V1 × V2 ) est une base directe
 y z − y2 z1
r r  1 2
V1 × V2 =  z1x2 − z2 x1
x y − x y
 1 2
2 1
dans une base orthonormée directe
r r
r r
V1 × V2 = 0 ⇔ V1,V2 colinéaires
r r
V1 ×V1 = 0
r r
r r
V1 × V2 = −V2 × V1
r r r r r r r
i ×i = j × j = k ×k = 0
r r r
i × j = k ...
r
r r
j × i = −k ...
- à démontrer la colinéarité de 2
vecteurs
- à calculer l’angle entre deux
vecteurs
- à fournir un vecteur orthogonal à 2
vecteurs donnés etc…
Matrices
Type d'une matrice : une matrice à m lignes et n colonnes est dite de type (m,n).
Matrice identité : matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 hors de la diagonale, elle est
notée I ou E.
Egalité de deux matrices : Deux matrices de même type sont égales si leurs composantes sont
égales deux à deux.
Addition et soustraction de matrices : on ne peut faire ces opérations que sur des matrices de même
type. Les matrices s'additionnent ou se soustraient terme à terme.
 a b   a ' b'   a + a ' b + b' 
Exemple : 
+
=

 c d   c' d '   c + c' d + d ' 
2
Produit de matrices : On peut calculer le produit des matrices A et B si A est de type (m,n) et B de
type (n,p), c'est-à-dire si le nombre d'éléments dans une ligne de A est égal au nombre d'éléments
dans une colonne de B. Le produit est de type (m,p).
 3





Exemple en dimension 3 : A = aij , B = B
, AB =  aik bkj 


 ij 


∑
k =1
Pour calculer le produit facilement, mettre les matrices suivant le schéma ci-dessous, le terme de la
matrice produit se trouve au croisement de la ligne et de la colonne qui servent à le calculer.
 b11

 b21
b
 31
a
 11

 a 21
a
 31

a12
a 22
a32
a13 

a 23 
a33 

b12
b22
b32
∑
∑

a1i bi1

 i
 a 2i bi1
 i

...

b13 

b23 
b33 
∑ a1i bi 2 ∑ a1i bi3 
i
i

...

∑ a2i bi 2

i
...
...


Déterminant: Le déterminant n'existe que pour les matrices carrées.
detA ≠ 0 ⇔ la matrice A est inversible ⇔ il existe une matrice M telle que MA = I
Si la matrice inverse existe elle est notée A-1.
a b a
Matrice 2x2 : det
=
c d c
Matrice 3x3 :
 a11 a12 a13  a11


det a 21 a 22 a 23  = a 21

a
 31 a32 a33  a31
b
= ad − bc
d
a12
a13
a 22
a32
a 23
a33
a11
a12
a13
a 21
a31
a 22
a32
a 23 = a11a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a 21a32 a13 − a13 a 22 a31 − a11a32 a 23 − a12 a 21a33
a33
Remarques :
- il y a d'autres manières de faire le calcul. On peut par
rapport à une ligne ou une colonne:
 a11 a12 a13 


a 23 
a
a
 − a 21 det 12
det a 21 a 22 a 23  = a11 det 22
 a32 a33 
 a32

a
 31 a32 a33 
exemple développer le déterminant par
a13 
a
 + a31 det 12
a33 
 a 22
a13 

a 23 
- on peut, préalablement au développement, ajouter à une ligne (resp. une colonne) une
combinaison linéaires des autres lignes (resp. colonnes).
3
Représentations graphiques des fonctions usuelles
sin
cos
1
0.5
2
0
0
-0.5
-2
-1
-4
-3Pi/2 -Pi -Pi/2
0
Pi/2
Pi 3Pi/2
-4
tan
10
0
-5
-10
0
Pi/2
Pi
-2
0
2
3Pi/2
4
6
exp
ln
14
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
5
-3Pi/2 -Pi -Pi/2
x^2
racine(x)
1/x
4
-4
-2
0
2
4
6
Limites
Si lim f ( x) = l avec l réel alors f admet une asymptote horizontale d’équation y = l en ±∞
x → ±∞
Si lim f ( x) = ±∞ alors f admet une asymptote verticale d’équation x = x0 .
x → x0
Exponentielle :
Logarithme : défini seulement pour x > 0
lim exp x = +∞
lim ln x = +∞
x → +∞
x → +∞
lim exp x = 0
lim ln x = −∞
x → −∞
lim
exp x
x → +∞ x
α
= +∞
x →0 +
α >0
lim
ln x
x → +∞ xα
=0
α >0
Puissance généralisée :
Puissance :
n
Si n est un nombre entier, x est défini pour tout Si α est un réel non entier positif, xα n'est défini
x. pour n > 0, on a :
que pour x > 0.
lim xα = +∞
lim x n = +∞
x→+∞
x→+∞
lim xα = 0
x→0+
n + ∞ si n = 2p
lim x = 
x→−∞
− ∞ si n = 2p + 1
4
Dérivées
Dans les tableaux ci-dessous, f, u et v sont des fonctions, a est un réel.
Dérivées des fonctions usuelles
Règles de dérivation :
f(x)
f’(x)
a
0
xa
ax a −1
ex
ex
ln x
1/ x
cos x
− sin x
sin x
cos x
tan x
1 + tan 2 x
(a u )' = a (u ' )
(u + v)' = u '+v'
(u v)' = u ' v + uv'
′
 u  u ' v − uv'
  =
v2
v
(u (v) )' = v' u ' (v)
Différentielles et dérivées partielles :
f fonction de 2 variables x et y :
df (a, b) =
∂f
∂f
(a, b) dx+ (a, b) dy
∂y
∂x
différentielle de f au
point (a, b)
dérivée partielle de f par
rapport à x au point (a, b)
dérivée partielle de f
par rapport à y au point (a, b)
Différentielle logarithmique (pour les produits et les rapports) :
soient f et g deux fonctions strictement positives, a et b deux réels
d ( fg ) df dg
= +
(pour a = b = 1)
d( f g )
df
dg
fg
f
g
⇒
=
+
a
b
f a gb
f
g
d ( f / g ) df dg
= −
(pour a = 1, b = -1)
f /g
f
g
a
b
5
Développements limités et applications
Définition :
Une fonction f admet un développement limité (d.l.), à l’ordre n, au point x0, si, dans un intervalle ]x0 - α;
x0 + α [ ou ]x0 - α; x0[ ou ]x0 ; x0 + α [ ou ]x0 - α; x0] ou [x0 ; x0 + α [
f ( x) = a0 + a1( x − x0 ) + .... + an ( x − x0 ) n + ε ( x)( x − x0 ) n
avec lim ε ( x ) = 0
x → x0
Si f est dérivable n fois en x0,
f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ' ( x0 ) + .... +
( x − x0 ) n ( n )
f ( x0 ) + ε(x) (x − x0 ) n
n!
développement de Taylor-Young
Développements limités usuels en x0=0, à l’ordre 3 :
x3
+ ε ( x) x 3
6
x2
cos x = 1 − + ε ( x) x 3
2
x 2 x3
exp x = 1 + x + + + ε ( x) x 3
2 ! 3!
x 2 x3
ln (1 + x) = x − + + ε ( x) x 3
2 3
α (α − 1) 2 α (α − 1)(α − 2) 3
x +
x + ε ( x) x 3
(1 + x)α = 1 + αx +
2!
3!
sin x = x −
Primitives et intégrales
Si f et F sont deux fonctions définies dans un même intervalle et que f est la dérivée de F, alors F est une
primitive de f. Le tableau des dérivées plus haut permet donc de retrouver les primitives usuelles.
Pour toute constante a, F+a est aussi une primitive de f.
Si G et F sont deux primitives de f, alors F-G est constante.
b
Intégration par parties :
b
∫ u' ( x )v ( x )dx = [u( x )v ( x )]a − ∫ u( x )v ' ( x )dx
b
a
a
ϕ (b )
Changement de variables : on pose x=φ(t) :
∫
b
f ( x)dx =
ϕ (a)
∫ f (ϕ (t ))ϕ ' (t )dt
a
6
(ne pas oublier les bornes !)
Statistiques sur une série de données
On considère une série de données brutes xi, 1≤ i ≤ n.
Variables de position de la série :
Médiane = valeur qui partage la série ORDONNEE en deux parties égales. Si n est pair c’est la valeur
centrale, si n est impair c’est la moyenne des deux valeurs centrales.
n
Moyenne = x = 1 ∑ xi
n i =1
Variable de dispersion :
n
2
Variance : Var(x)= 1 ∑(xi − x )
n i =1
Ecart-type = Var(x)
Moyenne et écart-type s'expriment dans la même unité que celle de la série de données.
Représentation de la série de données :
On définit des classes (intervalles de valeurs), et on définit pour la k-ième classe:
Effectif nk = nombre de valeurs de la série qui tombe dans la classe
Fréquence fk = nk/n
Le résultat de ce travail peut être représenté sous la forme :
• d’un tableau : tableau de distribution des effectifs
• d’une courbe formée de segments de droite adjacentes : polygone de fréquences
• d’un ensemble de rectangles : histogramme
• ……
Loi de probabilité sur un ensemble fini
On associe une loi de probabilité P à un ensemble E = {e1,e2,....,ek } . P est un ensemble de k nombres
positifs dont la somme vaut 1.
Evènement : on appelle événement un sous-ensemble A de E. P(A) est la somme des probabilités des
éléments qui composent A si A est non vide, P(A) vaut 0 si A est vide.
Propriétés de la loi de probabilité faisant intervenir un seul évènement :
• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(E) = 1 , événement certain
• P(Ø) = 0, événement impossible
• Si A1 ⊂ A2 alors P(A1) ≤ P(A2)
• Evènement complémentaire de A : A , P( A ) = 1 – P(A)
Probabilités faisant intervenir 2 évènements A et B :
Définitions :
P(A ∩ B) = probabilité que A et B soient réalisés
P(A ∪ B) = probabilité que A ou B soient réalisés
P(A B) = probabilité que A soit réalisé sachant que B est réalisé
7
Propriétés :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = P(A B)P(B) = P(B A)P(A)
Evènements indépendants : P(A ∩ B) = P(A)P(B) et P(A B) = P(A)
Théorème de Bayes : On considère un événement A qui est la conséquence de plusieurs causes
mutuellement exclusives C1, C2,… Cn. La probabilité que ce soit la cause Ck qui ait causé A vaut :
P(Ck)P(A Ck)
P(Ck A)= n
∑P(Ci)P(A Ci)
i =1
Variable aléatoire
On considère un ensemble E muni d’une loi de probabilité quelconque P. Une application X définie sur
E est appelée variable aléatoire. L’ensemble des valeurs de X est appelé E’.
Variable aléatoire discrète : prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs
Variable aléatoire continue : prend toutes les valeurs d’un intervalle réel non réduit à un point.
Si la variable aléatoire est discrète, la loi de probabilité PX de la variable aléatoire X est définie par
PX(e’) = P(X = e’), pour tout élément e’ de E’.
Fonction de répartition : F(x) = P(X < x)
Probabilité de a ≤ X < b : P(a ≤ X < b) = F(b)-F(a)
Densité de probabilité pour une variable aléatoire continue : f(x) = F’(x).
Probabilité de a ≤ X < b : P(a ≤ X < b) =
b
∫ f(x)dx
a
Moments d’une loi de probabilité
Loi
Espérance mathématique E(X)
discrète
continue
n
+∞
i =1
−∞
∑ xi p i
∫ xf ( x)dx
Variable centrée : X –E(X)
Loi
Variance Var(X) =
E (X − E(X)) 2 = E(X 2 ) − E(X) 2
(
)
discrète
continue
n
+∞
i =1
−∞
∑ (xi − E(X))2 pi
8
∫ (x − E(X)
2
)f ( x)dx
Principales lois de probabilité
Loi de Bernoulli :
P(X=1) = p succès
P(X=0) = 1 - p échec
Loi binomiale : B(n, p)
n!
p k (1 − p)n − k
P(X = k) =
k! (n − k )!
Loi de Poisson : P(m)
E(X) = p
Var(X) = p(1 – p)
E(X) = np
Var(X) = np(1 – p)
E(X) = m
Var(X) = m
E(X) = m
Var(X) = σ2
E(X) = 0
Var(X) = 1
k
m
P(X = k) = e− m
k!
Loi normale : N(m, σ)
1
f ( x) =
e
−
( x − m )2
2σ 2
σ 2π
Loi normale réduite : N(0, 1)
f ( x) =
1
2π
e
−
x
2
2
Echantillonnage et estimation
On étudie un caractère de la population associé à la variable aléatoire X. La mesure de ce caractère
sur un individu donne xi.
Population
N
taille
moyenne
µ
variance
σ
Echantillon
n << N
x=
n
1
x
n i =1 i
∑
n
1
(xi − x )2
s =
n i =1
2
2
∑
Estimateurs:
x est un estimateur sans biais de µ.
σˆ 2 =
n
1
(xi − x )2 est un estimateur sans biais de σ2
n − 1 i =1
∑
Estimation par intervalle de confiance de µ au risque α (au niveau de confiance 1 – α) :
σˆ
σˆ 

P x − uα / 2
≤ µ ≤ x + uα / 2
 = 1 − α où P est
n
n

• la loi normale si n > 30
• la loi de Student si n ≤ 30
9