Sujet - Université Paris 13

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Université Paris 13, Institut Galilée
Année universitaire 2013–2014
CCS – Probabilités & Statistiques
Examen final du 28 avril 2014
Durée : 3 heures
Une feuille A4 manuscrite et nominative de notes et une calculatrice sont autorisées.
La qualité de la présentation et de la rédaction seront prises en considération (veiller à écrire des
phrases pour répondre aux questions, à bien expliquer et justifier les calculs effectués).
Quand un résultat numérique est demandé, on en donnera une valeur approchée.
Un barême approximatif (pour une note sur 20 points) est donné ci-dessous à titre d’information. On
pourra noter qu’il n’est pas nécessaire de réussir tout le sujet pour avoir la note maximale.
Attention. Utiliser une feuille différente pour chaque exercice : exercice 1 sur la copie
double, puis un exercice par feuille intercalaire (ou sur plusieurs feuilles intercalaires).
Exercice 1 – (6 points). On considère l’ensemble D ⊂ R2 défini par
n
o
1
D = (x,y) ∈ R2 0 < < y < x
x
et un couple (X,Y ) de variables aléatoires de densité
(
1
si (x,y) ∈ D
2
f(X,Y ) (x,y) = 2x y
0
sinon.
1. Représenter graphiquement l’ensemble D.
2. Vérifier que f(X,Y ) est une densité.
3. Au vu du dessin de la question 1, quels sont les ensembles des valeurs possibles de X et de Y ?
4. Calculer la densité fX de X et la densité fY de Y .
5. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
q
√
6. On définit les variables aléatoires U,V par U = XY et V = X
Y .
6.a) Quel est l’ensemble des valeurs possibles de (U,V ) ?
6.b) Déterminer la densité f(U,V ) de (U,V ).
6.c) U et V sont-elles indépendantes ? Quelles sont leurs densités ?
Exercice 2 – (5 points). Un vendeur de matériel informatique veut proposer à ses clients une
garantie sur les écrans, au tarif de 5 e : à partir n pixels défectueux sur un écran (où n reste à choisir),
l’écran est remplacé à neuf. Le prix d’un écran neuf est de 300 e. On constate que sur 100 écrans il
y a au total 27 pixels défectueux (chaque écran compte environ 780 000 pixels). On suppose les pixels
indépendants et identiques.
1. Justifier que le nombre X de pixels défectueux sur un écran suit approximativement la loi P(0,27).
2. Évaluer P (X < n), pour n = 0, 1, 2, 3 et 4.
3. On note Y le coût de la garantie pour le vendeur, pour un écran (autrement dit Y vaut 0 e ou 300 e
selon le nombre de pixels défectueux). Calculer E[Y ] dans le cas où n vaut 1, 2, 3 ou 4. En déduire la
valeur de n à partir de laquelle la garantie proposée est avantageuse en moyenne pour le vendeur.
4. On utilise la valeur n = 3. Au total, 170 clients ont acheté la garantie pour leur écran.
4.a) Quelle est la probabilité qu’aucun n’utilise la garantie ?
4.b) À quelle condition l’opération est-elle rentable pour le vendeur ? Calculer la probabilité de cet
événement. (On pourra utiliser une approximation pour simplifier)
1
Exercice 3 – Sondage “flouté” (5 points). On souhaite faire un sondage par téléphone pour obtenir
une estimation de la proportion de personnes qui téléchargent illégalement des films sur internet. On
peut légitimement penser que parmi les personnes interrogées qui téléchargent illégalement, un certain
nombre vont donner une réponse mensongère. Afin de garantir la sincérité des réponses, on utilise le
dispositif suivant :
On demande à chaque personne interrogée de lancer une pièce de monnaie.
– Si elle obtient pile, alors elle répond honnêtement à la question “Téléchargez-vous des films illégalement ?”,
– et si elle obtient face alors elle lance à nouveau la pièce et répond “Oui” si le résultat est pile, et
“Non” si c’est face.
Ainsi, connaître la réponse ne permet pas de savoir si la personne interrogée télécharge illégalement ou
non, et on peut donc en effet supposer qu’elle répond honnêtement.
On note p la proportion de personnes dans la population qui téléchargent illégalement.
Soit X la variable aléatoire correspondant à la réponse d’une personne : X = 1 si la réponse est “Oui”
et X = 0 si la réponse est “Non”.
Soit X1 , . . . ,Xn un échantillon de X, correspondant aux résultats du sondage auprès de n personnes.
1. On note π = P (X = 1) la probabilité qu’une personne réponde “Oui” au sondage. Exprimer π en
fonction de p.
2. Pour une personne qui télécharge illégalement, quelle est la probabilité qu’elle réponde “Oui” au
sondage ? Même question pour une personne qui ne télécharge pas illégalement.
3. Sachant qu’une personne a répondu “Oui” au sondage, quelle est la probabilité qu’elle télécharge
illégalement ? (en fonction de p)
4. Quelle est la loi de X ? Rappeler son espérance, et en déduire un estimateur pb de p par la méthode
des moments.
5. Parmi 1000 personnes, on a obtenu 450 réponses “Oui”.
5.a) En déduire une estimation de π, puis de p.
5.b) Donner, en le justifiant, un intervalle de confiance pour π, au niveau 95%.
On rappelle que P (|Z| > 1,96) ' 0,05 si Z suit la loi N (0,1).
5.c) En déduire un intervalle de confiance pour p, au niveau 95%. Commenter.
Exercice 4 – (7 points). Soit X une variable aléatoire de densité
f (x) = αβ α
1
xα+1
si x > β,
et
f (x) = 0
sinon,
où α > 0 et β > 0 sont des paramètres. On dispose d’un échantillon X1 , . . . ,Xn de X.
1. Donner la vraisemblance L(x1 , . . . ,xn ; α,β) de l’échantillon X1 , . . . ,Xn .
2. On suppose β = 1, et α inconnu. Écrire ce que valent f et L dans ce cas.
2.a) On suppose α > 1. Calculer E[X], et en déduire un estimateur T1 de α par la méthode des
moments.
2.b) Calculer l’estimateur T2 de α par la méthode du maximum de vraisemblance.
3. On suppose α = 1, et β inconnu. Écrire ce que valent f et L dans ce cas.
3.a) Démontrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance pour β est
Z = min(X1 , . . . ,Xn ).
3.b) Calculer la fonction de répartition FX de X (toujours avec α = 1).
3.c) En déduire celle de Z. (On pourra commencer par obtenir P (Z > z))
3.d) Calculer la densité de Z, puis son espérance. Que peut-on dire au sujet du biais de Z ?
3.e) Calculer E[Z 2 ], et en déduire le risque quadratique de Z.
3.f ) L’estimateur Z est-il convergent ?
4. On suppose α et β inconnus. Déterminer les estimateurs de α et β par la méthode du maximum
de vraisemblance.
2
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