DS 6 - Math2Cool

T ES/L
DEVOIR SURVEILLE° 6
23 MAI 2014
Durée : 3h
Calculatrice autorisée
NOM :
Prénom :
« Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou
non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. »
Aucun prêt n’est autorisé entre les élèves.
Exercice 1 - 4,5 points -
(20 min)
est la fonction définie sur [0; 1] par ( )
1. Justifier que
2.
est une fonction de densité sur [0; 1].
est une variable aléatoire qui suit la loi de densité
Calculer les probabilités des événements suivants :
a)
(
b) (
.
)
[
])
3. Déterminer E(X).
Exercice 2 - 4,5 points -
(20 min)
La variable X suit la loi normale N (180;10,5²). Les résultats seront arrondis à 10− 3 près.
1. Déterminer les probabilités suivantes :
)
a) (
c)
(
)
2. Déterminer le réel a tel que (
)
3. Déterminer le réel b tel que P(
)
b)
(
)
d)
(
)
Page 1 sur 5
Exercice 3 - 8,5 points -
( environ 1h)
Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats seront donnés sous forme décimale
arrondis à 10−4 près.
Une usine fabrique en grande quantité des lames de parquet en chêne. Les bois proviennent de
deux fournisseurs A et B.
PARTIE A
Dans le stock de cette usine, 75 % des bois proviennent du fournisseur A.
On constate que 9 % des lames obtenues à partir des bois du fournisseur A et 13 % des lames
obtenues à partir des bois du fournisseur B présentent un léger défaut qui ne justifie pas le
déclassement des lames.
On prélève au hasard une lame. On considère les évènements suivants :
A : « la lame prélevée est obtenue à partir de bois du fournisseur A » ;
B : « la lame prélevée est obtenue à partir de bois du fournisseur B » ;
D : « la lame prélevée a un léger défaut ».
1. Calculer la probabilité (
).
2. Calculer la probabilité que la lame a un léger défaut.
3. Calculer la probabilité qu'une lame ayant un léger défaut provienne de bois du fournisseur A.
PARTIE B
On prélève au hasard 40 lames dans le stock, pour vérification. On admet que la probabilité
qu'une lame prélevée au hasard dans ce stock ait un défaut est égale à 0,1.
Le stock est suffisamment important pour assimiler le lot de 40 lames à un tirage avec remise de
40 lames.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 40 lames dans ce stock, associe le
nombre de lames ayant un défaut.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale.
2. Calculer l'espérance mathématique E(X). Interpréter le résultat.
3. Déterminer la probabilité de trouver quatre lames qui ont un défaut.
4. Déterminer la probabilité qu'au moins deux lames ont un défaut.
Page 2 sur 5
PARTIE C
Pour satisfaire la commande d'un client, on prélève au hasard dans le stock 400 lames.
On admet que la loi de la variable aléatoire Z qui, à tout prélèvement de 400 lames dans ce stock,
associe le nombre de lames ayant un défaut peut être approchée par la loi normale de moyenne
40 et d'écart type 6.
1. Déterminer la probabilité que dans un prélèvement de 400 lames, il y ait plus de 50 lames
ayant un défaut.
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la proportion de lames ayant un
défaut.
En déduire le nombre de lames ayant un défaut que le client peut trouver avec une probabilité
proche de 0,95.
PARTIE D
Le fabriquant souhaite évaluer la proportion inconnue p de clients satisfaits par son produit. Pour
cela, il effectue un sondage auprès d'un échantillon de 200 clients. Sa clientèle est suffisamment
importante pour considérer que cet échantillon résulte d'un tirage aléatoire avec remise.
Lors de ce sondage, 156 clients se sont déclarés satisfaits par son produit.
1. Donner une estimation ponctuelle f de la proportion p de clients satisfaits.
2. Déterminer un intervalle de confiance centré sur f de la proportion p avec le coefficient de
confiance 95 %. Arrondir les bornes de l'intervalle à 10−2.
3. Ce fabriquant peut-il être certain que plus de 70 % de sa clientèle est satisfaite par son produit?
Page 3 sur 5
Exercice 4 - 4,5 points -
(20 min)
On considère une fonction :
• définie, continue et doublement dérivable sur l’intervalle [
• strictement croissante sur l’intervalle [
];
• strictement décroissante sur les intervalles [
On note
[
[.
la fonction dérivée de
et
[
] et [
[.
la fonction dérivée seconde de
sur l’intervalle
La courbe C , tracée ci-dessous, représente la fonction
dans le plan muni d’un repère
orthogonal.
Elle passe par les points A(−1; 6), B (0; −2), D (1; 2) et E (2; 6).
Elle admet au point D une tangente passant par le point G (0; −4).
Elle admet au point B et au point E une tangente horizontale.
1. Déterminer
( ) et
( ). Justifier les réponses.
2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point D.
3. On admet que l’équation ( )
admet, sur l’intervalle [−1; +∞[, trois solutions que l’on notera
et avec
. Dresser le tableau de signes de la fonction .
4. Parmi les trois courbes suivantes,
représente et celle qui représente .
,
,
, préciser, en justifiant la réponse, celle qui
Page 4 sur 5
Exercice 5 - 8 points Soit
(40 min)
la fonction définie pour tout réel
1. Résoudre l'inéquation ( )
2. On note
strictement positif par ( )
.
la dérivée de la fonction , calculer
3. Étudier les variations de
( ).
et dresser le tableau de variation de .
4. a) Montrer que la fonction G définie sur ]
fonction
.
[ par
( )
(
strictement positif par ( )
définie pour tout réel
sur ]
En déduire une primitive F de la fonction
) est une primitive de la
.
[.
b) Étudier la convexité de la fonction F.
5. On note
la courbe représentative de la fonction
dans le plan muni d'un repère orthonormé.
Déterminer l'aire, en unités d'aire, de la surface comprise entre la courbe
et les droites d'équations
et
.
On admettra qu’une primitive de la fonction
sur ]
Page 5 sur 5
[ est
(
)
, l'axe des abscisses
T ES/L
CORRECTION DEVOIR SURVEILLE° 6
Exercice 1 - 4,5 points -
23 / 05 / 2014
(20 min)
est la fonction définie sur [0; 1] par ( )
1. Justifier que est une fonction de densité sur [0; 1].
On sait que : - est une fonction continue sur [
]
- est positive sur [
] car
( )
-∫
Donc
2.
[
∫
[ ]
]
est une fonction à densité sur [
]
est une variable aléatoire qui suit la loi de densité .
Calculer les probabilités des événements suivants :
a) (
)
(
b) (
)
[
( )
∫
∫
[
]
[ ]
( )
])
(
)
( )
∫
[ ]
∫
3. Déterminer E(X).
( )
∫
( )
[
∫
Exercice 2 - 4,5 points -
]
[
]
(20 min)
La variable X suit la loi normale N (180;10,5²). Les résultats seront arrondis à 10− 3 près.
1. Déterminer les probabilités suivantes :
On détermine les probabilités à l'aide de la calculatrice :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2. Déterminer le réel a tel que (
Avec la calculatrice, on trouve
)
3. Déterminer le réel b tel que P(
)
(
(
)
)
(
)
.
.
(
)
Exercice 3 - 8,5 points - ( environ 1h)
Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats seront donnés sous forme
décimale arrondis à 10−4 près.
Une usine fabrique en grande quantité des lames de parquet en chêne. Les bois
proviennent de deux fournisseurs A et B.
PARTIE A
Dans le stock de cette usine, 75 % des bois proviennent du fournisseur A.
On constate que 9 % des lames obtenues à partir des bois du fournisseur A et 13 % des
lames obtenues à partir des bois du fournisseur B présentent un léger défaut qui ne justifie
pas le déclassement des lames.
On prélève au hasard une lame. On considère les évènements suivants :
A : « la lame prélevée est obtenue à partir de bois du fournisseur A » ;
B : « la lame prélevée est obtenue à partir de bois du fournisseur B » ;
D : « la lame prélevée a un léger défaut ».
1. Calculer la probabilité (
).
75 % des bois proviennent du fournisseur A
D'où ( )
et ( )
.
Alors (
)
( )
( )
La probabilité qu'une lame provienne de bois du fournisseur B et qu'elle ait un défaut est
égale à 0,0325.
2. Calculer la probabilité que la lame a un léger défaut.
Représentons la situation à l'aide d'un arbre
pondéré :
A et B forment une partition de l’univers
D’après la formule des probabilités totales :
( )
(
)
(
)
Or (
)
( )
( )
.
Donc ( )
La probabilité qu'une lame ait un défaut est égale à 0,1
3. Calculer la probabilité qu'une lame ayant un léger défaut provienne de bois du
fournisseur A.
(
)
( )
( )
La probabilité qu'une lame ayant un léger défaut provienne de bois du fournisseur A est
égale à 0,675
PARTIE B
On prélève au hasard 40 lames dans le stock, pour vérification. On admet que la probabilité
qu'une lame prélevée au hasard dans ce stock ait un défaut est égale à 0,1.
Le stock est suffisamment important pour assimiler le lot de 40 lames à un tirage avec
remise de 40 lames.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 40 lames dans ce stock,
associe le nombre de lames ayant un défaut.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale.
Le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise et à chaque tirage il n'y a que deux
issues possibles la lame a un défaut ou non.
Donc X suit une loi binomiale de paramètres 40 et 0,1.
2. Calculer l'espérance mathématique E(X). Interpréter le résultat.
( )
L'espérance mathématique est égale à 4.
Cela signifie que sur un grand nombre de lots de 40 lames, on trouve en moyenne 4 lames
par lot qui ont un défaut.
3. Déterminer la probabilité de trouver quatre lames qui ont un défaut.
X suit une loi binomiale de paramètres 40 et 0,1
D'où (
)
(
)
La probabilité de trouver dans le lot quatre lames qui ont un défaut est égale à 0,2059.
REMARQUE : Avec une calculatrice TI on obtient le résultat du calcul de (
avec binompdf (40,0.1,4) ou binomFdp (40,0.1,4) selon le modèle.
)
4. Déterminer la probabilité qu'au moins deux lames ont un défaut.
(
)
(
)
(
)
(
)
La probabilité de trouver dans le lot au moins deux lames qui ont un défaut est égale à
0,9195.
REMARQUE : Avec une calculatrice TI on obtient le résultat du calcul de 1−P(X 1)
avec 1-binomcdf (40,0.1,1) ou 1-binomFRép (40,0.1,1) selon le modèle.
PARTIE C
Pour satisfaire la commande d'un client, on prélève au hasard dans le stock 400 lames.
On admet que la loi de la variable aléatoire Z qui, à tout prélèvement de 400 lames dans ce
stock, associe le nombre de lames ayant un défaut peut être approchée par la loi normale
de moyenne 40 et d'écart type 6.
1. Déterminer la probabilité que dans un prélèvement de 400 lames, il y ait plus de 50 lames
ayant un défaut.
La calculatrice permet de déterminer la probabilité (
) quand Z suit la loi normale
de moyenne 40 et d'écart type 6 :
(
)
(
)
(
)
(
)
La probabilité que dans un prélèvement de 400 lames, il y ait plus de 50 lames ayant un
défaut est égale à 0,0478.
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la proportion de lames
ayant un défaut.
En déduire le nombre de lames ayant un défaut que le client peut trouver avec une
probabilité proche de 0,95.
On a
,
et (
)
Donc les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 pour un échantillon de taille 400 est :
√
√
[
]
√
√
D’où
[
]
Dans le lot de 400 lames, le client peut trouver entre 7,06 % et 12,94 % de lames ayant un
défaut avec une probabilité proche de 0,95.
Comme
et
Le client pourra trouver entre 28 et 52 lames ayant un défaut avec une probabilité proche
de 0,95.
PARTIE D
Le fabriquant souhaite évaluer la proportion inconnue p de clients satisfaits par son
produit. Pour cela, il effectue un sondage auprès d'un échantillon de 200 clients. Sa
clientèle est suffisamment importante pour considérer que cet échantillon résulte d'un
tirage aléatoire avec remise.
Lors de ce sondage, 156 clients se sont déclarés satisfaits par son produit.
1. Donner une estimation ponctuelle f de la proportion p de clients satisfaits.
156 clients sur 200 se sont déclarés satisfaits
D'où
2. Déterminer un intervalle de confiance centré sur f de la proportion p avec le coefficient
de confiance 95 %. Arrondir les bornes de l'intervalle à 10−2.
La fréquence observée est
pour un échantillon de taille 200.
L'intervalle de confiance au niveau 95 % est :
[
]
√
√
Soit en arrondissant les bornes à 10−2, l'intervalle de confiance au niveau 95 % est :
[
].
3. Ce fabriquant peut-il être certain que plus de 70 % de sa clientèle est satisfaite par son
produit ?
La proportion inconnue de clients satisfaits n’appartient pas nécessairement à l’intervalle
de confiance.
Par conséquent, le fabriquant ne peut pas être certain que plus de 70 % de sa clientèle est
satisfaite par son produit.
Exercice 4 - 4,5 points -
(20 min)
On considère une fonction :
• définie, continue et doublement dérivable sur l’intervalle [
• strictement croissante sur l’intervalle [
];
• strictement décroissante sur les intervalles [
] et [
[.
[
On note
la fonction dérivée de et
la fonction dérivée seconde de sur l’intervalle
[
[.
La courbe C , tracée ci-dessous, représente la fonction dans le plan muni d’un repère
orthogonal.
Elle passe par les points A(−1; 6), B (0; −2), D (1; 2) et E (2; 6).
Elle admet au point D une tangente passant par le point G (0; −4).
Elle admet au point B et au point E une tangente horizontale.
1. Déterminer ( ) et ( ). Justifier les réponses.
( ) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f , c’est-à-dire à C, au point
d’abscisse a.
( ) est donc le coefficient directeur de la tangente au point D, c’est-à-dire de la droite
( )
(DG), donc : ( )
( )
car la tangente est horizontale au point E.
2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point D.
Cette tangente admet une équation de la forme
et on vient de voir que
donc
.
Comme cette tangente coupe l’axe des ordonnées à l’ordonnée −4,
.
Donc une équation de la tangente à la courbe au point D est
3. On admet que l’équation ( )
notera
et
avec
admet, sur l’intervalle [−1; +∞[, trois solutions que l’on
. Dresser le tableau de signes de la fonction .
4. Parmi les trois courbes suivantes, ,
représente et celle qui représente .
,
, préciser, en justifiant la réponse, celle qui
Exercice 5 - 8 points - (40 min)
Soit
la fonction définie pour tout réel
strictement positif par ( )
1. Résoudre l'inéquation ( )
.
Sur l'intervalle ]
[ le quotient
est du même signe que
Or pour tout réel strictement positif,
L'ensemble solution de l'inéquation ( )
est
[
[
.
2. On note la dérivée de la fonction , calculer ( ).
La fonction est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.
On a
et
avec pour tout réel
( )
( )
Soit pour tout réel
strictement positif,
( )
( )
strictement positif,
( )
Ainsi,
d'où
d'où
(
)
est la fonction définie sur l'intervalle ]
[ par
.
( )
3. Étudier les variations de et dresser le tableau de variation de .
Les variations de la fonction se déduisent du signe de sa dérivée.
Sur l'intervalle ]
[ le quotient
est du même signe que
Or pour tout réel strictement positif,
.
D'où le tableau établissant le signe de la dérivée ainsi que les variations de f
x
0
e−1
+∞
f'(x)
+
||
−
2e
f(x)
Calcul du maximum : (
(
)
)
4. a) Montrer que la fonction G définie sur ]
[ par ( ) (
) est une primitive de la
fonction définie pour tout réel strictement positif par ( )
.
En déduire une primitive F de la fonction sur ]
[.
La fonction définie pour tout réel strictement positif par ( )
est de la forme
avec pour tout réel strictement positif,
( )
et
( )
Une primitive
de la fonction
est
( )
définie pour tout réel
( )
strictement positif par :
Par conséquent, une primitive de la fonction définie pour tout réel
( )
)
est la fonction définie par : ( ) (
Ainsi,
[ par ( )
est la fonction définie sur l'intervalle ]
(
strictement positif par
)
b) Étudier la convexité de la fonction F.
La convexité de la fonction se déduit du signe de sa dérivée seconde.
Comme F est une primitive de la fonction , la dérivée seconde de la fonction
fonction dérivée de la fonction f.
Sur l'intervalle ]
]
( )
donc la fonction est convexe.
Sur l'intervalle [
[, ( )
donc la fonction est concave.
est la
5. On note
la courbe représentative de la fonction
dans le plan muni d'un repère
orthonormé.
Déterminer l'aire, en unités d'aire, de la surface comprise entre la courbe
, l'axe des
abscisses et les droites d'équations
et
.
(
)
On admettra qu’une primitive de la fonction sur ]
[ est
Sur l'intervalle [
] la fonction est continue et positive.
Par conséquent, l'aire exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe ,
l'axe des abscisses et les droites d'équations
et
est égale à l'intégrale
∫
( )
(
)
( )
((
)
)
((
)
)
L'aire de la surface comprise entre la courbe
, l'axe des abscisses et les droites
d'équations
et
est égale à 12 unités d'aire.