methodes statistiques pour l`ingenieur

ENSIMAG 2ème année
METHODES STATISTIQUES
POUR L’INGENIEUR
Olivier Gaudoin
0 20406080100
0 50 100 150

Méthodes statistiques pour l’ingénieur 3
Table des matières 3
Chapitre 1 : Introduction 7
1.1. Utilité des méthodes statistiques pour l’ingénieur ...................................................................7
1.2. Statistique et probabilités ...........................................................................................................8
1.3. Plan du cours ...............................................................................................................................9
Chapitre 2 : Statistique descriptive 11
2.1. Population, individus et variables............................................................................................11
2.2. Représentations graphiques .....................................................................................................12
2.2.1. Variables discrètes................................................................................................................12
2.2.1.1. Variables qualitatives .....................................................................................................12
2.2.1.2. Variables quantitatives ...................................................................................................14
2.2.1.3. Choix d’un modèle probabiliste discret .........................................................................14
2.2.2. Variables continues ..............................................................................................................15
2.2.2.1. Histogramme et polygone des fréquences......................................................................16
2.2.2.2. Fonction de répartition empirique..................................................................................20
2.2.2.3. Les graphes de probabilités............................................................................................21
2.3. Indicateurs statistiques .............................................................................................................25
2.3.1. Indicateurs de localisation ou de tendance centrale .............................................................25
2.3.1.1. La moyenne empirique...................................................................................................25
2.3.1.2. Les valeurs extrêmes......................................................................................................25
2.3.1.3. La médiane empirique....................................................................................................26
2.3.1.4. Caractérisation des indicateurs de localisation ..............................................................26
2.3.2. Indicateurs de dispersion ou de variabilité ...........................................................................27
2.3.2.1. Variance et écart-type empiriques..................................................................................28
2.3.2.2. L’étendue........................................................................................................................29
2.3.2.3. Les quantiles empiriques................................................................................................29
2.3.3. Indicateurs statistiques pour des données groupées .............................................................30
Chapitre 3. Estimation paramétrique 31
3.1. Introduction ...............................................................................................................................31
3.2. Principes généraux de l’estimation..........................................................................................31
3.2.1. Définition et qualité d’un estimateur....................................................................................31
3.2.2. Fonction de vraisemblance, efficacité d’un estimateur ........................................................33
3.3. Méthodes d’estimation..............................................................................................................35
3.3.1. La méthode des moments .....................................................................................................35
3.3.1.1. Estimation d’une espérance ...........................................................................................35
3.3.1.2. Estimation d’une variance..............................................................................................36
Table des matières

4 Méthodes statistiques pour l’ingénieur
3.3.1.3. Exemples ........................................................................................................................37
Exemple 1 : loi normale ..............................................................................................................37
Exemple 2 : loi exponentielle......................................................................................................37
3.3.2. La méthode du maximum de vraisemblance.........................................................................37
3.3.2.1. Définition .......................................................................................................................37
3.3.2.2. Exemples ........................................................................................................................39
Exemple 1 : loi de Poisson..........................................................................................................39
Exemple 2 : loi exponentielle......................................................................................................39
Exemple 3 : loi normale ..............................................................................................................39
3.4. Intervalles de confiance.............................................................................................................41
3.4.1. Définition..............................................................................................................................41
3.4.2. Intervalles de confiance pour les paramètres de la loi normale............................................42
3.4.2.1. Intervalle de confiance pour la moyenne .......................................................................42
3.4.2.2. Intervalle de confiance pour la variance ........................................................................44
3.4.3. Estimation et intervalle de confiance pour une proportion...................................................45
3.4.3.1. Estimation ponctuelle.....................................................................................................45
3.4.3.2. Intervalle de confiance ...................................................................................................46
Chapitre 4 : Tests d’hypothèses 51
4.1. Introduction : le problème de décision....................................................................................51
4.2. Tests paramétriques sur un échantillon ..................................................................................53
4.2.1. Formalisation du problème ...................................................................................................53
4.2.1.1. Tests d’hypothèses simples ............................................................................................53
4.2.1.2. Tests d’hypothèses composites ......................................................................................54
4.2.2. Exemple introductif : tests sur la moyenne d’une loi normale .............................................54
4.2.2.1. Modélisation...................................................................................................................54
4.2.2.2. Première idée..................................................................................................................55
4.2.2.3. Deuxième idée................................................................................................................56
4.2.2.4. Troisième idée ................................................................................................................56
4.2.2.5. Exemple..........................................................................................................................57
4.2.2.6. Remarques......................................................................................................................58
4.2.2.7. Le test de Student ...........................................................................................................59
4.2.3. Lien entre tests d’hypothèses et intervalles de confiance.....................................................60
4.2.4. Comment construire un test d’hypothèses............................................................................61
4.2.5. Tests sur la variance d’une loi normale ................................................................................61
4.2.6. Tests sur une proportion .......................................................................................................63
4.3. Tests paramétriques sur deux échantillons.............................................................................65
4.3.1. Comparaison de deux échantillons gaussiens indépendants.................................................65
4.3.1.1. Test de Fisher de comparaison des variances.................................................................66
4.3.1.2. Test de Student de comparaison des moyennes .............................................................68
4.3.2. Comparaison de deux proportions ........................................................................................71
4.3.3. Comparaison d’échantillons gaussiens appariés...................................................................73
4.4. Quelques tests non paramétriques...........................................................................................75
4.4.1. Tests d’adéquation pour un échantillon................................................................................75

Méthodes statistiques pour l’ingénieur 5
4.4.1.1. Le test du 2
χ
sur les probabilités d’évènements ..........................................................75
4.4.1.2. Le test du 2
χ
d’adéquation à une famille de lois de probabilité..................................77
4.4.1.3. Les tests basés sur la fonction de répartition empirique ................................................79
4.4.2. Tests non paramétriques de comparaison de deux échantillons...........................................80
4.4.2.1. Test de Kolmogorov-Smirnov........................................................................................80
4.4.2.2. Test de Wilcoxon-Mann-Whitney..................................................................................81
Chapitre 5 : La régression linéaire 85
5.1. Introduction ...............................................................................................................................85
5.2. Le modèle de régression linéaire..............................................................................................85
5.3. Estimation des paramètres : la méthode des moindres carrés..............................................87
5.4. Intervalles de confiance et tests d’hypothèses dans le modèle linéaire gaussien.................92
Annexe A : Rappels de probabilités pour la statistique 99
A.1. Variables aléatoires réelles ......................................................................................................99
A.1.1. Loi de probabilité d’une variable aléatoire..........................................................................99
A.1.2. Variables aléatoires discrètes et continues ........................................................................100
A.1.3. Moments d’une variable aléatoire réelle ...........................................................................101
A.2. Vecteurs aléatoires réels ........................................................................................................102
A.2.1. Loi de probabilité d’un vecteur aléatoire...........................................................................102
A.2.2. Espérance et matrice de covariance d’un vecteur aléatoire...............................................102
A.3. Convergences et applications ................................................................................................103
A.4. Quelques résultats sur quelques lois de probabilité usuelles .............................................105
A.4.1. Loi binomiale.....................................................................................................................105
A.4.2. Loi géométrique.................................................................................................................105
A.4.3. Loi de Poisson....................................................................................................................105
A.4.4. Loi exponentielle ...............................................................................................................106
A.4.5. Loi gamma et loi du khi-2..................................................................................................106
A.4.6. Loi normale........................................................................................................................106
Annexe B : Tables de lois de probabilités usuelles 108