probabilites conditionnelles

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
I. Définition
1. Fréquence conditionnelle
Situation :
On étudie la production de 10 000 paires de chaussures par deux ateliers.
Sans défaut Défectueuses Total
Atelier 1
5 880
120
6 000
Atelier 2
3 960
40
4 000
Total
9 840
160
10 000
On tire une paire au hasard dans ce lot.
9840
= 0, 984.
La fréquence des chaussures sans défaut est : f (A) =
10000
6000
La fréquence des chaussures de l’atelier 1 est : f (B) =
= 0, 6.
10000
5880
La fréquence des chaussures sans défaut de l’atelier 1 est : f (A ∩ B) =
= 0, 588.
10000
Définition
f (A ∩ B)
La fréquence conditionnelle de A sachant B est : fB (A) =
.
f (B)
Exemple
0, 588
= 0, 98.
0, 6
Autrement dit 98 % des chaussures de l’atelier 1 sont sans défaut ou encore on a 98 % de chances de tomber
sur une chaussure sans défaut si on sait qu’elle provient de l’atelier 1.
La fréquence des chaussures sans défaut sachant qu’elles viennent de l’atelier 1 est : fB (A) =
2. Probabilité conditionnelle
Définition
B est un événement tel que : p(B) 6= 0.
La probabilité que A soit réalisé sachant que B est réalisé est : pB (A) =
p(A ∩ B)
.
p(B)
Exemple
La probabilité qu’une chaussure soit défectueuse sachant qu’elle vient de l’atelier 1 est :
p(A ∩ B)
pB (A) =
p(B)
120
avec p(A ∩ B) =
= 0, 012 et p(B) = 0, 6
10000
0, 012
donc : pB (A) =
= 0, 02.
0, 6
Propriété
p(A ∩ B) = pB (A) × p(B) = pB (A) × p(B)
Arbre pondéré
probabilité du résultat
B
0, 6
0, 98
A
b
p(A ∩ B) = 0, 6 × 0, 98 = 0, 988
b
A
b
0, 02
b
0, 99
0,4
p(A ∩ B) = 0, 012
A
b
b
B
p(A ∩ B) = 0, 396
0, 01
b
A
p(A ∩ B) = 0, 004
II. Événements indépendants
1. Situation
On titre deux boules avec remise dans une urne qui en contient 3 : R, V et B.
Il y a 3 × 3 = 9 issues équiprobables possibles.
On note : R1 l’événement "la première boule est rouge" et R2 l’événement "la deuxième boule est rouge".
On a : R1 = {(R, R), (R, V ), (R, B)} et R2 = {(R, R), (V, R), (B, R)}.
1
1
1
On peut alors calculer : p(R1 ) = , p(R2 ) = et p(R1 ∩ R2 ) = .
3
3
9
Ainsi la probabilité de tirer la boule rouge en deuxième sachant qu’elle a été obtenue la première fois est :
1
1
pR1 (R2 ) = 91 = = p(R2 ).
3
3
donc le fait d’obtenir la boule rouge la deuxième fois est indépendant du fait de l’avoir obtenu la première fois.
2. Définition
A et B sont deux événements de probabilité non nulle.
On dit que A et B sont indépendants si : pB (A) = p(A) ou pA (B) = p(B).
Conséquence
A et B sont indépendants si p(A ∩ B) = p(A) × p(B) et réciproquement.
Exemple
On tire à pile ou face avec une pièce bien équilibrée 20 fois de suite et on obtient à chaque fois pile. La probabilité
d’obtenir pile au 21ème tir est 21 .
Application
Le jeu oppose un présentateur à un candidat (le joueur). Ce joueur est placé devant trois portes fermées. Derrière
l’une d’elles se trouve une voiture (ou tout autre prix magnifique) et derrière chacune des deux autres se trouve
une chèvre (ou tout autre prix sans importance). Il doit tout d’abord désigner une porte. Puis le présentateur
ouvre une porte qui n’est ni celle choisie par le candidat, ni celle cachant la voiture (le présentateur sait quelle
est la bonne porte dès le début). Le candidat a alors le droit ou bien d’ouvrir la porte qu’il a choisie initialement,
ou bien d’ouvrir la troisième porte.
Les questions qui se posent au candidat sont :
1. Que doit-il faire ?
2. Quelles sont ses chances de gagner la voiture en agissant au mieux ?
Nous notons m la probabilité que le candidat modifie son choix initial et raisonnons en terme de stratégie.
L’arbre pondéré ci-contre présente les diverses stratégies du candidat. L’événement « succès » est noté S.
1
3
1−m
Bon choix
Maintien
b
b
Modification
b
m
b
1−m
2
3
b
Maintien
b
Mauvais choix
m
b
Modification
2
1
× (1 − m) + m
3
3
1+m
p(S) =
3
La probabilité de succès est donc comprise entre 13 et 23
Elle est minimale et vaut 13 lorsque m = 0 (Le candidat maintient son choix initial)
Elle est maximale et vaut 23 lorsque m = 1 (Le candidat modifie son choix initial)
Elle vaut 21 lorsque m = 12 (Le candidat choisit au hasard entre les deux cavernes restantes) (Nous prouvons
ainsi que la meilleure stratégie pour le candidat est la modification systématique de son choix initial.)
p(S) =