probabilites conditionnelles

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
I. Définition
1. Fréquence conditionnelle
Situation :
On étudie la production de 10 000 paires de chaussures par deux ateliers.
Sans défaut Défectueuses Total
Atelier 1 5 880 120 6 000
Atelier 2 3 960 40 4 000
Total 9 840 160 10 000
On tire une paire au hasard dans ce lot.
La fréquence des chaussures sans défaut est : f(A) = 9840
10000 = 0,984.
La fréquence des chaussures de l’atelier 1 est : f(B) = 6000
10000 = 0,6.
La fréquence des chaussures sans défaut de l’atelier 1 est : f(A∩B) = 5880
10000 = 0,588.
Définition
La fréquence conditionnelle de Asachant Best : fB(A) = f(A∩B)
f(B).
Exemple
La fréquence des chaussures sans défaut sachant qu’elles viennent de l’atelier 1 est : fB(A) = 0,588
0,6= 0,98.
Autrement dit 98 % des chaussures de l’atelier 1 sont sans défaut ou encore on a 98 % de chances de tomber
sur une chaussure sans défaut si on sait qu’elle provient de l’atelier 1.
2. Probabilité conditionnelle
Définition
Best un événement tel que : p(B)6= 0.
La probabilité que Asoit réalisé sachant que Best réalisé est : pB(A) = p(A∩B)
p(B).
Exemple
La probabilité qu’une chaussure soit défectueuse sachant qu’elle vient de l’atelier 1 est :
pB(A) = p(A∩B)
p(B)
avec p(A∩B) = 120
10000 = 0,012 et p(B) = 0,6
donc : pB(A) = 0,012
0,6= 0,02.
Propriété
p(A∩B) = pB(A)×p(B) = pB(A)×p(B)
Arbre pondéré

probabilité du résultat
B
0,6
A
0,98
A
0,02
B
0,4
A
0,99
A
0,01
p(A∩B) = 0,6×0,98 = 0,988
p(A∩B) = 0,012
p(A∩B) = 0,396
p(A∩B) = 0,004
II. Événements indépendants
1. Situation
On titre deux boules avec remise dans une urne qui en contient 3 : R, V et B.
Il y a 3×3 = 9 issues équiprobables possibles.
On note : R1l’événement "la première boule est rouge" et R2l’événement "la deuxième boule est rouge".
On a : R1={(R, R),(R, V ),(R, B)}et R2={(R, R),(V, R),(B, R)}.
On peut alors calculer : p(R1) = 1
3,p(R2) = 1 3et p(R1∩R2) = 1 9.
Ainsi la probabilité de tirer la boule rouge en deuxième sachant qu’elle a été obtenue la première fois est :
pR1(R2) =
1
9
1
3
=1
3=p(R2).
donc le fait d’obtenir la boule rouge la deuxième fois est indépendant du fait de l’avoir obtenu la première fois.
2. Définition
Aet Bsont deux événements de probabilité non nulle.
On dit que Aet Bsont indépendants si : pB(A) = p(A)ou pA(B) = p(B).
Conséquence
Aet Bsont indépendants si p(A∩B) = p(A)×p(B)et réciproquement.
Exemple
On tire à pile ou face avec une pièce bien équilibrée 20 fois de suite et on obtient à chaque fois pile. La probabilité
d’obtenir pile au 21ème tir est 1
2.
Application
Le jeu oppose un présentateur à un candidat (le joueur). Ce joueur est placé devant trois portes fermées. Derrière
l’une d’elles se trouve une voiture (ou tout autre prix magnifique) et derrière chacune des deux autres se trouve
une chèvre (ou tout autre prix sans importance). Il doit tout d’abord désigner une porte. Puis le présentateur
ouvre une porte qui n’est ni celle choisie par le candidat, ni celle cachant la voiture (le présentateur sait quelle
est la bonne porte dès le début). Le candidat a alors le droit ou bien d’ouvrir la porte qu’il a choisie initialement,
ou bien d’ouvrir la troisième porte.
Les questions qui se posent au candidat sont :
1. Que doit-il faire ?
2. Quelles sont ses chances de gagner la voiture en agissant au mieux ?
Nous notons mla probabilité que le candidat modifie son choix initial et raisonnons en terme de stratégie.
L’arbre pondéré ci-contre présente les diverses stratégies du candidat. L’événement « succès » est noté S.
Bon choix
1
3
Maintien
1−m
Modification
m
Mauvais choix
2
3
Maintien
1−m
Modification
m

p(S) = 1
3×(1 −m) + 2 3m
p(S) = 1 + m
3
La probabilité de succès est donc comprise entre 1
3et 2 3
Elle est minimale et vaut 1
3lorsque m= 0 (Le candidat maintient son choix initial)
Elle est maximale et vaut 2
3lorsque m= 1 (Le candidat modifie son choix initial)
Elle vaut 1
2lorsque m=1 2(Le candidat choisit au hasard entre les deux cavernes restantes) (Nous prouvons
ainsi que la meilleure stratégie pour le candidat est la modification systématique de son choix initial.)