Convergences et approximations

2011/2012
Lycée La Bruyère, Versailles
ECS 2 – Mathématiques
Probabilités 5 – Approximations et convergences
Exercice 1 – On lance 10000 fois un dé à 6 faces déséquilibré. Le nombres d’apparitions de la face 6 est 4000.
Donner un encadrement de la probabilité d’obtenir 6, avec une probabilité d’erreur inférieure 5% pour chacun.
Exercice 2 – Un élève fait en moyenne une faute d’orthographe tous les 500 mots. Donner une valeur approchée
de la probabilité de faire plus de 5 fautes dans un devoir de 1500 mots. On donne e−3 ≃ 0.05.
Exercice 3 – Un livre de 300 pages contient 400 « coquilles » réparties au hasard. Donner l’ordre de grandeur de
4
la probabilité que dans une page déterminée, il y ait au moins trois erreurs. On donne e− 3 ≃ 0.26.
Exercice 4 – Dans certaines conditions difficiles, une automobile crève en moyenne tous les 5000 km. On prépare
un raid de 12000 km. On estime qu’il faut prendre un nombre de roues de secours tel que la probabilité que l’on
n’ait pas assez de roues de secours est inférieure à 41 . Est-ce que deux roues de secours sont suffisantes ? (On donne
12
e− 5 ≃ 0.09)
Trois roues sont-elles suffisantes ? (On donne 1048
125 ≃ 8.384).
Exercice 5 – Une compagnie d’assurance-vie assure 10000 personnes (toutes vivantes au début de l’année). Elle
reçoit 12 euros par an par assuré (vivant au début de l’année), et reverse 1000 euros par décès ; la probabilité de
décès dans l’année de chaque assuré est 0,006.
1. Espérance de gain de la compagnie ?
2. Probabilité que la compagnie d’assurance soit déficitaire :
(a) Donner une valeur approchée de cette probabilité à l’aide d’une somme.
(b) Écrire un programme en Turbo Pascal permettant de calculer une valeur approchée de cette somme.
3. Probabilité que son bénéfice soit supérieur à 50000 euros : mêmes questions.
Exercice 6 – On tire 50 fois sans remise dans une urne contenant 5 boules blanches et 995 boules noires. Donner une
1
valeur approchée de la probabilité de tirer au moins 3 boules blanches. Application numérique : e− 4 · 41
32 ≃ 0.9978.
Exercice 7 – (Oral HEC) – On lance simultanément 3 dés équilibrés. Soit X le nombre de 6 obtenus.
1. Loi de X.
2. On lance N fois les trois dés, soit Y le nombre de fois où on a obtenu au moins deux 6. Loi de Y ?
3. On pose N = 54.
(a) Calculer P (Y = 6) directement, puis en utilisant des approximations.
(b) Nombre de lancers pour avoir 90% de chance d’obtenir au moins une fois plus de deux 6 ?
Exercice 8 – Combien de fois suffit-il lancer une pièce de monnaie équilibrée pour être sûr d’avoir au moins 99%
de chances d’obtenir autant de piles que de faces à 1% près ?
Exercice 9 – Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires (discrètes ou à densité), X une variable aléatoire
(discrète ou à densité). On suppose que toutes ces variables admettent une espérance et une variance, et que
lim E(Xn ) = E(X)
n→+∞
et
lim V (Xn − X) = 0.
n→+∞
Montrer que (Xn )n∈N converge en probabilité vers X.
Exercice 10 – Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé (Ω, T , P ) et
soit X une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé. On dit que la suite (Xn )n∈N converge presque
sûrement vers X si
P ({ω ∈ Ω | lim Xn (ω) = X(ω)}) = 1.
n→+∞
Montrer que si (Xn )n∈N converge presque sûrement vers X, alors (Xn )n∈N converge en probabilité vers X.
Exercice 11 – (Oral HEC) – Soit (Xn )n∈N∗ une suite de v.a.r. de Bernoulli indépendantes de paramètre p. On
pose, pour n ∈ N∗ , Yn = Xn · Xn+1 .
1. Loi de Yn ? Indépendance et covariance des couples (Yn , Ym ) ?
1
2. Soit Sn =
Y1 +···+Yn
.
n
Montrer que Sn converge en probabilité vers la variable certaine p2 .
Exercice 12 – Soit (Un )n∈N une suite de variables aléatoires de même loi uniforme sur [0, 1], et indépendantes. On
considère la variable aléatoire Xn = inf(U1 , . . . , Un ). Montrer que la suite (Xn )n∈N converge en probabilité vers la
variable certaine nulle.
Exercice 13 – Soit (Un )n∈N une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi uniforme
sur [0, 1]. On note Mn = sup(U1 , . . . , Un ), et Xn = n(1 − Mn ). Étudier la convergence en loi de la suite (Xn )n∈N .
Exercice 14 – Soit Xn ֒→ N (m, nσ 2 ). La suite (Xn ) converge-t-elle en loi ? Même question pour Xn ֒→ P(nλ).
Exercice 15 – Soit b > 0, et (Xn ) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi admettant pour
densité la fonction f , nulle sur ] − ∞, b[, et telle que :
∀x ∈ [b, +∞[, f (x) = e−(x−b) .
On pose, pour tout n ∈ N, Mn = inf(X1 , . . . , Xn ).
1. Justifier que f est bien une densité de probabilité.
2. Étudier la convergence en probabilité de la suite (Mn ).
3. Étudier la convergence en loi de la suite (Mn ).
Exercice 16 – Soit (pi )i∈N∗ une suite de réels à valeurs dans [0, 1], soit (Xi )i×∈N∗ une suite de variables aléatoires
réelles indépendantes, suivant des lois de Bernoulli de paramètres respectifs pi . Pour tout entier naturel non nul n,
on pose :
1
1
Yn = (X1 + · · · + Xn )
et
mn = (p1 + · · · + pn ).
n
n
1. Prouver que : ∀ε > 0, lim P (|Yn − mn | < ε) = 1.
n→+∞
2. Montrer que si (mi )i∈N∗ est une suite convergente de limite m, alors :
∀ε > 0,
lim P (|Yn − m| < ε) = 1.
n→+∞
Exercice 17 – Soit (Xn )n∈N une suite de v.a.r. discrètes deux à deux indépendantes possédant toutes une espérance
et une variance. On suppose que :
E(X1 ) + · · · + E(Xn )
=M
n→+∞
n
lim
et
V (X1 ) + · · · + V (Xn )
=0
n→+∞
n2
lim
n
Montrer que Sn = X1 +···+X
converge en probabilité vers la variable certaine égale à M .
n
Indication : On pourra appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable centrée associée à Sn , ou bien
utiliser l’inégalité de Markov pour la variable (Sn − M )2
Exercice 18 – Soit (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, définies sur le même espace
probabilisé, à valeurs dans l’ensemble [[−1, +∞[[, et dont la loi est donnée par :
∀n ∈ N∗ , ∀k ∈ [[−1, +∞[[, P (Xn = k) =
1
.
e(k + 1)!
1. Pour tout n ∈ N∗ , déterminer la loi de Sn = X1 + · · · + Xn .
Z
1 n n −t
t e dt.
2. Montrer que P (Sn 6 0) = 1 −
n! 0
1
3. Montrer que lim P (Sn 6 0) =
n→+∞
2
(On pourra utiliser le théorème de la limite centrée)
Exercice 19 – (ESCP 2009)
1. Soit (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P ), telles que
pour tout n ∈ N∗ , l’espérance E(Xn ) et la variance V (Xn ) existent. On suppose, en outre, qu’il existe un réel
m tel que :
lim E(Xn ) = m
et
lim V (Xn ) = 0.
n→+∞
n→+∞
2
(a) Montrer que : E((Xn − m)2 ) = V (Xn ) + (E(Xn ) − m)2 .
(b) Montrer que, pour tout réel ε strictement positif, on a :
P (|Xn − m| > ε) 6
1
(V (Xn ) + (E(Xn ) − m)2 )
ε2
(c) Montrer que la suite (Xn )n∈N∗ converge en probabilité vers la variable certaine égale à m.
2. Soit n ∈ N∗ et p ∈]0, 1[. On lance n fois une pièce non équilibrée avec laquelle la probabilité d’obtenir pile
lors d’un jet est p.
Soit Sn la variable aléatoire réelle égale au nombre de pile obtenus. Enfin, Yn est la variable aléatoire définie
Sn
par : Yn = e n .
(a) Calculer l’espérance et la variance de Yn .
(b) Montrer que la suite (Yn )n∈N∗ converge en probabilité vers la variable certaine égale à ep .
Exercice 20 – (HEC 2010)
1. Question de cours : Rappeler les formules de Taylor-Lagrange (égalité et inégalité), ainsi que leurs conditions
de validité.
2. On note f la fonction définie sur R par :
(
f (x) =
xe−
0
x2
2
si x > 0
sinon.
(a) Calculer la dérivée à droite de f en 0.
(b) Montrer que f est une densité de probabilité.
(c) Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P ), admettant f pour densité.
Montrer que X possède une espérance et une variance, et les calculer.
3. Soit (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires définies sur (Ω, A, P ), indépendantes, de même loi, admettant
pour densité une fonction g continue sur R, nulle sur ] − ∞, 0], de classe C 1 sur ]0, +∞[, et possédant une
dérivée à droite non nulle en 0, égale à c.
(a) Justifier le développement limité, quand x tend vers 0 par valeurs supérieures :
P ([X1 6 x]) =
c 2
x + o(x2 ).
2
(b) Pour tout entier n > 1, on note Yn = inf(X1 , X2 , . . . , Xn ).
i. Démontrer que la suite (Yn )n∈N∗ converge en probabilité vers 0 quand n tend vers l’infini.
ii. Trouver une suite (an )n∈N∗ de nombres réels strictement positifs tels que an Yn converge en loi vers
la variable aléatoire X de la question 2 quand n tend vers l’infini.
Exercice 21 – (ESCP 2010)
Soit θ un paramètre strictement positif. Les élèves d’un établissement numérotés 1, 2, . . . arrivent successivement à
la cantine qui abrite un grand nombre de tables très grandes (ainsi tous les élèves pourraient se placer à une même
table, ou pourraient tous occuper des tables différentes...).
Le premier élève s’assied à une table au hasard.
Pour k > 1, lorsque le (k + 1)-ième élève arrive, il choisit au hasard un des k élèves déjà attablés et s’assied à sa
k
θ
table avec la probabilité
ou occupe une nouvelle table avec la probabilité
.
k+θ
k+θ
Pour n > 1, on note Tn la variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P ), égale au nombre de tables
occupées lorsque n élèves ont pris place, et pour i ∈ [[1, n]], pn,i = P (Tn = i).
n!
. Calculer également pn+1,n+1 .
(1 + θ)(2 + θ) . . . (n + θ)
(b) Déterminer une relation de récurrence entre pn+1,i , pn,i et pn,i−1 , pour i ∈ [[2, n]].
1. (a) Montrer que pn+1,1 =
2. (a) On pose Qn (x) =
n
X
i=1
i
pn,i x et Pn (x) =
n−1
Y
(x + i). Montrer que
i=0
Qn (x) =
3
Rn (θx)
.
Rn (θ)
(b) En déduire que l’espérance de Tn est donnée par :
E(Tn ) = θ
n−1
X
i=0
On admet que la variance de Tn est donnée par V (Tn ) = θ
n−1
X
i=0
3. Montrer que pour tout n de N∗ :
Z
n
0
1
.
θ+i
i
.
(θ + i)2
θ
dx 6 E(Tn ) 6 1 +
θ+x
Z
n−1
0
θ
dx.
θ+x
En déduire un équivalent simple de E(Tn ) lorsque n tend vers +∞.
Tn
4. Montrer que V (Tn ) 6 E(Tn ). En déduire que ln
n n converge en probabilité vers la variable aléatoire
constante égale à θ.
Exercice 22 – (QC HEC 2009) Pour n entier naturel non nul, soit Xn une variable aléatoire définie sur un
espace probabilisé (Ω, A, P ), de loi binomiale de paramètres n et p avec p ∈]0, 1[.
1. Montrer que pour a > 0 fixé, P ([Xn 6 a]) tend vers 0 quand n tend vers +∞.
2. Montrer que si b > 0,
p
p
Xn
√
p(1 − p)
6
min( p(1 − p), b n).
P
n − p > b
2
b n
Qu’en déduit-on pour P (|Xn − np| 6 nb) quand n tend vers +∞ ?
Exercice 23 – (HEC 2010)
Soit (Xn )n>1 une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω, A, P ), indépendnates et de
même loi. On suppose qu’il existe deux réels α > 0 et λ > 0 tels que :
P ([X1 > x])
∼
x→+∞
α
.
xλ
Montrer que la suite de variables aléatoires (Zn )n>1 définie par :
1
∀n > 1, Zn = n− λ max(X1 , . . . , Xn )
converge en loi vers une loi à déterminer.
4