Feuille de TD No1 : Rappels sur les probabilités discrètes

Université Paris Diderot
Probabilités II
L3 MIASHS
2014-2015
o
Feuille de TD N
1
: Rappels sur les probabilités discrètes
(Un grand classique). Combien faut il qu'il y ait de personnes dans une salle pour
qu'on ait intérêt à parier que deux personnes ont le même anniversaire ?
Variante : Prouver qu'à Paris, on peut trouver deux personnes ayant la même date de
naissance.
Exercice 1
Un étudiant de Paris Diderot doit choisir deux options parmi les trois suivantes :
Histoire de l'art, Anglais renforcé, ou Probabilités. Selon l'administration, les élèves choisissent
Histoire de l'art (parmi leurs deux options) avec probabilité 5/8, Anglais renforcé avec probabilité 5/8, et à la fois Histoire de l'art et anglais avec probabilité 1/4.
Quelle est la probabilité qu'un étudiant choisisse les probabilités ? Quelle est la probabilité
qu'il choisisse Histoire de l'art ou Anglais ?
Exercice 2.
(Approximation binomiale de la loi de Poisson). Soit pour tout n ∈ N∗ , Xn une
variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n, pn ). On suppose que limn→+∞ npn = λ.
1. Rappeler la probabilité P(Xn = k).
k
2. Montrer que limn→+∞ P(Xn = k) = e−λ λk! .
Exercice 3
3. Quelle variable aléatoire N est telle que P(N = k) = e−λ λk! ?
On dit que la suite (Xn )n∈N∗ converge en loi vers une loi de poisson de paramètre λ.
4. Calculer la variance d'une loi de Poisson de paramètre λ.
k
Dans un groupe de TD de 24 élèves, le professeur choisit un étudiant au hasard
chaque semaine pour passer au tableau sur un exercice à préparer. Il y a 12 semaines de cours.
1. Écrire une formule donnant la probabilité qu'un étudiant donné soit appelé j fois au
tableau.
2. Donner une formule approchée en utilisant l'exercice précédent. Estimer la probabilité
que vous passiez deux fois au tableau dans le semestre.
Exercice 4.
Deux cartes sont tirées successivement d'un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité que la deuxième carte soit plus grande (en valeur) que la deuxième ?
Indication : Utiliser P(” > ”)+P(” 6 ”)+P(” = ”) = 1 et justier que P(” > ”) = P(” 6 ”).
Exercice 5.
Exercice 6.
1. Soient A et B deux événements. Montrer que
P(A ∩ B) > P(A) + P(B) − 1.
2. Soient A1 , . . . , An des événements, montrer que
P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ) 6 P(A1 ) + · · · + P(An ).
3. Soient A, B, C trois événements. Montrer que
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C).
4. (**) Soient A1 , . . . , An des événements. Trouver une formule du même type qu'à la
question précédente pour
P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ) = . . .
Un restaurant propose des tartes aux pommes et des tartes aux myrtilles. Chaque
jour, environ 10 clients commandent une tarte. Ils choisissent l'une des deux tartes avec la même
probabilité. Combien de parts de chaque tarte le propriétaire du restaurant doit-il prévoir pour
qu'avec une probabilité d'au moins 0.95, chaque client soit servi correctement.
Exercice 7.
Si un ensemble contient 2n éléments, montrer qu'il possède plus de sous-ensembles
à n éléments que de sous-ensembles à k éléments, quel que soit k 6= n.
Exercice 8.
Exercice 9.
Trouver n et r tels que
13
13
13
n
+2
+
=
5
6
7
r
et interpréter en termes de façon de choisir r éléments dans un ensemble à n éléments.
Exercice 10.
2n boules sont choisies au hasard parmi un total de 2n boules rouges et 2n boules
bleues. Trouver une formule pour la probabilité d'avoir choisi autant de boules bleues que de
boules√rouges. Donner un équivalent de cette probabilité quand n tend vers l'inni. Indication :
n! ∼ 2πn(n/e)n .
Supposons que X suive une loi de Poisson de paramètre λ. Quelle est la valeur
la plus probable de X ? A quelle condition deux valeurs ont la même probabilité ? Indication :
On pourra utiliser des ratios de probabilités successives.
Exercice 11.
On modélise souvent le nombre de bus arrivant à un arrêt de bus pendant une
période donnée par une loi de Poisson.
Supposons que le nombre de bus de la ligne 89 arrivant (à l'arrêt de l'université) entre 8
heures et 9 heures du matin suit une Loi de Poisson de paramètre λ89 = 10, et que le nombre
de bus de la ligne 62 arrivant entre 8 heures et 9 heures du matin suit une loi de Poisson de
paramètre λ62 = 12. Quelle est la loi du nombre de bus des deux lignes arrivant à cet arrêt
entre 8h et 9h ?
Exercice 12.
Exercice 13.
ait :
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N telle que pour tous m, n ∈ N, on
P (X ≥ m + n|X ≥ m) = P (X ≥ n).
On suppose que P (X = 0) = a. Déterminer la loi de X .
(*). Cet exercice propose d'expliquer pourquoi il est dicile de donner un sens
mathématique à l'expression : choisir un entier naturel au hasard.
1. Intuitivement, quelle est la probabilité qu'un entier naturel choisi au hasard soit multiple de 3 ?
2. Soit P3 (N ) la probabilité qu'un entier, choisi uniformément entre 1 et N , soit multiple
de 3. Montrer que
Exercice 14
P3 = lim P3 (N ) = 1/3.
N →∞
Cela formalise sans doute l'intuition trouvée à la première question. Par ailleurs, cela
permet d'assigner une probabilité à certains événements quand l'événement est un sousensemble inni des entiers.
3. Pour A un ensemble d'entiers naturels, on pose A(N ) le nombre d'éléments de A plus
petits que N . On dénit alors la probabilité de A par
A(N )
,
N →∞
N
P (A) = lim
sous réserve que cette limite existe.
Montrer que cette dénition donne une probabilité 0 à tout sous-ensemble d'entiers ni,
et une probabilité 1 à l'ensemble de tous les entiers.
Ainsi, la probabilité de l'ensemble de tous les entiers naturels n'est pas la somme des
probabilités de chacun des entiers. Cela signie que cette dénition de la probabilité de
A n'est pas satisfaisante.
4. Soit A l'ensemble des entiers naturels s'écrivant avec un nombre impair de chires.
Montrer que P (A) n'existe pas. Ainsi, certains événements n'ont pas de probabilité...
5. (**) Imaginer d'autres lois de probabilités sur les entiers naturels, sont-elles bien dénies ?
Exercice 15
indicatrice.
(*). Le but de cet exercice est de calculer des espérances en utilisant la fonction
1. (*) Considérons une urne contenant b boules blanches et n boules noires. On retire k
boules de l'urne sans remise. Quelle est l'espérance du nombre B de boules blanches
tirées ?
Indication : On pourra écrire le nombre de boules blanches tirées comme une somme de
b variables aléatoires de la façon suivante. Supposons qu'on numérote les boules blanches
de 1 à b. Alors,
B=
b
X
1{La i-ème boule blanche est tirée} .
i=1
On peut aussi décomposer B comme une somme de k indicatrices,
B=
k
X
1{La j-ème boule tirée est blanche} ,
j=1
mais cette décomposition est moins pratique ici.
2. (***) Une permutation σ de l'ensemble {1, . . . , n} est une bijection σ : {1, . . . , n} →
{1, . . . , n}. Une descente de permutation est un indice i ∈ {1, . . . , n − 1} tel que σ(i) >
σ(i + 1). Quelle est l'espérance du nombre de descentes d'une permutation choisie uniformément parmi toutes les permutations ?
Indication : On pourra là encore exprimer le nombre de descentes comme une somme de
n − 1 indicatrices bien choisies.
(**). On tire une pièce de monnaie à pile ou face jusqu'à ce qu'elle tombe sur
face. Si cela arrive au n-ième lancer, et n est impair, on gagne 2n /n, mais si n est pair on perd
2n /n. Donc si l'espérance du gain existe, elle est donnée par la série convergente
Exercice 16
1−
1 1 1
+ − + ...
2 3 4
Expliquer pourquoi.
Il est alors tentant de dire que cette valeur est l'espérance du gain. Montrer qu'alors, la
valeur de l'espérance du gain dépendrait de l'ordre dans lequel on liste les résultats possibles
de l'expérience. Que faut il en conclure ?