TS Exercices sur les lois normales

TS Exercices sur les lois normales
1 Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite.
À l’aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie au millième de :
a)
0 X 1,3
P ;
b)
– 2,1 X 1,3
P ;
c)
X 1,6
P ;
d)
X 1,5
P .
2 Une variable aléatoire T suit la loi normale centrée réduite.
À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie au millième du nombre u tel que :
a)
T 0,758
P u  ;
b)
T 0,4
P u 
;
c)
T 0, 25
P u  ;
d)
T 0, 7
P u 
;
e)
– T 0,997
P u u  .
3 T est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et v est le réel tel que
T 0,2
P v  .
1°) Sans calcul, comparer v à 0.
2°) Que vaut
T
P v
?
4 T est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et u est le réel tel que
–1 T 0,3
P u  .
1°) Exprimer
T
P u
en fonction de
T 1
P
.
2°) Déterminer la valeur arrondie au centième de u.
5 La température T (en degrés Celsius) relevée en janvier, en milieu de journée, suit la loi normale centrée
réduite.
1°) Interpréter dans ce contexte, la valeur 0 de l’espérance.
2°) Justifier que dans 95 % des cas, la température relevée est entre – 2 °C et 2 °C.
3°) Quelle est la fourchette de températures dans laquelle on trouve les températures relevées dans 99 % des
cas ?
4°) Donner une estimation de la probabilité d’avoir un jour de janvier, une température supérieure à 2 °C, puis
vérifier à la calculatrice.
6 Les températures du mois de juillet autour d’un lac suivent la loi normale d’espérance 18,2 °C et d’écart-
type 3,6 °C.
Une personne part camper en juillet sur le pourtour de ce lac.
Déterminer la probabilité que la température un jour de juillet :
a) soit inférieure à 16 °C ;
b) soit comprise entre 20 °C et 24,5 °C ;
c) soit supérieure à 21 °C.
7 Une entreprise de travaux publics a un parc total de 150 camions.
On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque camion associe la distance en kilomètres qu’il a parcouru
en une journée.
On admet que X suit la loi normale d’espérance 120 et d’écart-type 14.
1°) Quelle est la distance moyenne parcourue par un camion en une journée ?
2°) Déterminer la probabilité pour qu’un camion parcourt un jour donné
a) entre 110 et 130 km ;
b) plus de 105 km.
3°) À combien de camions peut-on évaluer le nombre de camions parcourant moins de 130 kilomètres en une
journée ?
8 La variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance 7 et d’écart-type 0,2.
Déterminer une valeur approchée du réel t tel que :
a)
X 0,672
P t  ;
b)
X 0,873
P t 
.
9 X est une variable aléatoire que suit la loi normale d’espérance 20 et vérifie
X 25 0,85
P .
On se propose de déterminer l’écart-type  de X.
1°) Quelle est la loi suivie par
X 20
Z
?
2°) On note u le réel tel que
Z 0,85
P u  .
Exprimer  en fonction de u puis déterminer la valeur arrondie au millième de .
10 Lors d’un test de connaissance, 70 % des individus ont un score inférieur à 60 points.
De plus, les résultats suivent une loi normale d’écart-type 20.
Calculer l’espérance  de cette loi normale.
11 Un fabricant remplit des boîtes de petits pois. La masse de pois dans une boîte est normalement distribuée
avec une moyenne de 250 g et un écart-type de 10 g. Selon les règles du marché, le fabricant doit indiquer sur
les boîtes une fourchette de masses telles que environ 5 % des boîtes aient une masse non comprise dans cet
intervalle.
Quelle est cette fourchette de masses ?
12 La variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance
90
et d’écart-type
20
.
Déterminer l’intervalle I fermé borné de centre  tel que
X I 0,85
P  .

13 Une enquête a montré que la taille des femmes françaises en centimètres suit la loi normale d’espérance
162,5 et d’écart-type 4.
On mesure une femme française au hasard.
Déterminer la probabilité pour qu’elle mesure :
a) entre 158,5 cm et 166,5 cm ;
b) moins de 164 cm ;
c) plus de 170 cm ;
d) moins de 160 cm ;
e) moins de 170 cm sachant qu’elle mesure plus de 160 cm.
14 Une machine fabrique en grande série des disques de verre dont le diamètre doit être de 30 millimètres.
On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque disque pris au hasard, associe son diamètre exprimé en
millimètres.
Cette variable suit la loi normale d’espérance 30 et de variance 0,0324.
On accepte les disques dont le diamètre est compris entre 29,76 mm et 30,14 mm.
1°) Déterminer la probabilité
29,76 X 30,14
P .
2°) Quel nombre de disques acceptables peut-on prévoir sur un lot de 1000 pièces ?
15 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance  et d’écart-type .
On note F la fonction de répartition d’une variable aléatoire T qui suit la loi normale centrée réduite.
On sait que
X 55 0,7977
P et que
X 48 0,6306
P .
1°) Démontrer que 55
F 0,7977
  et 48
F 0,3694
  .
2°) On note a et b les réels tels que
F 0,7977
a et
F 0,3694
b.
a) Établir que  et  sont solutions du système 55
48
a
b
.
b) En déduire les expressions de  et  en fonction de a et b ; calculer les valeurs arrondies au centième de  et
.
16 Dans une population, le taux de cholestérol en grammes par litre peut être assimilé à une variable
aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance  et d’écart-type .
On note F la fonction de répartition de la variable aléatoire T centrée réduite associée à X.
On sait que, dans la population étudiée, la probabilité pour que le taux de cholestérol soit inférieur à 1,95
grammes par litre est 0,58 et la probabilité pour que le taux de cholestérol soit compris entre 1,95 et 2,10
grammes par litre est 0,38.
1°) Calculer
X 2,10
P .
2°) Démontrer que 1,95
F 0,58
  et 2,10
F 0,96
  .
3°) On note a et b les réels tels que
F 0,58
a et
F 0,96
b.
a) Établir que  et  sont solutions du système 1,95
2,10
a
b
.
b) En déduire les expressions de  et  en fonction de a et b ; calculer les troncatures au millième de  et .
17 Correction de continuité
On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres
40
n
et
0,4
p
.
1°) Calculer
X 16
P et
13 X 15
P .
2°) On approche X par une variable aléatoire Y qui suit la loi normale d’espérance 16 et d’écart-type 9,6.
a) Justifier l’approximation réalisée.
b) Calculer
Y 16
P et
13 Y 15
P .
Que remarque-t-on ? Comment expliquer ce phénomène ?
3°) On effectue alors une « correction de continuité », en calculant
15,5 Y 16,5
P
et
12,5 Y 15,5
P .
Effectuer les calculs et comparer les résultats avec les résultats du 1°).
18 Les résultats seront arrondis au millième.
Dans un pays, la taille des femmes en centimètres peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi
normale d’espérance 165 et d’écart-type 6 alors que celle des hommes en centimètres peut être modélisée par
une variable aléatoire Y suivant la loi normale d’espérance 174 et d’écart-type 8.
De plus, on sait que les femmes représentent 51,3 % de la population de ce pays.
1°) On choisit une personne au hasard dans cette population.
Calculer que la taille de la personne dépasse 1,70 m.
2°) Quelle est la probabilité pour qu’une personne mesurant plus d’1,70 m soit une femme ?

Corrigé
Pour tous les exercices, on utilise la calculatrice.
On obtient des valeurs approchées.
1
On utilise la calculatrice (on n’a pas le choix).
La calculatrice a un programme permettant de calculer directement X
P a b
.
On donnera donc des valeurs approchées.
Avec la calculatrice :
a)
0 X 1,3 0,403
P (valeur arrondie au millième)
b)
– 2,1 X 1,3 0,885
P (valeur arrondie au millième)
c)
On fait un graphique pour visualiser la relation.
On cherche l’aire du domaine sous la courbe pour
1,6
x
. Cette aire est égale à la somme des aires pour
0
x
et pour
0 1,6
x
.
L’aire sous la courbe pour
0
x
est égale à 0,5 (car l’axe des ordonnées est axe de symétrie et l’aire sous la
courbe sur  tout entier est égale à 1).
X 1,6 (X 0) (0 X 1,6)
P P P 
0,5 0 X 1,6
X 1,6 PP 
Avec la calculatrice, on obtient :
X 1,6 0,945200710...
P
(affichage calculatrice : 0,9452007101)
X 1,6 0,945
P
(valeur arrondie au millième)
On peut aussi utiliser l’artifice de calcul sur calculatrice avec
99
10
 (que l’on n’écrit pas).
d)
On fait un graphique pour visualiser la relation.
X 1,5 X 0 – 0 X 1,5
P P P
0,5X
– 0 X ,
,
1 5
1 5 PP
Avec la calculatrice, on obtient :
X 1,5 0,066807223...
P
(affichage calculatrice : 0,0668072232)
X 1,5 0,067
P (valeur arrondie au millième)
On peut aussi utiliser l’artifice de calcul sur calculatrice avec
99
10
.
2
 Dans tous les cas, on utilise la calculatrice (FracNormale ou InvNormale pour les calculatrices TI).
 Pour
T 0, 25
P u  ,
T 0, 7
P u 
,
– T 0,997
P u u 
, on ne peut pas le faire
directement à la calculatrice. Il faut transformer.
 Déterminons le réel u tel que
T 0,758
P u  (1).
0,6998836018081
u
 Déterminons le réel u tel que
T 0,4
P u  (2).
– 0,253
u
(valeur arrondie au millième)
 Déterminons le réel u tel que
T 0,25
P u  (3).
T 1–0,25
P u 
7
T
0, 5
P u 
0,674
u
(valeur arrondie au millième)
 Déterminons le réel u tel que
T 0,7
P u  (4).
T 1–0,7
P u 
T 0,3
P u 
– 0,524
u
(valeur arrondie au millième)

 Déterminons le réel u tel que
T 0,997
P u u  (5).
(5) 
2 0 T 0,997
P u 
2 T – 0,5 0,997
P u 
0,997
T 0,5
2
P u  
T 0,9985
P u 
2,968
u
(valeur arrondie au millième)
3 T suit la loi normale N(0 ; 1).
v
tel que
T 0,2
P v 
1°) Comparons v à 0.
T 0,5
P v
donc
0
v
.
2°) Faire un graphique
T – 1– T –
P v P v
1TT––P
v
vP
0
T
2
–
1– ,
P v 
0
T
8
–
,
P v 
4
T suit la loi normale N(0 ; 1).
u
tel que
–1 T 0,3
P u 
1°) Exprimons
T 
P u
en fonction de
T 1 
P
.
T T – 1 –1 T
P u P P u
T –1 0,3
TPP u  
2°) Déterminons la valeur arrondie au centième de u.
On évite (on se garde) calculer
 T  0, 4586552595631
P u (valeur approchée).
 T  0, 5 1 T 0 0,3
P u P   
0,T
8 1 T 0
P u P  
Pour arriver en une seule étape, on va utiliser la commande FracNormale.
Pour avoir le maximum de précision, on va taper « l’ensemble »
0,8 1 T 0
P  « à l’intérieur » utiliser
FracNormale.
Fracnormale(0.8– NormaleFrép(– 1,0))
Avec la calculatrice, on trouve
0,1038221023...
u
.
On peut écrire
– 0,10
u (valeur arrondie au centième).
Version plus courte à savoir faire sous cette version :
Déterminer la valeur arrondie au millième du réel u tel que
 1 T 0, 3
P u  .
5
1°) La température moyenne au mois de janvier en milieu de journée est environ égale à 0 °C.
2°) Calculons
– 2 X 2
P.
– 2 X 2 0,954
P
On en déduit que, dans 95 % des cas environ, la température relevée est entre – 2 °C et 2 °C.
3°) On cherche u tel que
– T 0,99
P u u  (1) (On prend une fourchette symétrique par rapport à 0).
(1) 
2 (0 T ) 0,99
P u
(propriété du cours utilisant la symétrie de la courbe de Gauss)
2 T 0,5 0,99
P u  
(on redémontre une règle du cours)
2 T 1 0,99
P u  
2 T 1,99
P u 
T 0,995
P u 
Avec la calculatrice, on trouve
2,576
u
(valeur arrondie au millième) .
On obtient l’intervalle
– 2,58 C ; 2,58 C
(on prend la valeur décimale approchée par défaut au millième de
la borne inférieure et la valeur décimale approchée par excès au millième de la borne supérieure).
4°) Donnons une estimation de la probabilité d’avoir un jour de janvier, une température supérieure à
2 °C.
On cherche
T 2
P .
T 2 T 0 – 0 T 2
P P P
[on peut aussi utiliser l’artifice de calcul 2 à
99
10
].
T 2 0,023
P (valeur arrondie au millième)

6
On note T la température en °C.
D’après l’énoncé, T suit la loi normale d’espérance
18,2
et d’écart-type
3,6
.
E T 18,2
 ;
T 3,6
On peut aussi dire que T suit la loi normale N(18,2 ; 12,96) (calcul du carré de l’écart-type inutile).
1°)
1ère méthode :
T 16 T 18,2 16 T 18,2
P P P 
0,T51
T ,2
6
16 18
PP 
Sur la calculatrice, on obtient l’affichage : 0,2705629547.
2e méthode :
99
10 T 18,2 0,270562952465
P
Sur calculatrice, on met
99
10
.
On observe qu’il y a une différence entre les résultats affichés de
99
10 T 18,2
P et
T 16
P
au
niveau des deux dernières décimales.
On peut écrire :
T 16 0,270562954...
P .
Attention, on ne peut pas « passer » par 0 car la cloche est décentrée.
2°)
20 T 24,5 0,2684784186873
P
3°)
1ère méthode :
T 21 T 18,2 18,2 T 21
P P P 
0,T52
, 21
118 2 TPP 
Sur la calculatrice, on obtient l’affichage : 0,2816500534.
2e méthode :
99
21 T 10 0,270562952465
P
Sur calculatrice, on met
99
10
.
On observe qu’il y a une différence entre les résultats affichés de
99
21 T 10
P et
T 21
P au niveau de
la deuxième décimale.
7
X suit la loi N(120 ; 196).
1°) Déterminons la distance moyenne parcourue par un camion en une journée.
Il s’agit d’une question sans calcul.
Il s’agit juste d’interpréter de manière concrète l’espérance de X.
En une journée, un camion parcourant en moyenne 120 km (espérance de X).
2°)
 Déterminons la probabilité pour qu’un camion parcourt un jour donné entre 110 et 130 km.
On calcule
110 X 130
P .
110 X 1 30 0,5249496249511
P
 Déterminons la probabilité pour qu’un camion parcourt un jour donné plus de 105 km.
On calcule
X 105
P .
1ère méthode :
X 105 0,5 105 X 120
P P 
0,858011582X
551...
105P (affichage calculatrice : 0,8580115826)
2e méthode :
99
105 X 10 0,858011583...
P (affichage calculatrice : 0,8580115831)