feuille d`exercices

Eléménts pour le calcul des probabilités
Exercices
2015-2016
PRA - L2 MIASHS
V. Monbet

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1
Séries numériques
1. On considère la suite géométrique (un)définie par
u0= 1
un+1 =αun
avec αun réel appelé raison de la suite.
(a) Montrer que le terme général s’écrit ∀n≥0,un=αn.
(b) Quel est le comportement de la suite si
i. α > 1?
ii. α= 1 ?
iii. α∈]0,1] ?
iv. α=−1/2?
2. Suite définie par récurrence. On considère la suite (un)n≥0définie par
u0=√2
un+1 =√2 + un
(a) Montrer que ∀n≥0:u2
n<4.En déduire que la suite est (un)n≥0bornée.
(b) Montrer que la suite (un)n≥0est monotone (étudier par exemple le signe de
u2
n+1 −u2 n).
(c) La suite (un)n≥0est-elle convergente? Si oui, calculer sa limite.
(d) Retrouver graphiquement ce résultat.
3. Le principe de l’étau. On déifinit la suite (un)n≥0par
un=1
√n2+ 1 +1 √n2+ 2 +··· +1 √n2+n
(a) Encadrer la suite (un)n≥0par deux suites (vn)n≥0et (wn)n≥0de même limite.
(b) En déduire la limite de la suite (un)n≥0.
3

4. Considérons la suite de terme un=n+ (−1)n
(a) Tracer les premiers termes de la suite.
(b) Donner son comportement.
(c) Montrer que (un)tend vers l’infini.
5. On rappelle qu’au voisinage de 0, on a ln(1 + x)∼xet ex∼1 + x. Déterminer les
limites suivantes
(a) limn→∞ 1 + 1
nn
(b) limn→∞ 1 + 1
n1
n
(c) limn→∞ n2(n+ 1) 1
n−n1 n
(d) limn→∞ 1 + 1
2+1 n+··· +1 2+1 n1
n−nn−1
(e) limn→∞ nln n
(ln n)n
6. Soient un= 1,vn= 1 et wn=−1.
(a) Montrer que les trois séries Pun,Pvnet Pwnsont divergentes.
(b) Quel est la nature de P(un+vn)?
(c) Quel est la nature de P(un−wn)?
7. Quelle est la nature de la série géométrique de raison |α| ≥ 1?
8. Etudier la nature des séries dont le terme général unest donné ci-dessou (compara-
ison à la série géométrique)
(a) un=3n+n4
5n−3n
(b) un=1
2+1 2nn
(c) un= (3 + (−1)n)−n
(d) un=1
1+x2n, x ∈R
9. Via une minoration des sommes partielles (sN), montrer que la série Pn≥1
1
√nest
divergente, mais non trivialement.
10. On considère la série Pn≥0undéfinie par u2n=1
n+1 et u2n+1 =−1 n+1 . Calculer les
sommes partielles (sN)en fonction de la parité de N. En déduire que la série est
semi-convergente.
11. Montrer que Pn≥1
1
n2est convergente. On commencera par montrer que pour tout
n≥2, on a 1
n2≤1 n−1−1 n.
12. En utilisant l’inégalité sin x≤xpour tout xpositif, montrer que la série Psin 1
2n
est convergente.
13. On veut connaitre la nature de la série Pn≥1
1
n(n+1)(n+2) et sa somme éventuelle.
4

(a) Décomposer la fraction rationnelle en éléments simples ie sous la forme
1
X(X+ 1)(X+ 2) =a X+b X+ 1 +c X+ 2
(b) Voir alors que dans la somme partielle sNles termes se télescopent et en déduire
une expression simple de sN
(c) Montrer que la série est convergente et calculer sa somme S=P+∞
n=1
1
n(n+1)(n+2)
14. On étudie cette fois la série Pn≥0
n
2n.
(a) En notant que n= (n+ 1) −1, montrer que
sN= 2sN+1 +1
2N−2
(b) Grâce à la relation liant sNet sN+1, en déduire que la série est convergente,
de somme égale à 2.
15. Déterminer la nature de la série Pn≥1n
n+1 n.
5