AP TS Séance 3 Définition Soit p un réel de l

AP TS Séance 3
Définition
Soit p un réel de l'intervalle [0;1] et n un entier naturel.
On considère l'expérience aléatoire qui consiste à répéter dans des conditions identiques une épreuve de
Bernoulli de paramètre p avec au maximum n répétitions et arrêt du processus au premier succès.
On appelle loi géométrique tronquée de paramètres n et p la loi de la variable aléatoire X définie par :
•
X = 0 si aucun succès n'a été obtenu
•
pour 1 ≤ k ≤ n , X = k si le premier succès est obtenu à l'étape k
a) Représenter par un arbre cette expérience dans le cas n = 4
b) En déduire la loi de probabilité de X dans ce cas (n = 4)
c) Compléter alors le cas général :
Théorème : Loi géométrique tronquée
Soit X une variable aléatoire suivant la loi géométrique tronquée de paramètres n ∈ ℕ* et p ∈ [0;1].
•
P( X = 0 ) =
•
pour 1 ≤ k ≤ n P( X = k ) =
d) Cette loi géométrique tronquée ressemble à une autre loi rencontrée en première S . Laquelle ?
En rappeler le principe .
Application
Exercice 1 :
Partie 1
On lance un dé équilibré jusqu'à quatre fois de suite, l'expérience s'arrêtant dès que l'on obtient 6. On
souhaite réaliser un algorithme qui simule l'expérience et renvoie le rang du premier 6 ou 0 si l'on n'a pas
réussi à faire 6 après 4 tentatives.
Variables :
R : rang du lancer
D : nombre entier
Traitement (à compléter)
R prend la valeur 1
D prend une valeur entière aléatoire entre 1 et 6
Tant que D≠6 OU R ≤ 4
R prend la valeur R+1
D prend une valeur entière aléatoire entre 1 et 6
Fin du Tant Que
Si D > 5 Alors
Afficher R
Sinon
Afficher 0
Fin Si
Partie 2
On propose le jeu suivant : la mise est de 10 euros. Vous lancez un dé.
Si vous faites 6 au premier lancer, vous récupérez votre mise et vous gagnez en plus 8 €. Le jeu s'arrête.
Si vous faites 6 au deuxième lancer, vous récupérez votre mise et vous gagnez en plus 7 €. Le jeu s'arrête.
Si vous faites 6 au troisième lancer, vous récupérez votre mise et vous gagnez en plus 6 €. Le jeu s'arrête.
Si vous faites 6 au quatrième lancer, vous récupérez votre mise et vous gagnez en plus 5 €. Le jeu s'arrête.
Si vous n'avez toujours pas fait de 6 après quatre lancers, le jeu s'arrête et vous perdez votre mise.
1) a) On note G le gain algébrique du joueur. Déterminer la loi de probabilité de G
G peut prendre comme valeur 18 , 17 , 16 , 15 , –10. On est en présence d'une loi géométrique tronquée de
paramètres 4 et 1/6. En utilisant les résultats du début, on obtient :
gi
18
17
16
P (G= g i )
1
6
5 1
5
×
6 6 = 36
5
1
25
( 6 ) × 6 = 216
2
15
3
()
5
1
125
6 × 6 = 1296
–10
4
()
5
625
6 = 1296
b) Que peut-on espérer gagner à ce jeu si on y joue un grand nombre de fois ?
1
5
25
125
625
20273
Il faut calculer E(G) = 18× 6 +17× 36 +16× 216 +15× 1296 −10× 1296 = 1296
2) a) Trouver une relation simple entre le rang du premier 6 et le gain positif du joueur.
b) Ecrire un algorithme qui simule 100 parties et renvoie le rang du premier 6 et le gain algébrique du
joueur.
Exercice 2 : Le tir à l'arc
Un tireur à l'arc atteint sa cible 9 fois sur dix. Ce tireur participe à un concours primé.
Il tire cinq flèches sur la cible. S'il atteint la cible il gagne 10 € sinon il perd 20 € . On suppose que les tirs
sont indépendants.
1) On appelle X le nombre de flèches ayant atteint la cible à l'issue des cinq tirs.
a) Quelle est la loi suivi par X ?
Le lancer d'un flèche peut être assimiler à une épruve de Bernoulli avec pour proba du succès 9/10
Comme on lance cinq flèches indépendamment les unes des autres, X suit une loi binomiale de
paramètres 0,9 et 5
b) Déterminer la loi de probabilité de X
D'après le cours :
pour tout entier k ∈ [0;5], P(X=k) =
(k5 )
0,9
k
0,1
5−k
2) On appelle Y la variable aléatoire égale au gain du joueur à l'issue des cinq tirs.
Quel est le gain moyen du tireur s'il participe un grand nombre de fois à ce concours ? Est-ce
intéressant pour lui ? On justifiera correctement la réponse
Y peut prendre comme valeur :
5×10 € = 50 ;
4×10−20 =20€ ;
3×10−2×20 =–10 ;
2×10−3×20 =–40€ ;
1×10−4×20 =–70€ ;
– 5×20=– 100 €
yi
50
P ( Y= y i )
5
P (X=5)=0,9
20
–10
–40
–70
–100
P(X=4) =
5×0 , 94 ×0,1
P(X=3) =
10×0,93 ×0,1 2
P(X=2) =
10×0,9 2 ×0,13
P(X=1) =
5×0,9×0,14
P(X=0) = 0,15
Il faut ensuite calculer l'espérance mathématique de Y qui représente le gain moyen du joueur :
E(Y) =
∑ y i P( X= x i )
= 50×0,95 +20×5×0,94 ×0 , 1+…−100×0 , 15 = 35
Donc si on joue souvent à ce jeu, on gagne en moyenne 35 € donc il est intéressant d'y jouer