variable aléatoire

Variables aléatoires réelles
Loi de probabilité
Espérance
Variance
Table des matières
1
généralités sur les variables
1.1 activités . . . . . . . .
1.2 a retenir . . . . . . .
1.3 exercices . . . . . . . .
1.4 évaluations . . . . . .
aléatoires
. . . . . . .
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2
2
5
6
13
1
1.1
généralités sur les variables aléatoires
10
activités
0
1
activité 1 : (notion de variable aléatoire)
5
5
un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée
le prix à payer pour une partie est de 2 euros
le jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euros
on pose : X = gain = rapport du jeu - prix de la partie
on dit que X est une variable aléatoire
0
0
5
1
0
1. déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X
2. déterminer les probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X
(consigner les résultats dans un tableau)
3. déterminer p(X ≤ 0) et p(X > 0)
X
4. déterminer E(X) l’espérance de X donnée par : E(X) =
p i xi
où les xi sont les valeurs possibles pour X et pi les probabilités respectivement associées.
interpréter cette valeur.
5. déterminer
type σ(X) de X donnés par :
X la variance V (X) et l’écart p
2
2
V (X) =
pi xi − E(X)
et
σ(X) = V (X)
6. le jeu est à gain positif si E(X) > 0, qu’en est-il de ce jeu ? est-il plus favorable à l’organisateur ou au joueur ?
7. déterminer le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle.
activité 2 :
un jeu consiste à jeter deux dés bien équilibrés à quatre faces dont les faces sont numérotées
de 1 à 4.
A chaque résultat on associe la somme X des deux scores.
Celui qui devine la somme des deux score à l’avance gagne le nombre d’euros correspondant.
Ael choisit 4 pour total et Léa choisit 5.
Laquelle des deux a le plus de chances de gagner ?
(a) déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X
(b) déterminer les probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X
et consigner les résultats dans un tableau. (on pourra s’aider d’un arbre, ou d’un tableau
double entrée pour répertorier tous les cas possibles)
(c) répondre à la question ci dessus
(d) calculer l’espérance de X
10
0
1
corrigé activité 1 : (notion de variable aléatoire)
5
5
un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée
le prix à payer pour une partie est de 2 euros
le jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euro
on pose : X = gain = rapport du jeu - prix de la partie
on dit que X est une variable aléatoire
0
0
5
1
0

10 − 2 = 8



5−2=3
1. valeurs possible pour X :
soit : X ∈ {−2 ; −1 ; 3 ; 8}
1 − 2 = −1



0 − 2 = −2
2. valeurs des probabilités associées aux valeurs de X :

casf avorables
1

=
p(X = 8) = p(score = 10) =



10
castotal






3



 p(X = 3) = p(score = 5) = 10


2


p(X = −1) = p(score = 1) =


10







 p(X = −2) = p(score = 0) = 4
10
valeurs possibles de X : xi
-2
-1
3
8
total
probabilités : pi
4
= 0, 4
10
2
= 0, 2
10
3
= 0, 3
10
1
= 0, 1
10
1
3. p(X ≤ 0) = p(X = −2) + p(X = −1) = 0, 6
p(X > 0) = 1 − p(X ≤ 0) = 0, 4
4. E(X) =
X
p i xi
E(X) = −2 × 0, 4 + (−1) × 0, 2 + 3 × 0, 3 + 8 × 0, 1 = 0, 7 ceci signifie qu’en moyenne le gain est de 0,7 euros par partie
5. V (X) =
X
pi x2i − E(X)2
V (X) = (−2)2 × 0, 4 + (−1)2 × 0, 2 + 32 × 0, 3 + 82 × 0, 1 − 0, 72 = 10, 41
σ(X) =
p
σ(X) =
√
V (X)
10, 41 ≃ 3, 22
6. le jeu est à gain positif car E(X) = 0, 7 > 0, il est plus favorable au joueur car il gagne
en moyenne 0,7 euros.
7. soit y le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle.
E(X) = 0 ⇐⇒ 0, 4(0 − y) + 0, 2(1 − y) + 0, 3(5 − y) + 0, 1(10 − y) = 0
⇐⇒ −0, 4y + 0, 2 − 0, 2y + 1, 5 − 0, 3y + 1 − 0, 1y = 0
⇐⇒ −y + 2, 7 = 0
⇐⇒ y = 2, 7
le prix doit être de 2,7 euros pour avoir une espérance nulle
1.2
a retenir
définition 1 :
Soit un univers de probabilité fini U = {w1 , w2 , ..., wn } (n ≥ 1)
sur lequel est défini une probabilité p
Soit X une fonction qui à chaque élément wi de U associe un nombre réel xi
On dit que X est un variable aléatoire
r≤n
(réelle) qui prend r valeurs avec Pour tout xi avec 1 ≤ i ≤ r on pose p(xi ) = p(cas de U f avorables pour xi )
et on définit ainsi une loi de probabilité que l’on consigne en général dans un tableau.
valeurs possibles de X : xi
probabilités : pi
x1
p1
x2
p2
...
...
xr
pr
total
1
propriété 1 :
Soit X une variable aléatoire réelle de loi de probabilité donnée par le tableau suivant
valeurs possibles de X : xi
probabilités : pi
x1
p1
x2
p2
...
...
xr
pr
total
1
(1) L’espérance (ou valeur moyenne) de X est le nombre réel noté E(X)
tel que : E(X) =
i=r
X
p i xi
i=1
(2) La variance de X est le nombre réel noté V (X)
tel que : V (X) =
i=r
X
i=1
pi x2i − (E(X))2 ou V (X) =
i=r
X
i=1
pi (xi − E(X))2
(3) l’écart type de X est le nombre réel noté σ(X)
tel que : σ(X) =
p
V (X)
Remarques :
(a) on a les mêmes formules qu’en statistiques pour la moyenne, la variance et l’écart type.
1.3
exercices
exercice 1 : Baccalaurat ES Liban 31 mai 2010
Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer sur
la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune
justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève
0, 5 point. L’absence de réponse ne rapporte aucun point et n’en enlève aucun. Si le total des
points est négatif la note est ramenée à 0.
1. A et B sont deux événements indépendants et on sait que p(A) = 0, 5 et p(B) = 0, 2
La probabilité de l’événenement A ∪ B est égale à :
Réponse A : 0,1
Réponse C : 0,6
Réponse B : 0,7
Réponse D : on ne peut pas savoir
2. Dans un magasin, un bac contient des cahiers soldés. On sait que 50 % des cahiers ont
une reliure spirale et que 75 % des cahiers sont grands carreaux. Parmi les cahiers grands
carreaux, 40 % ont une reliure spirale.
Adèle choisit au hasard un cahier à reliure spirale. La probabilité qu’il soit grands carreaux
est égale à :
Réponse A : 0,3
Réponse C : 0,6
Réponse B : 0,5
Réponse D : 0,75
Dans les questions 3. et 4. , on suppose que dans ce magasin, un autre bac contient une
grande quantité de stylos-feutres en promotion. On sait que 25 % de ces stylos-feutres
sont verts. Albert prélève au hasard et de manière indépendante 3 stylos-feutres.
3. La probabilité, arrondie à 10−3 , qu’il prenne au moins un stylo-feutre vert est égale à :
Réponse A : 0,250
Réponse C : 0,578
Réponse B : 0,422
Réponse D : 0,984
4. La probabilité, arrondie 10−3 , qu’il prenne exactement 2 stylos-feutres verts est égale à :
Réponse A : 0,047
Réponse C : 0,141
Réponse B : 0,063
Réponse D : 0,500
5. Quel nombre minimal de stylos doit-il prendre au hasard pour que la probabilité qu’il ait
au moins 1 stylo-feutre vert soit au moins égale à 95% ?
Réponse A : 10
Réponse C : 12
Réponse B : 11
Réponse D : 13
6. Un jeu consiste lancer une fois un dé cubique non pipé dont les faces sont numérotées de
1 à 6. Un joueur donne 3 euros pour participer à ce jeu.
Il lance le dé et on lit le numéro inscrit sur la face supérieure de ce dé :
• si le numéro est 1, le joueur reçoit 10 euros,
• si le numéro est 2 ou 4, il reçoit 1 euro,
• sinon, il ne reçoit rien.
à ce jeu, l’espérance mathématique du gain algébrique, exprimée en euros, est :
Réponse A : 0
Réponse C : -1
Réponse B : 1
Réponse D : -2
corrigé exercice 1 : Baccalaurat ES Liban 31 mai 2010
1. A et B sont deux événements indépendants donc p(A ∩ B) = p(A) × p(B) = 0, 1
et comme p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 0, 5 + 0, 2 − 0, 1 = 0, 6
Réponse C
2. en appelant S l’événement « Le cahier est spirale » et C l’événement « Le cahier est
gros carreaux » on a :
0,40
S
0,75 C
S
0,60
S
0,25
C
S
pS (C) =
P (C) × PC (S)
0, 75 × 0, 4
p(S ∩ C)
=
=
= 0, 6
P (S)
P (S)
0, 5
Réponse C
3. La loi numérique correspondant au nombre X de stylos-feutres verts est une loi binomiale. Il faut faire un arbre :
0,25
0,25
0,25
V
V
X=3
: 0, 253
0,75V
X=2
: 0, 252 × 0, 75
V
0,75
0,25
V
X=2
V
X=1
0,75V
0,25
0,25
X=2
0,75 V
X=1
0,25
X=1
V
0,75
V
V
: 0, 25 × 0, 752
0,75
V
V
0,75 V
X=0
: 0, 753
On cherche la probabilité de l’événement contraire de « On a obtenu aucun stylo
vert » donc
Réponse C
p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 753 ≈ 0, 578
4. Sur l’arbre, il y a trois chemins de même probabilité qui donnent 2 stylos verts donc
Réponse C
p(X = 2) = 3 × 0, 252 × 0, 75 ≈ 0, 141
5. on cherche le nombre de tirages n tel que p(X ≥ 1) ≥ 0, 95
ln(1 − 0, 95)
1 − 0, 75n ≥ 0, 95 ⇐⇒ n ≥
⇐⇒ n ≥ 11
ln(0, 75)
Réponse B
6. la loi de probabilité de X est :
xi
-3
-2
7
total
pi
3
= 0, 5
6
1
2
=
6
3
1
6
1
E(X) = −3 × 0, 5 + (−2) ×
Réponse C
1
1
+ 7 × = −1
3
6
exercice 2 : Antilles–Guyane 18 juin 2010
Un bijoutier propose des perles de culture pour fabriquer des bijoux. Il dispose dans son
stock de deux types de couleurs : les perles argentées et les perles noires.
Chacune de ces perles a :
– soit une forme dite sphérique ;
– soit une forme dite équilibrée ;
– soit une forme dite baroque.
On sait que dans son stock, 44 % des perles sont équilibrées, deux cinquièmes sont baroques et les autres sont sphériques. De plus, 60 % des perles sont argentées dont 15 %
sont sphériques et la moitié sont baroques.
i. Recopier le tableau des pourcentages ci-dessous et le compléter à l’aide des données
de l’énoncé (on ne demande pas de justification).
Sphérique
équilibrée
Baroque
Total
Argentée
Noire
Total
100 %
ii. Le bijoutier choisit une perle du stock au hasard. On suppose que chaque perle a la
mème probabilité d’être choisie.
On note :
– A l’événement : « la perle est argentée » ;
– N l’événement : « la perle est noire » ;
– S l’événement : « la perle est de forme sphérique » ;
– E l’événement : « la perle est de forme équilibrée » ;
– B l’événement : « la perle est de forme baroque ».
Toutes les probabilités seront données sous forme décimale exacte.
A. Quelle est la probabilité que le bijoutier choisisse une perle de forme baroque ?
B. Quelle est la probabilité que le bijoutier choisisse une perle noire de forme équilibrée ?
C. Déterminer la probabilité de l’événement A ∪ B puis interpréter ce résultat.
D. Le bijoutier a choisi une perle de forme baroque. Quelle est la probabilité qu’elle
ne soit pas argentée ?
iii. Pour une création de bijou original, le bijoutier choisit dans son stock quatre perles
au hasard et de manières indépendantes. On admet que le nombre de perles est
suffisamment grand pour que le choix d’une perle soit assimilé à un tirage avec remise.
A. Calculer la probabilité qu’aucune des quatre perles choisies ne soit argentée.
B. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins une perle sphérique parmi les quatre
perles choisies (donner une valeur approchée de ce résultat à 10−3 près).
corrigé exercice 2 : Antilles–Guyane 18 juin 2010
i. tableau des pourcentages
Argentée
Noire
Total
Sphérique
9%
7%
16%
équilibrée
21%
23%
44%
Baroque
30%
10%
40%
Total
60%
40%
100 %
ii. Le bijoutier choisit une perle du stock au hasard. On suppose que chaque perle a la
mème probabilité d’être choisie.
Toutes les probabilités seront données sous forme décimale exacte.
A. probabilité que le bijoutier choisisse une perle de forme baroque : p(B) = 0, 4
B. probabilité que le bijoutier choisisse une perle noire et équilibrée : p(N ∩ E) = 0, 23
C. p(A ∪ B) = 0, 6 + 0, 4 − 0, 3 = 0, 7
interprétation
probabilité que le bijoutier choisisse une perle argentée ou de forme équilibrée
D. Le bijoutier a choisi une perle de forme baroque.
probabilité qu’elle ne soit pas argentée : pB (A) =
0, 1
p(A ∩ B)
=
= 0, 25
p(B)
0, 4
iii. Pour une création de bijou original, le bijoutier choisit dans son stock quatre perles
au hasard et de manières indépendantes. On admet que le nombre de perles est suffisamment grand pour que le choix d’une perle soit assimilé à un tirage avec remise.
A. probabilité qu’aucune des quatre perles choisies ne soit argentée.
p(X = 0) = 0, 44 ≃ 0, 0256
B. probabilité qu’il y ait au moins une perle sphérique parmi les quatre perles choisies
( à 10−3 près).
p(Y ≥ 1) = 1 − 0, 844 ≃ 0, 502
exercice 3 : (72 page 134)
un jeu est tel qu’on lance une balle sur une plaque comportant un trou en son centre.
si la plaque n’est pas atteinte, la balle est ramenée.
si la plaque est atteinte, soit la balle est "avalée" soit elle reste sur la plaque
la probabilité d’atteindre la plaque est de 30%
lorsque la plaque est atteinte, la probabilité que la balle soit avalée est de 20%
1. construire un arbre de probabilité associé à cette situation
2. a. calculer la probabilité que la balle soit avalée
b. calculer la probabilité que la balle reste sur la plaque
3. on paie 0,5 euros pour jouer
si la balle est avalée on gagne g euros
si la balle reste sur la cible on est remboursé
si la balle rate la cible, on perd la mise
déterminer la loi de probabilité du gain G
4. a. montrer que l’espérance du gain G est : E = 0, 06g − 0, 38
b. pour quelle valeur de g peut-on espérer un bénéfice ?
corrigé exercice 3 : (72 page 134)
1. arbre de probabilité associé à cette situation
0,2
B
0,80
B
0
B
1
B
C
0,3
0,7
C
2. a. probabilité que la balle soit avalée :
p(B) = p(C ∩ B) + p(C ∩ B) = 0, 3 × 0, 2 + 0 = 0,06
b. probabilité que la balle reste sur la plaque :
p(B) = p(C ∩ B) = 0, 3 × 0, 8 = 0,24
3.
loi de probabilité du gain G :
xi
−0, 5
0
g − 0, 5
total
pi
0, 7
0, 24
0, 06
1
4. a. espérance du gain G :
E = −0, 5 × 0, 7 + 0 × 0, 24 + 0, 06 × (g − 0, 5) = 0,06g -0,38
b. valeur de g pour espérer faire un bénéfice :
0, 06g − 0, 38 > 0 ⇐⇒ g >
0, 38
0, 06
soit au moins 6,34 euros
1.4
évaluations
interrogation : loi de probabilité et loi binomiale
nom et prénom :
10
0
1
exercice 1 :
5
5
un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée
le prix à payer pour une partie est de 2 euros
le jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euro
on pose : X = gain = rapport du jeu - prix de la partie
on dit que X est une variable aléatoire
0
0
5
1
0
1. déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X
2. déterminer la loi de probabilité de X (consigner les résultats dans un tableau)
3. déterminer p(X ≤ 0) et p(X > 0)
4. déterminer E(X) l’espérance de X et interpréter cette valeur.
5. ce jeu est-il plus favorable à l’organisateur ou au joueur ?
6. déterminer le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle.
exercice 2 :
Un élève décide de répondre au hasard à un Q.C.M. de bac.
Pour chaque question, il y a 4 propositions de réponses dont une seule bonne réponse.
1. pour une question, quelle est la probabilité p qu’il ait la bonne réponse ?
2. le Q.C.M. comporte trois questions.
Pour chaque question, l’élève répond au hasard.
On considère que ses réponses aux questions sont indépendantes les unes des autres.
On note X le nombre de bonnes réponses parmi les trois questions.
a. justifier pourquoi X suit une loi binomiale.
b. construire un arbre de probabilité associé à la situation avec les valeurs de X et les
probabilités associées.
c. donner la loi de probabilité de X.
d. donner la probabilité qu’il ait exactement deux bonnes réponses.
e. donner la probabilité qu’il ait au moins une bonne réponse.
f. donner le nombre de questions qu’il faudrait au Q.C.M. pour que la probabilité qu’il
ait au moins une bonne réponse soit d’au moins 99%
10
0
1
corrigé activité 1 : (notion de variable aléatoire)
5
5
un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée
le prix à payer pour une partie est de 2 euros
le jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euro
on pose : X = gain = rapport du jeu - prix de la partie
on dit que X est une variable aléatoire
0
0
5
1
0
1. X ∈ {−2 ; −1 ; 3 ; 8}
2.
valeurs possibles :xi
-2
-1
3
8
total
probabilités : pi
4
= 0, 4
10
2
= 0, 2
10
3
= 0, 3
10
1
= 0, 1
10
1
3. p(X ≤ 0) = p(X = −2) + p(X = −1) = 0, 6
p(X > 0) = 1 − p(X ≤ 0) = 0, 4
4. E(X) =
X
p i xi
E(X) = −2 × 0, 4 + (−1) × 0, 2 + 3 × 0, 3 + 8 × 0, 1 = 0, 7
ceci signifie qu’en moyenne le gain est de 0,7 euros par partie
5. V (X) =
X
pi x2i − E(X)2
V (X) = (−2)2 × 0, 4 + (−1)2 × 0, 2 + 32 × 0, 3 + 82 × 0, 1 − 0, 72 = 10, 41
σ(X) =
p
σ(X) =
√
V (X)
10, 41 ≃ 3, 22
6. le jeu est à gain positif car E(X) = 0, 7 > 0, il est plus favorable au joueur car il gagne en
moyenne 0,7 euros.
7. soit y le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle.
E(X) = 0
Corrigé Devoir Maison
46 page 129
arbre :
27000
: R = 81000 : 0, 43
0,6
15000
: R = 69000 : 0, 42 × 0, 6
0,4
27000
: R = 69000 : 0, 42 × 0, 6
0,6
15000
: R = 57000 : 0, 4 × 0, 62
0,4
27000
: R = 69000 : 0, 42 × 0, 6
0,6
15000
: R = 57000 : 0, 4 × 0, 62
0,4
27000
: R = 57000 : 0, 4 × 0, 62
0,6
15000
: R = 45000 : 0, 63
27000
0,4
27000
0,4
0,6
0,4
15000
27000
0,4
0,6
15000
0,6
15000
p(R = 81000) = 0,064 , la probabilité que la recette soit de 81000 euros est de 6,4%
loi de probabilité de R :
valeurs possibles : xi
probabilités : pi
45000
0, 63
0,216
57000
3 × 0, 4 × 0, 62
0,432
69000
3 × 0, 42 × 0, 6
0,288
81000
0, 43
0,064
total
1
E(R) = 0, 216 × 45000 + 0, 432 × 57000 + 0, 288 × 69000 + 0, 064 × 81000 = 59400
l’espèrance de la recette est de 59400 euros .
59400 - 50000 = 9400, 9400>0 donc le projet est rentable .
74 page 134
1.
a. p(R) = p(B ∩ R) + p(J ∩ R) = 0, 2 × 0, 5 + 0, 5 × 0, 3 = 0,25
p(B ∩ M )
0, 2
0, 2
=
b. pB (M ) =
=
= 0,4
1 − 0, 5
0, 5
p(B)
c. pR (B) =
2.
0, 5 × 0, 2
p(B ∩ R)
=
= 0,4
p(R)
0, 25
a. p(4 pièces)= 0, 24 = 0,0016
b. p(1 jeton)= 4 × 0, 31 × 0, 73 = 0,4116
c. p(aucun jeton)= 0, 74 = 0,2401
76 page 135
1.
a. arbre
0,4
S
0,6
S
A
3
12
4
12
0,75
S
B
0,25
0,24
5
12
S
S
C
0,76
p(S) = p(A ∩ S) + p(B ∩ S) + p(C ∩ S) =
S
3
4
5
× 0, 4 +
× 0, 75 +
× 0, 24 = 0,45
12
12
12
4
× 0, 75
p(B ∩ S)
= 12
≃ 0,55
b. pS (B) =
p(S)
0, 45
2. p(X = 1) = 3 × 0, 451 × 0, 552 ≃ 0,41
0,45
0,45
V
0,45
V
X=3
: 0, 453
0,55V
X=2
: 0, 452 × 0, 55
V
0,55
0,45
V
X=2
V
X=1
0,55V
0,45
0,45
X=2
0,55 V
X=1
0,45
V
X=1
V
0,55
X=0
V
0,55
V
V
: 0, 45 × 0, 552
0,55
V
3.
a. pn = p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 55n
: 0, 553
b. 1 − 0, 55n > 0, 9999
⇐⇒ 0, 0001 > 0, 55n
⇐⇒ ln(0, 0001) > ln(0, 55n )
⇐⇒ ln(0, 0001) > nln(0, 55)
⇐⇒
ln(0, 0001)
<n
ln(0, 55)
⇐⇒ 15, 4 < n
il faut au moins 16 tirages pour que la probabilité soit supérieure stricte à 0,9999