Terminale S/Probabilité conditionnelle

Terminale S/Probabilité conditionnelle
1. Rappels de probabilité :
Exercice 3711
Une urne contient deux boules bleues
et une boule rouge, toutes identiques
au toucher.
1. On tire une boule puis on la re-
met dans l’urne avant d’en tirer
une seconde.
L’arbre des issues de cette expé-
rience aléatoire est représenté ci-
contre :
R-RR
R-BB
R-BB
B-RR
B-BB
B-BB
B-RR
B-BB
B-BB
R
B
B
On admettra qu’on est dans une situation d’équiproba-
bilité.
a. Déterminer la probabilité des événements suivants :
A: “La premier boule tirée est rouge”.
B: “Les deux boules tirées sont de même couleur”
C: “La première boule tirée est rouge ou la seconde
boule tirée est bleu”.
b. Déterminer la probabilité des événements suivants :
A;B∪C;A∩B;B∩C
2. On change les règles de ce jeu ainsi : il n’y a plus de
remise ; la première boule tirée est écartée du jeu.
a. Construire l’arbre des issues lié à ce nouveau jeu.
b. Calculer les nouvelles probabilités des événements ci-
tés aux question a. et b. de la question précédente.
c. Quel est la probabilité de tirée une boule bleu au se-
cond tirage alors que lors du premier tirage, on a déjà
tiré une boule bleu ?
Exercice 4147
Un jeu consiste à lancer des flé-
chettes sur une cible. La cible est
partagée en quatre secteurs, comme
indiqué sur figure ci-dessous :
On suppose que les lancers sont in-
dépendants et que le joueur touche
la cible à tous les coups.
Le joueur lance une flèchette. On
note :
5 points
0 point
3 points
0 point
p0la probabilité d’obtenir 0point ;
p3la probabilité d’obtenir 3points ;
p5la probabilité d’obtenir 5points.
Sachant que p5=1
2·p3et que p5=1 3·p0, déterminer les valeurs
de p0,p3et p5.
2. Rappels : variables aléatoires :
Exercice 5156
Soit Xune variable aléatoire dont la loi de probabilité est
donnée ci-dessous :
xi0 1 2 3
PX=xi0;15 0;24 0;35 0;26
1. Justifier que le tableau ci-dessous représente bien une loi
de probabilité.
2. Déterminer les probabilités suivantes :
a. PX⩾2b. PX<2c. P{X =1} ∪{X =3}
3. Déterminer l’espérance et l’écart-type, arrondi au mil-
lième, de la variable X.
Exercice 3735
Pour entretenir en bon état de fonctionnement le chauffage,
une société immobilière fait contrôler les chaudières de son
parc de logements pendant l’été. On sait que 20 % des chau-
dières sont sous garantie.
On considère les évenements suivants :
A: “La chaudière est garantie” ;
B: “La chaudière est défectueuse”.
Voici la probabilité de certains éléments :
E A A ∩B A ∩B
P(E) 0;2 0;08 0;72
Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie. Il
coûte 80 euros si la chaudière n’est plus sous garantie et n’est
pas défectueuse. Il coûte 280 euros si la chaudière n’est plus
sous garantie et est défectueuse. On note Xla variable aléa-
toire qui représente le coût du contrôle d’une chaudière.
Déterminer la loi de probabilité de Xet son espérance ma-
thématique.
Exercice 5154
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Un jeu consiste à lancer quatre fois successivement un pièce de
monnaie équilibré. A chaque lancer, on note la face obtenue.
1. a. Construire un arbre de probabilité représentant
cette expérience aléatoire.
b. En admettant que les sorties de cette expérience sont
équiprobables, donner la probabilité d’un événement
élémentaire.
On associe à chaque sortie de cette expérience aléatoire un
gain :
le gain est de 0esi le côté face n’apparait pas ;
le gain est de 1esi le côté face apparait 1fois ;
le gain est de 2esi le côté face apparait 2fois ;
le gain est de 4esi le côté face apparait 3fois ;
le gain est de 10 esi le côté face apparait 4fois ;
2. Pour chaque valeur prise par la variable aléatoire X, as-
socier sa probabilité.
3. A chaque sortie de cette expérience, on note Xle gain
obtenu.
L’événement “le gain obtenu est égal à 4e” se note
X=4.
L’événement “le gain est supérieur ou égal à 4e” se
note X⩾4.
Déterminer les probabilités des événements ci-dessous
a. X=10b. X=4c. X⩾4
4. Compléter le tableau ci-dessous :
k0 1 2 4 10
PX=k
Exercice 5157
Un producteur de fruits rouges propose en vente directe des
framboises, des groseilles et des myrtilles.
Le client peut acheter, soit des barquettes de fruits à déguster,
soit des barquettes de fruits à confiture.
Le producteur a remarqué que, parmi ses clients, 9sur 10
achètent une barquette de fruits à confiture.
Quelque soit le type de barquette acheté, le client choisi à
50 % des cas la myrtille pour fruit, 30 % des framboises dans
les autres cas, c’est la groseille qui est choisie.
On notera :
Cl’évènement “le client achète une barquette de fruits à
confiture” ;
Fl’évènement “le client demande des framboises” ;
Gl’évènement “le client demande des groseilles” ;
Ml’évènement “le client demande des myrtilles” ;
On suppose que le fruit choisit ne dépend pas du type de bar-
quette acheté et que chaque client n’achète qu’une barquette.
1. Compléter l’arbre pondéré ci-
dessous :
2. Déterminer la probabilité de
C∩F.
3. Le producteur fixe les prix de
ses barquettes de la manière sui-
vante :
F
G
M
C
F
G
M
C
Le prix de base d’une barquette de fruits à confiture
est vendue 5euros et celui d’une barquette de fruits à
déguster est 3euros ;
Si la barquette choisit contient des framboises, il ajoute
1euro au prix de la barquette ;
Si la barquette choisit contient des myrtilles, il ajoute
2euros au prix de la barquette ;
Si la barquette choisit contient des groseilles, le prix
de base reste inchangé.
On note Xla variable aléatoire associant à chaque client
le prix de la barquette acheté.
a. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire
X?
b. Dresser le tableau représentant la loi de probabilité de
X.
c. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X.
Exercice 3746
Une urne contient 50 boules blanches, 25 boules noires et 25
boules rouges. L’expérience élémentaire consiste à tirer une
boule. Les boules ont toutes la même probabilité d’être tirées.
On effectue 3tirages indépendants et avec remise.
1. Déterminer la probabilité de l’évènement :
A: “les trois boules tirées sont blanches”.
2. Déterminer la probabilité de l’évènement :
B: “aucune des boules tirées est blanches”.
3. a. Déterminer la probabilité de l’évènement :
C1: “La première boule tirée est blanche ; les deux
autres ne sont pas blanches”.
b. En déduire la probabilité de l’évènement :
C: “une seule des boules tirées est blanches”.
4. En déduire la probabilité de l’évènement :
D: “deux boules tirées sont blanches et une boule n’est
n’est pas blanche”.
5. Soit Xla variable aléatoire prenant pour valeur le
nombre de boules blanches tirées :
a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire
X.
b. Déterminer l’espérance de la variable X.
3. Rappels : loi binomiale :
Exercice 5201
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La figure ci-contre représente la répétition
de quatre épreuves de Bernoulli où les
deux issues sont S(succés) et E(échec).
On suppose connu les probabilités sui-
vantes : P(S) = 1
3;P(E) = 2 3
On considère la variable aléatoire Xqui
compte le nombre de succés réalisés après
la répétition de ces quatre épreuves de
Bernoulli.
1. a. Combien d’évènements élé-
mentaires comprend l’évènement
X=3}?
b. Soit !∈X=3}, montrer que :
P(!) = 2
81
c. Justifier que P(X=3) = 8
81
EE
S
E
S
E
E
S
E
S
E
S
E
S
E
E
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S
E
S
E
S
E
S
E
S
E
S
2. a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire X.
b. Compléter le tableau ci-dessous afin de donner la loi
de probabilité de la variable aléatoire X:
x
P(X=x)
Exercice 5194
On rèpète 10 fois et de manière indépendante une expérience
de Bernoulli de paramètre p=0;3.
A cette expérience, on associe la variable Xqui associe à
chaque issue de cette expérience le nombre de succés.
1. Déterminer les probabilités suivantes :
P(X=0) ;P(X=1) ;P(X=2)
2. Déterminer la probabilité de l’évènement X⩾3.
Exercice 5195
Un examen est basé sur un QCM comportant 5questions
où chaque question propose quatre choix de réponse parmi
lesquelles une seule réponse est correcte.
Un élève décide de compléter de manière aléatoire et indé-
pendante chacune des questions du questionnaire.
1. Quelle est la probabilité de répondre correctement à une
question ?
On note Xla variable aléatoire comptant le nombre de ré-
ponses correctes contenues dans le formulaire rempli.
2. Déterminer les probabilités suivantes arrondies au mil-
lième près :
a. P(X=5) b. P(X⩽3)
3. A l’aide de la calculatrice, déterminer la probabilité, ar-
rondie au millième, que l’élève ait au plus 2réponses
justes.
Exercice 5202
On répondra aux questions suivantes en utilisant la calcula-
trice :
1. Donner la valeur des coefficients binomiaux suivant :
a. Ç15
3åb. Ç24 3åc. Ç54 12åd. Ç51 51å
2. Soit Xune variable aléatoire telle que X ∼ B(15 ; 0;3).
Donner les valeurs approchées au centième des probabi-
lités suivantes :
a. P(X=5) b. P(X=8) c. P(X=12)
3. Soit Xune variable aléatoire telle que X ∼ B(52 ; 0;3).
Donner les valeurs approchées au centième des probabi-
lités suivantes :
a. P(X⩽9) b. P(X⩽15) c. P(X⩾23)
Exercice 5199
Dans un jeu, on convient qu’une partie est gagnée lorsque la
boule obtenue est noire et la probabilité d’obtenir une boule
noire est 3
8.
Une personne joue dix parties indépendantes en remettant,
après chaque partie, la boule obtenue dans l’urne d’où elle
provient. On note Xla variable aléatoire égale au nombre de
parties gagnées.
1. Calculer la probabilité de gagner exactement trois par-
ties. On donnera le résultat arrondi au millième.
2. Calculer la probabilité de gagner au moins une partie.
On donnera le résultat arrondi au millième.
3. On donne le tableau suivant :
k12345
P(X<k) 0;0091 0;0637 0;2110 0;4467 0;6943
k6 7 8 9 10
P(X<k) 0;8725 0;9616 0;9922 0;9990 0;9999
Soit Nun entier compris entre 1et 10. On considère
l’évènement : “la personne gagne au moins Nparties”.
A partir de quelle valeur de Nla probabilité de cet évè-
neemnt est-elle inférieure à 1
10 ?
Exercice 3737
Une entreprise Aest spécialisée dans la fabrication en série
d’un article ; un contrôle de qualité a montré que chaque ar-
ticle produit par l’entreprise Apouvait présenter deux types
de défaut : un défaut de soudure avec une probabilité égale
à0;03 et un défaut sur un composant électronique avec une
probabilité égale à 0;02.
Le contrôle a montré aussi que les deux défauts étaient indé-
pendants. Un article est dit défectueux s’il présente au moins
l’un des deux défauts.
1. Montrer que la probabilité qu’un article fabriqué par l’en-
treprise Asoit défectueux est égale à 0;049 4.
2. Une grande surface reçoit 800 articles de l’entreprise A.
Soit Xla variable aléatoire qui à cet ensemble de 800
articles associe le nombre d’articles défectueux.
a. Définir la loi de X.
b. Calculer l’espérance mathématique de X. Pour l’en-
treprise, quelle interprétation peut-on faire de cette
espérance ?
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4. Introduction aux probabilités conditionnelles :
Exercice 5193
On considère un ensemble Ωet deux de ses parties Aet B
représentés ci-dessous et dont les éléments sont représentés
par des croix :
Ω
A
B
De manière équiprobable, on choisit un élément au hasard.
1. a. Quelle est la probabilité que l’élément tiré appar-
tienne à A?
b. Sachant qu’on a tiré un élément de B, quelle est la
probabilité que cet élément appartienne à A?
2. a. Déterminer les probailité suivantes :
P(B);P(A∩B)
b. Donner la valeur du quotient : P(A∩B)
P(B).
Que remarque-t-on ?
Exercice 3728
Un jeu consiste à secouer et renverser une bouteille afin d’en
sortir un de ses éléments. Voici le contenu de cette bouteille :
1. Déterminer la probabilité des év`nements suivants :
a. A: “L’élément sorti est un carré” ;
b. B: “L’élément sorti est rayé” ;
c. A∩B: “L’élément sorti est un carré rayé”.
2. a. Sachant qu’un carré est sorti, quelle est la proba-
bilité pour qu’il soit rayé ? On note cette probabilité
PA(B)
b. Vérifier l’égalité suivante : PA(B) = P(A∩B)
P(A)
3. a. Sachant que l’élément sorti est rayé, quelle est la
probabilité pour que ce soit un carré ? On note cette
probabilité PB(A)
b. Vérifier l’égalité suivante : PB(A) = P(A∩B)
P(B)
Exercice 3628
On considère deux classes de classes de 24 élèves représentées
par le schéma ci-dessous :
Classe AClasse B
Demi-pensionnaire
Gar¸con
On considère les deux évènements suivants :
G: “l’élève est un garçon” ;
D: “l’élève est demi-pensionnaire”.
1. Pour la classe A:
a. Déterminer les probabilités suivantes :
PG: probabilité de choisir un garçon dans la
classe.
PGD: probabilité de choisir un demi-pensionnaire
parmi les garçons.
PG∩D: probabilité de choisir un garçon demi-
pensionnaire dans la classe.
b. Vérifier que les valeurs trouvées à la question a. véri-
fient l’égalité :
PG×PGD=PG∩D
2. Pour la classe B:
a. Compléter les pointillés suivants :
PDG: probabilité de choisir . . . . . . . . . parmi
.........
PDG: probabilité de choisir . . . . . . . . . parmi
.........
b. Déterminer les probabilités
suivantes :
PD;PDG;PDG
c. Compléter l’arbre de proba-
bilité ci-contre.
d. Déterminer la probabilité
PD∩G, puis établir l’éga-
lité :
PD∩G=PD×PDG
: : :
: : :
G
: : :
G
D
:::
: : :
G
: : :
G
D
5. Probabilites conditionnelles :
Exercice 3726
Amélie doit traverser la rue principale d’un village qui est
jalonnée de deux feux tricolores.
Pour n∈1 ; 2, on note Enl’évènement “Amélie est arrétée
par le nefeu rouge ou orange” et Enl’évènement contraire.
Le feu orange est considéré comme un feu rouge.
Soit pnla probabilité de Enet qncelle de En. La probabilité
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que le premier feu tricolore soit rouge ou orange vaut 1
8
On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées :
La probabilité que le second feu tricolore soit rouge ou
orange, si le premier feu est rouge, vaut 1
20.
La probabilité que le seond feu tricolore soit rouge ou
orange, si le premier feu est vert, est égale à 9
20.
On s’intéresse, tout d’abord, aux premiers feux tricolores.
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
vert
. . .
. . .
. . .
rouge ou orange
. . .
rouge ou orange
. . .
vert
. . .
. . .
. . .
2. On note Xla variable aléatoire égale au nombre de feux
verts parmi ces deux feux tricolores. Déterminer la loi de
probabilité de X.
Exercice 3727
La scène se passe en haut d’une falaise au bord de la mer.
Pour trouver une plage et aller se baigner, les touristes ne
peuvent choisir qu’entre deux plages, l’une à l’Est et l’autre
à l’Ouest.
Un touriste se retrouve deux jours consécutifs en haut de la
falaise. Le premier jour, il choisit au hasard l’une des deux
directions. Le second jour, on admet que la probabilité qu’il
choisisse une direction opposée à celle prise la veille vaut 0;8.
Pour t=1 ou t= 2, on note Eil’évènement : “Le touriste se
dirige vers l’Est le t-ème jour” et Oil’évènement : “Le touriste
se dirige vers l’Ouest le t-ème jour”.
1. Dresser un arbre de probabilités décrivant la situation.
2. Déterminer les probabilités suivantes :
P(E1);PE1(O2);P(E1∩E2).
3. Calculer la probabilité que ce touriste se rende sur la
même plage deux jours consécutifs.
6. Formule des probabilités totales :
Exercice 2339
Dans un espace probabilisé, on considère les deux évènements
Aet Bvérifiant les conditions suivantes :
P(A) = 0;64 ;PA(B) = 0;3;PA(B) = 0;5
1. Construire un arbre de probabilité représentant cette si-
tuation.
2. a. Déterminer les probabilités des évènements sui-
vants : P(A∩B);P(A∩B)
b. A l’aide de la formule des probabilités totale, détermi-
ner la probabilitéde l’évènement B.
Exercice 6829
Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de
s’entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à
une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la
balle suivante arrive.
Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au
hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabi-
lité.
Pour augmenter la difficulté, le joueur paramètre le lance-
balle de façon à donner une effet aux balles lancées. Elles
peuvent être soit “liftées”, soit “coupées”. La probabilité que
le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la
probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche.
Les réglages de l’appareil permettent d’affirmer que :
Dans tout l’exercice, on arrondira les résultats à 10−3près.
la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à
droite est 0;24 ;
la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée
à gauche est 0;235.
Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la proba-
bilité qu’elle soit envoyée à droite ?
7. Inversion de la condition :
Exercice 5832
Dans un espace probabilisé, on considère deux évènements A
et B. On connait les probabilités suivantes :
P(A) = 0;3;PA(B) = 0;8;PA(B) = 0;6
B
B
A
B
B
A
A
A
B
A
A
B
Compléter, si nécessaire avec des valeurs arrondies au cen-
tième, les deux arbres de probabilité ci-dessus.
Exercice 3729
Un responsable de magasin achète des composants électro-
niques auprès de deux fournisseurs dans les proportions sui-
vantes : 25 % au premier fournisseur et 75 % au second.
La proportion de composants défectueux est de 3 % chez le
premier fournisseur et de 2 % chez le second.
On note :
D: l’évènement “le composant est défectueux” ;
F1: l’évènement “le composant provient du premier four-
nisseur” ;
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