Probabilités. Sujets de la banque CCP fili?re MP 1) Une urne

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Probabilités. Sujets de la banque CCP …lière MP
1) Une urne contient deux boules blanches et huit boules noires.
a) Un joueur tire successivement, avec remise, cinq boules dans cette urne.
Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 points et pour chaque boule noire tirée, il perd 3 points.
On note X le nombre de boules blanches tirées et Y le nombre de points obtenus sur une partie.
Déterminer les lois de X et Y , leurs espérances et leurs variances.
b) On suppose ici que les cinq tirages successifs se font sans remise. Déterminer les lois de X et Y .
2) a) SoitX et Y deux variables aléatoires qui suivent des lois de Poisson, de paramètres respectifs
et .
Déterminer la loi de Z = X + Y , et en déduire l’espérance et la variance de Z.
b) Soit X et Y deux variables, telles que Y suit la loi de Poisson P( ) et que X sachant (Y = n) suit la loi B(n; p):
Déterminer la loi de X.
3) On admet, dans cet exercice, que 8k 2 N, 8x 2]
1; 1[,
P+1
n
n=k k
xn
k
=
1
:
(1 x)k+1
Soit p 2]0; 1[ et r 2 N . On dépose une bactérie dans une enceinte fermée à l’instant t = 0 (le temps est exprimé en
secondes). On envoie un rayon laser par seconde dans cette enceinte.
Le premier rayon laser est envoyé à l’instant t = 1: La bactérie a la probabilité p d’être touchée par le rayon laser.
Les tirs de laser sont indépendants. La bactérie ne meurt que lorsqu’elle a été touchée r fois par le rayon laser.
a) Soit X la variable aléatoire égale à la durée de vie de la bactérie. Déterminer la loi de X.
b) Prouver que X est d’espérance …nie et la calculer.
Indication : Pour n
r, P (X = n) =
n 1
r 1
pr q n
r,
donc GX (x) =
pr xr
(1 qx)r
=
px
1 qx
r
, donc E(X) = r(1 + pq ) = p1 r:
Remarque : X est la somme de r variables indépendantes de loi géométrique de paramètre p (loi binomiale négative).
4) Soit p 2]0; 1[. On e¤ectue, une première fois, un appel téléphonique vers n correspondants distincts. On admet
que les n appels constituent n expériences indépendantes et que pour chaque appel, la probabilité d’obtenir le
correspondant demandé est p.
a) Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de correspondants obtenus. Donner la loi de X. Justi…er.
b) On rappelle une seconde fois, dans les mêmes conditions, chacun des (n
X) correspondants qui n’ont pas été
joints au cours de la première série d’appels. On note Y la variable aléatoire représentant le nombre de personnes
jointes au cours de la seconde série d’appels.
i) Soit i 2 [[0; n]]. Déterminer P (Y = k j X = i) pour k 2 N.
ii) Prouver que Z = X + Y suit une loi binomiale dont on déterminera le paramètre.
iii) Déterminer l’espérance et la variance de Z.
5) a) Rappeler l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
b) Soit (Yn )n2N une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi et admettant un moment
d’ordre 2. On pose Sn =
Pn
k=1 Yk .
Sn
n
Prouver que pour tout a > 0, on a : P
E(Y1 )
V (Y1 )
:
na2
a
c) Application : On e¤ectue des tirages successifs, avec remise, d’une boule dans une urne contenant 2 boules rouges
et 3 boules noires. Á partir de quel nombre de tirages peut-on garantir à plus de 95% que la proportion de boules
rouges obtenues restera comprise entre 0:35 et 0:45 ?
6) Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N de loi P (X = n) =
a) On a R(x) =
1
1
=
x(x + 1)(x + 2)
2
1
x
1
2
1
x+1
1
x+1
1
x+2
n(n + 1)(n + 2)
: En déduire
, où
> 0:
= 4.
b) Calculer E(X). La variable X admet-elle une variance ? Justi…er votre réponse.
7) Soit (X; Y ) un couple de variables aléatoires à valeurs dans N2 de loi P (X = j; Y = k) =
(j + k) 1
:
e j!k! 2j+k
a) Déterminer les lois marginales de X et de Y . Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
b) Prouver que 2X+Y est d’espérance …nie et calculer E(2X+Y ).
8) Soient n 2 N et p 2]0; 1[. On pose q = 1
p. On considère N variables aléatoires X1 ; :::; XN dé…nies sur un
même espace probabilisé mutuellement indépendantes et de même loi géométrique de paramètre p.
On considère la variable aléatoire Y dé…nie par Y = min(X1 ; :::; XN ). Calculer P (Y > n), P (Y = n) et E(Y ).
9) Soient p 2]0; 1[, et X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes et à valeurs dans N.
Elles suivent la même loi dé…nie par : 8k 2 N, P (X = k) = P (Y = k) = pq k , où q = 1
p.
a) On considère alors les variables U = max(X; Y ) et V = min(X; Y ). Déterminer la loi de (U; V ).
b) Expliciter les lois (marginales) de U et V . Les variables U et V sont-elles indépendantes ?
10) On dispose de n boules numérotées de 1 à n (avec n
1) et d’une boîte formée de p compartiments identiques
numérotés. On place les n boules dans les p compartiments. On note X le nombre de compartiments restés vides.
a) Montrer que E(X) = n 1
1
p
n
. Déterminer limn!+1 E(X) (avec p …xé). Interpréter ce résultat.
b) On suppose désormais p = 3. Déterminer la loi de X:
Pn
1
p
n
, valant 1 ssi le i-ième comparP
timent est vide. Attention : Les Yi ne sont pas indépendants. En revanche, on a bien E(X) = ni=1 E(Yi ):
Indications : a) X =
i=1 Yi ,
avec Yi variable de Bernoulli de paramètre 1
b) P (X = 3) = 0, P (X = 2) = 3 1
compartiment vide, puis 2n
2 n
3
=3
1 n
3 ,
n
P (X = 1) = 3 2 3n 2 : en e¤et, il y a trois possibilités pour le
2 façons de remplir les deux compartiments restants de sorte qu’ils soient non vides.
On en déduit ensuite P (X = 0) = 1
P (X = 1)
P (X = 2)
P (X = 3):
11) a) Justi…er la formule pour un système complet (Bi )i2I : P (A) =
P
i2I
PBi (A)P (Bi ):
b) On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés, pour lesquels la probabilité d’obtenir le chi¤re 6 vaut 12 :
i) On tire un dé au hasard. On lance ce dé et on obtient le chi¤re 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ?
ii) Soit n 2 N. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé n fois et on obtient n fois le chi¤re 6.
Quelle est la probabilité pn que ce dé soit pipé ? Déterminer limn!+1 pn . Interpréter ce résultat.
12) On dispose de deux urnes U1 et U2 . L’urne U1 contient deux boules blanches et trois boules noires. L’urne U2
contient quatre boules blanches et trois boules noires. On e¤ectue des tirages successifs de la façon suivante :
- On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l’urne choisie.
- On note sa couleur et on la remet dans l’urne d’où elle provient.
- Si la boule tirée était blanche, le tirage suivant se fait dans l’urne U1 . Sinon il se fait dans l’urne U2 .
Soit n 2 N. On note Bn : l’événement « la boule tirée au n-ième tirage est blanche » . On pose pn = E(Bn ):
Expliciter p1 . Montrer que 8n 2 N , pn+1 =
6
4
pn + : En déduire la valeur de pn pour tout n 2 N .
35
7
13) On considère un système de transitions entre trois points A, B et C. A l’instant t = 0, on se trouve au point A.
A chaque étape, on part avec équiprobabilité rejoindre l’un des deux autres points.
On note An l’événement : “On est en A après n étapes”. On pose an = P (An ) et Xn+1 = (an ; bn ; cn ):
a) Exprimer Xn+1 en fonction de Xn .
0
1
0 1 1
1
b) On considère M = @ 1 0 1 A. Trouver P 2 GL3 (R) et D diagonale telle que P 1 M P = D:
2
1 1 0
c) Expliquer (sans faire les calculs) comment b) permet de calculer Xn = (an ; bn ; cn ), et déterminer limn!+1 Xn :
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