Probabilités. Sujets de la banque CCP fili?re MP 1) Une urne

Probabilités. Sujets de la banque CCP …lière MP
1) Une urne contient deux boules blanches et huit boules noires.
a) Un joueur tire successivement, avec remise, cinq boules dans cette urne.
Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 points et pour chaque boule noire tirée, il perd 3 points.
On note Xle nombre de boules blanches tirées et Yle nombre de points obtenus sur une partie.
Déterminer les lois de Xet Y, leurs espérances et leurs variances.
b) On suppose ici que les cinq tirages successifs se font sans remise. Déterminer les lois de Xet Y.
2) a) SoitXet Ydeux variables aléatoires qui suivent des lois de Poisson, de paramètres respectifs et .
Déterminer la loi de Z=X+Y, et en déduire l’espérance et la variance de Z.
b) Soit Xet Ydeux variables, telles que Ysuit la loi de Poisson P()et que Xsachant (Y=n)suit la loi B(n; p):
Déterminer la loi de X.
3) On admet, dans cet exercice, que 8k2N,8x2]1;1[,P+1
n=kn
kxnk=1
(1 x)k+1 :
Soit p2]0;1[ et r2N. On dépose une bactérie dans une enceinte fermée à l’instant t= 0 (le temps est exprimé en
secondes). On envoie un rayon laser par seconde dans cette enceinte.
Le premier rayon laser est envoyé à l’instant t= 1:La bactérie a la probabilité pd’être touchée par le rayon laser.
Les tirs de laser sont indépendants. La bactérie ne meurt que lorsqu’elle a été touchée rfois par le rayon laser.
a) Soit Xla variable aléatoire égale à la durée de vie de la bactérie. Déterminer la loi de X.
b) Prouver que Xest d’espérance …nie et la calculer.
Indication : Pour nr,P(X=n) = n1
r1prqnr, donc GX(x) = prxr
(1qx)r=px
1qx r, donc E(X) = r(1 + q p) = 1 pr:
Remarque :Xest la somme de rvariables indépendantes de loi géométrique de paramètre p(loi binomiale négative).
4) Soit p2]0;1[. On e¤ectue, une première fois, un appel téléphonique vers ncorrespondants distincts. On admet
que les nappels constituent nexpériences indépendantes et que pour chaque appel, la probabilité d’obtenir le
correspondant demandé est p.
a) Soit Xla variable aléatoire représentant le nombre de correspondants obtenus. Donner la loi de X. Justi…er.
b) On rappelle une seconde fois, dans les mêmes conditions, chacun des (nX)correspondants qui n’ont pas été
joints au cours de la première série d’appels. On note Yla variable aléatoire représentant le nombre de personnes
jointes au cours de la seconde série d’appels.
i) Soit i2[[0; n]]. Déterminer P(Y=kjX=i)pour k2N.
ii) Prouver que Z=X+Ysuit une loi binomiale dont on déterminera le paramètre.
iii) Déterminer l’espérance et la variance de Z.
5) a) Rappeler l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
b) Soit (Yn)n2Nune suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi et admettant un moment

d’ordre 2. On pose Sn=Pn
k=1 Yk. Prouver que pour tout a > 0, on a : P
Sn
nE(Y1)aV(Y1) na2:
c) Application : On e¤ectue des tirages successifs, avec remise, d’une boule dans une urne contenant 2 boules rouges
et 3 boules noires. Á partir de quel nombre de tirages peut-on garantir à plus de 95% que la proportion de boules
rouges obtenues restera comprise entre 0:35 et 0:45 ?
6) Soit Xune variable aléatoire discrète à valeurs dans Nde loi P(X=n) = 
n(n+ 1)(n+ 2), où  > 0:
a) On a R(x) = 1
x(x+ 1)(x+ 2) =1 21 x1 x+ 11 21 x+ 1 1 x+ 2:En déduire = 4.
b) Calculer E(X). La variable Xadmet-elle une variance ? Justi…er votre réponse.
7) Soit (X; Y )un couple de variables aléatoires à valeurs dans N2de loi P(X=j; Y =k) = (j+k)
e j!k!
1
2j+k:
a) Déterminer les lois marginales de Xet de Y. Les variables Xet Ysont-elles indépendantes ?
b) Prouver que 2X+Yest d’espérance …nie et calculer E(2X+Y).
8) Soient n2Net p2]0;1[. On pose q= 1 p. On considère Nvariables aléatoires X1; :::; XNdé…nies sur un
même espace probabilisé mutuellement indépendantes et de même loi géométrique de paramètre p.
On considère la variable aléatoire Ydé…nie par Y= min(X1; :::; XN). Calculer P(Y > n),P(Y=n)et E(Y).
9) Soient p2]0;1[, et Xet Ysont deux variables aléatoires indépendantes et à valeurs dans N.
Elles suivent la même loi dé…nie par : 8k2N,P(X=k) = P(Y=k) = pqk, où q= 1 p.
a) On considère alors les variables U= max(X; Y )et V= min(X; Y ). Déterminer la loi de (U; V ).
b) Expliciter les lois (marginales) de Uet V. Les variables Uet Vsont-elles indépendantes ?
10) On dispose de nboules numérotées de 1 à n(avec n1) et d’une boîte formée de pcompartiments identiques
numérotés. On place les nboules dans les pcompartiments. On note Xle nombre de compartiments restés vides.
a) Montrer que E(X) = n11
pn. Déterminer limn!+1E(X)(avec p…xé). Interpréter ce résultat.
b) On suppose désormais p= 3. Déterminer la loi de X:
Indications : a) X=Pn
i=1 Yi, avec Yivariable de Bernoulli de paramètre 11
pn, valant 1 ssi le i-ième compar-
timent est vide. Attention : Les Yine sont pas indépendants. En revanche, on a bien E(X) = Pn
i=1 E(Yi):
b) P(X= 3) = 0,P(X= 2) = 3 12
3n= 3 1 3n,P(X= 1) = 32n2 3n: en e¤et, il y a trois possibilités pour le
compartiment vide, puis 2n2façons de remplir les deux compartiments restants de sorte qu’ils soient non vides.
On en déduit ensuite P(X= 0) = 1 P(X= 1) P(X= 2) P(X= 3):
11) a) Justi…er la formule pour un système complet (Bi)i2I:P(A) = Pi2IPBi(A)P(Bi):
b) On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés, pour lesquels la probabilité d’obtenir le chi¤re 6 vaut 1
2:
i) On tire un dé au hasard. On lance ce dé et on obtient le chi¤re 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ?
ii) Soit n2N. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé nfois et on obtient nfois le chi¤re 6.
Quelle est la probabilité pnque ce dé soit pipé ? Déterminer limn!+1pn. Interpréter ce résultat.

12) On dispose de deux urnes U1et U2. L’urne U1contient deux boules blanches et trois boules noires. L’urne U2
contient quatre boules blanches et trois boules noires. On e¤ectue des tirages successifs de la façon suivante :
- On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l’urne choisie.
- On note sa couleur et on la remet dans l’urne d’où elle provient.
- Si la boule tirée était blanche, le tirage suivant se fait dans l’urne U1. Sinon il se fait dans l’urne U2.
Soit n2N. On note Bn: l’événement « la boule tirée au n-ième tirage est blanche » . On pose pn=E(Bn):
Expliciter p1. Montrer que 8n2N,pn+1 =6
35pn+4 7:En déduire la valeur de pnpour tout n2N.
13) On considère un système de transitions entre trois points A,Bet C. A l’instant t= 0, on se trouve au point A.
A chaque étape, on part avec équiprobabilité rejoindre l’un des deux autres points.
On note Anl’événement : “On est en Aaprès nétapes”. On pose an=P(An)et Xn+1 = (an; bn; cn):
a) Exprimer Xn+1 en fonction de Xn.
b) On considère M=1
20
@
0 1 1
1 0 1
1 1 0
1
A. Trouver P2GL3(R)et Ddiagonale telle que P1MP =D:
c) Expliquer (sans faire les calculs) comment b) permet de calculer Xn= (an; bn; cn), et déterminer limn!+1Xn: