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PSI - 2015-2016
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REVISIONS PROBABILITES
Exercice 1
Il faut ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques distincts, 6 livres de physique distincts et 2
livres de SII distincts. De combien de façons peut-on effectuer ce rangement dans les cas suivants.
1. Les livres doivent être groupés par matières.
2. Les livres de mathématiques seulement doivent être groupés.
Exercice 2
On désire faire un bouquet de 5 fleurs différentes et de 3 feuillages différents. On peut choisir les fleurs
parmi 10 espèces et les feuillages parmi 6. Combien de types différents de bouquets peut-on faire dans
les cas suivants.
1. N’importe quel type de fleur et n’importe quel type de feuillage peuvent être choisis.
2. On veut absolument mettre une rose dans le bouquet.
3. On ne peut pas mélanger deux feuillages particuliers (chico et chamaérops), qui ne s’accordent
pas esthétiquement.
Exercice 3
Les pièces fabriquées dans une usine proviennent de deux machines. La machine A produit 1% de
pièces défectueuses et la machine B 5%. La production de l’usine provient à 70% de la machine A. On
choisit au hasard une pièce produite par l’usine.
1. Quelle est la probabilité qu’elle soit défectueuse ?
2. On constate que la pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle provienne de la machine
A?
3. Même question dans le cas où l’on constate que la pièce n’est pas défectueuse.
Exercice 4
Une boîte contient 2 boules : une noire et une rouge. On tire n fois une boule dans cette boîte en la
remettant après avoir noté sa couleur. On note An et Bn les événements :
An : "On obtient des boules des 2 couleurs au cours de n tirages".
Bn : "On obtient au plus une boule noire".
1. Calculer P (An ) et P (Bn ).
2. An et Bn sont-ils indépendants si n = 2 ?
3. Même question si n = 3.
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Exercice 5
Une loterie se déroule 1 fois par semaine. Chaque semaine sur 100 billets , k sont gagnants. On suppose
k ≤ 90. Chaque billet coûte 1e. Deux stratégies sont possibles :
A : on achète 10 billets en une seule fois.
B : on achète 1 billet à la fois pendant 10 semaines.
Quelle est, selon vous, la meilleure stratégie pour obtenir au moins 1 billet gagnant ?
Exercice 6
On fixe un entier naturel non nul n.
Une urne contient une unique boule, qui est blanche. On dispose d’une pièce dont la probabilité de
donner pile est p ∈]0, 1[. Les différents lancers de la pièce sont indépendants. On note q = 1 − p. On
lance n fois de suite la pièce. On ajoute des boules noires dans l’urne à chaque fois que l’on obtient
pile : deux pour le premier pile, trois pour le deuxième pile, etc. On ajoute k + 1 boules noires lors de
la k-ème obtention de pile.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de piles obtenus. On note N la variable aléatoire égale
au nombre total de boules dans l’urne à la fin des lancers.
1. Exprimer N en fonction de X.
2. Quelle est la loi de X ?
3. En déduire, presque sans calcul, l’espérance de N .
On tire une boule de l’urne et on pose B : "la boule tirée est blanche".
n
P
n k n−k
2
4. Démontrer rigoureusement que P (B) =
.
(k+1)(k+2) k p q
k=0
5. Calculer cette somme.
On change les règles : cette fois on ajoute dans l’urne 2k−1 boules noires lors de l’obtention du
k-ème pile, c’est à dire une boule au premier pile, deux au deuxième, quatre au troisième, etc.
en doublant à chaque fois le nombre de boules noires ajoutées.
On note N 0 la variable aléatoire égale au nombre total de boules dans l’urne.
6. Exprimer N 0 en fonction de X.
7. Calculer E(N 0 ).
8. Déterminer la probabilité de l’événement B 0 : "la boule tirée est blanche".
Exercice 7
Une secrétaire effectue n appels téléphoniques vers n correspondants distincts.
On admet que les n appels constituent n expériences indépendantes et que pour chaque appel, la
probabilité d’obtenir le correspondant demandé est p (p ∈ ]0, 1[).
Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de correspondants obtenus.
1. Donner la loi de X. Justifier.
2. La secrétaire rappelle une seconde fois, dans les mêmes conditions, chacun des n − X correspondants qu’elle n’a pas pu joindre au cours de la première série d’appels. On note Y la variable
aléatoire représentant le nombre de personnes jointes au cours de la seconde série d’appels.
(a) Soit i ∈ J0, nK. Déterminer, pour k ∈ N, P (Y = k|X = i).
(b) Prouver que Z = X + Y suit une loi binomiale dont on déterminera le paramètre.
(c) Déterminer l’espérance et la variance de Z.
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Exercice 8
Dans une zone désertique, un animal erre entre trois points d’eau A,B et C.
A l’instant t=0, il se trouve au point A.
Quand il a épuisé l’eau du point où il se trouve, il part avec équiprobabilité rejoindre l’un des deux
autres points d’eau. L’eau du point qu’il vient de quitter se régénère alors.
Soit n ∈ N.
On note An l’événement "l’animal est en A après son nième trajet ".
On note Bn l’événement "l’animal est en B après son nième trajet".
On note Cn l’événement "l’animal est en C après son nième trajet".
On pose P (An ) = an , P (Bn ) = bn et P (Cn ) = cn .
1. (a) Exprimer, en le justifiant, an+1 en fonction de an , bn et cn .
(b) Exprimer, de même, bn+1 et cn+1 en fonction de an , bn et cn .


0 21 12
2. On considère la matrice A =  21 0 12 .
1
1
2
2 0
(a) Chercher le noyau de A + 12 I3 .
(b) Trouver λ ∈ R, λ 6= − 21 , tel que le noyau de A − λI3 ne soit pas réduit à {0}.
(c) Déterminer une matrice P inversible et une matrice D diagonale de M3 (R) telles que
D = P −1 AP . Le calcul de P −1 n’est pas demandé.
3. Montrer comment les résultats de la question 2. peuvent être utilisés pour calculer an , bn et cn
en fonction de n. Aucune expression finalisée de an , bn et cn n’est demandée.
Exercice 9
On dispose de n boules numérotées de 1 à n et d’une boîte formée de trois compartiments identiques
également numérotés de 1 à 3. On lance simultanément les n boules . Elles viennent se ranger aléatoirement dans les 3 compartiments. Chaque compartiment peut éventuellement contenir les n boules.
On note Xn la variable aléatoire qui à chaque expérience aléatoire fait correspondre le nombre de
compartiments restés vides.
1. Préciser les valeurs prises par Xn .
2. (a) Déterminer la probabilité P (Xn = 2).
(b) Finir de déterminer la loi de probabilité de Xn .
3. (a) Calculer E(Xn ).
(b) Déterminer lim E(Xn ). Interpréter ce résultat.
n→+∞
Exercice 10
On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés.
Pour chaque dé pipé, la probabilité d’obtenir le chiffre 6 lors d’un lancer vaut 21 .
1. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et on obtient le chiffre 6.
Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ?
2. Soit n ∈ N∗ .
On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé n fois et on obtient n fois le chiffre 6.
Quelle est la probabilité pn que ce dé soit pipé ?
3. Déterminer lim pn . Interpréter ce résultat.
n→+∞
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Exercice 11
On dispose de deux urnes U1 et U2 .
L’urne U1 contient deux boules blanches et trois boules noires.
L’urne U2 contient quatre boules blanches et trois boules noires.
On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes :
on choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l’urne choisie.
On note sa couleur et on la remet dans l’urne d’où elle provient.
Si la boule tirée était blanche, le tirage suivant se fait dans l’urne U1 .
Sinon le tirage suivant se fait dans l’urne U2 .
∀n ∈ N∗ , on note Bn l’événement "la boule tirée au nième tirage est blanche".
On pose également ∀n ∈ N∗ , pn = P (Bn ).
1. Calculer p1 .
6
4
pn + .
35
7
3. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, la valeur de pn .
2. Prouver que : ∀ n ∈ N∗ , pn+1 = −
Exercice 12
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles telles que Y = X 2 et la loi de X est donnée par :
1
P (X = −2) = ,
6
1
P (X = −1) = ,
4
1
P (X = 0) = ,
6
1
P (X = 1) = ,
4
1
P (X = 2) = .
6
1. Donner la loi du couple (X, Y ).
2. Déterminer la loi de Y .
3. X et Y sont-elles indépendantes ?
4. Calculer cov(X, Y ). Que peut-on en conclure ?
Exercice 13
Un dé A, parfaitement équilibré, porte les nombres 1 sur 4 faces et -2 sur les deux autres faces. Soit X
la variable aléatoire réelle qui à un lancer du dé A, associe le nombre obtenu.
Un dé B porte les nombres -2, -1, 0, 1, 2, 3. Ce dé n’est pas équilibré. Les probabilités d’apparition de
chaque face forment, dans l’ordre indiqué précédemment, une progression géométrique de raison 12 .
1. Quelles sont ces probabilités ?
2. On lance une fois simultanément les deux dés A et B et on désigne par S la variable aléatoire
réelle qui, au lancer des deux dés, associe la valeur absolue de la somme des nombres obtenus.
(a) Déterminer la loi du couple (X, S).
(b) Quelle est la loi marginale de S ?
(c) X et S sont-elles indépendantes ?