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PSI - 2015-2016 1
REVISIONS PROBABILITES
Exercice 1
Il faut ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques distincts, 6 livres de physique distincts et 2
livres de SII distincts. De combien de façons peut-on effectuer ce rangement dans les cas suivants.
1. Les livres doivent être groupés par matières.
2. Les livres de mathématiques seulement doivent être groupés.
Exercice 2
On désire faire un bouquet de 5 fleurs différentes et de 3 feuillages différents. On peut choisir les fleurs
parmi 10 espèces et les feuillages parmi 6. Combien de types différents de bouquets peut-on faire dans
les cas suivants.
1. N’importe quel type de fleur et n’importe quel type de feuillage peuvent être choisis.
2. On veut absolument mettre une rose dans le bouquet.
3. On ne peut pas mélanger deux feuillages particuliers (chico et chamaérops), qui ne s’accordent
pas esthétiquement.
Exercice 3
Les pièces fabriquées dans une usine proviennent de deux machines. La machine A produit 1% de
pièces défectueuses et la machine B 5%. La production de l’usine provient à 70% de la machine A. On
choisit au hasard une pièce produite par l’usine.
1. Quelle est la probabilité qu’elle soit défectueuse ?
2. On constate que la pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle provienne de la machine
A ?
3. Même question dans le cas où l’on constate que la pièce n’est pas défectueuse.
Exercice 4
Une boîte contient 2 boules : une noire et une rouge. On tire nfois une boule dans cette boîte en la
remettant après avoir noté sa couleur. On note Anet Bnles événements :
An: "On obtient des boules des 2 couleurs au cours de ntirages".
Bn: "On obtient au plus une boule noire".
1. Calculer P(An)et P(Bn).
2. Anet Bnsont-ils indépendants si n= 2 ?
3. Même question si n= 3.

PSI - 2015-2016 2
Exercice 5
Une loterie se déroule 1 fois par semaine. Chaque semaine sur 100 billets , ksont gagnants. On suppose
k≤90. Chaque billet coûte 1e. Deux stratégies sont possibles :
A: on achète 10 billets en une seule fois.
B: on achète 1billet à la fois pendant 10 semaines.
Quelle est, selon vous, la meilleure stratégie pour obtenir au moins 1billet gagnant ?
Exercice 6
On fixe un entier naturel non nul n.
Une urne contient une unique boule, qui est blanche. On dispose d’une pièce dont la probabilité de
donner pile est p∈]0,1[. Les différents lancers de la pièce sont indépendants. On note q= 1 −p. On
lance nfois de suite la pièce. On ajoute des boules noires dans l’urne à chaque fois que l’on obtient
pile : deux pour le premier pile, trois pour le deuxième pile, etc. On ajoute k+ 1 boules noires lors de
la k-ème obtention de pile.
On note Xla variable aléatoire égale au nombre de piles obtenus. On note Nla variable aléatoire égale
au nombre total de boules dans l’urne à la fin des lancers.
1. Exprimer Nen fonction de X.
2. Quelle est la loi de X?
3. En déduire, presque sans calcul, l’espérance de N.
On tire une boule de l’urne et on pose B: "la boule tirée est blanche".
4. Démontrer rigoureusement que P(B) =
n
P
k=0
2
(k+1)(k+2) n
kpkqn−k.
5. Calculer cette somme.
On change les règles : cette fois on ajoute dans l’urne 2k−1boules noires lors de l’obtention du
k-ème pile, c’est à dire une boule au premier pile, deux au deuxième, quatre au troisième, etc.
en doublant à chaque fois le nombre de boules noires ajoutées.
On note N0la variable aléatoire égale au nombre total de boules dans l’urne.
6. Exprimer N0en fonction de X.
7. Calculer E(N0).
8. Déterminer la probabilité de l’événement B0: "la boule tirée est blanche".
Exercice 7
Une secrétaire effectue nappels téléphoniques vers ncorrespondants distincts.
On admet que les nappels constituent nexpériences indépendantes et que pour chaque appel, la
probabilité d’obtenir le correspondant demandé est p(p∈]0,1[).
Soit Xla variable aléatoire représentant le nombre de correspondants obtenus.
1. Donner la loi de X. Justifier.
2. La secrétaire rappelle une seconde fois, dans les mêmes conditions, chacun des n−Xcorrespon-
dants qu’elle n’a pas pu joindre au cours de la première série d’appels. On note Yla variable
aléatoire représentant le nombre de personnes jointes au cours de la seconde série d’appels.
(a) Soit i∈J0, nK. Déterminer, pour k∈N, P (Y=k|X=i).
(b) Prouver que Z=X+Ysuit une loi binomiale dont on déterminera le paramètre.
(c) Déterminer l’espérance et la variance de Z.

PSI - 2015-2016 3
Exercice 8
Dans une zone désertique, un animal erre entre trois points d’eau A,Bet C.
A l’instant t=0, il se trouve au point A.
Quand il a épuisé l’eau du point où il se trouve, il part avec équiprobabilité rejoindre l’un des deux
autres points d’eau. L’eau du point qu’il vient de quitter se régénère alors.
Soit n∈N.
On note Anl’événement "l’animal est en Aaprès son nième trajet ".
On note Bnl’événement "l’animal est en Baprès son nième trajet".
On note Cnl’événement "l’animal est en Caprès son nième trajet".
On pose P(An) = an,P(Bn) = bnet P(Cn) = cn.
1. (a) Exprimer, en le justifiant, an+1 en fonction de an,bnet cn.
(b) Exprimer, de même, bn+1 et cn+1 en fonction de an,bnet cn.
2. On considère la matrice A=
01
2
1
2
1
201 2
1
2
1
20
.
(a) Chercher le noyau de A+1
2I3.
(b) Trouver λ∈R,λ6=−1
2, tel que le noyau de A−λI3ne soit pas réduit à {0}.
(c) Déterminer une matrice Pinversible et une matrice Ddiagonale de M3(R)telles que
D=P−1AP .Le calcul de P−1n’est pas demandé.
3. Montrer comment les résultats de la question 2. peuvent être utilisés pour calculer an,bnet cn
en fonction de n.Aucune expression finalisée de an,bnet cnn’est demandée.
Exercice 9
On dispose de nboules numérotées de 1ànet d’une boîte formée de trois compartiments identiques
également numérotés de 1 à 3. On lance simultanément les nboules . Elles viennent se ranger aléatoi-
rement dans les 3 compartiments. Chaque compartiment peut éventuellement contenir les nboules.
On note Xnla variable aléatoire qui à chaque expérience aléatoire fait correspondre le nombre de
compartiments restés vides.
1. Préciser les valeurs prises par Xn.
2. (a) Déterminer la probabilité P(Xn= 2).
(b) Finir de déterminer la loi de probabilité de Xn.
3. (a) Calculer E(Xn).
(b) Déterminer lim
n→+∞
E(Xn). Interpréter ce résultat.
Exercice 10
On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés.
Pour chaque dé pipé, la probabilité d’obtenir le chiffre 6 lors d’un lancer vaut 1
2.
1. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et on obtient le chiffre 6.
Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ?
2. Soit n∈N∗.
On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé nfois et on obtient nfois le chiffre 6.
Quelle est la probabilité pnque ce dé soit pipé ?
3. Déterminer lim
n→+∞
pn. Interpréter ce résultat.

PSI - 2015-2016 4
Exercice 11
On dispose de deux urnes U1et U2.
L’urne U1contient deux boules blanches et trois boules noires.
L’urne U2contient quatre boules blanches et trois boules noires.
On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes :
on choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l’urne choisie.
On note sa couleur et on la remet dans l’urne d’où elle provient.
Si la boule tirée était blanche, le tirage suivant se fait dans l’urne U1.
Sinon le tirage suivant se fait dans l’urne U2.
∀n∈N∗, on note Bnl’événement "la boule tirée au nième tirage est blanche".
On pose également ∀n∈N∗,pn=P(Bn).
1. Calculer p1.
2. Prouver que : ∀n∈N∗,pn+1 =−6
35pn+4 7.
3. En déduire, pour tout entier naturel nnon nul, la valeur de pn.
Exercice 12
Soient Xet Ydeux variables aléatoires réelles telles que Y=X2et la loi de Xest donnée par :
P(X=−2) = 1
6, P (X=−1) = 1 4, P (X= 0) = 1 6, P (X= 1) = 1 4, P (X= 2) = 1 6.
1. Donner la loi du couple (X, Y ).
2. Déterminer la loi de Y.
3. Xet Ysont-elles indépendantes ?
4. Calculer cov(X, Y ). Que peut-on en conclure ?
Exercice 13
Un dé A, parfaitement équilibré, porte les nombres 1 sur 4 faces et -2 sur les deux autres faces. Soit X
la variable aléatoire réelle qui à un lancer du dé A, associe le nombre obtenu.
Un dé B porte les nombres -2, -1, 0, 1, 2, 3. Ce dé n’est pas équilibré. Les probabilités d’apparition de
chaque face forment, dans l’ordre indiqué précédemment, une progression géométrique de raison 1
2.
1. Quelles sont ces probabilités ?
2. On lance une fois simultanément les deux dés A et B et on désigne par Sla variable aléatoire
réelle qui, au lancer des deux dés, associe la valeur absolue de la somme des nombres obtenus.
(a) Déterminer la loi du couple (X, S).
(b) Quelle est la loi marginale de S?
(c) Xet Ssont-elles indépendantes ?