Cours de théorie des probabilités avec exercices corrigés et devoirs

Cours de théorie des
probabilités
avec exercices corrigés et devoirs
Licence de mathématiques, 3i`eme année
Bruno Saussereau 1
Année universitaire 2013-2014
1Bruno Saussereau, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, UFR Sciences & Techniques, 16,
route de Gray, 25030 Besançon cedex, France. Courriel : b[email protected]

iPrésentation du cours
Présentation du cours
Ce cours correspond à l’unité d’enseignement de théorie des probabilités dispensée dans le cadre
du semestre 5 de l’enseignement à distance de la Licence de Mathématiques.
La diffusion de ce cours est strictement limitée aux étudiants régulièrement inscrits à l’unité
d’enseignement correspondante du Centre de Télé-enseignement Universitaire.
Public visé
Cet enseignement par correspondance s’adresse en priorité aux étudiants désireux de poursuivre
des études de Master en vue de la recherche, de passer le concours de l’agrégation externe de
mathématiques ou à ceux qui se destinent à des études de mathématiques appliquées en vue
de devenir ingénieurs-mathématiciens.
Pré-requis et révisions
Ce cours ne suppose aucun pré-requis sur le formalisme des probabilités. Tout le formalisme et
le vocabulaire des probabilités est défini et introduit au fur et à mesure des besoins. Il suppose
juste une sensibilisation aux phénomènes aléatoires et à leur étude élémentaire telle qu’elle est
enseignée depuis quelques années au lycée et dans le semestre 4 de la Licence. Pour une rapide
mise à niveau sur l’approche élémentaire des probabilités on peut se reporter aux deux ouvrages
classiques [11] et [12]. Certains des exercices proposés dans cette unité sont inspirés de ces
deux ouvrages moyennant quelques adaptations de vocabulaire dues au formalisme introduit
dans le cours.
En revanche ce cours suppose connus les concepts classiques de la théorie de la mesure et
de l’intégration, dite intégrale de Lebesgue. Ces concepts seront souvent rappelés dans ce
cours de façon à rendre sa lecture autonome. Ces résultats seront énoncés sous leur version la
plus utile pour les applications en probabilités, ils seront admis et ne feront donc pas l’objet
d’une démonstration sauf cas particuliers. Pour leur version générale et leurs démonstrations,
on pourra se reporter à l’ouvrage [8].
Outre ces résultats spécifiques, le cours nécessitera la connaissance de résultats et de techniques
classiques de mathématiques générales. C’est donc l’occasion, dès maintenant, de réviser
également ces notions mathématiques indispensables qui seront supposées connues. A cet
effet, on pourra se reporter à un cours classique de mathématiques générales, par exemple
[1], largement suffisant pour revoir ces notions. Il s’agit en particulier de bien connaître
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ii Théorie des probabilités, Bruno Saussereau, 2013-2014, version 10/01/2014
1. les notions et résultats élémentaires de la théorie des ensembles : ensembles, parties d’un
ensemble, inclusion, appartenance, partition d’un ensemble, intersection et réunion de
plusieurs sous-ensembles, différence de deux sous-ensembles, complémentaire d’un sous-
ensemble, applications, bijections, image-réciproque d’une application, opérations sur les
applications, composition de deux applications,...
2. les éléments de théorie de la mesure et de l’intégrale de Lebesgue
3. le calcul des sommes de séries : série géométrique, série exponentielle, dérivation des
séries entières, ...
4. quelques éléments d’algèbre générale et multilinéaire en dimension finie : binôme de
Newton, nombre de combinaisons, espaces vectoriels, produit scalaire euclidien, norme
euclidienne, calcul matriciel, transposé d’une matrice, opérations élémentaires sur les
matrices, diagonalisation d’une matrice symétrique, ...
Conseils de travail
Le cours proprement dit comprendra des définitions, des propositions (théorèmes, lemmes,
formules, ...), des démonstrations, des exemples et des exercices corrigés. Les démonstrations
doivent être connues, elles sont exigibles lors des épreuves d’évaluation.
Les démonstrations développées dans le cours sont choisies en fonction de l’intérêt péda-
gogique du raisonnement qu’elles mettent en oeuvre. Il faut les étudier, crayon en main, essayer
de les refaire en mettant en évidence les deux ou trois axes de la démonstration qu’il convient
de retenir pour être capable de la restituer sans document. C’est à ce critère que vous pourrez
mesurer si vous avez compris quelque chose. Il est conseillé aussi de bien mettre en évidence
dans ces démonstrations, en les énonçant complètement et en vérifiant que leurs hypothèses
de validité sont satisfaites, les résultats antérieurs sur lesquels elles prennent appui. Certaines
démonstration seront détaillées, d’autres seront volontairement plus succinctes afin de vous
entraîner à détailler par vous-même les passages rapides de la démonstration.
Les exemples du cours servent à illustrer une définition sur un cas particulier ou à montrer
une application concrète d’une proposition. Leur rédaction est aussi parfois volontairement suc-
cincte. Il convient alors d’en détailler les calculs, de vérifier les résultats annoncés, et d’essayer
de noter les astuces ou techniques utilisées et transposables dans d’autres situations, éventuelle-
ment moyennant certaines adaptations. Ce qui est dit pour les exemples est aussi valable pour
tous les exercices proposés en auto-correction et leurs corrigés.
Les exercices sont divisés en deux catégories :
1. Les exercices de la première catégorie sont les exercices insérés dans le texte du cours
proprement dit. Ils sont assez simples et sont conçus comme des applications directes du
cours et de ce qui vient d’être vu.
2. Les exercices de la seconde catégorie, dits de révision, sont placés en fin de chaque
chapitre à partir du chapitre III. Ils sont, quant à eux, de difficultés variables et font appel
aux diverses notions mises en place dans les chapitres antérieurs y compris le chapitre
étudié.
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iiiPrésentation du cours
Vous devez essayer de chercher à résoudre le maximum d’exercices, en vous aidant du cours.
Pour les exercices que vous ne savez pas résoudre ou que vous n’avez pas pu chercher, par
exemple par manque de temps, il faut au moins étudier leurs solutions en vous reportant au
chapitre VIII.
Ce qui a été dit, plus haut, pour l’étude des démonstrations s’applique également pour étudier
la correction d’un exercice. Encore une fois, après avoir étudié une démonstration ou la
solution d’un exercice, vous devez être capable de refaire cette démonstration ou cet exercice,
sans regarder le cours, trois ou quatre jours plus tard. C’est là un bon test pour savoir si vous
avez compris la démonstration ou la solution de l’exercice. Il ne faut pas hésiter à réviser les
chapitres déjà travaillés c’est-à-dire à revenir plusieurs fois, après de longs intervalles de temps,
sur les démonstrations ou exercices étudiés auparavant.
Trois devoirs à rédiger et à retourner à la correction sont proposés dans le cadre de cet
enseignement afin de vous permettre de tester vos connaissances et de vous inciter à un travail
régulier. Ces devoirs permettent aussi de montrer au correcteur que vous avez compris le cours,
que vous connaissez les résultats vus en cours et les hypothèses qui les commandent, et que
vous savez les mobiliser pour répondre à une question ou démontrer un résultat nouveau. Il est
donc recommander de tout mettre en œuvre pour atteindre cet objectif.
Il est bon de porter son attention, en particulier, sur les conseils suivants :
Un devoir de mathématiques est un devoir de français qui traite de mathématiques, c’est donc
avant tout un texte de français. Il doit donc être rédigée de façon correcte en français. Les
hypothèses spécifiques justifiant l’utilisation de chaque théorème doivent être correctement ex-
plicitées et le résultat du cours utilisé doit être clairement identifié voire explicitement énoncé.
Les résultats intermédiaires et les conclusions obtenues doivent être mis en évidence. Les nota-
tions utilisées ou introduites, surtout si elles sont nouvelles par rapport au cours, doivent être
clairement annoncées. La rédaction du cours peut être considérée comme un guide de rédaction
d’un texte mathématique.
Les épreuves d’examen comporteront des exercices et des questions portant sur l’ensemble
du cours. Elles peuvent également comprendre des questions de cours proprement dites : énon-
cer un ou plusieurs résultats du cours, refaire une ou plusieurs démonstrations vues en cours,
traiter un exemple ou un exercice corrigé proposés dans les documents fournis dans le cadre de
cette unité d’enseignement. La table de la loi normale standard de l’annexe B(sans les explica-
tions sur son utilisation), ainsi que le formulaire de l’annexe A, seront disponibles avec les sujets
lors des épreuves d’évaluation. Lors de ces épreuves, l’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Certaines propositions du cours concernent des résultats mentionnés "hors programme". Ils
sont simplement donnés dans un but de culture mathématique, mais ne feront donc pas l’objet
d’évaluation et leur connaissance n’est pas exigible dans les évaluations. Souvent ils apportent
des compléments ou des précisions sur un résultat ou une remarque qui viennent d’être faits.
Enfin, il est évident que l’appréciation d’une copie par le correcteur, que ce soit celle d’un
devoir ou d’une épreuve d’examen, accordera une place importante à la rédaction, à la clarté
des justifications et de l’argumentation ainsi qu’à la présentation globale de la copie. Une copie
illisible ou mal rédigée pourra ne pas être corrigée et sera sanctionnée en conséquence.
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