MECANIQUE QUANTIQUE Chapitre 5 : Postulats de la mécanique

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MECANIQUE QUANTIQUE
MECANIQUE QUANTIQUE
Chapitre 5 :
Chapitre 5 :
Postulats de la m
Postulats de la mé écanique canique
quantique
quantique
Pr. M. ABD-LEFDIL
Université Mohammed V- Agdal
Faculté des Sciences
Département de Physique
Année universitaire 06-07
Filières SM-SMI
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2
Introduction
Introduction
Apr
Aprè ès avoir vu le formalisme math s avoir vu le formalisme mathé ématique de la matique de la
m
mé écanique quantique, nous allons canique quantique, nous allons é énoncer ses noncer ses
postulats, qui sont valables pour tout syst
postulats, qui sont valables pour tout systè ème me
quantique y compris bien s
quantique y compris bien sû ûr la m r la mé écanique canique
ondulatoire d'une particule dans l'espace.
ondulatoire d'une particule dans l'espace.
Description quantique d
Description quantique d’ ’un syst un systè ème physique: me physique:
Etat du syst
Etat du systè ème, ses observables et son me, ses observables et son é évolution volution
dans le temps
dans le temps

2
3
3
1 er postulat
1 er postulat
PRINCIPE DE SUPERPOSITION :
PRINCIPE DE SUPERPOSITION :
L'
L'é état d'un syst tat d'un systè ème est enti me est entiè èrement d rement dé éfini, fini,
à
àchaque instant, par la donn chaque instant, par la donné ée d'un e d'un
vecteur ket |
vecteur ket |ψ ψ> appartenant > appartenant à àl'espace des l'espace des
é
états tats ξ ξn
n.
.
|
|ψ ψ> est > est é équivalent quivalent à àψ ψ(x,t) qui est une (x,t) qui est une
fonction de carr
fonction de carré ésommable. sommable.
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4
2
2 è
ème me postulat
postulat
DESCRIPTION MATHEMATIQUE
DESCRIPTION MATHEMATIQUE
D'UNE GRANDEUR PHYSIQUE
D'UNE GRANDEUR PHYSIQUE
A toute grandeur physique mesurable A est
A toute grandeur physique mesurable A est
associ
associé ée un op e un opé érateur lin rateur liné éaire hermitique agissant aire hermitique agissant
dans l'espace des
dans l'espace des é états. tats.
A=A
A=A+
+: <
: <ψ ψ1
1|A|
|A|ψ ψ2
2>= <
>= <ψ ψ2
2|A|
|A|ψ ψ1
1>
>*
*
A est l'observable associ
A est l'observable associé ée e à àla grandeur physique A la grandeur physique A.
.
Matrice ligne Matrice colonne
Matrice carrée

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5
5
3
3 è
ème me postulat
postulat
MESURES DES GRANDEURS
MESURES DES GRANDEURS
PHYSIQUES
PHYSIQUES - -PRINCIPE DE PRINCIPE DE
QUANTIFICATION :
QUANTIFICATION :
La mesure d'une grandeur physique A ne
La mesure d'une grandeur physique A ne
peut donner comme r
peut donner comme ré ésultat que l'une des sultat que l'une des
valeurs propres de l'op
valeurs propres de l'opé érateur correspondant rateur correspondant
à
àA. A.
Remarque
Remarque : :A A é étant une observable, ses tant une observable, ses
valeurs propres sont donc r
valeurs propres sont donc ré éelles. elles.
6
6
4
4 è
ème me postulat
postulat
DECOMPOSITION SPECTRALE :
DECOMPOSITION SPECTRALE :
Cas discret d
Cas discret dé ég gé én né ér ré é: :
La probabilit
La probabilité éP Pan
an de
de
trouver, lors de la
trouver, lors de la
mesure de l'observable
mesure de l'observable
A, la valeur propre a
A, la valeur propre an
n
est :
est :
2
i
i
n
a
U
Pn>ψψ<
>ψ<
=∑
|
|
∑∑
=
=ψ
n
g
1i
i
n
i
n
n
UC
Avec
Avec

4
7
7
-g
nest le degré de dégénérescence.
-
-{| {|U Un
ni
i>}
>} un système orthonormé de vecteurs
formant une base dans le sous-espace propre de
ξnassocié à la valeur propre an.
∑
=
n
a1P n
Notons que la probabilité totale est égale à l'unité:
2
i
i
na CP n∑
=
8
8
-
-Cas d Cas d’ ’un spectre continu et non d un spectre continu et non dé ég gé én né ér ré é: :
Lorsqu
Lorsqu’ ’on mesure la grandeur physique A sur un on mesure la grandeur physique A sur un
syst
systè ème quantique se trouvant dans me quantique se trouvant dans
L
L’é ’état norm tat normé é| |ψ ψ>, la probabilit >, la probabilité édP dPa
ad
d’ ’obtenir une obtenir une
valeur comprise entre a et a+da est:
valeur comprise entre a et a+da est:
dP
dPa
a=|<V
=|<Vα
α|
|ψ ψ>| >|2
2da
da
O
Où ù| |V Vα
α>
> est le vecteur associé à la valeur propre a
de l’observable A .

5
9
9
5
5 è
ème me postulat
postulat
REDUCTION DU PAQUET D'ONDES
REDUCTION DU PAQUET D'ONDES
Si la mesure de l'observable A sur le syst
Si la mesure de l'observable A sur le systè ème me
dans l'
dans l'é état | tat |ψ ψ> donne la valeur propre > donne la valeur propre a an
n, alors
, alors
l'
l'é état du syst tat du systè ème imm me immé édiatement apr diatement aprè ès la s la
mesure ayant donn
mesure ayant donné éla valeur a la valeur an
nest la
est la
projection norm
projection normé ée de | e de |ψ ψ> , soit : > , soit :
[]
2/1
n
n
P
P
>ψψ<
>
ψ
||
|
Remarque:Il est impossible de prévoir à l'avance avec
certitude vers quel état quantique le système va passer.
On ne peut que faire des prévisions statistiques : C'est le
concept d'indéterminisme.
10
10
|
|ψ ψ>: >: Etat avant la mesure
|
|ψ ψn
n>:
>: Etat apr
aprè ès la mesure s la mesure
Mesure de A
Mesure de A
||
||
r
ré ésultat de la mesure a sultat de la mesure an
n