MECANIQUE QUANTIQUE Chapitre 5 : Postulats de la mécanique

MECANIQUE QUANTIQUE
Chapitre 5 :
Postulats de la mécanique
quantique
Pr. M. ABD-LEFDIL
Université Mohammed V- Agdal
Faculté des Sciences
Département de Physique
Année universitaire 06-07
Filières SM-SMI
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Introduction
Après avoir vu le formalisme mathématique de la
mécanique quantique, nous allons énoncer ses
postulats, qui sont valables pour tout système
quantique y compris bien sûr la mécanique
ondulatoire d'une particule dans l'espace.
Description quantique d’un système physique:
Etat du système, ses observables et son évolution
dans le temps
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1 er postulat
PRINCIPE DE SUPERPOSITION :
L'état d'un système est entièrement défini,
à chaque instant, par la donnée d'un
vecteur ket |ψ> appartenant à l'espace des
états ξn.
|ψ> est équivalent à ψ(x,t) qui est une
fonction de carré sommable.
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2 ème postulat
DESCRIPTION MATHEMATIQUE
D'UNE GRANDEUR PHYSIQUE
A toute grandeur physique mesurable A est
associée un opérateur linéaire hermitique agissant
dans l'espace des états.
A=A+: <ψ1|A|ψ2>= <ψ2|A|ψ1>*
Matrice ligne
Matrice colonne
Matrice carrée
A est l'observable associée à la grandeur physique A.
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3 ème postulat
MESURES DES GRANDEURS
PHYSIQUES - PRINCIPE DE
QUANTIFICATION :
La mesure d'une grandeur physique A ne
peut donner comme résultat que l'une des
valeurs propres de l'opérateur correspondant
à A.
Remarque :A étant une observable, ses
valeurs propres sont donc réelles.
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4 ème postulat
DECOMPOSITION SPECTRALE :
Cas discret dégénéré:
La probabilité Pan de
trouver, lors de la
mesure de l'observable
A, la valeur propre an
est :
Avec
Pa n =
∑< U
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i
n
|ψ >
i
< ψ|ψ >
gn
ψ = ∑ ∑ C in Uin
n
i =1
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- gn est le degré de dégénérescence.
- {|Uni>} un système orthonormé de vecteurs
formant une base dans le sous-espace propre de
ξn associé à la valeur propre an .
Pan = ∑ Cin
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i
Notons que la probabilité totale est égale à l'unité:
∑P
n
an
=1
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- Cas d’un spectre continu et non dégénéré:
Lorsqu’on mesure la grandeur physique A sur un
système quantique se trouvant dans
L’état normé |ψ>, la probabilité dPa d’obtenir une
valeur comprise entre a et a+da est:
dPa=|<Vα|ψ>|2 da
Où |Vα> est le vecteur associé à la valeur propre a
de l’observable A .
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5 ème postulat
REDUCTION DU PAQUET D'ONDES
Si la mesure de l'observable A sur le système
dans l'état |ψ> donne la valeur propre an , alors
l'état du système immédiatement après la
mesure ayant donné la valeur an est la
projection normée de |ψ> , soit :
Pn | ψ >
[< ψ | Pn | ψ >]1/ 2
Remarque: Il est impossible de prévoir à l'avance avec
certitude vers quel état quantique le système va passer.
On ne peut que faire des prévisions statistiques : C'est le
concept d'indéterminisme.
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|ψ>: Etat avant la mesure
Mesure de A
||
résultat de la mesure an
|ψn>: Etat aprè
après la mesure
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6 ème postulat
EVOLUTION DES SYSTEMES DANS
LE TEMPS :
L'évolution du vecteur ket |ψ> dans le temps est
donnée par l'équation de Schrödinger :
ih
∂|ψ >
=H|ψ >
∂t
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Opérateur d’évolution
Soit un système physique décrit par un ket |ψ>.
On définit l’opérateur U(t,t0) qui permet de déterminer
|ψ(t)> à partir de | ψ(t0)>:
|ψ(t)>= U(t,t0) | ψ(t0)>
On montre aisément que:
- U(t0,t0)=1
- U(t,t1) U(t1,t0)= U(t,t0)
- U(t,t’) U(t’,t)= 1
- A partir de l’équation de Schrödinger, on montre
que:
t
U( t, t 0 ) = 1 −
i
H( t' ) U( t' , t 0 ) dt'
h t∫0
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Cas particulier d'un système stationnaire :
H indépendant explicitement du temps.
H |ψn> = En |ψn> (cas stationnaire).
Supposons pour simplifier les écritures que les
valeurs propres En ne sont pas dégénérées.
L'ensemble des |ψn> forme une base suivant
laquelle on peut développer n'importe quel vecteur
|ψ>.
a) Soit à t = t0 : |ψ(t0)> = Cn(t0) |ψn>
où Cn(t0)= <ψn|ψ(t0)>
b) A l'instant t : |ψ(t)> = Cn(t)|ψn>
On montre que :
ψ(t) =
∑C
n
n
 E

( t 0 ) exp  - i n ( t − t 0 ) 

 h
ψn
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THEOREME D'EHRENFEST :
Il traduit l'évolution de la valeur moyenne d'une
observable au cours du temps (<ψ|ψ> = 1):
dA
dt
=
d
( ψ A ψ ) = dA + 1 [A,H]
dt
dt
ih
CONSTANTE DU MOUVEMENT :
Une observable A est dite constante du mouvement si:
dA
dt
=0 ⇔
dA
= 0 et
dt
[A,H] = 0
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Remarque :
[A,H] = 0 : il existe donc un système de vecteurs
propres communs à A et H (d’après le chapitre 4).
Soit les |ψn> cet ensemble de vecteurs propres:
A|ψn> = an |ψn> et H|ψn> = En |ψn>
Comme les |ψn> sont des états stationnaires :
à t0, la mesure de A donne an
à t0, la mesure de H donne En
à t1, la mesure de A donne an
à ti, la mesure de A donne an
à tj, la mesure de H donne En
La valeur propre an est appelée bon nombre
quantique:
dPan
dt
=0
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