Oscillations

Université de Caen LMNO
Ocillations en mécanique quantique
C. LONGUEMARE
19 avril 2016

Plan
1. Les principes
2. La mécanique quantique à deux états
3. L’oscillations classiques et quantiques
4. L’interaction d’exchange
en Physique atomique et en Chimie
5. Application en physique des particules
le kaon neutre K0et le neutrino ν
0-a

Notations et unités
ϵ0(c2µ0)−1permitivité du vide
µ04π10−7perméabilité du vide
c299 792 km/s vitesse de la lumière
ℏ6,582 10−16 eV.s constante de Planck-bar
αe2
4πϵ0(1 ℏc)constante de structure fine
ν−1période
λlongueur d’onde
k2π(1
λ)vecteur d’onde
ω2πν pulsation
LL(x)d3xlagrangien
HH(x)d3xhamiltonien
EiF0ichamp électrique
BkFij champ magnétique
Table des notations ∗
∗.Fµν =∂µAν−∂νAµet α−1= 137,036

Principes de la mécanique quantique
1. Un état de la physique microscopique (quantique), un atome en
quelque sorte, est représenté par un vecteur d’un espace de Hilbert
approprié, H; l’état peut être défini par ses composantes dans une
base et le produit scalaire est un nombre Cque l’on note
(ϕ, ψ)ou < ϕ |ψ > ∈C
Le produit ci-dessus est l’amplitude de ϕdans ψ. A cause de l’inter-
prétation probabiliste des amplitudes, il sera nécessaire de normaliser
les états.
(ψ, ψ) = < ψ |ψ > = 1
2. Chaque observable physique Qest associée à un opérateur hermitien
dans Hdont les valeurs propres qsont les résultats possibles des me-
sures dans le cas d’une expérience idéale menée avec des instruments
parfaits.
les mesures de Qsont ={q1, q2, ... qi, ..} ∈ R
3. L’évolution d’une fonction d’onde obéit à l’équation de Schrödinger
qui fait intervenir l’opérateur de Hamilton H:
iℏ∂
∂tψ=Hψ(1)
Les états stationnaires sont des états propres de H.
4. Les opérateurs associés aux constantes du mouvement commutent
l’opérateur de Hamilton Het sont diagonalisables simultanément :
[H, Q] = 0 (2)
1

5. La probabilité d’une mesure qde Qest par principe le module carré
de l’amplitude de ϕqdans ψ
Prob de q=|< ϕq|ψ >|2
Dans le cas où la valeur propre engendre un sous-espace , il sera
nécessaire de sommer sur la base du sous espace. La somme des
sous-espaces de Qconstitue une base de H. La moyenne des mesures
de Q est :
< Q > =
ϕ, q
q|< ϕq|ψ >|2=< ψ |Q|ψ >
Exemple L’opérateur Qest l’observable de position de l’"atome"
dans l’espace physique R3.
Q≡⃗x
Soit |⃗x0>un état propre :dans cet état, la mesure de la position de
l’"atome" donne systématiquement ⃗x0.
La probabilité de cette valeur dans ψest par principe |< ⃗x0|ψ >|2.
L’amplitude < ⃗x0|ψ > est la fonction d’onde associée
ψ(⃗x) = < ⃗x |ψ > ∈C
6. L’état du vide est associé à l’élément de Htel que l’amplitude ψ0(⃗x)
est la fonction 0car pour tout ⃗x la probabilité de l’observation de
l’atome est nulle .
Cependant le vide est un élément de l’espace car sa norme est 1.
Remarque L’opérateur a+
xqui au vide fait correspondre l’état |⃗x >
est un opérateur de création d’un "atome" en ⃗x.