Nom : Prénom : Classe : Correction du contrôle mars 2007 Exercice 1 : ( 5 points ) 1°) Rappeler la définition d’une hauteur d’un triangle. Une hauteur d’un triangle est la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. 2°) Rappeler la définition d’une médiane d’un triangle. Une médiane d’un triangle est la droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet. 3°) Construire sur la figure 1 : a – en bleu la médiane issue de C. b – en rouge la hauteur issue de A. 1 4°) Sur la figure 2, tracer le cercle circonscrit au triangle ABC. 2 Exercice 2 : ( 5 points ) On donne la figure ci-contre avec : a ELM = 25° ; a MLU = 50° et a LEM = 40°. LME : 1°) On Calcule la mesure de l’angle a D’après les données, dans le triangle LME : a ELM = 25° et a LEM = 40°. Or, la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180°. Donc : a ELM + a LEM + a LME = 180° a LME = 180 – (40 + 25) a LME = 180 – 65 a LME = 115° Par conséquent, l’angle a LME mesure 115°. 3 2°) On prouve que le triangle ULM est isocèle en L : Pour cela, on calcule et on compare les a mesures des angles a LMU et L UM. D’après la figure donnée, les angles a LMU et a LME sont supplémentaires. Donc : a LMU + a LME = 180° a LMU = 180 – 115 a LMU = 65° a De plus, dans le triangle LUM : U LM = 50°. Par conséquent, d’après la propriété a précédente : a LMU + a ULM + L UM = 180° a LUM = 180 – (50 + 65) a LUM = 180 – 115 a LUM = 65° On remarque que a LMU = a LUM. Or, si un triangle admet deux angles de même mesure alors il est isocèle. 4 Par conséquent, le triangle LUM est isocèle en L. Exercice 3: ( 6 points ) On donne la figure ci-contre. 1°) On détermine la nature du triangle TCL : D’après le codage de la figure : CT = TL = CL Or, si un triangle a trois côtés de même longueur alors il est équilatéral. Donc, le triangle TCL est équilatéral. 2°) On détermine la nature du triangle CLF : D’après le codage de la figure : CL = LF et a CLF = 90°. 5 Or, si un triangle admet deux côtés de même longueur et un angle droit alors il est rectangle isocèle. Donc, le triangle CLF est rectangle isocèle en L. 3°) On calcule la mesure de l’angle a TCF : D’après le codage de la figure, a TCF = a TCL + a LCF On doit donc calculer la mesure des angles a TCL et a LCF . D’après ce qui précède, le triangle TCL est équilatéral . Or, si un triangle est équilatéral alors ses trois angles mesurent 60° chacun. D’où , en particulier : a TCL = 60° De plus, le triangle CLF est rectangle isocèle en L. 6 Or, si un triangle est rectangle isocèle alors ses angles à la base mesurent 45° chacun. Donc, en particulier : a LCF = 45° Par conséquent : a TCF = a TCL + a LCF a TCF = 60 + 45 a TCF = 105° L’angle a TCF mesure donc 105°. Exercice 4 : ( 4 points ) On sait que le point M est tel que : 1) AM + MB = AB. Que peut-on en conclure? Si AM + MB = AB alors le point M appartient au segment [AB]. 7 2) CD =CM + MD. Que peut-on en conclure? Si CD = CM + MD alors, d’après la propriété du cours, le point M appartient au segment [CD]. 3) Sur la figure ci-contre, placer le point M vérifiant ces deux égalités : Si le point M appartient à la fois au segment [AB] et au segment [CD], il est donc le point d’intersection des deux segments. 8