théorie des fonctions numeriques simplement

THÉORIE DES FONCTIONS NUMERIQUES SIMPLEMENT
PÉRIODIQUES
P AR E D O U A R D L U C AS , Professeur au Lycée Charlemagne, Paris.
C E mémoire a pour obj et l’étude des fonctions symétriques des racines
d’une équation du second degré, et son application à la théorie des nombres
premiers. Nous indiquons dès le commencement, l’analogie complète de ces
fonctions symétriques avec les fonctions circulaires et hyperbol iques ; nous
montrons ensuite la liaison qui existe entre ces fonctions symétr iques et les
théories des déter minants, des combinaisons, des fractions continues, de la
divisibilité, des di viseurs quadratiques, des radicaux continus, de la division
de la circonférence, de l’analyse indéterininée du second degré, des résidus
quadratiques, de la décomposition des grands nombres en facteurs premiers,
etc. Cette méthode est le point de départ d’une étude plus compl éte, des propriétés des fonctions symétriques des racines d’une équation algébrique, de
degré quelconque, à coefficients commensur ables, dans leurs rapports avec les
théories des fonctions elliptiques et abéliennes, des résidus potentiels, et de
l’analyse indéter mi née des degrés supérieurs.
SECTION I.
Définition des fonctions numériques simplement périodiques.
Dési gnons par a et b les deux racines de l’ équation
x 2 = Px – Q ,
(1)
dont les coefficients P et Q sont des nombres entiers, positifs ou négatifs, et
premiers entre eux. On a
a + b = P ,
et, en désignant par
érence
cette différence, on a encore
P+
a=
2
,
ab = Q ;
P−
b=
2
a – b
é de
,
= ∆ = P2 − 4Q .
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
185
Cela posé, nous considérerons les deux fonctions numériques U et V définies
par les égalités
an − bn
,
Vn = an + bn
a −b
Ces fonctions U n et V n donnent naissance, pour toutes les valeurs entières
et positives de n, à tr ois séries d’espèces différentes, selon la nature des raci nes a et b de l’équation (1). Cette équation peut avoir :
1°.
Les racines réelles et entières ;
2°.
Les racines réelles et incommensurables ;
3°.
Les racines i maginaires.
Les fonctions numériques de première espèce correspondent à toutes les
valeurs entières de a et de b , et peuvent être calculées directement, pour
toutes les valeurs entières et positives de n , p ar l’emploi des for mules (2). Si
l’on suppose plus particulièrement a = 2 et b = 1, on trouve, en formant les
valeurs de U n et de V n , les séries récurrentes
Un =
(2)
n :
0, 1, 2, 3,
4,
5,
6,
7,
8,
9,
10,
11, . . . . .
Un :
0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, . . . . .
Vn :
2, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, 257, 513, 1025, 2049, . . . . .
étudiées pour la première fois par l’illustre F E R M A T . Nous observerons , dès
maintenant, que la série des V n est contenue, pour les trois cas que nous
considérons, dans la s érie des U n , puisque les formules (2) nous donnent la
relation générale
(3)
U2n = UnVn .
Les fonctions numériques de seconde espèce correspondent à toutes les
valeurs incommensurables de a et de b dont la somme et le produit sont
commensurables. On peut les calculer en f onction de la s omme P et du dis criminant
équation proposée, au moyen des for mules sui vantes. Le développement du binôme nous donne
2n a n = P n +
n n−1
n(n − 1) n−2
+
P
P
1
1. 2
2n bn = P n −
n n−1
n( n − 1) n−2
+
P
P
1
1. 2
2
2
+
n(n − 1)(n − 2) n−3
P
1. 2 . 3
−
n(n − 1)(n − 2) n−3
P
1. 2 . 3
et, par soustraction et par addition,
3
3
+ ...+
n
,
+ . . . + (− ) n ;
186
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
2n–1Un =
n n–1
n(n − 1)(n − 2) n – 3
P
+
P
1
1. 2 . 3
+
(4)
2n–1Vn = Pn +
n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4) n – 5
P
1. 2 .3. 4 .5
n(n − 1) n - 2
P
1. 2
2
+ . . . . ,
n(n − 1)(n − 2)(n − 3) n – 4
P
1. 2 .3. 4
2
+ . . . .
On obtient ainsi, pour les premiers ter mes,
U 0 = 0,
U 1 = 1,
U 2 =P,
U 3 = P 2 – Q,
U 4 = P 3 –2PQ,
V 0 = 2,
V 1 = P,
V 0 = P 2 – 2Q,
V 3 = P 3 – 3PQ
V 4 = P 4 – 4P 2 Q + 2Q 2 .
Les fonctions numéri ques de seconde espèce les plus si mples correspondent
aux hypothèses
P = 1,
Q = –
ou à l’équation
x2 = x + 1 ;
on a dans ce cas,
a = 2 sin
3π
1+ 5
=
,
2
10
b = – 2 sin
1− 5
π
=
,
10
2
et, par suite, en dési gnant par u n et v n les f onction qui en résultent,
un =
(1 + 5 ) n − (1 − 5 ) n
,
2n 5
vn =
(1 + 5 ) n + (1 − 5 ) n
.
2n
On for me ainsi, pour l es premières valeurs de n entières et positives, les
séries
n :
0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7,
8,
9,
10, 11, . . . . .
un :
0, 1, l, 2, 3,
5, 8, 13, 21, 34,
55,
89, . . . . .
vn :
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, . . . . .
La série des u n a été considérée pour la première fois par L E O N A R D F I B O N A C C I ,
de Pise. * Elle a été ét udiée par A LB E R T G I R AR D , † qui a obser vé que les trois
nombres u n , u n , u n + 1 , forment un triangle is oscèle dont l’angle au sommet est
à fort peu près égal à l’angle du pentagone régulier. R O B E R T S I M P S O N ‡ a fait
*
Il liber Abbaci di Leonardo Pisano, pubblicato secondo la lezione del Codice Magliabechiano, da
B. B ONCOMPAGNI . Roma, 1867. Pag. 283 et 284.
†
L’arithmétique de S IMON S TEVIN , be Bruges, revue, corrigée et augmentée de plusieurs traictez et
annotations par A LBERT G IRARD , etc. Leide, 1633. Pag. 169 et 170.
‡
Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Vol. xlviii, Part 1, for the year 1753.
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
187
remarquer en 1753, que cette série est donnée par le calcul des quotients et des
fractions conver gentes des expressions irrati onnelles
5 +1
et
2
5 −1
.
2
En 1843, J . B I N E T * donne, au moyen de cett e série, l’expression du dénombrement des combinaisons discontinues. En 1844, Lamé † indique l’application que
l’on peut faire de cet te série à la déter mi nation d’une li mite s upérieure du
nombre des operations à faire dans la recherche du plus grand commun di vi seur de deux nombres entiers.
Nous prendrons aussi quelquefois pour exemple la série U n de s econde
espèce, donnée par les hypothèses
2
P = 2,
Q = –
.2,
ou par l’équation
x 2 = 2x + 1.
On a alors les séries
n :
0,
1,
2,
3,
4,
5,
U n : 0,
1,
2,
5,
12,
29,
V n : 2,
2,
6,
14,
34,
82,
6,
7,
8,
9,
10,
11, . . .
70,
169,
408,
985,
2378,
5741, . . .
198,
478,
1154,
2786,
6786,
16238, . . .
que nous dési gnerons sous le nom de S E R I E S D E P E L L , en l’honneur du mathématicien de ce nom qui résolut, le premier , un célèbre probl ème d’anal yse
indéterminée proposé par F E R M A T , et concernant la résolution en nombres entiers, de l’équation indéter minée
x 2 – y 2 = ± 1.
Les fonctions numériques de troisième espèce correspondent à toutes les
valeurs i maginaires de a et de b dont la somme et le produit sont réels et
commensurables. Les plus si mples proviennent des hypothèses
P = 1,
Q
– 3 ;
on a, dans ce cas,
a=
1+ − 3
,
2
b=
1− − 3
2
par conséquent a et b sont les racines cubique i maginaires de l’unité négati ve ;
de plus,
U 3 n = 0,
U 3 n + 1 = (–1) n ,
U 3 n + 2 = (–1) n .
An explication of an obcure passage in Albert Girard’s Commentary upon Simon Stevin’s Works. Pag. 368
et suiv.
*
Comptes rendus de l’académie des sciences de Paris, tome, xvii, pag. 562 ; tome xix, pag. 939.
†
Comptes rendus, etc., tome xix, pag. 867.
188
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
Ainsi les valeurs de U n , reviennent périodiquement dans l’ordre
0, 1, 1, 0, –1, – 1, . . . . . .
et donnent lieu à un grand nombre de for mules simples déduites des propriétés
générales des fonctions U n , et V n , et concernant la trisection de la circonférence.
Quelquefois aussi nous considérerons les séries analogues déduites de
l’équation
x 2 = 2x – 2,
dans laquelle
a =1 +
−1 ,
−1
b = 1 –
!
"
– 22,
#
et les séries déduites de l’équation
x 2 = 2x – 3,
dans laquelle
a =1 +
−2 ,
−2
b = 1 –
!
"
#
–2 2 ,
nous dési gnerons les séries obtenues dans cette dernière hypothèse, sous le
nom de séries conjuguées de P E L L .
SECTION II.
Des relations des fonctions U n et V n avec les fonctions circulaires et hyperboliques.
Si l’on fait
z =
n
a
Log.nép.
,
b
2
dans les for mules
cos(z − 1 ) =
e z + e− z
,
2
sin(z − 1 ) =
e z − e− z
,
2 −1
on obtient
n
 n

2
2
 n −1

a
1
a
b




cos
Log.
=  n + n ,
 2

b
2 2

 b
a 2 
n
 n

2
2
 n -1

a
1
a
b


sin 
Log .  =
− n ;
n

2
b

 2 −1 b2 a 2 


L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
189
on a donc, entre, les fonctions U n et V n , et les fonctions circulaires, les deux
relation
n
 n -1
a
V = 2Q 2 cos
Log .  ,
n
b
 2
(5)
n
 n -1
2Q 2
a
U =
sin
Log . 

n
b 
−∆
 2
Il résulte i mmédiatement de ce rapprochement que chacune des for mules de la
trigonométrie rectiligne couduit à des formul es analogues pour U n et V n , et inversement.
Ainsi la for mule (3)
U2n = UnVn ,
correspond à la for mul e
sin 2z = 2 sin z cos z ;
les équations
V n + Un = 2a n ,
(6)
$
V n – Un = 2b n
$
que l’on déduit i mmédiatement des for mules
aux relations
−1
cos z + − 1 sin z = e z
,
(2)
correspondent exactement
cos z − − 1 sin z = e − z
−1
,
et les formules (4) s ont entièrement analogues à celles qui ont été données
dans Actes de Leipzick, en 1701, par J E A N B E R N O U L L I , pour le développement
sin nz
de
et de cos nz suivant les puissances du sinus et du cosinus de l’arc z.
sin z
Ainsi encore les for mules
[V m + U m ] [V n + U n ] = 2[V m + n + U m + n ] ,
$
(7)
$
$
[V n + U n ] r = 2 r – 1 [V n r + U n r ] ,
$
$
que l’on déduit des relations (6) coïncident avec les for mules
(cos x + − 1 sin x) (cos y + − 1 sin y) = cos (x + y) + − 1 sin (x +y),
(cos x + − 1 sin x) r = cos r x + − 1 sin rx ,
qui ont été données par M O I V R E .
Nous ferons encore observer que si, dans l’équation (1), on pose
X = xr,
= ar,
= br,
%
les quantités
(8)
%
et
&
&
s ont les racines de l’équation
X2 = VrX – Qr .
190
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
Par conséquent, chacune des for mules qui appartiennent à la théorie présente
U
peut être généralisée, en y remplaçant U n et V n par nr et V n r , P par V r , Q par
Ur
r
Q , et la différence
es a et b par la différence à U r des racines et
de l’équation (8).
Les for mules (4) deviennent ainsi
'
1
2 n −1
(
)
*
+
,
-
.
/
'
U nr n n −1 n(n − 1)(n − 2)
= Vr +
∆U r2V rn −3
Ur
1
1. 2 . 3
+
(9)
0
2 n −1 Vnr = Vrn +
n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4) 2 4 n −5
∆ U r Vr + . . .
1. 2 . 3. 4 . 5
n(n − 1)
∆U r2Vrn − 2
1. 2
+
n(n − 1)(n − 2)(n − 3) 2 4 n − 4
∆ U r Vr + . . .
1. 2 . 3. 4
D’ailleur, nous laisser ons de côté, pour l’instant, les autres procédés de trans for mation de l’équation (1) par substitution de variable, ainsi que l’étude des
fonctions plus général es
AU n + BV n + C ,
dans lesquelles A, B, C dési gnent des nombres entiers quelconques, positi fs ou
négatifs.
SECTION III.
Des relations de récurrence pour le calcul des fonctions U n et V n .
Le calcul des valeurs de U n et de V n qui correspondent aux val eurs entières et consécuti ves de n, s’éffectue rapidement au moyen de for mules entièrement analogues à cel les de T H O M AS S I M P S O N :
sin (n + 2) z = 2 cos z sin (n + 1) z – sin nz ,
cos (n + 2) z = 2 cos z cos (n+ 1) z – cos nz .
En effet, multiplions par x n les deux membr es de l’équation (1), et remplaçons
successivement x par a et b, nous obtenons
a n + 2 = Pa n + 1 – Qa n ,
b n + 2 = Pb n + 1 – Qb n
et, par soustraction et par addition,
(10)
U n + 2 = PU n + 1 – QU n ,
V n + 2 = PV n + 1 – QV n .
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
191
Ces for mules nous font voir que les fonctions U et V for ment , pour les valeurs
entières et consécuti ves de n, deux s éries récurrentes de nombres entiers. Ces
séries ont la même loi de for mation, mais el les diffèrent par les conditions ini tiales. Nous généraliserons ces formules par l’emploi du calcul symbolique.
En effet, en désignant par F une fonction quelconque, on tire évidemment de
l’équation (1)
F(x 2 ) = F( Px – Q) ;
si l’on remplace x par a et b, on a
a n F(a 2 ) = a n F(Pa – Q) ,
b n F(b 2 ) = b n F(Pb – Q) ,
et, par soustraction et par addition, on obtient les égalités s ymboliques
U n F( U 2 ) = U n F(PV – Q)
(11)
V n F( V 2 ) = V n F(PV – Q)
dans lesquelles on remplace, après le développement, les exposants de U et
de V par des indices, en tenant compte de l’exposant zéro. Ainsi les symboles
U 2 et PU – Q, V 2 et PV – Q sont respectivement, équi valents, et peuvent
être remplacé s l’un par l’autre dans les trans for mations al gébriques.
On a, par exemple, dans la série de F I B O N A C C I , les résultats sui vants
u n + p = u n – p (u + 1) p ,
(12)
u n – p = u n (u – 1) p ,
qui sont entièremont analogues à ceux que l’on peut obtenir dans l a théorie des
combinaisons ou du tr iangle arithmétique, et , en particulier dans la for mule du
binôme des factorielles, due à V A N D E R M O N D E .
En prenant, pour point de départ, l’équation
x2 = x – 1
on trouvera encore de nouvelles relations entre les coefficients de la même
puissance du binôme
La considération de l’équation (8) conduit aux relations sui vantes
(13)
Un+2r = VrUn+r – QrUn ,
Vn+2r = VrVn+r – QrVn,
qui permettent de calculer les valeur des fonctions U n , et V n , qui correspondent
à des valeurs de l’ar gument n en progression arithmétique de raison r.
Inversement, on trouvera, dans la théorie des fonctions circulaires et hyperboliques, des for mules analogues aux for mules (11) et (13).
192
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
SECTION IV.
Des relations des fonctions U n et V n avec les déterminants.
On peut expri mer U n et U n r , V n et V n r au moyen de déter minants ; en
effet, on a les for mules
U 2 – PU 1 = 0
U 3 – PU 2 + QU 1 = 0
U 4 – PU 3 + QU 2
* = 0
U 5 – PU 4 + QU 3 – *
* = 0
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
U n + 1 – PU n + QU n - 1 – *
* = 0
on en déduit
–P,
(14)
U n + 1 = (–1)
n
+1,
0,
0, . . . .
+Q, –P, +1,
0, . . . .
0, +Q,
–P,
+1, . . . .
0,
+Q,
–P, . . . .
0,
(n colonnes)
. . . . . . . . . . . . . .
On obtient aussi
–P,
(15)
V n = (+-1) n
+2,
0,
0, . . . .
+Q, –P, +1,
0, . . . .
0, +Q,
–P,
+1, . . . .
0,
+Q,
–P, . . . .
0,
(n colonnes)
. . . . . . . . . . . . . .
On vérifie les résultats que nous venons de trouver, en développant les déter mi nants sui vant les él éments de la derniére ligne ou de la dernière colonne.
U nr
Les valeurs de
et de V n , s’obtiennent encor e au moyen des détermi nants,
Ur
en remplaçant comme l’ordinaire P par V r , et Q par Q r .
Enfin, nous ferons observer que ces for mules sont susceptibles d’une
grande généralisation ; en effet dans les f or mules (11) qui contiennent une
fonction arbitraire, faisons n successivement égal à 1, 2, 3, . . . . m ; nous
obtenons alors m équations desquelles on tirera la valeur de l’une ou de l’autre
des fonctions U et V.
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
193
R E M A R Q U E , — On peut encore pour le développement de U n employer la
for mule sui vante,
P, Q ,
0,
0, . . . . (n colonnes)
(16)
Un+1 =
Q,
P,
0,
Q,
Q,
0, . . . .
+ 1 ,= . . . .
P, U n Q
;
0,
0, Q , P, . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
Cependant l’emploi de la for mule (14) est bi en préférable.
SECTION V.
Des relations des fonctions U n et V n avec les fractions continues.
Les fonctions U n et V n sont développables en fractions continues ; en ef fet, considérons l’expr ession
(17)
Rn
= a0 +
Sn
a1
b1 +
a2
b2 +
a3
b3 + . . .
an
,
bn
et désignons par R n et S n , le numérateur et le dénominateur de la n i è m e réduite ;
on sait que l’on a
Rn+2 = bn–2Rn+1 + an+2Rn,
(18)
Sn+2 = bn+2Sn+1 + an+2Sn ;
+
et, de plus
(19)
R n S n + 1 – R n + 1 S n = (–1) n a 1 a 2 a 2 . . . . a n + 1
Par conséquent, si l’on pose
a 0 = b 1 = b 2 = . . . . = b n = P,
a 1 = a 2 = a 3 = . . . . = a n = – Q,
on obtient l’expression
(20)
U n +1
=P−
Un
P−
Q
Q
P−
Q
P−.
.
.
194
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
dans laquelle n dési gne le nombre des quantités égales à P.
On a ainsi, dans la sér ie de F I B O N AC C I :
(21)
1 (1 + 5 ) n +1 − (1 − 5 ) n +1
=1+
2 (1 + 5 ) n − (1 − 5 ) n
1+
1
1
1+
1
1+ .
.
dans la série de F E R M A T :
2 n +1 − 1
= 3−
2n − 1
3−
(22)
2
2
3−
2
3− .
.
.
et dans la série de P E L L
(23)
1 (1 + 2 ) n +1 − (1 − 2 ) n +1
= 2−
2 (1 + 2 ) n − (1 − 2 ) n
2−
1
1
2−
1
2− .
.
.
D’ailleurs, on a génér alement
n +1
(24)
U n+1
Un
b
1−  
a
=a   n
b
1−  
a
;
donc, en dési gnant par a la plus grande des racines, prises en val eur absolue,
de l’équation (1), on a
(25)
Li m
U n+1
=a,
Un
lorsque n augmente indéfiniment. Cependant , nous ferons obser ver que ce der nier résultat ne s’appli que pas dans le cas des séries de troisième espèce, c’est à-dire lorsque les racines de l’équation proposée (1) sont i maginaires.
Au moyen de cette dernière for mule, il est facile de calculer rapidement
un ter me de la série U n lorsque l’on ne connait que le précèdent. Soit, par
exemple, dans la série de F I B O N A C C I
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
195
u 4 4 = 7014 08733,
et
a =
1+ 5
= 1, 61803 3988 7 39894 8482 . . . . ;
2
si l’on calcule par les méthodes abrégées le produit a.u 4 4 , à moins d’une unité
près, on trouve exactement, puisque u n , est entier
u 4 5 = 11349 03170.
On peut, d’ailleurs, déterminer directement l e dernier chiffre de u n ; ainsi dans
ce cas particulier, il est facile de faire voir que deux termes, dont les rangs,
différent d’un multiple quelconque de 60, sont terminés par le même chiffre ;
si l’on suppose alors p intérieur à 60, on peut démontrer que l es derniers
chiffres de u p et de u q , sont complément aires, lorsque la somme p + q est
égale à 60 ; on peut donc supposer maintenant p égal à 30 ; et même p inférieur à 15, si l’on observe que les termes u 1 5 + p et u 1 5 – p ont les mêmes derniers
chiffres, lorsque p est impair, et leurs derniers chiffres complémentaires, lorsque p est pair.
On a, plus généralement, la for mule
U (n+1)r
(26)
U nr
= Vr −
Qr
Qr
Vr −
Qr
Vr −
Vr − .
.
.
dans laquelle les V r s ont en nombre n, et, lor sque n augmente indéf iniment,
U ( n +1) r
(27)
Li m
= ar .
Ur
A la for mule (26), cor respond, d ans la théor ie des fonctions circul aires la for mule *
sin(n + 1) z
= 2 cos z −
sin nz
2 cos z −
(28)
1
1
2 cos z −
1
2 cos z − .
.
.
dans laquelle l’expres sion 2cos z est répétée n fois ;
*
Journal de Crelle, tome xvi, pag. 95 ; 1887
196
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
On a aussi pour la séri e des V n , la relation
Vnr
= Vr −
Vn −1 r
(29)
Qr
Qr
Vr −
Qr
Vr −
Vr − .
.−
Qr
,
 Vr 
 
 2
dans laquelle la quanti té V r est répétée n fois .
Les nombreuses propr iétiés des déter minant s et des fractions continues
donnent lieu à des propriétés analogues pour les fonctions U n et V n . Ainsi l a
propriété bien connue de deux réduites consécutives, renfer mée dans la for mule (19) donne
U n2 − U n −1U n +1 = Q n −1 ,
(30)
Vn2 − Vn −1Vn +1 = −Q n −1∆ ,
et, plus généralement
U nr2 − U ( n −1) rU ( n +1) r = Q ( n −1) rU r2 ,
(31)
Vnr2 − V( n −1) rV( n +1) r = −Q ( n −1) r ∆U r2 ;
on a, dans la théorie des fonctions circulaires, les for mules analogues
sin 2 x – sin (x – y) sin (x + y) = sin 2 y,
cos 2 x – cos (x – y) cos (x +y) = sin 2 y,
Il est d’ailleurs facile de vérifier i mmédiatement les for mules ( 31), en
remplaçant U, V et Q en fonction de a et b. Ainsi, on a encore
∆U n2+ r = a 2 n + 2 r + b 2 n + 2 r − 2Q n + r ,
∆U n2 = a 2 n
donc, par s oustraction :
[
+ b2n
− 2Q n
] [
∆ U n2+ r − Q rU n2 = a 2 n + r − b 2 n + r
][a
;
r
− br
],
et, par suite
(32)
U n2+ r − Q rU n2 = U rU 2 n + r ;
on aura, par la même voie, la relation
(33)
Vn2+ r − Q rVn2 = ∆U rU 2 n + r ,
La for mule (32) donne plus particulièrement, pour r = 1, la relation
(34)
U n2+1 − QU n2 = U 2 n +1 .
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
197
Cette dernière for mul e a été appliquée par M. G Ü N TH E R , à la rés olution
de l’équation indéter minée
y 2 – Qx 2 = Kz ,
en nombres entiers * ; il est facile de voir qu’un très-grand nombre de formules
de cette section et des suivantes, conduisent à des conséquences analogu es,
mais beaucoup plus générales.
SECTION VI.
Développement des fonctions U n et V n en séries de fractions.
U n +1
V
et n +1 en
Un
Vn
séries dont les termes ont pour dénominateur s le produit de deux ter mes consécutifs des séries U et V. On a, en effet,
Les for mules (30) donnent lieu aux développements de
U
U n +1 U 2  U 3 U 2   U 4 U 3 
U 
 + . . . . +  n +1 − n  ,
 + 
=
+ 
−
−
Un
U1  U 2 U1   U 3 U 2 
U n −1 
 Un
et, en réunissant les fr actions contenues dans chaque parenthèse,
Q n −1
U n +1 U 2
Q
Q2
Q3
(35)
;
=
−
−
−
− . . . . −
Un
U 1 U 1U 2 U 2U 3 U 3U 4
U n −1U n
on a ainsi dans la série de F I B O N A C C I , pour augmentant indéfini ment
1+ 5
1
1
1
1
1
1
= 1+
−
+
−
+
−
+ ....
2
1 . 1 1 . 2 2 . 3 3 . 5 5 . 8 8 . 13
(36)
En sui vant la même voie, on obtient les for mules plus générales
U ( n +1) r
(37)
U nr
=
U 2r  Q r
Q 2r
Q ( n −1) r  2
−
+
+. . . . +
 Ur ,
U r U rU 2 r U 2 rU 3r
U ( n −1) rU nr 
et
Vr  Q r
Q 2r
Q nr 
2
−
+
+. . . . +
 ∆U r .
Vnr
V0 V0Vr VrV2 r
V( n−1) rVnr 
On tire encore des deux relations
U n + r V n – U n V n + r = 2Q n U r ,
(39)
Vn+rVn – UnUn+r = QnVr ,
V( n+1) r
(38)
=
2
*
Journal de Mathématiques pures et appliquées, de M. R ESAL , pag. 331-341 ; Octobre, 1876.
Vol. I – n°. 3.-50.
198
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
que nous démontrerons plus loin, les développements
 1
U n + kr U n
Qr
Q ( k −1) r 
=
+ 2Q nU r 
+
+ .... +
 ,
Vn + kr Vn
Vn + ( k −1) rVn + kr 
VrVn + r Vn + rVn + 2 r
(40)
 1

V n + kr Vn
Qr
Q ( k −1) r
=
− 2Q nU r 
+
+ .... +
.
U n + kr U n
U n + ( k −1) rU n + kr 
U rU n + r U n + rU n + 2 r
Lorsque
k
augment e indéfiniment, les pr emiers membres des égalités
1
précédentes ont respectivement pour li mites
et ∆ ; on tiendra compt e
∆
dans le second membr e, des conditions de conver gence.
On peut ainsi développer la racine carrée d’un nombre entier en séries de
fractions ayant pour numérateur l’unité ; c’était un usage familier aux savants
de la Grèce et de l’Égypte ; ainsi, par exemple, cette valeur approxi mative de
3 1 1
= + + ,
4
3 10
rapportée par C O L U M E L LE au chapitre V de son ouvrage de Rê Rusticâ ; ainsi
encore, cette valeur approxi mati ve de
3
1
1
1
−
+ ,
2 =1+ +
3 3 . 4 12 . 34
donnée par les auteurs indiens B A U D H A Y A N A et A P AS T A M B A * ; cette valeur
approxi mati ve est égale au rapport des ter mes V 8 = 577 et U 8 = 408, de l a
série de P E L L .
4
SECTION VII.
.
Des relations des fonctions U n et V n avec la théorie de la divisibilité.
Si nous posons
= a r et
= b r , et, par suite,
n
par la formule qui donne le quotient de
– n par
vants :
1°.
Lorsque n dési gne un nombre pair :
5
6
5
6
5
6
5
n
= Q r , nous obtenons,
– , les résultats sui6

 −1  r
U nr
= V( n −1) r + Q rV( n − 3) r + Q 2 rV( n − 5) r + . . . . + Q  2  Vr ;
Ur
(41)
2°.
Lorsque n dési gne un nombre impair :
 n −1 
r
2 

U nr
= V( n −1) r + Q rV( n − 3) r + Q 2 rV( n − 5) r + . . . . + Q 
Ur
(42)
*
Vr ;
The Çulvasûtras by G. T HIBAUT , pag. 13-15. Journal of the Asiatic Society of Bengal, 1875.
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
Le quotient de
encore
n
n
–
7
par
8
7
+
8
199
, lorsque n désigne un nombre pair, donne
n
−1
U nr
= U ( n −1) r − Q rU ( n − 3) r + Q 2 rU ( n − 5) r − . . . . + (−Q r ) 2 U r ,
Vr
(43)
et le quotient de
donne enfin
n
9
:
n
par
7
7
+
8
, lorsque
n
désigne un nombre impair,
Vnr
= V( n −1) r − Q rV( n − 3) r + Q 2 rV( n − 5) r − . . . . + (−Q r )
Vr
(44)
n −1
2
.
(3)
Pour n = 2, on retrouve la for mule
U2r = UrVr ,
et, pour n = 3 , on a
U3r = Ur ( V2r + Qr ) ,
(45)
V3r = Vr ( V2r – Qr ) .
Les relations précédentes nous montrent que U m est touj ours divis ible par
U n , lorsque m est divisible par n ; de même V m est touj ours divisible par
V n , lorsque m est i mpair et divisible par n ; par conséquent U m et V m ne
peuvent être des nombres premiers, que si m est premier ; mais la réciproque
de ce théorème n’a pas lieu.
Dans la série de F I B O N AC C I , u 3 est di visible par 2, u 4 est di visible par 3,
u 5 est di visible par 5 ; par conséquent, u 3 n , u 4 n et u 5 n , sont res pectivement
divisibles par 2, 3, et 5. Ainsi encore, bien que 53 soit premier on a
u 5 3 = 953
559 45741.
;
Reprenons les égalités
V n + Un = 2a n ,
(6)
V n – Un = 2b n ;
<
<
nous obtenons , en mul tipliant membre à membre, la relation
Vn2 − ∆U n2 = 4Q n ,
(46)
qui correspond, en tri gonométrie, à la for mul e
cos 2 z + sin 2 z = 1.
mun
=
Cette relation nous montre que si U n et V n admettaient un diviseur com, ce di viseur ser ait un facteur de Q ; mais, d’autre part,
 P +δ   P −δ 
Vn = 
 +
 ,
 2   2 
n
n
et, en suppri mant les multiples de Q, ce qui revient évidemment à remplacer
>
par Q, on a la congr uence.
(47)
Vn ≡ P n ,
(Mod. Q) ;
200
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
donc, tout diviseur
de U n et V n diviserait P et Q ; or nous avons supposé
premiers entre eux. De là résulte cette proposition :
?
T H E O R E M E : Les nombres U n et V n sont premiers entre eux.
Si l’on dési gne par
l’exposant auquel appartient P sui vant le modu le
Q, on sait que la congr uence
@
Pn ≡ 1 ,
(Mod. Q),
est vérifiée pour toutes les valeurs de n égales à un multiple quelconque de ,
étant lui -même un certain diviseur de l’indicateur
(Q) de Q, ou du nombr e
des entiers inférieurs et premiers à Q ; par conséquent, à cause de l’égalité
(47), on résoudra la congruence
@
@
A
Vn ≡ 1 ,
(48)
(Mod. Q),
par toutes les valeurs de n égales à un mult iple quelconque de
@
.
SECTION VIII.
Des formes linéaires et quadratiques des diviseurs de U n et V n , qui correspondent aux
valeurs paires et impaires de l’argument n.
La for mule (46) conduit encore à d’autres conséquences i mportantes sur
la for me des di viseurs de U n et de V n , car on en déduit i mmédiatement les propositi ons suivantes, s uivant que l’on considère n égal à un nombre pair ou à
un nombre i mpair.
T H E O R E M E : Les termes de rang impair de la serie U n sont des diviseurs
de la forme quadratique x 2 – Qy 2 .
En tenant compte des résultats bien connus de la théorie des diviseurs des
for mes quadratiques, on a, en particulier, pour les for mes linéaires corres pondantes des di viseurs premiers i mpairs de U 2 r + 1
dans la série de F I B O N A C C I :
4q + 1;
”
”
FERMAT:
8q + 1, 7 ;
”
”
PELL :
4q + 1.
Ainsi, les ter mes de rang i mpair de la série de F I B O N A C C I ou de la série
de P E L L ne peuvent contenir comme di vis eur aucun nombre premier de la
for me 4q + 3.
T H E O R E M E : Les termes de rang pair de la série V n sont des diviseurs de
la forme quadratique x 2 + y 2 .
B
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
201
En particulier, les for mes linéaires correspondantes des di viseurs premiers i mpairs de V 2 r sont
dans la série de F I B O N A C C I :
”
”
FERMAT :
”
”
PELL :
20q + 1, 3, 7, 9 ;
4q + 1 ;
8q + 1, 3.
T H E O R E M E : Les termes de rang impair de la série V n sont des di viseurs
de la forme quadratique x 2 + Q y 2 .
C
En particulier, les for mes linéaires correspondantes des di viseurs premiers i mpairs de V 2 r + 1 sont
dans la série de F I B O N AC C I :
”
”
FERMAT :
”
”
PELL :
20q + 1, 9, 11, 19 ;
8q + 1, 3 ;
8q + 1, 7.
SECTION IX.
Des formules concernant l’addition des fonctions numériques.
En multipliant membr e à membre les relations
Vm
U m = 2a m V n
U n = 2a n ,
on obtient,
m+ n
Vm Vn
;
mUn
m V n + U n V m ] = 4a
C
C
D
D
C
D
E
si l’on change a en b
soustraction, les for mules
H
(49)
I
J
F
D
C
I
K
G
F
–
C
, on d éduit ensuite par addition et par
2U m + n = U m V n + U n V m ,
2V m + n = V m U n
mU n ,
D
E
F
auxquelles correspondent en trigonométrie les for mules de l’addition des arcs :
sin (x + y) = sin x cos y + sin y cos x ,
cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y .
Si nous changeons n en – n dans les for mules (49), en tenant compte des relations
V
U
(50)
U − n. = − nn ,
V−n = nn ,
Q
Q
nous obtenons
(51)
2Q n U m – n = U m V n – U n V m ,
2Q n V m – n = V m U n –
E
F
mU n
;
en faisant m = n + r, on obtient les for mules (39) données plus haut.
202
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
La comparaison des égalités (49) et (51) nous donne i mmédiatement
Um+n + QnUm–n = UmVn ,
Um+n – QnUm–n = UnVm ;
posons maintenant
m + n = r,
m – n = s ,
il vient
Ur + Q
r −s
2 U
Ur −Q
r−s
2 U
s
= U r + sV r −s ,
2
(52)
s
2
= U r − sV r − s ;
2
2
ces relations sont enti èrement semblables à celles qui per mettent de transfor mer la somme ou la différence de deux li gnes trigonométriques, en un produ it.
On a, de même
Vr + Q
r −s
2 V
s
= Vr + sVr − s ,
2
(53)
r −s
Vr − Q 2 Vs
2
= ∆U r + sU r − s .
2
2
On aura encore, comme pour la somme des s inus ou des cosinus d’arcs en
progression arithmétique
m
Um + Q
−r
2U
m+r
+Q
− 2r
2 U
m + 2r
− nr
2 U
+ ... +Q
U n +1 Q 4
m + nr
= U 2 m + nr
2
2
r
U rQ
,
nr
2
2
(54)
Vm + Q
−r
2 V
m+r
+Q
− 2r
2 V
m + 2r
+ ...+Q
− nr
2 V
U n +1 Q
m + nr
= V 2 m + nr
2
2
r
U rQ
m
4
;
nr
2
2
et, par suite
−r
(55)
U m + Q 2 U m+ r + Q
−r
2
Vm + Q Vm + r + Q
−2 r
2 U
−2r
2
m + 2r
+ ... +Q
Vm + 2 r + . . . + Q
− nr
2 U
− nr
2
U
m + nr
=
n
m+ r
2
V
.
n
m+ r
2
Vm + nr
On trouve des for mules beaucoup plus si mpl es en partant des relati ons
Un+2r = VrUn+r – QrUn ,
(13)
Vn+2r = VrVn+r – QrVn ;
si l’on remplace successivement n par 0, r, 2r, ... ( n – 1) r, et si l’on aj oute,
on ob tient
U r + U 2 r + . . . . + U nr =
(56)
V r + V 2 r + . . . . + V nr =
U r + Q n U nr − U ( n +1) r
1 + Q r − Vr
V r + Q nV nr − V ( n + 1) r
1 + Q r − Vr
.
,
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
203
Ces for mules se présentent sous une for me indéterminée lorsque le dénominateur s’annule, c’est -à-dire pour
1 + arbr – ar – br = 0 ,
ou bien
(1 – a r ) (1 – b r ) = 0 ;
c’est -à-dire pour les valeurs de a ou de b égales à l’unité ; dans ce cas, on
emploie le procédé de sommation de la progression géomet rique. On a
d’ailleurs, dans la série de F I B O N A C C I , pour r = 1 et r = 2 ,
u 1 + u 2 +u 3 + . . . . +u n = u n + 2 – 1 ,
u 2 + u 4 +u 6 + . . . . +u 2 n = u 2 n + 1 – 1 ,
v 1 + v 2 +v 3 + . . . . +v n = v n + 2 – 3 ,
v 2 + v 4 +v 6 + . . . . +v 2 n = v 2 n + 1 – 1 ,
On trouvera encore pl us généralement,
(57)
U m + r + U m + 2 r + U m + 3r + . . + U m + nr =
U m + r + Q rU m + nr − U m + ( n +1) r − Q rU m
1 + Q r − Vr
,
et un résultat analogue en changeant U en V.
La for mule d’addition peut s’écrire encore
2
U m+n U m
=
Vn + Vm ;
Un
Un
on a, par conséquent
(58)
2
U m + nU m + n −1 . . . . U m +1 U m + n −1U m + n − 2 . . . . U m
Vn
=
U n U n −1 . . . . . . . U1
U n U n −1 . . . . . . . U1
+
U m + n −1U m + n − 2 . . . . U m +1
Vm .
U n −1 U n − 2 . . . . . . . U1
On en déduit i mmédiat ement cette proposition :
T H E O R E M E : Le produit de n termes consécutifs de la série U n es t divisible par le produit des n premiers ter mes.
Nous ter mi nerons ce paragraphe par la démonstration de for mul es d’une
extrême i mportance ; car elles nous ser viront ultérieurement comme base de la
théorie des fonctions numériques doublement périodiques , déduites de la
considération des fonctions symétriques des racines des équations du troisième
et du quatrième degré à coefficients commensurables. Les for mul es (30) nous
donnent
U m −1U m +1 = U m2 − m −1Q ,
U n −1U n +1 = U n2 − n −1Q ;
204
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
on en déduit
[
]
U n2U m −1U m +1 − U m2U n −1U n +1 = Q n −1 U m2 − Q m − nU n2 ,
et, par les for mules (32)
U n2U m −1U m +1 − U m2U n −1U n +1 = Q n −1U m − nU m + n ;
(A)
on a, de même
Vn2V m −1Vm +1 − V m2Vn −1Vn +1 = − ∆ Q n −1Vm − nVm + n .
(A’)
En particulier, pour m = n + 1, et pour m = n + 2, on a
U n3U n + 2 − U n3+1U n −1 = Q n −1U 2 n +1 ,
(B)
U n2U n +1U n + 3 − U n2+ 2U n −1U n +1 = Q n −1U 2.U 2 n + 2 ,
Et des for mules analogues pour les V n .
Les for mules (A) et ( B) appartiennent à la théorie des fonctions elliptiques, et, plus spécialement, aux fonctions que J AC O B I a dési gnées par les symboles
et .
L
M
SECTION X.
De la somme des carrés des fonctions numériques U n et V n .
Si dans la relation sui vante
∆U r + 2 xρ U s + 2 xσ = Vr + s + 2 x ( ρ +σ ) − Q s + 2 xσ Vr − s + 2 x ( ρ −σ ) ,
(59)
nous supposons s uccessivement x égal à 0, 1, 2, 3, . n, et si nous aj outons
membre à membre les égalités obtenues , apr ès avoir di visé respect ivement par
1, Q
+
N
O
, Q2(
+ )
O
N
, . . . . Qn(
+ )
O
N
, . .
nous obtenons la for mule
x=n
U r + 2 nρ U s + ( 2 n +1)σ − Q σ − ρ U r + ( 2 n +1) ρ U s + 2 nσ
x=0
∆Q n ( ρ +σ )U σ − ρ U σ + ρ
(60) ∑ U r + 2 xρ U s + 2 xσ =
en particulier, pour 2
(61) U r U s +
U 2rU 2s
Q
r +s
2
+
P
= r et 2
U 3r U 3 s
Q
r+s
Q
+ ... +
+
U r U s − 2σ − Q σ − ρ U r − 2 ρ U s
∆U σ − ρ U σ + ρ
= s ,
U ( n +1) r U ( n +1) s
Q
n
(r +s)
2
=
U ( n +1) r U 2 ( n +1) s − Q
∆Q
n
(r +s)
2
s −r
2
U ( n +1) sU 2 ( n +1) r
U s −r U s + r
2
2
,
,
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
205
et, plus particuliérement encore
(62)
U (2n +1) r 1  U ( 2 n + 3) r

U r2 U 22r U 32r
.
.
.
+
+
+
+
= 
− 2n − 3 ,
2r
3r
( n +1) r
( n +1) r
r
∆ U r Q
Q
Q
Q
Q

U (22 n +1) r 1  U 4 ( n +1) r

U r2 U 32r U 52r
+ 3r + 5 r + . . . + ( 2 n +1) r = 
− 2 n − 2 .
( 2 n +1) r
r
∆ U 2 r Q
Q
Q
Q
Q

Par un procédé analogue, on trouvera aussi l es valeurs de
x=n V
x=n U
r + 2 xρ V s + 2 xσ
r + 2 xρ V s + 2 xσ
et
de
∑ Q x ( ρ +σ )
∑ Q x ( ρ +σ )
x =0
x=0
En particulier
(63)
U ( 2 n +1) r
Vr2 V22r V32r
Vnr2
.
.
.
,
+
+
+
+
= 2n − 1 +
2r
3r
r
nr
Q
Q
Q
Q
U r Q nr
V(22 n +1) r
U 4( n +1) r
Vr2 V32r V52r
.
.
.
.
+
+
+
+
= 2n + 2 +
3r
5r
( 2 n +1) r
r
Q
Q
Q
Q
U r Q ( 2 n +1) r
On a aussi , dans le cas général,
x=n
V2 m + 2( n +1) r − V2 m − Q 2 r [V2 m + 2 nr − V 2 m − 2 r ]
x=0
∆(V2 r − Q 2 r − 1)
∑ U m2 + xr =
(64)
x=n
∑
x=0
V m2+ xr
=
V 2 m + 2( n +1) r − V2 m − Q 2 r [V2 m + 2 nr − V2 m − 2 r ]
V2 r − Q2 r − 1
− 2Q m
Q ( n +1) r − 1
∆(Q r − 1)
Q ( n +1) r − 1
+ 2Q
Qr −1
m
On a, par exemple, dans la série de F I B O N A C C I
ur2 − u22r + u32r − . . . − (−1) nr unr2 =
(65)
1
nr u( 2 n +1) r 
2n + 1 − (−1)
 ,
5
ur 

1  u 4( n +1) r
ur2 + u32r + u52r − . . . + u(22 n +1) r = 
− (−1) nr (2n + 2) ,
5  u2 r

u ( 2 n +1) r
,
v r2 − v 22r + v32r − . . . − (−1) nr v nr2 = 2n − 1 − (−1) nr
ur
u 4 ( n +1) r
− (−1) nr (2n − 2) ;
v r2 + v 32r + v52r − . . . + v (22 n +1) r =
u 2r
la for mule plus si mple
(66)
u12 + u 22 + u32 + . . . + un2 = un un + 1 ,
donne ainsi, pour le côté du décagone réguli er étoilé, cette expression
(67)
1+ 5
1
1
1
1
1
=1+ 2 − 2 2 + 2 2
− 2 2
+ 2 2
− ....
2
2
2
2
1 1 + 1 1 + 1 + 2 1 + 1 + 2 + 3 1 + 1 + 2 2 + 32 + 5 2
206
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
On a encore, dans cette série
u1u2 + u2u3 + u3u4 + . . . + u 2 n −1u2 n = u22n ,
(68)
u1u 2 + u 2u3 + u3u 4 + . . . + u 2 n u2 n+1 = u 22n+1 − 1 .
SECTION XI.
Des relations des fonctions U n et V n avec la théorie du plus grand commun diviseur .
Nous avons trouvé la f or mule
2 Um+n = UmVn + UnVm .
par conséquent, si un nombre i mpair quelconque
divise U m + n et U m , il
divise U n V m ; mais nous avons démontré (§ 17) que U m et V m sont premiers
entre eux ; donc
,di vise U n . Inversement, tout nombre i mpair qui di vise U n
et U m di vise U m + n ; donc, en ne tenant pas compte du facteur 2, on a cette
proposition fondament ale :
R
R
THEOREME:
Le plus grand commun diviseur de U m et de U n est égal à
U D , en désignant par D le plus gr and commun diviseur de m et de n.
En particulier, les termes U m et U n sont premiers entre eux lorsque m
et n sont premiers entre eux, car U 1 est égal à l’unité. On déduit d’ailleurs
du théorème fondamental un grand nombre de propositions entièrement semblables à celles que l’on obtient dans la théorie du plus grand commun di viseur
et du plus petit multiple commun d e plusieur s nombres donnés .
Il résulte encore de ce qui précède que, dans la recherche du pl us grand
commun di viseur de deux ter mes U m et U n , les restes successifs forment
aussi des ter mes de la série ; en particulier, les restes successifs de deux ter mes consécutifs donnent, dans le cas de Q négatif, tous les ter mes de la série
décroissante, à partir du plus petit d’entre eux. L AM E * a observé que, dans la
recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres quelconques, le
nombre des restes est au plus égal au nombre des ter mes de la série de F I B O N AC C I , inférieurs au plus petit des deux nombres donnés, et il en a déduit ce
théorème :
Le nombre des divisions à effectuer dans la recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres donnés est au plus égal, dans le système ordinaire de numération, à cinq fois le nombre des chiffres du plus petit des deux nombres donnés.
*
Comptes rendus de l’Académie des Sciences de Paris, t. xix, pag. 868. Paris, 1844.
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
207
On trouverait une li mi te plus rapprochée, en calculant par logarithmes l e
rang du ter me de la s érie de F I B O N A C C I i mmédiatement inférieur au plus petit
des nombres donnés. On voit aisément qu’il suffirait, en dési gnant ce plus petit
nombre par A , de prendre le plus petit entier contenu dans la fraction
log A + log 5 log A + 0.349 .
=
0.209
1+ 5
log
2
Mais il est préférable de s’en tenir à la limite donnée par l’élégant théorème que nous venons de rappeler.
SECTION XII.
De la multiplication des fonctions numériques.
On peut expri mer les valeurs de U n et V n qui correspondent à toutes les
valeurs entières et positives de n , en fonction des valeurs initiales ; en effet,
on a successi vement, pour U, par exemple,
U 2 = PU 1 – QU 0 ,
U 3 = (P 2 – Q) U 1 – QPU 0 ,
(69)
U 4 = (P 3 – 2PQ)U 1 – Q(P 2 – Q) U 0 ,
U 5 = (P 4 – 3P 2 Q + Q 2 ) U 1 – Q(P 3 – 2PQ)U 0 ,
.
.
.
.
.
.
On obser vera d’abord que si
en général,
S
.
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
dési gne le coefficient de U n dans U n + 1 on a
Un+1 =
S
nU1
– Q
S
n–1U0
Le coefficient
n – 1 est une fonction homogène et de degré n , de P et
de Q , en y considérant P au premier degré et Q au second. Si l’on forme le
tableau des coefficients de
n , on retrouve aisément le triangle arithmétique,
mais dans une disposit ion spéciale. On a d’ai lleurs, ainsi qu’on peut le vérifier
a posterori
S
S
φn = P n −
(70)
n − 1 n−2
(n − 2)(n − 3) n − 4 2
P Q+
P Q
1
1. 2
−
et, en même temps
(n − 3)(n − 4)(n − 5) n − 6 3
P Q +.... ,
1. 2 . 3
208
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
Un+1 =
(71)
Vn+1 =
avec les conditions ini tiales
U0 = 0 ,
T
T
nU1
nV1
– Q
– Q
U1 = 1 ,
T
T
n–1U0
n–1V0
,
,
V0 = 2 ,
V1 = P ;
par conséquent, on a encore
= Un+1 .
On a, en particulier, dans la série de F I B O N A C C I , pour P = 1 et Q = –1 ,
T
(72)
n
1 + Cn–1,1 + Cn–2,2 + Cn–3,3 + . . . = un ,
et, pour P = 1, Q = 1,
(73)
2
nπ
sin
3
3
1 – Cn–1,1 + Cn–2,2 – Cn–3,3 + . . . =
Les for mules précédentes se généralisent ais ément par la considération de
l’équation (8). En effet, si l’on pose
ψ n = Vrn −
(74)
n − 1 n − 2 r (n − 2)(n − 3) n − 4 2 r
Vr Q +
Vr Q
1
1. 2
(n − 3)(n − 4)(n − 5) n − 6 3r
Vr Q + . . . .
−
1. 2 . 3
on obtient, comme ci -dessus,
Um+2nr =
Vm+2nr =
(75)
U
U
n–1Um+r
n–1Vm+r
– Qr
– Qr
U
n–2Um
U
n–2Vm
,
,
et, pour m = 0, on a encore la relation
ψ n−1 =
(76)
U 2 nr
,
Ur
qui per met de calculer inversement la fonction
U
à l’aide des val eurs de U.
D’ailleurs, cette relation, dans laquelle n désigne un nombre entier, a lieu
quelle que soit la valeur de r ; on a ainsi, pour r = 0, la for mule
n = 2n–1 – Cn–2,12n–3 + Cn–3,22n–5 – Cn–4,32n–7 + . . . .
(77)
Nous ferons obser ver que les résultats précédents correspondent aux dévelopsin nz
pements bien connu s de
et de cosnz suivant les puissances de cosz, obsin z
tenus pour la première fois par V I E TE . *
*
O PERA, Leyde, 1646, pag. 295-299.
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
209
SECTION XIII.
De la loi de la répétition des nombres premiers dans les séries récurentes
simplement périodiques.
Nous expri merons encore les fonctions U n p et U n p , en fonctions entières
de U n et de V n , par des formules analogues à celles qui ont été données par
M O I V R E et par L A G R A N GE . *
En effet, si l’on désigne par Cmn le nombre des combinaisons de m obj ets
pris n à n, on a la relat ion sui vante :
p
p
αβ (α + β ) p −2 + C 1p −3α 2 β 2 (α + β ) p −4 + . . . .
1
2
p
+ (−1) r C pr −−1r −1α r β r (α + β ) p −2 r + . . . . ,
r
α p + β p = (α + β ) p −
(78)
que l’on peut vérifier à posteriori, et dans laquelle tous les coefficients sont
entiers, puisque l’on a
p r −1
C p − r −1 = C pr − r −1 + C pr −−1r −1 .
r
Posons, dans l’hypothèse de p impair,
= a n et
V
W
= – bn,
nous obtenons
p n p −3 p − 2 p 1
Q δ U n + C p −3 Q 2 n δ p −5U np − 4 + . . . .
1
2
p
+ C pr −−1r −1Q nr δ p − 2 r −1U np − 2 r + . . . . .
r
La for mule précédent e conduit à la loi de la répétition des nombres
pre² miers dans les sér ies récurrentes que nous considérons ici. Dans la série
naturelle des nombres entiers, un nombre premier p apparait pour la première
fois, à son rang, et à l a première puissance ; il arrive à la seconde puissance au
rang p 2 , à la troisième au rang p 3 , et ainsi de suite ; de plus, tous les ter mes
divisibles par p
occupent un rang égal à un multiple quelconque de p .
Mais dans les séries r écurrentes si mplement périodiques, il n’en est pas complètement ainsi.
Nous démontrons plus loin que les ter mes de celles -ci
contiennent, à des rangs déter minés, tous les nombres premiers ; mais si ces
nombres premiers p n’apparaissent pas, pour la première fois, dans la série au
rang p , cependant ils s’y reproduisent à intervalles égaux à p , comme dans
U np = δ
(79)
X
*
p −1
U np +
X
Commentarii Acad. Petrop., t. XIII, ad annum MDCCXLI-XLIII, pag. 29. Leçons sur le calcul
des fonctions, pag. 119.
210
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
la série ordinaire, et l’apparition de leurs puissances successives se fait comme
dans la série naturelle. Ainsi, en général, dans l’étude arithmétique des séries,
deux lois sont à consi dérer : la loi de l’apparition des nombres premiers, et la
loi de la répétition.
Nous démontrerons, pour l’instant, que la l oi de la répétition est identi quement la même dans la série naturelle, et dans les séries des U n . En effet, si
p désigne un nombre premier, et U n le premier ter me de la série divisible par
p , on obser vera que l e dernier ter me de la f or mule précédente est divisible par
p + 1 , et non par une puissance supérieure de p ; on a donc la proposition fondamentale sui vante :
Y
Y
T H E O R E M E : Si dési gne le plus gr and exposant d’un nombre pr emier p
contenu dans U n , l’exposant de la plus haut e puissance de p , qui divise U n ,
est égal à +1.
Z
Z
Ainsi, par exemple, dans la série de F I B O N A C C I , u 8 est di visible par 7 ;
donc u 5 6 est divisibl e par 7 2 et non par 7 3 ; dans la série de P E L L , u 7 et
u 3 0 , sont respecti vement divisibles par 13 2 et par 31 2 ; donc U 9 1 et U 9 3 0
sont di visibles par 13 3 et par 31 3 , et non par des puissances supérieures.
Inversement, si a p ±b p est di visible par p , a±b est di visible par p - 1 ;
ce résultat donne des conséquences i mportantes dans la théorie de l’équation
indéterminée
Y
Y
xp + yp + zp = 0 ,
dont l’irrésolubilité, non démontrée j usqu’à présent, constitue la dernière proposition de F E R M A T .
SECTION XIV.
Nouvelles formes linéaires et quadratiques des diviseurs de U n et de V n .
La for mule (79) donne, successi vement, pour p égal à 3, 5, 7, 9, . . . les
for mules sui vantes
U 3n = ∆U n3 + 3Q nU n ,
U 5 n = ∆2U n5 + 5Q n ∆U 3n
(80)
+ 5Q 2 nU n ,
U 7 n = ∆3U n7 + 7Q n ∆2U 5n + 14Q 2 n ∆U 3n + 7Q nU n ,
U 9 n = ∆4U n9 + 9Q n ∆3U 7n + 27Q 2 n ∆2U 5n + 30Q 3n ∆U 3n + 9Q 4 nU n ,
U11n = ∆5U n11 + 11Q n ∆4U 9n + 44Q 2 n ∆3U 7n + 77Q 3n ∆2U 5n + 55Q 4 n ∆U 3n + 11Q 5 nU n ,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
211
On a ainsi
U 3n
= ∆U n2 + 3Q n ,
Un
(81)
et, par suite, la propos ition suivante :
T H E O R E M E : Les diviseurs de
tique
[
U 3n
sont des diviseurs de la forme quadraUn
x 2 + 3Q n y 2 .
En particulier, les for mes linéaires des di vis eurs premiers i mpairs de
pour la série de F I B O N A C C I :
“
“
FERMAT :
“
“
PELL :
U 6n
sont
U 2n
30q + 1, 17, 19, 23 ;
6q + 1 ;
24q + 1, 5, 7, 11 ;
et les for mes linéaires des di viseurs premi ers i mpairs de
U 3( 2 n + 1)
sont
U 2 n +1
pour la série de F I B O N A C C I : 60q + 1, 7, 11, 17, 43, 49, 53, 59 ;
“
“
FERMAT :
24q + 1, 5, 7, 11 ;
“
“
PELL :
24q + 1, 5, 19, 23.
On a aussi
(82)
4
U 5n
= (2∆U n2 + 5Q n ) 2 − 5Q 2 n ,
Un
et, par suite :
T H E O R E M E : Les diviseurs de
U 5n
sont des diviseurs de la forme quadraUn
tique x 2 – 5y 2 .
Les for mes linéaires des diviseurs premiers impairs sont, dans l es trois
séries prises pour exemples,
20q + 1, 9, 11, 19.
Nous avons aussi
(83)
4
[
]
U 7n
= ∆ 2∆U n3 + 7Q nU n 2 + 7Q 2 nVn2 ,
Un
et, par suite :
T H E O R E M E : Les divis eurs de
que
[
U 7n
sont des diviseurs de la forme quadr atiUn
x 2 +7y 2 .
Supposons maintenant que p désigne un nombre pair, et faisons encore,
dans la for mule ( 78),
\
= an,
]
= – bn ,
212
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
nous obtenons
p n p −2 p −2 p 1
Q δ U n + C p −3 Q 2 n δ p − 4U p − 4 + . . . .
1
2
p
+ C pr −−1r −1Q nr δ p − 2 r U np − 2 r + . . . .
r
On a, en particulier, pour p = 2, la for mule
Vnp = δ pU np +
(84)
V2 n = ∆U n2 + 2Q n ,
(85)
et, par conséquent, la proposition sui vante :
que
^
Théorème : Les diviseurs de V 2 n sont des di viseurs de la forme quadratix 2 + 2Q n y 2 .
Les for mes linéaires correspondantes des di viseurs premiers i mpairs sont,
pou r n pair
dans la série de F I B O N A C C I : 40q + 1, 7, 9, 11, 13, 19, 23, 37 ;
“
“
FERMAT :
8q + 1, 3 ;
“
“
PELL :
4q + 1 ;
et, pour n impair
dans la série de F I B O N A C C I : 40q + 1, 3, 9, 13, 27, 31, 37, 39 ;
“
“
FERMAT :
4q + 1 ;
“
“
PELL :
4q + 1 ;
On devra, dans les applications, combiner ces résultats avec ceux que nous
avons donnés dans la Section V III.
Faisons enfin dans la f or mule (79),
= an,
= bn ,
_
`
nous obtenons, en supposant indifféremment que p est égal à un nombre pair
ou à un nombre impair :
(86)
Vnp = Vnp −
p n p−2 p 1
p
Q Vn + C p − 3Q 2 nVnp − 4 − . . . + (−1) r C pr −−1r −1Q nrVnp − 2 r + . . .
1
2
r
On a ainsi, en faisant successivement p égal à 2, 3, 4, 5, 6, . . . les résultats
suivants
V2 n = Vn2 − 2Q n ,
V3n = Vn3 − 3Q nVn ,
(87)
V4 n = Vn4 − 4Q nVn2 + 2Q 2 n ,
V5 n = Vn5 − 5Q nVn3 + 5Q 2 nVn ,
V6 n = Vn6 − 6Q nVn4 + 9Q 2 nVn2 − 2Q 3n ,
. . . . . . . . . . . .
.
.
qui conduisent encore à des for mules entièrement semblables aux précédentes.
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
213
SECTION XV.
Des relations des.fonctions U n et V n avec les radicaux continus.
On tire de l’équation
x 2 = Px – Q ,
x = − Q + Px ,
la for mule
et, successi vement
x = − Q + P − Q + Px ,
x = − Q + P − Q + P − Q + Px ,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
;
par conséquent, puisque l’on peut supposer P positif, on a, pour Q négatif,
(88)
a = Lim. − Q + P − Q + P − Q + . . . . ,
a dési gnant la racine positive de l’équation proposée. Ainsi, dans la série de
FIBONACCI
1+ 5
= Lim. 1 + 1 + 1 + 1 + . . . . ,
2
dans, la série de P E L L ,
1 + 2 = Lim. 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 + . . . . ,
et, dans la série de F E R M A T ,
2 = Lim. 2 + 2 + 2 + 2 + . . . . .
On sait que ce dernier radical se présente dans le calcul de
, par la méthode
des péri mètres, i maginée par A R C H I M E D E .
Mais les résultats obtenus dans la section précédente, conduisent à des
for mules plus i mportantes, qui trouveront l eur emploi dans la recherche des
grands nombres premi ers. On tire, par exemple, de la première des for mules
(87)
a
Vn = 2Q n + V2 n ;
et, de même, en changeant n en 2n, 4n, 8n, ...
V2 n = 2Q 2 n + V4 n ,
V4 n = 2Q 4 n + V8 n ,
V8 n = 2Q 8 n + V16 n ;
214
L U C A S , Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques .
et, par suite,
Vn = 2Q n + V2 n ,
V n = 2Q n +
(89)
2Q 2 n + V 4 n ,
Vn = 2Q n + 2Q 2 n + 2Q 4 n + V8 n ,
Vn = 2Q n + 2Q 2 n + 2Q 4 n + 2Q 8 n + V16 n ,
. . . . . . . . . . . . . . ,
et ainsi indéfiniment. Ces for mules sont analogues à celles que l’on obtient
π
π
π
π
π
pour cos , cos , cos , cos , . . . cos r .
4
8
16
32
2
La seconde des relations (87) donne de la même façon
(90)
V3 n ,
Vn
Vn =
3Q n +
Vn =
2Q n +
3Q 2 n +
Vn =
2Q n +
2Q 2n +
V6 n ,
V2 n
3Q 4 n +
V12 n
V4n
,
ces formules sont semblables à celles que l’on obtient pour cos
π
π
, cos ,
6
12
π
π
, . . . cos r .
24
3.2
La troisième des relations (87) conduit encore à des formules qui corres π
π
π
π
pondent à celles qui donnent cos , cos
, cos
, . . . cos r ; et ainsi de
10
20
40
5.2
quelques autres.
cos
SECTION XVI.
Dévelopements des puissances de U n et de V n en fonctions linéaires des termes dont les
arguments sont des multiples de n.
On peut expri mer les puissances de Un et de Vn en fonctions linéaires des
termes dont les rangs sont des multiples de n, p ar des for mules analogues à
celles qui donnent les puissances de sin z et de cos z, développées suivant les
sinus,et les cosinus des multiples de l’arc z. En désignant d’abord par p un
nombre i mpair, le développement de ( – ) p , donne
p
p( p − 1) 2 2 p − 4
α β (α
− β p−4 ) − . . .
(α − β ) p = (α p − β p ) − αβ (α p − 2 − β p − 2 ) +
1
1. 2
b
c
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques. 215
et, par suite, en faisant
d
= an,
e
= bn,
on obtient la for mule
(91)
∆
p −1
2 U p
n
= U pn −
p n
p ( p − 1) 2 n
Q U ( p −2)n +
Q U ( p −4) n
1
1. 2
p+3
p −1
p( p − 1) . . .
p( p − 1)( p − 2) p 3n
2 Q 2U .
Q U ( p − 6)n + . . . + . . . ±
−
n
p −1
1. 2 . 3
1. 2 ....
2
On a succes sivement, pour p égal à 3, 5, 7, 9, ...
∆U n3 = U 3n − 3Q nU n ,
∆2U n5 = U 5 n − 5Q nU 3n + 10Q 2 nU n ,
(92)
∆3U n7 = U 7 n − 7Q nU 5 n + 21Q 2 nU 3n − 35Q 4 nU n ,
∆4U n9 = U 9 n − 9Q nU 7 n + 36Q 2 nU 5 n − 84Q 4 nU 3n + 126Q 6 nU n ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le développement de ( – ) p donne encore, en supposant maintenant que p
désigne un nombre pai r :
p
p
p ( p − 1) 2 n
2
(93)
Q V( p − 4 ) n
∆ U np = V pn − Q nV( p − 2) n +
1
1. 2
p
p ( p − 1) . . . + 1 p n
p( p − 1)( p − 2) p 3n
2
Q V( p − 6 ) n + . . . + . . . ±
Q2 ,
−
p
1. 2 . 3
1. 2 ....
2
et, pour p successi vement égal à 2, 4, 6, 8, . . .
d
e
∆U n2 = V2 n − 2Q n ,
∆2U n4 = V4 n − 4Q nV2 n + 6Q 2 n ,
(94)
∆3U n6 = V6 n − 6Q nV4 n + 15Q 2 nV2 n − 20Q 3n ,
∆4U n8 = V8 n − 8Q nV6 n + 28Q 2 nV4 n − 56Q 3nV2 n + 70Q 4 n ,
. . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
d
p
Le développement de ( – ) donne, dans l ’hypothèse de p égal à un nombre
impair,
p
p ( p − 1) 2 n
(95)
Vnp = Vnp + Q nV( p − 2) n +
Q V( p − 4 ) n
1
1. 2
p+3
p −1
p ( p − 1) . . .
p ( p − 1)( p − 2) 3n
2 Q 2 nV ,
Q V( p − 6 ) n + . . . + . . . +
+
n
p −1
1. 2 . 3
1. 2 ...
2
e
et, plus particulièrement
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
216
Vn3 = V3n + 3Q nVn ,
Vn5 = V5 n + 5Q nV3n + 10Q 2 nVn ,
(96)
Vn7 = V7 n + 7Q nV5 n + 21Q 2 nV3n + 35Q 3nVn ,
Vn9 = V9 n + 9Q nV7 n + 36Q 2 nV5 n + 84Q 3nV3n + 126Q 4 nVn ,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
De même, lorsque p désigne un nombre pai r,
(97)
Vnp = Vnp +
p n
p ( p − 1) 2 n
Q V( p − 2) n +
Q V( p − 4 ) n
1
1. 2
p ( p − 1)( p − 2) 3n
Q V( p −6 ) n + . . . + . . . +
+
1. 2 . 3
p

p ( p − 1) . . .  + 1 p
2

Q2n ,
 p
1. 2 ... 
2
on a, plus particulièrement,
Vn2 = V2 n + 2Q n ,
Vn4 = V4 n + 4Q nV2 n + 6Q 2 n ,
(98)
Vn6 = V6 n + 6Q nV4 n + 15Q 2 nV2 n + 20Q 3n ,
Vn8 = V8 n + 8Q nV6 n + 28Q 2 nV4 n + 56Q 3nV2 n + 70Q 4 n ,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Les relations (91), (93), (95) et (97) sont elles mêmes des cas particuliers des for mules sui vantes :
VrnU ( m − n ) r = U mr +
n(n − 1) 2 r
n(n − 1)(n − 2) 3r
n r
Q U (m − 2 )r +
Q U ( m −4) r +
Q U ( m − 6) r + . . . ,
1
1. 2
1. 2 .3
n
n(n − 1) 2 r
n(n − 1)(n − 2) 3r
VrnV( m − n ) r = Vmr + Q rV(m − 2 )r +
Q V( m − 4 ) r +
Q V( m − 6 ) r + . . . ,
1
1. 2
1. 2 . 3
∆nU r2 nU ( m − 2 n ) r = U mr −
(99)
∆nU r2 nV( m − 2 n ) r = Vmr −
2n r
2n(n − 1) 2 r
Q U (m − 2 )r +
Q U ( m − 4) r − . . . ,
1
1. 2
2n r
2n(2n − 1) 2 r
Q V(m − 2 )r +
Q V( m − 4 ) r − . . . ,
1
1. 2
∆nU r2 n +1U ( m − 2 n −1) r = U mr −
∆nU r2 n +1V( m − 2 n −1) r = Vmr −
2n + 1 r
(2n + 1) . 2n 2 r
Q U (m − 2 r ) +
Q U ( m − 4) r − . . . ,
1
1. 2
2n + 1 r
(2n + 1) . 2n 2 r
Q V(m − 2 r ) +
Q V( m − 4) r − . . . .
1
1. 2
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
217
Ces relations trouvent principalement leur emploi dans la sommation
des puissances sembl ables des fonctions U n et V n . Le développement de la
puissance d’un binôme donne encore lieu à un certain nombre d’aut res. Ainsi,
on a, par exemple
α =α + β − β
et
β = β +α −α ;
donc, pour p égal à un nombre impair
α p + β p = (α + β ) p −
p
p ( p − 1) 2
p
β (α + β ) p −1 +
β (α + β ) p − 2 + . . . + β p −1 (α + β ) ,
1
1. 2
1
p
p ( p − 1) 2
p
α (α + β ) p −1 +
α (α + β ) p − 2 + . . . + α p −1 (α + β ) ,
1
1. 2
1
on a ainsi, en aj outant et en retranchant, après avoir posé
= an,
= b n , les
for mules sui vantes :
p
p( p − 1)
p
2V np = V0V np − V nV np −1 +
V 2 nV np − 2 + . . . + V( p −1) n Vn ,
1
1. 2
2
(100)
p
p( p − 1)
p
0 = U nVnp −1 −
U 2 nVnp − 2 + . . . − U ( p −1) nVn .
1
1. 2
1
On trouvera des dével oppements analogues pour p égal à un nombre pair, et
d’autres encore à l’aide des identités
α = α − β + β et β = β − α + α ;
La for mule s ui vante, que l’on peut déduire du Problème des partis
α p + β p = (α + β ) p −
f
g


p
p ( p + 1)
(α + β ) p + q −1 = α p (α + β ) q −1 + (α + β ) q − 2 β +
(α + β ) q −3 β 2 + . . . + C pq +−1q − 2 β q −1 
1
1. 2




q
q (q + 1)
(α + β ) q −3 α 2 + . . . + C pp+−1q − 2α q −1  ,
+ β q (α + β ) p −1 + (α + β ) p − 2 α +
1
1. 2


donne en changeant
en
puis par addition et par soustraction,
f
g
2V np + q −1 = V pnVnq −1 +
(101)
p n
p ( p + 1) 2 n
Q V( p −1) nVnq − 2 +
Q V( p − 2 ) nVnq − 3
1
1. 2
q
+ . . . + C qp +−1q − 2Q ( q −1) nV( p − q +1) n + VqnVnp −1 + Q nV( q −1) nV np − 2
1
q (q + 1) 2 n
+
Q V( q − 2 ) nVnp − 3 + . . . + C pp+−1q − 2Q ( p −1)V ( q − p +1) n ,
1. 2
p
p( p + 1) 2 n
0 = U pnVnq −1 + Q nU ( p −1) nVnq − 2 +
Q U ( p − 2 ) nVnq − 3
1
1. 2
q
+ . . . + C qp +−1q − 2Q ( q −1) nU ( p − q +1) n − U qnVnp −1 − Q nU ( q −1) nV np − 2
1
q (q + 1) 2 n
−
Q U ( q − 2 ) nVnp − 3 − . . . − C pp+−1q − 2Q ( p −1)U ( q − p +1) n .
1. 2
On obtiendrait deux autres formules semblables aux précédentes, en po-
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
sant
h
= an,
i
218
= b n ; on si mplifie ces for mules, en faisant p = q.
SECTION XVII.
Autres formules concernant le développement des fontions numériques U n et V n .
Considérons les fonctions
z+
α =


et
h
i
n
z 2 − 4 h 
,

2

de z,
n
z−
β =


z 2 − 4 h 
;

2

dα
n
,
=
2
αdz
z − 4h
et, en faisant disparaitre le radical
dα 2
z 2 − 4h
− n 2α 2 = 0 .
2
dz
Une nouvelle différentiation nous donne
d 2α
dα
+z
− n 2α 2 = 0 .
z 2 − 4h
2
dz
dz
on tire, en différentiant
(
(
)
)
il est d’ailleurs facile de voir que les fonctions , + et
– vérifient la
même équation différentielle. On a donc, en désignant par f(z) l’une quel conque d’entre elles, par l’application du théorème de L E I B N I Z
i
h
i
h
i
p
d p +2 f (z)
d p +1 f ( z )
2
2 d f (z)
(
2
p
1
)
z
(
p
n
)
+
+
+
−
=0 ,
dz p + 2
dz p +1
dz p
p
d p + 2 f ( 0)
2
2 d f (0)
et, pour z = 0,
.
=
−
4h
(
p
n
)
dz p + 2
dz p
Si l’on suppose z = V r , h = Q r , la for mule de M AC L A U R I N nous donne, pour
n pair, les deux dével oppements
( z 2 − 4 h)
Vnr
n
(102)
=1−
2( −Q r ) 2
− U nr
=
n
2( −Q r ) 2 U r
n 2 Vr2
n 2 ( n 2 − 2 2 ) Vr4
n 2 ( n 2 − 2 2 )( n 2 − 4 2 ) Vr6
+
−
+ ...,
1 . 2 22 Q r
1 . 2 . 3 . 4 24 Q 2r
1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 26 Q 3r
n Vr
n ( n 2 − 2 2 ) Vr3
n ( n 2 − 2 2 )( n 2 − 4 2 ) Vr5
−
+
− ...
1 2Q r
1 . 2 . 3 23 Q 3r
1 . 2 . 3 .4 . 5
25 Q 5r
et, pour n i mpair,
U nr
(103)
n −1
r 2
( −Q )
− Vnr
2( − Q r )
 n 2 − 12 Vr2

( n 2 − 12 )(n 2 − 32 ) Vr4
= U r 1 −
+
− . . . ,
2 r
4 2r
1. 2 2 Q
1 . 2 . 3 .4
2 Q


n −1
2


n ( n 2 − 12 ) Vr2
n( n 2 − 12 )( n 2 − 32 ) Vr4
= Vr  n −
+
− . . . .
2 r
4
2r
1. 2 .3 2 Q
1 . 2 . 3 .4 . 5 2 Q


Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
219
On peut d’ailleurs vér ifier ces for mules, et l es sui vantes, à posteri ori, en observant que si l’on pos e
G m , x = (m 2 – 2 2 )(m 2 – 4 2 ) . . . ( m 2 – 4x 2 ) ,
H m , x = ( m 2 – 1 2 )(m 2 – 3 2 ) . . . (m 2 – (2x – 1) 2 ) ,
on a les relations
mG m , x = ( m – 2x) H m + 1 , x = (m + 2x)H m – 1 , x .
Au lieu de développer les fonctions U n r et V n r sui vant les puissances de
V r , on peut aussi les développer suivant les puissances de U r ; on trouve ainsi, pour n pair
Vnr
2Q
(104)
=1+
nr
2
U nr
Q
n 
 −1  r
2 
=
2
n 2 (n 2 − 2 2 ) ∆2U r4
n 2 (n 2 − 2 2 )(n 2 − 4 2 ) ∆3U r6
n 2 ∆U r
+
+
+...,
1 . 2 22 Q r
1 . 2 . 3 . 4 2 4 Q 2r
1. 2 . 3. 4 . 5
2 6 Q 3r

U 2r 
n(n 2 − 2 2 ) ∆U r2 n(n 2 − 2 2 )(n 2 − 4 2 ) ∆2U r4
+
−...  ,
n +
2
4
2r
r
2 
1. 2 . 3 2 Q
1 . 2 . 3 .4 . 5
2 Q

et, pour n i mpair
2

( n 2 − 1 2 )( n 2 − 3 2 ) ∆ 2 U r4
n 2 − 12 ∆U r
= V r 1 +
+
+
1 . 2 22Qr
1 . 2 . 3 .4
2 4 Q 2r

V nr
2Q
(105)
n −1
r
2

( n 2 − 1 2 )( n 2 − 3 2 )( n 2 − 5 2 ) ∆3U r6
+ . . . ,
6
3r
1.2.3.4.5.6
2 Q

U nr
Q
n −1
r
2

n ( n 2 − 1 2 ) ∆ U r2
n ( n 2 − 1 2 )( n 2 − 3 2 ) ∆ 2 U r4
= U r n +
+
1 . 2 . 3 22Qr
1 . 2 . 3 .4 . 5
2 4 Q 2r

+

n ( n 2 − 1 2 )( n 2 − 3 2 )( n 2 − 5 2 ) ∆3U r6
+ . . . , .
6
3r
1 . 2 . 3 .4 . 5 . 6 . 7
2 Q

En ayant égard à l’une ou l’autre des relations
Vnr2 = V2 nr + 2Q nr , et
∆U nr2 = V2 nr − 2Q nr ,
on obtiendra de nouvelles formules, et ainsi, par exemple :
(106)
U nr2
Q ( n − 2)r U r
= n2 −
n 2 (n 2 − 12 ) ∆U r2 n 2 (n 2 − 12 )(n 2 − 2 2 ) ∆2U r4
+
−...
3.4
3.4.5.6
Qr
Q 2r
On peut d’ailleurs met tre cette dernière formule et quelques autr es sous
une for me assez remar quable, en observant que l’on a, pour m quelconque et
n entier positif, l’identité
m 2 (m 2 − 12 )(m 2 − 3 2 ) . . . (m 2 − (n − 1) 2 ) (m − n)(m − n + 1)(m − n + 2) . . . (m + n − 1)
=
3 . 4 . 5 . . . . . . . ( 2n)
3 . 4 . 5 . . . . . . . ( 2 n)
(m − n + 1)(m − n + 2) . . . (m + n)
.
+
3 . 4 . 5 . . . . . . . ( 2n )
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
220
Par conséquent, les coefficients de la for mul e (106) sont entiers, et l’on a
2
n 2 (n 2 − 12 )(n 2 − 2 2 ) . . . (n 2 − r − 1 )
= C n2+r r −1 + C n2+r r . *
3 . 4 . 5 . . . . . . . ( 2r )
Nous ferons obser ver que les for mules (104) et (105) subsistent encore
pour des valeurs quelconques de n ; on a al ors des développements en séries
∆U 2
conver gentes, lorsque 2 rr n’est pas s upérieur à l’unité ; en effet, si l’on
2 Q
po se
∆U r2
≤1 ,
22 Q r
le rapport d’un ter me au précédent finit par devenir négatif (pour
positi f),
et inférieur à l’unité en valeur absolue. Cette condition est rempli e pour r = 1
dans la série de P E L L ; on a donc, quelle que soit la valeur de n
j
(
) ( 2 − 1)  = 1 + 1n. 2 + n1 .(n2 . −3 2. 4 ) +
n
1
2 +1 +
2 
n
2
2
2
2
n 2 (n 2 − 2 2 )(n 2 − 4 2 )
+ ... ,
1. 2 . 3. 4 . 5 . 6
(107)
(
) ( 2 − 1)  = n + n1(n. 2−.13 ) + n(n1 .−21. 3)(.n4 .−53 ) + . . .
n
1
2 +1 +
2 
n
2
2
2
2
2
2
.
SECTION XVIII.
Développements en séries des irrationnelles et de leurs logarithmes népériens.
Les développements des fonctions en séries, par la formule de M A C L A U R I N , donnent lieu à un très-grand nombre de formules nouvelles, pour le
développement des fonctions numériques que nous considérons ici, et par
suite, pour celui des f onctions circulaires et hyperboliques. Lorsque les séries
correspondantes ne sont conver gentes que pour les valeurs de la variable dont
le module est inférieur à une li mite donnée, on peut touj ours supposer que
ce tte variable x est choisie de telle sorte que la série représente la fonction,
pour toutes les valeur s de x dont le module est inférieur à l’unité. Soit donc
la série
F(x) = A 0 + A 1 x + A 2 x 2 +A 3 x 3 + A 4 x 4 + . . . . ;
*
En désignant par a le résidu de n 2 suivant le module p, premier avec n, on déduit de cette identité une démonstration immédiate d’une proposition contenue au No. 128 des Disqisitiones Arithmeticæ.
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
221
on aura, en supposant z positif,
z
z2
z3
 z 
F
+ A2
+ A3
+ ...,
 = A0 + A1
2
1+ z
(1 + z )
(1 + z )3
1+ z 
1
1
1
 1 
F
+ A2
+ A3
+ ... ,
 = A0 + A1
2
1+ z
(1 + z )
(1 + z )3
1+ z 
et, par conséquent:
1+ z
1+ z2
1 + z3
 1 
 z 
+ A2
+
+ ...,
F
A
+F
 = 2 A0 + A1
3
1+ z
(1 + z )2
(1 + z )3
1+ z 
1+ z 
 1 
 z 
F
−F
=
+
1
z


1+ z 
+ A1
1− z
1− z2
1 − z3
+ A2
+
+ ....
A
1+ z
(1 + z )2 3 (1 + z )3
Si l’on dési gne par a la plus grande des racines, supposée positi ve, de
l’équation fondamentale (1), par r un nombr e pair, ou un nombre entier quel conque, sui vant que la racine b est négative ou po sitive, et si l’on pose
br
z = r , on ob tient
a
(108)
 ar 
 arbr 
V
V
V

 r
 = 2 A0 + A1 r + A2 22r + A3 33r + . . . . ,
F  r
F
+
r 
r 

Vr
Vr
Vr
a +b 
a +b 
 U

 ar 
 arbr 
U
U

 r
 = ∆  A1 r + A2 22r + A3 33r + . . .  .
F  r
F
−
r 
r 

Vr
Vr
a +b 
a +b 
 Vr

br
, on obtient deux développements analogues aux préar
cédents ; ces développements sont parfois, t rès -lentement conver gents ; mais
leur étude conduit à des propriétés i mportantes dans la théorie des nombres
premiers.
Le développement du binôme (1 – x) m donne ainsi, pour m quelconque,
les séries
Si l’on suppose z = −
(109)
Vmr
m Vr m(m − 1) V2 r m(m − 1)(m − 2) V3r
= V0 −
+
−
+ ....,
m
1 Vr
1 . 2 Vr2
1. 2 . 3
Vr
Vr3
U mr m U r m(m − 1) U 2 r m(m − 1)(m − 2) U 3r
=
−
−
+ ....,
1 Vr
1 . 2 Vr2
1. 2 . 3
Vrm
Vr3
que l’on aurait pu déduire de la série de B E R N O U L LI ; pour m = – 1, on a
V r2
(110)
Q
r
U 2r
Q
r
= V0 +
=
Vr V2 r V3r
+
+
+ ....,
Vr Vr2 Vr3
U r U 2 r U 3r U 4 r
+
+
+
+ ....,
Vr Vr2 Vr3 Vr4
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
222
et, par exemple, dans la série de F I B O N A C C I
3 7 18 47
9 =2+ + +
+
+ ....,
3 9 27 81
1 3 8 21 55
3= + +
+ +
+ ....;
3 9 27 81 243
(111)
les numérateurs de ces deux séries de fractions sont donnés par la relation de
récurrence
N n + 2 = 3N n + l – N n .
On obtiendra des for mules semblables pour m = ±
1
le développement de
2
(1 + x) m ± (1 – x) m
donne des for mules analogues aux relations ( 109).
Le développement de Log (1 – x) donne les for mules
V2
1 V2 r 1 V3r 1 V4 r
Log rr = 1 +
+
+
+ ....,
2 Vr2 3 Vr3 4 Vr4
Q
(112)
U

b 2r
1 U 2 r 1 U 3r 1 U 4 r
Log r = 2 ∆  r +
+
+
+ . . . ;
2
3
4
3 Vr
4 Vr
Q
 Vr 2 Vr

1− x
celui de Log
donne
1+ x
U r 1 ∆U 3r 1 ∆2U 5 r 1 ∆3U 7 r

b 2r
(113)
Log r = 2 ∆ 
.
.
.
+
+
+
+
,
3
5 V r5
7 V r7
Q
 Vr 3 V r

et, dans la série de P E L L
(114)
2 Log(1 + 2 ) = 1 +
1
1
1
1
+ 2
+ 3
+ 5
+ ... .
2.3 2 .5 2 .7 2 .9
La for mule
 1

1
z+h
2
h2
2.4
h4
2.4.6
h6
Log
= hz  2
−
+
−
+ . . .
2
2
2 2
2
2 3
2
2 4
2
z−h
3 (z − h )
3 . 5 (z − h )
3 . 5 .7 (z − h )
z −h

dans laquelle on suppose
∆U r2
,
z + h = ar,
z – h = br,
z2 – h2 = Qr,
h2 =
4
donne encore
2
2 4
3 6

2 . 4 ∆ Ur
2 . 4 . 6 ∆ Ur
a 2r 2 ∆ U r  1
2 ∆U r
(115) Log r =
−
+
−
+
.
.
.

 ;
2
2r
2
3 . 5 2 3 Q 3r 3 . 5 . 7 2 4 Q 4 r
Q
 Q r 3 2 Q

pour que cette série soit conver gente, on doit avoir ∆U r2 ≤ 4Q r ; on trouve
ainsi, à la li mite de conver gence
 2 2.4 2.4.6 2.4.6.8

(116)
Log(1 + 2 ) = 2 1 − +
−
+
− . . . .
 3 3.5 3.5.7 3.5.7.9

Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
223
Les développements de arc sin z et de (arc si n z) 2 donnent, de même,
∆ Ur
a 2r
Log r =
r
Q
Q2
(117)
2


∆U r2
∆2U r4
(
1 . 3)
1
.
.
.
.
+
−
1 −
 ,
2
r
1 . 2 . 3 . 4 . 5 2 4 Q 2r
 1 . 2 . 3 2 Q

∆U 2 1 2 ∆2U r4 1 2 . 4 ∆3U r6
1
a 2r
Log 2 r = 2 rr − ⋅
+ ⋅
− ....,
4
2 3 2 4 Q 2 r 3 3 . 5 2 6 Q 3r
Q
2 Q
et, à la li mite de convergence,
(1 . 3) 2
(1 . 3 . 5) 2
1
+
−
+... ,
1. 2 . 3 1. 2 . 3. 4 . 5 1. 2 . 3. 4 . 5 . 6 . 7
1 2 1 1 .4 1 2 .4.6
− ⋅
+ ...
Log (1 + 2 ) = 1 − ⋅ + ⋅
2 3 3 3 . 5 5 3.5.7
Log(1 + 2 ) = 1 −
(118)
La for mule remarquable de M. S C R O L T Z conduit au développement
3
2
2 4
∆2U 3r  3 . 3 
1  ∆U r
3.5.3
1 1  ∆Ur
3 a
Log
1
1
1
=
−
+
+
+
+
−...
(119)


3r 
3  2 2r
2
2  4 2r
4
.
5
4
.
6
.
7
Qr
3
2
Q
3
5
2
Q





Q2 
2r
n −1 2 n − 2
 ∆ Ur
3 . 5 . 7 . . . (2n − 1) 3 
1 1
1
1 + + + . . .

±
4 . 6 . 8 . . 2n(2n + 1)  32 52
(2n − 1) 2  2 2 n − 2 Q ( n −1) r
k

... ,

et, à la li mite de convergence
(120)
Log 3 (1 + 2 ) = 1 −
3. 3
1  3.5.3
1
1 
1 + 3  +
1 + 2 + 2  − . . . .
4 . 5 3  4 . 6 . 7 3
5 
Si l’on développe, par la for mule de L A G R A N GE , l’une des racines a r ou
b r de l’équation
z2 – zVr + Qr = 0 ,
on trouve
br =
(121)
Q r Q 2 r 4 Q 3r 5 . 6 Q 4 r
+
+
+
+ ... ,
Vr Vr3 2 Vr5 2 . 3 Vr7
Log b r = Log
Q r Q r 3 Q 2 r 5 . 4 Q 3r
+
+
+
+ ... ,
Vr Vr2 2 Vr4 2 . 3 Vr6
1 2 r Q 2 r Q 3r 5 Q 4 r 7 . 6 Q 5 r
b =
+
+
+
+ ....
3
2V r2 Vr4 2 Vr6 2 . 3 Vr8
Si l’on fait encore, par la formule de L A G R AN G E , le développement de y – n
suivant les puissances de z, en dési gnant par y l’une des racines de l’équation
y =2+
z
,
y
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
224
on obtient
n

2

1 + 1 + z

n (n + 4) (n + 5)  z 
n z n (n + 3)  z 
 = 1 −
+
  −
 
14
1. 2 4
1. 2 . 3
 4

2
3
4
+
n (n + 5) (n + 6) (n + 7)  z 
  −... ,
1. 2 . 3. 4
 4
z
Qr
=− 2 ,
4
Vr
et en posant
on a
(122)
Vnr a
nr
Q nr
=1+
n Q r n ( n + 3) Q 2 r n (n + 4) (n + 5) Q 3r
+
+
+... ,
1 Vr2
1 . 2 V r4
1. 2 .3
Vr6
cette série est convergente pour
Qr
< 1 ; elle contient la généralisation de la
Vr2
for mule (84).
On a encore
br =
Vr − Vr2 − 4Q r
,
2
et, en développant le r adical par la for mule du binôme,
(123)
bn =
1 2Q r
1 23 Q 2 r
1 . 3 25 Q 3 r
+
+
+ ... ,
2 Vr
2 . 4 Vr3
2 . 4 . 6 Vr5
puis, à la li mite de conver gence,
(124)
2 −1 =
1
1
1 .3
2 .3.5
−
+
−
+ ...
2 2 . 4 2 . 4 . 6 1. 4 . 6 .8
En appliquant la formule de B U R M A N N au développement de z suivant les
2z
puissances de
on obtiendrait, pour tout module de z inférieur à l’unité,
1+ z2
br
et faisant ensuite z = r , la f or mule (121) donnée ci -dessus.
a
SECTION XIX.
Sur le calcul rapide des fractions continues périodiques.
On perfectionne, d’une manière notable, le calcul des réduites des fractions continues périodiques au moyen des for mules suivantes. M. C A T A L A N a
donné les relations :
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
225
z
z2
z + z2 + z4
,
+
=
1− z2 1− z4
1− z4
z
z2
z4
z + z 2 + z3 + z4 + z5 + z6 + z7
,
+
+
=
1 − z 2 1 − z 4 1 − z8
1 − z8
z
z2
z4
z4
z + z 2 + . . . . . . + z14 + z15
,
+
+
+
=
1 − z 2 1 − z 4 1 − z 8 1 − z16
1 − z16
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
;
on a, plus généralement,
n −1
n
z
z2
z2
1 z − z2
;
.
.
.
+
+
+
=
⋅
n
1 − z 1 − z 2n
1− z2 1− z4
1− z2
par conséquent, si l’on fait z =
(125)
br
on obtient la for mule
ar
Q r Q 2r
Q2
+
+ . . . .+
U 2r U 4r
U
n −1. r
=
Q rU
( 2 n −1) r
U rU
2 n. r
.
2 n. r
Lorsque n augmente i ndéfini ment, on a, pour les séries de premi ère et
de seconde espèce,
br
Qr Q 2r Q4r
=
+
+
+ .....
U r U 2 r U 4r U 8r
(126)
Par exemple, dans la s érie de F I B O N A C C I , pour r = 1 ,
(127)
1− 5
1 1
1
1
1
=− + +
+
+
+ ... ;
2
2 3 3 . 7 3 . 7 . 47 3 . 7 . 47 . 2207
chacun des nouveaux facteurs des dénominateurs est égal au carré du précédent, di minué de deux unités ; de même, dans la série de P E L L ,
(128)
1− 2 = −
1
1
1
1
+
+
+
+ ... ;
2 2 2 . 3 2 3 . 3 . 17 2 4 . 3 . 17 . 577
chacun des nouveaux f acteurs des dénominat eurs est égal, par les f or mules de
duplication, au double du carré du précédent , di minué de l’unité.
Ces développements sont très-rapidement conver gents ; c’est, en quel que sorte, la combinaison du calcul logarithmique et du calcul par les fractions continues. Ains i le dénominateur de la trentième-deuxième fraction de
la for mule (127), est à peu près égal à
1  1 + 5 
5  2 
232
,
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
226
et contient deux-cent millions de chifres, environ ; pour écrire le dénominateur de la soixante-quatrième fraction de la for mule (128), il faudrait plus de
deux-cent millions de siècles.
Nous avons d’ailleurs démontré (Section X I), que les différents facteurs
des dénominateurs sont premiers entre eux deux à deux, et contiennent, par
conséquent, des facteurs premiers tous différents ; il en résulte que dans la
somme des n premier s ter mes de ces séries, il n’ y aura pas lieu de réduire
cette somme à une pl us si mple expression. Nous montrerons, de plus, que
tous ces facteurs, premiers et différents, appartiennent à des formes, linéaires
et quadratiques, déter mi nées.
On a, plus généralement, l’identité
z − zq
z q − z pq
z − z pq
;
+
=
(1 − z ) (1 − z q ) (1 − z q ) (1 − z pq ) (1 − z ) (1 − z pq )
(129)
si l’on remplace q par p n , on a donc
z − zp
(130)
n
n
n
(1 − z ) (1 − z p )
+
zp − zp
n
n +1
(1 − z p ) (1 − z p
n +1
=
)
z − zp
n +1
(1 − z ) (1 − z p
n +1
.
)
Si l’on fait successivement n égal à 1, 2, 3, . . . n, et si l’on aj oute les égali tés obtenues, on a
2
(131)
2
n
+
Faisons maintenant z =
zp − zp
n +1
n
(1 − z p ) (1 − z p
Q rU ( p −1) r
U rU pr
+
p r
Q prU ( p −1) pr Q U ( p −1) p 2 r
U prU
n +1
=
)
z−zp
n +1
(1 − z ) (1 − z p
n +1
⋅
)
br
nous obtenons la for mule
ar
2
(132)
3
z−zp
zp − zp
zp − zp
+
+
+ ...
(1 − z ) (1 − z p ) (1 − z p ) (1 − z p 2 ) (1 − z p 2 ) (1 − z p 3 )
p 2r
U
U
p 2r p3r
n
+ . . .+
Q p rU
U
( p −1) p n r
U
p n r p n +1 r
=
Q rU
( p n +1 −1) r
U rU
.
p n +1 r
On calculera d’ailleur s les numérateurs et les dénomi nateurs de ces fractions, au moyen des for mules de multiplication des fonctions numériques que
nous avons données. Si p désigne un nombre impair, on obtient une for mule
analogue en changeant U en V. On peut encore appliquer ces for mules aux
fonctions circulaires.
Nous donnerons plus tard les formules analogues que l’on déduit de la
théorie des fonctions elliptiques, et, en part iculier, les sommes des inverses
des ter mes U n et de leurs puissances semblables.
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
227
SECTION XX.
Des relations des fonctions U n et V n avec la théorie de l’équation binôme.
On sait, par la théorie de l’équation binôme, exposée dans la dernière
section des Disquisitiones Arithmeticæ, que si p désigne un nombre premier
z p −1
impair, le quotient
4
= 4 ( z p −1 + z p − 2 + z p −3 + . . . + z 2 + z + 1)
z −1
z p −1
peut être écrit sous la for me 4
= Y 2 ± pZ 2 ,
z −1
dans laquelle Y et Z s ont des pol ynomes en z à coefficients entier s ; on prend
le signe + lorsque p désigne un nombre pr emier de la for me 4q + 3 , et le
signe –, lorsque p désigne un n ombre premi er de la forme 4q + 1 . Si l’on
ar
on en déduit s uccessivement pour p = 3, 5, 7,
br
11, 13 17, 19, 23, 29, . . . . . , les résultats s uivants :
U
4 3r = ∆U r2 + 3Q r ,
Ur
U
4 5 r = 2V2 r + Q r 2 − 5Q 2 r ,
Ur
fait dans cette for mule z =
[
]
[
]
U 7r
= ∆ 2U 3r + Q rU r 2 + 7Q 2 rVr2 ,
Ur
U
4 11r = ∆ 2U 5 r + Q r U 3r − 24Q 2 r U r
Ur
4
[
[
2
+ 11Q 2 r V32r ,
]
[
]
U13r
= 2V6 r + Q rV4 r + 4Q 2 rV2 r − Q 3r 2 − 13Q 2 r V4 r + Q 2 r 2 ,
Ur
2
2
U
4 17r = 2V8r + QrV6r + 5Q2rV4r + 7Q3rV2r + 4Q4r −17Q2r V6r + QrV4r + Q2rV2r + 2Q3r ,
Ur
U
4 19 r = ∆ 2U 9 r + Q r U 7 r − 4Q 2 r U 5 r + 3Q 3r U 3r + 5Q 4 r U r 2
Ur
4
(133)
]
[
]
[
4
4
]
]
[
],
U ]
+ 19Q 2 r V9 r + Q r V7 r − Q 3r V3r − 2Q 4 r Vr
[
U 23r
= ∆ 2U 11r + Q rU 9 r − 5Q 2 rU 7 r − 8Q 3r U 5 r − 7Q 4 rU 3r − 4Q 5r
Ur
[
2
2
r
+ 23Q 2 r V9 r + Q r V7 r − Q 3rV3r − 2Q 4 r Vr
[
]
2
,
U 29 r
= 2V14 r + Q r V12 r + 8Q 2 r V10 r − 3Q 3 r V8 r + Q 4 r V6 r − 2Q 5 r V 4 r + 3Q 6 r V 2 r
Ur
]
.
[
.
.
.
.
[
]
+ 9Q 7 r 2 − 29Q 2 r V12 r + Q 2 r V8 r − Q 3 r V6 r + Q 5 r V 2 r + Q 5 r 2 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
228
On a, par conséquent, la proposition sui vant e :
T H E O R E M E : Si p dési gne un nombr e premier de la forme 4q+1, l e quoU pr
tient 4
peut se mettre sous la forme Y 2 –pZ 2 , et si p désigne un nombre
Ur
U pr
premier de la forme 4q+3, le quotient 4
peut se mettre sont la forme
Ur
Y 2 –pZ 2 .
l
D’ailleurs, en changeant z en – z, on obti endra un résultat semblable
V pr
pour le quotient 4
. On généralise ainsi un théorème donné par L E GE N D R E ,
Vr
et dont la démonstrat ion est, de cette façon, rendue plus si mple. Il résulte
encore des for mules ( 133) une autre conséquence i mportante. En effet, nous
avons laissé j usqu’à présent
arbitraire ; mais, s’il s’agit des fonctions de
troisième espèce, nous pouvons supposer –
égal au produit d’ un carré par
un nombre premier p de la for me 4q + 3 ; * alors, on voit que les quotients
U pr
V pr
4
et 4
sont égaux à une différence de carrés, et, par suite, décompopU r
pVr
sables en un produit de deux facteurs. On a donc cette proposition :
l
m
T H E O R E M E : Si –
est égal au produit d’un nombre premier p de la
U pr
V pr
forme 4q + 3 par un carré, les quotients 4
et 4
sont, quelle que soit
pU r
pVr
la valeur entière de r , décomposables en un produit de deux facteurs entiers.
l
Si nous considérons l’ équation fondamentale
x2 = x – 2
dans laquelle
l
= – 7, nous obtenons , par exemple,
U 1 1 = + 23, U 7 7 = – 26 4721893121 ;
et, par suite,
U77 = – 7
n
23
n
11087
n
148303.
4U n
appartien7U11
nent aux formes linéai res 77q ± 1 ; par conséquent, le nombre 11087 est premier , sans qu’il soit nécessaire d’essayer ces diviseurs, puisque le premier
des nombres de la for me linéaire indiquée, est supérieur à la racine carrée de
11087 ; pour le facteur 148303 il n’ y a que le diviseur 307 à ess ayer. On a
encore, dans la même série
Nous démontrerons plus loin que les diviseurs premiers de
*
En effet, il suffit de déterminer Q par la relation 4Q –P 2 = pK 2 .
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
U 1 3 = –1,
229
U 9 1 = – 384 17168 38057,
et, par suite,
U91 = – 7
o
71 2711
o
770041.
Ces deux derniers facteurs sont premiers ; i l n’y a que deux di vi seurs à es sayer. On comprend ainsi comment il est possible d’appliquer l e théorème
précédent, à la recherche directe de très -grands nombres premiers, par la
considération des séri es de troisième espèce.
SECTION XXI.
Sur les congruences du Triangle Arithmétique de P ASCAL ,
et sur une géneralisation du théorème de F ERMAT .
En désignant par Cmn le nombre des combinaisons de m obj ets pris n à n,
on a les deux for mules fondamentales
Cmn =
m (m − 1) . . . . (m − n + 1)
1. 2 . 3.... n
Cmn = Cmn − 1 + Cmn −−11 ;
par conséquent, lorsque p est premier, on a pour n entier compris entre 0 et la
congruence
(134)
C pn ≡ 0 , (Mod. p ) ;
pour n compris entre 0 et p – 1,
(135)
C pn − 1 ≡ (−1) n , (Mod. p) ;
pour n compris entre 1 et p
(136)
C pn + 1 ≡ 0 , (Mod. p ) .
En d’autres ter mes , dans le triangle arithmétique de P A S C A L , tous les
nombres de la p i è m e ligne sont, pour p premier, divisibles par p, à l ’exception
des coefficients extrêmes égaux à l’unité ; les coefficients de la (p – 1) i è m e
ligne donnent alternativement pour résidus + 1 et – 1; ceux de la (p + 1) i è m e
ligne sont di visibles par p, en exceptant les quatre coefficients extrêmes ,
égaux à l’unité.
Si l’on continue la for mation du triangle arit hmétique, en ne conservant
que les résidus suivant le module p, on refor me deux fois le triangle arithmétique des (p – 1) premières li gnes ; puis, à partir de la (2p) i è m e ligne, on le
reforme trois fois ; mais les résidus du triangle inter médiaire sont multipliés
par 2 ; à partir de la (3p) i è m e ligne, le triangle des résidus est reproduit quatre
fois, mais les nombres de ces triangles sont respectivement multipliés par les
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
230
coefficients 1, 3, 3, 1 de la troisième puissance du binôme, et ains i de suite.
On a donc, en général,
Cmn ≡ Cmn11 × Cνµ , (Mod. p ) ,
m 1 et n 1 dési gnant les entiers de
m
n
et de
, et
p
p
p
et et
q
les résidus de m et
de n.
On a, de même
Cmn11 ≡ Cmn 22 × Cνµ11 , (Mod. p ) ,
et, par suite,
(137)
1,
p
p
2,
p
3,
Cmn ≡ Cνµ11 × Cνµ 22 × Cνµ33 × . . . , (Mod. p ) ,
... dési gnant les résidus de m et des entiers de
même pour
1,
r
2,
r
r
3,
m m m
, … ,et de
,
,
p p 2 p3
… .
Par conséquent, si l’on veut trouver le reste de la division de Cmn par un
nombre premier , il suffit d’appliquer la formule précédente, j usqu’à ce qu’on
ait ramené les deux indices de C, à des nombres inférieurs à p.
Nous venons de voir que les coefficients de la puissance p du binôme
sont entiers et divisibles par p, lorsque p désigne un nombre premier , en exceptant toutefois les coefficients des puissances p i è m e s . En dési gnant par , ,
, … , des entiers quelconques, en nombre n, on a donc
s
t
u
[α + β + γ + . . . . + λ ] p − [α p + β p + γ p + . . . . + λ p ]≡ 0 ,
v
et, pour
s
=
=
t
u
. . . =
(Mod. p ) ,
= 1, on obtient
v
n p − n ≡ 0 , (Mod. p) .
C’est dans cette congruence que consiste l e théorème de F E R M A T , que l’on
peut généraliser de la manière sui vante, différente de celle que l ’on doit à
E U LE R . Si , , , . . . , dési gnent les puissances q i è m e s des racines d’une
équation à coefficients entiers, et S q leur somme, le premier membre de la
congruence précédente représente le produit par p d’une fonction s ymétrique,
entière et à coefficients entiers, des racines , et, par conséquent, des coefli cients de l’équation pr oposée. On a donc
u
s
t
v
S pq ≡ S qp , (Mod. p ) ,
et, par l’application du théorème de F E R M A T ,
(138)
S pq ≡ S q , (Mod. p) ,
L’étude des di viseurs premiers de la fonction numérique S n et de quel ques autres analogues est trés-i mportante ; on a, en particulier, pour n = 1 et
S 1 = 0, comme dans l’ équation
x3 = x + 1 ,
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
231
la congruence
S p ≡ 0 , (Mod. p ) ;
on en déduit inversement que si, dans le cas de S 1 = 0, on a S n divisible par
p, pour n = p, et non auparavant, le nombre p est un nombre premier. En ef fet, supposons p égal, par exemple, au produit de deux nombres pr emiers g et
h. On a
S gh ≡ S h , (Mod. g ) ,
S gh ≡ S g , (Mod. h) ;
par conséquent, si l’on a trouvé
S gh ≡ 0 , (Mod. gh) ,
on aura aussi
S g ≡ 0 , (Mod. h) ,
S h ≡ 0 , (Mod. g ) ,
et, par le théorème démontré
S g ≡ S h ≡ 0 , (Mod. gh) .
Ainsi S g h ne serait pas le premier des nombres S n di visible par gh.
On peut obtenir, de cette façon, un grand nombre de théorèmes ser vant,
comme celui de W I LS O N , à vérifier les nombres premiers. Nous l aisserons de
côté, pour l’instant, les développements curieux et nouveaux que nous avons
ainsi trouvés, pour ne considérer que ceux que l’on tire des fonctions numériques si mplement périodiques.
SECTION XXII.
Sur la théorie des nombres premiers dans leurs rapports avec les progressions
arithmétiques.
La doctrine des nombres premiers a été ébauchée par E U C LI D E et E R AOn doit à Euclide la théorie des di viseurs et des multiples communs de deux ou plusieurs nombres donnés, la représentation des nombres
composés à l’aide de leurs facteurs, et la démonstration de l’infinité des
nombres premiers, que l’on peut étendre facilement à la preuve de l’infinité
des nombres premiers appartenant aux for mes linéaires 4x + 3 et 6x + 5.
Nous donnerons, dans la Section XXIV, une démonstration élémentaire
concernant l’infinité des nombres premiers de la forme mx + 1, quelle que
soit la valeur de m. On sait d’ailleurs que, par l’emploi des sér ies infinies,
L E J E U N E -D I R I C H LE T est parvenu à démontrer l’infinité des nombr es premiers
T O S TH E N E .
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
232
de la for me linéaire a + bx, dans laquelle a et b sont deux entiers quel conques premi ers entr e eux. *
On doit à E R A T O S TH E N E une méthode ingénieuse connue sous le nom de
Crible Arithmétique, qui conduit à la for mation de la table des nombres premiers et des nombres composés ; on possède, depuis les travaux de C H E R N A C ,
de B U R C K H A R D T et de D AS E , la table des neuf premiers millions ; L E B E S G U E
a indiqué un p rocédé qui permet de di minuer le volume de ces tables. †
D’autre part, M. G L A I S H E R a évalué la multitude des nombres premiers compris dans ces tables, afin de comparer les for mules théoriques données par
G A U S S , L E G E N D R E , T C H E B Y C H E F et H E A R G R AV E , pour expri mer la quantité
des nombres premi ers inférieurs à un entier donné. M. G L A I S H E R , en comptant 1 et 2 comme premiers , a trouvé les val eurs suivantes : ‡
pour le premier million ,
“
deuxième
“ ,
“
troisième
“ ,
“
septième
“ ,
“
huitième
“ ,
“
neuvième
“ ,
78499 nombres premiers
70433
“
67885
“
63799
“
63158
“
62760
“
,
,
,
,
,
.
Les principes d’ E U C LI D E et d’E R A T O S TH E N E conduisent ainsi à une
première méthode de vérification des nombres premiers, non compr is dans les
Tables, et de décomposition des nombres t rès -grands en leurs facteurs premiers , par l’essai successif de la di vision d’ un nombre fixe, le nombre donné,
par tous les nombres premiers inférieurs à s a racine carrée. Mais c’est là une
méthode indirecte qui devient abs olument i mpraticable, dès que le nombre
donné a dix chiffres.
En sui vant cette voie, M. D O R M O Y est arrivé par des considérations ingénieuses , déduites de la théorie de certains nombres, qu’il a appelés objectifs (et dans lesquels on retrouve sous le nom d’objectifs de l’unité les différents termes de la série de F I B O N A C C I ), à l’établissement d’une for mule générale de nombres premi ers. Malheureusement, même pour des li mites peu élevées, cette for mule contient des coefficients considérables qui en rendent
l’application illusoire. §
*
Abhandlungen der Berliner Akademie, Berlin, 1837.
C HERNAC . – Criblum Arithmeticum de l à 1020000. Deventer, 1811.
B URCKHARDT . – Tables des diviseurs jusqu’à 3036000. Paris, 1814-1817.
D ASE . – Factorem Tafeln de 6000000 à 9000000. Vienne, 1862-1865.
L EBESGUE . – Tables diverses pour la décomposition des nombres en leurs facteurs premiers.
Paris,1864.
‡
Preliminary accounts of the results of an enumeration of the primes in Dase’s and Burckhardt’s
tables. Cambridge, 1876-1877.
§
E. D ORMOY . – Formule générale des nombres premiers et Théorie des Objectifs. Paris, 1867.
†
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
233
Les nombres premiers sont distribués fort irrégulièrement dans l a suite
des nombres entiers ; c’est qu’en effet, d’une part, on voit que si désigne le
plus petit multiple commun des nombres 2, 3, ... m, les nombres
+ 2, + 3, . . . . , + m ,
w
w
w
w
sont respectivement di visibles par
2, 3, .... m .
Par conséquent, on peut touj ours trouver m nombres consécutifs et composés ,
quelle que soit la valeur de m ; mais, d’autre part, l’examen des tables per met
de constater l’existence de deux nombres i mpairs consécutifs, très-grands , et
premiers. M. G L A I S H E R a donné la liste des groupes, renfer més dans les tables, qui contiennent au moins cinquante nombres consécutifs et composés ;
ainsi, par exemple, les suivants :
111 nombres composés et consécutifs entre 370261
et
370373,
113
“
“
492113
et
492227,
131
“
“
1357201
et 1357333,
131
“
“
1561919
et 1562051,
147
“
“
2010733
et 2010881,
(London Mathematical Society, 10 Mai, 1877).
On sait encore démontrer qu’une fonction rat ionnelle de n
p = (n) ,
x
ne peut continuellement donner des nombres premiers, puisque l’ on a, quel que soit le nombre ent ier k,
φ (n + kp )≡ φ (n ) , (Mod. p ) ,
c’est -à-dire que
(n) est une fonction numérique périodique d’amplitude p.
Il est donc fort difficile d’arriver à la loi de distribution des nombres premiers dans la série ordinaire des nombres ent iers.
Cependant, il parait naturel d’étudier les nombres premiers d’après leur
loi de formation. L’ étude approfondie de la méthode d’E R A T O S TH E N E a
conduit le prince A. D E P O L I G N A C , à d’intéressantes propriétés des suites diatomiques ; * à la même époque, M. T C H E B Y C H E F , arri vait par des considérations peu ditrérentes, à la démonstration de ce théorème remarquable : Pour
a > 3 , il y a au moins un nombre premier compri s entre a et 2a – 2. † On
déduit i mmédiatement de là que le produit
x
1.2.3 . . . . n
*
Recherches nouvelles sur les nombres premiers ; par M. A. DE P OLIGNAC ; Paris, 1851. Il est
curieux de constater que, sous le nom de suite médiane, on retrouve dans les séries diatomiques, les
différents terme de la série de F ERMAT .
†
Journal de Liouville, t. XVII.
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
234
ne saurait être une puissance, ni un produit de puissances, ainsi que l’a montré M. L I O U V I L LE . (Journal de Liouville, 2 e série, t. II). En résumé, ces recherches sont basées s ur la considération des progressions arithmétiques.
SECTION XXIII.
Sur la théorie des nombres premiers dans leurs rapports avec les
progressions géométriques.
On doit à F E R M A T des recherches profondes sur la théorie des nombres
premiers, et basées sur la considération des progressions géométri ques. C’est
cette idée, distincte de la précédente, qui a donné naissance à la théorie des
résidus potentiels, et plus particulièrement, à celle des résidus quadratiques.
De cette façon, on si mplifie la vérification des nombres premiers t rès -grands,
et diviseurs de la forme a n − 1 ou plus généralement, de la forme a n − b n , pour
a et b entiers, ainsi que la décomposition des nombres de cette for me en facteurs premiers. F E R M A T avait remarqué la forme linéaire nx+1 des divi seurs, et donné lui -même la décomposition de plusieurs ter mes de la série
2 n − 1 , et ainsi, celle du nombre 2 3 7 –1, qu ’il a trouvé di visible par 223 [Lettre
de F E R M A T , du 12 Oct obre 1640].
M. G E N O C C H I a remis dernièrement en lumi ère un curieux passage des
oeuvres du P. M E R S E N N E . Mais, pour en mieux saisir l’i mportance, nous rappellerons en quelques mots la théorie des nombres parfaits. On dit qu’un
nombre est parfait, lorsque il est égal à la somme de ses parties aliquotes,
c’est à-dire de tous ses diviseurs, excepté l ui -même. En nous bor nant au cas
des nombres parfaits pairs, et en désignant par b, c, . . . . d es nombres premiers différents, par n = aα b β cγ d δ . . . . le nombre s upposé parfait, on do it
avoir
2
+l
y
b c ... = (1 + 2 + … +2 )(1 + b + b 2 + … + b ) (1 + c + c 2 + … + c )… ,
z
{
y
z
|
ou bien
b β cγ . . . +
b β cγ . . .
= (1 + b + b 2 + . . . + b β )(1 + c + c 2 + . . . + cγ ) . . . . ;
2α +1 − 1
le second ter me du pr emier membre est donc entier, et devient, après la di vi sion, de la forme b β ' c γ ' ... ; mais d’autre part, le second membre qui contient
un nombre de ter mes
}
= (
~
+ 1)( + 1) . . . . ,

doit se réduire aux deux ter mes du premier membre ; par suite
= 2,
= 1,
α
= = . . . . = 0 ; donc n = 2 b , et b est premier. Ainsi, les nombres parfaits
}

~
€
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
235
pairs appartiennent à la forme n = 2α b , dans laquelle b doit être premier ; on a
d’ailleurs aisément , avec cette condition
b = 2α +1 − 1 .
En résumé, il n’ y a pas d’autres nombres par faits pairs que les nombres
2α 2α +1 − 1 ,
dans lesquels le second facteur est un nombre premier . Cette règle était
connue d’E U C L I D E ; mais ce géométre ne savait pas démontrer que l’on obtenait ainsi tous les nombres parfaits pairs, sans exception.
(
)
Voici maintenant le passage des Œuvres de M E R S E N N E :
« XIX. Ad ea quæ de Numeris ad calcem prop. 20. de Ballist. & puncto 14 Præfationis ad
Hydraul. dicta sunt, adde inuentam artem quâ numeri, quotquot volueris, reperiantur qui cum
suis partibus aliquotes in vnicam summam redactis, non solum duplam rationem habeant, (quales
sunt 120, minimus omnium, 672, 528776, 1416304896, & 459818240, qui ductus in 3, numerum
efficit 1379454120, cuius partes aliqnotæ triplæ sunt, quales etiam sequentes 30240, 32760,
23569920, & alij infiniti, de quibus videatur Harmonia nostra, in qua 14182439040, & alij suarum partium aliquotarum subquadrupli) sed etiam sint in ratione data cum suis partibus aliquotis.
Sunt etiam alij numeri, quos vocant amicabiles, quod habeant partes aliquotas à quibus
mutuò reficiantur, quales sunt omnium minimi 220, & 284 ; huius enim aliquotæ partes illum
efficiunt, vicéque versa partes illius aliquotæ hunc perfectè restituunt. Quales & 18416 &
17296 ; nec non 9437036, & 4363584 reperies, aliosque innumeros.
Vbi fuerit operæ pretium aduertere XXVIII numeros à Petro Bungo pro pertectis exhibitos,
capite XXVIII, libri de Numeris, non esse omnes Perfectos, quippe 20 sunt imperfecti, adeo vt
solos octo perfectos habeat videlicet 6. 28. 499. 8128. 33550336. 8589869056. 137438691328, &
2805843008139952128 ; qui sunt è regione tabulæ Bungi, 1, 2, 3, 4, 8, 10, 12, & 29 : quique soli
perfecti sunt, vt qui Bungum habuerint, érrori medicinam faciant.
Porrò numeri perfecti adeo rari sunt, vt vndecim dumtaxat potuerint hactenus inueniri :
hoc est, alii tres à Bougianis differentes : neque enim vllus est alius perfectus ab illis octo, nisi
superes exponentem numerum 62, progressionis duplæ ab 1 incipientis. Nonus enim perfectus est
potestas exponentis 68 minus 1. Decimus, potestas exponentis 128, minus 1. Vndecimus denique,
potestas 258, minus 1, hoc est potestas 257, vnitate decurtata, multiplicata per potestatem 256.
Qui vndecim alios repererit, nouerit se analysim omnem, quæ fuerit hactenus, superasse :
memineritque interea nullum esse perfectum à 17000 potestate ad 32000 ; & nullum potestatum
interuallum tantum assignari posse, quin detur illud absque perfectis. Verbi gratia, si fuerit exponens 1050000, nullus erit numerus progressionis duplæ vsque ad 2090000, qui perfectis numeris serviat, hoc est qui minor vnitate, primus existat.
« Vnde clarum est quàm rari sint perfecti numeri, & quàm meritò viris perfectis comparentur ; esseque vnam ex maximis totius Matheseos difficultatibus, præscriptam numerorum perfectorum multitudinum exhibere ; quemadmodum & agnoscere num dati numeri 15, aut 20 caracteribus constantes, sint primi necne, cùm nequidem sæculum integrum huic examini, quocumque
modo hactenus cognito, sufficiat. » *
*
F. M ARINI M ERSENNI M INIMI , C OGITATA P HYSICO -M ATHEMATICA . In quibus tam naturæ quàm
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
236
D’après ce passage, le tableau des nombres parfaits pairs serait le suivant :
Premier nombre parfai t
2(2 2 – 1),
Deuxième nombre parf ait 2 2 (2 2 – 1),
Troisième
“
2 4 (2 5 – 1),
Quatrième
“
2 6 (2 7 – 1),
Cinquième
“
2 1 2 (2 1 3 – 1),
Sixième
“
2 1 6 (2 1 7 – 1),
18
19
Septième
“
2 (2 – 1),
Huitième
“
2 3 0 (2 3 1 – 1),
Neuvième
“
2 6 6 (2 6 7 – 1),
Dixième
“
2 1 2 6 (2 1 2 7 – 1),
Onzième
“
2 2 5 6 (2 2 5 7 – 1), . . . . . . . . . . . . . . .
Ce passage est d’ailleurs rapporté dans un mémoire de C. N. W I N S H E I M , inséré dans les Novi Commentarii Academiæ Petropolitanæ, ad annum M D C C X LI X
(tom. II, pag. 78) , et précédé des réflexions suivantes :
« Suspicio eni m ades se videtur, utrum numerus nonus , perfecti locum
tueri possit, quoniam ab acutissi mo Mersenno exclusus reperitur, qui ej us in
locum potestatem binarii (2 6 7 – 1)2 6 6 si ve numerum deci mum nonum perfectum Hanschii 1 | 47573 | 95258 | 96764 | 12927, s ubstituit : di gna certe mihi
visa sunt verba viri perspicacissimi, ut hic i ntegra exhibeantur. »
Ainsi M E R S E N N E aurai t démontré que, pour n compris entre 31 et 257, il
n’existe pas de nombr es premiers de la for me 2 n – 1, en exceptant ceux pour
lesquels n a pour valeur l’un des nombres
31, 67, 127, 257.
La preuve de non-décomposition du premier de ces nombres, 2 3 1 – 1, n’a été
donnée que plus tard, par E U LE R . En outre, M. F. L A N D R Y , au moyen d’une
méthode inédite, et pr obablement fort si mple, est par venu à la décomposition
de certains grands nombres en leurs facteurs premiers ; il a, en ef fet, donné la
décomposition des nombres
2 4 1 – 1, 2 4 3 – 1, 2 4 7 – 1, 2 5 3 – 1, 2 5 9 – 1,
en leurs facteurs premiers. De plus, on a trouvé que 2 7 3 – 1, 2 7 9 – 1,et 2 1 1 3 – 1,
sont respectivement di visibles par 439, 2687 et 3391. Enfin, on a le théorème
suivant :
T H E O R E M E : Si 4q + 3 et 8q + 7 sont des nombres premiers, le nombre
2 4 q + 3 – 1 est divisible par 8q + 7.
En effet, d’après le thoérème de F E R M A T , on a
28 q + 6 − 1 ≡ 0 , (Mod. 8q + 7) ,
et, par suite l’un des deux facteurs 2 4 q + 3 + 1 ou 2 4 q + 3 – 1 du premier membre de la congruence est divisible par le module ; mais, d’autre part, on sait
que 2 est résidu quadratique de tous les nombres premiers de l’une des for mes 8n + 1 et 8n + 7 ; par conséquent, on a
2 4 q + 3 − 1 ≡ 0 , (Mod. 8q + 7) ;
artis effectus admirandi certissimis demonstrationibus explicantur. Paris, 1644. f° II.de la Préface.
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
237
en consultant la table des nombres premier s, on en conclut que pour les valeurs de n successi vement égales à
11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, 359, 419, 431, 443, 491,
les nombres 2 n – 1 sont respectivement di vi sibles par les facteurs
23, 47, 167, 263, 359, 383, 479, 503, 719, 839, 863 , 887, 983.
Il résulte de ces diver ses considérations que M E R S E N N E était en posses sion d’une méthode ar ithmétique qui ne nous est point parvenue. Cependant,
il paraît naturel de penser que cette méthode ne devait pas s’éloigner des
principes de F E R M A T , et par conséquent, ne pas différer essentiellement de
celle que nous déduirerons, plus loin, de l’inversion du théorème de F E R M A T .
Nous indiquons, en effet, comment il est possible d’arriver rapidement à
l’étude du mode de composition des grands nombres dont il est parlé plus
haut.
Nous donnons dans le tableau suivant, la décomposition des nombr es U n
et V n de la série de F E R M A T , pour toutes les valeurs de n j usqu’à 64. Par mi
les grands nombres pr emiers de ce tableau, on remarquera
1°.
2°.
Cinq nombres de dix chiffres
4278255361
facteur de
240+ 1 ,
8831418697
“
241+ 1 ,
2931542417
“
244+ 1 ,
1824726041
“
259+ 1 ,
4562284561
“
260+ 1 ;
Deux nombres de onze chiffres
5 44109 72897
7 7158 6 73929
3°.
“
2 6 3 + 1;
Un nombre de douze chiffres
16 57685 37521
4°.
facteur de 2 5 6 + 1,
facteur de 2 4 7 + 1;
Quatre nombres de treize chiffres
293 20310-07403
facteur de 2 4 3 + 1,
443 26767 98593
“
2 4 9 – 1,
436 39531 27297
“
2 4 9 + 1,
3203431780337
“
2 5 9 – 1;
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
5°.
238
Un nombre de quator ze chiffres
2805 98107 62433
facteur de
2 5 3 + 1.
1 61
(2 + 1) , et
3
264 + 1 . M. L AN D R Y pense que ces nombres sont premiers ; mais, d’autr e part,
d’après M E R S E N N E , le premier de ces nombres serait composé ; de plus, par
la considération de calculs que j ’ai effectués, et dont la théorie est indiquée
plus loin, le dernier de ces nombres serait aussi composé. Il n’ y a donc pas
lieu de se prononcer pour le moment.
En dehors des décompositions renfermées dans le tableau, M. L A N D R Y a
encore obtenu les di viseurs propres d’un certain nombre d’autres ter mes de
cette série, à savoir
Il reste à déterminer la nature des trois nombres 261 − 1 ,
Pour
265+ 1
269+ 1
4 09891
2 + 1
2 + 1
76 23851,
16 87499 65921,
71
75
et
1 00801
(premier) ,
et
105 67201,
113 38367 30401,
2105+ 1
6 64441
(premier) ,
et
15 64921.
De son côté, M. L E L A S S E U R est par venu aux mêmes résultats ; mais, il
a, en outre, indiqué l’i dentité
2 4 n + 2 +1 = (2 2 n
+ 1
+ 2n
+ 1
+1) (2 2 n
+ 1
– 2n
+ 1
+1)
qui per met d’abréger l es calculs. Cette identité, fort importante, s era généralisée ultérieurement.
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
239
T AB LE A U D E S F A C T E U R S P R E M I E R S D E L A S E R I E R E C U R E N T E D E F E R M A T .
D’après M. F. L A N D R Y
Un
2 1– 1
3
2 –1
5
2 –1
7
2 –1
9
2 –1
211–
13
2 –1
15
2 –1
17
2 –1
19
2 –1
21
2 –1
23
2 –1
25
2 –1
27
2 –1
29
2 –1
231– 1
Valeurs de 2 n
Di viseurs de U n
21
1
7
31
127
7.73
23.89
8191
7.31.151
131071
524287
2
7 .127.337
47.178481
31.601.1801
7.73.262657
233.1103.2089
2147483647
Vn
2
21+1
Di viseurs de V n
3
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
2
10
1094
2 +1
52.41
211
2048
211+1
3.683
4
8
16
32
64
128
256
512
2
5
3
32
4
17
5
3.11
6
5.13
7
3.43
8
257
9
2 +1
33.19
10
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2
12
2
13
2
14
2
15
2
16
2
17
2
18
2
19
2
20
2
21
2
22
2
23
2
24
2
25
2
26
2
27
2
28
2
29
2
30
1073741824
2 +1
52.13.41.61.1321
231
2147483648
231+1
3.715827883
2
32
4096
8192
16384
32768
65536
131072
262144
524288
1048576
2097152
4194304
8388608
16777216
33554432
67108864
134217728
268435456
536870912
4294967296
12
17.241
13
3.2731
14
5.29.113
15
32.11.331
16
65537
17
3.43691
18
5.13.37.109
19
3.174763
20
17.61681
21
32.43.5419
22
5.397.2113
23
3.2796203
24
97.257.673
25
3.11.251.4051
26
5.53.157.1613
27
34.19.87211
28
17.15790321
29
3.59.3033169
30
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
2 +1
32
2 +1
641.6700417
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
240
T AB LE A U D E S F A C T E U R S P R E M I E R S D E L A S E R I E R E C U R E N T E D E F E R M A T .
(Suite.)
Un
Valeurs de 2 n
Di viseurs de U n
233– 1 7.23.89.599479
235– 1 31.71.127.122921
239– 1 7.79.8191.121369
241– 1 13367.164511353
8589934592
233 + 1 33.67.683.20857
234
17179869184
234 + 1 5.137.953.26313
235
34359738368
235 + 1 3.11.43.281.86171
36
68719476736
236 + 1 17.241.433.38737
237
137438953472
237 + 1 3.1777.25781083
238
274877906944
238 + 1 5.229.457.525313
239
549755813888
239 + 1 32.2731.22366891
240
1099511627776
240 + 1 257.4278255361
241
2199023255552
241 + 1 3.83.8831418697
42
4398046511104
242 + 1 5.13.29.113.1429.14449
243
8796093022208
243 + 1 3.2932031007403
244
17592186044416
244 + 1 17.353.2931542417
245
35184371088832
245 + 1 32.11.19.331.18837001
246
70368744177664
246 + 1 5.277.1013.1657.30269
247
140737488355328
247 + 1 3.283.165768537521
48
281474976710656
248 + 1 193.65537.22253377
249
562949953421312
249 + 1 3.43.4363953127297
250
1125899906842624
250 + 1 52.41.101.8101.268501
251
2251799813685248
251 + 1 32.307.2857.6529 43691
252
4503599627370496
252 + 1 17.858001.308761441
253
9007199254740992
253 + 1 3.107.28059810762433
54
18014398509481984
254 + 1 5.13.37.109.246241.279073
255
36028797018963968
255 + 1 3.112.683.2971 48912461
256
72057594037927936
256 + 1 257.5153.54410972897
257
144115188075855872
257 + 1 32.571.174763.160465489
258
288230376151711744
258 + 1 5.107367629.536903681
259
576460752303423488
259 + 1 3.2833.37171.1824726041
60
1152921504606846976
260 + 1 17.241.61681.4562284561
261
2305843009213693952
261 + 1 3. . . . . . . . . . . .
262
4611686018427387904
262 + 1 5.5581.8681.49477.384773
263
9223372036854775808
263 + 1 33.19.43.5419.77158673929
264
18446744073709551616
2
243– 1 431.9719.2099863
245– 1 7.31.73.151.631.23311
247– 1 2351.4513.13264529
2
249– 1 127.4432676798593
251– 1 7.103.2143.11119.131071
253– 1 6361.69431.20394401
2
255– 1 23.31.89.881.3191.202961
257– 1 7.32377.524287.1212847
259– 1 179951.3203431780337
2
261– 1 . . . . . . . . . . .
263– 1 72.73.127.337.92737.649657
Di viseurs de V n
233
2
237– 1 223.616318177
Vn
(Sera continué.)
264 + 1
. . . . . . . . . . . .
THÉORIE DES FONCTIONS NUMERIQUES SIMPLEMENT
PÉRIODIQUES
P AR E D O U A R D L U C AS , Professeur au Lycée Charlemagne, Paris.
(Voir pag. 240 et suiv.)
SECTION XXIV.
De l’apparition des nombres premiers dans les séries récurrentes
de première espèce.
Dans les séries récurrentes de première espèce, a et b dési gnent deux
nombres entiers, positifs et premiers entre eux ; il est d’abord évident que les
diviseurs premiers de a et de b, ou de Q = ab, ne se trouvent j amais comme
facteurs dans la série ; il ne sera pas tenu compte de ces di viseur s dans tout
ce qui va suivre. On déduit immédiatement de la première des for mules (4),
la démonstration du théorème de F E R M A T . En effet, on a, en négli geant les
multiples de p, suppos é premier et i mpair,
2 p −1
ap −bp
≡ δ p −1 , (Mod. p)
a −b
Multiplions les deux ter mes de la congruence par = a – b, nous obtenons
2 p – 1 (a p – b p ) ≡ (a – b) p , ( Mod. p) ;

supposons a – b = 2, et divisons par 2 p – 1 il vient
a p – b p ≡ a – b, (Mod. p) ;
ou, encore
a p – a ≡ b p – b, (Mod. p) ;
Ainsi, le reste de la division de a p – a, par p premier, ne change pas lorsque
l’on di minue a de deux unités, et par suite de 2, 4, 6, 8, . unités ; mais pour
a = 0 ou a = 1, ce reste est nul ; donc a p – a est touj ours divis ible par le
nombre premier p, quelque soit l ’entier a. Par suite, si le nombre entier a
n’est pas di visible par p, la différence a p – 1 – 1 est di visible par p ; c’est précisément l’énoncé du t héorème en question.
En supposant maintenant a et b quelconques, mais non di visibles par p,
les différences
a p – 1 – 1 et b p – 1 – 1
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
290
sont di visibles par p ; donc, si a – b n'est pas divisible par p, on a
U p −1 =
a p −1 − b p −1
≡0 ,
a−b
(Mod. p) .
Par conséquent, les di fférents termes des séries récurrentes de première es pèce contiennent, en exceptant les diviseurs de Q = ab et de = a – b, tous
les nombres premiers en facteurs.
Mais, s 'il est vrai que p divise U p – 1 , on peut, dans la plupart des cas,
trouver un ter me de r ang inférieur à p – 1, et divisible par p. Dés ignons par
‚
le rang d’arrivée ou d’apparition du no mbre premier p dans la série
des U n ; il résulte des principes exposés (Section XI), que l’on a, pour k
entier et positif,
ƒ
Uk
0 , (Mod. p) ;
…
„
ainsi, tous les termes divisibles par p ont un rang égal à un multiple
quelconque du rang d’apparition.
Il résulte encore des principes exposés (Section XIII), que les ter mes,
dont le rang est un multiple quelconque de (p – 1) p – 1 , sont divisibles par
p ; mais il peut exister d'autres ter mes di visibles par p , pou r deux raisons
bien différentes ; 1° lorsque le rang d'arrivée
de p diffère de p – 1 ; 2°
lorsque le nombre premier p arri ve pour la première fois à une puissance supérieure à la première ; mais, cela connu, il est facile de tenir compte de ces
singularités. En génér al, si m dési gne un nombre quelconque premier avec Q,
et (m) l’indicateur de m, c’est -à-dire le nombre des entiers inférieurs et premiers à 271, on a la congruence
†
†
†
ƒ
‡
(135)
U
ˆ
(m)
0 , (Mod. m) ;
…
cette congruence correspond au théorème de F E R M A T généralisé par E U LE R .
Inversement, si l’on a
Un
…
0 , (Mod. m) ;
On en déduit
‰
n = k
,
‰
dési gnant un certain diviseur de (m), et k un entier positif quelconque.
Les résultats que nous venons d'obtenir conduisent à la for me li néaire
des diviseurs premiers de U n . En effet, si
désigne touj ours le rang d'arri vée de p, on a, puisque U p – 1 est di visible par p,
‡
ƒ
p – 1 =k 0
ƒ
,
et, par suite
(136)
p =k 0
ƒ
+ 1 .
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
291
Nous appellerons diviseurs propres de U n t ous les facteurs premiers de U n
que l 'on ne rencontre pas dans les termes de rang inférieur, et diviseurs impropres, les facteurs premiers contenus préalablement dans les t er mes.de la
série. On a alors les deux propositions sui vantes :
T H E O R E M E I : Les di viseurs impropres des termes U n des fonctions
simplement périodiques sont des diviseurs propres des termes dont le rang
est un diviseur de n.
T H E O R E M E II : Les diviseurs propres des termes U n des fonctions périodiques de première es pèce appartiennent à l a forme linéaire kn + 1.
Enfin, si l’on obser ve que l’on a trouvé
U2n = UnVn .
on a encore :
T H E O R E M E III : Les di viseurs propres de V n appartiennent à la forme linéaire 2kn + 1.
On déduit encore de ce qui précédé la démonstration du théorème, sui vant, qui n'est qu'un cas particulier du théorème de L E J E U N E -D I R I C H LE T , sur
les progressions arithmétiques :
T H E O R E M E IV : Quel que soit l’entier m, il y a une série indéfinie de
nombres premiers de la forme linéaire km + 1.
En effet, il est d'abord évident que, pour une valeur suffisamment
grande de n, le ter me U n possédé nécessairement un ou plusieur s diviseurs
propres de la for me kn + 1. Par conséquent, si l’on fait successivement n égal
à
m, pm, p 2 m, p 3 m, . . . p m,
Š
p étant premier, les termes correspondants possèdent tous, à partir d’un certain
rang, des diviseurs de la forme considérée ; le théorème est donc démontré.
Il r és ul t e encor e, du théor ème I ( Sect i on XX ) , que ces di vi s eur s appar t i ennent en outr e aux di vi s eur s de l a f or me quadr at i que x 2 ± py 2 , s ui vant
que l ’ on pr end pour p un nombr e pr emi er de l a f or me 4q + 3, ou de l a f or me
4q + 1.
Les théorèmes précédents per mettent encor e de déter miner les di viseurs
des fonctions numéri ques de première espèce ; nous donnerons d’abord les
deux exemples sui vant s dus à E U LE R .
E X E M P LE I : Soit, dans la série de F E R M A T ,
U 6 4 = 2 6 4 – 1 = 18446 74407 37095 51615,
on a, d'après les for mules précédentes,
U64 = U1 V1 V2 V4 V5 V16 V32 ;
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
292
on a i mmédiatement les décompositions en facteurs premiers
U 1 = 1, V 1 = 3, V 2 = 5, V 4 = 17, V 8 = 257, V 1 6 = 65537 ;
et
V 3 2 = 42949 67297.
Les diviseurs de V 3 2 appartiennent à la forme linéaire 64k + 1 ; en essayant
les diviseurs premiers de cette for me
193, 257, 449, 577, 641,
on trouve
V 3 2 = 641
67 00417. *
L’essai des di viseurs premiers de même for me
641, 769, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113,
‹
et inférieurs à la racine carrée du second facteur de V 3 2 , indique presque i mmédiatement que 67 00417 est un nombre premier.
F E R M A T avait annoncé, mais sans dire qu’ il en eût la démonstr ation,
n
dans une lettre du 18 Octobre 1640, que la for mule 2 2 + 1 donnait touj ours
des nombres premiers. Cette for mule se trouve en défaut, d’après la décompositi on précédente, due à E U LE R , pour n = 5.
On sait d’autre part, que G A U S S a démontré que l’on peut diviser l a cirn
conférence en 2 2 + 1 parties égales, lorsque ce nombre est premier, et seulement dans ce cas, par la règle et le compas . Nous indiquerons plus loin une
méthode de recherche du mode de composition des nombres de cette forme,
basée sur la distribution des nombres premi ers dans la série de P E L L . Par la
méthode que nous venons d’exposer, en supposant que le nombre
6
2 2 + 1 = 18446 74407 37095 51617,
soit premier, il faudrait à un seul calculateur, pour le démontrer, t out en profitant de la forme 128k + 1, i mposée aux diviseurs de ce nombr e, environ
trois mille ans de travail assidu. † Par notre méthode, il s uffit de trente heures, pour décider si ce nombre est premier ou composé.
E X E M P LE II : Soit encore, dans la série de F E R M A T , le ter me
U 3 1 = 2 3 1 – 1 = 21474 83647
dont le rang 31 est un nombre premier. Les diviseurs de U 3 1 sont, sans exception, des diviseurs propres appartenant à la forme linéaire 62k + 1 . Mais,
d’autre part (Section VIII, Théorème I), en tenant compte des formes quadratiques de ses diviseurs, ou des formes linéaires correspondantes 8k’ ± 1, on voit
*
Il est inutile, d’après la loi de répétition, d’essayer 257 qui se trouve dans V 8 . Nous avons démontré que les diviseurs de V 32 appartiennent à la forme 128k + 1. (Académie de Turin, janvier 1878)
†
Aux mathématiciens de toules les parties du monde. — Communication sur la décomposition des
nombres en leurs facteurs simples. Par M. F. L ANDRY . Paris, 1867. (Note de la page 8.)
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
293
que tout di viseur premier de U 3 1 appartient nécessairement à l’une des for mes
linéaires
248k + 1,
248k + 63.
*
« Or, E U LE R nous apprend qu’après avoir es sayé tous les nombres premiers contenus dans ces deux formes, j usqu’à 46339, racine du nombre 2 3 1 –
1, il n’en a trouvé aucun qui fut diviseur de ce nombre ; d’où il faut conclure
confor mément à une assertion de F E R M A T , que le nombre 2 3 1 – 1 est un nombre premier. C’est le plus grand de ceux qui aient été vérifiés j usqu’à présent. » (L E G E N D R E , Théorie des Nombres, 3 e édition, t. I, pag. 229. Paris,
1830.)
E X E M P LE III : On connaissait, depuis quelques années, un nombr e premier plus grand que l e précédent, indiqué par P L A N A , dans son M émoire sur
la Théorie des Nombres, du 2 0 Novembre 1859 †. Soit, en effet
V29 = 329 + 1 ;
ce nombre a tous ses diviseurs propres de la
part, ces di viseurs appartiennent à la for me
suite, aux for mes linéaires 12k + 1 et 12k +
for mes avec la précé dente, on trouve que les
des deux for mes
348k + 1,
ou
for me 58k + 1 ; mais d’autre
quadratique x 2 + 3y 2 , et, par
7. En combinant l’ une de ces
diviseurs de V 2 9 s ont de l’une
348k + 175.
P L A N A a ainsi trouvé l a décomposition
V29 = 22
6091
Œ
28168 76431,
Œ
et vérifié que le dernier facteur est premier. Il a encore indiqué (loc. cit.,
pag. 140 et 141) que l e quotient
329 − 1
= 58 16133 76431 ,
2 × 59
n’a pas de di viseur pr emier inférieur à 52259, et que le nombre 2 5 3 – 1 n’a
pas de di viseur inférieur à 50033. Ces trois assertions sont inexact es ; on a
329 – 1 = 2
3
29
2
53
59
Œ
+ 1 = 22
523
Œ
– 1 = 6361
28537
Œ
Œ
6091
Œ
69431
Œ
203 81027,
Œ
Œ
53 85997
203 94401.
Nous aj outerons que l’on trouve encore dans la mémoire de P L A N A , la décomposition
2 4 1 – 1 = 13367
*
†
Œ
1645 11353.
Lettre à Bernoulli, en 1771, — Mémoires de l’Académie de Berlin, année 1772, pag. 36.
Memorie della Reale Accademia delle Scienze di Torino, 2 e série, t. XXI p. 139. Turin, 1863.
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
294
E X E M P LE IV : Nous donnerons encore quelques exemples de décomposi tion de la fonction numérique
(2m) 2 m – 1 ,
qui j oue un rôle assez i mportant dans les congruences de degré supérieur.
Nous avons trouvé les résultats suivants :
14 7 – 1 = 13
81 08731,

7
14 + 1 = 3
5

20 1 0 – 1 = 3
20
10
22
11
7

+ 1 = 41
– 1 = 3
24
24
12
– 1 = 5
7

7

+ 1 = 97
30
30
15
– 1 = 7
+ 1 = 11
13

19


13
1 52381,

11764 69537,

28 54510 51007,

29

2
251

2 22361,

353

23

3 31777

61

2801
67

19


89

2
28 1 4 – 1 = 3 3
15
11

401

22 1 1 + 1 = 23
12
70 27567,

29


31
79


349
577

601,

11347 93633,

113

73

13007

12211


67

35771


8 37931
271

44 22461

4831
519 41161

71261


5 178311,
dont nous donnerons plus tard l’application à de nouvelles recherches sur le
dernier théorème de F E R M A T .
SECTION XXV.
De l’appparition des nombres premiers dans les séries récurrentes de seconde
et de troisième espèce.
En désignant touj ours par p un nombre premier quelconque, on s ait que
p −1
le reste de la di vision de ∆ 2 par p est touj ours égal à 0, à + 1, ou à – 1,
suivant que
est un multiple, un résidu quadratique, ou un non-résidu quadratique de p. Nous considérerons les cinq cas suivants.
Ž
PREMIER CAS.
p est un diviseur de P.
On a U 2 = P, et par conséquent tous les ter mes U n de rang pair de la
série sont di visibles par p ; en dési gnant par p la plus haute puissance de
p qui divise P, les rangs des ter mes di visibles par p + seront tous les mul tiples de 2p .




Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
D E U X I E M E C AS .
295
p es t un diviseur de Q.
Nous avons, par définition,
2 n ∆U n = ( P + ∆ ) n − ( P − ∆ ) n ,
2 n Vn = ( P + ∆ ) n − ( P − ∆ ) n ;
on a donc, en suppri mant les multiples de Q , par le remplacement de
P 2 , les congruences
‘
par
2 n PU n ≡ ( P + P ) n , (Mod. Q) ,
2 n Vn ≡ ( P + P ) n , (Mod. Q) ,
ou, plus si mplement,
U n ≡ P n −1 , V n ≡ P n , (Mod. Q) .
(137)
Par conséquent, U n et V n ne sont j amais divisibles par Q ou par l’un de ses
diviseurs, puisque P et Q ont été supposés premiers entre eux. D’ailleurs ce
résultat s’applique aux séries de première et de troisième espèce ; lorsque
l’on a Q = ± 1, comme dans les séries de P E L L et de F I B O N A C C I , nous
n’aurons pas à tenir compte du théorème précédent.
T R O I S I E M E C AS . p es t un diviseur de .
Lorsque p est un nombre premier di viseur de , les formules (4) donnent i mmédiatement,
‘
‘
U p ≡ 0 , V p ≡ P , (Mod. p ) .
(138)
et, par suite cette proposition :
T H E O R E M E : Dans la série U de seconde es pèce, tout diviseur premier p
du déterminant
est un diviseur de U p .
‘
Il résulte d’ailleurs des principes exposés précédemment, qu’un diviseur
premier i mpair p de
arri ve pour la première fois, dans U p et à la première puissance.
‘
QUATRIEME CAS.
‘
est résidu quadr atique de p.
En changeant, dans la première des for mules (4), p en p – 1, on a
2 p − 2 U p −1 =
p − 1 p − 2 ( p − 1)( p − 2)( p − 3) p − 4
p −1
P
P ∆ + . . . .+
P∆
1
1. 2 . 3
1
p −3
2
;
et, en appliquant les r ésultats obtenus (Secti on XX I) pour les congruences du
triangle arithmétique,on a
p −3


2 p −2 U p −1 ≡ −  P p −2 + P p −4 ∆ + P p −6 ∆2 + . . . + P∆ 2  , (Mod. p ) ,


et, par suite
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
p −1
p −1
∆2
296
−
, (Mod. p) .
P −∆
Mais on a, par le théorème de F E R M A T , P p – 1 , (Mod. p), et, puisque
est résidu quadratique de p, il en résulte que U p – 1 , est di visible par p. On a donc
ce tte proposition, qui s 'applique aux séries de troisième espèce, en tenant
compte du si gne de
:
T HEOREME : Dans la série récurrente U de seconde ou de troisième espèce,
tout nombre premier p, qui admet pour résidu quadratique, divise le terme U p – 1.
La seconde des for mules (4) donne
2 p − 2 U p −1 ≡ − P
P
2
’
’
’
2 p − 2 V p −1 = P p −1 +
( p − 1)( p − 2) p −3
P ∆+ .... +∆
1. 2
p −1
2
,
et, par suite
2 p − 2 V p −1 ≡ P p −1 + P p −3 ∆ + . . . . + ∆
p −1
2
, (Mod. p ) ,
ou bien
p +1
2 p − 2 V p −1
P p +1 − ∆ 2
, (Mod. p) ,
≡
P2 − ∆
Mais on a, dans le cas présent
P
p +1
≡P
2
et
p +1
∆2
≡ ∆ , (Mod. p ) ;
donc
2 p − 2 V p −1 ≡ 1 , (Mod. p ) ,
et finalement, en multi pliant par 2 et appliquant le théorème de F E R M A T :
(139)
V p – 1 2, (Mod. p) .
“
CINQUIEME CAS.
est non-résidu quadratique de p.
On a, comme précédemment ,
’
p
2 U p +1
p + 1 p ( p + 1) p ( p − 1) p − 2
p +1
P +
P ∆+ .....+
P∆
=
1
1. 2 . 3
1
2 p V p +1 = P p +1 +
( p + 1) p p −1
P ∆+ .....+∆
1. 2
p +1
2
p −1
2
,
,
et, puisque p est premi er,
2U p +1 ≡ P(1 + ∆
p −1
2
2V p +1 ≡ P 2 + ∆ . ∆
Mais, par hypothèse
’
),
p −1
2
.
est non-résidu quadratique de p, et, par suit e
p −1
∆2
≡ −1 , (Mod. p ) ;
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
on a donc
(140)
Up
+ l
”
0 ,
Vp
– l
2Q,
”
297
(Mod. p) ;
de là, cette proposition :
T HEOREME : Dans les séries récurrentes U n de seconde et de troisième espèce, tout,nombre premier p, dont est un non-résidu quadratique, divise U p + l .
•
Dési gnons encore par
le rang d'arri vée du nombre premier p dans la
série des U n , et par k un nombre entier quelconque ; on a
Uk
0 , (Mod. p) ;
–
˜
—
par conséquent, si p n'est pas di viseur de Q ou de
k0 = p
1,
, on a
•
™
–
en prenant le signe – ou le signe + sui vant que
p ; on en déduit
p = k 0 ± 1,
•
est résidu ou non-résidu de
–
et, par conséquent :
T HEOREME : Dans les séries récurrentes de seconde espèce, les diviseurs
propres de U sont de la forme linéaire p = k ± 1, suivant que
est résidu
ou non-résidu de p.
š
›
•
En sui vant une marche analogue à celle que nous avons sui vie dans le
paragraphe précédent, on obtient par la consi dération des di viseurs de U p , le
théorème sui vant.
œ
T HEOREME : Il y a une série indéfinie de diviseurs premiers communs aux
formes quadratiques x 2 – Qy 2 et x12 − py12 , lorsque p designe un nombre premier
de la forme 4q + 1 ; et une série indéfinie de diviseurs communs aux deux formes
x 2 – Qy 2 et x12 − py12 , lorsque p désigne un nombre premier de la forme 4q + 3.
•
Nous appliquerons les résultats qui précédent, aux séries de F I B O N AC C I
et de P E L L . Pour la première, on a P = 1, Q = – 1, et
= 5, d’autre part, on
*
sait, que le nombre 5 est résidu de tous les nombres premiers qui sont rési dus de 5, et non-résidus de tous les nombres prei miers i mpairs qui sont nonrésidus de 5 lui -même. Par conséquent :
•
Dans la série de F I B O N A C C I , tout nombre premier pair, de la forme
10q±1, d ivise le terme de rang p – 1, et tout nombre p premier i mpair de la
forme 10q±3 divise le terme de rang p + 1.
D’ailleurs, les nombres 2 et 5 di visent respectivement les ter mes dont le
rang est un multiple de 3 ou de 5.
*
G AUSS . — Disquisitiones Arithmeticæ. Nos. 121, 122 et 123.
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
298
Pour la série de P E L L , P = 2, Q = – 1,
= 22
2 ; d’autre part, on
sait que le nombre 2 est résidu de tout nombre qui n’est pas divisible par 4,
ni par aucun nombre premier de la for me 8q + 3 ou 8q + 5, et non-résidu de
tous les autres ; par conséquent :

ž
Dans la série de P E L L , tout nombre premier p de la forme 8q ± 1 divise
U p – 1 , et tout nombre premier p dà la forme 8q ± 3 divise U p + 1 .
Les théorèmes que nous venons de démontr er conduisent à la décomposition des termes des séries récurrentes de seconde et de troisième espèce, en
facteurs premiers. On a ainsi, par exemple, dans la série de F I B O N A C C I :
U 4 1 = 1655 80141 = 2789
59369,
ž
U 5 3 = 5 33162 91173 = 953
U 5 9 = 95 67220 26041 = 353
559 45741
ž
ž
27102 60697.
Nous aj outerons une remarque i mportante dont on retrouve l’ori gine dans la
correspondance de F E R M A T , mais seulement pour les séries de première es pèce.
Soit encore, par exemple, la série de F I B O N A C C I ; les nombres premiers
p, d es for mes linéaires 20q + 13 et 20q + 17, divisent U p + 1 , et l’on a
p + 1 = 20q + 14
ou
p + 1 = 20q + 18,
U20q+14 = U10q+7V10q+7 ,
et
U20q+18 = U10q+9V10q+9 ;
et aussi
mais, d’autre part, les diviseurs de V 2 n + 1 appartiennent aux for mes linéaires
20q + 1, 9, 11, 19 ; par conséquent, les nombres premiers de la forme
20q + 13 ou 20q + 17 divisent respecti vement U 1 0 q + 7 et U 1 0 q + 7 et disparaissent
de la série des V n qui ne contient donc pas tous les nombres premi ers. En appliquant ce raisonnement aux séries de F E R M A T et de P E L L , on en déduit les
principes suivants :
Dans la série de F I B O N AC C I , les termes V n ne contiennent aucun nombre
premier des for mes linéaires 20q + 13, 20q + 17.
Dans la série de F E R M A T , les termes V n ne contiennent aucun nombre
premier de la forme 8q + 7.
Dans la série de P E L L , les termes V n ne contiennent aucun nombr e premier de la for me 8q + 5.
Nous donnons dans le tableau de la page 299, la décomposition en facteurs premiers des termes de la série de F I B O N A C C I , li mitée aux s oixante premiers ter mes.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
89
144
233
377
610
987
1597
2584
4181
6765
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
Di v. p r o p r e s
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
n
1655 80141
2679 14296
4334 94437
7014 08733
11349 03170
18363 11903
29712 15073
48075 26976
77787 42049
1 25862 69025
13 46269
21 78309
35 24578
57 02887
92 27465
149 30352
241 57817
390 88169
632 45986
1023 34155
24
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
63 76021
90481.
953 559 45741.
5779.
661 4 74541.
14503.
43 71901.
59 19489.
27102 60697.
2521
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Di v is e ur s p r o p r e s
557 2417.
2207.
19801.
3571.
1 41961.
107.
73 149 2221.
9349.
1 35721.
2161.
Ÿ
2789 59369.
211.
4334 94437.
43 307.
1 09441.
139 461.
29712 15073.
1103.
97 61 68709.
101 151.
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
24
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
7
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
37
2
Ÿ
Ÿ
—
3 7 47.
2 89.
1597.
5 13.
33 17 19.
—
113.
233.
11 41.
Ÿ
Ÿ
5
Ÿ
52
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
3
Ÿ
—
23 13 29 421.
—
3 89 199.
2 5 17 61.
28657.
—
26 32 7 23 47.
13.
11 3001.
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
353
Ÿ
Ÿ
2 1597.
3 233 521.
—
17 19 53 109.
5 89.
72 13 29 281.
2 37 113.
5 14229.
—
11 31 41 61.
Ÿ
5
Ÿ
23
3
Ÿ
32
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Di v is e ur s i mp r o p r e s
T AB LE A U D E S F A C TE U R S P R E M I E R S D E L A S E R I E R E C U R E N T E D E L E O N A R D D E P I S E .
Di v. i mp r o p r es
1.
1.
2.
3.
5.
—
13.
7.
17.
11.
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Ÿ
—
24 32
—
13.
2 5.
3 7.
—
23 17.
—
5 11.
Ÿ
un
—
—
—
—
—
2 3.
—
3.
2.
5.
89.
—
233.
29.
61.
47.
1597.
19.
113.
41.
2 03650 11074
3 29512 80099
5 33162 91173
8 62675 71272
13 95838 62445
22 58514 33717
36 54352 96162
59 12867 29879
95 67220 26041
154 80087 55920
Ÿ
37
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
Ÿ
Ÿ
3
421.
199.
28657.
23.
3001.
521.
53 109.
281.
5 14229.
31.
Ÿ
Ÿ
2 13.
89.
—
24 32 7.
5 2.
233.
2 17.
3 13 29.
—
23 5 11 61.
Ÿ
un
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
10946
17711
28657
46368
75025
1 21393
1 96418
3 17811
5 14229
8 32040
Ÿ
n
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Ÿ
299
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
300
SECTION XXVI.
Sur la périodicité des fonctions numériques et sur la généralisation
du C ANON A RITHMETICUS .
Les résultats développés dans les deux sections précédentes, conduisent
immédiatement à la périodicité numérique des fonctions que nous étudions
ici, par la considération de leurs résidus suivant un module premi er p ou sui vant un module quelconque m. Cette question a été présentée sous une forme
différente, et seulement pour les séries de première espèce, par G A U S S , dans
les Disquisitiones Arithmeticæ, sous le nom de théorie des indices, et développée par J AC O B I dans le Canon Arithmet icus. Tous ces résultats peuvent
être résumés et généralisés, dans le théorème fondamental s uivant, qui
contient une extension du Théorème de F E R M A T généralisé par E U L E R .
T H E O R E M E F O N D AM E N T A L : Si l’on désigne par m un nombre premier
avec le produit des r acines d’une équation du second degré à coefficients
commens urables,
m =p r s . . . . ,
¡
¢
p −1
∆
par
le discriminant de l’équation, et par   le reste de la division de ∆ 2
 p
par p, et égal à + 1 ou à – 1, suivant que
est résidu quadratique, ou nonrésidu quadratique de p ; et, soit, de plus
£
£
¤

 ∆  
 ∆    ∆ 
(m) = pπ −1r ρ −1sσ −1 . . .  p −    r −    s −   . . . ,
 r    s 
 p  

on a la congruence
Uψ ( m ) ≡ 0 , (Mod. m) .
(142)
Réciproquement, si U n est divisible par m, l e nombre n est un multiple
quelconque d’un certain diviseur de (m).
Ce nombre est, par extension, l’exposant auquel appartient a ou b par
rapport au module m ; on retrouve le théorème d’ E U L E R , en suppos ant b = 1.
Quant à la périodicité numérique des résidus, elle résulte des for mules
d’addition. On a d’abord, en faisant n = k dans les for mules (49),
¥
¦
§
¨
2U m + k = U m V k + U k V m ,
©
©
2V m + k = V m V k +
©
par conséquent, si
série des U n , on a
(143)
ª
©
£
©
UmUk ;
©
désigne le rang d’arri vée du nombre premier p dans la
2 U m + kω ≡ VkωU m ,
2 Vm + kω ≡ VkωVm ,
(Mod. p).
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
301
Supposons d’abord qu’il s’agisse des fonctions de première espèce, ou
lorsque
est résidu de p, d es fonctions de deuxième et de troisième espèce ;
déter minons le nombre k de telle sorte que l’ on ait
«
Vkω ≡ 2 , (Mod. p ) ,
ce qui a lieu pour k = p – 1, mais aussi, dans la plupart des cas, pour un
certain diviseur de p – 1 ; on aura alors, pour h entier et positif, mais quel conque, les for mules
U m + kω ≡ U m ,
(144)
(Mod. p).
Vm + kω ≡ Vm ,
¬
­
Celles ci sont analogues aux for mules qui donnent la périodicité des
fonctions circulaires ; leur application conduit, lorsque l’on remplace le
nombre premier p par un module quelconque m, et que l’on tient compte de la
loi de répétition, à des formules nouvelles contenant la généralis ation de résultats indiqués par A R N D T et S A N C E R Y . *
Mais dans le cas des séries de seconde et de troisième espèce il n’en est
plus absolument de même, lorsque
est non-résidu de p . En posant
’ = p + 1 , on a alors ;
U m +ω ' ≡ Q U m ,
(Mod. p),
Vm +ω ' ≡ Q Vm ,
et, plus généralement, pour k entier et positif ,
U m + kω ' ≡ Q kU m ,
(145)
(Mod. p) ;
Vm + kω ' ≡ Q kVm ,
par conséquent, si désigne l’exposant auquel appartient Q suivant le module
p, on aura
U m + kµω ' ≡ U m ,
(Mod. p).
Vm + kµω ' ≡ Vm ,
Ainsi dans ce dernier cas, l’amplitude de la période est égale à
’.
«
¬
®
®
¬
SECTION XXVII.
Sur l’inversion du théorème de F ERMAT et sur la vérification des grands nombres
premiers.
On sait que le théorème de W I LS O N qui consi ste, pour p premier, dans la
congruence
1 . 2 . 3 . . . . . ( p − 1) ≡ −1 , (Mod. p ) ,
*
Journal de Crelle, t. xxxi ; pag. 260 et suiv. 1846. — Bulletin de la Société Mathématique de
France, t. iv, pag. 17 et suiv. Paris, 1876.
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
302
s’applique exclusivement aux nombres premiers, et donne, par suite, un procédé théorique, mais i llusoire dans la pratique, pour reconnaitre si un nombre
donné est premier . Il n’en est pas de même du théorème de F E R M A T . En désignant par a un nombre inférieur à p on a
a p −1 ≡ 1 , (Mod. p ) ;
mais ce théorème n’est pas restreint aux nombres premier s, et cette
congruence peut être vérifiée pour des modules composés ; ainsi, on a, par
exemple,
2 37 × 73 −1 ≡ 1 , (Mod. 37 × 73) .
Cependant, on peut énoncer le théorème s uivant que l’on doit considérer
comme la proposition réciproque de celle de F E R M A T .
T H E O R E M E : Si a x – 1 est divisible par p, lor sque x = p – 1, et n’es t pas
divisible par p, pour x inférieur à p – 1, le nombre p est premier .
On sait que, dans ce cas, a est une racine primitive de p ; de plus, il est
facile de voir que si p – 1 est égal à une puissance de puissance de 2, a est
non-résidu quadratique de p. Ce théorème rentre dans le suivant, dont la démonstration résulte immédiatement des pr opriétés des fonctions numériques
simplement périodiques, et s’applique aux trois espèces de séries :
T H E O R E M E F O N D AM E N T A L : Si dans l’une des séries récurrentes U n , le
terme U p – 1 est divisible par p, sans qu’aucun des termes de la série dont le
rang est un diviseur de p – 1 le soit, le nombre p est premier ; de même si
U p + 1 est divisible par p, sans qu’aucun des t ermes de la série dont le rang est
un diviseur de p + 1 le soit, le nombre p est premier.
En effet, puisque p divise U p ± 1 , tous les ter mes di visibles par p ont un
rang égal à un multiple quelconque d’un certain diviseur de p ± 1 ; d’autre
part, supposons p non premier et égal, par exemple, au produit de deux nombres premiers r et s , on a
U r ±1 ≡ 0 , (Mod. r ) ,
U s ±1 ≡ 0 , (Mod. s) ,
et, par suite le terme dont le rang est (r ± 1)(s ± 1) est divisible par rs ;
mais, par hypothèse p divise le ter me de rang rs ± 1, et, par cons équent aus si, le ter me dont le rang est égal à la différence des précédents, c’est -à-dire
(r ± 1) (s ± 1) – (rs ± 1) ,
ou bien
± r ± s ± 1 ± 1 .
Mais ce dernier nombr e est évidemment plus petit que rs ; par conséquent, si
p n’est pas premier, il divise un ter me dont l e rang est inférieur à p ± l ; c’est
ce que ne s uppose pas l’énoncé.
On obtiendrait le même résultat en supposant p égal à un nombre i mpair
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
303
quelconque, en faisant voir (Section XXVI, Théor. fond.) que
m ± 1 –
¯
(m)
est plus petit que m ± 1.
Dans l’application de ce théorème, on calcul e les termes dont le rang est
un di viseur quelconque de p ± 1, au moyen des for mules d’addition et de mul tiplication des fonctions numériques, que nous avons exposées ci -dessus .
Nous donnerons d’abord un exemple numéri que très -si mple.
E X E M P LE : Soit
2 7 – 1 = 127.
Pour savoir si 127 est premier, nous calculons U 1 2 8 dans la série de F I B O N A C C I ; on a alors les for mules
V4 n+ 2 = V22n+1 + 2 ,
V4 n = V22n − 2 ;
on for me ainsi le tableau
U 4 = U 2 (V12 + 2) = U 2 × 3 ,
U 8 = U 4 (V22 − 2) = U 4 × 7 ,
U16 = U 8 (V42 − 2) = U 8 × 47 ,
U 32 = U 16 (V82 − 2) = U 16 × 2207 ,
U 64 = U 32 (V162 − 2) = U 32 × 48 70847 ,
U128 = U 64 (V322 − 2) = U 64 × 2732 51504 97407 .
Or 127 di vise le der nier facteur et ne divise aucun des précédents, ainsi
2732 51504 97407 = 127
18 68122 08641 , par conséquent 127 est un nombre premier. On si mplifie considérablement le calcul par la méthode des
congruences, en remplaçant continuellement les nombres V 2 , V 4 , V 8 , . . . . par
leurs résidus sui vant l e module 127. En tenant compte de cette obs ervation, le
tableau précédent devi ent :
°
V4 = 3 2 − 2 = 7 ,
V8 = 7 2 − 2 = 47 ,
V16 = 47 2 − 2 ≡ 48 ,
(Mod. 127).
V32 ≡ 48 − 2 ≡ 16 ,
2
V64 ≡ 16 2 − 2 ≡ 0 .
Cette méthode de véri fication des grands nombres premiers, qui repose sur le
principe que nous venons de démontrer, est la seule méthode directe et pratique, connue actuellement, pour résoudre l e problème en questi on ; elle est
opposée, pour ainsi dire à la méthode de vérification d’ E U LE R , déduite de la
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
304
considération des résidus potentiels. Dans celle-ci, on di vise le nombre soupçonné premier, par des nombres inférieurs à sa racine carrée, et qui appar tiennent à des formes linéaires déterminées que l’on doit d’abord calculer ; le
dividende est constant , et le diviseur variable, mais inférieur, il est vrai, au
nombre es sayé ; c’est l’insuccès de ces di visions dont le nombre est considérable, mal gré la for me linéaire du diviseur , qui conduit à affirmer que le
nombre essayé est premier . Dans notre méthode, au contraire, on divise, par
le nombre soupçonné premier, des nombres d’un calcul facile, obtenus par la
multiplication des fonctions numériques ; ici le dividende est variable et le
diviseur constant ; par conséquent, on remplace les divisions par de simples
soustractions, si l’on a calculé préalablement les dix premiers multi ples de ce
diviseur constant ; en outre, le nombre des opérations est peu considérable ;
c'est le succès de l 'opération qui conduit à affirmer que le nombr e essayé est
premier. Ainsi, en cas de réussite, notre méthode est affranchie de l’incertitude des calculs numér iques.
Pour vérifier la dernière assertion du P. M E R S E N N E , sur le nombre supposé premier
2257 – 1 ,
et qui a soixante-dix- huit chiffres, il faudrait à l’humanité tout entière, for mée de mille millions d'indi vidus, calculant simultanément et sans interruption, un temps supérieur à un nombre de siècles représenté par un nombre de
vingt chiffres ; par notre méthode, il suffit d’effectuer successivement les
carrés de 250 nombres ayant 78 chiffres, au plus ; cette opération ne demanderait pas, à deux calculateurs habiles contrôlant leurs opérations, plus de
huit mois de travail. Nous appliquerons d’abord le théorème fondamental à la
vérification des grands nombres premiers de la série de F E R M A T qui appar tiennent à la for me
p = 24q
+ 3
– 1 ,
dans laquelle nous supposerons l’exposant 4q + 3 égal à un nombre premier
tel que 8q + 7 soit un nombre composé. En effet, si 4q + 3 n'est pas premier
le nombre p est composé ; d'autre part, nous avons démontré (Section XXIII)
que si 4q + 3 et 8q + 7 sont premiers, le nombre p est encore composé.
En supposant p premier, on a i mmédiatement
A
±
23 – 1 ,
(Mod. 5) ;
donc, dans cette hypot hèse p est non-résidu de 5, et divise le ter me dont rang
est égal à p + 1 ou à l’un des diviseurs de p + 1, dans la série de F I B O N A C C I ;
mais tous ces di viseurs sont de la for me 2 , et pour for mer les termes qui
correspondent à ces r angs , il suffit d'appliquer les for mules de duplication
²
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
305
des fonctions numériques. On a alors
U
2 λ +1
= U λV
2
et V
2λ
2 λ +1
λ
= [V λ ]2 − 2 (−1) 2 ,
2
et l’application du théorème fondamental donne le principe sui vant :
T H E O R E M E II : Soit le nombre p = 2 4 q + 3 – 1 pour lequel 4q + 3 est
premier, et 8q + 7 composé ; on forme la série r n
1, 3, 7, 47, 2207, . . . . .
par la relation, pour n > l ,
rn +1 = rn2 − 2 ;
le nombre p est premier lorsque le rang du premier ter me, divi sible par p,
occupe un rang compr is entre 2q + 1 et 4q + 2 ; le nombre p est composé, si
aucun des 4q + 2 premiers termes de la sér ie n’est divisible par p ; enfin, si
désiqne le rang du premier terme divisible par p, les diviseurs de p appartiennent à la forme linéaire 2α K ± 1 , combinée avec celles des diviseurs de
x2 − 2y2 .
³
Dans la pratique, on calcule par congruences, en ne conser vant que les
résidus suivant le module p, ainsi que nous l'avons montré précédemment
pour le nombre p = 2 7 – 1 . Nous avons indiqué un autre procédé de calcul,
qui repose sur l’empl oi du système de numération binaire, et qui conduira la
construction d’un mécanis me propre à la vérification des grands nombres
premiers.
Dans ce s ystème de numération, la multipli cation consiste si mplement
dans le déplacement longitudinal du multiplicande ; d'autre part, il est clair
que le reste de la divi sion de 2 m par 2 n – 1 est égal à 2 r , r dési gnant le reste
de la di vision de m par n ; par conséquent dans l’essai de 2 3 1 – 1, par exemple, il suffira d’opérer sur des nombres ayant, au plus, 31 chiffres. Le tableau
de la page 306 donne le calcul du résidu de V 26 déduit du résidu de V 25 sui 2
2
vant le module 2 3 1 – 1, par la for mule
V
2 26
≡ (V
2 25
) 2 − 2 , ( Mod . 231 − 1) ;
les carrés noirs représentent les unités des différents ordres du système bi naire, et les carrés blancs représentent les zéros. La première ligne est le résidu de V 25 ; les 31 premières lignes numérotées 0 – 30 figurent le carré de
2
V
2 25
; les 4 lignes numérot ées 0, 1, 2, 3 du bas de la page indiquent l’addition
des unités de chaque colonne, avec les reports ; on a retranché une unité de la
première colonne à gauche ; enfin la dernièr e ligne est le résidu de V 26 .
2
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
306
30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0
1
2
3
µ
µ
´
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
´
µ
µ
´
´
´
µ
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
´
´
µ
µ
´
´
´
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
´
´
´
µ
µ
µ
´
´
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
´
´
µ
µ
µ
´
´
´
µ
µ
µ
´
´
´
´
µ
µ
´
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
µ
µ
µ
µ
´
µ
µ
µ
µ
´
µ
´
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0
1
2
3
´
µ
µ
µ
µ
µ
´
µ
´
µ
µ
´
´
µ
´
´
µ
´
µ
´
µ
´
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
µ
´
µ
µ
´
´
´
µ
´
´
µ
´
µ
µ
µ
´
´
µ
´
´
´
µ
´
µ
µ
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
µ
µ
´
µ
´
µ
µ
´
µ
µ
µ
´
µ
µ
µ
´
µ
µ
µ
µ
´
µ
µ
´
µ
´
´
´
µ
µ
´
µ
µ
´
´
µ
µ
µ
´
µ
µ
´
µ
µ
µ
´
´
µ
µ
µ
´
µ
µ
µ
µ
´
µ
´
µ
´
µ
´
µ
´
µ
µ
´
µ
´
µ
´
µ
µ
´
µ
µ
´
µ
µ
µ
´
µ
´
µ
´
µ
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
´
´
´
µ
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
µ
µ
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
µ
µ
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
µ
µ
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
´
µ
´
µ
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
µ
µ
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
´
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
µ
´
µ
µ
µ
µ
µ
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
´
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
´
µ
´
´
´
´
´
µ
µ
´
´
´
´
´
´
µ
´
´
´
µ
µ
µ
C A LC U L D U R E S I D U D E V
µ
2 26
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
´
´
µ
µ
´
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
´
´
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
´
´
´
´
µ
´
µ
µ
´
´
´
´
´
´
´
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
´
´
´
2 25
µ
µ
µ
´
µ
µ
´
V
´
µ
´
AU M O Y E N D E
´
µ
´
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
µ
´
´
µ
´
µ
´
µ
µ
´
´
µ
´
´
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
´
µ
´
´
µ
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
µ
´
µ
´
µ
µ
´
´
µ
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
µ
µ
´
´
´
µ
´
´
µ
´
µ
µ
µ
µ
µ
µ
´
´
µ
´
µ
´
µ
´
´
µ
µ
´
µ
´
µ
´
µ
µ
´
µ
´
´
µ
µ
´
µ
´
µ
µ
µ
´
´
µ
µ
´
´
µ
´
µ
µ
µ
´
µ
´
µ
µ
µ
´
µ
´
µ
µ
´
´
´
´
´
´
´
´
´
µ
S U I V A N T LE M O D U LE
´
2 3 1 – 1.
Le tableau de la page 307 contient l’ensemble de tous les résidus de V 2 ,
V 2 , V 3 , . . . . . V 29 , V 30 sui vant le module 2 3 1 – 1. La der nière ligne, entiè2
2
2
2
rement composée de zéros, nous montre que 2 3 1 – 1 est premier.
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
307
30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
·
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
·
·
·
¶
¶
¶
·
·
·
·
·
·
·
¶
·
¶
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
¶
¶
¶
¶
·
·
¶
·
·
·
¶
¶
·
¶
·
·
·
¶
¶
·
·
·
¶
¶
·
¶
¶
·
·
·
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
·
·
¶
¶
¶
¶
·
·
¶
·
·
·
¶
·
·
·
·
·
·
¶
¶
¶
·
·
·
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
·
·
¶
¶
¶
·
·
·
·
·
·
·
·
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
·
·
·
¶
·
·
·
·
·
¶
·
·
·
·
·
·
·
·
·
¶
¶
¶
¶
¶
·
·
¶
¶
¶
¶
·
·
·
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
·
·
¶
¶
·
·
¶
¶
¶
¶
·
·
·
¶
¶
¶
·
·
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
·
·
·
·
¶
·
·
¶
¶
·
¶
¶
¶
¶
·
·
¶
¶
¶
¶
·
·
¶
¶
¶
¶
·
¶
¶
¶
·
¶
¶
¶
¶
¶
¶
·
·
·
¶
·
¶
¶
·
·
·
·
·
·
·
¶
¶
·
¶
·
·
¶
¶
·
·
·
·
¶
¶
·
·
¶
·
·
¶
¶
·
¶
¶
·
·
¶
¶
¶
·
·
¶
¶
¶
¶
·
¶
·
¶
¶
¶
·
·
¶
¶
¶
·
¶
·
¶
·
·
¶
·
·
¶
¶
¶
·
¶
·
¶
¶
¶
·
·
¶
·
¶
¶
·
¶
¶
¶
¶
¶
·
¶
¶
¶
·
¶
·
·
¶
·
·
·
¶
·
¶
·
·
·
·
·
¶
·
·
¶
·
¶
·
¶
¶
¶
·
·
·
·
·
¶
¶
·
¶
·
¶
·
·
¶
¶
·
·
¶
·
·
·
¶
·
·
¶
·
¶
¶
·
·
·
¶
¶
¶
·
¶
¶
·
¶
¶
¶
·
¶
·
¶
¶
·
¶
¶
·
·
¶
¶
·
¶
¶
¶
¶
·
·
¶
·
·
¶
·
·
¶
·
·
·
·
¶
·
¶
·
·
·
¶
·
·
¶
·
¶
¶
¶
·
¶
·
·
·
·
¶
·
¶
¶
·
·
·
¶
·
·
·
¶
·
·
¶
·
·
·
¶
¶
¶
·
¶
¶
¶
¶
¶
¶
·
¶
¶
·
·
¶
¶
¶
·
·
·
·
·
¶
·
·
¶
·
¶
·
¶
·
¶
¶
·
·
¶
¶
·
·
·
·
¶
¶
·
·
·
¶
·
·
¶
¶
·
¶
·
·
·
¶
·
¶
¶
·
·
·
¶
·
·
¶
¶
·
·
·
·
¶
¶
·
¶
·
·
¶
¶
·
¶
·
¶
·
·
¶
·
¶
¶
¶
·
¶
·
¶
¶
·
·
¶
·
¶
·
·
¶
¶
¶
·
¶
·
¶
¶
·
·
¶
·
¶
¶
¶
·
·
·
¶
¶
¶
¶
¶
¶
·
¶
·
¶
·
¶
¶
¶
·
·
¶
·
·
·
¶
·
¶
·
¶
·
¶
¶
·
·
¶
¶
·
¶
¶
¶
·
·
¶
¶
¶
¶
¶
¶
·
·
·
·
·
¶
·
¶
·
·
·
¶
¶
¶
·
·
·
¶
·
¶
¶
·
¶
·
·
·
¶
·
¶
·
¶
·
¶
·
¶
·
¶
¶
¶
¶
·
·
·
·
·
¶
¶
¶
¶
·
¶
·
¶
·
¶
¶
·
¶
¶
·
¶
·
¶
·
¶
·
¶
¶
·
¶
·
¶
¶
·
·
¶
·
¶
¶
·
¶
·
·
¶
¶
·
¶
·
¶
¶
·
¶
·
·
¶
·
·
¶
·
¶
¶
·
·
¶
·
¶
¶
·
¶
·
·
¶
¶
¶
·
¶
·
·
·
·
¶
·
·
·
¶
¶
·
¶
¶
¶
¶
¶
·
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
D I A G R A M M E D U N O M B R E P R E M I E R 2 3 1 – 1.
Ce tableau est, en quelque sorte, un fragment du Canon Arithmeticus,
1± 5
correspondant au nombre premier 2 3 1 – 1 pour la racine pri mitive
.
2
On pourrait ainsi construire les diagrammes des nombres premiers de la
for me 2 4 q + 3 – 1. Nous donnons aussi celui du nombre 2 1 9 – 1 ; nous espérons
donner ultérieurement ceux des nombres 2 6 7 – 1 et 2 1 2 7 – 1.
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
308
18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
¹
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¹
¹
¸
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¸
¸
¹
¹
¸
¸
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¹
¹
¹
¹
¸
¹
¸
¸
¹
¹
¹
¹
¸
¹
¹
¸
¹
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¹
¹
¹
¹
¸
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¸
¸
¸
¹
¹
¹
¹
¹
¸
¹
¹
¸
¸
¸
¸
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¸
¹
¸
¸
¸
¸
¹
¹
¹
¸
¹
¹
¹
¸
¹
¹
¸
¹
¸
¹
¹
¸
¹
¸
¸
¸
¹
¹
¸
¹
¹
¸
¹
¸
¸
¸
¹
¸
¹
¹
¸
¹
¸
¹
¸
¸
¹
¹
¹
¹
¸
¸
¹
¸
¸
¸
¹
¹
¸
¸
¹
¹
¸
¹
¸
¹
¹
¹
¸
¹
¹
¹
¹
¸
¸
¹
¸
¹
¸
¹
¹
¹
¹
¸
¹
¹
¹
¹
¹
¸
¹
¸
¹
¹
¹
¹
¸
¹
¸
¹
¹
¸
¹
¹
¸
¹
¸
¹
¸
¹
¹
¸
¸
¹
¸
¹
¸
¸
¹
¹
¹
¸
¹
¹
¸
¸
¹
¹
¸
¸
¹
¸
¹
¸
¹
¸
¸
¹
¸
¹
¸
¹
¸
¹
¸
¹
¹
¹
¹
¸
¹
¹
¸
¸
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¹
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16
18
D I A G R A M M E D U N O M B R E P R E M I E R 2 1 9 – 1.
Lorsque l’on aura, par l’application du théor ème fondamental, à vérifier
3 n± 1
de grands nombres premiers de la forme
, on emploiera aussi avec suc3 ±1
cès le s ystème ternaire, dans lequel on se servira seulement des chiffres 0, 1
et 1, à caractéristiques positives on négati ves . Pour la vérification des grands
n
nombres de la for me 10 2 + 1 , on se servira facilement du s ystème déci mal,
pou r le calcul des rési dus.
Lorsque le nombre es sayé n’est pas premier, nous avons vu qu’ on ne
trouvera aucun résidu nul. Soit, par exempl e, le nombre p = 2 1 1 –1= 2047 ;
les résidus que nous considérons sont, dans ce cas,
1, 3, 7, 47, 160, 1034, 620, – 438, – 576, 160, . . . . . ,
et se reproduisent péri odiquement à partir de 160 sui vant les cinq r ésidus
160, 1034, 620, – 438, – 576.
On peut donner une autre forme d’énoncé, au Théorème II, et aux sui vants, en tenant compte des formules qui concernent les radicaux continus
(Section XV) ; on a, par exemple :
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
309
T H E O R E M E III : Pour que le nombres p = 2 4 q + 3 – 1 soit premier, il faut
et il suffit que la congruence
3 ≡ 2 cos
π
2
2 q+1
, (Mod. p ) ,
soit vérifiée, après la disparition successive des radicaux contenus dans la
valeur du cosinus .
Nous démontrerons ultérieurement que cette condition est nécessaire et
suffisante.
On obser vera encore que les nombres de la s érie
1, 3, 7, 47, 2207, . . . . .
appartiennent tous, à partir du troisième, à la forme linéaire 5q + 2 ; mais,
d’autre part (Section VIII, Théor. II), les di viseurs de ces nombres appartiennent aux for mes linéaires
20q + 1, 3, 7, 9 ;
par conséquent, chacun des termes de la série précédente contient un diviseur
premier de la for me 5q + 2; il en résulte i mmédiatement cette propositi on :
T H E O R E M E IV : Il y a une infinité de nombres premiers appartenant à la
forme linéaire 5q + 2.
On voit encore que les nombres de la série ont la forme 8h + 7 ; mais,
d’autre part, la for me des diviseurs quadrati ques indique que les diviseurs de
ce s nombres sont de l’une des for mes 8h + 1, ou 8h + 7 ; par conséquent,
chacun des nombres de la série contient au moins un di viseur de la for me
8h + 7, et, par suite :
T H E O R E M E V : I1 y a une infinité de nombres premiers appartenant à la
forme linéaire 8h + 7.
Les théorèmes sui vant s per mettent d’arriver à un grand nombre de théorèmes analogues, qui sont des cas particuliers du théorème fondamental de
L E J E U N E -D I R I C H LE T , sur la progression arithmétique. Nous devons observer
cependant, que les nombres de la forme 5q + 2 ne sont pas tous compris dans
la série que nous considérons ici, et qu’il en est de même dans tous les autres
cas. Ainsi les théorèmes précédents différent, au fond, des cas analogues de
la progression arithmétique. La méthode que nous employons s’applique
d’ailleurs, très -facilement, a la démonstration du théorème général suivant :
T H E O R E M E V I – Si A et Q désignent deux nombres quelconques pr emiers
entre eux, la série
r0, r1, r2, r3, . . . . rn ,
dans laquelle on a
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
310
n
r0 = A , r1 = A 2 + 2Q , rn +1 = rn2 − 2Q 2 ,
contient comme diviseurs, des nombres premiers tous différents.
Les for mules de mult iplication des fonctions numériques conduisent à
des résultats analogues.
Par des considérations semblables aux précédentes, on démontrera les
théorèmes sui vants.
T H E O R E M E V II : Soit l e nombre p = A.2 q – 1, et
1°, q ≡ 0 ,
A ≡ 3,
2°, q ≡ 1 ,
A ≡ 7,
(Mod. 4) , et
ou
3°, q ≡ 2 ,
A ≡ 1,
4°, q ≡ 3 ,
A ≡ 1,
on forme les q premiers termes de la série
r1, r2, r3, r4, . . . . ,
par la relation de r écurrence
rn +1 = rn2 − 2 ,
≡ 9,
≡ 9,
≡ 7,
≡ 3,
(Mod. 10) ;
en prenant pour r 1 et r 2 les termes U A et V A , de la série de F I B O N A C C I . Le
nombre p est premier, lorsque le rang du premier terme divisible par p est
égal à q. Si
désigne le rang du premier terme divisible par p, les diviseurs
de p sont de la for me 2 .A.k ± 1, combi née avec celle des diviseurs de
x 2 − 2 y 2 et de x 2 − 2Ay 2 .
º
»
T H E O R E M E V III : On obtient un théorème semblable en prenant
p = A.2 q + 1 ,
avec les valeurs
1°, q ≡ 0 ,
2°, q ≡ 1 ,
3°, q ≡ 2 ,
4°, q ≡ 3 ,
(Mod. 4) ,
et
A ≡ 5,
A ≡ 5,
A ≡ 5,
A ≡ 5,
ou
≡ 3,
≡ 9,
≡ 7,
≡ 1,
(Mod. 10) ;
soit, par exemple, p = 3.2 1 1 – 1 = 6143. On f or me la série des résidus
4, 18, 322, – 749, 1986, 388, 3110, 3016, 4614, 499, 0 ;
donc, p = 6143 est premier .
T H E O R E M E IX : Soit le nombre
p = A.3 q – 1 ,
avec les valeurs
1°, q ≡ 0 ,
2°, q ≡ 1 ,
3°, q ≡ 2 ,
4°, q ≡ 3 ,
(Mod. 4) ,
et
A ≡ 4,
A ≡ 6,
A ≡ 2,
A ≡ 2,
ou
≡ 8,
≡ 8,
≡ 6,
≡ 4,
(Mod. 10) ;
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
311
on forme les q premiers termes de la série
r1, r2, r3, . . . . ,
par la formule de récurrence
rn +1 = rn3 + 3rn2 − 3 ,
déduite des formules de triplication, avec les conditions initiales
U
r0 = U A , r1 = 3 A ,
UA
dans la série de F I B O N A C C I ; le nombre p est premier lorsque le rang du
premier terme divisible par p est égal à q ; si
désigne le rang du premier
terme divisible par p, les diviseurs de p sont de la forme 3 .A.k ± 1 , combinée avec celle des diviseurs quadratiques correspondants.
E X E M P LE : Pour p = 2.3 7 – 1, les résidus sont
2, 17, 1404, 0 ;
¼
½
donc p = 4373 est un nombre premier, puisqu’il n’a pas de diviseur inférieur
a sa racine carrée.
T H E O R E M E X : On a un théorème analogue en supposant
p = A.3 q + 1 ,
avec les valeurs
q ≡ 0,
q ≡ 1,
(Mod. 4) ,
q ≡ 2,
q ≡ 3,
et la relation de récur rence
et
A ≡ 0,
A ≡ 0,
A ≡ 0,
A ≡ 0,
≡ 8,
≡ 6,
ou
≡ 2,
≡ 4,
(Mod. 10) ;
rn +1 = rn3 − 3rn2 + 3
E X E M P LE : Pour p = 2.3 6 + 1, on a les résidus
4, 19, – 57, 569, – 212, 0 ;
donc p = l459 est premier .
T H E O R E M E X I : Soit le nombre
p = 2A.5 q + 1 ,
on forme la série limitée à q ter mes, r 0 , r 1 , r 2 , r 3 , . . . ,
par la relation de r écurrence
rn +1 = rn5 + 5rn3 + 5rn ,
et les conditions initiales
r0 = UA , r = U5A ,
dans la série de F I B O N A C C I ; le nombre p est premier, lors que le rang du
premier terme divisible par p est éqal à q ; il est composé, si aucun des q
termes n’est divisible par p ; enfin, si
désigne le rang du premier résidu
nul, les diviseurs premiers de p sont de l’une des formes 2A.5 k± 1.
¼
½
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
312
SECTION XXVIII.
Sur la division géométrique de la circonférence en parties égales.
Dans la section précédente, nous n’avons considéré que la vérifi cation
des nombres premiers par l’emploi de la séri e de F I B O N A C C I ; il es t clair que
toutes les autres séries donnent lieu à de semblables théorèmes ; par suite de
l’indétermination lais sée à la somme P et au produit Q des deux racines de
l’équation fondamentale, on pourra touj ours s’assurer du mode de composi tion d’un nombre p, lorsque l’on connaitra l’une ou l’autre des décomposi tions de p + 1 ou de p – 1, en facteurs premiers. Nous donner ons encore
l’application du théorème fondamental, aux nombres premiers dans lesquels
on peut di viser géomét riquement la circonfér ence, en parties égales .
La théorie de la di vi sion géométrique de la circonférence, en parties
égales, a été donnée par G A U S S , dans la dernière section des Di squisitiones
Arithmeticæ. Il est convenu que cette opération ne peut être exécutée que des
trois manières sui vant es : 1° par l’emploi si multané de la règle et du compas ,
comme dans la cons truction ordinaire du décagone régulier (E U C L I D E ) ;
2° par l’emploi du compas sans la règle (M A S C H E R O N I ) ; 3° par l’emploi de
la double règle, sans compas , c’est -à-dire d’une règle plate dont les deux
bords sont rectilignes et parallèles. Cette idée ingénieuse est due à M. D E
C O A TP O N T , colonel du génie.
G A U S S a démontré que, pour di viser. géométriquement la circonférence
en N parties égales, il faut et il suffit que
N = 2 . ai . aj . ak . . . . ,
¿
¾
étant arbitraire, a i . a j . a k . . . . des nombres premiers et différents, en
nombre quelconque, mais de la for me
n
an = 2 2 + 1 .
On a, pour les premièr es valeurs de n,
a 0 = 3,
a 1 = 5,
a 2 = 17,
a 3 = 257,
a 4 = 65537
mais a 5 est di visible par 641 (Section XX VI) , et ne peut être compris dans
l’expression de N. Il reste donc deux questions importantes à résoudre :
1° comment peut on s ’assurer que a n est pr emier ? 2° existe-t -i l une série
indéfinie de nombres premiers a n ? Nous ne répondrons, pour l’i nstant, qu’à
la première question.
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
313
Si a n est premier, le nombre Q est résidu quadratique de a n ; donc, dans
la série de P E L L , Van −1 est divisible par a n ; mais a n – 1 a pour diviseurs les
nombres,
2 , 22 , 23, . . . . 2n ;
on a donc, par l’application du théorème fondamental, et par les for mules de
duplication, le théorème sui vant :
n
T HEOREME I : Soit le nombre a n = 2 2 + 1 ; on forme la série des 2 n – 1 termes,
6, 34, 1154, 13 31714, 17 73462 17794, . . . . ,
tels que chacun d’eux est éqal au carré du précédent diminué de deux unités ;
le nombre a n est premier, lorsque le premier terme divisible par a n est compris entre les termes de rang 2 n – 1 et 2 n – 1 ; il est composé, si aucun des ternies de la série n’est divisible par a n ; enfin si a < 2 n – 1 désigne le rang du
premier terme divisible par a n , les diviseurs premiers de a n appartiennent à
la forme linéaire
22
n +1
.q +1 .
On obtiendrait un théorème analogue pour l’essai des grands nombres
premiers de la for me
n
A. 22 + 1 .
Le savant P. P E P I N a présenté à l’ Académie des Sciences de Paris
(Comptes rendus, 6 Août 1877), un autre théorème pour reconnaitre les nombres premiers a n , qui rentre dans notre méthode générale. En effet, au lieu de
nous ser vir de la série de P E L L , nous pouvons employer beaucoup d’autres
séries récurrentes, et ainsi la série récurrente de première es pèce, dont les
termes sont donnés par l’expression
Ur =
ar − br
,
a−b
dans laquelle a et b désignent deux nombr es entiers arbitraires. En faisant
b = 1 et a quelconque, on obtiendra un théorème analogue au précédent ;
mais si, de plus, par l a loi de réciprocité des résidus quadratiques , on choisit
pour a un non-résidu de a n suppo sé premier , a = 5, par exemple, il est clair
que le rang du premier résidu nul sera exactement égal à 2 n – 1. De cette façon, la for me ambi güe donnée à l’énoncé de nos théorèmes dis parait, il est
vrai, et l’on obtient alors une condition nécessaire et suffisante pour que a n
soit premier. Il serait facile de tenir compte de cette obs er vation, et de donner une série de théor èmes analogues, dans la recherche de la condition nécessaire et suffisante pour qu’un nombre 2 n p ± 1 soit premier, l orsque désigne un pr oduit de facteurs premiers donnés, et p un nombre pr emier arbi traire. On a, par exemple, les théorèmes sui vants.
À
À
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
314
T H E O R E M E II : Lorsque p = 10q + 7 ou p = 10q + 9 est un nombre
premier, le nombre 2p – 1 est premier si l’on a, dans la série de F I B O N A C C I ,
U p ≡ 0 , (Mod. 2 p − 1) ,
et réciproquement.
T H E O R E M E III : Lorsque p = 4q + 3 est un nombre premier, le nombr e
2p + 1 est premier si l ’on a, dans la série de F E R M A T ,
U p ≡ 0 , (Mod. 2 p + 1) ,
et réciproquement.
T H E O R E M E IV : Lorsque p = 4q + 3 est un nombre pr emier, le nombr e
2p – 1 est premier si l ’on a, dans la série de P E L L ,
U p ≡ 0 , (Mod. 2 p − 1) ,
et réciproquement.
On doit cependant obs erver que si la méthode indiquée par le P. P E P I N ,
conduit à une forme plus claire et plus précise de l’ènoncé, qui devient ainsi
semblable à celui du théorème de W I LS O N , il est préférable de s’en tenir,
dans l’application, à la forme que nous avons adoptée. En effet, l’application
de ces théorèmes repose sur une hypothèse, celle de considérer comme premier un nombre pris arbitrairement dans une certaine for me ; il es t plus probable de supposer, au contraire, le nombre comme composé, ainsi que semble
l’indiquer l’assertion du P. M E R S E N N E . Par conséquent, au lieu de reculer la
vérification, j usqu’à l’extrême li mite, par l’ emploi des non-résidus quadrati ques, il serait plus pr atique, dans l’exemple, de se ser vir de l’un des (2 n – 1 )
nombres qui appartiennent à l’exposant 2 n – 1 , pour le module a n supposé premier ; mais cette recherche directe est fort difficile. On s’assurera cependant
que, par le théorème I, il suffit, pour démontrer que a 2 , a 3 , a 4 , sont premiers,
d’exécuter respectivement 3, 6, 12, opérations au lieu du nombre 4, 8, 16, qui
lui correspond dans l’autre méthode.
Á
SECTION XXIX.
Sur la vérification de l’assertion du P. M ERSENNE .
Nous avons indiqué l a marche à sui vre pour les nombres de la, for me
2 4 q + 3 – 1 ; il nous reste à indiquer une marche analogue pour les nombres de
la for me p = 2 4 q + 1 – 1, tels que
261 – 1 , 297 – 1 , . . . . , 2257 – 1.
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
315
En supposant p premi er, – 1 est non-résidu de p pu isque p est de la forme
4k + 3, et 2 est résidu de p, puisque p est de la for me 8k + 7 ; donc – 2 est
non-résidu de p. Par conséquent, la s érie conj uguée de celle de P E L L , c’est -àdire la série provenant de l’équation,
x 2 = 2x + 3 ,
dans laquelle
P = 2 ,
Q = – 3 ,
Â
= 22
Ã
( – 2) ,
est propre à la vérification des nombres premiers que nous considérons, puis que, si p est premier, U p + 1 est di visible par p. Les diviseurs de p + 1 représentent toutes les puis sances de 2 j usqu’à l’exposant 4q + 1 ; il s uffira donc
de calculer les résidus de
U 1 , V1 , V2 , V4 . . . . V
24 q
,
par les for mules ordinaires de duplication.
Mais nous devons encore faire une observation importante, au poi nt de
vue du calcul. Puisque l’on emploie la f or mule
V
λ
2 λ +1
= ( V λ ) 2 − 2Q 2 ,
2
il est bon, si l’on effectue le calcul des résidus dans le système de numération déci male, de supposer Q = ± 1, ou Q = ± 10 n ; car s ans cela, on double
la longueur des calculs, ainsi qu’il est facile de s’en apercevoir ; si l’on
opère dans le s ystème de numération binaire, il sera commode de supposer Q
égal, en valeur abs olue, à l’unité ou à une puissance de 2.
Il est donc préférable d’employer la séri e récurrente provenant de
l’équation
x 2 = 4x – 1 ,
a=2+ 3 ,
dans laquelle
et
p = 4,
En supposant que p = 2
réciprocité,
4q+1
Q = 1,
b=2− 3 ,
Â
= 22
Ã
3 .
– 1 est un nombre premier, on a, par la loi de
3
 p
  = −  ,
3
 p
puisque p et 3 sont tous deux des multiples de 4 plus 3 ; d’autre part, par le
théorème de F E R M A T
2 4 q +1 − 1 ≡ 1 , (Mod. 3) ;
donc 3 est non-résidu de p, supposé premier , et, dans ce cas, U p + 1 est divisi ble par p. Les di viseurs de p + 1 sont égaux à toutes les puis sances de 2
j usqu’à 4q + 1, et, de plus, Q = 1.
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
316
Par conséquent, on for mera la suite des résidus
4, 14, 194, 37634, . . . .
tels que chacun d’eux est égal au carré du précédent di minué de deux unités.
E X E M P LE : Soit le nombre 2 1 3 – 1 = 8191 ; on trouve les résidus
4, 14, 194, 4870, 3953, 5970, 1857, 36, 1294, 3470, 128, 0 ;
donc le nombre 2 1 3 – 1 est premier.
On a donc le théorème suivant :
T H E O R E M E : Soit le nombre p = 2 4 q + 1 – 1 ; on forme la série des résidus
4, 14, 194, 37634, . . . . ,
tels que chacun d’eux est égal au carré du précédent diminué de deux unités ;
le nombre p est composé, si aucun des 4q + 1 premiers résidus n’est égal à
0 ; le nombre p est premier si le premier r ésidu nul occupe un r ang compris
entre 2q et 4q + 1 ; si le ranq du premier résidu est égal à
< 2q , les
diviseurs de p appart iennent à la for me linéaire
Ä
2
+1
Å
k + 1.
On aurait encore des t héorèmes analogues pour les nombres de la for me
A . 2 4 q + 1 –1 .
Avant de terminer ce paragraphe, nous ferons observer que nous pensons
n’avoir qu’effleuré le suj et qui nous occupe. Il reste à trouver , comme pour
les nombres premiers , un criterium des nombres composés, af franchi de
l’incertitude des calculs numériques ; dans un grand nombre de cas, lorsque
le nombre essayé n’es t pas premier, il se pr ésente une période dans la suite
des résidus ; mais, s ’il est vrai, comme nous l’avons démontré (Section
XXVI), que cette période existe, lorsque l’on considére l’ensemble des résidus de tous les ter mes de la série récurrente, il n’est pas démontré que cette
période se manifester a, si l’on ne considére qu’un certain nombre d’entre
eux, dont les rangs s ont en progression géométrique. C’est là un problème
important à résoudre.
En second lieu, lorsque l’ensemble des calculs démontre que le nombre
essayé n’est pas premier, peut -on arri ver facilement , par la connaissance de
la série des résidus calculés, à la décomposition du nombre que l’on avait
supposé premier ? Ces résidus forment, comme nous l’avons dit, un fragment
d’un Canon Arithmeti cus généralisé, qu e l’ on peut comparer aux tables des
logarithmes des sinus et des cosinus, ainsi que l’on compare le Canon Arithmeticus lui -même, aux tables des logarithmes des nombres. C’est là un second problème à résoudre.
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
317
Nous avons encore indiqué (Sections IX et XXI) , une première généralisation de l’idée principale de ce mémoire, dans l’étude des séries récurrentes
qui naissent des fonctions symétriques des racines des équations algébriques
du troisième et du quatrième degré, et, plus généralement, des r acines des
équations de degré quelconque, à coefficients commensurables. On trouve en
particulier, dans l’étude de la fonction.
Un =
∆(a n , b n , c n , . . . . . )
,
∆(a , b , c , . . . . . )
dans laquelle a, b, c,….désignent les racines de l’équation, et ∆ (a , b , c , . . . )
la fonction alternée des racines, ou la racine carrée du discrimi nant de
1’équation, la général isation des principales for mules contenues dans la première partie de ce travail.
Enfin, il reste à dével opper la théorie de la division des fonctions numériques, et son application à l’analyse indét er minée du second degré et des
degrés supérieurs ; c’est une étude que nous espérons publier prochainement.
Nous donnons d’ailleurs, dans le dernier par agraphe qui suit, une autre généralisation des fonctions numériques périodi ques, déduite de la considération
des séries ordonnées s uivant les puissances de la variable.
SECTION XXX.
Sur la périodicité numérique des coefficients différentiels des fonctions rationnelles
d’exponentielles.
L’étude des nombres premiers contenus dans les dénominateur s des
coefficients des puissances de la variable, dans les développements en séries,
lorsque l’on suppose ces coefficients réduits à leur plus simple expression, a
conduit E I S E N S T E I N à la découverte d’un théorème remarquable. En effet, ce
théorème fournit un cr iterium qui per met de décider, à la seule ins pection des
facteurs premiers du dénominateur, si la fonction qui représente la somme de
la série supposée convergente, est algébrique ou transcendante.
On sait encore que l’étude des facteurs premiers contenus dans les
zn
numérateurs des coefficients Bn, de
dans le développement
1. 2 . 3... n
z
de
, ou, en d’autres termes, dans les numérateurs des nombres de
1− ez
BERNOULLI, a conduit CAUCHY, MM.
GENOCCHI et KUMMER, à
d’importants résultats sur la théorie des résidus quadratiques, et sur
celle de l’équation indéterminée
xp + yp + zp = 0 ,
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
318
dont F E R M A T a affir mé l’impossibilité en nombres entiers, pour p > 2. Ainsi
M. K U M M E R a démont ré que cette équation ne peut être vérifiée par des nombres entiers, lorsque p ne se trouve pas comme facteur dans les numérateurs
des nombres de B E R N O U L L I B 2 , B 4 , B 6 , . . . B p – 3 . *
En se plaçant à un point de vue différent, M M. C L A U S E N et S T A U D T ont
donné pour ces nombr es cette expression remarquable
B2 n = A2 n −
1 1 1
1
,
− − −...−
2 α β
λ
dans laquelle A 2 n est un nombre entier, et les dénominateurs 2, , , , .... ,
tous les nombres premiers qui surpassent d’une unité tous les diviseurs de
2n. Cette for mule conduit au procédé le plus rapide pour le calcul de ces
nombres ; M. A D A M S vient de donner, par son emploi, les valeurs des 62
premiers nombres (Bri tish Association, — Plymouth, Août 1877.)
Æ
Ç
È
É
Nous avons indiqué aussi comment l’application combinée des théorèmes de F E R M A T et de S T A U D T conduit à cett e propriété que les nombres
a (a 2 n – 1) B 2 n ,
sont entiers, quel que soit l’entier a. Nous allons montrer que l’étude des
xn
coefficients de
dans le développement des fonctions rationnelles
1. 2 . 3... n
d’exponentielles, ou, en d’autres ter mes, les coefficients différentiels de ces
fonctions, pour x = 0, conduit à des pr opriétés i mportantes.
On sait, en effet, que si l’on remplace x par les nombres entiers consécutifs dans la fonction
Ê
(x) = Aa x + Bb x + Cc x + Dd x + . . . .
dans laquelle A, B, C, D, . . . . et a, b, c, d, . . . . sont entiers, on a, pour p
premier et k entier quelconque, la congruence
(148)
φ [ x + k ( p − 1) ] ≡ φ ( x) , (Mod. p).
Nous avons étendu cette propriété aux fonctions numériques U n et V n ; il
est facile, de voir que cette proposition s’applique aux coefficients différentiels d’une fonction entière de e x et de e – x . Il nou s reste à montrer que cette
*
Nous avons modifié les diverses notations qui concernent ces nombres. La présente notation se
prête beaucoup plus facilement aux développements que comporte la théorie de ces nombres. Voir, sur
ce sujet, les Notes insérées dans les Comptes rendus de l’Académie des Sciences de Paris (Septembre
1876), dans les Annali di Matematica (2 e série, tome VIII), dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (2 e série, tome XVI, pag. 157), dans la Nouvelle Correspondance Mathématique (tome II, pag. 328,
et tome III, pag. 69), dans The Messenger of Mathematics, (Octobre 1877), etc.
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
319
proposition s’applique encore aux coefficients différentiels d’une fonction
rationnelle de e x et de e – x .
Soit d’abord
(149)
séc x = 1 + a 2 x 2 + a 4 x 4 + a 6 x 6 + . . . . ;
M. S Y LV E S TE R a appelé nombres Eulériens (Comptes rendus, t. LII,
pag. 161), les coefficients, pris en valeur absolue, déter minés par l a relation
(150)
E 2 n = ( – 1) n 1, 2, 3 . . . . (2n) Q 2 n ;
on a, par le changement de x en x − 1 , la for mule symbolique
u=
(151)
2
= e Ex ,
−x
e +e
x
dans laquelle on remplacera, dans le dével oppement du second membre les
exposants de E par des indices ; ainsi
d n u0
dx 0n
= En .
En chassant les dénominateurs de l’identité
l’identification des coefficients de x n , la for mule
(152)
(E + 1) n + (E – 1) n = 0 ,
(151),
on
obtient,
par
qui per met de calculer les nombres Eulériens par voie récurrente. On a aussi
le déter minant
E 2 n = (−1) n
(153)
1
1
0
0
.
.
.
.
0
1
1
6
15
1
15
0
1
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
1
C 22n
C 24n
C 26n
.
.
.
.
C 22n
;
ce déter minant est formé par les lignes de rang pair et les colonnes de rang
impair du triangle arithmétique. Les nombr es Eulériens sont entiers et impairs ; S H E R K a démontré qu’ils sont terminés alternativement par les chiffres
1 et 5 *. Ces propriétés sont des cas particuliers des sui vantes.
En tenant compte des résultats obtenus (Sect ion XXI), sur les congruences du triangle arithmétique, la for mule (152) donne, pour p premier, et
n = p −1
E p −1 + E p −3 + E p −5 + . . . + E 2 + E1 ≡ 0 , (Mod. p ) ;
(154)
on a donc cette propos ition :
*
Journal de Crelle, t. 79, pag. 67.
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
320
T H E O R E M E : Si p est un nombre premier, l a somme des nombres Eulériens, pris avec les signes alternés + et – , dont l’indice est plus petit que
p, est divisible par p.
Les premières valeurs de E sont donnés par les relations
E 2 + E 0 = 0,
E 4 + 6E 2 + E 0 = 0,
E 6 + 15E 4 + 15E 2 + E 0 = 0,
. . . . . . . . . . . ,
. . . . . . . . . . . ;
on a ensuite, par congruence, à partir de E p + 1 pour le module premier p
E p +1 + E 0 ≡ 0 ,
E p +3 + 3E p +1 + 3E 2 + E 0 ≡ 0 ,
E p +5 + 10 E p + 3 + 5 E p +1 + 5E 4 + 10 E 2 + E 0 ≡ 0 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .;
la comparaison des deux groupes de for mules qui précédent, donne successi vement
E p +1 ≡ E 2 , (Mod. p) ,
(155)
E p +3 ≡ E 4 ,
"
E p +5 ≡ E 6 ,
"
. . . . . . . . .
On obtient de même, en général, pour k entier quelconque
E 2 n + k ( p −1) ≡ E 2 n , (Mod. p) ,
(156)
et, par suite :
T H E O R E M E : Les résidus des nombres Euléri ens, suivant un modul e premier quelconque, se reproduisent périodiquement dans le même or dre, comme
les résidus des puissances des nombres enti ers.
Posons maintenant
α
2
x
x2
xn


uα =  x
E
E
E
.
.
.
E
=
+
+
+
+
+ ...

α ,0
α ,1
α ,2
α ,n
−x
1
1. 2
1. 2 ... n
e +e 
ou, sous la for me s ymbolique
uα = e
(157)
E x
α
,
les coefficients E , n s ont déter minés par la relation symbolique
(158)
E , n = [E’ + E’’+ E’’’+ . . . . + E ( ) ] n ,
Ë
Ë
Ë
dans le développement de laquelle on remplace les exposants de E’, E’’, …
E ( a ) par des indices, et en suppri mant les accents. On a aussi la for mule
Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Si mplement Périodiques.
(159)
E
Ì
,n
= [E
Ì
–1
321
+ E1]n ,
dans laquelle en remplace les exposants de E – 1 et de E 1 , par des seconds indices. Ces nombres E , n que nous appellerons les nombres Eulériens d’ordre
sont entiers pour
entier et positif ; on démontre, comme ci -dessus, que
leurs résidus sui vant un module premier se reproduisent périodiquement, et
que l’on a encore
Ì
Ì
Í
Í
Eα , n ≡ Eα , n + k ( p −1) , (Mod. p) .
(160)
Ces considérations s’ appliquent, en général, aux coefficients dif férentiels d’une fraction rat ionnelle de e x , mais, dans certaines conditions, comme
dans le cas de
φ (1)
.
φ (e x )
1
qui
1− ex
contient les nombres de B E R N O U L LI , ce théorèrne ne se présente plus i mmédiatement, puisque les coefficients ne sont plus entiers, et contiennent en dénominateur une série indéfinie de nombres premiers. Alors, on les multiplie
par d’autres fonctions telles que
Cependant, lorsque
Î
( 1) est nul, comme dans le développement de
a (a n – 1)
afin de les rendre entiers, et d’appliquer les résultats qui proviennent des
congruences du triangle arithmétique.
P AR IS , Décembre, 1877.