Exercice 13-19 (ancien Kane) – 13-21 (nouveau Kane)

Exercice 13-33 (ancien Kane) – 13-37 (nouveau Kane) :
Un homme transporte de grosses pierres dans son bateau. Arrivé au centre
du lac, il les jette par-dessus bord. Une fois l’opération terminée, le niveau
du lac a-t-il monté, descendu ou gardé la même valeur ?
Données :
ρ = masse volumique de l’eau
ρp = masse volumique de la pierre
ρ < ρp
Formules :
Parchi = ρ Vdep g
Résolution :
Il faut calculer le volume d’eau déplacé par la barque et les pierres avant et
après avoir lancé les pierres dans l’eau :
Avant
Après
La barque remplie de pierres flotte, donc on La barque vide flotte, donc
a:
Parchi = Poids de la barque
Parchi = Poids de la barque + Poids pierres
Parchi = ρ Vdep1 g = Mb g
Parchi = ρ Vdep g = Mb g + Mp g
 Vdep1 = Mb/ρ
 Vdep = Mb/ρ + Mp/ρ
Mais les pierres sont au fond de
l’eau => elles déplacent un volume
d’eau égal à leur propre volume
 Vdep2 = Mp/ρp
Le volume déplacé total vaut :
V’dep = Vdep1 + Vdep2
V’dep = Mb/ρ + Mp/ρp
Maintenant nous pouvons comparer Vdep et V’dep
Comme ρ < ρp, on a que Vdep > V’dep
Quand on jette les pierres à l’eau, on déplace donc moins d’eau que quand
on les transporte dans la barque => le niveau baisse !
Exercice 13-31 (ancien Kane) – 13-37 (nouveau Kane):
Un morceau de chêne pèse 90 N dans l’air. Un bloc de plomb pèse 130 N
quand il est immergé dans l’eau. Attachés l’un à l’autre, ils pèsent 100 N
dans l’eau. Quelle est la masse volumique du bois ?
Données :
P(chêne) = 90 N
P(plomb) dans l’eau = 130 N
P(chêne + plomb) dans l’eau = 100 N
ρeau = 1000 kg/m3
Inconnue : ρbois ?
Formules :
Parchi = ρliq.Vim.g
Résolution :
(1)
P(chêne) = 90 N = ρbois x Vbois x g
P(plomb) dans l’eau = 130 N = (ρplomb x Vplomb x g) – (ρeau x Vplomb x g)
Poids (plomb)
Poussée archi (plomb)
P(chêne + plomb) dans l’eau = 100 N
= Poids(chêne) + Poids(plomb) – Poussée(plomb) – Poussée(chêne)
= 90 N + 130 N- (ρeau x Vbois x g)
=> ρeau x Vbois x g = 120 N
=>Vbois = 120/(g. ρeau) = 0.0122 m3
Dès lors, grâce à (1) on peut trouver ρbois = 90N/(g.Vbois) = 750 kg/m3
-2-
Exercice 13-19 (ancien Kane) – 13-21 (nouveau Kane) :
Le cerveau d’un être humain debout se trouve à 0.5 m au-dessus du cœur.
Si une personne se penche et que son cerveau se situe à 0.4m en dessous
de son cœur, quel est le changement de la pression du sang dans le
cerveau ?
Données :
ρ(sang) = 1059.5 kg/m3
h = 0.5 m
h(penché) = -0.4m
Formules :
Bernoulli : Pcerv + ρghcerv = Pcoeur + ρghcoeur
=> Pcerv = Pcoeur - ρg(hcerveau - hcoeur)
On perd de la pression lorsque le sang monte ! => Moins de pression au
cerveau qu’au cœur !
=> ∆Pcerv = ρgh1 - ρgh2 = ρg∆h
Résolution :
La différence de pression de sang dans le cerveau entre la position debout
et penchée viendra de la différence de hauteur par rapport au cœur :
∆h = h-h(penché) = 0.5-(-0.4) = 0.9 m
=> ∆P = 1059.5 x 9.8 x 0.9 = 9.34 kPa
-3-
Exercice 13-22 (ancien Kane) – 13-24 (nouveau Kane) :
Un pilote d’avion à réaction redresse son avion après un piqué. Il subit une
accélération de 3g dirigée vers le haut. Prédisez la pression du sang au
niveau de son cerveau.
3g
Données :
ρ(sang) = 1059.5 kg/m3
Pcoeur = 13300 Pa
a = 3g
Résolution :
Si le corps subit une accélération a vers le haut, son poids effectif est
donné par m(g+a) => on doit utiliser l’équation de Bernoulli en remplaçant
g par (g+a).
Bernoulli : Pcerv + ρ(g+a)hcerv = Pcoeur + ρ(g+a)hcoeur
=>Pcerv = Pcoeur - ρ(g+a)(hcerv – hcoeur)
Ici, a = 3g et ∆h = hcerv – hcoeur = 0.4 m
=> Pcerv = Pcoeur – 4gρ∆h
= 13300 – 4x9.8 x 1059.5 x0.4 = -3300 Pa = -3.3 kPa
=> le sang n’arrive plus au cerveau et le pilote perd conscience (et la vie!)
-4-
Exercice 13-45 (nouveau Kane) - Exercice 13-39 (ancien Kane) :
Lors d’une transfusion de sang complet, l’aiguille est insérée dans une
veine où la pression est de 2000 Pa. A quelle hauteur, par rapport à la
veine, faut-il placer le récipient de sang pour que le sang puisse tout juste
entrer dans la veine ?
Données :
ρ(sang) = 1059.5 kg/m3
Pveine = Patm + 2000 Pa
Précipient = Patm
=> Pveine - Précipient = 2000 Pa
Formules :
Bernoulli : Pveine + ρghveine = Précipient + ρghrécipient
=> Pveine - Précipient = ρg(hrécipient – hveine)
La hauteur de la veine est choisie comme hveine = 0 m.
Résolution :
Pveine - Précipient = ρg(hrécipient – hveine)
2000 = 1059.5 x 9.8 x hrécipient
=> hrécipient = 2000/(1059.5 x 9.8) = 0.193 m
-5-
Exercice 13-41 (ancien Kane) – 13-47 (nouveau Kane) :
Pour vider un réservoir d’eau, on utilise un siphon de section A = 3 10-4
m2. On ferme les deux bouts du siphon initialement rempli d’eau, ensuite
on place l’un des deux bouts à 25 cm en dessous de la surface libre du
réservoir. L’autre, on la laisse pendre à l’extérieur du récipient à 50cm en
dessous du bout immergé. Calculer la vitesse de l’eau à la sortie du siphon
après l’ouverture des extrémités du siphon. Le débit est-il constant ?
Quelle est la vitesse de l’eau à la sortie quand la surface libre du réservoir
se trouve à 10 cm au-dessus du bout immergé ?
Données :
(1)
25 cm
50 cm
A = 3 10-4 m2
(2)
Formules :
Bernouilli en (1) et (2)
P1 + ρgh1 + ½ ρv12 = P2 + ρgh2 + ½ ρv22
P1 = P2 = Patm
v1 = 0
=> ρgh1 = ρgh2 + ½ ρv22
=> gh1 = gh2 + ½ v22
=> v2 = [2g(h1-h2)]1/2
Résolution :
-6-
∆hmax = h1-h2 = 0.75 m => v2 = [2g(h1-h2)]1/2 = [2x9.8x(0.75)]1/2 = 3.83 m/s
Le débit n’est pas constant étant donné que débit = Av2. Comme v2 dépend
de la différence de hauteur (si h1-h2 diminue, v2 diminue), il va diminuer quand
le niveau va baisser et le débit va donc également diminuer.
Quand l’extrémité immergée du tuyau est à 10 cm de la surface,
h1-h2 = 0.6 m => v2 = [2g(h1-h2)]1/2 = [2x9.8x(0.6)]1/2 = 3.43 m/s
La vitesse v2 diminue quand le niveau baisse !
-7-
Exercice 14-13 (ancien et nouveau Kane) :
Considérer l’écoulement du sang à 37°C dans une artère de 2mm de rayon.
Jusqu’à quelle vitesse moyenne du sang l’écoulement reste-t-il laminaire?
Quel est le débit correspondant ?
Données :
R = 0.002 m
ρ(sang) = 1059.5 kg/m3
η(sang) = 2.084 10-3 Pa.s
Formules :
NR = 2ρvR/η
Si NR < 1000 écoulement laminaire
Si NR > 2000 écoulement turbulent
Débit Q = A.v
Résolution :
Le NR doit être inférieur à 1000
 NR = 2ρvR/η < 1000
 v < 1000η/2ρR
 v < 1000 x 2.084 10-3/(2x1059.5x0.002)
 v < 0.492 m/s
Le débit vaut alors :
Q = A.v = 3.14 x 0.0022 x 0.492 = 6.18 10-6 m3/s
-8-
Exercice 14-17 (ancien Kane) – 14-16 (nouveau Kane) :
Une petite artère a une longueur de 0.11 cm. Et un rayon de 2.5 10-5m.
Calculer sa résistance. Si la perte de charge le long de l’artère est de 1.3
kPa quel est le débit ?
Données :
R = 2.5 10-5m = 0.000025 m
L = 0.11 cm = 0.0011 m
ρ(sang) = 1059.5 kg/m3
η(sang) = 2.084 10-3 Pa.s
Formules :
Résistance à l’écoulement : Rf = 8ηL/(πR4)
Relation entre la Perte de charge ∆P, le Débit Q et la Résistance Rf :
Rf = ∆P/Q
Résolution :
La résistance à l’écoulement vaut :
Rf = 8 x 2.084 10-3 x 0.0011 / [3.14x(2.5 10-5)4] = 1.49 1010 kPa.s/m3
Le débit vaut donc :
Q = ∆P/Rf = 1.3 / 1.49 1010 = 8.69 10-11m3/s
Remarque : attention de bien rester cohérent pour les unités Pa ou kPa
-9-
Exercice 14-33 (ancien Kane) – 14-46 (nouveau Kane) :
Calculer la résistance à l’écoulement d’un capillaire humain typique. Le
rayon est de 2 10-6 m et la longueur vaut 1mm. Estimer le nombre de
capillaires dans le corps humain étant donné que le débit de l’aorte est de
9.7 10-5 m3/s et que la différence de pression entre le système artériel et
veineux est de 11.6 kPa. Supposer que tous les capillaires sont en parallèle
et que la perte de charge dans les capillaires correspond à 9% de la perte
de charge totale.
Question supplémentaire : Quelle est la puissance développée par le cœur
pour alimenter tout le système sanguin ?
Données :
R = 2 10-6 m
L = 0.001 m
ρ(sang) = 1059.5 kg/m3
η(sang) = 2.084 10-3 Pa.s
∆Ptotale = 11.6 kPa
Qaorte = 9.7 10-5 m3/s
Formules :
Résistance à l’écoulement : Rf = 8ηL/(πR4)
Relation entre la Perte de charge ∆P, le Débit Q et la Résistance Rf :
Rf = ∆P/Q
Résolution :
La résistance à l’écoulement vaut :
Rf = 8 x 2.084 10-3 x 0.001 / [3.14x(2 10-6)4] = 3.32 1014 kPa.s/m3
La perte de charge dans les capillaires vaut 9% de la perte de charge
totale :
∆P = 0.09 x 11.6 = 1.044 kPa
 le débit d’un capillaire Q = ∆P/Rf
 Q = 1.044 / 3.32 1014 = 3.14 10-15 m3/s
Le nombre de capillaires nécessaires pour recevoir le débit de l’aorte (9.7
10-5 m3/s) : N = 9.7 10-5 / 3.14 10-15 = 3.08 1010 capillaires
Réponse à la question supplémentaire :
P=
∆P.Q =
11600 × 9.7 10
−5
= 1.125 W
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