Etat de l`art sur la conception des systèmes d`actionnement

Etat de l’art sur la conception des systèmes
d’actionnement électromécaniques
Objet
Contenu
Faire un état de l’art sur les critères de choix d’architecture, les technologies
et sur les principales règles de dimensionnements et de modélisation pour la
conception préliminaire d’un système d’actionnement électromécanique.
•
•
•
•
Généralités sur la conception d’un système d’actionnement
Composants
Règles et logiciels de dimensionnements
Modèles pour la conception préliminaire
Destinataires
Nom
Société
LAPLACE - ENSEEIHT
LMS - IMAGINE
LMS - IMAGINE
CEDRAT
CEDRAT
Yvan Lefèvre
Franck Sellier
Denis Fargeton
Xavier Brunotte
Guillaume Lacombe
Rédaction
C6E2
Marc Budinger
Jonathan Liscouet
Stéphane Orieux
Jean-Charles Maré
Marc Budinger
05/09/2007
3
Nom du projet
Auteurs
Relecteur
Dernière mise à jour
Indice de révision
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
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Table révisions
Indice révision
0
1
2
3
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
Date
22/03/2007
13/07/2007
25/07/2007
05/09/2007
11/04/08
Objet de la mise à jour
Version initiale
Ajout des lois d’échelles
Ajouts partie machines électriques
Ajouts sur transmission mécanique
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Table des matières
Etat de l’art sur la conception des systèmes d’actionnement électromécaniques 1
Table des matières 3
1 - Généralités sur la conception des systèmes d’actionnement asservis 5
1.1 - Organisation d’une étude technique 5
1.2 - Architecture générale d’un système d’actionnement électromécanique 7
1.3 - Architecture de puissance 9
1.3.1 - Génération de puissance électrique 9
1.3.2 - Modulateur de puissance électrique 9
1.3.3 - Transformateurs de puissance 10
1.4 - Architecture de commande 11
1.4.1 - Chaînes de mesure 11
1.4.2 - Commande 11
1.5 - Analyse et mise en forme du cahier des charges 11
1.5.1 - Spécification puissance 11
1.5.2 - Spécification des performances 11
2 - Composants d’un système d’actionnement 11
2.1 - Les moteurs électriques d’asservissement ou servomoteurs 11
2.1.1 - Le moteur à courant continu à balais et aimants permanents 11
2.1.2 - Le moteur synchrone à aimants permanents (brushless) 11
2.1.3 - Le moteur synchrone à aimants permanents dit moteur couple 11
2.1.4 - Le moteur asynchrone ou moteur à induction 11
2.1.5 - Comparaison qualitative des servomoteurs étudiés 11
2.1.6 - Méthodes de dimensionnement en puissance du moteur 11
2.1.7 - Le problème de résonance 11
2.2 - Composants de transmissions mécaniques 11
2.2.1 - Rotation/Translation 11
2.2.2 - Rotation/rotation 11
3 - Etat de l’art sur les outils logiciels 11
3.1 - Exemples d’étude 11
3.2 - Exemples d’outils existants 11
3.2.1 - SERVOSOFT 11
3.2.2 - MOTIONEERING 11
4 - Modèles pour la conception préliminaire 11
4.1 - Généralités sur les lois d’échelles 11
4.2 - Lois d’échelle et transmissions mécaniques 11
4.2.1 - Réducteurs épicycloïdaux 11
4.2.2 - Réducteur Cyclo Drive 11
1.1.1 - Vis à rouleaux 11
1.1 - Lois d’échelle et machines électriques 11
1.1.1 - Moteurs cylindriques à nombre de pôles constant avec le changement
d’échelle 11
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1.1.2 - Moteurs annulaires à nombre de pôles non constants avec
changement d’échelle 11
1.1.3 - Modification des lois d’échelle pour la conception préliminaire 11
1.1.4 - Validation des lois d’échelles sur des gammes constructeurs 11
1.2 - Conclusions et perspectives 11
REFERENCES 11
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1 - Généralités sur la conception des systèmes d’actionnement asservis
1.1 - Organisation d’une étude technique
Les actionneurs asservis réalisent des boucles locales qui se situent aux bas niveaux
hiérarchiques de la commande. Ces boucles s'appliquent donc à des éléments qui sont
directement affectés par des défauts et des limitations technologiques (frottement, jeu,
hystérésis, cavitation, surpression, ...).
Le bouclage introduisant la plupart du temps des effets linéarisants, ces boucles
locales peuvent, quant à elles, être perçues par les boucles de niveau supérieur comme des
fonctions beaucoup moins altérées par ces limitations technologiques pour lesquelles les
concepts de l'automatique linéaire s'appliquent idéalement.
En ce qui concerne les actionneurs électromécaniques et selon notre expérience, il
s'avère donc que dans la plupart des cas industriels :
Une commande classique, c'est à dire élaborée à partir des rudiments de l'automatique
linéaire, donne des résultats satisfaisants si elle est combinée à une bonne perception des
phénomènes physiques mis en jeu dans l'actionneur. A l'inverse, une commande basée sur
des concepts évolués de l'automatique mais appliquée en ignorant la réalité technologique
donne des résultats désastreux.
La présence de non linéarités dominantes (gains hydrauliques des distributeurs,
influence de la position des vérins, ...) est compatible avec une approche linéaire bien
maîtrisée qui se prête bien à des développements analytiques explicatifs et suggestifs.
L'approche non linéaire, pratiquement toujours numérique n'est alors utilisée qu'en phase
finale pour évaluer plus précisément l'effet des non linéarités. Au besoin, des compensations
de non linéarité peuvent être introduites a posteriori dans la stratégie de commande (gain
variable, non linéarité inverse, ...).
Le choix des constituants matériels de l'actionneur introduit de sévères limitations
d'origine technologique sur les performances finales. Il est évident que ce ne sont pas les
lignes de code de la commande qui peuvent compenser ces effets. Avant de se focaliser sur
l'étude de la commande, souvent perçue comme la partie noble du travail, il convient de
s'attarder sur le dimensionnement en puissance, le conditionnent modal et l'évaluation des
performances limites qui conditionnent largement le résultat final. Cette partie est rarement
bien traitée et elle est mal valorisée. A l'issue de cette phase qui doit être développée très tôt
dans la procédure de conception, la synthèse de la commande devient alors l'ultime point à
traiter, une fois qu'il est prouvé que le choix des composants est cohérent par rapport au
niveau des performances attendues.
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L'organisation générale d'une étude technique est détaillée sur la figure suivante. Il
apparaît clairement que les points à traiter en amont de la conception sont primordiaux. De
même, la figure met en évidence la distinction fondamentale entre le modèle prédictif qui doit
être suffisamment précis (souvent non linéaire et d'ordre relativement élevé) pour reproduire
les effets qui se manifestent effectivement sur le système et le modèle de commande (linéaire
et d'ordre réduit) servant de base à la synthèse de la commande. Une fois que le modèle
prédictif est adapté aux contraintes de la simulation numérique (boucle 2), la boucle 1
(modélisation - simulation - expérience) permet d'affiner le caractère prédictif au fur et à
mesure de l'avancement du projet. Les itérations 3 et 4 sont relatives à la synthèse de la
commande. La perception globale des interactions entre les différents domaines qui
imposent souvent des contraintes spécifiques et antagonistes est le gage essentiel d'une
conception minimisant les itérations longues et coûteuses (boucles 5 et 6) et garantissant, à
coût et délai minimal, le résultat final escompté.
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Cahier des charges
5
Selection architecture
Dimensionnement puissance
Conditionnement modal
6
Evaluation des performances limites
SIMULATION
1
2
COMMANDE
Modèles de connaissance
+ Modèles de représentation
= Modèle de simulation
3
Identification
Modèle de conduite
linearisation
+ réduction
4
Adaptation à la simulation
Synthèse de la commande
Expérience
Simulation
Evaluation de la commande
Validation du modèle
Validation de la commande
Livraison ou industrialisation
Figure 1 - Organisation d'une étude technique
1.2 - Architecture générale d’un système d’actionnement électromécanique
L'architecture matérielle usuelle d'un actionneur électromécanique est présentée sur la
figure suivante.
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Source
de puissance
électrique
Dissipation
Vs
Is
Vs
Réseau AC
monophasé , triphasé,
bus DC
Réversible ou non
Is
Actionneur Electromécanique
moteur à courant continu,
brushless, asynchrone,...
Commande
Modulateur
de puissance
Hacheur,
onduleur,...
Vm
Im
Transformateur C m
de puissance
électromécanique
Im
réducteur,
bras de levier, ...
Transformateur
de puissance
mécanique
Fc
Charge
Xc
Capteurs, conditionneurs et filtres
Figure 2 - Architecture matérielle usuelle d'un actionneur électromécanique
Du point de vue "système", cette architecture fait appel, selon les cas, aux signaux
suivants:
Grandeurs à doser :
- position ou vitesse ou accélération de charge
- effort transmis
- courants et autopilotage
+ séquencement (démarrage, initialisation, arrêt, urgences)
+ synchronisation,...
Grandeur de commande : - pilotage du modulateur de puissance
+ ordres de séquencement, ...
Grandeurs mesurées :
- position relative ou absolue de charge ou du moteur
- vitesse relative ou absolue de charge ou du moteur
- accélération absolue de charge ou du moteur
- effort transmis
- position de modulateur de puissance
- courants
Ce présent chapitre a pour objectif de mettre en évidence les grandeurs caractéristiques
des différents constituants de l'actionneur qu'il faut déterminer et spécifier afin de maîtriser
leur influence sur les performances finales.
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1.3 - Architecture de puissance
1.3.1 - Génération de puissance électrique
Par le passé, nombreux étaient les moteurs directement branchés sur un réseau
alternatif (réseau EDF 220 V - 50 Hz ou réseau de bord avion 115 V – 400 Hz). Le moteur
asynchrone était alors privilégié car il permettait un démarrage direct sur le réseau. Ce
démarrage pouvait cependant poser certains problème : courant d’appel important, couple
transitoire important (à-coup au démarrage). L’utilisation d’un gradateur permet d’améliorer
ces défauts de démarrage.
Cette solution présente une vitesse de fonctionnement constante, manque de souplesse
et de performances dynamiques. Un servomoteur nécessite donc l’utilisation d’un bus continu
basse tension ou haute tension qui peut être obtenu par redressement d’un réseau alternatif.
Cet étage de redressement, généralement réalisé à l’aide d’une alimentation a découpage ou
d’un pont de diode, peut poser des problèmes de réversibilité de puissance. Les applications
présentant des retours d’énergie important peuvent augmenter de façon excessive la tension
du condensateur de filtrage du bus continu. Dans ce cas il faut prévoir un redresseur réversible
en courant (onduleur utilisé en redresseur commandé), élément coûteux, ou un résistance de
dissipation placée de manière à décharger le condensateur si nécessaire.
Pour la génération / distribution, il faut donc être capable de spécifier :
- la tension du bus continu
- la puissance apparente directe d’alimentation et les puissances de retour (choix
du convertisseur et des résistances de dissipation)
En complément, il faut :
- spécifier les variations maximales tolérées pour la tension d'alimentation ?
choix du condensateur du bus continu ?
- spécifier l’impédance maximale du réseau (transformateur ) ?
- ajouter d’une inductance filtre CEM sur le réseau ?
1.3.2 - Modulateur de puissance électrique
Le modulateur de puissance électrique joue le rôle d'interface entre la partie
commande et la partie puissance. Selon les moteurs utilisés, on utilise soit un hacheur
(moteurs à courant continu) soit un onduleur (moteurs à courants alternatifs : moteurs
brushless, asynchrone).
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La structure de ce convertisseur peut être fonction du nombre de quadrant d’utilisation
du moteur. Le bus continu est en générale réalisé au sein même de ce convertisseur. Les
problèmes de réversibilité de puissance cités précédemment sont toujours présent ici.
Ce convertisseur contient en général la commande rapprochée de l’actionneur :
L’autopilotage d’un moteur brushless qui necessite des capteur de position
La boucle de couple du moteur réalisé par un asservissement du courant et qui
nécessite la présence de capteurs de courant.
Cet asservissement et ces capteurs influenceront la bande passante et la précision sur
le couple de l’actionneur.
Pour le modulateur de puissance électrique, il faut donc être capable de spécifier :
- la puissance apparente (courant , tension) qui fixe les limites du transfert de
puissance de la génération vers le transformateur électromécanique.
- nombre de quadrants
- la puissance à dissipée si réversibilité
En complément, il convient d'indiquer :
- la bande passante qui contribue à fixer la rapidité et la stabilité de l'actionneur,
- l’ondulation de courant et la fréquence de découpage
- l'erreur statique
1.3.3 - Transformateurs de puissance
La combinaison des transformateurs de puissance électromécanique (moteurs
électriques) et mécanique définit le facteur de conversion entre le domaine électrique et le
domaine mécanique. Ici aussi, le choix de la combinaison et de chacun de ses deux
constituants est déterminant pour l'obtention des performances finales.
-
-
Pour les transformateurs de puissance, il faut donc être capable de spécifier :
le couple mécanique du transformateur électromécanique,
le rapport de transmission mécanique N,
les courses, vitesses, efforts et puissances maximales continues et intermittentes.
En complément, il convient d'indiquer :
les pertes énergétiques qui affectent la stabilité et la rapidité (frottements),
les jeux qui affectent également la stabilité et la rapidité,
les raideurs mécaniques et les inerties des interfaces électromécaniques et
mécaniques qui contribuent à fixer le comportement dynamique naturel de
l'actionneur.
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1.4 - Architecture de commande
1.4.1 - Chaînes de mesure
Les déphasages introduits par les chaînes de mesure (capteur + conditionneur + filtre)
sont souvent ignorés au profit des seuls effets d'amplitude. Il s'ensuit qu'ils peuvent
sérieusement altérer la stabilité du système auquel ils sont associés. D'autre part, la résolution
de mesure et le bruit jouent également un rôle limitatif sur la précision mais aussi sur les
possibilités de dériver ces signaux pour les exploiter dans la commande.
-
Pour les chaînes de mesure, il faut donc être capable de spécifier :
l'étendue de la grandeur à mesurer,
la bande passante (et plutôt le déphasage admissible à une fréquence de référence),
la précision (résolution, hystérésis, etc...) et le bruit minimal admis.
1.4.2 - Commande
Du point de vue de la stabilité, la commande par calculateur dégrade les performances
par rapport à une commande analogique équivalente (si elle existe). La combinaison des
retards introduits par les conversions CAN et CNA, le calcul de la commande et le bloqueur
se manifeste par un effet de phase qui peut altérer sérieusement la stabilité de l'actionneur.
En cas de commande numérique, il faut donc être capable de spécifier :
- la fréquence d'échantillonnage,
- les vitesses de conversion CAN et CNA,
- le retard de calcul toléré.
1.5 - Analyse et mise en forme du cahier des charges
Le cahier des charges émis par le donneur d'ordre est rarement exploitable en l'état. Le
donneur d'ordre, non spécialiste, ne connaît pas le type et la forme des informations
nécessaires au prestataire pour conduire ses travaux. Il y a donc nécessairement une phase de
mise en forme du cahier des charges qui doit viser à :
•
•
exprimer les besoins relatifs à la puissance maximale à transmettre à la charge,
définir les objectifs de la commande (dosage de la puissance) en termes de précision,
rapidité et stabilité.
1.5.1 - Spécification puissance
Pour être exploitable par le concepteur de l'actionneur électromécanique, la
spécification puissance doit être finalement exprimée dans le plan mécanique (effort /
vitesse). Dans le cas idéal, cette information est augmentée des valeurs du temps qui
permettent accessoirement de calculer la position et l'accélération de la charge. Il s'agit alors
de disposer d'un fichier à au moins trois composantes (temps, effort, position ou vitesse ou
accélération).
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Effort
Frein
Moteur
Vitesse
Frein
Moteur
Figure 3 - Caractéristique de puissance mécanique
Dans le cas où les cycles sont connus a priori, cette information est rapidement
disponible
Dans d'autres cas, le donneur d'ordre spécifie uniquement des points remarquables
comme la vitesse à vide, l'effort bloqué (ou charge d'arrêt), l'effort nominal à vitesse
nominale.
Enfin, seule la caractéristique mécanique de la charge peut être spécifiée (inertie,
effort statique, frottement, ...) en combinaison avec un profil de sollicitation.
1.5.2 - Spécification des performances
Le donneur d'ordre doit satisfaire une exigence globale de performance sur l'ensemble
de sa machine. Il s'agit donc de définir la performance locale de l'actionneur hydraulique,
conduisant à l'obtention des performances globales sur l'ensemble de la machine. En termes
de dosage de la puissance, les performances peuvent être exprimées sous diverses formes :
• Grandeurs caractéristiques
Précision statique
Rapidité, précision dynamique
Stabilité
Domaine temporel
Domaine fréquentiel
Erreur statique
Erreur sous charge
Gain basse fréquence
Erreur de traînage, traînage
Temps de réponse
Bande passante
Amplitude des dépassements à
l'échelon
Facteur de surtension
• Système linéaire équivalent
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On définit un système linéaire d'ordre réduit dont les performances seraient
compatibles avec le niveau de performances attendu. La théorie des systèmes linéaires permet
de relier le système équivalent aux grandeurs caractéristiques du tableau précédent (cf.
annexes).
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2 - Composants d’un système d’actionnement
2.1 - Les moteurs électriques d’asservissement ou servomoteurs
Les servomoteurs les plus répandus sont les moteurs à courant continu avec balais et
aimants permanents, les moteurs synchrones (brushless) et les moteurs asynchrones (à
induction). Le succès de ces moteurs peut s’expliquer par leurs principaux atouts. Le moteur à
courant continu à balais est simple à commander et minimise le coût du contrôleur associé, ce
moteur permet aussi de générer un couple très régulier, cependant ce moteur est limité par
l’utilisation d’un collecteur. Le moteur synchrone présente l’avantage d’un excellent
rendement et facteur de puissance, mais n’assure pas la même régularité de couple que son
concurrent avec balais. Toutefois ce désavantage peut être compensé par un contrôleur
complexe et donc coûteux. Le moteur asynchrone bénéficie d’une grande simplicité de
construction, d’une grande robustesse et d’un faible coût de fabrication, mais souffre d’une
puissance massique significativement inférieure au moteur à courant continu à aimants
permanents et aux moteurs synchrone à aimants permanents.
Ce chapitre va se concentrer dans un premier temps sur le moteur à courant continu à
aimants permanents et à balais dit « classique », puis sur le moteur synchrone à aimants
permanents, et finalement sur le moteur asynchrone. Ce chapitre conclura avec une
comparaison qualitative de ces trois types de moteurs. La vision privilégiée ici sera celle de
l’intégrateur système et non du concepteur de machines électriques.
2.1.1 - Le moteur à courant continu à balais et aimants permanents
2.1.1.1 - Principes de fonctionnement
Dans les moteurs à courant continu à balais et aimants permanents le couple
mécanique est créé par l’interaction des champs magnétiques issus des aimants permanents
montés sur la carcasse (champs inducteurs) avec ceux des bobinages montés sur le rotor
(champs d’induit). La Figure 4 ci-dessous illustre la constitution d’un moteur à courant
continu à balais et aimants permanents en prenant l’exemple d’un moteur de jouet (petit
moteur).
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Figure 4 - Constitution d’un moteur à courant continu, moteur de jouet
2.1.1.2 - Commutation mécanique
Le bobinage d’induit est excité en fonction de la position du rotor, afin de produire le
couple maximum. Le couple maximum est atteint lorsque l’angle électrique entre le champ
inducteur et le champ induit est de 90°. Le processus d’excitation est appelé commutation.
Dans les moteurs à courant continu la commutation est réalisée mécaniquement. De cette
façon le circuit de commande n’a pas besoin de l’information sur la position du rotor pour
moduler le couple, ce qui se traduit par une absence de capteur de position.
2.1.1.3 - Modèle électrique du moteur
Si l’on considère que l’angle de commutation est fixé à 90° (commutation mécanique),
que le champ magnétique inducteur est fixe (aimants permanents), que la réluctance du circuit
magnétique est approximativement constante et que la force magnétomotrice issue du
bobinage est proportionnelle au courant (I) qui le traverse, alors on obtient un couple
mécanique de sortie approximativement proportionnel au courant dans le rotor. La constante
de proportionnalité correspondante est appelée constante de couple (Kc) et s’exprime en
Nm/A.
CE = K c × I ,
Avec :
CE couple mécanique [Nm] ;
Kc constante de couple [Nm/A] ;
I le courant dans le rotor [A].
En réalité, la constante de couple décroit lorsque I augmente et atteint la valeur de
saturation des parties métalliques traversées par le flux magnétique du rotor. Cet effet de
saturation augmente la réluctance du chemin magnétique et réduit par conséquent le flux
produit par la force-magnéto-motrice issue du rotor ( ℑ = Φℜ , avec ℑ la force
magnétomotrice [A], Φ le flux magnétique résultant [Wb] et ℜ la réluctance du chemin
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magnétique [H-1]). De plus, les aimants permanents ont tendance à faiblir à haute température
entraînant une réduction supplémentaire de la constante de couple en cas de température
élevée.
Le modèle électrique simplifié d’un moteur à courant continu à balais décrivant la
relation entre le courant, la tension et la vitesse du moteur est basé sur l’égalité de la tension
totale appliquée et de la chute de tension dans le moteur. La chute de tension dans le moteur
est causée par la résistance et l’inductance électrique ainsi que la force contre électromotrice
(fcem).
U = U RESISTANCE + UIMPEDANCE + U BEMF ,
Avec :
U la tension aux bornes du moteur [V],
URESISTANCE la chute de tension provoquée par la résistance électrique du moteur (R),
UIMPEDANCE la chute de tension provoquée par l’impédance du moteur (L)
UBEMF (ou E) la chute de tension liée à la force contre électromotrice.
La Figure 5 illustre le modèle électrique simplifié d’un moteur à courant continu à
balais par un schéma électrique.
Figure 5 - Schéma électrique simplifié d’un moteur à courant continu à balais et aimants
permanents.
La fcem est le phénomène pour lequel un moteur à aimants permanents génère une
tension UEBMF proportionnelle à la vitesse du rotor. Ce phénomène est la base physique du
fonctionnement en génératrice. La constante de proportionnalité KE liant la fcem à la vitesse
du rotor est égale à la constante de couple Kc et s’exprime en [V.s/rad].
U BEMF = K E × ω ,
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Avec :
KE le coefficient de fcem [V.s/rad] ;
ω la vitesse angulaire du rotor [rad/s].
Considérant que la puissance électrique (UBEMF.I) utile du moteur est égale à sa
puissance mécanique (C.ω), on obtient :
KE = KC
Comme on peut en déduire de ces équations, un des effets indésirable de la fcem est
qu’elle limite la vitesse maximale atteignable par le moteur pour une tension d’entrée U
donnée.
La tension d’impédance UIMPEDANCE est générée proportionnellement à la variation du
courant I et de cette façon n’affecte pas les caractéristiques du moteur en fonctionnement
permanent. Cependant, si le moteur tourne à grande vitesse, alors la tension d’impédance et la
tension de fcem combinées peuvent limiter considérablement la marge de génération de
courant. Ce qui à pour effet de réduire les capacités dynamiques (accélération) du moteur
tournant à grande vitesse.
2.1.1.4 - Contrôle
Les moteurs à balais sont relativement faciles à commander grâce à la commutation
mécanique. Le contrôle d’un moteur à courant continu à balais et aimants permanents est
généralement basé sur un asservissement de la tension d’entrée du moteur avec une boucle de
retour de courant. La tension du réseau est transformée en tension commandée et est
appliquée au moteur via un hacheur, qui va convertir la tension en une série de créneaux par
l’intermédiaire de transistors de puissance. A partir de cette tension, le moteur va générer un
courant I dans le bobinage d’induit et ainsi produire un couple électromagnétique au rotor.
2.1.1.5 - Modulation de tension
La modulation de tension consiste à convertir la tension du réseau en tension
commandée en la découpant en une série de créneaux. Par exemple, pour une tension
commandée de 75 V et une tension de réseau de 300 V, la modulation de tension pourrait
consister en une série d’impulsions de 300V d’une durée de 25µs et d’impulsions de 0V d’une
durée de 75µs. Les impulsions de 300V correspondent à 25% du temps de la période totale,
on obtient ainsi une tension appliquée de 25%x300V=75V.
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Ce type de modulation est utilisé car les transistors de puissance sont pleinement
performants quand ils sont utilisés en tout-ou-rien. Quand un transistor est « off », il n’y pas
de courant qui le traverse et donc pas de perte de puissance. Quand un transistor est « on » il y
a une petite chute de tension (≤2V) et ainsi la perte de puissance reste faible même en cas de
forte intensité de courant.
La Figure 6, ci-dessous, montre un montage hacheur en pont H, qui est un des
montages les plus répandus pour la modulation de la tension appliquée au moteur à courant
continu à aimants permanents à balais.
Moteur électrique à CC
Ta
Tb
Ta’
Tb’
Uréseau
Ucommandée
Commande des
transistors
Figure 6 - Schéma électrique simplifié d’un onduleur à circulation de courant avec
transistors pour un moteur à courant continu à aimants permanents à balais biphasé.
Le courant moyen dans le moteur est égal au courant qui aurait été produit par la
valeur moyenne (non-découpée) de la tension appliquée. La modulation crée notamment des
ondulations de courant et de couple qui génèrent de la chaleur et des vibrations dans le
bobinage d’induit créant du bruit. Généralement, on utilise l’inductance du moteur avec une
fréquence de découpage élevée pour réduire ces modulations.
La méthode de modulation la plus répandue est la modulation de largeur des créneaux,
qui consiste à découper la tension en créneaux avec une fréquence fixe et une largeur variable.
Les pulsations de couple sont faibles si la fréquence de découpage est élevée par rapport à
l’impédance du moteur.
2.1.1.6 - Caractéristique couple / vitesse
Le couple d’utilisation du moteur est dépendant du temps d’opération, notamment à
cause des contraintes thermiques. On distingue deux grandeurs :
Le couple permanent, qui peut être généré sur une période de temps illimitée.
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Le couple transitoire ou impulsionel, que peut générer le moteur pendant une courte
période de temps, habituellement 1 à 2 minutes.
2.1.1.6.1 - Couple permanent
Les pertes dominantes dans un moteur sont les pertes Joule (RI²). Ces pertes font
monter la température dans le moteur. Si la température atteint des valeurs excessives, il peut
y avoir dégradation des caractéristiques et de l’isolant du bobinage. Cette limite thermique,
fixée par le constructeur, définit le couple permanent maximum que le moteur peut fournir.
2.1.1.6.2 - Couple impulsionel
Le couple impulsionel est généré pendant une courte période de temps et n’est de ce
fait pas concerné par la limite thermique du moteur. Cependant, un très fort pic de couple peu
démagnétiser de façon permanente les aimants du moteur. Cette limite de démagnétisation des
aimants permanents définit le couple instantané maximum que le moteur peut fournir.
2.1.1.6.3 - Limites de la commutation mécanique
Comme il à déjà été mentionné dans la section précédente, la commutation de
l’excitation du bobinage de l’induit (rotor) d’un moteur à courant continu est réalisée
mécaniquement. Pendant la rotation de l’induit, la section qui est mise en court-circuit par les
balais voit le courant qui la traverse changer de sens. Il y a donc création d’une fem ou
« tension de commutation ». Pour que la commutation soit satisfaisante, c’est-à-dire pour
qu’elle permette une usure raisonnable des balais, il faut s’assurer que la tension moyenne de
commutation reste inférieure à une certaine limite qui dépend notamment de la qualité
commutante des balais. Pour un moteur fonctionnant à flux constant, comme c’est le cas pour
un moteur à courant continu, fixer la limite de commutation revient à fixer une puissance
limite au-delà de laquelle cette valeur est dépassée. En effet, la tension de commutation est,
comme la puissance, proportionnelle au courant et à la vitesse de rotation (c'est-à-dire à la
fcem). La limite de commutation d’un moteur à courant continu a donc l’aspect d’une courbe
limite de puissance (hyperbole), laquelle est définit par le constructeur.
Plus la vitesse de rotation est élevée, plus la pression des balais doit augmenter pour
rester en contact avec le collecteur donc plus le frottement est important. De plus à très haute
vitesse les balais peuvent « rebondir » sur les irrégularités du collecteur et créer des arcs
électriques. Ce phénomène définit la limite mécanique de commutation, qui fixe la vitesse
maximale que peut atteindre le moteur.
La Figure 7 illustre les différentes caractéristiques des performances d’un moteur à
courant continu sous la forme d’enveloppes de couple pour les fonctionnements permanents et
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transitoires que peut fournir le moteur sur sa gamme de vitesse. Ce type de figure est
généralement fournit par les constructeurs.
C
couple
moteur [Nm]
régime continu
démagnétisation
régime transitoire
Cmax
commutation
zone de régime
transitoire
limite mécanique
de commutation
pertes Joule
Cth
zone de régime
continu
0
0
ω
ω
max
vitesse de rotation [rad.s-1]
Figure 7 - Caractéristiques couple vitesse d’un moteur à courant continu
2.1.1.7 - Avantages
et inconvénients
du moteur à courant continu
Contrôle
Le principal avantage du moteur à courant continu est que la commutation y est réalisée
mécaniquement, ce qui simplifie considérablement le contrôleur. De plus, il ne nécessite
qu’un capteur de position relatif, là où les autres types de servomoteurs requièrent un capteur
de position absolu et aussi des capteurs de courant.
Pulsations de couple
Un autre avantage est que le moteur à courant continu produit un couple très régulier. D’une
façon générale, les offsets de mesures du capteur de courant ne produisent pas de pulsations de
couple. Ces offsets sont fréquents chez les capteurs de courant et sont responsables de
pulsations de couple dans les moteurs brushless qui les utilisent. Ce sujet sera abordé plus en
détails dans le chapitre suivant.
Maintenance
Le principal inconvénient du moteur à courant continu vient des balais, qui s’usent et sont
sensibles aux contaminants extérieurs (ex. sable) et doivent être remplacés régulièrement. De
plus, l’usure des balais produit des particules de charbon qui peuvent être en soit des
contaminants.
Efficacité
La chute de tension apparaissant au niveau du commutateur mécanique, ainsi que les frictions
entre les balais et le collecteur dégradent les performances du moteur, qui sont de ce fait
moins élevées que celles d’un moteur synchrone brushless équivalent.
Les performances du moteur à courant continu à aimants permanents sont aussi liées au choix
des aimants. L’utilisation d’aimants de type « terre rare » permet d’atteindre de plus grandes
performances que l’utilisation d’aimants présentant des caractéristiques moindres (champ
coercitif, tenue en chaleur, etc.), mais coûtent aussi beaucoup plus cher.
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Thermique
L’induit, où la plus-part des pertes sont générées, est situé sur le rotor. Or le rotor est
généralement placé à l’intérieur du moteur et est par conséquent plus difficile à refroidir.
Volume / Poids / Inertie
Les moteurs à courant continu sont en général plus volumineux et plus lourds que leurs
équivalents brushless, car ils sont plus difficiles à refroidir.
Le rotor d’un moteur à balais est plus lourd que celui d’un moteur brushless équivalent, car
pour la plus-part des machines le bobinage est enroulé autour d’un corps magnétique. L’inertie
du rotor peut donc être plus grande. Une faible inertie au rotor est souvent un avantage pour
les applications servomoteurs, car pour un même couple de sortie l’accélération est plus
grande que dans le cas d’une forte inertie.
Bruits électriques / audibles
Le collecteur est complexe à fabriqué. Les balais glissant sur le collecteur génèrent du bruit
audible à haute vitesse.
Le collecteur imposant des ruptures de contact provoque des arcs, qui usent rapidement le
commutateur et génèrent des parasites dans le circuit d'alimentation (bruit électrique).
Vitesse de rotation
Plus la vitesse de rotation est élevée, plus la pression des balais doit augmenter pour rester en
contact avec le collecteur donc plus le frottement est important. Ainsi aux vitesses élevées les
balais doivent donc être remplacés très régulièrement.
Un autre problème limite les vitesses d'utilisation élevées de ces moteurs lorsque le rotor est
bobiné, c'est le phénomène de «défrettage», la force centrifuge finissant par casser les liens
assurant la tenue des ensembles de spires (le frettage).
CEM
Les arcs électriques provoqués par les ruptures de contacts au niveau du collecteur usent
rapidement le commutateur et génèrent des surtensions, ainsi que du rayonnement
électromagnétique.
Environnement
Les arcs électriques créés au niveau du collecteur peuvent aussi être un risque majeur dans un
environnement explosif (ex. station de forage, station service) et requiert dans ce cas
l’utilisation d’un revêtement de sécurité (hermétique) sur le moteur.
Le collecteur est très sensible aux contaminants et implique l’utilisation d’un revêtement de
sécurité (hermétique) dans le cas d’un environnement « sale » (ex. à l’extérieur,
environnement sableux)
Coût
Le faible coût du moteur à courant continu à aimants permanents est l’une des principales
raisons de sa popularité, notamment pour des applications à faible demande en puissance où le
prix du contrôleur est un enjeu majeur. Le prix du moteur à courant continu à aimants
permanents est majoré par le coût de ses aimants.
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Remarque :
Le moteur à courant continu à conducteurs libres à disque (ex. AXEM de Parvex) ou
cylindriques (ex. Maxon) permettent de contourner beaucoup des inconvénients cités cidessus. Dans ce type de moteur le bobinage est enroulé sur un disque en fibre-de-verre ou
autre matériau non-ferreux. Ce qui réduit considérablement l’inertie du rotor. De plus, la
faible inductance des disques réduit l’apparition d’arcs électriques, ce qui réduit le bruit
produit et augmente la durée de vie du commutateur. Cependant, ces moteurs ont une très
faible inertie thermique ce qui limite considérablement l’utilisation du surcouple dans le
temps. La technologie (conducteurs libres) utilisée par ces moteurs sort du cadre de cette
étude qui se concentre sur les moteurs « classiques », qui sont les plus répandus.
2.1.2 - Le moteur synchrone à aimants permanents (brushless)
La suppression du collecteur et des balais est un avantage appréciable en ce qui
concerne la longévité, la maintenance et les limitations imposées par la commutation
mécanique. Par ailleurs, les moteurs dont le stator reçoit le bobinage d’alimentation possèdent
un intérêt évident du point de vue thermique: la chaleur, produite par effet Joule du bobinage
d’alimentation ainsi que les pertes dans le fer sur le stator, transite directement vers
l’enveloppe sans avoir à passer, comme dans le moteur à collecteur, par le milieu de faible
conductance thermique que constitue l’entrefer.
Le moteur synchrone à aimant permanents remplace le commutateur mécanique du
moteur à courant continu à balais par une commutation électronique, éliminant ainsi les balais
et les problèmes qui sont associés. Cependant, ceci a pour effet de rendre le contrôle de ce
moteur plus difficile
Les moteurs brushless ont besoin d’une boucle de retour délivrant l’information de la
position électrique du rotor. Ce qui implique l’utilisation d’un capteur de position. Cette
information sur la position électrique du rotor est utilisée pour commander les phases des
courants, avec comme but de maintenir un angle de commutation proche de l’angle optimal
qui est de 90°.
2.1.2.1 - Principes de fonctionnement
Le bobinage d’induit des moteurs synchrone à aimants permanents est installé sur le
stator en phases multiples. Le bobinage forme généralement trois phases séparées les unes des
autres par un angle électrique de 120°. Les moteurs avec balais peuvent avoir un plus grand
nombre de phases, ce qui est peut courant chez les moteurs brushless, car ces moteurs
requièrent de contrôler chaque phase séparément par le contrôleur, impliquant un câblage et
un jeu de transistors propre à chaque phase (voir Figure 8).
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Aimants permanents (inducteur)
Bobinage d’induit (3 phases: a,b,c)
Moteur électrique triphasé (a, b, c)
Ta
Tb
Tc
(c)
(a)
(b)
Ta’
Tb’
Tc’
Capteur de position
élémentaire (ex. à effet
Hall)
Décodage des
signaux et commande
des interrupteurs
Ha, Hb, (Hc)
2/3
Bobinage d’induit
Figure 8 - Illustrations et schéma électrique simplifié d’un moteur synchrone à aimants
permanents triphasé.
Le moteur synchrone à aimants permanents est basé sur une commutation
électronique. Le contrôleur suit la position du rotor et excite le bobinage d’induit de façon à
maintenir un angle de commutation de 90°. C’est-à-dire que les directions du flux magnétique
dans le moteur sont maintenues en quadrature.
2.1.2.2 - Moteur à fem trapézoïdale
Dans les moteurs équipés de balais, l’angle de commutation est maintenu
mécaniquement en quadrature en excitant ou non les phases appropriées. Ce type de moteur
peut être équipé de nombreuses phases, chaque phase représentant quelques degrés électriques
de rotation seulement, générant ainsi un couple régulié au rotor. Une méthode de
commutation équivalente appelée « six-step » est utilisée pour les moteurs brushless, mais
cette méthode produit une très forte perturbation (pulsations) du couple à chaque transition,
car les moteurs brushless n’ont généralement que trois phases. L’avantage de cette méthode
est qu’elle peut être utilisée avec des capteurs simples à effet Hall.
2.1.2.3 - Moteur à fem sinusoïdale
Contrairement à un contrôleur de moteur à balais, le contrôleur d’un moteur brushless
contrôle le courant indépendamment pour chaque phase. Ce qui permet d’augmenter
incrémentalement avec un pas réduit l’angle du flux d’induit. La quadrature entre les flux
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(induit, inducteur) est généralement maintenue avec précision en régulant indépendamment
les courants traversant les différentes phases selon les équations ci-dessous.
I a = I s × sin(θ E ) ,
I b = I s × sin(θ E − 120°) ,
Ic = Is × sin(θ E − 240°)
Avec :
Ia, Ib et Ic les courants traversant les différentes phases (moteur triphasé) ;
Is l’amplitude du courant traversant le moteur ;
θE la position (angle) électrique du moteur.
Cette méthode de commutation électronique, appelée commutation sinusoïdale produit
un couple régulier et assure une bonne efficacité d’opération. Le couple au rotor est
approximativement proportionnel au courant Is ( CE = K c × I s , avec CE le couple
électromagnétique au rotor et Kc la constante de couple du moteur). Un des inconvénients de
cette méthode est qu’elle implique l’utilisation de capteur de position absolu (codeur ou
résolveur), plus coûteux que des capteurs relatifs.
2.1.2.4 - Autopilotage dans le plan abc
L’autopilotage d’un moteur synchrone à aimants permanents consiste à commander
chaque courant de phase pour suivre les équations précédentes en supposant que :
CE = K c × I s .
Les courants sont contrôlés indépendamment avec un circuit d’asservissement fermé
pour chaque phase. Ce contrôle nécessite donc un ou des capteurs mesurant l’intensité de
deux des phases du moteur, l’intensité de la troisième phase pouvant être calculée à partir des
deux premières.
La Figure 9 illustre de principe de contrôle de phase d’un moteur synchrone à aimants
permanents.
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)
-120°)
-240°)
Figure 9 - Schéma simplifié du contrôle de phase d’un moteur synchrone à aimants
permanents triphasé.
2.1.2.5 - Modulation de tension
En autopilotage, le principe de modulation de la tension pour un moteur synchrone à
aimants permanents triphasé est le même que pour un moteur à courant continu à aimants
permanents à balais, sauf qu’il faut hacher trois tensions au lieu d’une (6 transistors au lieu
de 4).
Le modèle électrique simplifié du moteur synchrone à aimants permanents est
similaire à celui à courant continu à aimants permanents à balais (un modèle de moteur cc par
phase). La principale différence réside dans le fait que la fcem du moteur synchrone à aimants
permanents est sinusoïdales (commutation sinusoïdale) quand le moteur tourne à vitesse
constante, alors que celle d’un moteur à courant continu brushless est constante pour une
vitesse constante. Le courant traversant le bobinage d’induit est par conséquent sinusoïdale
pour une vitesse constante. L’inductance affecte donc les caractéristiques statiques d’un
moteur brushless même à vitesse de rotation et charge constantes. De la même façon la bande
passante des boucles de courant peut affecter la courbe couple vitesse du moteur. C’est une
des raisons pour laquelle le moteur brushless est plus difficile à contrôler que le moteur à
balais.
L’autopilotage d’un moteur brushless produit un couple de sortie régulier. Cependant,
il y a des perturbations de couple comme celles causées par le capteur de courant. Le capteur
de courant a en général entre 1 et 2% de décalage par rapport au courant mesuré. Ce décalage
crée des pulsations de couple à la fréquence électrique du moteur. L’amplitude des pulsations
de couple est donnée par l’amplitude du décalage. Ainsi un moteur électrique synchrone à
aimants permanents triphasé tournant à 300 rpm avec un capteur de courant ayant un décalage
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de 2% sur le pic de courant produira des pulsations de couple de 15Hz et dans le cas d’un pic
de courant à 20A une amplitude de pulsations de 400mA. Dans le cas d’une application à
faible charge, par exemple 1A, un décalage de 400mA peut être critique. C’est une des raisons
pour laquelle il est important de ne pas surdimensionner le moteur. Le surdimensionnement
amplifie l’amplitude des pulsations de couple de façon inutile.
2.1.2.6 - L’avance d’angle
Les performances d’un moteur synchrone à aimants permanents peuvent être étendues
à très hautes vitesse en avançant l’angle de commutation, c’est à dire l’angle électrique θE. Il y
a trois raisons principales pour avancer l’angle de commutation. La première est qu’avancer
cet angle permet de compenser le déphasage (retard) causé par la boucle d’asservissement en
courant. La deuxième est qu’avancer l’angle permet d’affaiblir le champ magnétique. La
troisième est que certains moteurs synchrones à aimants permanents peuvent générer un
couple de réluctance et avancer l’angle électrique peut optimiser le couple de sortie.
2.1.2.6.1 - L’avance d’angle pour compenser le déphasage de la boucle de courant
Comme toute boucle fermée d’asservissement, la boucle de courant produit un
déphasage (retard) du signal qui de ce fait ne peut suivre exactement la commande. Ce
déphasage impact directement le couple de sortie en le réduisant de sin(θE-θRETARD). Par
exemple, considérons un moteur tournant à 3000 rpm pour une fréquence électrique de 150Hz
et une boucle de courant créant un déphasage de 25° à 150Hz. Dans ce cas la perte de couple
est sin(90°-65°)=10%.
L’avance d’angle peut compenser cette perte en commandant la phase avec une
avance égale au déphasage provoqué par la boucle de courant. De la même façon, l’avance
d’angle peut inclure le déphasage lié au temps d’opération du contrôleur digital
(« sampling »).
2.1.2.6.2 - Défluxage
Le flux magnétique inducteur peut être réduit en avançant l’angle électrique du
courant réel (dans le bobinage induit). Un signal sinusoïdal qui a été avancé peut être
considéré comme étant la somme de deux signaux sinusoïdaux, un non-avancé et l’autre
avancé de 90°. Le signal avancé de 90° s’oppose directement au flux inducteur des aimants
permanents, c'est-à-dire qu’il affaiblit le champ d’inducteur. La réduction du flux inducteur
provoque une réduction de la constante de fcem. La chute de tension créer par la fcem est la
limite de vitesse fondamentale du moteur synchrone à aimants permanents, réduire la
constante de fcem revient à réduire la fcem et donc à repousser la limite de vitesse du moteur.
L’angle d’avance ne doit cependant pas être avancé plus que nécessaire, car cet
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affaiblissement du champ inducteur crée aussi des pertes Joule supplémentaires (énergie
utilisée pour affaiblir le flux inducteur) et réduit le couple maximum que peut atteindre le
moteur pour une intensité de courant maximale donnée. En effet réduire la constante de fcem
(KE) équivaut à réduire la constante de couple (Kc).
2.1.2.6.3 - Couple de réluctance
Le couple de réluctance est le couple générer par le moteur allant vers une position où
la réluctance rencontrée par le flux d’induit décroît. Le flux tend à passer par la voie de
réluctance minimale et à ramener le rotor dans la position où cette voie est axée avec le flux
d’induit. L’angle électrique optimal de la composante de réluctance du couple au rotor est
supérieur à 90°. Dans un moteur synchrone à aimants permanents cette composante n’est
qu’une fraction du couple au rotor et l’angle électrique optimal reste proche de 90°.
Cependant, une avance d’angle modérée (entre 10 et 15°) augmente souvent le couple au rotor
en prenant avantage de ce phénomène.
Il faut noter que dans le cas d’aimants monté en surface, le flux d’induit rencontre la
même réluctance quelque soit la position du rotor. Il n’y donc pour ces moteur pas de couple
de réluctance à prendre en compte.
2.1.2.7 - Contrôle à commande vectorielle (commande dq)
Plutôt que de réguler des variables d’état (courants des phases Ia, Ib, Ic) mesurées, la
commande vectorielle régule des variables d’états calculées, en l’occurrence les courants
direct (ID) et de quadrature (IQ). ID, IQ sont des grandeurs continues, ce qui permet à la
commande vectorielle d’éviter les erreurs de traînage et d’atteindre de meilleures
performances que l’autopilotage.
Les courants ID et IQ génèrent du flux magnétique par rapport au rotor, alors que les
courants de phase génèrent du flux magnétique par rapport au stator. Ainsi, pour un moteur
tournant à vitesse constante et avec un couple constant, les courants de phases varient
sinusoïdalement, alors qu’ID et IQ restent des valeurs constantes. ID et IQ sont calculés à partir
des courants de phase utilisant la transformée de Park, qui consiste à passer du référentiel du
stator au référentiel du rotor :
IQ = I A sin(θ E ) + I B sin(θ E − 120°) + I C sin(θ E − 240°) ,
IQ = I A cos(θ E ) + I B cos(θ E − 120°) + IC cos(θ E − 240°)
La boucle d’asservissement du courant de quadrature est fermée avant la commutation
et régule le courant de quadrature en fonction du couple commandé. Le courant direct est
maintenu à zéro pour les vitesses faibles et modérées et est accru pour passer en régime de
défluxage pour les grandes vitesses.
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2.1.2.7.1 - Modulation de tension
Les tensions commandées des contrôleurs de courants (UQC et UDC) sont d’abord
commutées puis modulées. Deux phases de courant sont mesurées, la troisième pouvant être
calculée à partir des deux premières, et combinées pour former le signal des boucles de retour
sur ID et IQ.
La Figure 10 illustre ce principe de commande vectorielle d’un moteur synchrone à
aimants permanents.
Figure 10 - Schéma simplifié de la commande vectorielle d’un moteur synchrone à aimants
permanents triphasé.
2.1.2.7.2 - Défluxage
L’affaiblissement du champ inducteur en commande vectorielle se fait en régulant ID
en fonction de la vitesse. A vitesse faible et moyenne ID est commandé à zéro. Quand la
vitesse augmente jusqu’à atteindre les limites imposées par la fcem, qui crée une chute de
tension telle que le moteur ne peut plus accélérer, ID est augmenté. Augmenter ID réduit le
flux d’inducteur et ainsi la fcem, ce qui permet comme dans le contrôle de phase d’étendre la
gamme de vitesse du moteur au prix d’une consommation d’énergie supplémentaire (liée à la
réduction du flux inducteur).
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2.1.2.8 - Comparaison entre autopilotage abc et contrôle vectoriel dq
Il y a de nombreux points communs entre l’autopilotage et la commande vectorielle.
Le hachage est similaire, et les deux méthodes requièrent au moins deux capteurs de courant.
Le principe d’angle d’avance est le même dans les deux cas.
La principale différence entre ces deux méthodes de contrôle réside dans le fait que
dans la commande vectorielle, on régule des grandeurs continues (ID, IQ) et non sinusoïdale
comme c’est le cas dans l’autopilotage. Réguler des grandeurs continues permet d’éviter à la
commande vectorielle les erreurs de traînage et d’atteindre de meilleures performances.
2.1.2.9 - Commutation trapézoïdale
Le moteur à fem trapézoïdale est une alternative économique au moteur à fem
sinusoïdale. Le moteur à fem trapézoïdale utilise une méthode de commutation trapézoïdale,
basée sur l’activation d’un chemin de courant à la fois. Par exemple, il y a six chemins de
courant possibles dans un moteur synchrone à aimants permanents triphasé (a, b, c) en
montage étoile : ab, ac, bc, ba, ca, et cb.
La commutation trapézoïdale requiert un capteur de position avec une précision très
large de 60° électrique. Généralement, un anneau magnétique est installé sur le rotor et trois
capteurs à effet hall sont positionnés sur son périmètre.
Ci-dessous les équations de commande des courants dans les 3 phases d’un moteur
triphasé.
Ia=IS pour 30°< θE<150°
Ia=-IS pour 210°< θE<330°
sinon Ia=0
Ib=IS pour -90°< θE<30°
Ib=-IS pour 90°< θE<210°
sinon Ib=0
Ic=IS pour 150°< θE<270°
Ic=-IS pour -30°< θE<90°
sinon Ic=0
La Figure 11 illustre la commutation trapézoïdale pour un moteur brushless triphasé à
fem trapézoïdale avec un tracé en fonction du temps des tension utiles (BEMF), des courants
et de la puissance mécanique.
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Ea
Ia
t
Eb
Ib
t
Ec
Ic
t
Pm
t
Figure 11 - Commutation trapézoïdale.
La commutation trapézoïdale est plus simple que la commutation sinusoïdale. Elle
requière seulement un capteur de position avec une faible précision (60° électrique) et le
courant passant à travers une phase à la fois permet d’utiliser une seule boucle
d’asservissement de courant. De cette façon le moteur synchrone à aimants permanents est
aussi simple à contrôler qu’un moteur à courant continu à aimants permanents à balais.
Le principal inconvénient est la génération de pulsations de couple. La commutation
trapézoïdale est donc une alternative simple et économique à la méthode de commutation
sinusoïdale pour les applications peu sensibles aux pulsations de couple.
2.1.2.10 - Capteurs de position pour l’autopilotage
Le moteur synchrone à aimants permanents nécessite l’utilisation de capteurs de
position pour pouvoir contrôler la commutation de ses phases. Les capteurs les plus
couramment utilisés sont les encodeurs (ex. capteurs optiques incrémentaux ou à code Gray),
les résolveurs et les capteurs à effet Hall. La boucle d’asservissement en vitesse est beaucoup
plus contraignante que la commutation au niveau de l’information de position du rotor,
cependant cette dernière thématique sort du cadre fixé pour cette étude et la commutation
implique quelques contraintes qu’il est important d’aborder.
La commutation nécessite de connaitre la position du stator par rapport aux pôles
magnétiques du moteur. Pour les résolveurs (ou synchro-résolveurs), qui donnent une valeur
absolue de la position du rotor pour une révolution, le problème est généralement résolu
mécaniquement en alignant le résolveur avec les pôles. Dans ce cas, l’angle électrique du
moteur peut être obtenu du résolveur en multipliant l’angle mécanique donné par le nombre
de paires de pôles. Il est aussi possible d’utiliser des résolveurs multi-vitesse et par exemple
de lire directement l’angle électrique.
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Bien qu’il existe des encodeurs à lecture de position absolue et relative (ex. les
capteurs optiques à code Gray), la plus-part des encodeurs donnent une information relative
de position incrémentale via deux voies A et B. A partir du moment où les signaux dans ces
voies pulsent, on sait que le moteur tourne. Cependant ce type de capteur ne permet pas de
lire la position absolue du rotor au démarrage. Certains encodeurs inclus l’effet hall pour
définir la position du rotor au démarrage puis continu avec une lecture de position
incrémentale à deux voie beaucoup plus précise. La précision atteinte permet de fonctionner
en commutation sinusoïdale. Cependant les encodeurs avec des voies à effet Hall nécessitent
du câblage supplémentaire, sont peu répandus et plus chers que des encodeurs classiques.
Une autre solution consiste à initialiser l’information de position absolue du rotor en
excitant le bobinage dans différentes configuration (ab, bc, etc.) et de suivre la direction
dans laquelle se déplace le moteur. On obtient ainsi une valeur plus ou moins précise de la
position de départ du rotor. Cependant, de nombreuses applications n’autorisent pas cette
phase d’initialisation au démarrage du moteur, par exemple les applications pour lesquelles la
charge doit être entièrement contrôlée à partir du moment où le frein est relâcher.
D’autres capteurs encodeurs « smart-format », permettent de déterminer la position
électrique absolue du moteur au démarrage en utilisant trois à quatre réseaux de
communication. Ces encodeurs réduisent le câblage et supportent une commutation
sinusoïdale dès le démarrage.
2.1.2.11 - Caractéristiques de performance statique
Comme le moteur à courant continu à aimants permanents à balais, le moteur
synchrone a aimants permanents à deux types de performances statiques liées au temps
d’opération, les performances en régime permanent et les performances en régime
intermédiaire ou transitoire. Ces caractéristiques statiques de performances ont un aspect
proche de celles du moteur à courant continu à aimants permanents. Les principales
différences résident dans l’absence du commutateur mécanique qui est remplacé par une
commutation électronique.
2.1.2.11.1 - Couple permanent
Comme pour un moteur à courant continu à aimants permanents, les pertes dominantes
dans un moteur synchrone à aimants permanents sont les pertes Joule. Ces pertes font monter
la température dans le moteur et peuvent de cette façon dégrader les caractéristiques du
moteur et l’isolant du bobinage. La limite thermique, fixée par le constructeur, définit le
couple permanent maximum que le moteur peut fournir.
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Dans un moteur synchrone les aimants permanents sont montés sur le rotor et c’est
donc le stator et la carcasse qui reçoivent le bobinage d’induit. L’avantage thermique de cette
construction permet au moteur synchrone à aimants permanents d’atteindre des performances
statiques supérieures à celles d’un moteur à courant continu équivalent.
2.1.2.11.2 - Couple impulsionnel
Le couple impulsionnel est généré pendant une courte période de temps et n’est pas
concerné par la limite thermique du moteur. Comme pour le moteur à courant continu à
aimants permanents, un très fort pic de couple peu démagnétiser de façon permanente les
aimants du moteur. Cette limite de démagnétisation définit le couple instantané maximum que
le moteur peut fournir.
2.1.2.11.3 - Zone de défluxage
Comme il a déjà été mentionné dans la section précédente, le flux magnétique
inducteur peut être réduit en avançant l’angle électrique du courant réel (dans le bobinage
induit). La réduction du flux inducteur provoque une réduction de la constante de fcem. La
chute de tension créer par la fcem est la limite de vitesse fondamentale du moteur synchrone à
aimants permanents, réduire la constante de fcem revient donc à repousser la limite de vitesse
du moteur.
Cependant, l’angle d’avance crée aussi des pertes Joule supplémentaires, qui sont liées
à l’énergie nécessaire pour affaiblir le flux inducteur. Ce prélèvement d’énergie à pour
conséquence de réduire le couple maximum que peut atteindre le moteur pour une intensité de
courant maximale donnée. En effet, réduire la constante de fcem (KE) équivaut à réduire la
constante de couple (Kc) et une partie du courant maximal donné est attribuée au défluxage et
non plus à la production de couple.
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C
Couple moteur [Nm]
régime continu
démagnétisation
régime transitoire
Cmax
limite de puissance
zone de défluxage
zone de régime
transitoire
pertes Joule
limite mécanique ou
Cnominal
limite d’onduleur
zone de régime
continu
0
0
ω
ω
max
vitesse de rotation [rad/s]
Figure 12 - Caractéristiques couple vitesse d’un moteur synchrone à aimants permanents.
La Figure 12 illustre les différentes caractéristiques des performances d’un moteur
synchrone à aimants permanents sous la forme d’enveloppes de couple pour les
fonctionnements permanents et transitoires que peut fournir le moteur sur sa gamme de
vitesse. Ce type de figure est généralement fournit par les constructeurs.
2.1.2.12 - Avantages
et inconvénients
du moteur synchrone à aimants permanents
Contrôle
Le moteur synchrone remplace le commutateur mécanique du moteur à courant continu par un
commutateur électronique, ce qui à pour effet de rendre le contrôle de ce moteur plus
complexe et coûteux que celui d’un moteur à courant continu.
La commutation électronique se base sur une boucle de retour délivrant l’information de la
position électrique du rotor. Ce qui implique pour les moteurs triphasés l’utilisation d’un
capteur de position et d’au moins deux capteurs de courant en cas de commutation sinusoïdale
ainsi que d’un correcteur. Dans le cas d’une commutation trapézoidale, le nombre de capteurs
de courant est réduit à un, mais ce type de commutation augmente les pulsations de couple.
Enfin, le déphasage créé par la boucle de retour peut être plus ou moins compensé par des lois
de contrôle relativement complexes (ex. avance d’angle). Dans le cas d’un moteur à
commande de type autopilotage, les boucles de courant se situe en aval de la commutation, or
une boucle de courant à une bande passante, qui peut réduire de façon significative les
performances de la commutation. Ce problème peut néanmoins être contourné par l’utilisation
d’une méthode complexe de commande de commutation appelée commande vectorielle.
L’utilisation d’une commutation électronique permet par l’intermédiaire de méthode de
commande de contrôle plus ou moins complexe d’étendre les performances du moteur
synchrone là ou celles du moteur à courant continu sont restreintes par les limites physique de
la commutation mécanique. Ainsi, il est possible d’utiliser la technique de défluxage pour
permettre au moteur synchrone de réduire la chute de tension provoquée par la fcem et
d’atteindre des vitesses élevées, au prix cependant d’une plus grande perte énergétique.
Pulsations de couple
Un désavantage du moteur synchrone par rapport au moteur à courant continu est la présence
de pulsations de couple. Selon la méthode de commutation utilisée, le moteur synchrone est
plus ou moins sujet à ce phénomène. La commutation sinusoïdale permet de réduire ces
pulsations, mais nécessite pour cela l’utilisation d’un contrôleur complexe et de capteurs de
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courant sophistiqués (coûteux). La commutation trapézoïdale, permet d’utiliser un contrôleur
et des capteurs de courant plus simples et moins coûteux (ex. capteur à effet Hall), mais
implique la présence de plus fortes pulsations de couple.
Maintenance
La suppression du collecteur et des balais est un avantage considérable en ce qui concerne la
longévité et la maintenance imposées par la commutation mécanique. Ainsi, la commutation
électronique permet d’éviter les cycles de maintenance liés au changement des balais.
L’absence de balais et collecteur permet au moteur d’être moins sensible aux contaminants
extérieure (ex. sable). Sans oublier que dans le cas d’une commutation mécanique, les balais
sont en soit de possible sources de contaminants (particules de charbon).
Efficacité
Contrairement au moteur à courant continu, il n’y a pas dans le moteur synchrone à aimants
permanents de chute de tension apparaissant au niveau du commutateur, ni de frictions entre
les balais et le collecteur. Ce qui permet à ce dernier d’afficher des performances supérieures à
celles d’un moteur à courant continu.
Les performances du moteur synchrone à aimants permanents sont aussi liées au choix des
aimants. L’utilisation d’aimants de type « terre rare » permet d’atteindre de plus grandes
performances que l’utilisation d’aimants présentant de caractéristiques moindres (champ
coercitif, tenue en chaleur, etc.), mais coûtent aussi beaucoup plus cher.
Volume / Poids / Inertie
La constitution du moteur synchrone à aimants permanents lui permet d’être refroidis plus
efficacement qu’un moteur équivalent avec balais, c’est pourquoi il est plus compact que ce
dernier.
Le rotor d’un moteur synchrone est moins lourd que celui d’un moteur à courant continu
équivalent, car pour la plus-part des machines avec balais le bobinage est enroulé autour d’un
corps métallique sur le rotor. Ensemble, le cuivre du bobinage et le corps métallique
accroissent considérablement l’inertie du rotor. Une plus faible inertie au rotor améliore les
caractéristiques dynamiques d’un moteur donné, car pour un même couple de sortie
l’accélération est plus grande que dans le cas d’une forte inertie.
La Figure 13 met en évidence l’avantage du moteur brushless sur le moteur à courant
continu pour obtenir une plus faible inertie de rotor.
Figure 13 - Comparaison moteur brushless (gauche) et moteur à courant continu (droite).
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Thermique
Le moteur synchrone à aimants permanents reçoit le bobinage d’alimentation sur son rotor ce
qui lui confère un intérêt évident du point de vue thermique dans la construction fermée : la
chaleur, produite par effet Joule du bobinage d’alimentation ainsi que les pertes dans le fer sur
le stator, transite directement vers l’enveloppe sans avoir à passer, comme dans le moteur à
collecteur, par le milieu de faible conductance thermique que constitue l’entrefer.
Bruits électriques / audibles
Un avantage de l’absence de balais dans le moteur synchrone est la diminution du bruit
électrique. En effet, dans le cas d’un commutateur mécanique, quand le collecteur déconnecte
un bobinage, ce dernier porte de fortes charges de courant et crée des étincelles générant ainsi
du bruit électrique.
Vitesse de rotation
Un autre avantage de la commutation électronique est la possibilité d’atteindre de plus hautes
vitesses qu’un moteur à balais équivalent.
En effet, la vitesse n’est plus limitée comme dans les moteurs à courant continue par la limite
physique imposée par la pression des balais sur le collecteur ni par le phénomène de défrettage
des spires sur le rotor bobiné.
De plus, la commutation électronique permet d’utiliser la technique de défluxage pour
permettre au moteur de réduire la chute de tension provoquée par la fcem et d’atteindre des
vitesses élevées, au prix cependant d’une plus grande perte énergétique.
CEM
En l’absence de collecteur, le moteur synchrone à aimants permanents est moins critique que
son équivalent à courant continu du point de vue du rayonnement électromagnétique. En effet
le collecteur mécanique impose des ruptures de contact et provoque ainsi l’apparition d’arcs
électriques, qui entre autres génèrent des rayonnements électromagnétiques parasites.
Coût
La présence d’aimants permanents majore le prix des moteurs synchrone, notamment dans le
cas de l’utilisation d’aimants de type terre rare. Ces aimants présentes de très grandes qualités
(champ coercitif, tenue en chaleur, etc.) par rapport aux aimants « ferrites », mais ont un prix
aussi beaucoup plus élevé.
Le contrôle basé sur une commutation électronique augmente la complexité et donc le prix du
contrôleur et du variateur. Ainsi le variateur se voit équipé d’un onduleur. A cela s’ajoute le
coût du capteur de position, et des capteurs supplémentaires nécessaires à la boucle de
courant. Le capteur de position doit fournir une information absolue sur la position angulaire
du rotor, qui doit être disponible même au rallumage après une coupure d’alimentation. Dans
le cas d’une commutation sinusoïdale, il faut considérer pour la boucle de courant au moins
deux capteurs de hautes résolutions (encodeur, résolveur). Dans le cas d’une commutation
trapézoïdale, un capteur de courant basse résolution (effet Hall) suffit, cependant cette
méthode de contrôle implique la présence de plus fortes pulsations de couple.
2.1.3 - Le moteur synchrone à aimants permanents dit moteur couple
Le moteur couple est un moteur synchrone à aimants permanents, qui à été développé
pour répondre au besoin croissant pour des applications dites « direct drive ». Une
configuration « direct drive » consiste à connecter l’arbre de sortie du moteur directement
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avec la charge, ce qui permet de simplifier au maximum le système d’actionnement et le
nombre de composants intermédiaires tels que les réducteurs de vitesse. Cette réduction du
mécanisme permet entre autres de simplifier considérablement le développement, d’atteindre
des caractéristiques mécaniques et dynamiques très élevées (ex. jeu et inertie tournante sont
minimisés) et de réduire les tâches de maintenance.
Ce qui distingue le moteur couple du moteur synchrone à aimants permanents
classique sont ses dimensions physiques. Le moteur couple à un grand diamètre externe par
rapport à sa longueur axiale, qui est relativement courte. Le diamètre interne est aussi très
grand et donne à ce moteur l’aspect d’un anneau. Cet aspect permet de multiplier le nombre
de pôles et ainsi d’atteindre des valeurs de couple très élevées et une variation très régulière
en limitant les pulsations. Cependant, ce type de moteur se limite à des applications limitées
en vitesse à cause des pertes fer liées au grand nombre de pôles et à la vitesse de rotation du
moteur.
La Figure 14 est une image d’un moteur couple, qui illustre sa constitution et ses
proportions physiques distinctives.
alimentation électrique
aimants
permanents (rotor)
bobinage
d’excitation (stator)
Figure 14 - Moteurs couple synchrone à aimants permanents (TMB-ETEL).
2.1.3.1 - Configuration « direct drive »
La configuration « direct drive » consiste à connecter le moteur directement à la
charge et permet ainsi d’éliminer les composants intermédiaires classiques tels que les boîtes
de vitesse, les vis à billes et autres éléments de transmission mécanique. Ce qui permet de
réduire l’inertie tournante et d’obtenir une raideur angulaire très élevée. La connection directe
avec la charge permet ainsi d’atteindre une très bonne réponse dynamique sans hystérésis
(absence de jeu). De la même façon, le nombre limité d’éléments de transmission mécanique
permet de réduire les pertes et d’améliorer l’efficacité de l’actionneur.
Le grand diamètre externe du moteur peut être un handicap pour des applications, qui
ont une enveloppe géométrique limitée pour le système d’actionnement. D’un autre côté, le
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grand diamètre interne du moteur permet d’installer le mécanisme de transmission au centre
du moteur et ainsi de développer des solutions intégrées.
Le moteur couple peut atteindre de grande valeur de couple, notamment au démarrage
et est capable de fournir une très grande raideur angulaire (de l’ordre de 100Nm / arc-sec)
avec une très grande précision, grâce à la minimisation du nombre d’éléments de transmission
mécanique. Cependant, ces caractéristiques ne sont atteintes, que si le moteur est accompagné
d’un système de contrôle suffisamment performant.
La précision du positionnement qui est un des principaux avantages potentiels d’une
configuration « direct drive » est directement liée à la résolution du capteur de position du
système. Pour cette raison, un encodeur optique haute résolution (>9000 lignes par révolution)
est généralement utilisé. Ce type de composant permet au système d’atteindre une résolution
en-deça d’un arc-seconde, mais augmente le coût du système.
La très grande raideur angulaire obtenue par un couplage direct avec la charge permet
d’obtenir une très grande bande passante pour le système. Afin d’exploiter cet avantage, le
moteur doit être équipé d’un système de contrôle performant et capable d’atteindre une très
grande bande passante. Ce qui peut être obtenu via l’utilisation de capteurs et d’un contrôleur
à hautes performances ou/et l’utilisation de techniques de contrôle complexes (ex. méthodes
de contrôle basées sur du « feed forward »).
Le moteur couple à pour vocation d’être monté directement sur l’axe de rotation de la
charge et d’être intégré au sein du mécanisme d’actionnement. Ce qui rend beaucoup plus
critique la question du transfert de la chaleur produite majoritairement par le bobinage
d’excitation vers le milieu extérieur. Les moteurs conventionnels sont en général montés dans
des endroits moins critiques (ex. à l’extrémité d’une vis à bille) et l’évacuation de la chaleur
est de ce fait moins problématique.
2.1.3.2 - Caractéristiques et performances
Le moteur couple étant un moteur synchrone à aimants permanents, et il partage
globalement les mêmes caractéristiques physiques que ce dernier. Pour décrire les
caractéristiques de performance d’un moteur couple il faut donc dans un premier temps se
référer à celle du moteur synchrone à aimants permanents classique (cf. section 1.2.2).
Le moteur couple se distingue par son grand nombre de pôles magnétiques et par
conséquent sont grand nombre d’aimants permanents installés sur son rotor. Ce qui lui permet
d’atteindre des valeurs de couple très élevées. Cependant, les pertes fer d’un moteur brushless
s'accroissent avec le nombre de paires de pôles et la vitesse de rotation, ce qui limite dans un
premier temps le nombre de paire de pôles utilisables, et dans un second temps limite la
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gamme de vitesse d’utilisation du moteur couple. Le moteur couple est limité aux applications
basses vitesses (généralement <1000 rpm), notamment dans le cas d’une configuration
« direct drive » pour laquelle il n’y a pas d’éléments de transmission mécaniques adaptant les
caractéristiques couple vitesse du moteur.
C
couple
moteur [Nm]
régime continu
démagnétisation
Cmax
régime transitoire
limite de puissance
zone de régime
transitoire
Cnominal
pertes Joule +
pertes fer
pertes Joule
zone de régime
continu
0
0
ω
ω
max
vitesse de rotation [rad/s]
Figure 15 - Caractéristiques couple vitesse d’un moteur couple.
La Figure 15 illustre les différentes caractéristiques de performance d’un moteur
couple sous la forme d’enveloppes de couple pour les fonctionnements permanents et
transitoires que peut fournir le moteur sur sa gamme de vitesse. Ce type de figure est
généralement fournit par les constructeurs.
2.1.3.3 - Avantages
et inconvénients
du moteur couple
Etant donné les similarités entre le moteur synchrone à aimants permanents classique
et le moteur couple, qui partagent le même principe de fonctionnement, cette section ne
détaillera que les avantages et inconvénients propres au moteur couple, pour les autres il suffit
de se reporter à la section 1.2.3 correspondant au moteur classique.
Contrôle
Le moteur couple peut atteindre de grande valeur de couple, notamment au démarrage, et est
capable de fournir une très grande raideur angulaire avec une très grande précision.
Cependant, ces caractéristiques ne sont atteintes, que si le moteur est accompagné d’un
système de contrôle suffisamment performant avec des capteurs de position et de courant de
haute résolution. Ainsi, le moteur couple doit être équipé d’un système de contrôle complexe
et coûteux pour pouvoir atteindre les hautes performances qui lui sont propres.
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Pulsations de couple
Le grand nombre de pôles équipant le rotor du moteur couple, lui permet entre autres de
produire un couple plus régulier et des pulsations de couple plus faible qu’un moteur
synchrone à aimants permanents classique équivalent.
Maintenance
Le montage en « direct drive » pour lequel le moteur couple à été développé, permet par la
minimisation du nombre d’éléments de transmission mécaniques entre le moteur et la charge
de diminuer considérablement les opérations de maintenance du système.
Efficacité
En minimisant le nombre d’éléments de transmission mécanique, la configuration « direct
drive » permet de réduire les pertes apparaissant dans le chemin de transmission de puissance
et ainsi de participer à l’amélioration de l’efficacité du système.
Volume / Poids / Inertie
La forme d’anneau du moteur couple avec un grand diamètre peut s’avérer être un handicap
majeur pour l’intégration. Ce handicap peut être compensé par l’utilisation de l’espace vide
dans le diamètre intérieur du moteur pour l’intégrer dans le système d’actionnement.
Néanmoins, cette configuration rend critique la question du transfert thermique nécessaire au
refroidissement du moteur.
Le moteur couple présente un couple massique meilleur et donc un poids plus faible que ses
équivalents à courant continu ou synchrone à aimants permanents classique.
Un autre avantage de la forme d’anneau du moteur et du faible nombre d’éléments de
transmission mécanique en « direct drive » est la réduction de l’inertie tournante de
l’actionneur.
Thermique
En configuration « direct drive » le moteur couple est monté directement sur l’axe de rotation
de la charge et est intégré au sein du mécanisme d’actionnement. Ce qui rend beaucoup plus
critique la question du transfert de la chaleur vers le milieu extérieur nécessaire au bon
refroidissement du moteur. Les moteurs conventionnels sont en général montés dans des
endroits moins critiques (ex. à l’extrémité d’une vis à bille) et l’évacuation de la chaleur est de
ce fait moins problématique.
Vitesse de rotation
Les pertes fer d’un moteur brushless s'accroissent avec le nombre de paires de pôles et la
vitesse de rotation, ce qui limite la gamme de vitesse d’utilisation du moteur couple qui est
pourvu d’un très grand nombre de paires de pôles. De plus la configuration « direct drive »
supprime les éléments de transmission mécanique adaptant les caractéristiques couple vitesse
du moteur. Pour cette raison le moteur couple est limité aux applications basses vitesses
(généralement <1000 rpm).
Coût
Comme pour les autres moteurs à aimants permanents, la présence d’aimants dans le moteur
couple majore son prix, notamment dans le cas de l’utilisation d’aimants de type terre rare qui
permettent d’obtenir de très hautes performances.
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La complexité du contrôle ainsi que les capteurs nécessaires pour obtenir les très hautes
performances d’un moteur couple en configuration « direct drive » augment significativement
le coût du système.
D’un autre côté, la configuration « direct drive » simplifie considérablement le système en
éliminant les éléments de transmission intermédiaire et réduit de ce fait la difficulté et le
temps de conception de l’actionneur. Réduisant ainsi le coût de développement de la partie
mécanique du système.
L’élimination d’éléments de transmission mécaniques réduit aussi considérablement les tâches
de maintenance et donc le coût d’opération du système.
Finalement, l’absence des éléments de transmission mécanique réduit le coût du système du
prix d’achat de ces composants.
2.1.4 - Le moteur asynchrone ou moteur à induction
Le moteur asynchrone est le moteur le plus répandu parmi les applications
industrielles. En raison, notamment de son faible coût de conception et d’opération, de sa
facilité de maintenance et de sa robustesse. Dans la plus-part des cas le moteur asynchrone est
utilisé à vitesse constante. Cependant, les récentes avancées dans le domaine des contrôleurs
permettent d’étendre les capacités de ce moteur à l’utilisation à vitesse variable avec des
caractéristiques dynamiques et une précision suffisantes pour son utilisation dans des servosystèmes. Cependant, ce moteur est largement plus lourd que les moteurs à aimants
permanents équivalent. Il est de ce fait très peu utilisé dans les applications embarquées. Les
applications embarquées étant l’objet de cette étude, le moteur asynchrone n’est ici que
brièvement abordé.
2.1.4.1 - Principe de fonctionnement (en bref)
Le moteur asynchrone est constitué essentiellement d’un stator portant un enroulement
polyphasé dont l’alimentation en courant alternatifs crée un champs tournant à la vitesse
angulaire dite « vitesse de synchronisme ». Le rotor porte également un bobinage polyphasé
de même polarité que le stator et en court-circuit. Le champ tournant du stator balaie le rotor
et, lorsque la vitesse de ce dernier est différente de la vitesse de synchronisme, le bobinage
rotorique (ou cage d’écureuil) est parcouru par un flux variable. Les fem induites donnent
naissance aux courant rotorique dont l’action sur le champ provoque l’apparition d’un couple
électromagnétique.
La Figure 16 illustre les principaux composants d’un moteur asynchrone triphasé et
auto-ventilé ainsi que leur montage.
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alimentation électrique
bobinage d’induction
(stator)
cage d’écureuil
(stator)
ventilateur (autoventilation)
axe de sortie
Figure 16 - Moteurs asynchrone triphasé auto-ventilé.
2.1.4.2 - Utilisation du moteur asynchrone
Avec les récentes avancées technologiques faites sur les microprocesseurs, il est
maintenant possible de développer des contrôleurs fiables, qui permettent de contrôler le
moteur asynchrone avec la précision et la dynamique requise pour les applications de
systèmes asservis. De plus, le moteur synchrone est certainement le moteur le moteur le plus
robuste et le mieux connu actuellement.
Le moteur asynchrone est considéré comme le moteur universel de l’industrie. Il est
estimé comme étant utilisé dans 80% des applications industrielles, bien que la plus-part
soient des applications à vitesse constante telles que les ventilateurs et les pompes. Les
principaux avantages des moteurs asynchrones sont la robustesse de sa conception, sa facilité
de maintenance et son faible coût de construction (absence de matériaux coûteux) et
d’opération.
Comparé à un moteur à courant continu à aimants permanents équivalent, le moteur
asynchrone peut atteindre potentiellement de plus grandes vitesses avec un poids et une
inertie moindres. De plus, ils n’ont pas les problèmes de maintenances liés aux balais.
Dans un moteur asynchrone le rotor produit de la chaleur difficile à évacuer tout
comme cela est le cas pour le moteur à courant continu avec balais. Le moteur à induction
n’est pas non plus capable de rivaliser avec les densités de flux produites par les aimants
permanents en matériaux terre-rare. Ainsi, le moteur à induction est plus volumineux et plus
lourd que les moteurs équivalents à aimants permanents. De la même façon, le rotor du
moteur à induction (équipé d’un bobinage ou d’une cage d’écureuil) a une inertie supérieure à
celle du rotor d’un moteur synchrone à aimants permanents équivalent. Ce qui le rend moins
apte pour les applications avec de fortes accélérations.
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2.1.4.3 - Caractéristiques et performances
Les caractéristiques de performance du moteur asynchrone sont brièvement expliquées
dans cette sous-section via deux figures. La Figure 17 représente les caractéristiques couple
vitesse du moteur à tension et fréquence d’alimentation fixes. Le glissement g représente
l’écart de vitesse par rapport à la vitesse de synchronisme.
Figure 17 - Caractéristiques couple vitesse à tension et fréquence d’alimentation fixes.
La Figure 18 représente les caractéristiques couple vitesse du moteur pour différentes
fréquences d’alimentation. Comme le montre cette figure, le fait de conserver le rapport
tension sur fréquence (U/f) constant permet de maintenir l’induction du moteur constante et
donc le couple max constant.
Figure 18 - Caractéristiques couple vitesse pour différentes fréquences d’alimentation.
On en déduit les caractéristiques couple vitesse du moteur asynchrone présentées dans
la Figure 19, ci-dessous.
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C
couple
moteur [Nm]
1 Moteur moto-ventilé
régime continu
2 Moteur auto-ventilé
régime transitoire
Cmax
couple de décrochage à
glissement maximum
limite de puissance
pertes Joule
Cnomimal
1
zone de défluxage
limite mécanique
2
0
0
ω
vitesse de rotation [rad/s]
Figure 19 - Caractéristiques couple vitesse d’un moteur asynchrone.
La Figure 19 illustre les différentes caractéristiques de performance d’un moteur
asynchrone sous la forme d’enveloppes de couple pour les fonctionnements permanents et
transitoires que peut fournir le moteur sur sa gamme de vitesse.
2.1.4.4 - Avantages
et inconvénients
du moteur asynchrone
Contrôle
L’utilisation du moteur asynchrone dans des applications asservies nécessite un contrôle très
complexe (contrôle vectoriel), afin de pouvoir opérer à vitesse variable avec une dynamique et
une précision suffisantes.
Pulsations de couple
Quelque soit la valeur du glissement relatif (différence relative entre la vitesse du rotor et du
stator), la fmm (force magnéto motrice) rotorique tourne dans l’espace à la même vitesse et
dans le même sens que celle du stator. Ce qui est à l’origine du couple constant (et non
pulsative) développé par le moteur asynchrone.
Maintenance
Deux des principaux avantages des moteurs asynchrones sont la robustesse de sa conception et
sa facilité de maintenance.
Efficacité
Une partie de l’énergie fournie au moteur asynchrone est utilisée par ce dernier pour
magnétiser le rotor. De plus, les matériaux utilisés pour ce moteur n’ont pas des
caractéristiques de performance aussi élevé que ceux des aimants permanents (ex. terre-rares)
et ne lui permettent donc pas de rivaliser avec les moteurs équivalents à courant continu à
aimants permanents et synchrone à aimants permanents.
Volume / Poids / Inertie
L’un des principaux défauts du moteur asynchrone est son poids, qui est bien plus élevé que
celui de moteurs équivalents à aimants permanents.
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Le rotor du moteur asynchrone a un rotor bobiné et présente par conséquent une inertie
largement supérieure à celle d’un moteur équivalent synchrone à aimants permanents.
Thermique
Dans un moteur asynchrone le rotor produit de la chaleur difficile à évacuer tout comme cela
est le cas pour le moteur à courant continu avec balais.
Vitesse de rotation
Le moteur synchrone permet aussi d’atteindre de plus hautes vitesses que les moteurs
équivalents synchrone et continu à aimants permanents, car l’absence d’aimants facilite
grandement le défluxage.
Coût
Le moteur asynchrone est constitué de matériaux bon marché (ex. pas d’aimants permanents),
est robuste et simple de maintenance. Le moteur asynchrone peut ainsi afficher un faible coût
de production et d’opération. Le faible coût de ce moteur est un de ces principaux avantages
qui explique sa très forte utilisation dans les applications industrielles (80%).
Autres
Le fait que le moteur asynchrone puisse atteindre de grandes vitesses grâce à l’absence
d’aimants permanents facilitant le défluxage, peut être mis à profit dans un montage en
sommation de vitesse ou deux moteurs asynchrones en parallèle permettraient au système
d’atteindre des vitesses inaccessibles avec des moteurs à courant continu et brushless
équivalents.
2.1.5 - Comparaison qualitative des servomoteurs étudiés
Le tableau suivant résume les analyses des avantages et des inconvénients du moteur à
courant continu à aimants permanents, du moteur synchrone à aimants permanents, du moteur
couple et du moteur asynchrones réalisées dans les sections précédentes.
La présentation des avantages et inconvénients des différents moteurs considérer
permet de les comparer rapidement et facilement en fonction des demandes et des contraintes
d’une application donnée.
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SERVOMOTEURS
à courant continu à aimants permanents
synchrone à aimants permanents
fem sinsoïdale
fem trapézoïdale
vitesse
peu atteindre de hautes vitesses, limité par la limite en commutation peu atteindre de très hautes vitesses
des balais
peut atteindre de très hautes vitesses
Possibilité de défluxage
non : en aimant permanent
oui : en excitation séparée (stator bobiné)
non
normalement non, sauf si structure particulière du
rotor
couple
caractéristique de couple (quasi) constante avec la vitesse et fort
couple disponible en mode instantané, limité par la commutation
caractéristique de couple (quasi) constante avec la
caractéristique de couple (quasi) constante avec la
vitesse et fort couple disponible en régime transitoire vitesse et fort couple disponible en régime transitoire
efficacité
moyenne en raison de la chute de tension et de la friction au niveau élevée
des balais
refroidissement
difficultés liées à l'échauffement électrique situé dans le rotor
pulsation de couple
peut être très faible selon le moteur
enveloppe géométrique
encombrante en raison de la présence des balais et de difficutés de compacte
refroidissement
poids
lourds
inertie tournante
typiquement élevée, faible inertie disponible pour applications
inertielles
temps d'accélération
complexité de control
asynchrone
moteur couple
fonctionnement limité aux basses vitesses
_
peut atteindre de hautes vitesses en bénéficiant d'une
possibilité de defluxage facile
oui
couple au démarrage fortement fonction de
l'électronique et de la commande de pilotage
élevée
élevée (à basses vitesses)
moyenne car nécessite de magnétiser la machine
facilité par un échauffement électrique situé dans le
stator
facilité par un échauffement électrique situé dans le
stator
facilité par un échauffement électrique situé dans le
stator
facilité par un échauffement électrique
essentiellement situé dans le stator, mains moins bon
que pour les machines synchrones à cause du
courant rotorique
élevée
faible
faible grâce au grand nombre de pôles
faible
compacte
compacte en forme d'anneau (larges diamètres
intérieur et extérieur, courte longueur)
compacte, mais moins que les machines synchrones
faible
faible
faible
moyenne
faible, car l'utilisation d'aimants permanents permet
un diamètre de rotor réduit (forte concentration de
flux)
faible, car l'utilisation d'aimants permanents permet
un diamètre de rotor réduit (forte concentration de
flux)
faible, rotor avec un grand diamètre mais creux
moyenne
élevé
faible
faible
faible
moyenne
très simple
simple
complexe
complexe
très complexe, nécessité d'un controle vectoriel
à effet hall
capteur sinusoïdale
faible
bruits et vibrations
significatif en hautes vitesses à cause des balais
faible
faible
dépend de la forme de la fem (trapézoïdale ou
sinusoïdale)
faible
maintenance
fréquente en raison de la présence des balais (1000h)
peu fréquente
peu fréquente
peu fréquente
prix
coût moyen
élevé en raison de l'utilisation d'aimants dits terre rare élevé en raison de l'utilisation d'aimants dits terre rare élevé en raison de l'utilisation d'aimants dits terre
rare
autre
perturbations électromagnétiques dues à l'ensemble balais
collecteur
risque de démagnétization du rotor en cas de courant risque de démagnétization du rotor en cas de courant risque de démagnétization du rotor en cas de
excessif
excessif
courant excessif
_
peu fréquente et facilitée par la conception simple du
moteur
faible coût
_
risque de démagnétisation du stator en cas de courant excessif
Comparaison qualitative du moteur à courant continu à aimants permanents, du moteur synchrone aimants permanents,
du moteur couple et du moteur asynchrone.
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Capteur supp. indispensable
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Très forte capacité de couple (à basse vitesse)
2.1.6 - Méthodes de dimensionnement en puissance du moteur
Le dimensionnement du moteur d’un servomécanisme donné peut être réalisé dans une
logique d’intégration ou de conception. La logique d’intégration fait référence à un
développement du servomécanisme basé sur des composants pris sur l’étagère et se
rapprochant le plus possible des performances préalablement définies. Cette solution est
particulièrement adaptée pour la production en petite série. La logique de conception consiste
à concevoir les composants pour qu’ils atteignent les performances préalablement définies.
Cette solution permet d’optimiser les composants pour l’application, est réservée la plus-part
du temps aux applications produites en grande série, afin de rentabiliser le coût de
développement et de fabrication des composants.
L’approche de conception du système basée sur la logique d’intégration est la plus
répandue des deux approches proposées. L’ensemble de la littérature sur le sujet s’accorde sur
la démarche suivante :
Dans un premier temps, les performances de fonctionnement requises sont extraites du
profil de mission donné.
Dans un deuxième temps, tous les moteurs incapables de fournir les performances
requises sont éliminés.
Finalement, des critères d’optimisations permettent au concepteur du mécanisme de
définir le moteur ayant le meilleur potentiel pour l’application.
Les deux premières étapes sont largement communes aux différents auteurs, la
dernière dépend de l’application et du point de vue du développeur. Chaque auteur propose
ses propres critères. Les plus remarquables et répandus d’entre-deux sont discutés à la fin de
cette section.
Etant donné la complexité du développement, le nombre de paramètres pris en compte
au début du processus est très limité. Le nombre de paramètres est augmenté avec le nombre
de boucle d’itérations, qui permettent d’affiner la sélection du moteur. L’affinement de
l’étude peut amener à rejeter la solution sélectionnée et oblige à recommencer le cycle de
développement en prenant en compte cette information supplémentaire. Il s’agit dans ce cas
d’une méthode erreur essais et qui par conséquent n’assure pas de converger vers la solution
la plus optimale.
L’approche de conception consiste à calculer les caractéristiques physiques optimales
des différents composants du mécanisme afin de satisfaire au mieux les critères de
contraintes, tel que les performances issues du profil de mission, et d’optimisation définis
pour l’application. Cette approche requiert des équations liant les principales caractéristiques
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physiques (ex. couple, vitesse, inertie, raideur, poids, efficacité, etc.) des différentes
technologies des composants du mécanisme. Le développement de cette approche est l’objet
de cette étude et sera traitée plus en détails plus tard dans ce document.
Pour ces deux approches, il faut établir des critères de contraintes et d’optimisation.
Typiquement, les critères de contraintes considérés en préconception sont tout d’abord les
performances requises par le profil de mission. Idéalement, le profil de mission est donné sous
la forme d’une information de la position de la charge et des efforts extérieurs en fonction du
temps. Les critères d’optimisation peuvent être très variés et dépendent fortement de
l’application et de son environnement (coût, poids, enveloppe géométrique, thermique,
économie d’énergie, etc.).
2.1.6.1 - Pré-dimensionnement en puissance en logique d’intégration
2.1.6.1.1 - Analyse du profil de mission
La première étape de pré-dimensionnement du moteur d’un mécanisme donné est
l’analyse du profil de mission. Le profil de mission renseigne sur les performances statiques
et transitoires demandées au mécanisme. Dans la plus-part des cas, on suppose dans un
premier temps que les éléments de la transmission sont considérés comme étant idéaux, c'està-dire sans perte, ni inertie, ni raideur. Cette hypothèse permet d’extraire du profil la vitesse,
le couple maximum et continu au moteur en fonction du rapport de transmission du
mécanisme.
alimentation en
puissance électrique
commandée
Θ (rad)
C (Nm)
Moteur
électrique
effort
extérieur
réducteur
Rapport de transmission = k
charge
rendement = 100%
Inertie = 0 kg.m²
Figure 20 - Schéma du mécanisme simplifié utilisé pour la première étape du prédimensionnement
La Figure 20 montre le schéma du mécanisme simplifié tel qu’il est considéré au
début du processus de dimensionnement en puissance. Pour cela on considère un simple
mécanisme d’orientation angulaire.
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Θ(rad)
C(Nm)
0
0
t(s)
t(s)
Figure 21 - exemple d’un profil de mission (sans grandeurs) pour une charge rotative
purement inertielle
La Figure 21 illustre le profil de mission en utilisant l’exemple (sans grandeurs) d’un
mécanisme d’orientation angulaire d’une charge purement inertielle (sans efforts extérieures).
Ce profil se réfère au mécanisme simplifié représenté dans la Figure 20.
La vitesse maximale et le couple maximum au moteur définissent les performances
transitoires du moteur, dans le cas d’un mécanisme simplifié ces caractéristiques se calculent
en fonction du rapport de transmission et s’expriment par les équations suivantes :
ω
équivalente, max
= k. max (ωcharge(t ))
 Cext + Jcharge.θ&&charge 

Céquivalent e, max = max 
k


Avec :
ωéquivalente,max (rad/s) et Céquivalente,max (Nm) respectivement la vitesse et le couple
maximum exprimés au moteur,
ωcharge (rad/s) la vitesse angulaire de la charge le long du profil de mission,
k le rapport de transmission du réducteur (mécanisme),
t le temps,
Cext (Nm) représente le couple extérieur (ici nul),
Jcharge (kg.m²) l’inertie de la charge,
&& charge (rad/s²) l’accélération angulaire de la charge obtenu par une double dérivation
θ
de la position en fonction du temps.
La vitesse continue et le couple continu ou thermique définissent les performances
continues du mécanisme. La vitesse continue est la valeur moyenne de la vitesse angulaire sur
la durée du profil de mission. Cette valeur sert surtout au dimensionnement des éléments de
transmission mécanique. Le dimensionnement du moteur en régime continu ou permanent est
définit par le couple continu ou thermique. La plupart des méthodes proposées dans la
littérature sur ce sujet supposent que les durées d’accélérations du moteur sont très courtes
devant sa constante de temps thermique, ce qui permet d’exprimer le couple thermique par la
moyenne de la valeur efficace du couple sur la durée du profil de mission. La valeur efficace
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du couple fait référence au fait que l’échauffement du moteur résulte majoritairement des
pertes Joule dans le bobinage d’excitation (RI²). Ainsi :
Céquivalent , th
2
T
1  Cext (t ) + Jcharge.θ&&charge(t ) 

 .dt
=
T ∫0 
k

Avec :
Cmoteur, thermique le couple continu ou couple thermique exprimé au moteur ;
T la durée total du profil de mission.
Une fois les caractéristiques de performance transitoires et continues (ou permanentes)
au moteur obtenues, il est possible de procéder à l’élimination des moteurs ne pouvant pas
remplirent ces conditions.
2.1.6.1.2 - Présélection de moteurs candidats
Les caractéristiques de performances transitoires et continues permettent de
sélectionner un premier jeu de moteurs parmi une base de données de moteurs candidats. Un
moteur est apte s’il valide les conditions suivantes :
ωmoteur, max ≥ ωéquivalente, max
Cmoteur, max ≥ Céquivalent e, max
Cmoteur,th ≥ Céquivalent , th
La Figure 22 illustre partiellement (seulement les performances transitoires) le
processus de sélection des moteurs aptes en représentant dans un plan couple, vitesse
maximum les moteurs et la zone de performances requises. La limite minimum des
performances requises apparait comme une courbe iso-puissance, les points de cette courbe
(ωéquivalente,max ; Céquivalente,max) sont obtenues en faisant varier le rapport de transmission du
mécanisme.
C(Nm)
M4
courbe des
performances
requises
Zone d’aptitude
moteur
M1
M3
M2
0
ω(rad/s)
Figure 22 - Exemple de moteurs candidats (base de données) et de la zone de performances
(transitoires) requises d’une application donnée.
Dans l’exemple de la Figure 22, les moteurs aptes en performances transitoires, sont
les moteurs M1, M3 et M4. Le graphique utilisé permet aussi de visualiser les marges de
couple et de vitesse des différents moteurs par rapport aux performances requises. Les marges
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de vitesse et de couple apparaissent respectivement dans la distance verticale (ordonné) et
horizontale (abscisse) entre le point représentant le moteur et la courbe des performances
requises. On peut lire que le moteur M1 et M3 sont aptes mais avec de faibles marges et
risquent d’être insatisfaisant lorsque les caractéristiques du mécanisme seront plus détaillées,
le moteur M4 est lui aussi apte et avec de très grandes marges et semble surdimensionné pour
l’application donnée.
Cette première étape à permit dans l’exemple choisi d’éliminer un moteur (M2).
L’étude doit être plus détaillée pour pouvoir notamment confirmer ou non l’aptitude des
moteurs ayant de faibles marges de vitesse et de couple.
2.1.6.1.3 - Sélection de moteurs candidats
Les calculs précédents des performances requises sont très réducteurs comme l’illustre
la représentation schématique du mécanisme équivalent (cf. Figure 20). Par exemple, ces
calculs ne prennent pas en compte l’inertie du rotor du moteur électrique du mécanisme ni le
rendement direct des éléments de transmission. En effet, ces éléments ne sont pas encore
définis et leurs caractéristiques ne sont donc pas connues.
L’expérience montre que l’inertie du moteur peut être une composante majeure du
couple (transitoire et continu) que doit fournir le moteur, particulièrement dans le cas des
applications avec de fortes accélérations de charge. L’information d’inertie du rotor des
moteurs candidats est disponible pour chacun des moteurs dans la base de données. La
seconde partie du processus de sélection des moteurs apte inclue donc l’inertie du rotor dans
les calculs de vérification de l’aptitude des différents moteurs préalablement validés.
Avec l’inertie du rotor, l’expression de la vitesse maximum du mécanisme exprimée
au moteur reste inchangée, les autres performances (couple transitoire et thermique)
deviennent :
 Cext + Jcharge.θ&&charge

Céquivalente, max = max
+ Jrotor.k.θ&&charge 
k


2
Céquivalent , th
T

1  Cext + Jcharge .θ&&

=
+ Jrotor.k.θ&& .dt
∫
T 0
k

Dans STRAE[98], H. J. Van de Straete, J. De Schutter, P. Degezelle et R. Belmans
définissent une méthode permettant de représenter dans un même plan couple vitesse les
moteurs candidats avec les performances requises par l’application en prenant en compte
l’inertie du rotor propre à chaque moteur. L’obstacle posé par le fait que le couple dépende en
partie de l’inertie du moteur est surmonté en normalisant le couple et la vitesse requis avec
cette dernière.
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Les caractéristiques de la transmission mécanique et des performances normalisées par
l’inertie du rotor des moteurs candidats s’obtiennent de la façon suivante :
Soit k* la valeur normalisée du rapport de transmission :
k * = Jmoteur .k
On en déduit C* le couple moteur normalisé :
C moteur * =
C ext + J moteur .θ&&charge
Jmoteur + J moteur .
k*
k * &&
.θ charge
J moteur
 C + J moteur .θ&&charge

Cmoteur* =  ext
+ k * .θ&&charge . Jmoteur = Cmoteur . Jmoteur


k*


D’où :
Cmoteur , max * = Cmoteur , max
Et :
C moteur, th * = C moteur, th
Jmoteur
J moteur
De la même façon on a :
ω
* = ωcharge .
moteur
k*
= ωmoteur
Jmoteur
Jmoteur
D’où :
ω
moteur , max
* = ωmoteur , max . Jmoteur
La Figure 23 reprend l’exemple de la Figure 22 en utilisant la méthode précédente
pour inclure l’inertie du rotor de chaque moteur candidat. La courbe des performances
requises décroit dans un premier temps, puis passe par un minimum et croît. Cette évolution
s’explique par l’influence de l’inertie du rotor sur le couple d’accélération à fournir. Dans un
premier temps la réduction du rapport de transmission permet de réduire le couple demandé
au moteur tout en augmentant sa vitesse de rotation. Pour un rapport de transmission donné,
l’influence du couple d’accélération créé par le rotor du moteur prend le dessus sur le couple
provenant de la charge. Or le couple d’accélération croit avec le rapport de réduction, ce qui
explique le nouveau tracé de la courbe de performances requises.
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C*(Nm)
M4*
courbe des
performances
requises
M1*
Zone d’aptitude
moteur
M3*
M2*
0
ω*(rad/s)
Figure 23 - Moteurs candidats et zone de performances (transitoires) requises d’une
application donnée, avec prise en compte de l’inertie du rotor de chaque moteur.
Dans l’exemple choisi, la prise en compte de l’inertie du rotor des moteurs candidats
permet d’écarter le moteur M1, qui se retrouve en dehors de la zone d’aptitude. Il ne reste plus
que M3 et M4 comme moteurs candidats à l’application. M3 est apte car il peut fournir une
vitesse supérieure à celle demandée.
Une fois la sélection des éléments de transmission faite, plus tard dans le processus de
préconception du mécanisme, il sera possible de considérer d’autres aspects comme le
rendement de la transmission pour affiner les caractéristiques des performances requises et
moteur et probablement éliminer des solutions ayant déjà à ce stade du développement de
faibles marges de vitesse et de couple. Il est aussi possible d’anticiper et de prendre des
marges sur les performances requises par la charge. Ces marges sont basées sur l’expérience
et fixées par le concepteur.
Il est bien sûr possible de ne considérer que la deuxième partie du processus de
sélection de moteurs. La première n’ayant pour but que d’alléger la deuxième étape en
réduisant le nombre de moteurs à considérer. La présélection se révèle particulièrement utile
quand le processus n’est pas automatisé.
2.1.6.1.4 - Choix du rapport de transmission k du mécanisme
La première étape dans la caractérisation des éléments de transmission du mécanisme
est la définition du rapport de transmission k. k peut être choisi de façon à optimiser le
fonctionnement du mécanisme selon des critères donnés. K peut ainsi être défini pour
permettre de minimiser les pertes Joule (aspect thermique), de minimiser le poids de
l’électronique de puissance (minimisation de la puissance transitoire maximale) ou du moteur
électrique (minimisation du couple transitoire maximal), de faciliter le développement du
contrôleur (ex. réduction des effets de résonance) ou ses performances (ex. optimisation de la
bande passante), etc.
Les aspects de commande (résonance, bande passante, etc.) sont traités dans une
section suivante. Cette section se concentre sur les aspects physiques (poids, volume, etc.) et
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énergétiques (thermique, rendement, etc.). Pour ce faire, quelques exemples de méthode de
choix de rapport de transmission k issus de la littérature sur le sujet sont présentés et discutés.
2.1.6.1.5 - Constante d’accélération théorique et taux de montée en puissance
Dans LACR[94], G. Lacroux discute les critères de qualité des moteurs classiquement
utilisés dans la conception des systèmes électromécaniques. Il discute ainsi la constante
d’accélération théorique et le taux de montée en puissance:
L’accélération initiale théorique du moteur est l’accélération créée par le couple
maximum transitoire sur le moteur supposé sans charge, c’est le rapport entre le couple et le
moment d’inertie propre du moteur :
Cp
dω
=
dt
J rotor
Comme il à déjà été fait mention dans la section 2.1.4.1, l’utilisation de la constante
d’accélération ou accélération initial théorique du moteur est très critique, notamment car ce
critère ne prend pas en compte l’inertie ramenée au moteur, ni le rapport de transmission du
mécanisme. Ce critère équivaut, dans le cas de moteurs avec le même couple transitoire
maximum, à comparer l’inertie des rotors. Or dans une gamme homogène de machines de
tailles croissantes, le moment d’inertie croît plus rapidement que le couple de définition et,
par conséquent, ce critère évolue avec les dimensions des machines. Le moteur paraît d’autant
plus performant que sa taille est réduite.
Le taux de monté en puissance à été développé pour répondre aux faiblesses du critère
de constante d’accélération théorique initiale du moteur. Il représente l’accroissement initial
de puissance :
Ps = C p .
dω
dt
Ps = C p ²
J rotor
Avec :
Ps la constante de montée en puissance [Nm/s²] ou [kW/s],
Cp le couple maximum transitoire du moteur [Nm],
ω la vitesse angulaire du rotor [rad/s],
Jrotor l’inertie du rotor [kgm²].
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Contrairement à l’accélération initiale ce critère tend à croître avec le couple
maximum transitoire, ce qui le rend plus fiable. Cependant, ce critère ne prend toujours pas en
compte l’inertie des autres éléments du mécanisme, ce qui limite sa validité aux profils de
mission ou l’aspect inertiel reste mineur. De plus, comme il a aussi déjà été fait mention dans
la section 2.1.4.1, ce critère aurait plus de sens en tant que contrainte. En effet, l’accélération
maximale demandée par le profil de mission au mécanisme doit être atteinte par le
mécanisme, mais il est inutile de poussée cette valeur au-delà de ce qui est demandé au
système.
2.1.6.1.6 - Minimisation de la dissipation thermique du moteur
Dans KIM[89], S. W. Kim et J. S. Park proposent une méthode assistée par ordinateur
de sélection de moteur à courant continu de servomécanisme en optimisant le rapport de
transmission du mécanisme pour minimiser la dissipation thermique dissipée par le moteur.
Les auteurs considèrent que les pertes Joule sont les pertes dominantes dans le moteur et
qu’elles sont par conséquent directement liées au rendement du moteur. Afin de maximiser le
rendement du moteur, l’auteur propose de minimiser ces pertes.
La démarche proposée consiste à exprimer la dissipation thermique du moteur en
fonction de ses caractéristiques (résistances électriques, inertie rotor, constante de couple,
etc.), de celles de la charge et du profil de mission (inertie de charge, vitesse angulaire,
accélération, etc.) et de rapport de transmission. Puis la dissipation thermique est dérivée par
le rapport de réduction, l’égalisation à zéro de l’expression obtenue permet d’identifier le
rapport de réduction conduisant à la plus faible dissipation thermique du moteur.
Les moteurs candidats sont préalablement classer par ordre croissant de constante
d’accélération et le premier moteur capable de tenir les contraintes de performance du profil
de mission avec le rapport de transmission minimisant ces pertes thermique est identifié
comme étant le moteur optimal.
Cette méthode se limite à l’optimisation de l’efficacité au niveau du moteur, il serait
intéressant d’optimiser au niveau système. L’aspect pluridisciplinaire apparait par la
combinaison d’un critère de contrainte énergétique, la minimisation des pertes thermiques
dans le moteur, et d’un critère d’optimisation dynamique, la constante d’accélération du
moteur. Cependant, la constante d’accélération ne renseigne que sur la capacité du moteur à
accélérer à vide. Il serait intéressant, par exemple, d’y intégrer l’impact de l’inertie
équivalente de la charge sur les capacités d’accélération du moteur. De plus ce critère n’a de
sens que s’il permet d’assurer que le mécanisme peut atteindre les performances dynamiques
spécifiées dans le profil de mission. Il serait donc plus judicieux de traduire les performances
dynamiques requises par le profil de mission et de les transformées en critère de contrainte.
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2.1.6.1.7 - Minimisation du coût du variateur
Dans STRAE[99], H. J. Van de Straete, J. De Schutter, P. Degezelle et R. Belmans
proposent de minimiser la taille du variateur du système. Le coût global du système étant
souvent majoré par le coût du variateur, minimiser la taille et par là le coût de ce dernier
permettrait de minimiser le coût du système.
Le variateur est dimensionné par la puissance maximale qui le traverse. La tension du
réseau étant la plus-part du temps fixée par l’environnement de l’application, réduire la taille
et le coût du variateur revient donc à minimiser le courant maximum qui le traverse.
La méthode proposée consiste dans un premier temps à sélectionner parmi une base
de données les moteurs aptes à tenir les performances requises par le profil de mission en
prenant en compte l’inertie du rotor. Chaque moteur validé est capable tenir les performances
requise dans une plage de rapports de transmissions du mécanisme donnée. Le rapport de
transmission dans cette plage minimisant le courant maximal traversant le moteur et donc le
variateur est attribué au moteur.
Le calcul du courant maximum traversant le moteur est basé sur la proportionnalité
entre le courant et le couple de sortie existant dans les moteurs à courant continu et
synchrones à aimants permanents. Pour les moteurs à induction une relation plus complexe est
développée. Il n’est pas utile ici de développer ce dernier point. Le courant maximum
traversant le moteur est exprimé en fonction des caractéristiques physiques du moteur, des
caractéristiques de performances requises par le profil de mission et le rapport de
transmission. Puis le courant maximum est dérivé par le rapport de transmission du
mécanisme. L’égalisation à zéro de l’expression obtenue donne le rapport de transmission
minimisant le courant maximum dans le moteur et donc la taille et le coût du variateur.
Cette approche permet de prendre en compte l’aspect multidisciplinaire du
développement des servomécanismes en combinant des critères de contraintes de
performances et un critère d’optimisation économique (minimisation du coût d’achat du
système). Cependant, pour ce faire les auteurs supposent que le coût du système est la pluspart du temps majoré par le coût du variateur. Il faut donc être sûr que cela est vrai pour
l’application ciblée avant d’utiliser cette méthode. Les auteurs ne proposent pas de converger
vers une solution optimale par ce critère d’optimisation. Il serait ainsi intéressant de combiner
ce critère économique avec des critères d’optimisation énergétiques, de la commande, de
poids (etc.) selon l’application.
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2.1.6.1.8 - Minimisation du couple continu, de la puissance maximum, de l’énergie
consommée
Dans ROOS[05], F. Roos, H. Johansson, J. Wikander proposent une méthode
consistant après l’élimination des moteurs candidats inaptes à tenir les performances requises
à comparer les moteurs restant dans les plans couple moteur-rapport de transmission,
puissance maximum-rapport de transmission, énergie consommée-rapport de transmission.
Les auteurs proposent au développeur de considérer ces différents critères pour sélectionner le
meilleur moteur pour l’application, puis de choisir le meilleur rapport de transmission en
argumentant sur l’intérêt de minimiser ces critères.
Les auteurs mettent en avant le fait que pour un moteur donné, minimiser le couple
continu (efficace) demandé revient à maximiser la marge de couple du moteur et donc sa
capacité d’accélération, ainsi qu’à minimiser le courant le traversant. Il serait intéressant
d’étudier de plus près le rapport entre la minimisation du couple continu et celle des pertes
thermiques dominées par les pertes Joule (RI²) et donc la valeur du courant traversant le
moteur.
Les auteurs proposent aussi de minimiser la puissance crête de l’actionneur afin de
minimiser la taille et le donc le coût du variateur. Considérant que la tension du réseau est
habituellement fixée par l’environnement de l’application, minimiser la puissance crête
revient à minimiser le courant maximum traversant le moteur. Pour un moteur donné (et un
bobinage d’excitation donné) cela revient à minimiser le couple de sortie du moteur.
Cependant, dans une logique d’intégration des composants du mécanisme, la combinaison
moteur-rapport de transformation permettant de minimiser le couple moteur n’est pas
forcément la solution permettant de minimiser le courant, et ce à cause de l’influence du
bobinage du moteur.
Finalement, les auteurs proposent de considérer l’efficacité du système en comparant
l’énergie consommée minimum pour le profil de mission donné et pour chaque moteur
candidat. Le calcul de l’énergie consommée est basé sur les hypothèses suivantes : (i)
l’énergie de freinage n’ai ni récupérée, ni stockée mais dissipée thermiquement dans une
résistance de décharge ; (ii) les pertes dominantes sont les pertes Joule, les pertes fer et de
friction sont négligées ; (iii) les pertes dans les éléments de transmission mécanique sont
représentées par un rendement constant.
Les auteurs comparent leur méthode de minimisation du couple continu avec la règle
de correspondance d’inertie, qui dit que le rapport de transmission idéal est donné par la
racine carrée du rapport de l’inertie de la charge équivalente sur celle du moteur :
k optimal =
J ch arg e
J moteur
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La comparaison est faite sur deux types de profil de mission différents. Le premier
profil est lié à une charge purement inertielle. Le deuxième est lié à une charge combinée,
c'est-à-dire avec une charge inertielle et des efforts extérieurs dépendants du temps. Les
auteurs concluent sur une relative robustesse du critère de correspondance d’inertie, en tout
cas pour les profils de mission choisis.
Il est intéressant de rappelé que le critère de correspondance d’inertie est issu du calcul
de minimisation du couple moteur en ne prenant en compte que l’inertie du rotor et celle de la
charge et en négligeant les efforts extérieurs. Ce qui revient à considéré un profil de mission
purement inertiel pour une transmission idéale. Les résultats obtenus par les auteurs
s’expliquent donc par le fait que les profils de mission considérés sont soit purement inertiel
soit à large dominante inertielle.
2.1.6.1.9 - Bilan
Les critères d’optimisation classiquement utilisés pour choisir le rapport de
transmission du mécanisme sont la constante d’accélération théorique et le taux de montée en
puissance. Le premier désavantage de ces critères est qu’ils ne considèrent que le moteur
isolément du mécanisme associé. Or le mécanisme de transmission peut avoir un impact
important sur les performances demandées au moteur. Une autre critique importante sur ces
critères est qu’ils donnent une idée des performances dynamiques du moteur, mais que ces
performances n’ont pas d’intérêt au-delà de ce qui est requis par le profil de mission, il serait
donc plus judicieux de les utiliser en critère de contrainte.
D’autres critères d’optimisation ont été développés dans la littérature sur le
développement des actionneurs électromécaniques, comme le critère minimisation de la
dissipation thermique du moteur, le critère de minimisation du coût du variateur et de
minimisation du couple continu, de la puissance maximum, de l’énergie consommée, etc. Ces
critères ont pour but de prendre en compte l’aspect multidisciplinaire du développement d’un
actionneur électromécanique et cherche ainsi à couvrir les différents objectifs que peut avoir
l’optimisation d’une application donnée. La faiblesse de la plus-part de ces critères vient des
raccourcis utilisés pour les développer. Par exemple, dans STRAE[99] les auteurs supposent
que le coût du variateur majore le prix du système. Il serait intéressant de vérifier la
pertinence de cette hypothèse avant d’appliquer la méthode proposée à une application
donnée. Autre exemple, dans KIM[89] les auteurs cherchent à minimiser les pertes Joule du
moteur pour optimiser l’efficacité de l’actionneur. Il serait intéressant de regarder si les pertes
dans le variateur ne sont pas un aspect critique de l’efficacité du système.
Le tableau ci-dessous résume les différents critères de contrainte et d’optimisations
considérés par les auteurs cités dans cette étude.
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Références
KIM[99]
STRAE[99]
ROOS[05]
Critères de contrainte
Cmoteur, eff
Cmoteur, max
ωmoteur, max
Cmoteur, eff*
Cmoteur, max*
ωmoteur, max*
Cmoteur, eff
Cmoteur, max
ωmoteur, max
Critères d’optimisation
1. Maximiser constante d’accélération.
2. Maximiser rendement ↔ minimiser la
dissipation thermique du moteur.
Minimiser coût du variateur (système) ↔
minimiser Cmoteur, max.
Minimiser Cmoteur, eff, puissance maximum, énergie
consommée.
Exemples de critères de contraintes et d’optimisation considérés par différents auteurs.
En général, l’optimisation d’un système d’actionnement électromécanique embarqué
concerne les aspects suivants : Masse totale, coût total d’achat, rendement global,
consommation d’énergie, dissipation thermique, fiabilité, et précision et stabilité du contrôle.
Le développement de l’outil d’aide à la conception d’actionneurs électromécaniques devrait
inclure ces différents aspects. Par exemple, le coût du système pourrait être calculé à partir du
coût du moteur lié à son couple efficace et au coût du variateur lié à la puissance crête qu’il
doit fournir. Le rendement du système pourrait être déduit de l’énergie totale consommée et
des pertes apparaissant dans le moteur (pertes Joule) et dans les éléments de réduction (valeur
du rendement direct). Le rendement pourrait ainsi être optimisé en minimisant les pertes.
Un autre aspect majeur du développement d’actionneurs électromécanique est le
contrôle du système. Le contrôle du système doit pouvoir rester le plus simple possible et
permettre au système d’atteindre les performances dynamiques et de précision requises par
l’application.
2.1.6.1.10 - Faisabilité des solutions avec transmission semi-idéale
Une fois le rapport de transmission optimal identifié, il est possible de sélectionner le
réducteur ou les éléments du mécanisme. Le rendement et l’inertie réelle de la transmission
obtenue peuvent ainsi être pris en compte dans la vérification de la capacité du mécanisme
obtenu à tenir les performances requises. La transmission considérée est alors une
transmission semi-idéale avec laquelle les conditions de fonctionnement deviennent :
 Cext + (Jcharge + Jtransmission).θ&&

Céquivalent, max = max 
+ Jrotor.k.θ&&charge 
k.ηtransmission


Céquivalent,th
2

1  Cext + (Jcharge + Jtransmission).θ&&
&
&

=
+ Jrotor.k.θcharge  .dt
T ∫ 
k.ηtransmission

Avec ηtransmission le rendement du mécanisme de transmission. La vitesse maximum du
mécanisme n’est pas dépendante du rendement de la transmission.
Si les conditions de fonctionnement sont validées alors la phase de prédimensionnement est terminée et la conception du système peut passer en phase de
dimensionnement des différents composants identifiés. Si les conditions de fonctionnement ne
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sont pas validées, alors le développement recommence à la phase de choix du moteur ou du
réducteur (rapport de transmission inclue) en prenant en compte des marges sur les aspects
qui ont invalidé les premiers choix.
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Profil de mission
Θ(rad)
0
t(s)
C(Nm)
Analyse du profil de mission
Conditions de fonctionnement au moteur :
• vitesse max
• couple transitoire max
• couple efficace
0
t(s)
Base de données moteurs
Caractéristiques propres du moteur :
• vitesse max
• couple transitoire max
• couple continu max
Présélection du moteur
Sans tenir compte de l’inertie du rotor :
C(Nm)
M4
courbe des
performances
requises
Zone d’aptitude
moteur
M1
M3
M2
0
ω(rad/s)
Sélection du moteur
Incluant les effets de l’inertie du rotor :
C*(Nm)
M4*
courbe des
performances
requises
Zone d’aptitude
moteur
M1*
M3*
M2*
0
ω*(rad/s)
Choix du rapport de
transmission
Critères d’optimisation :
• masse totale
• coût d’achat total
• rendement global
• consommation d’énergie
• dissipation thermique
• précision et robustesse du contrôle
Base de données
réducteurs
Caractéristiques propres du
réducteur :
• vitesse transitoire max
• couple transitoire max
• vitesse continu max
• couple continu max
• rendement
Validation
Le mécanisme obtenu est-il capable
d’atteindre les performances requises
dans le cas d’une transmission semiidéale (rendement ηtransmission)?
NON
OUI
PHASE DE
DIMENSIONNEMENT
Figure 24 - Bloc-diagramme du processus de pré-dimensionnement de systèmes
d’actionnement électromécaniques.
La Figure 24, ci-dessus, illustre le processus de dimensionnement décrit dans cette
section sous la forme d’un bloc-diagramme.
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2.1.7 - Le problème de résonance
La résonance mécanique est un des problèmes majeurs à prendre en compte lors du
développement d’un actionneur. Dans un système électromécanique, le phénomène de
résonance à lieu la plupart du temps entre le moteur et la charge. Il peut aussi y avoir
résonance entre le moteur et la boucle de retour du système de contrôle. La charge elle-même
peut entrer en résonance, puisqu’elle peut elle-même être représentée sous la forme de
multiples inerties connectées entres elles par des couplages plus ou moins raides. Enfin, il est
possible d’avoir une résonance entre le moteur et sa structure d’assemblage. Cette section
traite du cas le plus répandu, c'est-à-dire de la résonance entre le moteur et la charge.
2.1.7.1 - Modèle simplifié d’un électromécanisme libre avec le capteur de position sur l’arbre
de sortie du moteur
Un électromécanisme classique est constitué d’un moteur, d’éléments de transmission
mécaniques et d’une charge. Pour étudier la résonance, ces composants peuvent être
représentés par des inerties et des raideurs associées. La Figure 25 montre un modèle
simplifié d’un mécanisme électromécanique en intégrant l’inertie et les raideurs des éléments
de transmission dans la charge, et en représentant la raideur du moteur et de la charge par une
raideur unique. Afin de simplifier cette étude, le mécanisme d’actionnement est supposé libre
de tout effort extérieur.
θm, ωm, αm
Kcv
θc, ωc, αc
Cm
Jm
Ks
moteur
Jc
charge
Figure 25 - Modèle simplifié d’un système d’actionnement électromécanique sans efforts
extérieurs.
Dans la Figure 25 :
Cm [Nm] représente le couple de sortie du moteur ;
Jm et Jc représentent respectivement l’inertie du moteur et de la charge ;
θm [rad], ωm [rad/s], αm [rad/s²], θc [rad], ωc [rad/s], αc [rad/s²] représentent
respectivement la position, la vitesse et l’accélération de l’axe du moteur et de la charge ;
Ks [ Nm/rad] et Kcv [ Nm.s/rad] représentent respectivement la raideur et les
frottements visqueux du moteur, des éléments de transmission du mécanisme et de la charge.
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Les équations suivantes décrivent les positions angulaires de la charge (θc) et du
moteur (θm) en fonction du couple moteur (Cm) et du temps (t).
Position angulaire de l’arbre de sortie du moteur [rad] :
θ m = ∫∫
Cm ' 2
.dt
Jm
Avec Cm’ [Nm] le couple résultant sur le rotor :
Cm ' = Cm − Cs − Ccv
Avec Ccv et Cs respectivement le couple provoqué par la torsion du ressort et le
couple issu des frottements visqueux du mécanisme.
Cs = (θ m − θ c ) ⋅ K s
Ccv = (ωm − ωc ) ⋅ K cv
Position angulaire de l’axe de la charge [rad] :
θ c = ∫∫
Cc ' 2
.dt
Jc
Avec Cc’ [Nm] le couple résultant sur la charge :
Cc ' = Cs + Ccv
Ces équations sont utilisées pour réaliser le modèle bloc-diagramme du système
représenté dans la Figure 26, ci-dessous.
Cm
+
Cm '
1
Jm
−
αm
Cs
+
+
Cc '
Ccv
1
Jc
αc
1
s
ωm
1 θm
s
+
Ks
−
+
K cv
−
1 ωc
s
1 θc
s
Figure 26 - Bloc-diagramme du modèle simplifié d’un système d’actionnement
électromécanique sans efforts extérieurs.
Le couple d’amortissement visqueux Ccv joue un important rôle de stabilisation du
mécanisme. Cependant, ce terme est généralement faible, car les matériaux le plus souvent
utilisés dans les transmissions électromécaniques, en grande partie métalliques, créent peu de
frottement visqueux. D’autres efforts créent du frottement visqueux, il s’agit des frottements
apparaissant essentiellement dans les roulements entre le moteur et son support et entre la
charge et son support. Ces termes ont généralement un effet très réduit sur la résonance et
sont négligés dans cette étude. De la même façon les frottements statiques (de démarrage) et
les frottements secs sont négligés.
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2.1.7.2 - Equations de résonance
A partir des équations ou du bloc-diagramme de la Figure 26, il est possible de
calculer la réponse du système dans le cas d’un capteur de position de boucle de retour placé
sur l’axe de sortie du moteur :




2
1
⋅
+
⋅
+
J
s
K
s
K
c
cv
s


=
Cm (s ) (Jm + Jc ) ⋅ s 2  Jm ⋅ Jc ⋅ s 2 + K ⋅ s + K 
cv
s 
J +J
c
 m

θ m (s )
Cette équation met en évidence deux aspects de la réponse du système. Le terme de
gauche (1/((Jm+Jc).s²)) représente la partie non-résonnante du système. Le terme de droite
(entre les grandes parenthèses) représente la partie résonante. Pour un signal d’entrée avec
une fréquence réduite, s est petit et le terme représentant la résonance s’approche de 1. Pour
des fréquences plus élevées ce terme est définit par les caractéristiques de son dénominateur
et de son numérateur. En général, le coefficient de frottement visqueux est petit et le
dénominateur et numérateur du terme de résonance agissent comme des filtres du deuxième
ordre avec un faible amortissement.
La fréquence pour laquelle le gain d’amplification du terme de résonance est minimal
est la fréquence d’antirésonance FAR [rad/s]. Elle est atteinte pour la valeur minimum du
numérateur :
FAR =
Ks
Jc
L’équation montre que la fréquence d’antirésonance est la fréquence naturelle
d’oscillation du sous-système charge-ressort (raideur équivalente) et est indépendante de
l’inertie du moteur. A cette fréquence le moteur vibre peu, mais la charge est soumise à de
très fortes oscillations.
La fréquence pour laquelle le gain d’amplification du terme de résonance est maximal
est la fréquence de résonance FR [rad/s]. Elle est atteinte pour la valeur minimum du
dénominateur :
FR =
K s ⋅ ( Jc + J m )
Jc ⋅ Jm
A la fréquence de résonance, le mécanisme oppose très peu de résistance au
mouvement d’oscillation. Ce phénomène revient à considérer que l’inertie totale du système
devient très petite entraînant un très fort accroissement du gain.
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2.1.7.3 - Capteur de position sur l’axe de la charge
A partir des équations ou du bloc-diagramme de la Figure 26, il est aussi possible
d’obtenir la réponse du système dans le cas d’un capteur de position de boucle de retour placé
sur l’axe de la charge :


K cv ⋅ s + K s
1

=
2 
Jm ⋅ Jc
C m (s ) ( J m + J c ) ⋅ s
⋅ s 2 + K cv ⋅ s + K s

 Jm + Jc
θ c (s )






La fonction de transfert obtenue pour un capteur sur la charge est similaire à celle
obtenue pour un capteur sur le moteur, si ce n’est que pour un capteur sur la charge il n’y a
pas de phénomène d’anti-résonance. Généralement, un système utilisant un unique capteur sur
la charge est plus difficile à contrôler. Cependant, l’utilisation d’un capteur sur la charge
permet d’obtenir une plus grande précision de positionnement. Ainsi de nombreuses
techniques de contrôle utilisent à la fois un capteur sur la charge et sur le moteur. Ces
techniques sont appelées « dual-loop control ». Dans le contrôle « dual-loop », la boucle
d’asservissement en vitesse est fermée avec le capteur de position et la boucle
d’asservissement en position avec le capteur sur la charge. De cette façon, la boucle de
vitesse, qui est une boucle haute fréquence, ne souffre pas du déphasage impliqué par le
bouclage via le capteur sur la charge. De la même façon, la boucle de position ne souffre pas
de l’imprécision créée par le jeu des différents éléments de la transmission en bouclant
directement avec ce dernier capteur.
2.1.7.4 - Résonance et réduction d’inertie
La compliance mécanique peut générer deux types d’instabilités : la résonance et
l’instabilité due à la réduction d’inertie. Ces deux problèmes sont très semblables et sont
souvent associés dans l’appellation « résonance mécanique ». Malgré des différences
distinctes, ces deux problèmes peuvent être compris comme provenant d’une variation de
l’inertie apparente du mécanisme en fonction de la fréquence d’oscillation.
2.1.7.4.1 - Antirésonance et résonance
A la fréquence de résonance FR, le moteur et la charge oscillent à cette fréquence dans
des directions opposées. Pour FR, le mécanisme est facilement excitable comme si son inertie
totale était devenue très faible. La réduction d’inertie tend à accroître le gain du système, ce
qui peut réduire de façon critique la marge de gain. La Figure 27 montre un diagramme de
Bode de la réponse en boucle ouverte d’un moteur subissant les phénomènes de résonance à
700Hz et d’antirésonance à 500Hz.
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0dB
Pic de résonance
20dB
40dB
réponse initiale
(sans résonance)
Pic d’antirésonance
0°
90°
180°
500Hz 700Hz
Figure 27 - Diagramme de Bode d’un système subissant résonance et antirésonance.
Dans la Figure 27, les pics de résonance et d’antirésonance sont élevés. La forte
magnitude de ces pics implique une faible présence de frottement visqueux (Kcv). A la
fréquence d’antirésonance les termes Jc.s² et Ks s’annulent et le numérateur du terme de
résonance équivaut à Kcv.s. Plus Kcv est faible, plus le gain à la fréquence d’antirésonance sera
faible. De la même façon, les équations montrent qu’à la fréquence de résonance les termes
(Jm.Jc/(Jm+Jc)) et Ks s’annulent et le dénominateur du terme de résonance équivaut à Kcv.s.
Plus Kcv est faible plus le gain de ce terme est élevé à la fréquence de résonance.
A la fréquence de résonance le pic de gain réduit la marge de gain. Dans l’exemple de
la figure 20, à la fréquence de résonance, la marge de gain initiale passe de cette façon de 50
dB à 15 dB. Il faut s’assurer que cette marge de gain est suffisante pour garantir la stabilité du
système. Pour ce faire, les effets de la résonance peuvent être mitigés ou bien la fréquence de
résonance repoussée à une fréquence offrant une marge de gain initiale plus élevée.
Généralement, les machines les plus concernées par le phénomène de résonance sont
les machines avec un faible frottement visqueux. Typiquement, cela concerne les machines
montées sur des bâtis rigides avec des éléments de transmission raides. Par exemple, les
machines outils qui nécessitent une grande précision et une grande rigidité mécanique et donc
utilisent essentiellement des matériaux métalliques pour la transmission mécanique.
Le frottement statique (de démarrage) peut aussi provoquer de la résonance. En effet,
quand le mécanisme subit les effets du frottement statique, l’inertie équivalente de la charge
devient virtuellement infiniment grande. La fréquence de résonance devient en considérant
que Jc>>Jm :
FR =
Ks
Jm
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Ce changement de fréquence de résonance peut causer l’instabilité du système.
Typiquement, ce phénomène s’observe pour des machines stable en fonctionnement et entrant
en résonance lorsqu’elle passe à l’arrêt.
Comme le montre cette section, la résonance dépend beaucoup de l’amortissement
visqueux du mécanisme. Ainsi, les vibrations auxquelles est soumis le moteur peuvent varier
avec sa position angulaire, car certaines positions offrent plus d’amortissement visqueux que
d’autres. De la même façon, le système peut être stable à basse température et se mettre à
vibrer quand sa température monte, car le frottement visqueux à tendance à diminuer avec
l’augmentation de la température. Cela implique de prévoir une marge de gain suffisante
durant la conception du mécanisme.
2.1.7.4.2 - La réduction d’inertie
Le phénomène de réduction d’inertie apparaît à de plus hautes fréquences que le
phénomène de résonance. Il est dû à la flexibilité en torsion du mécanisme qui découple la
charge du moteur à très hautes fréquences. A partir d’une certaine fréquence d’oscillation du
moteur et à cause de la flexibilité en torsion du mécanisme, la charge reste quasi-stationnaire
et son inertie apparente au moteur s’annule. Ce qui provoque un changement de gain du
système à cette fréquence. La Figure 28 illustre ce phénomène en montrant dans un
diagramme de Bode le gain de la réponse en boucle ouvert d’un moteur avec l’influence des
différents termes de l’équation décrivant son comportement (équation (14)) à la fréquence de
réduction d’inertie.
1
Jm ⋅ s 2




2
1
 Jc ⋅ s + K cv ⋅ s + K s 
(J m + J c ) ⋅ s 2  J m ⋅ J c ⋅ s 2 + K ⋅ s + K 
cv
s 
 J +J
c
 m

1
(Jm + Jc ) ⋅ s 2
Figure 28 - Diagramme de Bode d’un système subissant une réduction d’inertie.
Par expérience, l’instabilité d’un système dû à la réduction d’inertie se retrouve
essentiellement dans les machines industrielles. En effet, pour des raisons de coût ces
machines sont souvent conçues avec des matériaux et des éléments de transmission avec une
plus grande flexibilité de torsion.
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2.1.7.5 - Résoudre les problèmes de résonance
Il y a un grand nombre de techniques traitées dans la littérature pour résoudre les
problèmes liés au phénomène de résonance. Le but de cette section est de présenter les plus
répandues de ces techniques.
2.1.7.5.1 - Augmenter le rapport d’inertie du moteur et de la charge
Augmenter le rapport d’inertie du moteur et de la charge est l’un des moyens les plus
sûrs pour résoudre les problèmes de résonance. Plus ce rapport sera petit plus l’effet de la
résonance sera réduit. En effet, le terme de résonance du système (à droite) s’approche de 1
lorsque Jm devient significativement plus grand que Jc.
Une des meilleures façons d’augmenter le rapport d’inertie est de réduire l’inertie de la
charge. La première solution est de réduire la masse ou les dimensions de la charge tournante.
La deuxième solution est de faire varier le rapport de transmission du mécanisme. L’inertie
de la charge est rapportée au moteur (inertie équivalente ou apparente) en la divisant par le
rapport de transmission au carré. Ainsi, même une légère variation de ce rapport peut
considérablement diminuer l’inertie apparente de la charge au moteur. Cependant, réduire le
rapport de transmission à aussi pour effet de réduire la vitesse maximale que peut atteindre un
mécanisme donné.
Il est souvent très difficile de réduire l’inertie de la charge, qui est généralement déjà
dimensionnée pour tenir les efforts qui lui sont appliqués. Une alternative est d’augmenter
l’inertie du rotor du moteur. Cependant, l’augmentation de l’inertie du rotor entraîne une
réduction de la capacité d’accélération du moteur et une augmentation, relative aux
accélérations, de l’énergie requise pour actionner le mécanisme. Malgré tout, en raison de sa
simplicité et de son efficacité cette méthode est largement répandue.
Une erreur très répandue consiste à essayer de faire se correspondre les inerties du
moteur et de la charge, cette méthode communément appelée correspondance d’inertie
(« inertia matching » en anglais) permet en réalité d’optimiser le transfert de puissance du
système.
Une autre méthode pour résoudre les problèmes de résonance est de rendre le système
beaucoup plus raide. Ce qui permet d’avoir des rapports d’inertie moteur charge extrêmement
élevés. Ainsi, les configurations « direct drive » avec un moteur couplé directement à la
charge sans éléments de réduction intermédiaires ont une très grande raideur et peuvent
supporter des rapports d’inertie largement supérieur à 100 avec une très grande bande
passante.
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2.1.7.5.2 - Raidir la transmission mécanique
Raidir la transmission mécanique permet de repousser la fréquence de résonance vers
de plus hautes fréquences et ainsi d’augmenter la bande passante du système. La transmission
peut être raidie par les méthodes suivantes :
Elargir la courroie de transmission, renforcer la courroie, utiliser plusieurs courroies
en parallèle, utiliser des relais dans le cas de longues courroies.
Raccourcir les arbres de transmission, augmenter leur diamètre.
Utiliser des boîtes de vitesse avec une plus grande raideur.
Renforcer le bâti de la machine pour éviter que le moteur ne vibre en réaction avec son
arbre de sortie.
Surdimensionner les éléments de couplage mécanique.
Malheureusement, augmenter la raideur de la transmission n’est pas une méthode sûre
pour résoudre le problème de résonance. En réalité, cela peut même aggraver le problème.
Dans le meilleur des cas, raidir la transmission permet en déplaçant la fréquence de résonance
de ne plus avoir une réduction critique de la marge de gain provoquée par le pic de résonance.
Celui-ci reste alors suffisamment en dessous de 0 dB. Le problème peut apparaître dans le cas
ou après raidissement le pic de résonance se trouve toujours avant la fréquence de déphasage
à 180°. Dans ce dernier cas, raidir la transmission peut provoquer une diminution critique de
la marge de gain.
Un autre problème, peut venir du fait que le raidissement de la transmission peut
entraîner une diminution involontaire des frottements visqueux du mécanisme (Kcv). En effet,
les matériaux plus rigides (ex. métalliques) sont aussi ceux avec un plus faible coefficient de
frottement visqueux. Un plus faible coefficient d’amortissement visqueux à tendance à
augmenter l’amplitude des pics de résonance et d’antirésonance, ce qui peut réduire de façon
critique la marge de gain.
Il est aussi possible d’imaginer d’atténuer le problème de résonance en réduisant la
raideur de la transmission. Augmenter la raideur de la transmission peut s’accompagner d’une
augmentation du coefficient d’amortissement visqueux (Kcv) et donc une réduction de
l’amplitude des pics de résonance. Réduire l’amplitude des pics de résonance permet
d’obtenir une plus grande marge de gain. Il faut cependant noter que cette méthode est très
rarement appliquée.
Les problèmes associés au raidissement de la transmission mécanique pour améliorer
le comportement du système face au phénomène de résonance met en évidence la nécessité de
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la modélisation. La plupart des éléments mécaniques peuvent être modélisés avec précision,
en particulier les inerties et souvent la raideur. Cependant, certains paramètres comme les
frottements visqueux sont beaucoup plus difficiles à prédire. Cette section met en évidence
l’importance de la prise en compte de ces phénomènes, malgré les difficultés liées à leur
modélisation.
2.1.7.5.3 - Augmenter l’amortissement visqueux
Comme il a été mentionné dans la section précédente, le problème de résonance peut
être traité en essayant d’augmenter le coefficient de frottement visqueux du mécanisme (Kcv).
Il est difficile d’augmenter les frottements visqueux en utilisant des matériaux avec un plus
grand coefficient d’amortissement visqueux (ex. polymères), qui sont en général peut aptes à
la transmission de puissance. Une autre technique, plus réaliste, consiste à utiliser des
amortisseurs passifs montés, par exemple, sur l’axe de rotation du moteur. De cette façon, les
moteurs pas-à-pas sont souvent équipés d’un amortisseur ferro-fluidique sur leur axe de
sortie.
2.1.7.5.4 - L’utilisation de filtres
La méthode la plus utilisée pour résoudre les problèmes de résonance est l’utilisation
de filtres. Les filtres les plus utilisés sont les filtres passe bas. Les filtres Notch peuvent aussi
être utilisés pour cette application. Le filtre est placé dans la boucle de commande pour
atténuer l’effet de réduction de marge de gain provoquée par le pic de résonance. La plupart
du temps il est placé juste avant la boucle de courant.
Filtres du premier ordre
Les filtres du premier ordre peuvent être utilisés pour réduire le gain proche de la
fréquence de résonance et au-delà. Cela permet de récupérer de la marge de gain qui a
disparue au niveau du pic de résonance. Le désavantage des filtres du premier ordre vient du
déphasage inhérent, notamment au gain « cross-over », qui implique une réduction de la
marge de phase. Un autre désavantage, de l’utilisation de ces filtres est qu’ils impliquent une
diminution de la bande passante du système.
Filtres du deuxième ordre
Il y a deux types de filtre du deuxième ordre distincts, qui peuvent être utilisés pour les
problèmes de résonance. Le filtre Notch et le filtre passe-bas du second ordre.
Le filtre Notch permet d’atténuer le gain dans une étroite plage de fréquence et
n’implique pas d’importants effets de déphasage. Le filtre Notch est ainsi utilisé pour réduire
le gain autour de la fréquence de résonance. Le problème vient du fait que si la fréquence de
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résonance se déplace légèrement, alors le filtre devient inefficace. Or, il est fréquent que cela
soit le cas. La raideur d’un élément de transmission peut aussi varier avec le temps. De la
même façon, la raideur d’une vis à bille va dépendre de la position de son écrou.
Le filtre passe bas passe-bas du second ordre est fréquemment utilisé pour les
problèmes de résonance. Le plus souvent le coefficient d’amortissement (ς) est réglé entre 0,5
et 0,7. Dans cette plage, le filtre passe bas bipolaire peut atténuer tout en injectant moins de
déphasage qu’un filtre passe bas monopolaire. Un autre filtre, le bi-quad, peut être utilisé pour
les problèmes de résonance. Ce filtre permet aussi d’atténuer le gain à partir de la fréquence
de résonance tout en injectant moins de déphasage qu’un filtre passe bas monopolaire.
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2.2 - Composants de transmissions mécaniques
2.2.1 - Rotation/Translation
Les systèmes vis-écrou présentent des propriétés attractives pour la conception
d'actionneurs électromécaniques linéaires. En particulier, ils permettent de réaliser un fort
rapport de réduction entre le mouvement de rotation et le mouvement de translation, évitant
dans de nombreux cas l'utilisation de réducteurs additionnels entre le moteur et la charge. A
l'opposé des réducteurs rotation-rotation, il n'existe pratiquement pas de forme industrielle
intégrée des transmissions vis-écrou. Le concepteur doit alors prendre à sa charge l'ensemble
de la conception (guidage, lubrification, amortissement en fin de course, interfaçage avec le
moteur et la charge, etc).
2.2.1.1 - Principe
Du point de vue fonctionnel, les systèmes vis-écrou sont des éléments de transmission
mécanique "positifs", c'est-à-dire par obstacle. Cet obstacle est réalisé par une hélice qui
impose une liaison cinématique bilatérale de type hélicoïdale entre la vis et l'écrou. Tant que
le contact est maintenu, le mouvement relatif des deux corps s'effectue selon l'axe de la vis.
La translation relative axiale de paramètre géométrique x (m) et la rotation relative de
paramètre géométrique θ (rd) sont liées par le pas par tour p (m/tr) de l'hélice.
x=
p
θ
2π
Comme le pas est idéalement une constante géométrique, la vitesse V (m/s) de
translation relative vis/écrou et la vitesse angulaire ω (rd/s) relative entre la vis et l'écrou sont
liées par
V =
p
ω
2π
Si la liaison est parfaite (contact sans frottement, sans jeu et de raideur infinie), la
puissance est conservée au passage du système vis-écrou. En conséquence, l'effort axial F (N)
entre la vis et l'écrou et le couple C (Nm) selon l'axe de la vis transmis entre la vis et l'écrou
(Nm) sont liés par
C=
p
F
2π
D'un point de vue fonctionnel, le système vis-écrou est donc assimilable à un
transformateur parfait (TF). Le diamètre nominal d (m) de la vis n'apparait pas explicitement
comme paramètre fonctionnel de ce transformateur. Au-delà de l'effet TF fonctionnel, le
système vis écrou est le siège de défauts qui lui confèrent également des effets parasites de
type élastique, dissipatif et inertiel.
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2.2.1.2 - Dispositions constructives
Selon les contraintes de conception, plusieurs agencements peuvent être adoptés. Dans
le tableau suivant, les mouvements sont indiqués par rapport au corps qui intègre l'ensemble
vis écrou.
Entrée de puissance
fonctionnelle
Liaison fonctionnelle
Liaison fonctionnelle
Ecrou/corps
Vis/corps
Rotation de l'écrou
Pivot
Glissière
Rotation de la vis
Glissière
Pivot
Translation de l'écrou
Glissière
Pivot
Translation de la vis
Pivot
Glissière
Pour que le système vis-écrou fonctionne correctement, il faut donc que les liaisons
transmettent les efforts requis pour assurer le seul mouvement fonctionnel autorisé. A
l'échelle de l'actionneur, il serait donc important de disposer de modèles de la transmission
vis-écrou à quatre ports mécaniques (translation et rotation pour la vis et pour l'écrou). Ces
modèles ne sont pas disponibles dans les bibliothèques des logiciels de simulation qui se
limitent à des modèles à un degré de liberté. Il y a donc un réel besoin de développer ces
bibliothèques pour la conception des actionneurs électromécaniques selon une vision
systémique.
2.2.1.3 - Technologie des systèmes vis-écrou
Parmi les fournisseurs majeurs de systèmes vis-écrou industriels, on compte SKF,
Nook, Rollvis, Abssac, Kollmorgen, Thomson et NSK. Selon les besoins de l'application, le
concepteur peut sélectionner différentes technologies de systèmes vis-écrou.
2.2.1.3.1 - Les systèmes vis-écrou à glissement
La vis et l'écrou sont animés d'un mouvement
relatif de glissement au niveau de l'hélice. Le principal
intérêt des vis à glissement est leur faible cout. En
regard, le très faible rendement des vis à filet
normalisé ACME ou ISO les réserve aux faibles
angles d'hélice et aux faibles vitesses de rotation
(typiquement inférieures à 300 tr/mn). Des profils
améliorés, comme Hilead ou Torqspline, permettent
d'augmenter les angles d'hélice pour autoriser des
vitesses beaucoup plus élevées.
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2.2.1.3.2 - Les systèmes vis-écrou à roulement
a) Les vis à billes
Le glissement au contact est remplacé par du
roulement par l'intermédiaire de billes liant l'écrou à la vis.
Les billes suivent un chemin de roulement sur la vis et dans
l'écrou et sont recirculées par l'intermédiaire de canaux
internes ou externes dans l'écrou. Le frottement de roulement
étant environ 100 fois moins important que le frottement de
glissement, le rendement des vis à billes est excellent.
L'utilisation de profils ogivaux et l'introduction de billes de
diamètre réduit entre chaque bille "active" permet d'améliorer
encore le rendement.
b) Les vis à rouleaux
Dans les vis à rouleaux, la charge est transmise entre
l'écrou et la vis par l'intermédiaire des surfaces bombées des
rouleaux. Le rayon de courbure de la surface en contact est
considérablement augmenté par rapport à celui des vis à
billes. La capacité de charge est donc accrue, au détriment du
rendement. La technologie à recirculation de rouleaux
autorise des pas très fins produisant des petits déplacements
très précis. La technologie à rouleaux satellites est plus
robuste. Elle est extrêmement fiable, même en cas de forts
chargements en présence de chocs.
2.2.1.4 - Dimensionnement mécanique
Cette phase consiste essentiellement à déterminer les paires (p, d) capables de résister
aux sollicitations mécaniques pour assurer la durée de vie requise. Cette phase est très bien
documentée dans les catalogues fournisseurs.
2.2.1.4.1 - Altération des surfaces en contact
Pour les systèmes à glissement, le risque d'altération des surfaces en contact est
évalué par la pression de contact entre les surfaces P (Pa), calculée comme le rapport de
l'effort axial à la surface portante axiale Sp (m2) équivalente de l'écrou. Cette surface est
donnée par le constructeur en fonction de sa longueur et de son diamètre nominal.
P = F /Sp
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La pression de contact en charge, doit être inférieure à la pression de contact
admissible Padm par l'écrou (typiquement 5 N/mm2).
Pour les systèmes à roulement, l'application d'un effort statique axial trop important
engendre une déformation permanente au niveau du contact. L'effort axial maximal
admissible C0 (N) est donné par le fournisseur. Un coefficient de sécurité S0 (-) permet assure
la marge par rapport au risque de déformation permanente.
FM < S 0C0 Ces
critères lient l'effort axial maximal en service à la taille (p, d) et aux
matériaux en contact pour le vis-écrou.
2.2.1.4.2 - Usure
Pour les systèmes à glissement, on exprime le facteur "pv" noté kpv (-), produit de la
pression de contact par la vitesse de glissement au contact Vg (m/s).
k pv = PVg
Ce facteur est représentatif de la chaleur produite au contact par unité de surface
(W/m ).
2
La facteur "pv" en charge doit être inférieur au facteur "pv" admissible par le matériau
de l'écrou (de 100 à 300 (N/mm2).(m/s)).
Ce critère lie l'effort et la vitesse en service aux dimensions (p,d) et au matériau de
l'écrou.
Pour les systèmes à roulement, le dimensionnement est basé, comme pour les
roulements, sur une approche statistique de la fatigue. La durée de vie requise est exprimée
par le paramètre L10qui représente le nombre de tours réalisés sans défaillance par 90% des
composants, supposés identiques et évoluant dans des conditions identiques. La durée de vie
requise à n% de défaillances est déduite de L10 par la relation
Ln = an L10
avec an=0.62 pour n=5%, 0.53 pour 4%, 0.44 pour 3%, 0.33 pour 2% et 0.21 pour
1%.
La vitesse de translation moyenne équivalente Vm (m/s) en service est d'abord calculée
comme le barycentre des vitesses affectées de leur durée. Le calcul peut indifféremment être
conduit sur les vitesses de rotation ou de translation.
∑V t
=
∑t
i i
Vm
i
i
∑t
i
= tt
i
i
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L'effort moyen équivalent en service Fm (N) est ensuite exprimé en pondérant les
efforts par la distance parcourue associée.
Fm = 3

∑  F
3
i
i
Vi ti 

Vm tt 
La durée de vie exprimée en tours de vis (L10) est liée à la charge dynamique Cd (N),
caractéristique de l'ensemble vis-écrou sélectionné, et à l'effort axial moyen Fm (N).
L10 = 10 6 (C Fm )3
Ce qui conduit à une durée de vie en heures Lh (heures) de
Lh = L10 3600Vm
Ce critère lie le cycle de fonctionnement (effort – vitesse- durée) à la taille de la vis (d,
p).
2.2.1.4.3 - Flambement
Lorsque la vis subit des efforts de compression, elle peut être sujette au flambement.
Les fournisseurs recommandent de dimensionner la vis pour que l'effort axial maximal en
service ne représente que 80% de l'effort limite Ff (N) pour lequel le flambage se produit.
FM < 0.8 F f k f
Le facteur de flambement dépend de la nature et la localisation des liaisons vis-corps
(typiquement de 0.25 à 4). L'effort limite de flambement Ff résulte des calculs classiques de
résistance des matériaux, compte tenu du module d'élasticité E (Pa) de la vis :
Ff =
π3 E d 4
64 L2
Les valeurs Ff et kf sont données par les fournisseurs.
Ce critère lie l'effort en service au diamètre et à la longueur de la vis, en fonction de
l'architecture et de la topologie mécanique (types et localisation des liaisons vis-corps).
2.2.1.4.4 - Vibrations transversales et vitesse critique
A haute vitesse de rotation, l'équilibrage imparfait de la vis engendre des vibrations
transversales. Le dimensionnement s'effectue ici pour la première vitesse critique de la vis
(premier maximum d'amplitude de vibration transversale). Comme pour le flambement, le
fournisseur recommande de dimensionner la vis de sorte que la vitesse de rotation maximale
en service ωM (rd/s) ne représente que 80% de la première vitesse critique ωc (rd/s).
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ω M < 0.8ωc k c
La vitesse critique ωc est liée au diamètre et a la longueur de la vis et à ses propriétés
mécaniques (E et ρ (kg/m3) masse volumique) selon la relation pour un arbre cylindrique
plein sur deux appuis simples :
ωc =
π2
E d
kc
4
ρ L2
Le facteur de correction kc (-) permet à nouveau de prendre en compte la nature et la
localisation des liaisons vis-corps (typiquement kc est compris entre 0.36 et 2.25).
Ce critère lie la vitesse maximale en service au diamètre, à la longueur et au matériau
de la vis, en fonction de l'architecture et de la topologie mécanique (types et localisation des
liaisons vis-corps).
2.2.1.5 - Dimensionnement en puissance
Les procédures de dimensionnement global en puissance (au niveau de l'actionneur)
sont extrêmement peu documentées. En pratique, elles se réduisent souvent à la détermination
du rendement du système vis écrou pour prendre en compte l'effet dissipatif lié au frottement
sur le dimensionnement du moteur. Il y a donc un réel besoin à développer, formaliser et
implémenter sur logiciel les méthodologies de dimensionnement en puissance.
Selon la technologie adoptée, les pertes mécaniques dans le système vis écrou ont pour
origine le frottement de glissement ou le frottement de roulement. En pratique, quelque soit la
technologie, les fabricants fournissent soit le rendement mécanique η (-), soit le coefficient de
frottement µ (-) d'une vis à glissement "équivalente" qui produirait les mêmes pertes.
L'étude statique mécanique du système vis-écrou à glissement montre que le
rendement mécanique est directement lié au rapport entre le coefficient de frottement et la
tangente β (-) à l'angle d'hélice.
β = p πd
Si ce rapport est inférieur à l'unité, la transmission vis-écrou est irréversible (la charge,
lorsqu'elle est motrice, est bloquée et ne peut pas entrainer le moteur).
Le rendement rend compte de l'altération de la relation de transformation parfaite entre
les efforts d'entrée et de sortie :
- si la transmission opère sur une charge résistante, l'effort en sortie est affecté du
rendement direct ηd (-)
ηd =
1
1+ µ β
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- si elle est réversible et qu'elle opère sur une charge aidante, l'effort en entrée est affecté
du rendement inverse ηi (-)
ηi = 1 − µ β
- si elle est irréversible et qu'elle opère sur un charge aidante, l'effort en entrée est affecté
du pseudo rendement ηd (-)
ηp =
−1
ηi
Pour les systèmes à glissement, le coefficient de frottement est compris entre 0.03 et
0.3 selon les matériaux en contact et la nature du lubrifiant. Pour les vis à billes, le coefficient
de frottement dynamique équivalent est typiquement compris entre 0.0008 et 0.0065. Pour les
vis à rouleaux, le coefficient de frottement dynamique est compris entre 0.038 et 0.01. Il y a
donc typiquement un rapport 10 entre les coefficients de frottement des vis à glissement et des
vis à rouleaux, ce rapport passant à 100 pour les vis à billes. A titre d'illustration, la Figure 29
présente les rendements direct et inverse obtenus avec des coefficients de frottement de 0.15,
0.015 et 0.00015 qui sont respectivement représentatifs des vis à glissement, des vis à
rouleaux et des vis à billes.
Pour une technologie donnée, le rendement est directement fonction de la géométrie
de la vis (d, p).
1
direct
=0.0015
inverse
0.8
direct
=0.015
inverse
Rendement (-)
0.6
0.4
direct
=0.15
inverse
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-0.2
Angle d'éhlice (degré)
Figure 29 Comparaison des rendements de système vis écrou
Les données constructeur sont très pauvres concernant les pertes. En particulier,
l'évolution du coefficient de frottement (ou du rendement) en fonction de la vitesse, de la
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charge extérieure et du cadran de fonctionnement n'est jamais fournie. Le coefficient de
frottement statique équivalent est simplement indiqué comme valant typiquement 2 à 2.5 fois
le coefficient de frottement dynamique.
Il y a donc un travail à conduire sur les pertes dans les systèmes vis-écrou, leur
modélisation, leur simulation et l'identification des paramètres correspondants.
2.2.1.6 - Dimensionnement par rapport à la commande
La maitrise des performances de l'actionneur électromécanique linéaire impose
également de prendre en compte les phénomènes parasites tels que l'élasticité de la
transmission, le jeu de transmission et l'erreur géométrique de pas.
2.2.1.6.1 - Raideur
La raideur d'une transmission vis-écrou est au minimum la combinaison en série des
raideurs axiales des paliers de la vis, de la vis elle-même et des contacts vis-écrou. Cette
dernière est fournie par les constructeurs. Pour les systèmes vis-écrou sans compensation de
jeu, le relevé du déplacement axial de la charge en fonction de l'effort extérieur fait apparaitre
une zone de jeu ou une zone de raideur réduite de laquelle on tire un jeu équivalent ("lost
motion").
Le critère de raideur impose une contrainte sur la technologie adoptée pour le système
vis-écrou et sur les dimensions de la vis (d, p.).
La raideur effective d'un ensemble de transmission vis-écrou est fortement dépendante
de l'intégration mécanique (raideurs de paliers, de corps, etc). Pour cette raison, il est
important de bien développer des modèles à deux degrés de liberté (translation et
rotation sur le même axe) pour pouvoir prévoir en simulation le comportement des
actionneurs a système vis-écrou.
2.2.1.6.2 - Jeu
Le jeu de transmission dégrade fortement la durée de vie en présence de charges
dynamiques alternées. De plus, lorsque l'actionneur est commandé en boucle fermée, il
introduit une non-linéarité qui altère fortement ses performances et qu'il est en effet très
difficile de compenser par une commande adaptée.
Lorsque ces défauts sont inacceptables, un pré-chargement axial de l'écrou permet de
supprimer le jeu en forçant le contact des deux cotés du filet. Cette solution a
malheureusement comme effet d'augmenter le frottement sans charge. Comme le montre la
figure suivante, la réduction du jeu d'un écrou simple (1) peut être réalisée soit en remplaçant
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l'écrou par un écrou préchargé (2), soit en associant deux écrous que l'on précharge l'un par
rapport à l'autre (3).
Comme l'explique la théorie des contacts de Hertz, lorsque la force axiale extérieure
atteint 2.83 fois la force de précharge, le contact opposé est rompu et le jeu apparait. La
précharge est donc définie en fonction du jeu toléré sur l'ensemble du domaine de
fonctionnement. Il est recommandé de ne pas dépasser une précharge de 10% de la capacité
de charge statique C0.
Remarques
- la précharge peut également être définie sur des critères de raideur.
- en augmentant l'effort axial aux contacts, la précharge dégrade la durée de vie. Le
dimensionnement mécanique doit être conduit en conséquence.
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Exemple de précharge par 2 écrous
(vis à rouleaux)
Exemple de précharge par écrou
simple préchargé (vis à billes)
2.2.1.6.3 - Erreur géométrique de pas
L'usinage de la vis introduit des défauts géométriques qui se traduisent par des erreurs
de pas, comme le montre le relevé de la figure suivante (déviation de la position théorique en
fonction du nombre de pas parcourus).
Pour une classe de qualité donnée, la déviation maximale par rapport à une position
d'origine est simplement fonction de la longueur du filet par rapport à cette position d'origine
(par exemple 10 µm pour 800 mm et une qualité ISO G1).
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2.2.1.6.4 - Inertie
Les effets inertiels sont bien documentés pour la vis et l'écrou (masse et moment
d'inertie selon l'axe de rotation). Encore une fois, l'intégration du système vis-écrou impose
des composants additionnels (paliers, butées, etc.) qui augmentent sensiblement les masses et
inerties en mouvement. Cependant, le fort rapport de réduction du système vis écrou réduit
généralement la contribution du vis-écrou à l'inertie totale ramenée à la charge.
2.2.1.7 - Conclusion
Si le pas p est le paramètre fonctionnel d'un système vis-écrou, le dimensionnement
revêt plusieurs composantes permettant de considérer les effets secondaires qui dégradent ou
limitent la performance. A pas donné, le diamètre de vis d qui est contraint par les conditions
de tenue mécanique, influence largement le rendement, introduisant un effet majeur pour le
dimensionnement en puissance. Il affecte également la raideur, la masse et l'erreur de
positionnement qui conditionnent largement les performances de commande.
Par ailleurs, le système vis-écrou est fourni nu, sans palier ni corps ni guidages
linéaires. Il doit donc être intégré par le concepteur, à la différence des réducteurs rotationrotation.
Enfin, le couplage qu'introduit le système vis écrou entre les mouvements de
translation et de rotation nécessite de développer des modèles à deux degrés de liberté pour
dimensionner correctement les actionneurs électriques linéaires.
Devant l'intérêt croissant pour les actionneurs électromécaniques linéaires, il est donc
important dans le cadre du programme C6E2de développer et d'implémenter les
méthodologies permettant d'intégrer les différents aspects du dimensionnement du système
vis-écrou dans une vision système.
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2.2.2 - Rotation/rotation
2.2.2.1 - Principe de fonctionnement
2.2.2.1.1 - Réducteur à train épicycloïdal.
La quasi totalité des réducteurs industriels à train épicycloïdal sont de type I celui ci
présentant les meilleurs rendements. L’entrée est sur le planétaire et la sortie sur le porte
satellite.
Zb
Satellite
Planétaire
ωe
Porte satellites
ωs
Za
Zc
Figure 30 – Schéma de principe d’un train épicycloïdal de type I.
Le rapport de réduction peut atteindre une valeur de 10, mais il est généralement limité
à 8.
ωe Z c − Z a
=
ωs
Za
Des rapports plus importants sont obtenus en rajoutant des étages avec un rapport
maximum de 512 pour 3 étages.
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Nombre d’étages
1
2
3
Réduction
4à8
16 à 64
64 à 512
Rendement
96%
93%
90%
Raideur / Couple nominal (sortie)
0.15 arcmin-1
0.14 arcmin-1
0.1 arcmin-1
Couple nominal maximal (sortie)
2000 Nm
3500 Nm
5000 Nm
Jeu (sortie)
3 arcmin
6 arcmin
20 arcmin
5000 tr/min
5000 tr/min
5000 tr/min
0,036 kg / Nm
0,038 kg / Nm
0,040 kg / Nm
Vitesse maximale (entrée)
Masse / Couple nominal
Caractéristiques moyennes des réducteurs à train épicycloïdaux
2.2.2.1.2 - Réducteur Cyclo Drive.
Le principe de fonctionnement du Cyclo Drive est fondé sur le roulement sans
glissement d’un cercle de rayon r à l’intérieur d’un autre cercle de rayon R légèrement
supérieur. La condition de non glissement entre les deux cercles s’exprime alors par la
ω
r
relation rθ e + rθ s = Rθ e ce qui donne le rapport de réduction : e =
ωs R − r
Disque
épicycloïdal
ωs
r
ωe
ωe
ωs
R
Couronne
Figure 31 - Schéma de principe du Cyclo Drive.
Afin de garantir le non glissement, des dents aux formes spécifiques sont réalisées sur
le disque, les points du disque décrivant des hypocycloïdes. Le disque est composé
généralement d’un nombre de dent Zd inférieur d’une unité au nombre de dent de la couronne
Zc, la réduction est alors égal au nombre de dent du disque :
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ωe
Zd
=
= Zd
ωs Zc − Z d
Les rapports de réduction varient de 30 à 130. Lorsque l’excentrique tourne d’un tour
complet le disque se décale donc d’une dent. Le rapport de réduction est alors directement
égal au nombre de dent Zd du disque. Les dents de la couronne sont réalisées avec des pions.
Le mouvement de rotation ωs du disque est récupéré aussi par l’intermédiaire de pions. Afin
de rattraper les jeux un ou deux disque sont rajoutés décalé respectivement entre eux de 180°
et de 120°.
Pion fixe de la couronne
Excentrique
Pion de l’arbre de sortie
Disque cycloïdal
Figure 32 – Vue de face d’un Cyclo Drive.
Les principaux avantages des réducteurs CycloDrives sont leurs rigidités élevés et leur
bon rendement.
Réduction
29 à 179
Rendement
> 80%
Raideur / Couple nominal (sortie)
0.19 arcmin-1
Couple nominal maximal (sortie)
< 5000 Nm
Jeu (sortie)
nul
Vitesse maximale (entrée)
Masse / Couple nominal
4000 tr/min
0,036 kg / Nm
Caractéristiques moyennes des réducteurs CycloDrive.
Il existe une gamme où le disque cycloïdal est combiné avec un train épicycloïdal de
type II. Les rapports de réduction sont approximativement identiques, mais les couples
admissibles augmentent de 20%.
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Disque cycloïdal
Satellite
Porte satellites
Planétaire
ωe
ωs
Figure 33 – Schéma de principe du couplage Cyclo Drive train épicycloïdal.
2.2.2.1.3 - Réducteur Harmonic Drive
Les réducteurs Harmonic Drive sont composés de trois éléments de base :
- Une couronne dentée extérieure fixe (Circular Spline),
- Une cloche en acier déformable à denture externe (Flexspline)
- Un moyeu central de forme elliptique, serti d'un roulement à billes (Wave
Generator).
Le principe est identique à celui du Cyclo Drive, la cloche reliée à l’arbre de sortie a
un diamètre primitif légèrement inférieur à celui de la couronne. Ainsi le calcul de la
réduction est identique à celui du Cyclo Drive :
ωe
Z cloche
=
ω s Z couronne − Z cloche
Cependant l’engrènement entre la couronne et la cloche est réalisé par une
déformation de la cloche qui est imposée par le roulement elliptique de l’arbre d’entrée.
Lorsque le Wave Generator est entraîné, la zone d'engrènement se déplace avec le grand axe
de l'ellipse. La couronne a généralement deux dents de moins que la cloche. Une rotation de
180° du Wave Generator entraîne alors un déplacement relatif d'une dent entre la cloche et la
couronne. Après une rotation complète du Wave Generator, la cloche s'est déplacée de deux
dents par rapport à la couronne dans le sens opposé de l’arbre d’entrée.
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Figure 34 – Composants d’un Harmonic Drive.
Les réducteurs Harmonic Drive ont une faible masse pour des couples élevés.
Cependant les rendements s’effondrent pour des températures de moins de 10°C, et pour des
vitesses supérieures à 1000 tr/min.
Réduction
30 à 160
Rendement
Raideur / Couple nominal (sortie)
30% < η <
85%
0.15 arcmin
Couple nominal maximal (sortie)
7000 Nm
Jeu (sortie)
nul
Vitesse maximale (entrée)
Masse / Couple nominal
tr/min
0,027 kg / Nm
Caractéristiques moyennes des réducteurs Harmonic Drive.
2.2.2.2 - Règles de dimensionnement ou de sélection
Pour ces trois types de réducteur, la sélection s’opère sur des critères en couple et en
vitesse. Le cycle de fonctionnement de la mission fournit ces divers couples et diverses
vitesses. La sélection du réducteur se réalise alors en suivant l’organigramme de la Figure 35.
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T2
présélectionner
un réducteur
T3
sélectionner
un autre
réducteur
rapport i
Couples
(1)
T1
T5
ns moy < ncs moy
non
oui
(2)
T4
Ts moy < Tcs moy
non
oui
ns max < ncs max
non
oui
n3
Ts max < Tcs max
non
oui
vitesses
n2
n4
Fsa max < Tcsa max
non
oui
n1
t1
n5
temps
t2
t3
t4
t5
tcycle
Fsr max < Tcsr max
non
oui
OK
Figure 35 – Organigramme de sélection d’un réducteur.
Le cycle de fonctionnement permet d’obtenir les paramètres suivants :
Le couple moyen de fonctionnement en sortie du réducteur Ts moy :
Ts moy = 3
n2 t2 T23 + n3 t3 T33 + n4 t4 T43
n2 t2 + n3 t3 + n4 t4
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La plupart des constructeurs calcul cette moyenne avec le couple au cube, et quelques
constructeurs utilisent l’exposant 10/3. Ce couple moyen nous permettra de déterminer les
diverses caractéristiques (inertie, raideur, masse) en utilisant les lois d’echelle.
Le couple maximum du cycle Ts max :
Ts max = T2
La vitesse moyenne en sortie du réducteur ns moy :
n2 t 2 + n3 t3 + n4 t4
t 2 + t3 + t 4
ns moy =
Selon les constructeurs les vitesses utilisées sont en entrée du réducteur :
ne moy = i ns moy
La vitesse maximale du cycle ns max :
ns max = n3
(ou en entrée ne max : ne max = i ns max )
La charge de service du cycle ED :
ED =
•
t 2 + t3 + t 4
t cycle
Si l’arbre de sortie du réducteur subit des efforts axiaux Fsa moy ou radiaux
Fsr moy :
Fsa moy = 3
n2 t2 Fa32 + n3 t3 Fa33 + n4 t4 Fa34
n2 t2 + n3 t3 + n4 t 4
Fsr moy =
n2 t2 Fr32 + n3 t3 Fr33 + n4 t4 Fr34
n2 t2 + n3 t3 + n4 t4
3
Tous ces paramètres peuvent ensuite être comparés aux valeurs fournies par les
constructeurs pour chaque réducteur.
(1) : La valeur ncs moy est donnée en fonction de la charge de service ED pour les
réducteurs Cyclo Drive.
(2) : La Tcs moy dépend de la vitesse moyenne d’entrée pour les réducteurs Cyclo Drive.
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2.2.2.3 - Modélisation
Les rendements fournis par les constructeurs sont souvent donnés aux valeurs
nominales de fonctionnement. Quelques constructeurs fournissent des courbes de rendement
en fonction du couple, mais pour des valeurs proches de ce couple nominal. Pour les valeurs
de couple de démarrage il n'existe souvent aucune donnée. Pour les réducteurs Harmonic
Drive la détermination du rendement est encore plus complexe. Le rendement dépend du
couple, de la vitesse de rotation et de la température dans des proportions importantes. Ces
données sont fournies dans le catalogue sous forme de courbes.
Tous les constructeurs fournissent la raideur au couple nominal. Cependant cette
raideur dépend du couple pour les trois types de réducteurs présentés ici (Figure 33). Cette
courbe est fournie pour la plupart des réducteurs conçus pour l'asservissement. Elle est divisée
en trois pentes différentes, et donnée par l'intermédiaire de trois points tabulés en fonction des
réducteurs.
Figure 36 – Rigidité à la torsion d'un réducteur en fonction du couple de sortie.
(Document extrait du catalogue Sumitomo)
Le développement d'un modèle précis basé les phénomènes physiques tenant compte
des pertes, des raideurs et des jeux demanderait une charge de travail très importante pour
chaque réducteur, pour aboutir à des modèles numériquement lourds. Dans le cadre de ce
travail il apparaît plus judicieux de développer des modèles plus simples dont les divers
paramètres pourront être déduits des données constructeurs. Cependant des expérimentations
seront certainement nécessaires, principalement pour les réducteurs Harmonic Drive et Cyclo
Drive où les données fournies au point de fonctionnement à vitesse nulle sont quasiment
inexistantes malgré son importance pour les systèmes asservis.
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3 - Etat de l’art sur les outils logiciels
3.1 - Exemples d’étude
Pour rester sur un cas plus simple et se concentrer sur l’utilisation de logiciels présents
sur le marché, on se propose d’étudier un exemple issus du livre Les Actionneurs Electriques
de Gérard LACROUX [LAC].
On s’intéresse à la motorisation d’un axe de machine outil :
la masse M du chariot est de 1400 kg (masse de la pièce à usiner comprise).
On modélise les frottements entre la table et le chariot par un frottement sec de
coefficient de µ = 0,3
on peut supposer que le rendement du système vis-écrou est de 90 %
en cours de travail, la force axiale F s’exerçant sur le chariot est de 3000 N.
le mouvement est transmis par une vis de pas p = 10 mm.
Le cycle de fonctionnement comporte des phases :
de fonctionnement en approche ou dégagement rapide (accélération ou décélération)
qui s’effectuent sans la force de travail F à la vitesse Vd = 10 m/min. Le temps de mise en
vitesse ne doit pas excéder 200 ms.
de fonctionnement en usinage à la vitesse Vu = 300 mm/min.
On utilisera le cycle suivant :
Approche sur 20 cm
Usinage sur 10 cm
Retour en position initiale par un dégagement sur 30 cm
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Figure n° 1 – Machine outil et vis à bille
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3.2 - Exemples d’outils existants
Nous sommes intéressés à deux logiciels différents :
MOTIONEERING édité par un fabriquant de moteurs électriques
SERVOSOFT édité par une entreprise indépendante
Ils traitent tous les deux de la sélection de moteurs et de réducteurs dans le domaine
industriel.
3.2.1 - SERVOSOFT
Le logiciel SERVOSOFT est un programme de sélection de moteurs édité par une
entreprise indépendante. Il possède une base de données importante tant aux niveaux moteurs
que réducteurs.
Les étapes suivantes permettent de réaliser une étude :
Spécification du profil de charge et sélection du mécanisme à entraîner :
Les différents paramètres (inerties, pas de vis, rendement, …) nécessaires aux calculs
sont donnés par l’utilisateur. L’utilisateur dispose d’une aide au calcul des inerties/masses de
la charge. Il est également possible de mettre des limites sur les composants de la
transmission (application), avec alertes en cas de dépassement.
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Les efforts de la charge seront constants pour chaque segment du profil de
déplacement. Les masses et efforts extérieurs ne peuvent donc être fonction fine du temps ou
du déplacement.
Définition du profil de déplacement :
Différents types de profil disponibles pour une saisie autoguidée. Le logiciel peut
calculer automatiquement la vitesse, l’accélération et le jerk en fonction du profil de position.
Les profils peuvent être défini avec différentes options :
profil définissable en temps/distance, distance/vitesse ou temps/vitesse.
possibilité de calcul automatique du profil basé sur une loi d’accélération ½ ou 1/3.
possibilité de définir le jerk (%) pour minimiser les effets backlash et la fatigue
mécanique, et pour rendre plus doux et stable (minimisation du dépassement) le profil donné.
possibilité de définir le S-curving au lieu de passer par le jerk
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Définition de la transmission :
La transmission peut être constituée de deux étages de transformation et d’une boîte de
vitesse. 3 différents types de transformations prédéfinies sont disponibles : directe,
accouplement, roues-droites, courroie. Le logiciel permet :
L’affichage des performances du système au point de transformation
Possibilité de faire une analyse du rapport de transmission : différentes grandeurs sont
calculées pour différents rapports de réduction. Les autres paramètres du système sont gardés
constants. Ce dernier point constitue une limite importante et limite l’utilisation de cette
option.
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Définition de la boite de vitesse :
Le logiciel possède une large base de données. Des filtres permettent de ne conserver
que les modèles respectant certains critères. Le logiciel permet :
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de définir des marges sur caractéristiques de la boite de vitesse à sélectionner
de prendre en compte la tenue en efforts axiaux et radiaux de la boite
d’afficher les performances de la boite choisie avec celles du cycle requis
d’afficher l’efficacité de la boite en fonction de la vitesse.
de faire une analyse du rapport de transmission.
Définition du moteur :
Le logiciel possède une large base de données. Des filtres permettent de ne conserver
que les modèles respectant certains critères. Le logiciel permet :
de définir des marges sur les caractéristiques du moteur (+ drive) à sélectionner
d’afficher des performances des moteurs candidats avec celles du cycle requis, de la
correspondance d’inertie correspondante et des caractéristiques du moteur
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de prendre en compte l’impact des conditions de l’environnement (température,
altitude) du moteur sur ses performances
d’afficher des caractéristiques de la charge (couple d’accélération, effort extérieur) le
long du cycle et le poids des différentes inerties ramenées au moteur pour les segments du
profil de mission
de prendre en compte le frein moteur.
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3.2.2 - MOTIONEERING
Le logiciel MOTIONEERING est un programme de sélection de moteurs (Brushless,
moteur à courant continu, pas-à-pas et variateurs associés) distribué gratuitement par le
groupe DANAHER. (Kollmorgen, Pacific Scientific, …)
Les étapes suivantes permettent de réaliser une étude :
Choix du mécanisme d’entraînement :
Définition de ce mécanisme :
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Le logiciel ne dispose pas de base de données. Les différents paramètres (inerties, pas
de vis, rendement, …) nécessaires aux calculs sont donnés par l’utilisateur.
Définition du cycle de fonctionnement :
Le profil de vitesse est rentré sous la forme de segment. Les trois premiers segments
peuvent être défini à l’aide de gabarits prédéfinis. (1/2, 1/3, trapèze).
Le logiciel ne permet pas de définir un profil d’effort quelconque. Les efforts sont
définis dans la partie précédente sous la forme : d’un effort continu, d’un effort de travail
que l’on pourra placer sur certains segments de vitesse, de frottements ou d’efforts de gravité
dans mécanisme.
Sélection d’un moteur :
Le logiciel dispose d’une base de données importantes sur l’ensemble de la gamme de
Danaher (groupe regroupant plusieurs constructeurs). La sélection des moteurs s’effectuent à
l’aide de filtres :
Types (brushless, pas à pas, DC) et gammes de moteur ;
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Tension d’alimentation, présence d’un frein et type de capteur ;
Marge de fonctionnement par rapport au cycle défini précédemment selon différents
critère : couple maximale, couple efficace, vitesse maximale et adaptation en inertie (rapport
Jload/Jmotor).
Le logiciel donne ensuit l’ensemble des moteurs respectant en totalité ou en partie
(couleurs différentes selon le respect total ou partiel) ces différents critères et permet de les
trier.
Il est ensuite possible de visualiser :
une courbe couple/vitesse des différents moteurs avec les points caractéristiques du
cycle de fonctionnement
les principales caractéristiques du mécanismes et du moteur.
Le logiciel donne également :
Le variateur associé (référence) et les caractéristiques de ce dernier.
La puissance et la valeur de la résistance de dissipation à placer avec le variateur de
vitesse.
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4 - Modèles pour la conception préliminaire
Les logiciels actuels de conception préliminaires (cf. partie 3 du présent rapport)
utilisent des bases de données constructeurs pour obtenir les valeurs des paramètres
nécessaires à l’évaluation des grandeurs dimensionnantes. Cette approche très intéressante
pour la sélection de composants sur étagères présente certains inconvénients pour les points
suivants :
La nécessité de créer et de maintenir une base de données constructeur. Un logiciel
généraliste de simulation système comme AMESim n’a pas cette vocation.
Dans le cadre de la conception de produit intégré, il est intéressant de disposer de
grandeurs permettant d’évaluer l’état de l’art des technologies actuelles. On peut cependant
être amener à développer des composants spécifiques dédiés et non présents dans des
catalogues constructeurs.
Dans le cadre d’une reconception ou de l’évolution d’un système connu, on peut
vouloir évaluer l’évolution des performances du dispositif initial pour un nouveau cahier des
charges.
La piste choisie est l’établissement de modèles pour la conception préliminaire à l’aide
de lois d’échelle ou de similitude. L’objectif dans cet état de l’art est de présenter cette
méthode de modélisation et de valider l’opportunité de l’utiliser dans les domaines qui nous
intéresse. Pour cela nous essayerons de valider l’approche sur des bases de données
constructeurs de moteurs électriques (à aimants permanents) et de transmissions mécaniques
(réducteurs épicycloïdaux).
4.1 - Généralités sur les lois d’échelles
Les lois d’échelle (ou scaling laws en anglais), qui peuvent aussi être appelées lois de
similitude (ou similarity laws en anglais), permettent d’étudier l’influence d’un changement
d’échelle sur les grandeurs représentatives d’un système.
Les lois d’échelle sont utilisées dans différents domaines comme les microsystèmes,
les actionneurs électriques, la mécanique ou l’hydraulique et la mécaniques des fluides pour :
comparer des technologies d’actionnement [JUF] [MUL] [MIN] ;
adapter les dimensions d’une maquette d’essais en mécanique des fluides ;
dimensionner des systèmes mécaniques, hydrauliques ou électriques [RASC] [PPUR] ;
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développer et rationaliser des gammes de produits [PAH] ;
évaluer des coûts [PAH].
Pour la suite nous adopterons la notation proposée par M. JUFER [JUF]. Pour chaque
grandeur caractéristique, nous calculerons le rapport :
l* =
l'
l
avec :
l, la grandeur du dispositif pris pour référence.
l’, la grandeur du dispositif étudié.
Pour une homothétie géométrique identique sur toutes les dimensions, toutes les
cotations géométriques seront donc reliées par un même ratio l* à leur valeur de référence.
Nous ne développerons des modèles que pour des dispositifs présentant cette similitude
géométrique.
2r
2r’
l’
l
Figure 37 – Changement d’échelle d’un cylindre
Pour le cylindre de la Figure 37, on peut calculer les lois d’échelles de quelques
paramètres géométriques. L’évolution du volume pour un cylindre de rayon r et de longueur l
V = π .r 2l
V* =
V ' π .r 2l
=
= r *2l *
2
V π .r ' l '
Dans le cas où l’évolution géométrique est identique pour toutes les dimensions :
r* =
r'
l*
= l* =
r
l'
et V * = l *3
Cette dernière relation reste vraie pour une géométrie quelconque.
De la même manière, on peut calculer l’évolution de :
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la masse :
M = ∫ ρ m dV
M * = l *3
l’inertie d’une partie tournante :
J = ∫ r é dm
J * = l *5
4.2 - Lois d’échelle et transmissions mécaniques
On s’intéressera ici aux réducteurs de vitesse à engrenages, aux trains épicycloïdaux et
aux vis à rouleaux. Les raisonnements développés ici peuvent certainement s’appliquer à
d’autres types de transmission mécaniques (système vis/écrou, réducteur harmonique
drive…). Les gammes de références seront ici extraites des constructeurs Apex, Alpha et
Neugart pour les trains épicycloïdaux et SKF pour les vis à rouleaux.
4.2.1 - Réducteurs épicycloïdaux
4.2.1.1 - Etablissement des lois d’échelles pour les réducteurs
Les réducteurs sont dimensionnés pour un couple de sortie C donné. Les contraintes
correspondant à ce couple constituent les grandeurs limitant les performances. Pour un
réducteur à engrenages elles peuvent correspondre :
Aux pressions de contact des dents. La théorie de Hertz [SHI] pour un contact
sphère/sphère donne une contrainte maximale proportionnelle à la pression maximale de
contact pmax :
p max =
3F
, avec le rayon de contact
2πa 2
 3F (1 − γ 12 ) / E1 + (1 − γ 22 ) / E 2 

a = 
1 / d1 + 1 / d 2
 8

1/ 3
soit :
p max = F *1 / 3l *−2 / 3
*
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Aux contraintes de flexion des dents. Une poutre en flexion a pour contrainte
maximale :
12 FLb
2h 2
σ max =
soit σ max = F *l *−2
*
Une conception à contrainte fixée σ max = 1 ou pmax = 1 induit la relation suivante
*
*
entre forces et dimensions :
F * = l *2
Le tableau suivant résume un certain nombre de relations basées sur cette hypothèse.
Grandeur
Evolution
Effort
F * = l *2
Couple
C * = l *3
Volume
V * = l *3
Masse
M * = l *3
Inertie
J * = l *5
Raideur de torsion
K * = l *3
Lois de similitude pour un dispositif mécanique à contrainte fixée
Pour effectuer la sélection d’un réducteur mécanique dans le cadre d’une conception
préliminaire, il est intéressant de disposer de :
J, l’inertie du réducteur ramenée sur l’axe moteur (rapide)
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K, la raideur du réducteur sur l’axe de sortie (lent)
M, la masse du réducteur
en fonction du couple de sortie C et du rapport de réduction N.
Grandeur
Evolution
Masse (Volume)
M * = C*
Raideur de torsion
K * = C*
Inertie
J * = N *α C *5 / 3 ≈ N *α C *1,67
Lois de similitude pour un réducteur
4.2.1.2 - Validation sur des gammes constructeurs de trains épicycloïdaux
Nous avons constitué une base de données constructeurs (plus de 700 réducteurs)
comportant différentes caractéristiques comme : le couple, le rapport de réduction, la masse,
la raideur en torsion, l’inertie ramenée en entrée, le rendement, ... Afin de valider les relations
déterminées précédemment, nous avons utilisé les gammes de réducteurs épicycloïdaux des
constructeurs Apex et Neugart. Les relations sont de la forme :
X ∗ = N *α C *β , où X peut être J, K ou M
Pour déterminer les coefficients α et β, des tracés logarithmiques à couple C ou
rapport de réduction N fixé ont été réalisés :
 X
log
X
 ref


 = log C

C

 ref




β
 N

N
 ref




α
donne :
log X = β log C + k , à N fixé
log X = α log N + k , à C fixé
La Figure 38 donne un exemple d’évolution de la raideur en torsion en fonction du
couple de sortie pour un rapport de réduction fixé à 3. Le tracé est fait ici dans un plan loglog. La courbe de tendance affichée en trait plein permet de calculer le coefficient β des
relations précédentes. On trouve une valeur de 1,03 très proche du 1 théorique.
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Relation Torque / Stiffness -PLE - Ratio 3
y = 1,0316x - 1,1199
1,80
1,60
Stiffness (Nm/arcmin)
1,40
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
0,00
-0,20
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
Torque (N.m)
Figure 38 – Evolution logarithmique de la raideur en fonction du couple
Cette opération a été faite pour l’ensemble de la gamme PLE de Neugart avec 22
rapports de réduction de 3 à 512. Le tableau suivant résume l’ensemble des résultats obtenus
ici.
Calcul du coefficient β
X ∗ = N *α C *β , où X peut être J, K ou M
PLE
3
4
5
8
9
12
15
16
20
25
32
40
64
60
80
100
120
160
200
256
Couple / Masse
1,12
1,17
1,13
0,93
1,11
1,06
1,09
1,06
1,06
1,07
1,06
1,07
0,97
1,12
1,16
1,16
1,15
1,16
1,12
1,16
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
Couple / Inertie
1,74
1,79
1,72
1,38
1,74
1,65
1,83
1,61
1,62
1,61
1,63
1,62
1,43
1,84
1,72
1,7
1,93
1,72
1,73
1,72
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Couple / Raideur
1,03
1,07
1,03
0,85
0,96
0,96
0,99
0,96
0,96
0,97
0,96
0,97
0,88
0,95
0,94
0,94
0,97
0,94
0,95
0,94
Nb d’étage
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
107/134
320
512
Moyenne
Min
Max
1,12
1,04
1,10
0,93
1,17
1,73
1,6
1,68
1,38
1,93
0,95
0,88
0,96
0,85
1,07
Théorie
1
1,67
1
3
3
Influence du couple, gamme PLE de Neugart
Les coefficients trouvés théoriquement sont assez bien vérifiés sur cette gamme de
réducteur. Ce résultat est aussi bien vérifié pour la gamme de d’Apex.
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Calcul du coefficient β
X ∗ = N *α C *β , où X peut être J, K ou M
Apex
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
100
Moyenne
Min
Max
Couple / Masse
0,97
0,97
0,98
0,97
0,97
0,96
0,94
0,94
0,96
0,97
0,97
0,96
0,96
0,89
0,93
0,97
0,96
0,96
0,94
0,94
0,96
0,89
0,98
Couple / Inertie
1,71
1,71
1,69
1,7
1,68
1,67
1,63
1,63
1,56
1,57
1,57
1,56
1,55
1,42
1,52
1,58
1,57
1,56
1,54
1,52
1,60
1,42
1,71
Couple / Raideur
0,94
0,95
0,96
0,95
0,94
0,94
0,92
0,92
0,94
0,95
0,96
0,95
0,94
0,84
0,92
0,96
0,95
0,94
0,93
0,92
0,94
0,84
0,96
Théorie
1
1,67
1
Etage
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Influence du couple, gamme d’Apex
Pour évaluer l’influence du rapport de réduction, nous effectuons le même travail en
observant les gammes de réducteur par couple constant et rapport de réduction variable. Le
rapport de réduction a peu d’influence sur la raideur et la masse du réducteur. Les grandeurs
K et M ne sont donc pas fonction de N. Le tableau suivant résume les résultats obtenus pour
l’inertie
des
réducteurs.
Les
coefficients
donnés
correspondent
au
α
de
la
formule J ∗ = N *α C *β .
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Couple
44
110
120
260
Moyenne
Max
Min
PLE
2 etages
-0,61
-0,61
-0,66
-0,66
-0,635
-0,61
-0,66
3 etage
-0,145
-0,172
-0,197
-0,143
-0,16425
-0,143
-0,197
Couple
19,5
42,5
55
150
300
600
1150
1900
Moyenne
Max
Min
Apex
1 etage
-0,633
-0,338
-0,616
-0,582
-0,663
-0,688
-0,7
-0,624
-0,6055
-0,338
-0,7
2 etage
-0,214
-0,245
-0,239
-0,245
-0,292
-0,256
-0,235
-0,25
-0,247
-0,214
-0,292
Influence du rapport de réduction
On aboutit donc aux lois d’échelles suivantes pour ces deux constructeurs :
• Neugart :
1 étage : donnnées insuffisantes
2 étages : M * = N *0 C *1
J * = N * −0.63 C *1.67
K * = N *0 C *1
3 étages : M * = N *0 C *1
J * = N * −0.16 C *1.67
K * = N *0 C *1
-
•
pour :
un couple de sortie de 44 à 260 N.m
un rapport de réduction de 9 à 64 (2 étages) ou de 60 à 512 (3 étages)
Apex:
1 étage : M * = N *0 C *1
J * = N * −0.61 C *1.67
K * = N *0 C *1
2 étages : M * = N *0 C *1
J * = N * −0.24 C *1.67
K * = N *0 C *1
3 étages : donnnées insuffisantes
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pour :
- un couple de sortie de 19,5 à 1900 N.m
- un rapport de réduction de 3 à 10 (1 étage) ou de 15 à 100 (2 étages)
Les différentes valeurs des puissances des lois d’échelles ont donc pu être validées ou
calculées. On va maintenant observer si ces lois d’échelles décrivent avec plus ou moins
d’exactitude l’ensemble des données d’une gamme constructeur. Nous utiliserons pour cela
un réducteur de référence pour chaque gamme. Ce dernier fournit les valeurs de référence
Jref, Kref et Mref qui permettent de calculer les paramètres J, K et M des autres réducteurs à
partir de leur couple de sortie et de leur rapport de réduction. Ainsi pour chaque grandeur on
pourra effectuer le calcul suivant :
X ∗ = Y ∗α Z ∗β
 X
est équivalent à 
X
 ref
 Y
X = (X ref )
Y
 ref




α
  Y
=
 Y
  ref
 Z

Z
 ref








α
 Z

Z
 ref
β

 ce qui donne


β
Le tableau suivant donne l’application numérique pour quelques exemples de
réducteurs. La première ligne est le réducteur de référence choisi en milieu de gamme. Les
dernières colonnes donnent les erreurs entre les valeurs calculées à l’aide des lois d’échelle et
les valeurs issues du catalogue.
Ref
Valeurs réf.
Min
Max
Moyenne
C
230
N
25
16.5
260
800
16,50
800,00
188,90
9.0
12.0
20
9,00
40,00
21,32
Calculé
J
K
1,49
13,00
0.04
0.93
2.90
14.70
13.41
45.22
0,02
0,93
18,23
45,22
2,06
10,67
M
8,00
0.62
9.72
29.91
0,57
27,83
6,57
Données catalogue
J
K
M
1,49
13,00
8,00
0.03
2.56
6.65
0,02
12,37
1,53
1.10
13.0
41.0
1,10
41,00
10,28
0.45
8.0
22.0
0,45
22,00
5,71
J
0%
18%
12%
50%
0%
51%
21%
Erreur
K
0%
18%
12%
9%
0%
18%
5%
Application numérique des lois d’échelles
Le tableau suivant résume les erreurs observées sur ces paramètres pour l’ensemble de
la gamme PLE 2 étages de Neugart (63 références). La valeur moyenne des erreurs et les
valeurs minimales et maximales rencontrées sont indiquées.
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111/134
M
0%
27%
18%
26%
0%
43%
23%
Min
Max
Moyenne
J
0%
52%
21%
K
0%
18%
5%
M
0%
47%
23%
Synthèse des erreurs observées
Pour une gamme inconnue, il est possible de calculer les coefficients α à l’aide des
équations suivantes :
J ∗ = N ∗α C ∗1.67
en disposant des valeurs correspondant à J et Jref,
 J

J
 ref
  N
=
 N
  ref
 J
log
 J ref
α=




α
 C

C
 ref


 = α log N

N

 ref
  J
log
  J ref
1.65






 + 1.65 log C

C

 ref


 − 1.65 log C

C
 ref

N
log
N ref








Nous avons appliqué cette méthode pour une gamme de réducteurs Alpha. L’ensemble
des résultats (erreurs moyennes) est donné dans le tableau suivant.
Constructeur
Etage
Neugart
2
3
1
2
1
2
3
Apex
Alpha
J
(erreur en %)
21
21
21
38
26
38
27
K
(erreur en %)
5
8
5
48
10
21
58
M
(erreur en %)
23
15
18
20
36
17
11
Synthèse des erreurs moyennes observées
D’une manière générale on peut remarquer que les erreurs ne sont pas trop importantes
si on les compare à la simplicité des modèles mis en jeu. Ces modèles semblent donc bien
adaptés à une phase de conception préliminaire. Les erreurs les plus importantes se retrouvent
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
11/04/08
112/134
en extrémité de gamme lorsque les dimensions s’éloignent fortement de celles du réducteur de
référence. Les gammes présentant les plus larges plages de couple (Apex 2 étage et Alpha 3
étage) sont celles qui présentent ainsi les erreurs les plus importantes. Les lois issues des
gammes Neugart et Alpha ont pu également être appliquées à un autre constructeur comme
Alpha. On peut les utiliser d’une manière assez générale sur tout type de réducteur à train
épicycloïdal.
4.2.2 - Réducteur Cyclo Drive
Les phénomènes physiques régissant le dimensionnement des Cyclo Drive sont
identiques aux réducteurs épicycloïdaux. Ainsi les lois d’échelles concernant la masse et la
raideur sont identiques aux trains épicycloïdaux comme on peut le voir respectivement sur la
Figure 39 et sur la Figure 40.
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
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113/134
Relation masse / couple
160
140
Masse (kg)
120
100
80
60
40
20
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Couple (Nm)
Figure 39 – Evolution de la masse en fonction du couple sur quatre gammes différentes de
Cyclo Drive (séries F).
Relation Raideur / Couple
900
800
Raideur (Nm/arcmin)
700
600
500
400
300
200
100
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Couple (Nm)
Figure 40 – Evolution de la raideur en fonction du couple sur quatre gammes différentes de
Cyclo Drive (séries F).
Les rapports de réduction qui varient de 29 à 179 sont obtenus en augmentant
simplement le nombre de ‘dents’ de la couronne et du disque. Ainsi l’influence du rapport de
réduction sur l’inertie est négligeable, et seul le couple intervient dans la loi d‘échelle.
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
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114/134
Relation Inertie / Couple
14
12
Inetrie (kg cm2)
10
8
Gammes F, F1, F2, F3
Loi d’échelle
6
4
2
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Couple (Nm)
Figure 41 – Evolution des inerties en fonction du couple sur quatre gammes différentes de
Cyclo Drive (séries F).
Grandeur
Evolution
Masse
M * = F*
Raideur
K* = F*
Inertie
J * = F *1.6
Lois de similitude pour le réducteur Cyclo Drive.
4.2.3 - Vis à rouleaux
Les vis à rouleaux sont dimensionnées pour un effort donné sur l’axe de la vis. Les
contraintes correspondantes à cet effort constituent les grandeurs limitant les performances.
On obtient donc la loi :
σ max * = F *1l *− 2
Comme pour les réducteurs les différentes caractéristiques nous intéressants peuvent
être déduites de cette équation. Ces caractéristiques en fonction de l’effort F* sont résumées
dans le tableau en fin de paragraphe.
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
11/04/08
115/134
La Figure 42 compare la loi d’échelle aux valeurs fournies par le catalogue SKF sur
une gamme de vis à rouleaux. Pour la même gamme la Figure 43 compare les inerties.
Relation Masse / Effort
1000
Masse (kg)
100
Loi d'échelle : M = 0.07 F
10
1
Interpolation : M = 0.035 F
1.1
0.1
1
10
100
1000
10000
Effort (kN)
Figure 42 – Evolution logarithmique de la masse de la vis en fonction de l’effort.
Relation Inertie / Effort
10000000
1000000
Inertie (kg mm2)
100000
10000
2
Loi d'échelle : J = 0.11 F
1000
100
10
Interpolation : M = 0.02 F 2.26
1
1
10
100
1000
10000
Effort (kN)
Figure 43 - Evolution logarithmique de l’inertie de la vis en fonction de l’effort
La raideur d’un système vis-écrou est composée par le montage en série de trois
raideurs qui peuvent être équivalente.
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
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116/134
1
1
1
1
=
+
+
Kt K e K v K p
l
Charge
Couple
moteur
Ecrou
Charge
Vis
Ke
Palier
Kv
Kp
Ecrou
Vis
Palier
Figure 44 – Schéma d’un système vis écrou pour le calcul de la raideur.
La raideur du palier est directement proportionnelle à la charge :
K *p = F *
La raideur de la vis est proportionnelle à la charge et inversement proportionnelle à la
position de l’écrou sur la vis :
F*
K =
l
*
v
La raideur de l’écrou dépend de la charge et du pas de la vis :
K e* =
F*
p*
Grandeur
Evolution
Masse
M * = F*
Raideur
K* =
Inertie
J * = F *2
F*
p*
Lois de similitude pour une vis à rouleaux.
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
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Relation raideur de l'écrou / effort
1600
Gamme TRU (SKF)
1400
Loi d’échelle
Raideur écrou (N/µm)
1200
1000
800
600
400
200
0
0
50
100
150
200
250
Effort (kN)
Figure 45– Application de la loi d’échelle de la raideur des écrous à la gamme TRU de chez
SKF.
4.3 - Lois d’échelle et machines électriques
On ne s’intéressera ici qu’aux moteurs à aimants permanents. Les raisonnements
développés ici peuvent s’appliquer à d’autres types de machines électriques (moteurs
asynchrone ou à reluctance variable).
On distinguera deux types de moteurs à aimants permanents :
Les moteurs brushless cylindriques à nombre de pôles constants, caractérisés par une
vitesse de rotation relativement élevée. Les gammes de références seront ici extraites des
constructeurs Parvex et Danaher ;
Les moteurs annulaires à nombres de pôles variables, caractérisés par des vitesses plus
faibles et des couples plus importants. Ces moteurs couples seront illustrés sur les gammes
d’Etel.
4.3.1 - Moteurs cylindriques à nombre de pôles constant avec le changement d’échelle
La Figure 46 montre une coupe schématique d’une architecture de moteur brushless
cylindrique à 4 pôles et à aimants en surface. Cette configuration mécanique, cylindriques à
champ radial et à rotor intérieur, est conventionnelle et représentative d’un grand nombre de
moteurs sur le marché. Nous n’analyserons les lois de similitude que pour des facteurs
d’échelle identiques sur toutes les dimensions.
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
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118/134
Figure 46 - Coupe d’un moteur brushless [MUL]
Les couples d’un moteur à aimant permanent peut être obtenu à l’aide des forces de
Laplace intégrée sur l’ensemble des conducteurs :
C = ∫ BJrdV
avec :
B, l’induction dans l’entrefer ;
J, la densité de courant dans les conducteurs ;
r, la distance par rapport à l’axe de rotation ;
Cette intégrale donne en notation relative par rapport à une géométrie de référence :
C * = J * B *l *4
Les performances d’un moteur électrique sont essentiellement limitées par les pertes et
l’échauffement thermique. On suppose généralement que ces pertes sont essentiellement des
pertes Joules dans les conducteurs :
PJ = ∫ ρJ 2 dV
Pour une résistivité ρ constante, les pertes Joules relatives sont alors lors d’un
changement d’échelle :
PJ * = J *2l *3
Les pertes d’un moteur permettent d’évaluer sa température. Si on néglige la
conduction, les pertes thermiques ne sont évacuées que par convection naturelle en surface du
moteur. L’échauffement ∆T prend alors pour expression :
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
11/04/08
119/134
∆T =
PJ
, où Rth = α . A
Rth
avec :
A, la surface extérieure
α, le coefficient de convection (en W.m-2.K-1)
Ce qui donne en notation relative :
∆T * = J *2l *
Un moteur électrique est généralement dimensionné pour avoir :
Une induction constante B dans l’entrefer afin d’éviter la saturation des dents. On
pourra donc supposer que B*=1 ;
Une température constante pour éviter un échauffement trop important des
conducteurs et de leurs isolants. On aura donc dans ce cas ∆T*=1.
Cette dernière contrainte permet de déterminer l’évolution de la densité de courant :
∆T * = 1 = J *2l *
⇒
J * = l *−1 / 2
D’où l’évolution du couple dans ces conditions :
C = l *3,5
Une autre grandeur intéressante est la constante de temps thermique τth du moteur.
Elle correspond à l’évolution de température du moteur régie par une équation différentielle
de la forme :
Pth = M .cth.
M .cth
dT
+ Rth .(T − Text ) de constante de temps τ th =
Rth
dt
D’où l’évolution de cette grandeur :
τ th* = l *
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
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120/134
Le tableau suivant résume l’ensemble des lois de similitude calculées ici pour un
moteur cylindrique à aimants permanents et pour un facteur d’échelle identique l* sur toutes
les dimensions.
Grandeur
Evolution
Couple (pour B*=1 et ∆T*=1 )
C = l *3,5
Inertie
J * = l *5
Masse
M * = l *3
Volume
V * = l *3
Constante de temps thermique
τ th* = l *
Résistance thermique
Rth = l *2
*
Lois de similitude pour un moteur cylindriques à aimants permanents et à nombre de
pôles constant.
4.3.2 - Moteurs annulaires à nombre de pôles non constants avec changement d’échelle
L’augmentation du nombre de pôles permet d’augmenter la densité de couple. En effet
pour un même diamètre de moteur, augmenter le nombre de pôles permet de diminuer le flux
par pôle et de diminuer l’épaisseur des culasses (au rotor et au stator) et donc de diminuer la
masse. L’augmentation importante du nombre de pôles mène à des structures annulaires
comme celles de la Figure 47.
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
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121/134
Figure 47 - Moteur annulaire et structure bipolaire élémentaire [MUL]
Ce gain en masse se fait au détriment de la vitesse de rotation en effet il y a
proportionnalité entre le nombre de paires de pôles p, la pulsation électrique ω et la vitesse de
rotation mécanique Ω :
ω = p.Ω
La fréquence électrique ne peut être augmenter indéfiniment. Des pertes
supplémentaires limitent les fréquence électriques f ( ω = 2π . f ) d’utilisation du moteur :
•
les Pertes PW par courants de Foucault qui prennent en valeur relative
l’expression suivante :
PW* = f *2 e*2 B *2l *3
avec e l’épaisseur des tôles. Dans le cas (le plus fréquent) où cette épaisseur e
est constante :
PW* = f *2 B *2l *3
•
les Pertes Ph par Hystérésis qui prennent en valeur relative l’expression
suivante :
Ph* = f * B *2 l *3
Ces pertes augmentent avec la fréquence électrique f et donc la vitesse de rotation du
moteur. La Figure 48 donne les courbes couple/vitesse d’un tel moteur (gamme ETEL). Le
schéma sur cette figure montre l’écart de l’évolution du couple si l’on prend en compte de ces
pertes fer fonction de la vitesse de rotation du moteur. Le couple permanent que peut fournir
la machine diminue avec la vitesse de rotation. Les courbes en régime transitoire (peak) ne
sont pas limitées par des considérations thermiques mais par le courant crête et la tension
maximale de l’alimentation.
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
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122/134
C
Pertes Joules
Pertes Joules +
Pertes fer
Ωmax
Ω
Figure 48 – Effet des pertes fer sur la courbe couple/vitesse
Les moteurs annulaires sont obtenus en accolant des structures bipolaires élémentaires.
L’augmentation du couple passe par l’ajout de structures élémentaires. L’épaisseur des
culasses n’évolue donc pas avec le diamètre. Les variations relatives des paramètres
géométriques diffèrent donc d’un moteur cylindrique :
le volume :
V ≈ 2π .r.e.l
V* =
V ' *2
=l
V
la masse :
M * = l *2
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
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123/134
la surface d’échange thermique :
S * = l *2
l’inertie d’une partie tournante :
J = ∫ r 2 dm ≈ r 2 .2πr.e.l. ρ
J * = l *4
Le tableau suivant résume l’ensemble des lois de similitude pour un moteur annulaire.
Grandeur
Evolution
Couple (pour B*=1 et ∆T*=1 )
C = l *3,5
Inertie
J * = l *4
Masse
M * = l *2
Volume
V * = l *2
Constante de temps thermique
τ th * = l *
Résistance thermique
Rth = l *2
0
*
Lois de similitude pour un moteur annulaire à aimants permanents et à nombre de
pôles non constant.
4.3.3 - Modification des lois d’échelle pour la conception préliminaire
Pour effectuer la sélection d’un moteur électrique dans le cadre d’une conception
préliminaire, il est intéressant de disposer de :
J, l’inertie du moteur
τth, La constante de temps thermique
M, la masse du moteur
En fonction du couple du moteur C.
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
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124/134
L’inertie moteur et le profil de mission permettent d’évaluer le couple efficace Ceff et
de le comparer au couple permanent C du moteur. La constante de temps thermique permet de
comparer la dynamique du profil de mission à la dynamique thermique du moteur. La masse
est souvent un paramètre important de conception pour des applications embarquées.
Les tableaux suivants donnent l’évolution de ces différents paramètres en fonction du
couple moteur pour les géométries cylindriques et annulaires. Dans ces tableaux, la valeur
relative des dimensions est remplacée par celle du couple :
l * = C *1 / 3,5
Grandeur
Evolution
Inertie
J * = C *5 / 3,5 ≈ C *1, 43
Masse
M * = C *3 / 3,5 ≈ C *0,86
Volume
V * = C *3 / 3,5 ≈ C *0,86
Constante de temps thermique
τ th * = C *1 / 3,5 ≈ C *0, 29
Résistance thermique
Rth = C *2 / 3,5 ≈ C *0,57
*
Lois de similitude pour un moteur cylindriques à aimants permanents et à nombre de
pôles constant.
Grandeur
Evolution
Inertie
J * = C *4 / 3,5 ≈ C *1,14
Masse
M * = C *2 / 3,5 ≈ C *0,57
Volume
V * = C *2 / 3,5 ≈ C *0,57
Constante de temps thermique
τ th * = C *0 / 3,5 ≈ C *0
Résistance thermique
Rth = C *2 / 3,5 ≈ C *0,57
*
Lois de similitude pour un moteur annulaire à aimants permanents et à nombre de
pôles non constant.
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
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125/134
4.3.4 - Validation des lois d’échelles sur des gammes constructeurs
L’objectif est d’appliquer ces lois d’échelle sur des gammes constructeurs afin de
valider leur principe et d’en discerner les limites d’application.
Une base de données, a été constituée en relevant pour chaque moteur d’une gamme
les caractéristiques données dans le tableau suivant. Certaines caractéristiques ont pu aussi
être relevées sur les caractéristiques couple/vitesse en l’assimilant au gabarit simplifié de la
Figure 49.
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
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126/134
Grandeurs
Symboles
Unités
Diamètre moteur
D
m
Longueur
L
m
Couple à vitesse nulle en
N.m
CΩ0
régime permanent
Couple nominal en régime
Cnom
N.m
permanent
Couple à vitesse maximale
tr/min
CΩmax
Vitesse nominale
tr/min
Ωnom
Vitesse maximale
tr/min
Ωmax
Puissance nominale
Pnom
W
Constante de couple
K
N.m/A
Résistance de bobinage
R
Ω
Constante de temps thermique
s
τth
Résistance thermique
Rth
°C/W
Inertie du rotor
Jmot
kg.cm²
Masse du motor
Mmot
kg
Caractéristiques relevées dans les données constructeurs
C
CΩ0
Cnom
CΩmax
Ωnom
Ωmax
Ω
Figure 49 – Gabarit simplifié d’une courbe couple/vitesse
4.3.4.1 - Moteurs cylindriques : gammes PARVEX et DANAHER
Nous avons sélectionner différentes gammes de moteurs brushless cylindriques à
aimants permanents terre rare :
Gamme BH 4 et 6 pôles de chez Danaher ;
Gamme AKM 6 et 10 pôles de chez Danaher-Kollmorgen ;
Gamme NX 10 pôles de chez Parvex.
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
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127/134
Dans un premier temps nous vérifions les puissances des lois d’échelles à l’aide de
tracés logarithmiques et de courbes de tendances.
BH
Grandeur
4 pôles
Inertie
1,14
Masse
0,62
Constante de tps thermique 0,35
BH
6 pôles
1,39
0,76
0,37
AKM
6 pôles
1,41
0,76
0,46
AKM
10 pôles
1,60
0,70
0,32
NX
Valeur
10 pôles Moyenne
1,62
1,43
0,86
0.74
0,43
0,39
Valeur
théorique
1,43
0,86
0,29
Nous pouvons observé :
Un bon respect sur l’inertie ;
Un léger écart sur la masse : la théorie ne prend pas en compte les éléments
mécaniques comme la carcasse, les roulements ou les ventilateurs ;
Un écart plus important sur la constante de temps thermique mais l’ordre de grandeur
est respecté. De plus la puissance est faible et elle a donc moins d’importance sur l’évolution
de la grandeur.
Nous choisissons ensuite dans chaque gamme un moteur de référence (possédant un
diamètre médian sur la gamme). Nous appliquons les lois d’échelle théoriques, avec pour
entrée le couple moteur de chaque moteur, afin d’obtenir les volumes, masses, inertie et
constante de temps thermique. Pour chaque grandeur calculée nous calculons le taux d'erreur
à l’aide de la formule suivante :
Erreur =
Donnée
constructeur − Donnée
Donnée
calculée
constructeur
Série BH 4 pôles
Moteur de Référence BH-226-C(400V)
Umax
V(VAC)
480
Maxi
Mini
D
Mm
92
L
mm
315,4
V
mm3
6
2,09.10
Ωnom
Ωmax
CΩ0
r.p.m
7500
2500
r.p.m
7500
2500
N.m
15,8
0,7
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
Ωnom
Ωmax
CΩ0
r.p.m
4000
r.p.m
4000
N.m
5,6
Inertie Masse
Erreur %
%
140
96
0
0
11/04/08
Jmot
Kg-m2
0,000251
Mmot
Kg
7,6
τth
min
21
τth
%
22
0
128/134
Moyenne
Ecart type
6,25
5,29
34
40
23
27
7
8
Série BH 6 pôles
Moteur de Référence BH-624-C(400V)
Umax
V(VAC)
480
Maxi
Mini
Moyenne
Ecart type
D
mm
142
L
mm
367,8
V
mm3
6
5,82.10
Ωnom
Ωmax
CΩ0
r.p.m
4500
1250
r.p.m
4500
1250
N.m
93,5
14,6
38,4
22,8
Ωnom
Ωmax
CΩ0
rpm
3750
rpm
3750
N.m
25,2
Inertie
Erreur %
52
0
12
18
Masse
%
18
0
7
7
Jmot
Kg-m2
0,00203
Mmot
Kg
23,1
τth
min
33
τth
%
15
0
7
7
Série AKM 6 pôles
Moteur de Reference AKM21C(120V)
Umax
V(VAC)
480
Maxi
Mini
Moyenne
Ecart
type
D
mm
58
L
mm
86,2
Ωnom
Ωmax
CΩ0
r.p.m
4500
r.p.m
5630
N.m
0,48
Ωnom
Ωmax
CΩ0
r.p.m
8000
1800
r.p.m
8000
2210
N.m
1,42
0,18
0,65
Inertie
Erreur %
47
0
37
Masse
%
22
0
12
0,4
14
7
τth
Jmot
Kg-m2
1,1E-05
Mmot
Kg
8,2E-01
min
8,0E+00
Jmot
Kg-m2
3,4E-04
Mmot
Kg
4,2
min
20
τth
%
34
0
10
12
Série AKM 10 pôles
Moteur de Reference AKM51G(400V)
L
mm
127,5
Ωnom
Ωmax
CΩ0
r.p.m
6000
r.p.m
6000
N.m
4,8
Umax
V(VAC)
480
D
mm
108
Ωnom
Ωmax
CΩ0
Maxi
Mini
r.p.m
6000
1500
r.p.m
6000
1630
N.m
20,8
2
C6E2 – WP2 – INSA Toulouse
Inertie
Masse
Erreur %
%
43
25
0
0
11/04/08
τth
τth
%
24
0
129/134
Moyenne
Ecart type
8
5,4
24
12
10
7
8
7
Série NX 10 pôles
Moteur de Reference NX 630 EAK
N poles
Ωmax
CΩ0
10
rpm
2800
N.m
9,21
Maxi
Mini
Moyenne
Ecart type
D
mm
110
Ωnom
Ωmax
CΩ0
r.p.m
3700
1100
r.p.m
4000
1450
N.m
27,5
0,8
8,3
7,7
L
mm
210
Jmot
Kg-m2
0,00147
Inertie
Masse
Erreur %
%
45
19
0
0
21
8
12,0
6,3
Mmot
Kg
8,9
τth
min
33
τth
%
64
0
22
21,1
4.3.4.2 - Moteurs annulaires : gamme ETEL
La gamme de moteurs choisie est la TMB . Ce sont des moteurs couples annulaires à
grands nombres de pôles. Ces moteurs sont vendus frameless et peuvent être refroidis par eau.
Les valeurs de couple relevées correspondent cependant au refroidissement par air en
convection naturelle.
Dans un premier temps nous vérifions les puissances des lois d’échelles à l’aide de
tracés logarithmiques et de courbes de tendances :
Grandeur Coef mesuré
Inertie
1,41
Masse
0,50
Constante de
Tps thermique
0,02
Coef th.
1,14
0,57
0,00
Nous choisissons ensuite dans chaque gamme un moteur de référence (possédant un
diamètre median sur la gamme) et nous appliquons les lois d’échelle théoriques.
Moteur de Référence TMBO 210-070
Wmax
Rpm
900
Maxi
Mini
N poles(2p)
44
Cwo
N.m
64,6
D
m
0,23
L
M
0,11
Jmot
Kg-m2
0,02
Ωnom
Ωmax
CΩ0
r.p.m
1900
80
r.p.m
4700
320
N.m
290
8,65
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Mmot
Kg
14,2
Inertie
Erreur %
59
0
τTh
s
2000
Masse
%
75
0
Rth
K/W
0,317
τth
%
40
0
130/134
Moyenne
Ecart type
72,8
71,1
27
21
29
20
16
20
4.3.4.3 - Bilan
Nous avons relevé un maximum de 35 % d’erreur moyenne. Les relations sont donc
assez bien vérifiées dans l’ensemble. Les résultats sont donc encourageants, d’autant plus si
on les compare à la simplicité des modèles mis en jeu.
Les erreurs peuvent provenir du fait que les variations de dimension dans une gamme
ne sont pas parfaitement identiques dans toutes les directions. Un constructeur rationalise la
construction de ses moteurs et n’utilise qu’un minimum de tôles de diamètres différents et
joue sur la longueur de machine pour obtenir différents modèles. Les rapports diamètre sur
longueur peuvent donc varier dans une même gamme. Des lois d’échelle faisant apparaitre de
manière distincte le diamètre et la longueur pourraient être mis en place comme la fait [MUL]
mais empêcherait de faire un lien direct entre le couple et les autre caractéristiques.
En conventionnel cylindrique, on peut remarquer que :
la précision augmente avec le nombre de pôles ;
l’ordre de grandeur du couple massique est de 1 N.m par kg autour de 10 N.m ;
les vitesse sont limité généralement à 8000 tr/min pour des raisons mécaniques ou à
par la fréquence électrique (500 Hz maximum relevé ici) pour des raisons électriques
(onduleur ou pertes fers).
Pour les moteurs couples annulaires :
Les constantes de temps thermiques non variables sont bien vérifiées ;
l’ordre de grandeur du couple massique est 4 N.m par kg autour de 10 N.m ;
La vitesse est limitée par la fréquence électrique (800 Hz maximum) ou par la tension
d’alimentation (le constructeur désirant conserver les mêmes variateurs, l’augmentation du
couple passe par la diminution de la vitesse).
4.4 - Conclusions et perspectives
Les lois d’échelles ont prouvés par l’analyse de données constructrices qu’elles
pouvaient prédire les masses, raideurs, inerties de manière suffisamment précise pour une
conception préliminaire.
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