Cours et activités

CHAPITRE
Trigonométrie
Objectifs du chapitre.
Énigme du chapitre.
Voici un plan sommairement relevé par le géomètre Thalide.
B
30
6
282 m
366 m
C
A
D
Il veut mesurer les distances AD et DC . Malheureusement, le piquet qui se trouve en D est
en plein marécage !
Pour lui éviter d’y aller, calculer pour lui ces
distances.
— Connaître et utiliser les relations entre
le cosinus, le sinus ou la tangente d’un
angle aigu et les longueurs des deux des
côtés d’un triangle rectangle.
— Déterminer, à l’aide de la calculatrice,
des valeurs approchées :
— du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle aigu donné ;
— de l’angle aigu dont on connaît le
cosinus, le sinus ou la tangente.
I/ Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu
Activité A. Sinus et tangente d’un angle aigu, activité GeoGebra
\
1. Construction
O, M et N tel que l’angle M ON soit un angle aigu.
(a)
Créer trois points
(b)
Créer les demi-droites
(c)
Créer un point
(d)
la droite perpendiculaire à la demi-droite
(e)
le point
[ON ).
E , distinct de O, sur la demi-droite [OM ).
[ON ) passant par E .
H , intersection entre la droite construite en question 4 et la demi-droite
2. Calcul de rapports :
(a)
[OM ) et [ON ).
Créer les segments
[OH] ,[EH] et [OE ] et afficher leurs longueurs.
(b) Ouvrir la fenêtre « Algèbre » et le tableur.
(c) Entrer les titres OH , EH et OE dans les cellules A1, B1 et C1, puis entrer en A2, B2
et C2 les longueurs OH , EH et OE .
(d) Entrer le titre
OE
(e) Entrer le titre
OH
EH
EH
en D1 et la valeur correspondante
f
en E1 et la valeur correspondante
d
3. Conjecture :
e
e
en D2.
en E2.
\
E sur la demi-droite [OM ). Que remarque-t-on ?
(b) Modifier la mesure de l’angle M ON en déplaçant le point M (ou N ou O) puis déplacer
le point E sur la demi-droite [OM ). Que remarque-t-on ?
(a) Déplacer le point
(c) Que peut-on conjecturer au sujet du quotient
Conclusion :
— Le quotient
— Le quotient
EH
OE
EH
OH
EH
[[
OE
? Et au sujet du quotient
sin
[tan [
EH
OH
?
s’appelle le sinus de l’angle E OH . On le note
E OH .
s’appelle le tangente de l’angle E OH . On le note
E OH .
[
Activité B. Exprimer le sinus et la tangente dans un triangle rectangle
[ ]
[ ]
[[
Dans un triangle rectangle en A, AB est appelé côté adjacent à l’angle ABC ,
le côté opposé à l’angle ABC et BC est l’hypoténuse.
1. (a) Exprimer le sinus de l’angle
[
[
AC ] est appelé
ABC en fonction de AC et BC .
(b) Comment peut-on calculer le sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle ?
2. (a) Exprimer la tangente de l’angle
ABC en fonction de AB et AC .
(b) Comment peut-on calculer la tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle ?
3. Calculer le sinus et la tangente de chacun des angles
lorsque :
AB
cm AC
cm BC
=6
;
=8
;
[ [
ABC et ACB du triangle ABC
= 10 cm:
Définition
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté
adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
Exemple
Dans le triangle
ABC rectangle en A,
[
[
du côté adjacent à l’angle ABC
AB
cos ABC = longueurlongueur
=
de l’hypoténuse
BC
Définition
Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
Exemple
Dans le triangle
ABC rectangle en A,
[
[
AC
du côté opposé à l’angle ABC
=
sin ABC = longueurlongueur
de l’hypoténuse
BC
Définition
Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du
côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle.
Exemple
Dans le triangle
ABC rectangle en A,
[
[
AC
du côté opposé à l’angle ABC
tan ABC = longueur
=
longueur du côté opposé à cet angle
AB
Remarques
1. On peut retenir le mot imaginaire « SOHCAHTOA » pour se rappeler de ces formules.
[ [
2. Dans l’exemple précédent :
cos ABC = sin ACB
Faire les exercices 1 2 3 F 4 5 F 6 F
et
[ [
sin ABC = cos ACB:
II/ Propriétés
Activité C. Une autre formule pour la tangente
1. Conjecture
(a) En utilisant la calculatrice, calculer
Arrondir au centième.
sin42˚ et tan42˚.
cos42˚
(b) Reprendre la question 1(a) en choisissant une autre valeur, différente de
entre ˚ et ˚.
0
90
42˚et comprise
(c) Que constate-t-on ? Quelle conjecture peut-on faire ?
2. Démonstration On considère un triangle rectangle
ABC rectangle en B .
C
B
A
[[
(a) Pour démontrer la conjecture de la question 1, recopier et compléter :
sin BAC = = : : : : : : = : : :
::: ::: :::
cos BAC
tan BAC = :: :: :: :
:::
:::
[
:::
:::
(b) Conclure.
Activité D. Pythagore et la trigonométrie
1. Conjecture
(a) À l’aide de la calculatrice donner la valeur de
(sin48˚) + (cos48˚) .
2
2
(b) Reprendre la question 1(a) en choisissant une autre valeur, différente de
entre ˚ et ˚.
0
90
48˚et comprise
(c) Comparer les résultats avec votre voisin. Que constate-t-on ? Quelle conjecture peut-on
faire ?
2. Démonstration
On considère un triangle
ABC rectangle en B .
C
B
A
(a) Écrire l’égalité de Pythagore dans ce triangle.
[
[
AC 2 .
(b) Diviser les deux membres de l’égalité par
(c) En déduire que
(cos BAC ) + (sin BAC ) = 1.
2
2
Activité E. Encadrement du cosinus et du sinus d’un angle aigu
1. Conjecture
(a) En utilisant la calculatrice, donner la valeur arrondie au centième de
˚ et
˚.
cos59
cos89
cos15˚; cos37˚;
(b) En utilisant la calculatrice, donner la valeur arrondie au centième de
˚ et
˚.
sin65
sin84
sin14˚; sin39˚;
(c) Que peut-on conjecturer sur les valeurs du cosinus et du sinus d’un angle aigu ?
2. Démonstration
(a) Dans le triangle
ABC rectangle en A, justifier les inégalités :
0 < AB < BC
(b) Diviser les deux inégalités par
1(c).
et
0 < AC < BC:
BC . Démontrer ainsi la conjecture faite à la question
3. Et la tangente ?
Peut-on obtenir le même encadrement pour la tangente d’un angle aigu ? Justifier.
Propriété
Soit ABC un triangle rectangle en
[
A.
[
(sin ABC ) + (cos ABC ) = 1:
2
2
Exemple
˚2
(sin42 ) + (cos42˚) = 1.
2
Propriété
Soit ABC un triangle rectangle en
A.
[ [[
tan ABC = sin ABC :
cos ABC
Exemple
sin50˚:
tan50˚ = cos50
˚
Propriété
Soit ABC un triangle rectangle en
[
A.
0 < sin ABC < 1
et
Exemples
0 < sin52˚ < 1
2. 0 < cos72˚ < 1
1.
Faire les exercices 7 8 9 F 10 F
Problèmes :
Faire les exercices 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F
Vu au brevet :
Faire les exercices 16 F 17 F 18 F 19 F 20 F
[
0 < cos ABC < 1: