Licence Math-Info Exercices d'Arithmétique TD LMI2 Pascal Lefèvre / Maxime Bailleul 2 Exercices Arithmétique. 1 Révisions : Théorie élémentaire des ensembles Exercice 1.1 a) Ecrire la négation de la phrase suivante: La nuit, tous les chats sont gris." b)(on peut toujours rêver !") Un enseignant dit à ses étudiants: "Chaque étudiant qui fera tous ses exercices de TD aura 20." Les étudiants n'ayant pas fait leurs exercices reçoivent un 20. Est-ce illogique ? c) Dans un restaurant pour mathématiciens, un client choisit le menu avec fromage ou dessert". A la n du repas on lui sert un plateau de fromages et une tarte. Est-ce illogique? Exercice 1.2 Démontrons que dans une boîte de crayons de couleurs, tous les crayons sont de n ≥ 1 et Pn la même couleur. Soit la propriété Dans toute boîte contenant n crayons de couleurs, tous les crayons sont de la même couleur. n = 1, P1 Pour Supposons que est trivialement vraie. Pn est vraie, où n≥1 et considérons une boîte contenant n+1 crayons de couleurs. Retirons un crayon de cette boîte, nous avons maintenant une boîte contenant de couleurs. Comme Pn n crayons est vraie, tous ces crayons sont de la même couleur. On remet le crayon mis à l'écart pour en reprendre un autre. À nouveau, nous avons encore une boîte contenant crayons de couleurs et d'après Pn , n vraie, tous ces crayons sont de la même couleur. Ainsi, tous les crayons considérés sont de la même couleur. Pn+1 est vraie Où est le problème ? Donc Exercice 1.3 et, par récurrence, Pn est vraie pour tout n ≥ 1. Un facteur fait sa tournée. A part délivrer des lettres, il aime les jeux mathéma- tiques. Le mathématicien chez qui il arrive lui pose cette devinette : - J'ai trois lles. Le produit de leurs âges est 36 et leur somme est égale au numéro de la maison d'à côté, quels sont les âges de mes 3 lles ? Le facteur regarde la maison voisine et dit: - Mais, je ne peux pas vous répondre ! Le mathématicien est gêné, recalcule et s'écrie: - Ah oui... j'ai oublié de vous dire : mon ainée est blonde ! Quels sont les âges des 3 lles ? Exercice 1.4 Un groupe de N ≥2 personnes se réunit. Montrer qu'au moins deux personnes ont serré le même nombre de mains. On pourra séparer les deux cas suivants : soit tout le monde a serré au moins une main, soit il existe quelqu'un qui n'a serré aucune main. Exercice 1.5 Soit (P ) Que veut-elle dire? Ecrire sa négation. Exercice 1.6 Soient I (∃n ∈ N)(∀p ∈ N), p ≤ n. Laquelle des propositions (P ) ou la proposition suivante: un intervalle de R et f : I → R une fonction dénie sur I Exprimer à l'aide de quanticateurs les assertions suivantes : a) la fonction b) c) f f f non s'annule n'est pas une fonction constante ne prend jamais deux fois la même valeur (P ) est vraie? à valeurs réelles. 3 Exercices Arithmétique. f d) la fonction e) f) f f présente un minimum prend des valeurs arbitrairement grandes ne peut s'annuler qu'une seule fois. Exercice 1.7 dénie sur Soient I un intervalle de R non vide et f :I →R une fonction à valeurs réelles I. Exprimer les négations des assertions suivantes : ∀x ∈ I, f (x) 6= 0 b) ∀y ∈ R, ∃x ∈ I, f (x) = y c) ∃M ∈ R, ∀x ∈ I, |f (x)| 6 M d) ∀x, y ∈ I, x 6 y ⇒ f (x) 6 f (y) e) ∀x, y ∈ I, f (x) = f (y) ⇒ x = y f ) ∀x ∈ I, f (x) > 0 ⇒ x 6 0. a) Exercice 1.8 f1 , f2 , f3 trois fonctions de R dans R. Soient Traduire graphiquement les propriétés suivantes: (∀j ∈ {1, 2, 3})(∃a ∈ R), (∃j ∈ {1, 2, 3})(∀a ∈ R), c) (∃a ∈ R)(∀j ∈ {1, 2, 3}), d) (∀a ∈ R)(∃j ∈ {1, 2, 3}), a) b) Exercice 1.9 A, B Soient fj (a) = 1. fj (a) = 1. fj (a) = 1. fj (a) = 1. des parties de E. a) Trouver une condition nécessaire et susante pour que le problème A X ∈ P(E)" b) idem pour de E Soit A dans l'ensemble Soient , où A ∪ X = B. Exercice 1.10 f ∩X = B ait une solution puis le résoudre. A et B E . On appelle fonction caractéristique de A l'application f (x) = 0 si x ∈ / A et f (x) = 1 si x ∈ A. E , f et g leurs fonctions caractéristiques. Montrer que les une partie de {0, 1}, telle que: deux parties de fonctions suivantes sont les fonctions caracteristiques d'ensembles que l'on déterminera: 1 − f. b) f g . c) f + g − f g . a) Exercice 1.11 Soient Exercice 1.12 Soient f : E → F une application. Montrer que: a) f est injective si et seulement s'il existe g : F → E telle que g ◦ f = IdE . b) f est surjective si et seulement s'il existe g : F → E telle que f ◦ g = IdF . c) f est bijective si et seulement s'il existe g : F → E telle que g ◦ f = IdE et f ◦ g = IdF . E, F des ensembles et f : E → F et g : F → E deux applications telles que bijective. Montrer que Exercice 1.13 f et g sont bijectives. Décrire P(P({a})) où a désigne un élément. f ◦g◦f soit 4 Exercices Arithmétique. Exercice 1.14 Soient Exercice 1.15 Soient f une application de E dans F , A une partie de E et B −1 1)a) Montrer que ∀A ∈ P(E), A ⊂ f (f (A)). −1 b) Montrer que: [pour tout A ∈ P(E), f (f (A)) = A] ⇐⇒ f injective. −1 2)a) Montrer que pour tout B ∈ P(F ), f (f (B)) ⊂ B . −1 b) Montrer que: [pour tout B ∈ P(F ), f (f (B)) = B] ⇐⇒ f surjective. A, B des parties d'un que ∀X ∈ P(E), f (X) = (X ∩ A, X ∩ B). Montrer que : f injective ⇐⇒ A ∪ B = E . ensemble E. Soit une partie de f : P(E) −→ P(A) × P(B) F tel A quelle condition est-elle surjective ? Exercice 1.16 toute application E un ensemble non vide. Montrer que E est inni si et seulement si f : E → E , il existe A ⊂ E , non vide, distinct de E vériant f (A) ⊂ A. Soit pour Indication: pour cela, on pourra s'intéresser d'une part à une permutation sur un ensemble {f n (x)| n ∈ N∗ }. ni et d'autre part à un ensemble du type Exercice 1.17 Soit f (Olympiades 1977) ∗ une application de N dans Montrer que: N∗ telle que pour tout n de N∗ , on ait : ∀n ∈ N∗ , f (n) = n. Indication: on pourra montrer que pour tout n, x ≥ n ⇒ f (x) ≥ n. f (n + 1) > f (f (n)). 5 Exercices Arithmétique. 2 Relations Exercice 2.1 Prouver les armations laissées en exercice dans le cours: déf. de plus petit élément, borne inf.,...; partitions,... Exercice 2.2 l'inclusion. A et B deux parties d'un ensemble E . Déterminer sup({A, B}) et inf({A, B}). Exercice 2.3 si n divise Soient Soit x − y. n≥1 Exercice 2.4 Soient Exercice 2.5 Soit x un entier. On dit que Auquel cas , on note x ≡ y[n]. et y La relation d'ordre considérée est (deux entiers) sont congruents modulo n Montrer que c'est une relation d'équivalence. (E, ≤) et (F, ≺) deux ensembles ordonnés isomorphes par la bijection f (Cela signie que, ∀x, y ∈ E , on a: x ≤ y ⇔ f (x) ≺ f (y)). Soit X une partie de E admettant la borne supérieure b pour l'ordre sur E . Montrer que f (b) est la borne supérieure dans F de f (X) . I l'ensemble des intervalles fermés [a, b] de R (a ≤ b), ensemble ordonné par inclusion. a) Existe-t-il des éléments maximaux, minimaux? b) Montrer que sur I , on peut dénir sup{[a, b], [c, d]} pour toute paire d'intervalles. [a, b] et [c, d] doivent-ils vérier pour que l'on puisse dénir sur I c) Quelles conditions la borne inférieure de ces intervalles? Exercice 2.6 Soient E et F deux ensembles donnés. A toute partie X de E , on associe l'ensemble F(X, F ) des applications de X dans F . Soit Φ l'ensemble de ces applications: Φ = {f | f ∈ F(X, F ) et X ∈ P(E)}. 0 0 0 0 On dénit sur Φ la relation binaire suivante: f Rf ⇐⇒ X ⊂ X , où f ∈ F(X , F ) et f est la 0 restriction de f à X . Montrer que R est une relation d'ordre partiel. Quels sont les éléments maximaux de Φ pour cet ordre ? Exercice 2.7 On dénit une relation binaire 4 sur R+? par : x 4 y ⇔ ∃n ∈ N, y = xn Montrer que 4 est une relation d'ordre. Cet ordre est-il total ? 6 Exercices Arithmétique. 3 Ensembles nis, dénombrement. Exercice 3.1 Soient E = {1, . . . , n} et F = {1, . . . , p} Combien y a-t-il d'applications strictement croissantes de Exercice 3.2 X Soit E un ensemble à n n 6 p ∈ N. E vers F ? avec éléments. p éléments de E . Combien y a-t-il de parties Y de E disjointes de X ? b) Combien y a-t-il de couples (X, Y ) formés de parties a) Soit une partie à Exercice 3.3 n ∈ N? , Pour calculer A= E(n/2) P k=0 un système dont Exercice 3.4 que n P n p p p=0 A B et n 2k disjointes de ! et B = E E((n−1)/2) P k=0 ? n 2k + 1 ! en formant seraient solutions. Montrer que pour tout n∈N et tout p∈Z : p ! n =n p ! n−1 . p−1 En déduire ! Exercice 3.5 = n2n−1 . Calculer, pour tout n, p ∈ N, n X k=0 la somme p+k k ! Exercice 3.6 Démontrer la formule du crible (faire une récurrence). Exercice 3.7 Montrer que dans un ensemble inni, on peut trouver des parties de cardinal pour tout Exercice 3.8 E ni Soit Exercice 3.9 E ⇐: possède un élément maximal pour l'inclusion. considérer l'ensemble des parties nies. Soient (a1 , · · · , aN ) Exercice 3.10 un ensemble. Montrer ⇐⇒ ∀P ⊂ P(E), P 6= ∅, Indication: pour d'entiers n, n ∈ N. N un entier naturel non nul et tels que r∈N a1 + · · · + aN = r . Etablir les formules suivantes : a) p p+1 Cpp + Cp+1 + . . . + Cnp = Cn+1 . b) p−k Cnk · Cn−k = Cpk · Cnp . c) p−1 p−2 0 Cn0 · Cnp + Cn1 · Cn−1 + Cn2 · Cn−2 + . . . + Cnp · Cn−p = 2p Cnp . d) p−1 p−2 0 Cn0 · Cnp − Cn1 · Cn−1 + Cn2 · Cn−2 + . . . (−1)p Cnp · Cn−p =0 . Déterminer le nombre de N -uplets 7 Exercices Arithmétique. Exercice 3.11 a) Donner la forme algébrique de (1 + i)4n . b) En déduire les valeurs de : 2n X 4n (−1) 2k k=0 Exercice 3.12 Soit n k et 2n−1 X (−1) k k=0 un entier naturel; calculer n X 4n . 2k + 1 (Cnp )2 . p=0 Plus généralement, établir la formule de Vandermonde: min(k,n) X k−l l k Cn = Cm+n . Cm l=0 Exercice 3.13 Soient E et F deux ensembles de cardinal Déterminer le nombre de surjections démarche suivante. ∗ Montrer que pour d'un ensemble à n n≥k ≥1 on a f |E → F k X Cki Sni = k n , i=1 éléments sur un ensemble à i n et k (on suppose où Sni respectivement. n ≥ k ). On pourra suivre la désigne le nombre de surjections éléments. ∗ Montrer que les égalités précédentes peuvent être décrites par une égalité AX = Y , où A est une matrice d'ordre n × n et X et Y sont deux vecteurs. ∗ Montrer que A est inversible et que les coecients (bij ) de A−1 sont bij = (−1)i+j Cij . Expli−1 quer comment on pouvait trouver A ? k X ∗ Montrer que Snk = (−1)k+i Cki in i=1 8 Exercices Arithmétique. 4 Ensembles dénombrables Exercice 4.1 On considère l'application f (2n) = n f :N→Z et dénie pour tout entier n∈N par : f (2n + 1) = −(n + 1) Montrer que l'application est bijective (Z est donc dénombrable). Exercice 4.2 Montrer que l'ensemble des polynômes à coecients entiers est dénombrable. (Indication : Montrer tout d'abord que l'ensemble de ces polynômes de degré inférieur ou égal à d+1 d un entier xé s'injecte dans Z ). Exercice 4.3 [0, 1] n'est pas dénombrable. Pour cela, on commencera par construire [0, 1] dans {0, 1}N (l'ensemble des suites à valeurs dans {0, 1}): penser N à la décomposition triadique. Puis justier qu'il n'y a pas d'application surjective de N sur {0, 1} Montrer que une application surjective de (diagonale de Cantor"). Conclure. Preuve alternative: supposer que [0, 1] = {an |n ∈ N}. En coupant [0, 1] en trois, un des a0 , on choisit un de ces intervalles: I0 (on a donc de même a1 ∈ / I1 ⊂ I0 . Et ainsi de suite... Conclure. intervalles (deux le plus souvent) ne contient pas a0 ∈ / I0 ). On coupe I0 en trois et on a 9 Exercices Arithmétique. 5 Arithmétique élémentaire. √ Exercice 5.1 Pour Exercice 5.2 Montrer que Exercice 5.3 Montrer que pour chaque entier naturel Exercice 5.4 Trouver tous les entiers positifs a Exercice 5.5 Quel est le chire des unités de 2008200810 Exercice 5.6 Trouver deux nombres sachant que leur somme est x ∈ N, PPCM par leur PGCD est Exercice 5.7 montrer que x∈Q x si et seulement si est un carré dans N. ln(2) ∈ / Q. ln(3) n, 49 tels que divise a10 + 1 23n+3 − 7n − 8. est divisible par 10. ? ' 581 et que le quotient de leur 240. Montrer que : 1. Si un entier est de la forme 6k + 5, alors il est nécessairement de la forme 3k − 1, alors que la réciproque est fausse. 5k + 1 est aussi de cette forme. 3. Le carré d'un entier est de la forme 3k ou 3k + 1, mais jamais de la forme 3k + 2. 4. Le carré d'un entier est de la forme 4k ou 4k + 1, mais jamais de la forme 4k + 2 forme 4k + 3. 5. Le cube de tout entier est de la forme 9k , 9k + 1 ou 9k + 8. 2. Le carré d'un entier de la forme ni de la 6. Si un entier est à la fois un carré et un cube, alors c'est une puissance sixième, et il est de la forme 7k ou 7k + 1. Exercice 5.8 Montrer que Soient a et b premiers entre eux. a ∧ (a + b) = b ∧ (a + b) = 1 puis (a + b) ∧ ab = 1. Exercice 5.9 et Déterminer le pgcd des couples d'entiers suivants : b = 972. a = 1104 Exercice 5.10 et et b = 312. a = 1225 b = 1260. On souhaite trouver tous les couples (x, y) ∈ Z2 vériant l'équation 325x + 299y = 39. (E) 1) et a = 325 b Quel est le pgcd de 325 et 299 ? Simplier l'équation sont premiers entre eux. 2) 3) 4) 5) Trouver une relation de Bézout entre a En déduire une solution particulière de Trouver toutes les solutions de (E). Interprétation géométrique du résultat. Exercice 5.11 Montrer que 11 | 2123 + 3121 . b. (E). et (E) sous la forme ax + by = c où a 10 Exercices Arithmétique. Exercice 5.12 Montrer que pour tout n∈N : 3 6 | 5n + n 7 | 32n+1 + 2n+2 2n+1 c) 5 | 2 + 32n+1 8n d) 11 | 3 × 54 + 56n × 73 n e) 9 | 4 − 1 − 3n 2 n f ) 15 | 16 − 1 − 15n. a) b) Exercice 5.13 Résoudre l'équation en nombres entiers : Exercice 5.14 √ a) Pour (1 + √ n 2) = an + bn 2 a2n − 2b2n . En déduire que an n ∈ N, 315x + 273y = 63. montrer qu'il existe un couple unique (an , bn ) ∈ N2 tel que b) Calculer c) Exercice 5.15 et bn sont premiers entre eux. On souhaite trouver tous les q∈Z tels que 1 5q eiπ( 6 + 8 ) soit une racine neuvième de l'unité. 1) 2) Montrer que cela revient à résoudre 16k − 45q = 12 où q, k ∈ Z. Résoudre cette équation en utilisant la méthode des exercices précédents. Exercice 5.16 N Critères de divisibilité. ρ(N ) la somme des chires dans son écriture décimale. a) Montrer que N est divisible par 3 si seulement si ρ(N ) ≡ 0[3]. b) Montrer que N est divisible par 9 si seulement si ρ(N ) ≡ 0[9]. c) Justier que: pour savoir qu'un entier est divisible par 2, il sut de savoir que le dernier chire de son écriture décimale l'est; pour savoir qu'un entier est divisible par 4, il sut de savoir Soit un entier naturel. On note que le nombre obtenu avec les deux derniers chires de son écriture décimale l'est; pour savoir qu'un entier est divisible par 8, il sut de savoir que le nombre obtenu avec les trois derniers chires de son écriture décimale l'est;... d) Montrer que N est divisible par 11 si seulement si la diérence entre la somme des chires de rang pair dans son écriture décimale et la somme des chires de rang impair est divisible par 11. e) Application: calculer Exercice 5.17 Soit n≥1 √ 20082008 3 1 +i . 2 2 un entier. Déterminer le nombre de diviseurs de ce nombre est impair si et seulement si Exercice 5.18 n est un carré. (p, q) ∈ N. Montrer que 2p − 1 et 2q − 1 alors n est premier. Étudier la réciproque Exercice 5.19 En déduire que Nombres de Mersenne Soient premier, n. Nombres parfaits pairs. 2pq − 1. n = 11. divisent pour En déduire que si On appelle nombre parfait tout entier N 2n − 1 est égal à la somme de ses diviseurs autres que lui-même (par exemple 6 = 1 + 2 + 3). ∗ Soit n ∈ N , on note σ(n) la somme de tous les diviseurs de n. αr 1 1) Soit n ∈ N∗ , on suppose que n = pα 1 · · · pr est sa décomposition en produits de nombres premiers. Montrer que σ(n) = [1 + p1 + · · · + pα1 1 ] · · · [1 + pr + · · · + pαr r ] 11 Exercices Arithmétique. σ(n) En déduire une expression de en fonction des diviseurs premiers de n et de leur ordre de multiplicité. 2) 3) 4) n+1 2 sont premiers entre eux, alors σ(ab) = σ(a).σ(b). n+1 Soit n ∈ N, montrer que si 2 − 1 est premier alors 2n (2n+1 − 1) est parfait. n n+1 Montrer que, réciproquement, tout nombre parfait pair N s'écrit N = 2 (2 En déduire que, si −1 a b et − 1) où est premier. (Indication : on écrira N = 2r .m avec r≥1 et m impair) Remarque : le problème de déterminer les nombres parfaits impairs est ouvert. En fait, on ne sait même pas s'il en existe. Exercice 5.20 où Soit ϕ m ∈ N \ {0}. a) Calculer ϕ(pα ) si la fonction caractéristique d'Euler : p est premier et α ≥ 1. b) Montrer que si n ∧ m = 1 alors ϕ(nm) X = ϕ(n)ϕ(m). c) Soit n ≥ 1 un entier. Montrer que ϕ(d) = n. ϕ(m) = #{1 ≤ k ≤ m| k ∧ m = 1} En déduire ϕ(m). d|n d) En déduire det[i ∧ j]1≤i,j≤n . Exercice 5.21 Montrer qu'un entier Exercice 5.22 Montrer que Exercice 5.23 Formule d'inversion de Möbius: Pour tout entier produit de r f et ϕ(n) =0 n g X est premier si et seulement si et lim µ(n) = (−1)r si n s'écrit remarque que µ(1) = 1. µ(n) = 0 sinon. On µ(d). 1≤d≤n d|n deux fonctions dénies sur N à valeurs complexes. 2) Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes: i) Pour tout n ≥ 1, f (n) = on a X g(d). 1≤d≤n d|n ii) Pour tout n ≥ 1, on a g(n) = X 1≤d≤n d|n 3) En déduire que X 1≤d≤n d|n Exercice 5.24 quand x On admet le théorème des nombres premiers: p| p premier ,1 ≤ p ≤ x ∼ tend vers l'inni. En déduire a) pn ∼ n ln(n). b) dn ∼ x, ln(n) 1<n≤x c) lim X n µ( )f (d). d n dµ( ) = ϕ(n). d card où dn est l'écart dn dn ≤ 1 ≤ lim . ln(n) ln(n) ϕ(p) = p − 1. ϕ(n) = 1. n on considère la fonction dénie par entiers premiers distints; et 1) Calculer Soient n ≥ 1, lim p≥2 pn+1 − pn . x ln(x) comme 12 Exercices Arithmétique. R+ . d) L'ensemble des quotients de deux nombres premiers est dense dans pourra montrer que pour tout α > 0, on peut trouver une suite croissante d'entiers pas strictement croissante a priori !) telle que Exercice 5.25 1 ≤ k ≤ p, on a a1 , . . . , a p (nj )j (mais pnj ∼ αj . m1 , . . . , mp Résoudre le problème chinois généralisé: soient entre eux deux à deux. Soient Indication: on des entiers premiers x tels que, des entiers. Trouver tous les entiers pour tout x ≡ ak [mk ]. {a1 b1 M1 + . . . + ak bk Mk + N M | N ∈ Z}, Mi modulo mi . Indication : montrer que l'ensemble des solutions est où Mi = Y mj ; M = Y mj bi et est l'inverse de j j6=i Exercice 5.26 x̄ (Examen 2007). Dans tout le sujet, la notation désigne la classe de x dans l'ensemble quotient considéré. I] Soit p un nombre premier impair. On se place dans On considère S l'ensemble des racines du polynôme S est inférieur à d. 2 K = a | a ∈ Z/pZ est Z/pZ. X d − 1̄. On notera d= p−1 · 2 On rappelle qu'en raison du degré, le cardinal de Enn Z/pZ. 1)a) Montrer que l'application χ : 0, . . . , d → K , qui à un entier x p+1 · b) En déduire que card(K) = 2 2) Montrer que K \ {0̄} ⊂ S . En déduire que K = {0̄} ∪ S . 3) Montrer que −1 est un carré dans II] On introduit l'ensemble que l'ensemble E l'ensemble des carrés dans E Z/pZ si et seulement si associe x̄2 , est bijective. p ≡ 1[4]. des nombres premiers congrus à 1 modulo 4. On veut montrer est inni. On suppose qu'il est ni et on note 1) Justier l'existence de n = max E , puis on dénit n. 2) Montrer qu'il existe un nombre premier impair 3) Montrer que N = (n!)2 + 1. p divisant N. p ∈ E. 4) Conclure. Exercice 5.27 Résoudre le système suivant : Exercice 5.28 (mod 15) (mod 28) On se propose de montrer qu'il existe une innité de nombres premiers con- grus à 3 modulo 4. {p x≡2 x≡8 premier tel que Par l'absurde on suppose qu'il y en a un nombre ni et on pose p ≡ 3 (mod 4)}. Posons N =4 Q A = p∈A p − 1. 1) Montrer que A est non vide. 2) Montrer que N ≡ 3 (mod 4) et N 6∈ A. 3) Montrer que les facteurs premiers de N sont congrus à 1 ou 3 modulo 4. peuvent pas tous être congrus à 1 modulo 4. 4) Conclure. Justier qu'ils ne 13 Exercices Arithmétique. Exercice 5.29 On se propose de montrer qu'il existe une innité de nombres premiers congrus à 5 modulo 6. Par l'absurde, on suppose qu'il y en a un nombre ni et on pose A = {p premiers ,p≡ 5[6]}. A est non vide. A = {p1 , .., pr } avec r ≥ 1. 1) Montrer que On note donc q N = (6p1 ..pr ) − 1. N ≡ 5[6]. 2a) Montrer que 2b) Soit Posons un nombre premier divisant N, montrer que q est congru à 1 ou 5 modulo 6. N 2c) Montrer qu'il existe au moins un diviseur premier de congru à 5 modulo 6. 3) Conclure. Exercice 5.30 Soit m Soit p un nombre premier. On a vu que xp−1 = 1̄ pour tout x ∈ Z/pZ, non nul. un entier. p−1 xm . 1) Montrer que, si X 2) Calculer m ne divise pas alors il existe a ∈ Z/pZ tel que am ∈ / {0̄, 1̄}. x∈Z/pZ Exercice 5.31 Pour n ∈ N, 1) On suppose dans cette question 1a) Montrer que (Fn − 1)2 n Fn = 22 + 1. que 0 ≤ n < m. on pose m−n = Fm − 1. 1b) En déduire l'existence d'un entier relatif v tel que Fm + v × Fn = 2. 1c) Montrer que Pgcd(Fm ,Fn )=1. 2) Retrouver à l'aide de la question Exercice 5.32 Soit n≥1 1) l'existence d'une innité de nombres premiers. un entier. On dénit le polynôme cyclotomique Φd (X) = Y X −e 2ikπ d . 1≤k≤d k∧d=1 Montrer que Xn − 1 = Y Φd . d|n Exercice 5.33 Nombres de Carmichaël. on a pour tout entier a: n divise an − a. Le (petit) théorème de Fermat arme que si On appelle nombre de Carmichaël un entier n premier, n ayant la même propriété. On qualie cet entier de menteur de Fermat si de plus cet entier n'est pas un nombre premier: ainsi 561 est un menteur de Fermat. On peut le vérier avec le critère suivant que l'on se propose de démontrer. I] On va démontrer le n théorème de Korselt: n est un nombre de Carmichaël si et seulement si est sans facteur carré et pour tout diviseur premier de 1) Soit n n, p − 1 n − 1. premier p divise est un nombre de Carmichaël. On considère un nombre n 2 a)i) Justier que (p + 1) ≡ 1[p ]. 2 ii) En déduire que p ne divise pas n. Indication: remarquer que (p b)i) Soit qui divise n. + 1)n ≡ p + 1[n]. a ≥ 2. an−1 ≡ 1[p] pour tout entier 1 ≤ a ≤ p − 1. ii) Montrer que p − 1 divise n − 1. Indication: faire la division euclidienne. 2) Réciproquement: On suppose que n = p1 . . . pr , où les pi sont tous distincts n i) Montrer que pour tout a ∈ Z, a ≡ a [pi ]. i) Justier que et r ≥ 2. ii) Conclure. II] Montrer que les menteurs de Fermat ont au moins trois facteurs premiers distincts.