Éléments de correction. Exercice 1. Dans l’algorithme ci-dessous, P est un entier naturel. Algorithme 0 −→ N 1, 5 −→ U Entrer P Tant que u < 10p N + 1 −→ N U 2 −→ U Fin tant que Afficher N 1) La valeur entrée par l’utilisateur est stockée dans la variable P . 2) L’expression de un+1 en fonction de un est : un+1 = u2n avec u0 = 1, 5. La suite (un ) n’est pas 3 9 81 u1 3 u2 9 géométrique. En effet : u0 = ; u1 = et u2 = . Ainsi on constate que = = 6 = . Il 2 4 16 u0 2 u1 4 n’y a donc pas de raison constante. 3) Quand on exécute l’algorithme avec P = 80, la variable affichée est N = 9, cela signifie que pour tout n > 9 on a un > 1080 . 4) La limite de (un ) semble donc être +∞ : lim un = +∞. n→+∞ Exercice 2. 1) On veut écrire l’algorithme permettant de répondre au problème suivant : L’utilisateur entre un nombre entier n. L’algorithme calcule la somme Sn des carrés des entiers naturels entre 0 et n. L’algorithme affiche la valeur Sn . Analyse : il y a deux variable évidentes, n qui est un entier et S, qui est a priori un réel. On devine qu’il va y avoir une boucle, et donc une troisième variable i, également un entier. Algorithme Variables : n et i entiers, S réel. 0 −→ S 1 −→ i Entrer n Pour i allant de 1 à n S + i2 −→ S i + 1 −→ i Fin Pour Afficher S 2) En programmer cet algorithme sur la calculatrice (ou un ordinateur), on montre que Sn ≥ 1000 si n ≥ 14 : en effet S13 = 819 et S14 = 1015. 3) Défis facultatif : On admet que Sn = an3 + bn2 + cn. Or on calcule les valeurs suivantes : 3 2 a+b+c=1 a × 1 + b × 1 + c × 1 = 1 S1 = 1 3 2 8a + 4b + 2c = 5 S2 = 5 ⇔ a × 2 + b × 2 + c × 2 = 5 ⇔ 3 2 27a + 9b + 3c = 14 a × 3 + b × 3 + c × 3 = 14 S3 = 14 a = 1 − b − c a = 1 − b−c a = 1 − b − c 8a + 4b + 2c = 5 ⇔ 8(1 − b − c) + 4b + 2c = 5 ⇔ 8 − 4b − 6c = 5 ⇔ 27 − 18b − 24c = 14 27(1 − b − c) + 9b + 3c = 14 27a + 9b + 3c = 14 a = 1 − b − c a = 1 − b − c a = 1 − b − c − 4b − 6c = −3 ⇔ b = 0, 75 − 1, 5c ⇔ 4b + 6c = 3 ⇔ 18 × (0, 75 − 1, 5c) + 24c = 13 18b + 24c = 13 − 18b − 24c = −13 1 c= 6 a = 1 − b − c 1 ⇔ b = 0, 75 − 1, 5c ⇔ b = 2 13, 5 − 3c = 13 a = 1 3 1 3 1 2 1 2n3 + 3n2 + n n (2n2 + 3n + 1) n (2n + 1) (n + 1)) On a donc Sn = n + n + n = = = 3 2 6 6 6 6