Algèbre - Espaces vectoriels

Septembre 2015
Kloeckner
M1 Meef mathématiques Upec
Algèbre - Espaces vectoriels
Problème 1
Préambule : systèmes linéaires
1. Donnez un exemple de système linéaire de 2 équations à 3 inconnues.
2. Écrivez ce dont vous vous souvenez concernant la questions suivante :
combien de solutions a un système linéaire de n équations avec p
inconnues ? 3. Pour chacun des systèmes linéaires suivants, donner le nombre d'équations et le nombre d'inconnues puis le résoudre sur R :
(
2x + y
(S1 ) :
x + 2y
=1
= −1
(
x+y+z
(S2 ) :
x−y+z
(
x+y+z
(S4 ) :
x+y+z
Problème 2
=1
=0


2x + y
(S5 ) : x + 2y


x+y
=1
=0


x + y
(S3 ) : x + 2y


2x + y
=1
=2
=3
=1
= −1
=0
Espaces vectoriels et sous-espaces
Partie 1 (Dénitions et exemples) On note K l'un des corps R ou C.
1. Rappelez la dénition d'un K-espace vectoriel. Donnez deux exemples.
2. Soit E un K-espace vectoriel. Rappelez la dénition d'un sous-espace
vectoriel de E . Pour chacun des exemples de la question précédente,
donnez deux exemples de sous-espaces.
3. Parmi les ensembles suivants, lesquels sont des sous-espaces vectoriels
de R3 ?
A = R2
B = R3
C = {(x, y, z) ∈ R3 | x + 2y − z = 0} D = {(x, y, z) ∈ R3 | x + 2y − z = 1}
F = {(x, y, z) ∈ R3 | xy + z = 0}
G = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 − 2y + y 2 = 0}
1
Partie 2 (Opérations) Soit E un K-espace vectoriel.
1. Soient F, G des sous-espaces de E . L'intersection F ∩G est-elle un sousespace vectoriel de E ? L'union F ∪ G en est-elle un ? Qu'en est-il des
unions et des intersections d'un nombre quelconque de sous-espaces ?
2. Soit A une partie de E . Rappelez la dénition du sous-espace engendré
par A. Donnez un exemple.
3. Rappelez la dénition de la somme F + G de deux sous-espaces F, G
de E . Donnez un exemple explicite. Montrez que l'opération de somme
des sous-espaces est associative et commutative.
4. Rappelez la dénition de l'expression F et G sont en somme directe . Donner un exemple de deux sous-espaces de R3 qui sont en
somme directe, et de deux sous-espaces qui ne le sont pas.
5. Rappelez la dénition d'un supplémentaire d'un sous-espace vectoriel
F de E . On considère le sous espace F = {(x, 0, 0) | x ∈ R} de R3 :
donnez un exemple de sous-espace de R3 qui est en somme directe
avec F mais qui n'en est pas un supplémentaire.
Problème 3
Bases, espaces de dimension nie
On considère E un espace vectoriel sur K = R ou C.
Partie 3 (Familles nies) Soit F = (x , x , . . . , x ) une famille nie de
1
2
k
vecteurs de E .
1. Rappelez ce que signie F est libre . Donnez un exemple de famille
libre de R3 , et un exemple de famille liée.
2. Rappelez ce que signie F est génératrice . Donnez un exemple de
famille génératrice de R3 , et un exemple de famille qui ne l'est pas.
3. Rappelez ce que signie F est une base . Donner deux exemples
de bases de R3 .
4. Rappelez ce que sont les coordonnées d'un vecteur dans une base.
Pour chacun de vos exemples à la question précédente, calculer les
coordonnées du vecteur (1, 1, 1).
Partie 4 (Espaces de dimension nie) On dit que E est de dimension
nie s'il admet une famille nie génératrice. Dans ce cas il admet des bases,
qui ont toutes le même nombre d'élément, appelé la dimension de E et noté
dim E .
1. Donner un exemple de sous-espace de R3 de dimension 2. Donner un
exemple d'espace vectoriel qui n'est pas de dimension nie.
2
2. Que peut-on dire d'une famille de E :
(a) ayant strictement plus de dim E éléments ?
(b) ayant strictement moins de dim E élément ?
(c) libre et ayant exactement dim E éléments ?
(d) génératrice et ayant exactement dim E éléments ?
3. Qu'appelle-t-on le rang d'une famille de vecteurs de E ? Déterminer
le rang de la famille ((1, 2, 3), (4, 5, 6), (3, 3, 3)) de R3 .
4. On suppose que F, G sont des sous-espaces de E .
(a) Montrer que si F ⊂ G, alors dim F 6 dim G ;
(b) montrer que si F ⊂ G et dim F = dim G, alors F = G ;
(c) que peut-on dire en général de dim(F + G) ?
3