Nombres relatifs I. Somme et différence de nombres relatifs (rappels de 5ème) Règle • La somme de deux nombres relatifs de même signe est le nombre qui a : - pour signe le signe commun ; - pour distance à zéro la somme des distances à zéro des deux nombres. • La somme de deux nombres relatifs de signes différents est le nombre qui a : - pour signe le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ; - pour distance à zéro la différence des distances à zéro des deux nombres. je garde le signe même signe j’additionne + signes différents je garde le signe du « plus grand » je soustrais Exemples 3 + ( −5 ) = −2 ( −3 ) + 7 = 4 ( −4 ) + ( −2 ) = −6 12 + ( −7 ) = 5 −2 + ( −4 ) = −6 −8 + 10 = 2 Propriété Soustraire un nombre, c’est additionner son opposé. Exemples 5 − 9 = 5 + ( −9 ) = −4 6 − ( −12 ) = 6 + 12 = 18 −8 − 15 = −8 + ( −15 ) = −23 −9 − ( −7 ) = −9 + 7 = −2 II. Produit de nombres relatifs Règle Le produit de deux nombres relatifs est positif si les deux nombres sont de même signe ; il est négatif si les deux nombres sont de signes différents. Sa distance à zéro est égale au produit des distances à zéro des deux facteurs. Exemples ( −7 ) × 8 = −7 × 8 = −56 3 × (−4) = −3 × 4 = −12 ( −4 ) × (−6) = 4 × 6 = 24 Règle des signes −2 × (−13) = 2 ×13 = 26 + × + → + − × − → + + × − → − − × + → − Remarques - Le produit d’un nombre par 0 est égal à 0. - Le produit d’un nombre par 1 est égal à lui-même. - Le produit d’un nombre par (-1) est égal à son opposé. Pour tout nombre a , on a Exemples a×0 = 0× a = 0 a × 1 = 1× a = a a × ( −1) = ( −1) × a = −a 0 × ( −5) = 0 (Attention : le signe de −a dépend du signe de a .) 1× ( −5 ) = −5 ( −1) × (−5) = 5 Règle Le produit de plusieurs nombres relatifs est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair ; il est négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair. Exemples 2 × ( −3) × ( −2 ) × 4 = 2 × 3 × 2 × 4 = 48 ( −3) × 2 × ( −1) × ( −2 ) × 3 = −3 × 2 ×1× 2 × 3 = −36 III. Quotient de nombres relatifs Définition On le note Le quotient de a par b (avec b ≠ 0 ) est le nombre qui, multiplié par b , donne a . a ou a ÷ b . b a ×b = a b Exemples Le nombre x qui vérifie l’égalité x × ( −3) = −5 est Le nombre x qui vérifie l’égalité 7 x = −1 est Remarques - Pour tout nombre a , on a −1 . 7 −5 . −3 a = a. 1 - Pour tout nombre b non nul, on a 0 b = 0 et = 1 . b b - On ne peut pas diviser par 0. Exemples −8 = −8 1 Définition Soit x un nombre non nul. −3 =1 −3 0 =0 7 L’inverse de x est le nombre qui, multiplié par x , donne 1. C’est donc le quotient 1 × x =1 x 1 noté au aussi x −1 . x Exemples 1 soit 0,5. 2 1 L’inverse de −3 est − . 3 1 L’inverse de est 2. 2 1 L’inverse de − est −3 . 3 L’inverse de 2 est 1 × 2 = 1 2 1 − × ( −3 ) = 1 3 Règle Diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse. a 1 = a× Pour tous nombres a et b (avec b non nul) b b Démonstration Exemple 1 a 1 a× = ×b× b b b a = ×1 b a = b a × b = a (définition du quotient) b 1 car b × = 1 (définition de l'inverse) b car −3 1 = −3 × = −3 × 2 = −6 0,5 0,5 Règle Le quotient de deux nombres relatifs est positif si les deux nombres sont de même signe ; il est négatif si les deux nombres sont de signes différents. Sa distance à zéro est égale au quotient des distances à zéro des deux nombres. Remarques La règle des signes est la même pour la multiplication et la division. Exemples 3 ÷ ( −2 ) = −3 ÷ 2 = −1,5 1 −1 ÷ 3 = − ≃ 0,333 3 2 2 = − ≃ −0, 286 −7 7 −8 8 = =2 −4 4 valeur exacte valeur approchée