Chapitre X : Torseurs

Chapitre X : Torseurs
Après une étude attentive de ce chapitre, vous serez capable
de :
• définir une application linéaire symétrique ou antisymétrique
• définir la matrice d’une application linéaire et de trouver ses
valeurs propres.
• effectuer les opérations de dérivation des vecteurs.
• énoncer les principales propriétés des torseurs
• montrer que le champ des vitesses d’un solide en mouvement est
un torseur
Mathématiques pour les Sciences Physiques
122
I Applications linéaires
1°- Définition
Soit f une application de E3 dans E3 . f est linéaire si :
∀ u, v ∈ E3 ,
f(u+v)=f(u)+f(v)
∀ λ ∈ R , ∀ u ∈ E3 ,
f(λu)= λ f(u)
2°- Matrice d’une application linéaire
Soit (e 1 , e 2 , e 3 ) une base orthonormée directe de E3 et f une
application linéaire de E3 dans E3
3
Soit u ∈ E , on peut écrire : u = ∑ ui e i
3
i =1
D’après la linéarité de f on peut écrire :
 3
 3
f ( u) = f  ∑ ui e i  = ∑ ui f ( e i )
 i =1
 i =1
Ainsi, pour connaître l’application linéaire f, il suffit de connaître les
images par f de chacun des vecteurs de base.
3
En notant : f ( e j ) = ∑ a ij e i , on peut écrire la relation précédente
i =1
sous forme matricielle pour obtenir la matrice colonne de f(u) sur la
base (e 1 , e 2 , e 3 ):
a 11
[ f (u)] = a 21
a13
a12
a 22
a 23
a13   u1 
 
a 23  u2  ou
a 33  u 3 
[ f (u )] = A[ u]
La matrice A associée à f est la matrice dont les colonnes sont les
coordonnées dans la base (e 1 , e 2 , e 3 ) des images de e 1 , e 2 et e 3 .
Torseurs
123
3°- vecteurs propres et valeurs propres
Un vecteur non nul u de E3 est un vecteur propre de f si il
existe λ tel que :
f ( u) = λu
λ est la valeur propre associée à u.
Pour trouver les valeurs propres d’une application linéaire, il suffit de
résoudre f ( u) − λu = 0 avec u≠0, ce qui s’écrit matriciellement :
a11

a 21
a13
a12
a 22
a 23
 u1  0
a13   u1 
 
   
a 23  u 2  − λu2  = 0
u 3  0
a 33   u3 
  a11

soit :  a 21
 a
  13
a12
1 0 0  u1   0
a13 


    
a 23  − λ0 1 0 u2  =  0
0 0 1 u 3   0
a 33 
a 22
a 23
ceci ne pouvant être réalisé avec (u1 , u2 , u3 ) ≠ (0,0,0) qu’en annulant
le déterminant de ce système, c’est à dire en annulant le polynôme
caractéristique de f :
det( A − λI) = 0
4°- Applications symétriques et antisymétriques
Soit h une application de E3 dans E3 .
h est symétrique si
∀ u, v ∈ E3
u⋅⋅h(v)=v⋅h(u)
h est antisymétrique si
∀ u, v ∈ E3
u⋅⋅h(v)=-v⋅h(u)
propriétés : une application
nécessairement linéaire.
symétrique
ou
antisymétrique
est
124
Mathématiques pour les Sciences Physiques
5°- Propriétés des applications linéaires symétriques
Soit hs une application symétrique (et donc linéaire) de E3 dans
E . Notons AS la matrice de hs dans une base orthonormée directe (e 1 ,
e 2 , e 3 ).
3
n AS=ASt où ASt est la matrice transposée
 a11 q

matrice de hs est symétrique : A S =  q a 22
 r
s
de AS. Autrement dit, la
r 

s 
a 33 
n Les valeurs propres de hs sont réelles.
n Il existe au moins une base orthonormée constituée de vecteurs
propres de hs . Dans cette base, la matrice de hs est diagonale :
λ1

0
 0
0
λ2
0
0

0
λ3 
Remarque : quand on effectue la recherche des valeurs propres et des
vecteurs propres d’une application linéaire et que l’on exprime sa
matrice dans une base propre (c’est-à-dire une base constituée de
vecteurs propres), on dit que l’on diagonalise l’opérateur.
n enfin, si hs est une application linéaire symétrique définie positive,
c’est-à-dire si :
∀ u ∈ E3
, u⋅hs (u)>0
alors les valeurs propres de hs sont strictement positives.
6°- Propriétés des applications linéaires antisymétriques
Soit ha une application antisymétrique (et donc linéaire) de E3
[ ]
dans E3 . Notons A A = a ij
la matrice de ha dans une base
orthonormée directe (e 1 , e 2 , e 3 ).
L’antisymétrie de ha conduit à :
∀ i, e i ⋅ha (e i )=- e i ⋅ha (e i ), soit aij =0
∀ i,j , e j⋅ha (e i )=- e i ⋅ha (e j), soit aij =-aji
Torseurs
125
La matrice de ha s’écrit donc : A A
 0

=  r3
 − r2
r2 

− r1  et on peut
0 
− r3
0
r1
vérifier alors la propriété fondamentale :
 0

∀ u ∈ E 3 , [ha ( u) ] = A A [u ] =  r3
− r2
− r3
0
r1
r2   u1   r1   u1 
     
− r1  u2  =  r2  × u2 
0  u 3   r3  u 3 
On voit qu’il existe un unique vecteur R de E3 appelé vecteur de
l’application linéaire antisymétrique qui permet d’écrire :
∀ u ∈ E 3 , ha (u ) = R × u
7°- dérivation composée des vecteurs
En physique, pour décrire l’évolution spatio-temporelle des
objets étudiés (mobiles, champs, etc.) on utilise un repère spatial
matérialisé par des axes de coordonnées et
x3
un repère temporel ou chronologie.
L’ensemble est appelé référentiel.
M
Ainsi, un événement se produisant
en M dans un référentiel R est repéré par
trois coordonnées spatiales (x 1 , x 2 , x 3 ) et
une coordonnée temporelle t, soit un
quadruplet (x 1 , x 2 , x 3 , t)
Considérons deux référentiels
R et R’ en mouvement relatif et soit u
un vecteur fixe de R’, c’est à dire
dont les coordonnées (x 1 ’, x 2 ’, x 3 ’) ne
dépendent pas de t. La dérivée de u
par rapport à R’ est nulle :
 du 
  =0
 dt  R '
e1
e3
O
x2
e2
x1
x3
x3 ’
u
x2 ’
e1
x1
e3
O
x1’
e2
x2
126
Mathématiques pour les Sciences Physiques
Nous cherchons à étudier le mouvement de u par rapport à R,
c’est-à-dire en pratique à calculer la dérivée temporelle de u dans R.
Celle ci est a priori non nulle puisque R’ est en mouvement par
rapport à R.
A l’aide des coordonnées, nous avons :
 dx 1 
 dt 
 du    dx2 

   = 
dt
dt



R
 dx 3 
 dt 
mais nous cherchons une méthode plus efficace de calcul.
Considérons l’application φ qui à un vecteur u fixe de R’ associe sa
 du 
dérivée par rapport à R : φ : u a  
 dt  R
Soient maintenant u, v deux vecteurs fixes de R’. Le produit scalaire
d
dv
du
( u • v ) R = 0 = u • + v • , ce qui
u⋅⋅v est une constante. Donc
dt
dt
dt
avec l’application φ s’écrit : u • φ(v ) = − v • φ( u )
Ceci montre que l’application φ est antisymétrique. Il existe donc un
unique vecteur Ω tel que : φ(u)=Ω
Ω ×u.
 du 
Soit :   = Ω × u .
dt R
Le vecteur Ω s’appelle le vecteur rotation de R’ par rapport à R
Généralisation : Etudions maintenant le cas d’un vecteur u mobile par
rapport à R’ et a priori aussi par rapport à R.
Nous avons : u = x1, e 1, + x 2, e ,2 + x 3, e ,3
Torseurs
127
donc :
(
d , ,
 du 
  =
x e + x 2, e ,2 + x 3, e ,3
 dt  R dt 1 1
)
 dx1, , dx 2, , dx 3, ,   , de ,1
de ,2
de ,3 
,
,

= 
e1 +
e +
e  +x
+ x2
+ x3
dt 2 dt 3   1 dt
dt
dt 
 dt
Le première parenthèse est la dérivée de u par rapport à R’, tandis que
la seconde représente la dérivée par rapport à R d’un vecteur fixe de
R’, quantité dont nous maîtrisons maintenant le calcul.
On en déduit la formule fondamentale :
 du 
 du 
  =   +Ω × u
 dt  R  dt  R '
II Torseurs
1°- Définition
Soit V un champ de vecteurs, c’est-à-dire une application de
l’espace affine euclidien E3 (ou d’une partie de E3 ) dans l’espace
vectoriel E3 :
V: E 3 → E 3
M a V( M )
Le champ de vecteurs V est antisymétrique si il existe un
vecteur R tel que :
∀ P, M ∈ E 3 ,
V( M ) = V ( P ) + R × PM
On dit alors que le champ de vecteur V est un torseur.
Pour connaître complètement un torseur, il suffit de connaître sa
résultante, c’est à dire son vecteur R, et son moment en un point, c’est
à dire sa valeur V(P) en un point P particulier.
128
Mathématiques pour les Sciences Physiques
R 
Le couple 
 constitue les éléments de réduction en P du
 V( P ) 
torseur.
2°- équiprojectivité
Un champ de vecteur est équiprojectif si :
∀ P, M ∈ E 3 ,
V( M ) ⋅ PM = V( P) ⋅ PM
Théorème : un champ de vecteur équiprojectif
est antisymétrique et réciproquement
V(P)
Géométriquement, l’équiprojectivité traduit
l’égalité des projections des deux moments
V(M) et V(P) sur la droite PM.
P
M
V(M)
3°- comoment de deux torseurs
Soient deux torseurs V1 et V2 . On définit le comoment de ces
deux torseurs par le scalaire :
P
R 1  R 2 
= V1 ⊗ V2 = 
⊗
 = R 1 • V2 ( P) + R 2 • V1 ( P)
V1 ( P ) V2 ( P )
Bien noter dans cette définition que le calcul s’effectue prenant les
éléments de réduction au même point P pour les deux torseurs.
Exercice : montrer que la valeur de P ne dépend pas du point P choisi
pour exprimer les éléments de réduction des deux torseurs.
4°- axe central d’un torseur
C’est l’ensemble des points P de l’espace en lesquels le
moment V(P) est parallèle au vecteur R.
On montre que c’est une droite et que sur cette droite, le torseur garde
une valeur constante. La norme du torseur est en outre minimum sur
cette droite.
Torseurs
129
5°- couple
Un couple est un torseur qui a sa résultante nulle.
Propriété : le moment d’un couple est indépendant du point où on le
calcule.
Un couple n’a pas d’axe central.
6°- glisseur
Un glisseur est un torseur dont le moment s’annule en un point
G.
La droite (G,R) est alors l’axe central du glisseur et le torseur y prend
des valeurs nulles.
7°- torseur associé à un ensemble de vecteurs liés
On appelle vecteur lié le couple (A,u) ∈ E3 ×E3
Soit un ensemble de n vecteurs liés (Ai , ui ) i=1..n.
On définit le torseur associé à ces n vecteurs liés par ses éléments de
réduction en P :
n


R = ∑ u i



i =1
V =

n


 V( P ) = ∑ PA i × u i 

i =1

Exemple : Soit une plaque matérielle
soumise à deux forces F1 et F2 opposées et
appliquées respectivement en A1 et A2 .
A1
F2
A2
O
Le « torseur des actions » exercées sur la
plaque est :
R = F1 + F2 = 0

F=

G( O) = OA 1 × F1 + OA 2 × F2 = A 1 A 2 × F2 = G 
F1
130
Mathématiques pour les Sciences Physiques
O est un point quelconque de l’espace. Le torseur est un couple et on
vérifie que son moment est indépendant de O.
8°- torseur associé à un champ de vecteurs
Soit F un champ de vecteurs défini sur un domaine D de E3 .
On définit le torseur associé au champ de F par ses éléments de
réduction en P :
R = ∫∫∫ F( A)dτ A



A∈D
V =

 V( P) = ∫∫∫ AP × F ( A) dτ A 


A∈D
exemple : torseur des actions de pesanteur
Soit un système matériel défini sur un domaine D de E3 . Un
élément de volume dτA centré en A est soumis à la force de pesanteur :
dP(A)= ρ(A) g dτA
Autrement fit, la densité volumique de force de pesanteur en A
est F(A) = ρ(A) g
Evaluons les éléments de réduction en G du torseur associé aux
actions de pesanteur :




R = ∫∫∫ F( A)dτ A = ∫∫∫ ρ( A)gdτ A =  ∫∫∫ ρ( A) dτ A  g = Mg 


 A∈D

A∈D
A∈D
P=





Γ ( G) = ∫∫∫ GA × F( A) dτ A =  ∫∫∫ ρ( A) GA dτA  × g = 0

 A ∈D



A∈D
On constate que le torseur associé aux actions de pesanteur est un
glisseur dont l’axe passe par le barycentre G du système matériel.
Torseurs
131
9°- torseur cinématique d’un solide en mouvement
Considérons le mouvement
d’un solide par rapport à un
référentiel R. On attache à ce solide
un référentiel R’ : le solide est
immobile dans R’.
Soit P un point du solide, ou plus
généralement un point fixe de R’. On
cherche le vecteur vitesse de P par
rapport à R.
x3 ’
x3
P
x2 ’
O’
e1
e3
O
x1’
x2
e2
x1
 dOP 
V ( P) R = 

 dt  R
Passons par le point O’ lui aussi fixe dans R’ :
 dOP 
 dOO'+O' P 
 dO' P 
V ( P) R = 
 =
 = V( O' ) R + 

 dt  R 
R
 dt  R
dt
 dO' P 
Or O’P est un vecteur fixe de R’ et donc : 
 = Ω × O' P
 dt  R
où Ω désigne le vecteur rotation du solide (en fait de R’) par rapport à
R.
Le champ des vitesses d’un solide vérifie :
V( P) R = V (O' ) R + Ω × O' P
C’est un torseur appelé torseur cinématique du solide.
132
Mathématiques pour les Sciences Physiques
Exercices sur les applications linéaires
Vecteur d’un opérateur antisymétrique
Soit ha une application linéaire antisymétrique. Montrer que
1 3
son vecteur s’écrit :R = ∑ e i × ha ( e i )
2 i =1
Application linéaire symétrique définie positive
On considère un solide Σ occupant un domaine D de E3 et un
point O de E3 .
On note IO l’application définie par :
u ∈ E 3 a I O ( u) =
∫ OP × (u × OP )dm
P∈D
Montrer que IO est une application linéaire, symétrique définie
positive.
Exercices sur les torseurs
Invariant vectoriel
R 
Soit un torseur donné par ses éléments de réduction en P : 

 V( P ) 
Montrer que la quantité I =
R • V ( P)
R
2
R ne dépend pas de P.
Torseurs
133
Espace vectoriel des torseurs
Montrer que l’ensemble des torseurs forme un espace vectoriel
Condition d’antisymétrie
On considère dans E3 le champ de vecteurs défini par :

Vx = 1 + 3 y − tz
Vt ( P) = V y = −3 x + 2tz

Vz = 2 + tx − t 2 y
1. Pour quelles valeurs de t ce champ est-il un torseur ?
2. Lorsque c’est un torseur, calculer son vecteur.
Réponse : 1. t=0 ou -2
R=-4ex-2ey-3ez
2.Si t=0, R=-3ez
Si t=-2,
134
Mathématiques pour les Sciences Physiques