Chapitre 8 : Triangles semblables.

Chapitre 8 :
Triangles semblables.
I- Angles alternes-internes.
Deux droites coupées par une sécante forment avec cette sécante deux paires d’angles alternes-internes.
Deux angles sont alternes-internes lorsqu’ :
 ils n’ont pas le même sommet (l’un a pour sommet E et l’autre F) ;
 ils sont situés de part et d’autre de la sécante () ;
 ils sont entre les droites (d) et (d’).
Les angles
alternes-internes. Les angles
Propriété :
Si deux droites parallèles sont
coupées par une sécante, alors les
angles alternes-internes qu’elles
forment ont la même mesure.
Application : Complète en donnant les mesures des sept angles manquantes.
Propriété :
Si deux droites sont coupées par une
sécante en formant des angles
alternes-internes de même mesure,
alors elles sont parallèles.
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alternes-internes.
II- Triangles égaux.
Définition : Deux triangles sont égaux lorsque leurs côtés sont deux à deux de
même longueur.
Un exemple :
Les triangles ABC et A’B’C’ sont
égaux.
Ils sont superposables.
On dit aussi que les triangles ABC et
A’B’C’ sont isométriques (du grec,
iso- = égal, metron = mesure)
Propriété : Si deux triangles ont deux à deux un angle de même mesure
compris entre deux côtés de même longueur, alors ils sont égaux.
Un exemple : Les triangles ABC et A’B’C’ sont égaux. On a AB = A’B’ ; BC = B’C’ et
.
Propriété : Si deux triangles ont deux à deux un côté de même longueur
compris entre deux angles de même mesure, alors ils sont égaux.
Un exemple : Les triangles EFG et KLH sont égaux. On a FG = LH ;
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et
.
III- Triangles semblables.
Activité : A ton avis, les triangles de même couleur sont-ils « forcément » isométriques ?
Définition : Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à
deux de même mesure.
Ces triangles sont de même forme.
Un exemple : Les triangles EFG et RST sont semblables.
Propriété : Si deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles d’un autre
triangle alors ces deux triangles sont semblables.
Application : (utilisation de la définition)
Les triangles PSG et LOM sont-ils
semblables ?
Pour répondre, on calcule :
= ………………………………………..……………..
= ………………………………………..……………..
= …………………
= ………………………………………..………………………….. = …………………….…………………………..…………….. = …………………
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Propriété : Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs des côtés
opposés aux angles égaux sont proportionnelles.
Un exemple :
On a :
k=
.
Le rapport k est appelé coefficient
d’agrandissement (k > 1) ou de
réduction (k < 1).
On dit, par exemple, que les côtés
[LM] et [EC] sont homologues
Propriété : Si deux triangles ont les longueurs de leurs côtés proportionnelles,
alors ils sont semblables.
Application 1 : Les triangles ABC et JKL sont-ils semblables ? Justifie ta réponse.
Pour répondre, on peut utiliser un tableau pour vérifier s’il s’agit d’une situation de proportionnalité.
Longueurs du triangle ABC
Longueurs du triangle JKL
On calcule séparément :
Application 2 : Les points I et N appartiennent respectivement aux côtés [HP] et [HM]. On donne, en cm :
HI = 8 ; IP = 4 ; HN = 6 ; NM = 3 ; NI = 3 et MP = 4,5. Les triangles HIN et HMP sont-ils semblables ? Justifie.
Réponse :
Longueurs du triangle HIN
Longueurs du triangle HMP
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